FUNCIN CUADRTICA

Ing. Irene Hidalgo

DOCENTE SNNA-UEA

UNIVERSIDAD ESTATAL AMAZNICA

Objetivos:

Interpretar grfica y analticamente los elementos que

constituyen una funcin cuadrtica.

Funciones cuadrticas

Las funciones cuadrticas son las que se expresan mediante un

polinomio de segundo grado:

donde , a0, b y c son nmeros fijos son nmeros fijos que conocemos como

coeficientes del polinomio; y su grfica una parbola cuyo sentido (hacia arriba o

hacia abajo) depender del signo de la pendiente .

Ejemplos:

a) Si f(x) = 2x2 + 3x + 1

b) Si f(x) = 4x2 - 5x - 2

a = 2, b = 3 y c = 1

a = 4, b = -5 y c = -2

Para dibujar una parbola necesitamos conocer:

1. Concavidad

2. Corte con el eje de abscisas y el eje de

ordenadas.

3. Coordenadas del vrtice.

4. El eje de simetra.

5. Una tabla de valores. -3 -2 -1 0 1 2 3 x

y 5

-3

-5

f(x) = x2 2x 3

Concavidad

En la funcin cuadrtica, f(x) = ax2 + bx + c , el coeficiente a,

pendiente indica si la parbola es cncava hacia arriba o hacia abajo.

Si a > 0,

es cncava hacia arriba

Si a < 0,

es cncava hacia abajo

Interseccin con los ejes

En la funcin cuadrtica, f(x) = ax2 + bx + c , el coeficiente c

indica la ordenada del punto donde la parbola interseca al eje Y.

x

y

x

y

c

(0,C)

Si hacemos x=0 y = f (0) ser el corte con el eje de ordenadas.

Si hacemos f(x)=0 La solucin de la ecuacin 0= a.x 2 +b.x + c nos dar los puntos de corte con

el eje de abscisas, si los hay.

Encuentre los puntos de interseccin con los ejes de la funcin

f(x) = x2 - x 6.

Eje y: x=0 Como a > 0, la parbola abrir hacia arriba. Ahora encuentre la interseccin con el eje

y.

f(x) = x2 - x 6

f(0) = 0 2 - x - 6 Determine f(0)

f(0) = - 6

Eje x: y=0 Ahora encuentre las intersecciones en el eje x.

f(x) = x 2 - x 6

0 = x 2 - x 6 sea f(x) = 0

0 = (x - 3) (x + 2) Factorice

x - 3 = 0 o x + 2 = 0 Iguale cada factor a 0 y resuelva

x = 3 o x = -2

La interseccin en el

eje de y es (0, -6).

Las intersecciones en el

eje de x es (3, 0) y (-2,0)

-3 -2 -1 0 1 2 3 x

y

-6

La interseccin en el

eje de y es (0, -6).

Las intersecciones en el

eje de x es (3, 0) y (-2,0)

Eje de simetra

El eje de simetra es la recta que pasa por el vrtice de la parbola, y es

paralela al eje Y.

x

y Eje de simetra

Vrtice

Si f(x) = ax2 + bx + c , entonces:

-b

2a x =

-3 -2 -1 0 1 2 3 x

y

-6

La interseccin en el

eje de y es (0, -6).

Las intersecciones en el

eje de x es (3, 0) y (-2,0)

f(x) = x2 - x 6.

-(-1)

2(1) x =

x= 1/2

Eje de simetra en x= 1/2

-b

2a x =

2a 2a V =

-b , f -b

4a

-b , 4ac b2

2a V =

El vrtice de una parbola es el punto ms alto o ms bajo de la curva, segn sea su

concavidad.

Vrtice

x

y Eje de simetra

Vrtice

Si f(x) = ax2 , entonces:

Su vrtice ser el origen (0,0), el eje

de simetra ser el eje Y

f(x)

V = ( -1, -9 )

x = -1

Eje de simetra:

Vrtice:

-3 -2 -1 0 1 2 3 x

y

-6

2a 2a V =

-b , f -b

4a

-b , 4ac b2

2a V =

4(1)

-1 , 4(1)(-6) (-1)2

2(-1) V =

f(x) = x2 - x 6.

1

2 V =

-25

4 ,

Toda funcin cuadrtica f(x)= ax2+bx+c puede escribirse en su

forma estndar f(x)= a(x h)2+k, donde:

h = -b

2a

k = 4ac-b2

4a Y el vrtice de la parbola es : (h, k)

Escribir f(x) = x2 - x 6 en su forma estndar

Para ello debemos completar el cuadrado:

x2 - x 6= 0

x2 - x = 6

x2 x + (1/2) 2 =6+ (1/2) 2

x2 x + 1/4 =25/4

f(x)= (x-1/2) 2 - 25/4 f(x)= a(x h)2+k

El vrtice de la parbola es : (1/2; -25/4)

El vrtice de la parbola es : (h, k)

i) y =a(x-h) Significa que la funcin se movi a la izquierda o derecha, h unidades y abre hacia arriba o hacia abajo.

Ej. 1) y=2(x-3) () 2) y=-3(x-4) ()

Si y=ax una funcin cuadrtica cualquiera, entonces:

Comportamiento de la funcin de acuerdo a a, h y k

x

y

x

y

ii) y =a(x+h) significa que la funcin se movi a la izquierda o derecha, h unidades y abre hacia arriba o abajo.

Ej. 1) y= 4(x+2) () 2) y=-(x+1) ()

x

y

iii) y=a(x-h) k significa que la funcin se movi a la derecha o izquierda y k unidades hacia arriba o hacia abajo.

Ej. 1) y=5(x-1) - 4 () 2) y=-3(x-7) + 6 ()

iv) y=a(x + h) k significa que la funcin se movi a la derecha o

izquierda y k unidades hacia arriba o hacia abajo.

Ej. 1) y=(x+6) - 5 () 2) y=-5(x+3) + 3 ()

Obs. V(h,k) es el vrtice de la parbola.

x

y

y

f(x) = - x2 f(x) = - 2.x2

f(x) = x2

Ejemplos de dilatacin

- 3 - 2 - 1 0 1 2 3

Ejemplos de dilatacin

Sea f(x) = x2 Si debemos representar: f(x) = r.x2

El efecto es que la parbola se deforma.

Si r > 0 Conserva la concavidad Si r < 0 Se invierte.

Si |r| > 1 Se estrecha. Si |r| < 1 Se ensancha.

y

f(x) = x2

f(x) = 2.x2

f(x) = x2

- 3 - 2 - 1 0 1 2 3

Grafique la funcin cuadrtica f(x) = x2 - x 6.

Como a > 0, la parbola abrir hacia arriba. Ahora encuentre la interseccin con el eje y.

f(x) = x2 - x 6

f(0) = 02 - x - 6 Determine f(0)

f(0) = - 6

La interseccin en el eje de y es (0, -6). Ahora encuentre las

intersecciones en el eje x.

f(x) = x2 - x 6

0 = x2 - x 6 sea f(x) = 0

0 = (x - 3) (x + 2) Factorice

x - 3 = 0 o x + 2 = 0 Igual cada factor a 0 y resuelva

x = 3 o x = -2

2a 2a V =

-b , f -b

2(1) Vx =

-(-1) = 1/2

Vy= f(x) = (1/4) (1/2) 6.

Vy= f(x) = x2 - x 6.

Vy= f(x) = (1/2)2 (1/2) 6.

Vy= f(x) = -1/4 6.

Vy= f(x) =-25/4

-b

2a x =

-(-1)

2(1) x =

x = 1/2

Eje de simetra

Vrtice: (1/2; -25/4)

-3 -2 -1 0 1 2 3 x

y

-6

f(x) = x2 - x 6.

(0, -6)

(3, 0) (-2,0)

(1/2; -25/4)

x = 1/2

APLICACIONES

Los ingresos mensuales de un empresario de mquinas electromecnicas

estn dados por la funcin: , donde x es la cantidad de

mquinas que se fabrican en el mes.

a) Cuntas mquinas se deben fabricar mensualmente para obtener el mayor ingreso?

b) Si decimos que la ganancia fue de mil pesos aproximadamente, cuntas mquinas se

fabricaron?

c) Cules son los ingresos si se fabrican cinco mquinas?

d) A partir de qu cantidad mquinas se comienza a tener prdidas?