funciÓn cuadrÁtica
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FUNCIÓN CUADRÁTICA . Una función cuadrática es una función f de la forma:. Donde a , b, c son números reales y a ≠0. Función cuadrática simple. En particular, si se toma a =1, b =0, c =0. 0. 0. f. 1/2. 1/4. Representación gráfica. -1/2. 1/4. 1. 1. -1. 1. 2. 4. -2. 4. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
1
FUNCI ON CUADRÁTI CA
2
( )f x a x b x c 2
FUNCIÓN CUADRÁTICA Una función cuadrática es una función f de la forma:
Donde a, b, c son números reales y a≠0
En particular, si se toma a=1, b=0, c=0
( )f x x 2
Función cuadrática simple
Representación gráfica
x f(x)
- 4 - 3 - 2 - 1 1 2 3 4 5
- 2
- 1
1
2
3
4
5
6
7
x
y
-1/2
0 01/2 1/4
1/41 1-1 12 4-2 4
f
3
-3 3
-3
3
x
f(x) Dominio:
Rango: ,0
La gráfica es simétrica con respecto al eje y Función par
0x
Vértice ( 0, 0 ), punto más bajo o más alto de la parábola
Análisis de la gráfica de 2)( xxf
Ecuación del eje de simetría
Función cuadrática simple
4
-3 3
-3
3
x
f(x)
Continuación análisis de la gráfica de 2)( xxf
La parábola abre hacia arriba (cóncava hacia
arriba) Creciente: 0x
Decreciente: 0x
Función cuadrática simple
5
TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS
6
Sus gráficas y características son:
x
yy = x^2y = 2x^2y = 3x^2
Sea 3,2,1a
Los parámetros de 2)( xxf , no cambian
para ,3,2a
Si 1a , la parábola se contrae con respecto al eje y . A medida que a crece, los brazos de la parábola se acercan al eje y .
Función cuadrática simpleContracción Vertical
( ) ( )f x a f x 1
7
Sus gráficas y características son:
Sea 31
211 ,,a
x
yy = x^2y = 1/2x^2y = 1/3x^2
Las demás características se conservan
Si 10 a , la gráfica se dilata con respecto al eje y. A medida que a disminuye, la gráfica se
aleja del eje y
Función cuadrática simpleDilatación Vertical
( ) ( )f x a f x 1
8
-3 3
-3
3
x
f(x)
Sea 1a : La gráfica es una parábola que abre hacia abajo
(cóncava hacia abajo)
Función cuadrática simpleReflexión sobre el eje x:( ) ( )f x a f x 1
Dominio:
Rango: 0,
La gráfica es simétrica con respecto al eje y
Ecuación del eje de simetría: 0x
Punto máximo ( 0, 0 )
Creciente: 0,
Decreciente: ,0
Vértice ( 0, 0 )
9
Sea 12 ,h Si h = 2, el vértice de la parábola se traslada 2 unidades a la derecha.
Ecuación eje simetría: x= 2 Intersección x ( 2, 0 ) Intersección y ( 0, 4 ) Creciente: (2,∞) Decreciente: (-∞, 2)
Vértice (2,0)Vértice (-1,0)
Si h = -1, el vértice se traslada 1unidad a la izquierda. Ecuación eje simetría: x= -1 Intersección x (-1, 0 ) Intersección y ( 0, 1 ) Creciente: (-1,∞) Decreciente: (-∞, -1)
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
Función cuadrática simpleTraslación horizontal:
)()( hxfxf 1
10
Sea 4,2,0 k
-3 3
-3
3
x
f(x)y = x^2y = x^2+2y = x^2-4
Se observa que para k=2, el vértice de la parábola se traslada dos unidades hacia arriba.
Vértice (0, 2)
Vértice (0, -4)
Rango:
,2
Rango: ,4
2
4
Para k =- 4, el vértice de la parábola se traslada 4 unidades hacia abajoEl rango y el punto mínimo cambian
Función cuadrática simpleTraslación Vertical: kxfxf )()(1
11
La f unción cuadrática cbxaxxf 2)( , se puede expresar en la f orma estándar ó canónica completando cuadrados.
Forma estándar ó canónica
Función Cuadrática Otras expresiones para la función cuadrática
cxabxaxf
2)( cbxaxxf 2)(
ca
ba
bxabxaxf
222
22)(
12
FUNCIÓN CUADRÁTICA
Resumiendo:A partir de la transformación de la función simple:
2xxf )(
se obtienen parábolas de la forma:
khxaxf 21 )(
En donde:
Vértice:
),( khV
Dominio: (-∞, ∞)Rango: Si
a<0 k,
a>0 ,k
Desplazamiento horizontal: hDesplazamiento vertical: kContracción o dilatación vertical: a
13
Función Cuadrática
812 21 )()( xxf
81,2 kyha
-8 -4 4 8
-8
-4
4
8
x
f(x)
y = x^2
-8 -4 4 8
-8
-4
4
8
x
f(x)
y = x^2y = (x-1)^2
2xxf )(2
1 1)()( xxf
Se traslada )( xf una unidad a la derecha
Ejemplo 1:Trazar la funcióna partir de la función
2xxf )(
14
Función Cuadrática 812 2
1 )()( xxf
-8 -4 4 8
-8
-4
4
8
x
f(x)
y = 2(x-1)^2
y = 2(x-1)^2-8
-8 -4 4 8
-8
-4
4
8
x
f(x)
y = 2(x-1)^2y = (x-1)^2
22 12 )()( xxf 812 2
3 )()( xxf
Se contrae )(2 xf dos unidades
Se traslada )(3 xf ocho unidades hacia abajo
Ejemplo 1:continuación
15
Función Cuadrática
Análisis de la gráfica de
-8 -4 4 8
-8
-4
4
8
x
y Dominio:
Rango: ,8
Eje de simetríaVértice (1, -8)
Ecuación eje de simetría: 1xPunto mínimo: (1, -8)Creciente: ( 1, ∞ )Decreciente: ( -∞, 1 )
h k
Ejemplo 1:continuación
16
Función Cuadrática
Análisis de la gráfica de
-8 -4 4 8
-8
-4
4
8
x
y Intersección y
A(0, -6)
68)10(2)0( 2 f
Intersecciones x
08)1(20)( 2 xxf
414)1( 2 xx
13 xóx
B(-1,0) C(3,0)
(0,-6)
(-1, 0) y (3, 0)
Ejemplo 1:continuación
17
Función Cuadrática
Análisis de la gráfica de
-8 -4 4 8
-8
-4
4
8
x
y Para qué valores x, 0)( xf
),3()1,(
Para qué valores x, 0)( xf
)3,1(
Ejemplo 1:continuación
18
Función Cuadrática
Determine la ecuación de la parábola cuya gráfica es:
Vértice (2,3) Intersecto eje y (0, -5) Ecuación eje de simetría
2x
khxaxf 2)()(
Con esta información se encuentra el valor de a
3)20(5 2 a
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-6-5-4-3-2-1
12345
x
y
2 a
3)2(2)( 2 xxf
Ejemplo 2:
19
Función Cuadrática es otra expresión algebraica de
una ecuación cuadrática-Parábola_
cbxaxxf 2)(
Cuadrando el binomio, podemos expresar la función dada de la forma:
khxaxf 2)(cbxaxxf 2)(
acx
abxaxf 2)(
ac
ab
abx
abxaxf
222
22)(
ac
ab
abxaxf 42
22)(
42
22 bcabxaxf )(
khxaxf 2)(
abh
abh
2
2
42bck
Vértice:
42
2bca
b ,
20
- Vértice = ),(2
,2
kha
bfab
- Eje de simetría: la recta habx
2
- Si 0a , el valor máximo es kabf
2
- Si 0a , el valor mínimo es kabf
2
Resumiendo: Función Cuadrática
x
y
x
y
Dada la función:
cbxaxxf 2)(
x
y
21
Función Cuadrática
Bosquejar la gráfica de la función 582)( 2 xxxf
5,8,2 cyba
Como 0a , la parábola abre hacia arriba y tiene un mínimo.
222
82
a
b
35)2(8)2(22
2
abf
3,2 V Ecuación eje de simetría: 2x
Ejemplo 3:
22
Función Cuadrática
La intersección con el eje y es el valor de f en 0x y las intersecciones con el eje x si las hay ocurren en 02 cbxax
0582 2 xx
Intersección con ele eje y: 5)0( f
Las soluciones de la ecuación son :
23.x , 80.x (Fórmula cuadrática)
Ejemplo 3: (continuación)
Intersecciones con el eje x :
582)( 2 xxxf
Se hace f (x) = 0, esto es:
23
Función Cuadrática
Con la información anterior se puede realizar un bosquejo de la gráfica
5)0( f
Cortes en el eje x : 8023 .,.
x
y
Ecuación eje simetría
2x
Ejemplo 3: (continuación) 582)( 2 xxxf
24
Ejemplo 4:El costo promedio por unidad (en dólares) al producir x unidades de cierto artículo es 5012)( 2 xxxC Cuántas unidades deberán producirse para minimizar el costo promedio? Cuál es ese costo mínimo por unidad? SoluciónComo 0a la parábola abre hacia arriba, presenta un mínimo en su vértice. En la ecuación: 5012)( 2 xxxC
5012,1 cyba
)
2(,
2),(
abf
abVkhV
25
Deberán producirse 6 unidades del artículo para que el costo mínimo promedio por unidad sea de
US$14
Ejemplo 4 (continuación) 5012)( 2 xxxC
3 6 9 12 15
6
12
18
24
x
y
62
)12(2
a
bh
)2
(a
bfk
1450)6(126)6( 2 f
)14,6(V
( 6, 14 )
26
Función Cuadrática
Producto de factores lineales
Los ceros de la función cuadrática, llamados tambiénraíces son los valores de “x” cuya imagen tienen valorcero. Como es cuadrática tiene a lo sumo dos ceros. Si los denominamos x1 y x2 , podemos utilizarlos para expresar la función como producto de factores lineales.
)()()( 21 xxxxaxf
27
Ceros de la función cuadráticaSe dijo que la función cuadrática tenía a lo sumo dos ceros. Estos ceros son de la forma (x, 0), por lo tanto se calculan haciendo a f (x) igual a cero.Las soluciones de la ecuación 2 0, 0ax bx c a están dadas por la fórmula cuadrática:
2 42
b b acxa
La cantidad 2 4b ac es conocida como el discriminante de la ecuación cuadrática . Este valor nos indica el número de soluciones de la ecuación. Cortes con el eje y
Si 2 4 0b ac , existen dos cortes en el eje x
Si 2 4 0b ac , existe un corte con el eje x Si 2 4 0b ac , no corta el eje x
28
SOLUCIÓN GRÁFICA DE INECUACIONES
Pasos para resolver inecuaciones gráfi camente:
• Se consideran el lado derecho y el lado izquierdo de la inecuación como f unciones.
• Se grafica cada una de las f unciones
• Se determina la solución analizando directamente en la gráfica.
29
Ejemplo 5:
Encontrar gráficamente el conjunto solución de:3
211)2( 22 xxx
Solucióny 3
21)( 2 xxxg Sea 1)2()( 2 xxf
f (x) es una parábola cóncava hacia arriba con vértice en ( -2, -1 )
g (x) es una parábola cóncava hacia abajo con intersecto con el eje y (0, 3)
vamos a resolver f (x) > g(x)
30
Ejemplo 5: (continuación)
-3 3
-3
3
x
ySu representación gráfica es:
Se observa que las dos gráficas se cortan en los puntos:
(-2, -1) y ( 0, 3). -2
También vemos que f (x) > g (x)en los siguientes intervalos:
),0()2,(
Por lo tanto, 1)2( 2x 321 2 xx en los intervalos
),0()2,(
(-2, -1)
(0, 3)
31
Un latonero dispone de una lámina rectangular de aluminio de 16 pulgadas de ancho y debe construir una canal doblando dos lados 90° hacia arriba. Cuántas pulgadas deberán doblarse para que la canal tenga la mayor área transversal y con ello permita el mayor flujo de agua?La siguiente figura representa la situación:
x = cantidad de pulgadas dobladas
A(x) = área transversal en función de la cantidad doblada
)()( xxxA 216
x
16 -2xx
90°
La capacidad de flujo será máxima cuando el área transversal del
rectángulo sea máxima.xxxA 162 2 )(
Ejemplo 5:
32
abf
abV 22 ,
Revisemos la función:Parábola
El área máxima se encuentra en el vértice.
x
16 -2xx
90°
xxxA 162 2 )(
1 2 3 4 5 6 7 8 9-5
5
10
15
20
25
30
l
A(l)
2216
maxx 4
1 2 3 4 5 6 7 8 9-5
5
10
15
20
25
30
l
A(l)
x=4, es el doblés que hace que la sección transversal sea la mayor.
41642 2 )()( maxxA 32
4
84
90°
El área máxima son 32 pul²
Ejemplo 5:(continuación)
33
Ejemplo 6Se lanza un proyectil . La altura alcanzada y (en Km) y los kilómetros recorridos x están relacionados por la ecuación xxy 42 2
1 . A un Km del lugar de lanzamiento se encuentra una montaña cuya ladera oeste sigue la recta de ecuación 662 xy . Halle el punto de la montaña donde se producirá el impacto
34
Ejemplo 6: (Continuación)
El impacto ocurrirá en el punto de intersección de la gráfica de xxy 42 2 y la gráfica de 66 xy
Al igualar las dos ecuaciones se tiene: 6642 2 xxx
0622 2 xx 032 xx
Al resolver la ecuación cuadrática se obtiene:
312131 .x ó 322
131 .x
Se descarta este valor ; no tiene sentido una distancia negativa.
35
Ejemplo 6: (Continuación)
El valor para x lo sustituimos en cualquiera de las dos ecuaciones para encontrar el valor de y (altura del impacto)
xxy 42 2 66 xy
).,.( 8131
Interpretación:
31.x 816316 .. y
El proyectil recorrió una distancia horizontal aproximada de 1.3 kilómetros e impactó en la montaña a una altura
aproximada de 1.8 kilómetros.
36
FUNCI ON RAI Z CUADRADA
37
Función Raíz Cuadrada Análisis de la gráfica de xxf )(
Dominio: ,0
Rango: ,0
Es creciente en todo sudominio
No es función par ni funciónimpar, porque los elementos de su dominio no satisfacen ninguna
de las dos definicionesIntersecto x: (0,0)Intersecto y: (0,0)
3 6 9 12
-6
-3
3
6
x
y
y = root(2,x)
38
Transformación de funciones Generalidade
s:Si se tiene una función f ,
la función: ( ) ( )g x a f bx c d
Expresada como transformación de f(x):
( ) cg x a f b x d
b
Se tiene:Dilatación, contracción horizontal y reflexión con eje y=Desplazamiento horizontal:
Desplazamiento vertical:
b
Dilatación, contracción vertical y reflexión sobre el eje x=
a
d
c/b
39
Función Raíz Cuadrada
Bosquejar y analizar la gráfica de 432)( xxf Ejemplo 7:
-3 3
-3
3
x
yy = root(2,x)
Pasos a seguir:
-3 3
-3
3
x
y
y = root(2,x)
y = root(2,(x+3))
xxf )(1
3)(2 xxf
Se traslada )(1 xf tres unidades a la izquierda
40
Función Raíz Cuadrada
Ejemplo 7: (continuación): 432)( xxf
-3 3
-3
3
x
y
y = root(2,(x+3))y = 2*root(2,(x+3))
-3 3
-3
3
x
y
y = 2*root(2,(x+3))
y = 2*root(2,(x+3))-4
)(3 xfSe multiplican las ordenadas de )(2 xf por dos.
Se traslada )(3 xf cuatro unidades hacia abajo.
)(4 xf
41
Función Raíz Cuadrada
Ejemplo 7: (continuación): 432)( xxf
-3 3
-3
3
x
yy = 2*root(2,(x+3))-4 Dominio: ,3
Rango: ,4
Creciente en todo su dominio
Intersección x: (1,0) Intersección y: ( , . )0 0 5