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UNIDAD II: ALGEBRA

TEMA: ECUACIONES CUADRATICAS. SISTEMA DE ECUACIONES FORMADO POR UNA LINEAL Y UNA

CUADRATICA

13/04/2023 MSC. ROBERTO AGUILERA L. 1

MATEMATICA

MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

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ECUACIONES

Una ecuación es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas y que sólo se verifica o es verdadera, para determinado valores de las incógnitas.

Por ejemplo: 8x - 13 = 3

x: es la incógnitaLa igualdad se verdadera solo si x = 2

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ECUACIONES

El grado de una ecuación con una incógnita es el mayor exponente que tiene la incógnita en la ecuación.

Ejemplo:

5x + 4 = 10x – 8 es una ecuación de primer grado o ecuación lineal.

15x2 + x – 6 = 0 es una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática.

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ECUACIONES

La raíces o soluciones de una ecuación son los valores de las incógnitas que satisfacen la ecuación, es decir que sustituidos en lugar de la incógnitas hacen verdadera la expresión

Si tenemos la ecuación 2x2 + x – 1 = 0 sus raíces son x = -1 y x = ½ , ya que

si x = 1 entonces 2(-1)2 + (-1) – 1 = 0 (V)Si x = ½ entonces 2(½)2 + ½ – 1 = 0 (V)

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ECUACION CUADRATICA

Una ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado, con una variable, es una ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0; a, b, c ϵ R, a ≠ 0.

Una ecuación cuadrática siempre tiene dos raíces, las cuales pueden ser iguales o no, reales o complejas.

a) x2 - 4x + 4 = 0 sus raíces x1 = x2 = 2 b) x2 - 5x + 6 = 0 sus raíces x1 = 3 y x2 = 2 c) x2 + x + 1 = 0 sus raíces

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ECUACION CUADRATICAUna ecuación cuadrática se puede resolver por los siguientes métodos:

a) Factorizaciónb) Completación de cuadradosc) Por la fórmula general

Si b2 – 4ac > 0 dos raíces reales diferentesSi b2 – 4ac = 0 raíces reales igualesSi b2 – 4ac < 0 dos raíces complejas

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Ejemplos:1. 2x2 - 15x - 8 = 0 2x 1 = x x -8 = - 16x - 15x

Factorizando la ecuación anterior tenemos(2x + 1) (x - 8) = 0

Igualando a cero cada factor y despejando 2x + 1 = 0 de donde x = -½ x – 8 = 0 de donde x = 8por tanto el conjunto solución es {-½ , 8}

ECUACION CUADRATICA

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2. = 1

Multiplicamos toda la ecuación por el mínimo (x - 2)(x +1) y

{ = 1 } ( x – 2)(x + 1)

nos resulta, una ecuación de la forma

4 (x + 1) – 2 (x – 2) = (x + 1)(x - 2) 4x + 4 - 2x + 4 = x2 – x - 2 2x + 8 = x2 – x - 2pasando todos los términos aun solo lado de la ecuación nos resulta x2 – 3x – 10 = 0

ECUACION REDUCIBLE A CUADRATICA

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A partir de la expresión x2 – 3x – 10 = 0

Factorizando nos resulta (x - 5)(x + 2) = 0

igualando cada factor de la expresión anterior a cero x – 5 = 0 donde x = 5 x + 2 = 0 donde x = -2

por tanto, el conjunto solución es {-2 , 5}. Si sustituimos ambos valores en la ecuación inicial, nos resulta una expresión verdadera.

ECUACION REDUCIBLE A CUADRATICA

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3.

pasamos una de las raíces al otro lado de la ecuación y nos resulta

Si elevamos al cuadrado cada término de la ecuación y resolvemos obtenemos (2

4x 4x

Pasando los términos sin radicales del lado derecho al lado izquierdo obtenemos (3x – 6) Elevando al cuadrado (3x – 6)2 2

ECUACION REDUCIBLE A CUADRATICA

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Esto nos resulta igual a

9x2 – 36x + 36 = 4 (x + 5) 9x2 – 36x + 36 - 4x – 20 = 0 9x2 – 40x + 16 = 0

factorizando la expresión anterior nos queda (9x - 4)(x - 4) = 0

igualando cada factor a cero cada factor de la ecuación 9x – 4 = 0 donde x = 4/9 x – 4 = 0 donde x = 4

para encontrar la solución sustituimos en la ecuación inicial los dos valores y vemos si los valores de x hacen verdadera la expresión. En este caso solo x = 4 es la solución.

ECUACION CUADRATICA

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4. Aplicación de la ecuación cuadráticaEl área de un triangulo es 2 m2 . Si la base mide 3 m mas que la altura. ¿Cuál es la medida de la base y la altura? Área = 2 m2 altura = x base = x + 3

Utilizando la formula del área de un triángulo

A = (base * altura) /22 = (x + 3)* x/ 2 esto es equivalente a 4 = x2 + 3x entonces x2 + 3x – 4 = 0 factorizando (x + 4)(x- 1) = 0 x + 4 = 0 donde x = -4 x – 1 = 0 donde x = 1

Por tanto, la altura mide 1 metro y la base 4 m.

ECUACION CUADRATICA

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SISTEMA DE UNA ECUACION LINEAL Y UNA CUADRATICA

Dado el sistema

ax + by + c = 0 dx2 + exy + fy2 + gx + hy + f = 0

para resolverlo se despeja una de las variable de la ecuación lineal y se sustituye en la ecuación cuadrática, obteniendo una ecuación de segundo grado con una incógnita. Resolvemos esta ecuación y obtenemos dos valores para la incógnita.

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SISTEMA DE UNA ECUACION LINEAL Y UNA CUADRATICA

Ejemplos: Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones x - y = 1 x2 + xy + y2 = 37

De la ecuación lineal despejamos la variable x entonces

x = 1 + y, sustituyendo en la ecuación cuadrática

(1 + y)2 + (1 + y)y + y2 = 37 1 + 2y + y2 + y + y2 + y2 = 37 3y2 + 3y - 36 = 0 multiplicando todo por (1/3) obtenemos y2 + y – 12 = 0

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SISTEMA DE UNA ECUACION LINEAL Y UNA CUADRATICA

x - y = 1 x2 + xy + y2 = 37

Si factorizamos el lado izquierdo de ecuación

y2 + y – 12 = 0 tenemos (y + 4)(y – 3) = 0 igualando cada factor a cero resulta

y + 4 = 0 entonces y = -4 y x = -3 y – 3 = 0 entonces y = 3 y x = 4

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SISTEMA DE UNA ECUACION LINEAL Y UNA CUADRATICA

2. Un comerciante compro cierto número de unidades de un articulo por C$14.40. Posteriormente, el precio de dicho articulo sufre una aumento de C$ 0.02 por cada unidad, con lo cual, por el mismo dinero le dan 24 unidades menos que la vez anterior. Hallar las unidades que inicialmente compro y el precio de cada una de ellas.

Solución: Sea x: el número de unidades compradas inicialmente y P: el precio de las unidades

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SISTEMA DE UNA ECUACION LINEAL Y UNA CUADRATICA

Sea P + 0.02 el nuevo precio de las unidades y (x - 24) el nuevo numero de unidades compradas, entonces podemos formar el sistema de ecuaciones:

1) P(x) = 14.402) (P + 0.02)(x – 24) = 14.40

Por tanto, de la segunda ecuación tenemos:Px – 24P + 0.02x – 0.48 = 14.40

De la primera expresión tenemos que P.x = 14.4 por tanto, x = 14.4/P, sustituyendo resulta

14.4 - 24P + 0.02x - 0.48 = 14.4

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SISTEMA DE UNA ECUACION LINEAL Y UNA CUADRATICA

eliminando miembros iguales a ambos lados de la ecuación resulta

-24P + 0.02(14.4/P)- 0.48 = 0

-24P + 0.288/P = 0.48

-24P2 + 0.288 - 0.48P = 0

Reordenando la ecuación nos queda la siguiente ecuación cuadrática

-24P2 - 0.48P + 0.288 = 0

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SISTEMA DE UNA ECUACION LINEAL Y UNA CUADRATICA

Utilizando la formula general tenemos

donde P = 0.1 y P = - 0.12, pero como el precio solo puede ser positivo entonces P = 0.1, por tanto el valor de x = 144. Esto nos dice que el numero de unidades compradas inicialmente es de 144 a un precio de C$ 0.1.

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1. Un jardín rectangular de 30 metros de largo por 24 metros de ancho tiene a su alrededor una vereda de ancho uniforme. Si el área de la vereda es un cuarto del área del jardín. Determine el ancho de la vereda.

2. Encuentre las raíces de la ecuación

EJERCICIOS PROPUESTOS

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Algebra. Aurelio Baldor

Algebra y trigonometría con Geometría

Analítica. Earl W. Swokowky y Jeffery A. Cole.

Algebra y trigonometría.. Dennis Zill

Algebra y funciones elementales. Carlos J.

Walsh M.

BIBLIOGRAFIA

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MUCHAS GRACIAS

MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ