apuntes de robótica

CONTENIDO

Robótica Departamento de Ingeniería Mecatrónica Facultad de Ingeniería

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CONTENIDO

1. INTRODUCCIÓN........................................................................................................................ 1

1.1. DEFINICIÓN DE ROBOT................................................................................................... 1 1.2. SISTEMAS CONSTITUTIVOS DE UN ROBOT ............................................................. 1

1.2.1. SISTEMA DE PERCEPCIÓN ....................................................................... 2 1.2.1.1. SENSORES DEL TIPO INTERNO................................................. 2 1.2.1.2. SENSORES DEL TIPO EXTERNO................................................ 3 1.2.1.3. DEFINICIÓN DE MÁQUINA INTELIGENTE ............................ 3

1.2.2. SISTEMA MECÁNICO................................................................................... 4 1.2.2.1. ESLABÓN .......................................................................................... 4 1.2.2.2. ARTICULACIÓN ............................................................................. 6 1.2.2.3. ARQUITECTURAS MECÁNICAS ............... ................................. 7 1.2.2.4. ACTUADORES ................................................................................. 9

1.2.3. SISTEMA DE DECISIÓN .............................................................................. 11 1.2.4. EQUIPO PERIFÉRICO .... ............................................................................. 12

1.2.4.1. MAQUINARIA ................................................................................. 13 1.2.4.2. ALIMENTACIÓN Y TRANSPORTE ............................................ 13 1.2.4.3. HERRAMENTAL ............................................................................ 14

1.3. CLASIFICACIÓN DE ROBOTS ....................................................................................... 18

2. ELEMENTOS MATEMÁTICOS .............................................................................................. 20

2.1. INTRODUCCIÓN ............................................................................................................... 20 2.2. DERIVADA DE VECTORES ............................................................................................ 20 2.3. DERIVADA DE MATRICES ............................................................................................. 24 2.4. MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON ....................................................... ........................ 25

3. DESCRIPCIÓN ESPACIAL ...................................................................................................... 31

3.1. INTRODUCCIÓN ................................................................................................................ 31 3.2. TERNA ORTONORMAL DERECHA .............................................................................. 31 3.3. DESCRIPCIÓN DE UNA POSICIÓN ............................................................................... 32 3.4. DESCRIPCIÓN DE UNA ORIENTACIÓN ...................................................................... 33 3.5. ORIENTACIONES CANÓNICAS ..................................................................................... 34 3.6. ROTACIÓN .......................................................................................................................... 34 3.6.1. FORMULACIÓN DE GIBBS DE LA ROTACIÓN ........................................ 35 3.6.2. ROTACIONES CANÓNICAS ........................................................................... 38 3.6.3. TORNILLO DE RODRIGUES .......................................................................... 39 3.7. DESCRIPCIÓN ENTRE REFERENCIAS ........................................................................ 43 3.8. CAMBIO DE DESCRIPCIÓN ............................................................................................ 43 3.9. TRANSFORMACIÓN HOMOGÉNEA ............................................................................. 44

CONTENIDO


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4. MODELADO ............................................................................................................................... 48 4.1. INTRODUCCIÓN.......................................................................................... ....................... 48 4.2. MODELADO DIRECTO 4.2.1. DESCRIPCIÓN DE ESLABONAMIENTO

DE DENAVIT-HARTEMBERG ……………………………………………. 48 4.2.1.1. PARÁMETROS DEL ESLABÓN ...................................................... 49 4.2.1.2. PARÁMETROS DEL ESLABONAMIENTO .................................. 50 4.2.2. REGLAS PARA FIJAR LAS BASES REFERENCIALES DE

ESLABÓN......................................................................................................... 51 4.2.3. DESCRIPCIÓN ENTRE BASES DE ESLABÓN ............................................ 52 4.2.4. REGLAS PARA EFECTUAR EL MODELADO DIRECTO ......................... 53

5. DINÁMICA .................................................................................................................................. 54 5.1. FORMULACIÓN DE NEWTON -EULER ........................................................................ 54

6. TRAYECTORIA ......................................................................................................................... 57 6.1. INTRODUCCIÓN ................................................................................................................ 57 6.2. PERFIL DE TRAYECTORIA ............................................................................................ 57 6.2.1. INTRODUCCIÓN ............................................................................................... 57 6.2.2. PERFIL TRAPEZOIDAL SIN ESTACIONARIO .......................................... 58 6.2.3. PERFIL TRAPEZOIDAL CON ESTACIONARIO ........................................ 63 6.2.4. PERFIL DE GRADO QUINTO SIN ESTACIONARIO ................................. 69 6.2.5. PERFIL DE GRADO QUINTO CON ESTACIONARIO ............................... 72

6.2.6. JUSTIFICACIÓN DEL EMPLEO DE UNO U OTRO PERFIL .................... 78 6.3. LUGAR GEOMÉTRICO DE LA TRAYECTORIA ......................................................... 79 6.3.1. RECTA .................................................................................................................. 79 6.3.2. ARCO .................................................................................................................... 80

ANEXO A. COMPARACIÓN ENTRE PERFILES DE TRAYECTORIA.................................. 86 B. EJEMPLO REPRESENTATIVO ................................................................................ 116

1. INTRODUCCIÓN

Robótica Departamento de Ingeniería Mecatrónica Facultad de Ingeniería. UNAM

1

1. INTRODUCCIÓN 1.1. DEFINICIÓN DE ROBOT Una definición de robot usada por The Robot Institute of America es: “Un robot es un manipulador multifincional y reprogramable diseñado para mover materiales, partes, herramientas, o dispositivos especiales, a través de movimientos variables programados para la ejecución de una variedad de tareas” . Con esta definición se puede afirmar que un robot es una máquina de propósito general consistente de un sistema mecánico controlado por un cerebro electrónico y que puede interactúa con su medio ambiente. Por lo tanto el robot está constituido de los siguientes sistemas. 1.2. SISTEMAS CONSTITUTIVOS DE UN ROBOT En la figura (1) se muestra un esquema de bloques representando los sistemas constitutivos de un robot, que son los siguientes: Sistema de comunicación usuario-máquina, sistema de decisión, sistema mecánico y, posiblemente, sistema de percepción. El sistema de percepción puede estar formado por sensores del tipo interno y/o del tipo externo, o simplemente no existir y, sin embargo, el sistema completo sigue siendo considerado como un robot.

Figura (1). Sistemas constitutivos de un Robot

ROBOT

Sistema Usuario-Máquina

Sistema de Decisión

Sistema Mecánico

Sistema de percepción (sensores internos y/o externos)

EQ

UIP

O P

ER

IFÉ

RIC

O

1. INTRODUCCIÓN


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1.2.1. SISTEMA DE PERCEPCIÓN 1.2.1.1. SENSORES DEL TIPO INTERNO Los sensores del tipo interno son aquellos que miden el estado propio del robot sin percatarse del estado del entorno en que se desenvuelve el robot. Normalmente estos miden el desplazamiento de las articulaciones o puntos de referencia entre eslabones vecinos a través de su articulación común. Para medir el desplazamiento de sus articulaciones, un robot utiliza, normalmente, sensores digitales como los encoders ópticos, que pueden ser incrementales, figura (2) o absolutos, figura (3), o los analógicos tales como los potenciómetros.

Figura (2). Encoder óptico incremental. Sensor Interno

Figura (3). Encoder absoluto. Sensor interno

1. INTRODUCCIÓN


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1.2.1.2. SENSORES DEL TIPO EXTERNO Este tipo de sensores “sienten” el entorno del robot y le informan al sistema de decisión el estado del mismo. Pueden ser cámaras de visión, sensores de tacto y esfuerzo, proxímetros, sonares, etc. 1.2.1.3. DEFINICIÓN DE MÁQUINA INTELIGENTE Una máquina es considerada inteligente cuando cumple con las siguientes dos condiciones:

• Capacidad de percibir su medio ambiente • Capacidad de tomar decisiones a partir de la información obtenida del medio ambiente

(capacidad de adaptación)

En la actualidad existen tres tipos de robot atendiendo al grado de inteligencia de ellos, estos son: a) aquellos que carecen de todo tipo de sistema sensorial, Figura (4), b) aquellos que integran sensores del tipo interno, Figura (5), y c) aquellos que integran un sistema sensorial completo y complejo (sensores internos y externos), Figura (6).

Figura (4). Robot sin sistema de percepción

ROBOT



Sistema Mecánico

1. INTRODUCCIÓN


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Figura (5). Robot con sensores internos únicamente

Figura (6). Robot con sistema sensorial completo y complejo Según la definición anterior los robots tipo c) son los únicos posibles inteligentes, siempre y cuando tengan suficiente capacidad de tomar decisiones a partir de la información de sus sensores externos. 1.2.2. SISTEMA MECÁNICO En un robot manipulador, el sistema mecánico está formado por la cadena cinemática, que es el conjunto de eslabones y articulaciones. A diferencia de la estructura, que también tiene eslabones y articulaciones, en la cadena cinemática los eslabones tienen movimiento relativo entre ellos. Un ejemplo

ROBOT



Sistema Mecánico

Sistema de percepción (únicamente sensores del tipo interrno)

ROBOT


Sistema de Decis ión

Sistema Mecánico

Sistema de percepción (sensores interrnos y/o externos)

1. INTRODUCCIÓN


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de estructura es el eslabonamiento de los huesos del cráneo, que están unidos por articulaciones que impiden el movimiento relativo entre los huesos constitutivos. 1.2.2.1. ESLABÓN Los eslabones pueden clasificarse en: primarios, si tienen únicamente una articulación; secundarios, si contienen dos articulaciones; ternarios, si contienen tres articulaciones, etc., ver figura (7).

Figura (7). Clasificación de eslabones

Un manipulador se dice que es de cadena cinemática abierta si contiene dos eslabones que son unitarios y están colocados en los extremos, mientras que los eslabones internos son binarios, figura (8).

Figura (8). Cadena cinemática abierta

Una cadena cinemática cerrada es aquella que contiene únicamente eslabones binarios, ver figura (9).

Unitario Binario Ternario

1. INTRODUCCIÓN


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Figura (9). Cadena cinemática cerrada

La cadena cinemática compuesta es aquella que contiene combinación de ambas cadenas (abiertas y cerradas) y eslabones con tres o más articulaciones. 1.2.2.2. ARTICULACION En los sistemas mecánicos existen articulaciones que permiten el movimiento relativo entre los elementos constitutivos, denominados eslabones. Por definición, la articulación es un punto, línea o área entre dos cuerpos que pueden o no tener movimiento relativo entre ellos. Las articulaciones que permiten movimiento se llaman pares cinemáticos. En la figura (10) se tienen los 6 tipos diferentes de pares cinemáticos posibles. De entre ellos, únicamente la articulación rotacional y la prismática son las básicas, a partir de las cuales se pueden formar las otras cuatro restantes.

Figura (10). Tipo de articulaciones

Rotacional Plana Prismática

Cilíndrica Helicoidal Esférica

1. INTRODUCCIÓN


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1.2.2.3. ARQUITECTURAS El sistema mecánico está formado por el manipulador, vehículo de guía autónoma o caminante. Ésta es la parte más visible del robot. En el caso de los manipuladores existen ciertas arquitecturas bien definidas, éstas son: cartesiana, figuras (11 y 12), cilíndrica, figura (13), esférica, figura (14) y antropomorfa, figura (15). Existe una más que no se muestra, pero se denomina SCARA.

Figura (11). Arquitectura mecánica prismática o cartesiana

Figura (12). Arquitectura mecánica prismática o cartesiana

1. INTRODUCCIÓN


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Figura (13). Arquitectura mecánica cilíndrica

Figura (14). Arquitectura mecánica esférica.

1. INTRODUCCIÓN


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Figura (15). Arquitectura mecánica antropomorfa

1.2.2.4. ACTUADORES Así como la estructura mecánica puede permitir a un robot tener un espacio de trabajo mayor que el de un trabajador humano, los actuadores le proporcionan la potencia suficiente para manejar piezas de volumen o peso considerable y, sobre todo, sin fatigarse aún al final de la jornada. Podemos definir entonces al actuador como el dispositivo generador de esfuerzos de velocidad variable que puede modificar y mantener la configuración de la estructura mecánica del robot. Las características ideales que debe tener un actuador para robot son:

• Una inercia pequeña que permita aumentar la rapidez de respuesta del robot, • Alta rigidez para evitar desplazamientos debidos a deformaciones causadas por la carga

manejada, y • Posibilidad de controlar la posición y su historia en el tiempo.

Los actuadores de los robots pueden clasificarse en lineales y rotativos de acuerdo al tipo de

movimiento que generan, utilizándose para animar la articulación prismática o rotacional, respectivamente. En función de la energía que emplean, los actuadores pueden ser:

a) Neumáticos, empleados en un 5% de los robots industriales, b) Eléctricos, empleados en un 25%, o c) Hidráulicos, empleados en un 70%.

1. INTRODUCCIÓN


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1.2.2.4a. ACTUADORES NEUMÁTICOS

El uso de componentes neumáticos en robótica se ha desarrollado gracias a sus ventajas: 1)

facilidad de instalación (es común en las fábricas encontrar tuberías de aire comprimido), 2) circuitos al alcance de diseñadores y del personal de mantenimiento, 3) rapidez cuando los esfuerzos son pequeños, 4) limpieza aún en caso de fugas, 5) confiabilidad de los componentes, etc.

Sus principales desventajas son: 1) sistemas de control de posición en lazo cerrado difíciles de

implementar, 2) costos de operación no despreciables (las fugas pueden resultar caras, pues al ser poco perceptibles pueden persistir en periodos largos), 3) la potencia de los elementos activos por unidad de masa es inferior a la de otros actuadores, por ejemplo hidráulicos, 4) es difícil pensar en ellos para robots del tipo de brazo articulado.

Sus características lo hacen competitivo en aplicaciones simples (robots de secuencia limitada,

carga y descarga, etc.) donde las cargas por manipular son pequeñas y ligeras. No es aconsejable su uso en puestos flexibles pues su sistema mecánico es muy limitado. 1.2.2.4b. ACTUADORES ELÉCTRICOS

En robótica son utilizados motores de corriente continua y, con mayor frecuencia, motores a

pasos. Entre las ventajas que proporciona el uso de motores eléctricos está: 1) la precisión de posicionamiento que es posible obtener, 2) la facilidad de comprensión debida a la enseñanza tan difundida a todos los niveles de su funcionamiento y la continuidad tecnológica en la cadena automática de producción.

En lo que respecta a sus desventajas se puede citar: 1) sensibilidad al ruido, 2) limitación en

potencia, 3) el costo elevado de los sistemas de control para motores de corriente continua, 4) peso considerable en relación a la potencia proporcionada.

Su uso es aconsejable en casos donde se requieren movimientos precisos servocontrolados.

Únicamente cuando se requiere potencia elevada estos actuadores no son recomendables, dejando su lugar a los actuadores hidráulicos. 1.2.2.4c. ACTUADORES HIDRÁULICOS

Sus ventajas son: 1) su potencia másica 10 veces mayor que la de un motor eléctrico, 2)

facilidad de controlar movimientos muy pequeños y lentos de manera continua. Del lado de las desventajas se tienen: 1) fugas inevitables, 2) sensibilidad alta de las servoválvulas al polvo, 3) necesidad de una planta generadora de la potencia hidráulica grande, 4) peligro de inflamabilidad del líquido hidráulico.

Las características de un robot hidráulico son su simplicidad mecánica, su fuerza y su alta

velocidad.

1. INTRODUCCIÓN


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1.2.3. SISTEMA DE DECISIÓN

El sistema de decisión es el cerebro del robot que tiene como objetivo controlar al sistema

mecánico, mediante la información del sistema sensorial (en caso de contar con uno). Una descripción gráfica del sistema de decisión se muestra en la figura siguiente:

Figura (16). Constitución del controlador del robot

El panel de control del robot consta de: • Una memoria, para guardar información que define posiciones (tales como ángulos y

longitudes asociadas con las articulaciones) de donde el brazo se moverá, además de otra información relacionada a la propia secuencia del sistema (por ejemplo, el programa).

memoria secuenciador Interfaz sensores externos

Amplificador de potencia

Fuente de poder

Unidad computacional

Interfaz equipo auxiliar

Interfaz de sensores

Interfaz entre secuenciador y

potencia

Entradas salidas

Controles de operador

1. INTRODUCCIÓN


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• Un secuenciador, que interpreta la información guardada en la memoria y que utiliza la información par a interactuar con otros componentes del controlador.

• Una unidad computacional, que proporciona los cálculos necesarios para ayudar al

secuenciador. • Una interfaz, para obtener la información sensorial (tales como posición de cada

articulación) hacia el secuenciador.

• Una interfaz, para transferir la información del secuenciador a la unidad de conversión de potencia, tal que los actuadores puedan eventualmente hacer que las articulaciones se muevan en la manera deseada.

• Una interfaz para el equipo auxiliar. El controlador del robot puede ser sincronizado con

otras unidades externas o dispositivos de control (por ejemplo, motores y válvulas activadas eléctricamente) y/o determinar el estado de los sensores, tales como contactos límite.

• Alguna clase de unidad de control para el usuario para grabar posiciones, definir

secuencias de operaciones y control del robot.

1.2.4. EQUIPO PERIFÉRICO No es posible hacer trabajar a un robot industrial de manera aislada. Para que la cadena

cinemática animada por los actuadores pueda interactuar con las piezas, objeto de la tarea a realizar, se requiere que esté equipada con una pinza o alguna herramienta. En este último caso es necesario entonces sujetar la pieza mediante algún accesorio especial. Para hacer llegar las piezas al puesto de trabajo o para retirar aquellas que han sido procesadas, se requerirá de ciertos equipos accesorios. Es posible identificar más que requieren de dispositivos periféricos, que forman parte del sistema de manufactura automatizado.

El éxito, medido en rentabilidad, de un puesto de trabajo robotizado, depende del sistema de

producción de su conjunto, que involucra una combinación óptima del robot con el equipo periférico requerido, entre los que podriamos tener:

• Maquinaria, • Equipo de alimentación y transporte de piezas, • Órganos terminales, y • Dispositivos de seguridad.

No se debe de perder de vista que el costo de la inversión necesaria para la implementación de

un puesto de trabajo robotizado, cuando éste es concebido en forma global como un sistema completo, puede alcanzar un orden de dos, tres o hasta diez veces el costo del robot de base utilizado. A continuación se hace una presentación de estos equipos periféricos, con un enfoque hacia las aplicaciones de robótica industrial que los concierne.

1. INTRODUCCIÓN


13

1.2.4.1. MAQUINARIA

Una de las aplicaciones más comunes de los robots industriales es la de servicio a la

maquinaria: carga y descarga de máquinas-herramientas, troqueladoras, inyectores, moldeadores, hornos, etc. Mediante la utilización de máquinas -herramientas de control numérico computarizadas (CNC) y la aplicación de actuadores (eléctricos, neumáticos o hidráulicos) para la activación de las diferentes partes móviles de las máquinas (chucks, cambio de cortadores, etc.) ha sido posible la robotización de puestos de maquinado de piezas.

El costo de una máquina CNC es muy elevado y su capacidad de trabajo muy grande. Para

una correcta rentabilidad de estos equipos se impone una reducción, al mínimo, de los tiempos de carga y descarga, lo cual justifica su asociación con un robot. Pero también será necesario una optimización del uso del robot para anular sus tiempos muertos, utilizándolo por ejemplo para la alimentación de las máquinas que se encuentran antes o después del puesto de maquinado en la línea de producción, o bien para dar servicio de cambio de cortadores gastados o accidentados y de lubricación. También se podría utilizar el robot para tareas de paletización de las piezas maquinadas.

En todo caso, la optimización del puesto de trabajo robotizado debe contemplar los parámetros

de la línea de producción: tolerancias, flujo de piezas brutas y terminadas, ubicación del puesto dentro de la fabricación, etc. 1.2.4.2. ALIMENTACIÓN Y TRANSPORTE

Al analizar el puesto de trabajo robotizado siempre aparece un conjunto de equipos y

dispositivos que surten las piezas y materiales que serán manufacturados en dichos puestos y que llevan las piezas procesadas a otra línea de producción o a un almacén. Estos equipos periféricos conciernen, básicamente, bandas transportadoras, líneas de rodillos deslizantes, transportadores aéreos, vehículos autoguiados, etc.

Un problema particular dentro de esta clase de equipos es el de la alimentación de los

componentes pequeños que figuran en el ensamble (circuitos impresos, por ejemplo), pues dada su talla, éstas tienden a atascarse en los alimentadores. Un operador humano podría resolver fácilmente este problema, pero considerando la cantidad de fallas posibles así como su localización especial, sería demasiado complicado programar al robot para resolver esta clase de contingencias. Normalmente usando redundancia en los alimentadores de evitan consecuencias graves cuando se atascan las piezas en algún alimentador.

Desde el punto de vista del fluj o de materiales y de piezas manufacturadas, los periféricos de

alimentación y transportación deben estar disponibles en los puestos de trabajo de manera que, estando dentro del espacio de trabajo del robot se minimicen los desplazamientos del brazo. Esta o bservación es válida también para la ubicación de las herramientas intercambiables que usa el robot.

1. INTRODUCCIÓN


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Los equipos de peri-robótica que efectúan el transporte de piezas deberán estar asociados a pequeños almacenes temporales locales, con lo cual se permi te disociar puesto de trabajo con flujos diferentes. 1.2.4.3. HERRAMENTAL

El principal objetivo de los robots industriales es interactuar con su entorno significativo, ya

sea manipulando objetos o también realizando sobre ellos parte del proceso de manufactura (ensamble, pulido, pintura, esmerilado, etc.) Para ello es necesario que su estructura mecánica (brazo y órgano terminal) cuenten con las herramientas adecuadas a la ejecución de todas esas tareas.

En general, las herramientas que equipan al robot industrial se originan por una transposición

directa de aquellas que usan los artesanos para el trabajo manual. Pero un análisis sistemático de la aplicación particular y de las variantes de las posibles soluciones podría originar herramientas concebidas expresamente para el robot. Esta metodología permite que las aplicaciones sean más productivas y rentables y, por otro lado, al necesitar un estudio más profundo del puesto de trabajo por parte del personal de la planta, redunda en una optimización del mismo.

Entre las principales herramientas que equipan los órganos terminales de los robots figuran:

órganos de prensión, pistolas de rociado de pintura, soldadoras (punteadoras, soldaduras continuas, etc.), taladros, esmeriles, cortadores (fresas, brocas, etc.), y herramientas neumáticas de ensamble (atornilladores). 1.2.4.3a. ÓRGANOS DE PRENSIÓN

Estas herramientas utilizan uno de los siguientes cuatro métodos para mantener inmóvil una

pieza cualquiera: 1) fricción, 2) restricción física, 3) atracción o 4) soporte. Los dos primeros consisten de mecanismos articulados operados por actuadores mecánicos que pueden estar servocontrolados.

Los órganos de prensión por fricción pueden ejercer una presión sobre la pieza, de manera que

se restrinjan sus seis grados de libertad. Para ello es necesario que el órgano de prensión verifique las siguientes propiedades:

1. Fuerza suficiente para compensar el peso del objeto y las fuerzas inducidas por las

aceleraciones máximas que el robot produce en su órgano terminal, para una fuerza de fricción dada.

2. Los “dedos” de esta pinza deberán estar recubiertos de material suave, que

aumenten el coeficiente de fricción y que no dañen los objetos por manipular.

3. El diseño mecánico debe ser tal que permita, al menos, dos puntos de contacto entre

los dedos de la pinza.

1. INTRODUCCIÓN


15

Los prensores por restricción mecánica son del tipo de la mano humana, es decir, provistos de “tentáculos” que rodean e inmovilizan la pieza por manipular. Otro tipo es el de piezas complementarias, es decir, que el prensor se acopla en forma al objeto para inmovilizarlo.

Entre los órganos de prensión por atracción o soporte se tienen las ventosas de vacío o las

pinzas magnéticas. Las primeras están bien adaptadas para manejar materiales lisos y frágiles como el vidrio, plástico, etc. Mientras que los segundos sirven para manejar objetos ferromagnéticos.

Las pinzas están constituidas por dedos (frecuentemente dos), con una geometría en función de

las piezas que se manipulan. El accionamiento puede ser neumático o hidráulico, ver figura (17). Entre las principales ventajas de las pinzas se pueden citar:

1. Pueden ser diseñadas para manipular objetos cuya temperatura sea muy alta, 2. Permiten las manipulaciones peligrosas como objetos cortantes, materiales radioactivos, y

otros. 3. Se adaptan a la implantación de sensores.

Figura (17). Órganos terminales tipo pinza

En las figuras (18) y (19) se pueden observar las ventosas neumáticas y los elementos expansores que son fabricados en materiales elásticos, cuyo accionamiento se lleva a cabo por medio de una bomba de vacío. Las principales ventajas de estos dispositivos radican en:

1. Sencillez de fabricación. 2. Bajo costo 3. Manipulación de objetos planos o casi palnos.

1. INTRODUCCIÓN


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Sus principales desventajas son: 1. No soportan altas temperaturas. 2. La vida útil es muy corta. 3. Su funcionamiento es ruidoso.

Figura (18). Órganos terminales tipo ventosa.

Los elementos expansores tienen una gran capacidad elástica que les permite ser inflados por

inyección de aire. Este inflado hace que la membrana del dispositivo de adhiera a la pieza manipulada. Esta técnica conviene utilizarla para la transferencia de piezas frágiles o ligeras de forma circular.

ventosas

pieza

1. INTRODUCCIÓN


17

Figura (19). Órganos terminales tipo expansor .

Los electroimanes (figura (20)) son dispositivos que presentan varias ventajas: 1. Construcción simple. 2. Bajo costo. 3. Prensión rápida. 4. Una fuerza de atracción más importante que las ventosas.

Pero sus principales inconvenientes son: 1. Utilización limitada a la manipulación de materiales susceptibles a la imantación. 2. Atracción de virutas, en el caso de piezas maquinadas. 3. Gran peso.

Expansor

Botellas manipuladas

Pieza manipulada

1. INTRODUCCIÓN


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Figura (20). Órganos terminales tipo electroimán.

1.3. CLASIFICACIÓN DE LOS ROBOTS Los robots se pueden agrupar en dos grandes grupos:

manipuladores Cadena abierta

paralelos

Robots

manipuladores

móviles

Cadena abierta o seriales

Paralelos, de cadena cerrada

Vehículos de guía autónoma

caminantes

Pieza manipulada

1. INTRODUCCIÓN


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Dentro de los robots manipuladores se tienen a los de cadena cinemática abierta o seriales y cuyas arquitecturas básicas son las esféricas (figura (14)), cilíndricas (figura (13)), cartesianas (figuras (11) y (12)), antropomorfas (figura (15)) y SCARA, aunque puede haber otras de diseño muy específico. Existen también los manipuladores paralelos consistentes en cadenas cinemáticas cerradas (todos los eslabones constitutivos bi narios y/o superiores a binarios) como el que se muestran a continuación, figura (21):

Figura (21). Ejemplo de robot paralelo

En el manipulador paralelo todas sus sub-cadenas cinemáticas actúan en conjunto para posicionar y/u orientar a su órgano terminal.

Órgano terminal

2. ELEMENTOS MATEMÁTICOS


20

2. ELEMENTOS MATEMÁTICOS 2.1. INTRODUCCIÓN En este capítulo se presentan algunos de los elementos matemáticos que utilizarán durante el curso de Robótica, por lo tanto es importante que el estudiante los analice con detenimiento antes de adentrarse en los temas posteriores. 2.2. DERIVADA DE VECTORES Sea x ∈ ℜn, además de ser función de la variable t.

n

nx

xx

x ℜ∈

⋅⋅⋅= 2

1

ec. (2.1)

Sea y ∈ ℜm y función de x ∈ ℜn.

m

m xy

xyxy

xy ℜ∈

⋅⋅⋅=

)(

)()(

)( 2

1

ec. (2.2)

=

),...,,(...

),...,,(),...,,(

)(

21

212

211

nm

n

n

xxxy

xxxyxxxy

xy ec. (2.3)

La derivada de y respecto de x es entonces:



21

mxn

n

mmm

n

xy

xy

xy

xy

xy

xy

xy

xy

xy

xy

ℜ∈

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∂∂

...

............

...

...

21

2

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

ec. (2.4a)

En forma simplificada la ecuación (2.4) anterior es:

( ) mxnxyJdxy

ℜ∈=∂

)( ec. (2.4b)

Esta matriz es denominada Jacobiano de la función y. En robótica la matriz jacobiano expresa cualidades muy importantes de un manipulador, por lo tanto, es muy importante tenerla muy presente. En el anexo B, al final de estos apuntes, se presenta un ejemplo descriptivo que hace uso de la matriz jacobiano para determinar las cualidade s de un manipulador P-R-R-R. Ahora, la derivada de y con respecto a la variable t es:

m

m

dtdy

dtdydt

dy

dtdy

ℜ∈

=...

2

1

ec. (2.5)

Desarrollando la derivada mediante la regla de la cadena se tiene (ec.(2.6a)):

m

n

n

mmm

n

n

n

n

dtdx

xy

dtdx

xy

dtdx

xy

dtdx

xy

dtdx

xy

dtdx

xy

dtdx

xy

dtdx

xy

dtdx

xy

dtdy

ℜ∈

∂∂

++∂∂

+∂∂

∂∂

++∂∂

+∂∂

∂∂

++∂∂

+∂∂

=

...

...

...

...

2

2

1

1

22

2

21

1

2

12

2

11

1

1

ec. (2.6a)



22

Se puede observar la participación de la matriz jacobiano de la manera siguiente (ec. (2.6b)):

m

n

n

mmm

n

dtdx

dtdxdtdx

xy

xy

xy

xy

xy

xy

xy

xy

xy

dtdy ℜ∈

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=...

...

............

...

...

2

1

21

2

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

ec. (2.6b)

EJEMPLO 2.1.

Determinar la velocidad lineal del órgano terminal del manipulador del robot mostrado en la fig. (2.1), si se sabe que cada articulación evoluciona con una velocidad angular de dθ 1/dt y dθ 2/dt. Solución: La posición del órgano terminal OT en función de cada una de las variables articulares está dada por la ecuación (E2.1.1) siguiente.

2

21211

21211

)sen()sen()cos()cos(

ℜ∈

++++

=

=

θθθθθθ

llll

otot

OTy

x ec. (E2.1.1)

El vector de variables conocidas, Θ(t), es:

2

2

1

)()(

)( ℜ∈

=Θ

tt

tθθ

ec. (E2.1.2)

Por lo tanto, la velocidad del órgano terminal está dada por la ecuación (E2.1.3) siguiente:

∂

∂

∂

∂∂∂

∂∂

=Θ

Θ∂∂

=

dtddt

d

otot

otot

dtdOT

dtdOT

yy

xx

2

1

21

21

θ

θ

θθ

θθ ec. (E2.1.3)

Donde ∂otx/∂θ1, ∂otx/∂θ 2, ∂oty/∂θ1, ∂oty/∂θ2, son:

)sen()sen( 212111

θθθθ

+−−=∂∂

llotx ec. (E2.1.3a)



23

)sen( 2122

θθθ

+−=∂∂

lotx ec. (E2.1.3.b)

)cos()cos( 212111

θθθθ

++=∂

∂ll

ot y ec. (E2.1.3.c)

)cos( 2122

θθθ

+=∂

∂l

ot y ec. (E2.1.3.d)

Fig. (2.1). Manipulador plano R-R de dos grados de libertad.

Así, la velocidad del órgano terminal está dada (sustituyendo ecs. (E.2.1.3a,b,c,d)) por:

( )

( )

++++

+−++−=

dt

dl

dt

dll

dt

dl

dt

dll

dt

dOT2

)cos()cos()cos(

2)sen()sen()sen(

2121

21211

212

1

21211

θθθ

θθθθ

θθθ

θθθθ

ec. (E2.1.3)

Que representa la solución al problema.

θ1(t)

θ2(t)

( )( )21211

21211

θθθ

θθθ

++=

++=

slslot

clclot

y

x

l1

l2

x

y



24

2.3. DERIVADA DE MATRICES Sea Q ∈ ℜm x n una matriz que es función de x ∈ℜn.

mxn

mnmm

n

n

xqxqxq

xqxqxqxqxqxq

xQ ℜ∈

=

)(...)()(............

)(...)()()(...)()(

)(

21

22221

11211

ec. (2.7)

La derivada de Q con respecto a t está dada por ec. (2.8), mediante la regla de la cadena.

mxnn

n dtdx

xQ

dtdx

xQ

dtdx

xQ

dtdQ

ℜ∈∂∂

++∂∂

+∂∂

= ...2

2

1

1

ec (2.8a)

mxnn

i

i

i dtdx

xQ

dTdQ

ℜ∈∂∂

= ∑=1

ec. (2.8b)

Donde cada matriz ∂Q/∂xi m x n está dada de la siguiente manera (ec. (2.9))

mxn

iii

iii

iii

i

xq

xq

xq

xq

xq

xq

xq

xq

xq

xQ

ℜ∈

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∂∂

111111

111111

111111

...

............

...

...

ec. (2.9)

EJEMPLO 2.2. Para el mismo manipulador mostrado en la figura (2.1), encontrar la aceleración del órgano terminal, si se conocen las aceleraciones angulares de cada una de las articulaciones, d2θ1/dt2 y d2θ 2/dt2.

2ℜ∈Θ

Θ∂∂

=dtdOT

dtdOT

ec. (E.2.2.1)



25

Derivando con respecto a la variable t, se tiene:

22

2

2

2

ℜ∈Θ

Θ∂∂

+Θ

Θ∂∂

=dtd

dt

OTd

dtdOT

dtOTd

ec. (E2.2.1)

Donde la derivada con respecto al tiempo del jacobiano ∂OT/∂Θ está dada por:

dtd

OT

dtd

OT

dt

OTd

2

2

1

1

θθ

θθ ∂

Θ∂∂

∂+

∂

Θ∂∂

∂=

Θ∂∂

ec. (E2.2.2)

Las derivadas parciales del jacobiano con respecto a cada una de las variables articulares están descritas en las ecuaciones (E2.2.3) y (E2.2.4) siguientes:

+−+−−+−+−−

=∂

Θ∂∂

∂

)sen()sen()sen()cos()cos()cos(

21221211

21221211

1 θθθθθθθθθθ

θ llllll

OT

ec. (E2.2.3)

+−+−+−+−

=∂

Θ∂∂

∂

)sen()sen()cos()cos(

212212

212212

2 θθθθθθθθ

θ llll

OT

ec. (E2.2.4)

Sustituyendo las ecs.(E2.2.3) y (E2.2.4)en la ecuación (E2.2.2) y separando sus dos componentes x e y de la aceleración, se obtiene el resultado buscado. 2.4. MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON El método de Newton-Raphson es uno de los métodos numéricos más conocidos y poderosos para la solución de ecuaciones no lineales, como es el caso en los manipuladores, en donde se presenta un sistema de p ecuaciones no lineales con q incógnitas que representan las raices a encontrar que satisfacen dicho sistema, tal que F(x)=0. Supóngase que la función F es continuamente diferenciable dos veces en el intervalo [a b]; o sea F ∈ C2[a, b]. Sea x* ∈ [a, b] una aproximación a xsol, tal que F’(x*) ≠ 0 y |x*-xsol| es “pequeño”.



26

La serie de Taylor F(x) alrededor de x* es:

...!2

)()())(()()(

2

+−′′+−′+=

∗∗∗∗∗ xx

xFxxxFxFxF ec. (2.10)

Si x=xsol, entonces:

...!2

)()())(()(0

2

+−′′+−′+=

∗∗∗∗∗ xx

xFxxxFxF sol ec. (2.11)

Si (xsol-x*) es muy pequeño, pero aún no despreciable, entonces (xsol-x*)n , para n≥2 es pequeño

y puede ser considerado despreciable, por lo tanto:

))(()(0 ∗∗∗ −+≈ xxxFxF sol ec. (2.12) Despejando xsol, se tiene:

))(()( ∗∗∗ −′=− xxxFxF sol ec. (2.13a)

( ) ( ) ))(()()()(11 ∗∗−∗∗−∗ −′′=′− xxxFxFxFxF sol ec. (2.13b)

( ) )()()( 33

1 ∗∗−∗ −=′− xxIxFxF solx ec. (2.13c)

Finalmente:

( ) )()(1 ∗−∗∗ ′−≅ xFxFxx sol ec. (2.13d)

Que es una mejor aproximación que x*. Si se le da carácter de búsqueda de solución iterativa, es necesario introducir un valor

aproximado tal que el proceso se dirija a la solución (si es convergente). Entonces es necesario emplear la ecuación (2.13d) n veces hasta que la solución real está muy próxima, esto es:

( ) )()( 11

11 −−

−− ′−≅ nnnn xFxFxx ec. (2.14)

Si,

Ε<−1nF ec. (2.15)

Donde E es una aproximación. Entonces xn se dice que es la solución.

A continuación se presenta un diagrama del pr oceso del método numérico de Newton-

Raphson(figura (2.2)).



27

Figura (2.2). Diagrama de flujo del proceso de Newton-Raphson. EJEMPLO 2.3. Para el manipulador mostrado en la figura (2.1) encontrar los valores de las variables articulares θ 1 y θ 2 que satisfacen los datos operacionales de Aotx=1500 u y Aoty=100 u, si l1=1000 u y l2=1000 u. SOLUCIÓN En el manipulador mostrado en la figura (2.1) se muestra la posición de la herramienta en función de las variables articulares, Θ, esto es:

( )( )21211

21211

θθθ

θθθ

++=

++=

slslot

clclot

y

x ec. (E2.3.1)

Estas ecuaciones permiten definir la función F(Θ) de la siguiente manera

( )( )21211212

21211211

)(

)(

θθθθθ

θθθθθ

+++−=+

+++−=+

slslotf

clclotf

y

x ec. (E2.3.2a)

inicio

( ) )()( 11

11 −−

−− ′−≅ nnnn xFxFxx

n=1

Ε<− )( 1nxF

n=n+1

xn es solución

fin

si

no



28

++

=+)()(

)(212

21121 θθ

θθθθ

ff

F ec. (E2.3.2b)

Donde:

2

2

1 ℜ∈

=Θ

θθ

ec. (E2.3.3)

Por lo tanto:

2)( ℜ∈ΘF ec. (E2.3.2c) La derivada de F’(Θ) es entonces:

( ) 22

2

2

1

2

2

1

1

1

)( x

ff

ffF

F ℜ∈

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=Θ∂Θ∂

=Θ′

θθ

θθ ec. (E2.3.4)

Donde sus elementos están descritos por las siguientes ecuaciones (E2.3.4a), (E2.3.4b), (E2.3.4c), (E2.3.4d):

)sen()sen( 212111

1 θθθθ

+−−=∂∂

llf

ec. (E2.3.4a)

)sen( 2122

1 θθθ

+−=∂∂

lf

ec. (E2.3.4b)

)cos()cos( 212111

2 θθθθ

++=∂∂

llf

ec. (E2.3.4c)

)cos( 2122

2 θθθ

+=∂∂

lf

ec. (E2.3.4d)

Armando la ecuación iterativa de Newton-Raphson, según la ecuación (2.14), se tiene:

( ) )()( 11

11 −−

−− ΘΘ′−Θ≅Θ nnnn FF ec. (E2.3.4a)



29

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

−

≅

−

− 2

1

1

2

2

1

2

2

1

1

1

12

1

2

1

ff

ff

ff

nn

θθ

θθθθ

θθ

ec. (E2.3.4b)

Donde la inversa de la matriz jacobiano de la ecuación (E2.3.4b) esta dada por la ec. (E2.3.5)

2

1

1

2

2

2

1

1

1

1

1

2

2

1

2

2

1

2

2

1

2

2

1

1

1

θθθθ

θθ

θθ

θθ

θθ

∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

−

∂∂

−∂∂

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ −

ffff

ff

ff

ff

ff

ec. (E2.3.5)

Los resultados de todos los elementos se resumen en la tabla (2.1) siguiente:

n

∂f1/∂θ1

∂f1/∂θ2

∂f2/∂θ1

∂f2/∂θ2

f1

f2

θ1

θ2

f1 <ε1 ε1=0.2

f2 <ε2 ε2=0.8

1 24.68143 719.3398 1413.9982 694.6584 -86.0018 -124.6814 44.0299 270.1185 86.0018<ε1? no

124.6814<ε1? no

2 22.50454 717.5381 1415.49637 696.5191 -84.5036 -122.5001 44.0589 270.2353 84.5036<ε1? no

122.5001<ε1? no

3 20.36446 715.7624 1416.9887 698.3438 -83.0312 -120.3644 44.0871 270.3505 83.0312<ε1? no

120.3644<ε1? no

… … … … … … … … ... ...

n-1 … … … … … … 45.0606 277.4500 ... … n -99.2396 608.6146 1499.82 793.4659 -0.1755 -0.76037 45.0609 277.4504 0.1744<ε1?

si 0.76037<ε2?

si

Tabla (2.1). Valores obtenidos durante el proceso de Newton-Raphson



30

Por lo tanto la solución (muy próxima a la exacta) es:

• θ1=45.0609° • θ2=277.4504°

Como referencia se puede decir que la solución, utilizando un método cerrado, tal como el

enfoque geométrico para determinar el valor de las variables articulares, es:

• θ1=45.0792° • θ2=277.4696°

Método de Newton -Raphson

Método alternativo CERRADO

3. DESCRIPCIÓN ESPACIAL


31

3. DESCRIPCIÓN ESPACIAL 3.1. INTRODUCCIÓN En este capítulo el estudiante podrá describir la posición de un punto y la orientación de un cuerpo cuando se ha aplicado una rotación alrededor de un eje de giro con una magnitud angular dada. Se presentan varias formulaciones de las rotaciones, éstas son a) la descripción matricial, b) la formulación de Gibbs y 3) el Tornillo de Rodrigues. También el estudiante tendrá la capacidad de efectuar cambios de descripción entre bases referenciales empleando tr ansformaciones de traslación y rotación, además de transformaciones homogéneas. 3.2. TERNA ORTONORMAL DERECHA El espacio físico ℜ3 de dimensión 3 es generado por conjuntos de tres elementos o ternas. Las bases generadoras ortogonales derechas con elementos unitarios son bastante útiles para describir a dicho espacio. Sus características básicas son las siguientes:

• Sus elementos son unitarios, esto es: Sea {A} una base generadora de ℜ3.

{ } { }

1ˆˆˆ

ˆˆ,ˆ ,

===

=

AAA

AAA

zyx

zyxA ec. (3.1)

• Sus elementos presentan 90° entre cada uno de ellos, por lo tanto el producto interno de

cada elemento es igual a cero, según la definición de dicha operación (sea (• , •) el producto interno, entonces((u,v))=||u|| ||v|| cos θ uv.

{ } { }( )( )( ) 0ˆ,ˆ

0ˆ,ˆ

0ˆ,ˆ

ˆˆ,ˆ ,

=

==

=

AA

AA

AA

AAA

zy

zxyx

zyxA

ec. (3.2)



32

• Además, la operación vectorial entre dos de ellos produce al tercero, esto es:

( ) }{ˆ,ˆ,ˆ;ˆˆˆ Azyxzyx AAAAAA ∈∀=⊗ ec. (3.3a)

( ) }{ˆ,ˆ,ˆ;ˆˆˆ Azyxxzy AAAAAA ∈∀=⊗ ec. (3.3b)

( ) }{ˆ,ˆ,ˆ;ˆˆˆ Azyxyxz AAAAAA ∈∀=⊗ ec. (3.3c)

• Por último, el número determinante del arreglo matricial de los tres elementos debe ser +1, esto es:

( ) 1ˆˆˆ +=aAA zyx ec. (3.4)

Si dicho determinante es –1 se dice que es una terna ortonormal izquierda. 3.3. DESCRIPCIÓN DE UNA POSICIÓN Sea un vector P ∈ ℜ3 descrito en {A} como lo indica la figura (3.1) y sea (• , •) el producto interno entre dos vectores • y • .

Figura (3.1). Descripción de una posición La descripción de la posición p descrita por el vector AP es entonces:

( )( ) 3

ˆ,ˆ,ˆ,

ℜ∈

=

AA

AA

AA

A

zP

yPxP

P ec. (3.4)

{A}

AP

Ax

Az

Ay



33

3.4. DESCRIPCIÓN DE UNA ORIENTACIÓN Sea {B} una terna ortonormal derecha generadora del espacio físico ℜ3, al igual que {A}, pero orientada de manera diferente como se muestra en la figura (3.2) siguiente.

Figura (3.2). Descripción de una orientación La descripción de orientación entre las bases {A} y {B} se obtiene de la siguiente manera.

( )( )( )

3

ˆ,ˆˆ,ˆ

ˆ,ˆ

ˆ ℜ∈

=

AB

AB

AB

BA

zx

yxxx

x ec. (3.5a)

( )( )( )

3

ˆ,ˆˆ,ˆ

ˆ,ˆ

ˆ ℜ∈

=

AB

AB

AB

BA

zy

yyxy

y ec. (3.5b)

( )( )( )

3

ˆ,ˆˆ,ˆ

ˆ,ˆ

ˆ ℜ∈

=

AB

AB

AB

BA

zz

yzxz

z ec. (3.5c)

Arreglando los vectores anteriores en una matriz que se denominará RB

A se tiene la descripción de la orientación de {B} respecto de {A}.

{A}

{B}



34

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

3

ˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆ

ˆ,ˆˆ,ˆ)ˆ,ˆ(ℜ∈

=

ABABAB

ABABAB

ABABABAB

zzzyzx

yzyyyxxzxyxx

R ec. (3.6)

3.5. ORIENTACIONES CANÓNICAS Existen tres orientaciones particulares que puede guardar un sistema {B} con respecto a un sistema {A}. Estas Se denominan canónicas y son las siguientes.

• Orientación alrededor del eje x con un desplazamiento angular α .

( ) 3

cossen0sencos0001

,ˆ ℜ∈

−=

αααααxR A

B ec. (3.7a)

• Orientación alrededor del eje y con un desplazamiento angular β .

( ) 3

cos0sen

010sen0cos

,ˆ ℜ∈

−

=

ββ

βββyR A

B ec. (3.7b)

• Orientación alrededor del eje z con un desplazamiento angular φ.

( ) 3

100

0cossen0sencos

,ˆ ℜ∈

−= φφ

φφφzR A

B ec. (3.7c)

Que se obtienen aplicando la ecuación general de la descripción de orientación. 3.6. ROTACIÓN

Por definición, las rotaciones son transformaciones lineales de vectores que dejan invariantes su norma y el ángulo plano entre dos de ellos. Además, una terna derecha se transforma, por medio de una rotación, en una terna derecha.



35

Esto es:

3

33

,

),(

:),(

ℜ∈

ℜ∈••

••=

uv

Rot

dondeuRotv

x ec. (3.8)

En la transformación se produce un vector que tiene la misma magnitud que su original, esto

es, se tienen las siguientes implicaciones:

uuvv

ouv

ouv

TT =

=

=

,

,22

ec. (3.9)

Sustituyendo la ecuación (3.8) en la última igualdad de la ecuación (3.9), y efectuando

operaciones.

( ) ( ) uuuRotuRot TT =•••• ),(),( ec. (3.10)

0),(),( =−•••• uuuRotRotu TTT ec. (3.11)

( ) 0),(),( 33 =−•••• uIRotRotu xTT ec. (3.12)

0),(),( 33 =−•••• xT IRotRot ec. (3.13)

33),(),( xT IRotRot =•••• ec. (3.14)

1

331 ),(),(),(),( −− ••=•••••• RotIRotRotRot x

T ec. (3.15)

Se obtiene:

1),(),( −••=•• RotRot T ec. (3.16)

Que es la condición necesaria y suficiente que debe poseer una rotación.

3.6.1. FORMULACIÓN DE GIBBS DE LA ROTACIÓN

En una rotación existen dos parámetros importantes, estos son el eje de giro y la magnitud de desplazami ento angular. Estos dos parámetros llenan la parte hueca de la notación empleada en el operador de rotación Rot (•,•), esto es:



36

( )

)()(ˆ

:),ˆ(,

3

33

girodemagnitudgirodeejeelesn

dondenRotRot x

ℜ∈ℜ∈

ℜ∈=••

φ

φ

ec. (3.16)

Gráficamente se tendría el sistema mostrado en la figura (3.3) siguiente:

Figura (3.3). Rotación alrededor de un eje de giro, e , con una magnitud de φ

Según se observa en la figura (3.3) se tiene la siguiente descripción de los vectores involucrados en el movimiento de rotación.

UOOOUOu ''+== ec. (3.18)

VOOOVOv ''+== ec. (3.19)

Ax

Ay

Az

e

u

v

φ

vu

donde

=

:

O

O’

U

V



37

ueeOO Tˆˆ'= ec. (3.20)

( )ueeI

ueeuOOuUOT

x

T

ˆˆ

ˆˆ''

33 −=

−=−= ec. (3.21)

Figura (3.4). Otra perspectiva de los vectores involucrados en la transformación Según se observa en la figura (3.4), el vector comprendido entre los puntos 0’ y V puede ser obtenido por una combinación lineal de los vectores comprendidos entre los puntos O’ y U, y 0’ y W.

WOUOVO 'sen'cos' φφ += ec. (3.22) Pero se desconoce al vector comprendido entre los puntos O’ y W, sin embargo este puede ser encontrado de la siguiente manera.

( )ueeIeWOeWO Tx ˆˆˆ'ˆ' 33 −⊗=⊗= ec. (3.23)

Pero,

( ) 0ˆˆˆ =⊗ ueee T ec. (3.24) Por ser vectores paralelos, por lo tanto:

ueWO ⊗= ˆ' ec. (3.25)

U

V

W

O’

φ



38

Sustituyendo los resultados obtenidos en la ecuación (3.19), se obtiene:

( ) ( ){ }ueueeIueev Tx

T ⊗+−+= ˆsenˆˆcosˆˆ 33 φφ ec. (3.26a)

Factorizando al vector u, se obtiene lo siguiente.

( ) ( ){ }ueeeIeev Tx

T ⊗+−+= ˆsenˆˆcosˆˆ 33 φφ ec. (3.26b)

Como u es transformado por un operador de rotación Rot(• , •) para obtener a v , de igual magnitud, entonces se llega a la siguiente conclusión.

( ) ( ){ }⊗+−+=•• eeeIeeRot Tx

T ˆsenˆˆcosˆˆ),( 33 φφ ec. (3.27)

Donde,

33)ˆ(ˆ xeEe ℜ∈=⊗ ec. (3.28) Es una matriz antisimétrica con argumento del vector unitario e , esto es:

−

−−

==⊗

0ˆˆˆ0ˆ

ˆˆ0)ˆ(ˆ

xy

xz

yz

ee

eeee

eEe ec. (3.29)

Por lo tanto, la Formulación de Gibbs de la Rotación está dada por la ecuación (3.30) siguiente.

( ) ( ){ })ˆ(senˆˆcosˆˆ),ˆ( 33 eEeeIeeeRot T

xT φφφ +−+= ec. (3.30)

3.6.2. ROTACIONES CANÓNICAS Si el eje de giro de la rotación coincide con los elementos de la base, entonces se está hablando de rotaciones canónicas que se presentan a continuación.

• Eje de giro coincidente con x un ángulo α .

( ) 3

cossen0

sencos0001

,ˆ ℜ∈

−=

αα

αααxRot ec. (3.31)



39

• Eje de giro coincidente con y un ángulo β.

( ) 3

cos0sen

010sen0cos

,ˆ ℜ∈

−

=

ββ

βββyRot ec. (3.32)

• Eje de giro coincidente con z un ángulo φ.

( ) 3

100

0cossen0sencos

,ˆ ℜ∈

−= φφ

φφφzRot ec. (3.33)

3.6.3. TORNILLO DE RODRIGUES La formulación de Gibbs define la transformación de rotación en función de un eje de giro, e , y un ángulo de giro,φ; dicha formulación es muy útil en el caso de conocer esos dos parámetros, sin embargo, si no se conocen, pero si tres puntos de un cuerpo rígido que sufrió un giro, es posible encontrar los parámetros del giro dadas las posiciones iniciales y finales del cuerpo. Dicha búsqueda se basa en el método del tornillo de Rodrigues que a continu ación se expone. El método de Rodrigues fue desarrollado en 1840 y usado por él mismo para resolver varios problemas que tenían que ver con el resultado de una serie de desplazamientos lineales y angulares. La fórmula se basa en tomar un punto P1 y considerar su desplazamiento a la posición P2. Se considera su desplazamiento como uno en el cual P1 primero rota alrededor del eje del tornillo a la posición P2

r y se traslada paralelo a e de P2r a la posición P2.

Se deduce, entonces, que P1 y P2

r caen en el plano normal al eje del tornillo. Si se toma a Sp

como el punto donde e corta dicho plano, además se permite que Pm sea el punto donde la perpendicular bisectora de la cuerda P1P2

r corta dicha cuerda, y que los vectores r1 y r2 sean los respectivos vectores de posición de los puntos P1 y P2

r relativos a Sp (ver figura (3.5)).



40

Figura (3.5). Desplazamiento del punto P1 . De la figura (3.5) se tiene que:

12

121

2 rrrr

SPPP

tanpm

m

+−

==

φ

ec. (3.34)

Donde φ es el ángulo de rotación del desplazamiento alrededor del eje del tornillo. Si se introduce el vector unitario e a lo largo del eje del tornillo (con su sentido positivo definido de acuerdo con la regla de la mano derecha relativo al ángulo de rotación φ), se puede escribir la expresión vectorial siguiente.

( )1212 ˆ2

rretanrr +⊗

=− φ ec.(3.35)

Si se considera el origen de coordenadas localizado en cualquier parte sobre el eje de giro, por ejemplo S0 entonces los vectores de posición de P1 y P2

r son R1 y R2, como se muestra en la figura (3.6) siguiente.

P1

P2r

r1

r2

φ

φ /2

90°

Trayectoria del punto P

1

Sp



41

Figura (3.6). Rotación de R1 a R2. De acuerdo con la figura (3.6) se tiene:

( )eSSRr P ˆ011 −= ec. (3.36)

y,

( )eSSRr P ˆ022 −= ec. (3.37) Que sustituyéndose en la ec. (3.35) se obtiene:

( )1212 ˆ2

RRetanRR +⊗

=− φ

ec. (3.38)

Que es la fórmula de Rodrigues para un desplazamiento esférico alrededor de un eje que pasa por el origen c oordenado. Si el origen coordenado, O, no coincide con el eje del tornillo, se toma a S0 como el vector de posición desde O a S0, y P1 y P2

r respectivamente como los vectores de posición de los puntos P1 a P2r

desde O.

S 0

Sp

R1

R2

r1

r2



42

Se tiene entonces,

011 SPR −= ec. (3.39)

022 SPR r −= ec. (3.40)

Que, cuando se sustituyen en la ecuación (3.38), se obtiene lo siguiente:

( )01212 2ˆ2

SPPetanPP rr −+⊗

=− φ

ec. (3.41)

Que representa la Fórmula de Rodrigues para el desplazamiento esférico medido relativo a cualquier origen O arbitrario. Para el desplazamiento espacial general se debe adicionar la traslación, d, que lleva P2

r a la posición P2. Así, sustituyendo:

edPP r ˆ22 −= ec. (3.42) en la ecuación (3.41) anterior resulta en:

( ) edSPPetanPP ˆ2ˆ2 01212 +−+⊗

=−

φ ec. (3.43)

Que es la formula del Tornillo de Rodrigues para el desplazamiento general tipo tornillo. La ecuación (3.43) anterior puede ser usada para determinar los parámetros del tornillo de la manera siguiente: Supóngase un cuerpo E en términos de las posiciones de tres puntos no colineales, probablemente, P, Q y R. Desarróllese dos veces la ecuación (3.43): una para el punto P y otra para el punto Q. Sustrayendo la ecuación Q de la de P se obtiene:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]11221122 ˆ2

QPQPetanQPQP −+−⊗

=−−−

φ ec. (3.44)

Formando el producto cruz con ( ) ( )[ ]1122 QRQR −−− se obtiene:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]{ }( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]{ }11221122

11221122

,ˆ

2 QPQPQRQRQPQPQRQR

etan−+−−−−−−−⊗−−−

=

φ

ec. (3.45)



43

Para obtener la ecuación (3.45) anterior se ha hecho uso de que:

( ) ( )[ ] eQRQR ˆ1122 ⊥−−− Lo cual es obvio si se sustituye R por P en la ecuación (3.44). Si se opera la ecuación (3.43) con ⊗e y también se define a 0),ˆ( 0 =Se , se tiene, para la normal, S0n, al tornillo desde el origen:

+−

−

⊗++= ePPetan

PPePPS n ˆ))(,ˆ(

2

ˆ 1212

2121

0 φ ec. (3.46)

Finalmente, operando a la ecuación (3.43) con ),ˆ( •e se obtiene:

))(,ˆ( 12 PPed −= ec. (3.47) De la ecuación (3.45) se obtiene a φ y a e ; de la ecuación (3.46) se obtiene a S 0; de la ecuación (3.47) se obtiene a d. De aquí, el tornillo queda totalmente determinado a partir de tres puntos no colineales del cuerpo rígido E. 3.7. DESCRIPCIÓN ENTRE REFERENCIAS La descripción entre referencias indica simplemente el estado que guarda un sistema de referencia {B}, cualquiera, con respec to a un {A}, cualquiera. La descripción debe contemplar la información de traslación y orientación de {B}, relativo, con respecto de {A}, absoluto. A continuación se indica la manera de expresar la descripción entre referencias.

{ } { }BAA

BA ORB ;= ec. (3.48)

Donde,

}){}{(

3

AderespectoBdeorigenelindica

OBA ℜ∈

3.8. CAMBIO DE DESCRIPCIÓN En la figura (3.7) siguiente se tiene la descripción de posición de un punto P medido en el conjunto {B}, ¿Cuál será la posición del mismo punto pero medido en el conjunto {A}? Para contestar esta pregunta se presenta el siguiente análisis.



44

Figura (3.7). Cambio de descripción de la posición P entre {B} y {A} Figura (3.7). Cambio de descripción de una posición P en {B} hacia {A}

El cambio de descripción se obtiene mediante una suma vectorial de la siguiente manera:

PROP BABB

AA += ec. (3.49) Esta ecuación contempla una transformación de {B} hacia {A} mediante la información de traslación (AOB) y la orientación (RB

A). 3.9. TRANSFORMACIÓN HOMOGÉNEA En el punto anterior se indicó que el cambio de descripción se efectuaba tomando en cuenta la información de orientación y traslación lineal de un sistema relativo, {B}, respecto de un absoluto, {A}, mediante la aplicación de la ecuación (3.49) que contempla la suma de un vector, que indica el origen del sistema relativo, con otro vector resultante de la multiplicación de una matriz de orientación por el vector a transformar. La transformación puede hacerse de esa manera o mediante un elemento de transformación, como lo indica la figura (3.8) siguiente.

{A} {B}

BP AP

AOB

RBA→conocido



45

Fig. (3.8). Cambio de descripción de la P desde {B} hasta {A} mediante

transformación 3x3 y mediante transformación homogénea. La transformación de P, descrita en {B}, hacia {A}, mediante la transformación homogénea es de la siguiente manera:

4ℜ∈= hBA

BhA PTP ec. (3.50a)

Donde,

ℜ∈ℜ∈∀ℜ∈

=

ℜ∈

=

1;,;1

1

34

4

PPP

P

PP

BAB

hB

A

hA

ec. (3.51)

y,

44

10xB

AABA

B

ORT ℜ∈

= ec. (3.52)

BP

AP

{A}

{B}

AOB , RBA

TBA



46

Por lo tanto, el resultado de efectuar operaciones en ec. (3.50) es:

=

111P

OORP B

BAA

BA

ec. (3.50b)

11 =

+= PROP BABB

AA

ec. (3.53)

Que es el mismo resultado que ec. (3.49). La transformación homogénea presenta ventajas porque únicamente presenta un operador de transformación y esto hace más fácil la programación. Sin embargo, su desventaja radica en mayor número de operaciones debido al vector renglón 0 de su elemento t22 y al escalar 1 del elemento t23 . 3.10. TRANSFORMACIONES COMPUESTAS Las transformaciones compuestas son cambios de descripción entre varias bases generadoras. Supóngase que se tienen las siguientes descripciones entre referencias:

{ }{ }{ }IV

CCIV

C

CBB

CB

BAA

BA

ORIV

ORC

ORB

;}{

;}{

;}{

=

=

=

ec. (3.54)

Además, se conoce la descripción de una posición P en la base {IV}, ¿cuál sería la descripción del mismo punto, P, en {A}? La solución mediante transformación 3x3 es la siguiente:

PROP

PROP

PROP

BABB

AA

CBCC

BB

IVCIVIV

Cc

+=

+=

+=

ec. (3.55)

Por lo tanto,

( ) PRROROPROROP CBC

ABC

BABB

ACBCC

BABB

AA ++=++= ec. (3.56)

( )PRORROROPRROROP IVCIVIV

CBC

ABC

BABB

ACBC

ABC

BABB

AA +++=++= ec. (3.57)

PRRRORROROP IVCIV

BC

ABIV

CBC

ABC

BABB

AA +++= ec. (3.58)



47

Que representa el resultado. La solución mediante transformación homogénea sería la siguiente.

hBA

BhA

hCB

ChB

hIVC

IVhC

PTP

PTP

PTP

=

=

=

ec. (3.59)

El resultado sería el siguiente.

hIVC

IVB

CA

BhCB

CA

BhBA

BhA PTTTPTTPTP === ec. (3.60)

Resultado probablemente más compacto.

4. MODELADO


48

4. MODELADO 4.1. INTRODUCCIÓN En este capítulo, el alumno será capaz de desarrollar el modelado de un manipulador de robot en sus dos posibles enfoques: a) modelado en espacio operacional y b) modelado en espacio articular. El primer enfoque tiene que ver con encontrar, a partir de las características del eslabonamiento del manipulador, una función del tipo siguiente:

nFX ℜ∈Θ= )( ec. (4.1) Donde X representa el espacio operacional del manipulador, es decir, condiciones de posicionamiento y orientación de la herramienta de trabajo, posición de obstáculos presentes que debe sortear el manipulador, etc., por lo tanto, n serían los elementos independientes de X. Por otro lado, Θ representan las entradas o datos con que se alimenta la ecuación (4.1); específicamente, Θ representa el vector de variables articulares del manipulador o espacio articular.

El segundo enfoque contempla una modelación del tipo:

( ) mXG ℜ∈=Θ ec. (4.2) Donde el vector del espacio operacional X es la entrada para la ecuación (4.2) y el estado que guardan las articulaciones, definido por el vector articular Θ, es encontrado como una consecuencia. Cada uno de esos enfoques toma una modelación específica que se denominarán como:

• Modelado directo, para el primer enfoque. • Modelado inverso, para el segundo enfoque.

4.2. MODELADO DIRECTO 4.2.1. DESCRIPCIÓN DE ESLABONAMIENTO DE DENAVIT-HARTEMBERG

El sistema mecánico del manipulador está compuesto por una cadena que involucra eslabones (que se considerarán rígidos) y articulaciones, dispuestos de manera específica para darle la arquitectura deseada al manipulador, según la tarea a realizar.

El objetivo principal de este eslabonamiento es, simplemente, transportar a su órgano terminal

al estado específico para desarrollar la operación, por lo tanto, conociendo el estado que guarda cada eslabón y su relación con su eslabón vecino se puede establecer el estado de todo el eslabonamiento.

4. MODELADO


49

4.2.1.1. PARÁMETROS DEL ESLABÓN [i-1]

Un eslabón cualquiera [i-1] presenta dos parámetros básicos:

• Longitud de eslabón 1−ia , y

• Torsión de eslabón 1−iα .

La definición de cada uno de los parámetros es la siguiente, de acuerdo con la figura (4.1).

DEFINICIÓN: 1−ia es un vector cuya magnitud es la distancia más corta entre las dos

fronteras del eslabón [i -1]. Estas fronteras son, precisamente, los ejes [i-1] e [i]. Por lo tanto, la magnitud de dicho parámetro es la distancia normal a ambos ejes.

DEFINICIÓN: 1−iα es un vector angular, con la misma dirección que 1−ia , tal que su

magnitud es el ángulo empleado en girar al vector que define al eje [i-1] hasta la imagen del vector que define al eje [i] pero que pasa en el punto donde 1−ia corta al eje [i-1].

Figura (4.1). Parámetros del eslabón [i-1 ]

Vector eje [i]

Vector eje [i -1]

1−ia

1−iα

Eslabón [i-1]

][]1[

1

1

iejevectoraiejevectora

i

i

⊥−⊥

−

−

paralelos

4. MODELADO


50

4.2.1.2. PARÁMETROS DEL ESLABONAMIENTO [i-1] e [i]. Un eslabonamiento implica una relación entre dos o más eslabones. En este caso se analizará la relación entre dos eslabones vecinos, [i-1] e [i]. Esa relación puede estar descrita por otros dos parámetros, cuya definición se expone a continuación.

DEFINICIÓN: id , es un parámetro denominado vector eje [i] y su magnitud define la distancia entre los eslabones [i -1] e [i]. Su línea de acción coincide con la línea del eje de movimiento del eje [i]. Está comprendido entre el corte del parámetro 1−ia y el corte del parámetro ia , con dirección desde el primer

corte hacia el segundo. NOTA: Para el caso de articulaciones prismáticas, este parámetro llega a ser variable en magnitud.

DEFINICIÓN: iθ , es un parámetro denominado vector ángulo entre los eslabones [i -1] e [i],

cuya dirección y sentido coinciden con las de id y su magnitud se obtiene al

transportar angularmente al vector 1−ia hasta la imagen del vector ia en el

punto donde 1−ia corta al eje [i]. NOTA: Para el caso de articulaciones

rotatorias, este parámetro llega a ser variable en magnitud.

Figura (4.2). Parámetros de eslabonamiento id y iθ

iθ

id

1−ia

ia

Eslabón [i]

Eslabón [i -1]

ii

ii

ad

ad

⊥

⊥ −1

4. MODELADO


51

4.2.2. REGLAS PARA FIJAR LAS BASES REFERENCIALES DE ESLABONES Cada uno de los eslabones debe de contar con un sistema de referencia denominado base del eslabón. Para fijar cada base se tienen las reglas siguientes:

• El origen de la base {i-1} se coloca en el corte de 1−ia con el eje [i-1].

• El primer elemento de la base {i-1}, 1ˆ −ix , se obtiene normalizando al vector 1−ia , siempre y

cuando la magnitud de este último no sea cero. Cuando sea cero se tiene la libertad de colocarlo en cualquier posición, siempre y cuando mantenga la perpendicularidad con los ejes [i-1] e [i].

• El tercer elemento 1ˆ −iz se obtiene normalizando al vector eje [i-1], id , siempre y cuando

este no sea cero. Cuando este último sea cero, se tiene la libertad de elegir uno de sus dos posibles sentidos.

• El segundo elemento 1ˆ −iy se obtiene naturalmente para formar una terna derecha, esto es:

111 ˆˆˆ −−− ⊗= iii xzy

Figura (4.3). Bases referenciales de eslabones [i-1] e[i].

Eslabón [i]

Eslabón [i-1]

1ˆ −ix

1ˆ −iz

ix iz

4. MODELADO


52

4.2.3. DESCRIPCIÓN DE BASE {i} RESPECTO DE BASE {i-1} Para obtener la base {i} referida a la base {i-1} se emplean las características de los eslabones y su relación que guardan, esto es, empleando los parámetros de eslabonamiento 111 ,, θα yda iii −− . Se puede observar que para llegar al sistema {i} el sistema {i-1} debe efectuar los siguientes movimientos:

• Una rotación identi dad y una traslación de 1−ia unidades a lo largo del eje 1ˆ −ix , esto es:

( ) ( ){ }Ti

i aIRotC 00;,}{ 11

−− =••= ec. (4.3)

• Una rotación de 1θ alrededor del eje Cz , sin desplazamiento lineal, esto es:

( ){ }0;,ˆ}{ iCC zRotD θ= ec. (4.4)

• Una rotación nula y una traslación de id unidades a lo largo del eje Dz , esto es:

( ) ( ){ }Ti

D dIRoti 100;,}{ −=••= ec. (4.5)

Empleando transformación homogénea, se tiene lo siguiente:

( ) ( ) ( )DiD

iiCC

Diii

Ci

i zdITzRotTxaITT ˆ;0);,ˆ(ˆ; 1111 θ−−

−− = ec. (4.6)

De tal manera se obtiene el estado de {i} respecto de {i-1} que es:

{ }ii i

i i i i i

i i i i i

i

i i

i i

ic s

s c c c s

s s c s c

as d

c d

−− − −

− − −

−

−

−

=−

−

−

11 1 1

1 1 1

1

1

1

0θ θθ α θ α α

θ α θ α α

α

α

; ec. (4.7)

Donde se han eliminado los símbolos de vector y norma de un vector.

4. MODELADO


53

4.2.4. REGLAS PARA EFECTUAR EL MODELADO DIRECTO DE UN MANIPULADOR

1. Nombrar a cada uno de los eslabones. La etiqueta 0 para el eslabón de referencia, la etiqueta 1 para el eslabón 1, etc.

2. Trazar líneas hipotéticas que indican los movimientos de los ejes y enumerarlos en forma

ascendente, etiquetando al primero con {1}.

3. Definir los cuatro parámetros de eslabonamiento, 111 ,, θα yda iii −− , y llenar la tabla de parámetros siguiente:

i 1−ia 1−iα id iθ

1 2 ...

4. Por cada renglón Formar una matriz de transformación empleando la ecuación (4.7). 5. Multiplicar cada una de las matrices de transformación obtenidas en el paso 4.

6. El resultado es el modelo matemático directo.

Como ejemplo se presenta el análisis de un manipulador P-R-R-R en el apéndice B de este manual.

5. DINÁMICA


54

5. DINÁMICA 5.1. FORMULACIÓNRECURSIVA DE NEWTON -EULER En este capítulo el estudiante podrá efectuar el análisis dinámico de un manipulador, así mismo, tendrá la capacidad para seleccionar los motores que accionarán al manipulador a partir de dicho análisis

Para determinar las ecuaciones de movimiento, tomando en cuenta las fuerzas y pares, se empleó la formulación recursiva de Newton-Euler. Esta formulación se resume a continuación. Propagación hacia adelante (i=0, 1, 2,..., GDL-1) : Con ayuda de la figura (5.1) siguiente se pueden obtener las ecuaciones de velocidades, tanto lineales como angulares necesarias para el proceso.

Figura (5.1). Velocidades lineales y angulares en un eslabón

La definición de la velocidad angular del eslabón i+1 es (ec. (5.1)) :

ivi

iwi

i+1v i+1

i+1wi+1

Pci

{i}

{i+1}

5. DINÁMICA


55

ii i

i ii i

iiR z+

++

++

+= +11

11

11ω ω θ

o

$ (5.1) La aceleración angular del eslabón i+1, si la articulación es rotacional, es (ec. (5.2)) :

i

i ii

i

i ii i

i ii

i ii

iR R z z+

++ +

++

+ ++

+= + ⊗ +1

11 1

11

1 11

1ω ω ω θ θo o o oo

$ $ (5.2) La aceleración lineal del eslabón i+1, si su articulación anterior es rotacional, es (ec. (5.3)) :

( )i

i ii

i

ii

ii

ii

ii

i

i

iv R p p v+

++

+ += ⊗ + ⊗ ⊗ +

1

11

1 1

o o o

ω ω ω (5.3)

La aceleración lineal del centro de gravedad del eslabón i+1 es (ec. (5.4)) :

( )i

Ci

i

ii

Cii

ii

ii

Ci

i

iv p p v+

+

+

++

++

++

++

+

+

+= ⊗ + ⊗ ⊗ +1

1

1

11

11

11

11

1

1

1

o o o

ω ω ω (5.4)

La fuerza debida a la aceleración del eslabón i+1 (segunda ley de Newton) es (ec. (5.5)) :

ii i

i

CiF m v++ +

+

+=11 1

1

1

o

(5.5) El momento angular debido al movimiento rotacional del eslabón i+1 está representado por la ec. (5.6) siguiente :

ii

Cii

i

ii

iCi

ii

iN I I++

++

+

++

++

++

+= + ⊗11

11

1

11

11

11

1ω ω ωo

(5.6) Por otro lado si la articulación anterior del eslabón i+1 es prismática, la velocidad angular presenta la siguiente forma (ec. (5.7)):

i

i ii

i

iR+

++=

1

11ω ω

o o (5.7)

Mientras que su aceleración lineal está dada por la ec. (5.8) :

( )i

i ii

i

ii

ii

ii

ii

i

i

ii

i ii

i ii

iv R p p v d z d z+

++

+ ++

+ ++

+ ++

+= ⊗ + ⊗ ⊗ +

+ ⊗ +

1

11

1 11

1 11

1 11

12o o o o oo

ω ω ω ω $ $

(5.8) El siguiente proceso representa la propagación hacia atrás, y significa simplemente un balance

de fuerzas y momentos angulares sobre cada eslabón. Es importante recalcar que el balance sobre el eje z de cada referencial de eslabonamiento es el efecto cinético que debe ser reaccionado por los actuadores de cada articulación. Proceso de propagación hacia atrás (i=GDL,.., 2, 1) :

ii i

i ii

iif R f F= ++

++1

11 (5.9)

5. DINÁMICA


56

i

ii

i ii i

ii

Cii

ii

i ii i

in N R n p F p R f= + + + ⊗ + ⊗++

+ + ++

+11

1 1 11

1 (5.10) Las ecuaciones importantes, que permiten determinar una buena selección de los actuadores a utilizar, así como operarlos a condiciones de saturación electromagnética adecuada, son las siguientes (5.11) y (5.12) dependiendo del tipo de articulación a tratar :

τ ii

iT i

in z= $ (5.11)

f f zii

iT i

i= $ (5.12) Para ejemplificar el proceso, en el apéndice B se presenta un análisis de un manipulador P-R-R-R.

6. TRAYECTORIA


57

6. TRAYECTORIAS 6.1. INTRODUCCIÓN El mínimo requerimiento para un manipulador es su capacidad para moverse desde una posición inicial a una final. La transición debe estar caracterizada por leyes de movimiento que contemplen, por un lado, las fuerzas generalizadas ejercidas sobre las articulaciones por los actuadores de tal manera que no se violen los límites de saturación y que no se exciten los modos resonantes típicos de la estructura y, por el otro, que se transporte adecuadamente al objeto de trabajo, tal que, la fuerza debida a la aceleración (inercia) no sea capaz de arrancarlo del órgano terminal que lo sostiene. Este hecho presenta una extrema importancia si el objeto de trabajo es muy delicado como sustancia radioactiva, etc. Además, hay que tener presente que la productividad en la manipulación es un factor muy importante. Para alcanzar esa productividad es importante el empleo de un mecanismo de baja inercia y, por tanto, es importante entender su comportamiento vibracional unido a las trayectorias generadas. Es entonces necesario desarrollar algoritmos generadores de trayectoria que permitan movimientos suaves tanto en el espacio cartesiano como de articulaciones. Es importante definir el término trayectoria . La trayectoria se divi de en dos aspectos importantes: 1) perfil de trayectoria, que se entiende como la evolución en el tiempo de la posición, velocidad y aceleración con que viajará el órgano terminal o el objeto de trabajo, y 2) Lugar geométrico de la trayectoria, que representa los puntos cartesianos por donde pasará el órgano terminal o el objeto manipulado. A su vez, una trayectoria en el espacio cartesiano corresponde a una o más trayectorias en el espacio de articulaciones (unicidad de solución) relacionadas por una ley matemática. 6.2. PERFIL DE TRAYECTORIA 6.2.1. INTRODUCCIÓN El objeto que está siendo manipulado debe partir de una posición 1 y llegar a la posición 2. En ambas posiciones el estado del objeto es estático, esto es, no presenta velocidad ni aceleración. Para alcanzar el último punto, a partir del primero se emplea un tiempo total de recorrido, tf . El órgano terminal ejerce una fuerza que sujeta al objeto, pero esta fuerza es finita con una magnitud determinada. Ahora bien, si la aceleración, escalada por la masa del objeto, es mayor a esa fuerza de sujeción, entonces, el objeto experimentará un movimiento relativo al órgano terminal que posiblemente lo dañe o modifique la posición adecuada. Es, entonces, de suma importancia manejar un perfil de movimiento con pendientes “suavizadas”, tal que la transición del primer estado estático al último se presente con condiciones no

6. TRAYECTORIA


58

severas de los transitorios que generan su movimiento. Un transitorio se puede entender como una condición que permite ir de un estado a otro. En este trabajo se presentan dos tipos básicos de perfil de trayectoria : a). TRAPEZOIDAL y b). QUÍNTICO, que deben su nombre al tipo de perfil de velocidad, tipo trapecio, que utiliza el primero, mientras que el segundo debe su nombre al grado del polinomio que lo genera. En ambos casos se presentan diferentes periodos estacionarios. Este periodo estacionario es controlado por un parámetro n≥2. Los periodos transitorios son simétricos con respecto al tiempo, teniendo cada uno la duración de (1/n)tf . Es importante remarcar la importancia del periodo estacionario, que por definición es el proceso que transcurre sin cambio en la aceleración que permite el cambio de magnitud de la velocidad lineal. Es preferente emplear un periodo estacionario cuando el proceso requiere una velocidad lineal constante, como es el caso de la soldadura donde el electrodo debe alojar un cordón uniforme. En resumen, se presentan las leyes matemáticas que envuelven estos movimientos y de los criterios primarios que los formularon. Así también, se presenta la justificación del empleo de cada uno y su respectiva comparación tomando en cuenta la no linealidad del modelado del movimiento del manipulador y el efecto que tendría en la singularidad y sus cercanías a élla. 6.2.2. PERFIL TRAPEZOIDAL SIN PERIODO ESTACIONARIO En las figuras (6.1), (6.2), (6.3) y (6.4) siguientes se muestran los perfiles trapezoidales para la posición, velocidad y aceleración. Una de las características de este perfil es que los transitorios que la componen se presentan con un cambio uniforme de la velocidad, alcanzando su máxima a la mitad del recorrido donde se presenta un profundo y repentino cambio de pendiente, parecido a los presentes al inicio y fin de recorrido.

Fig. (6.1). Perfil trapezoidal correspondiente a la evolución con el tiempo

de la posición (distancia de recorrido).

t(seg)

q(mm)

6. TRAYECTORIA


59

Fig. (6.2). Perfil trapezoidal correspondiente a la velocidad (evolución escalar).

Fig. (6.3). Perfil trapezoidal para la aceleración que debe experimentar

el órgano terminal.

t(seg)

q´´(mm/seg2)

t(seg)

q´(mm/seg)

6. TRAYECTORIA


60

posición

velocidad

aceleración

Fig. (6.4). Perfil trapezoidal para el conjunto de características cinemáticas.

A continuación se presenta la manera en que se establecen las ecuaciones que generan las anteriores evoluciones con el tiempo de la posición, velocidad y aceleración para el perfil trapezoidal. Según se puede observar en la fig. (6.2), la evolución de la velocidad con respecto al tiempo es lineal en los dos periodos : el primero, comprendido entre t=0 y t=tf /2 ; y el segundo, comprendido entre t=tf /2 y t=tf . Primer periodo (velocidad).

La evolución está determinada por un comportamiento lineal. La ecuación de la recta para esta parte del proceso se muestra a continuación, en la ecuación (5.1).

q t m t bo

( ) = +1 1 (6.1) Si t=0, entonces q´(0)=0. Por lo tanto, b=0.

Si t=tf /2, entonces q´(tf /2)=q´max. Por lo tanto, m1=(2q´ max)/tf . Así,

q tqt

t t tt

max

f

foo

( ) ; ,=

∀ ≤ ≤

20

2 (6.2)

t(seg

q(mm) q´(mm/seg) q´´(mm/seg2)

6. TRAYECTORIA


61

Segundo periodo (velocidad). La ecuación general que rige el segundo periodo se muestra en la ecuación (6.3), siguiente.

q t m bo

( ) = +2 2 (6.3) Si t=tf /2, entonces q´(tf /2)=q´max. Así, q´max=m2(tf /2)+b2. Si t=tf , entonces q´(tf)=0. Así, 0=m2tf+b2. Así,

mt

q b qf

max max2 2

22= − =

o o

; (6.4)

Por tanto :

q t qt

tt

tt tmax

f

ff

o o

( ) ; ,= −

∀ ≤ ≤2 1

2 (6.5)

Las anteriores ecuaciones (6.2) y (6.5) representan el perfil trapezoidal para la velocidad. De estas ecs. se obtienen las correspondientes para la posición y la aceleración. A continuación se presenta la determinación de las ecuaciones que rigen el comportamiento de la posición con respecto al tiempo. Primer periodo (posición). Tomando la ecuación (6.2) e integrando se puede obtener la ecuación de posición para el primer periodo (ec. (6.6).

q tqt

tdtqt

t cmax

f

max

f

( ) =

=

+∫

2 21

o o

(6.6)

Si t=0, entonces q(0)=0. Por tanto C1=0. Por lo tanto:

q tqt

t t tt

max

f

f( ) ; ,=

∀ ≤ ≤

o

2 02

(6.7)

6. TRAYECTORIA


62

Segundo periodo (posición). Para obtener la ecuación que determina la posición (ec. (6.8))se integra la ecuación núm. (6.5) anterior.

q t q dtt

tdt q ttt

cmaxf

maxf

( ) = −

= −

+∫∫2

12

2

2

2

o o

(6.8)

Evaluando la ecuación (90) y (91) en el tiempo tf /2 se obtiene el valor de la constante C2.

c q tmax f2

12

= −o

(6.9)

Así, para el periodo comprendido entre t=tf /2 y t=tf , la ecuación de la posición es la (6.10) siguiente.

q t q ttt

tt

tt tmax

f

f ff( ) ; ,= −

−

∀ ≤ ≤

o2

2 2 2

2

(6.10)

Primer periodo (aceleración). Para obtener la ecuación de la aceleración, es necesario derivar, respecto a la variable principal , t, la ecuación (5.2). Así :

q tqt

t tt

max

f

fooo

( ) ; ,=

∀ ≤ ≤

20

2 (6.11)

Segundo periodo (aceleración). Para el siguiente periodo se sigue el mismo proceso con la ecuación (6.5) anterior.

q tqt

tt

t tmax

f

f

f

ooo

( ) ; ,= −

∀ ≤ ≤

22

(6.12)

Es importante destacar que los datos asignados al manipulador, para que desarrolle su tarea, son, principalmente, los puntos cartesianos inicial y final del recorrido, además el tiempo total empleado. Por esta razón, es importante establecer las anteriores ecuaciones como funciones de la distancia total recorrida, además del tiempo total del proceso. Así, las anteriores ecuaciones pueden mostrarse como a continuación se presentan en las ecuaciones (6.13)-(6.18).

6. TRAYECTORIA


63

Posición.

q t qt

tt t

tf

f

f( ) ; ,=

∀ ≤ ≤2 0

2

2

(6.13)

q tq

tt

tt

t tt

t tf

f ff

ff( ) . . ; ,=

−

−

∀ ≤ ≤2 2 05 052

2

(6.14)

Velocidad.

q t qt

tt t

tf

f

fo

( ) ; ,= ∀ ≤ ≤4 022 (6.15)

q tq

tt

tt

tt tf

f f

ff

o

( ) ; ,= −

∀ ≤ ≤4 1

2 (6.16)

Aceleración.

q t qt

t tt

ff

foo

( ) ; ,=

∀ ≤ ≤4

10

22 (6.17)

q t qt

tt

t tff

ff

oo

( ) ; ,= −

∀ ≤ ≤4

122 (6.18)

6.2.3. PERFIL TRAPEZOIDAL CON PERIODO ESTACIONARIO En las figuras (6.5), (6.6), (6.7) y (6.8) se muestran las gráficas de la posición, velocidad y aceleración con un periodo estacionario el la porción temporal central del recorrido. Este periodo estacionario puede ser establecido acomodando los respectivos periodos transitorios en el proceso. La localización en el dominio del tiempo de los diferentes periodos es el siguiente :

6. TRAYECTORIA


64

1). Los periodos transitorios se presentan al inicio y fin del recorrido con una duración igual a un (1/n) del tiempo total, cada uno. 2). El periodo estacionario se presenta en la parte central ocupando un ((n-2)/n) del tiempo total. Las posibilidades de localización son cuando n≥2. Cuando n=2 significa la posibilidad para que el periodo estacionario se presente es mínima, limitada a un punto instantáneo de tiempo, exactamente a la mitad del recorrido. Mientras que los periodos transitorios abarcan todo el proceso, excepto ese punto. Con estas consideraciones, las ecuaciones que generan las gráficas (6.5)-(6.8) se muestran a continuación en las ecuaciones (6.19)-(6.27).

Fig. (6.5). Perfil trapezoidal para la posición con periodo estacionario.

Periodo Transitorio

2

Periodo Estacionari

o

((n-2)/tf)

t(seg

q(mm

Periodo Transitorio

1

6. TRAYECTORIA


65

Fig. (6.6). Perfil trapezoidal para la velocidad con periodo estacionario.

Fig. (6.7) Perfil trapezoidal para la aceleración con periodo estacionario.

t(seg

Periodo Estacionari

o Periodo

Transitorio

q´(mm/seg

((n-2)/n)tf

t(seg(tf/n)

Periodo Estacionari

q´´(mm/seg2)

6. TRAYECTORIA


66

posición

velocidad

aceleración

Fig.(6.8). Perfil trapezoidal para la posición, la velocidad y la aceleración

Con periodo estacionario. Posición.

q t qn

nt

tt t

t

nff

f( ) . ; ,=−

∀ ≤ ≤05

10

2 2

(6.19)

q tq

t

nt t

nt

t

nt

nn

tf

f

f ff( )

.; ,=

−

−

∀ ≤ ≤

−0 5

11

(5.20)

q tq

tn

nt

ntt

t

nt

nn

t t tf

f f

f

f f( ) ; ,=

−

−

−

∀

−≤ ≤

12

412

(6.21)

t(seg

q(mm) q´(mm/seg) q´´(mm/seg2)

6. TRAYECTORIA


67

Velocidad.

q t qn

nt

tt t

t

nff

fo

( ) ; ,=−

∀ ≤ ≤

2

210 (6.22)

q tq

tn

nt

t

nt

nn

tf

f

ff

o

( ) ; ,=

−

∀ ≤ ≤

−1

1 (6.23)

q tq

tn

nntt

tn

nt t tf

f ff f

o( ) ; ,=

−

−

∀

−≤ ≤

12 1

21

(6.24)

Aceleración.

q t qn

n tt t

t

nff

foo

( ) ; ,=−

∀ ≤ ≤

2

211

0 (6.25)

q t tt

nt

nn

tf

f

oo

( ) ; ,= ∀ ≤ ≤−

01

(6.26)

q t qn

n tt

nn

t t tff

f f

oo

( ) ; ,= −−

∀

−≤ ≤

2

211 1

(6.27)

A continuación, en las gráficas de las figuras (6.9), (6.10), y (6.11), se muestran diferentes periodos estacionarios, variando n desde 2 hasta 10. Con n=2 se tienen las misma gráficas de las figuras (6.1), (6.2) y (6.3) anteriores. Esto se debe a que, con n=2 , las ecuaciones (6.19)-(6.27) son exactamente las mismas que las ecs. (6.13)-(6.18).

6. TRAYECTORIA


68

n=2

n=3

n=4

n=5

n=6

n=7

n=8

n=9

n=10

Fig. (6.9). Diferentes periodos estacionarios incluidos en el perfil trapezoidal para la posición.

n=2

n=3

n=4

n=5

n=6

n=7

n=8

n=9

n=10

Fig. (6.10). Diferentes periodos estacionarios para el perfil trapezoidal de la velocidad.

t(seg)

t(seg)

q(mm)

q´(mm/seg)

6. TRAYECTORIA


69

n=2

n=3

n=4

n=5

n=6

n=7

n=8

n=9

n=10

Fig. (6.11). Variación del periodo estacionario para el perfil trapezoidal de la aceleración.

En las anteriores gráficas (6.9), (6.10) y (6.11) los periodos transitorios se muestran como sigue : n=2, todo el proceso ; n=3, solamente en 2/3 ; n=4, en ½ ; n=5, en 2/5 ; n=6, en 2/6, etc. 6.2.4. PERFIL DE QUINTO GRADO SIN PERIODO ESTACIONARIO Los perfiles trapezoidales anteriores presentan cambios muy agudos al inicio y fin del recorrido, además de la transición entre transitorios, o entre transitorio y estacionario, o entre estacionario y transitorio. Si el inicio y fin de recorrido se presentan en las cercanías del límite del área de trabajo, donde la aceleración va del reposo inmediatamente al valor máximo, y el jacobiano incrementa considerablemente la aceleración articular, a partir de la aceleración operacional, entonces los pares motrices pueden ser incrementados a valores muy desproporcionados con respecto a aquellos pares retirados del límite del volumen de trabajo, presentándose un pico muy pronunciado equiparable a un choque.

Una distribución adecuada de transitorios se presenta en las gráficas de las figuras (6.12), (6.13) y (6.14) siguientes. La característica de este perfil es la “suavización” de los cambios de pendiente. Al inicio y fin del recorrido, el cambio de velocidad y aceleración es gradual, mejorando las características dinámicas principalmente en las cercanías del límite. A continuación se presentan las leyes matemáticas que rigen el comportamiento descrito por las gráficas en cuestión.

t(seg)

q´´(mm/seg2)

6. TRAYECTORIA


70

t ( s e g )

p(m

m)

Fig. (6.12). Perfil quíntico para la pos ición.

t ( s e g )

vel(m

m/s

eg)

Fig. (6.13). Perfil quíntico para la velocidad.

6. TRAYECTORIA


71

t ( s e g )

acel

erac

ión

(mm

/seg

2)

Fig. (6.14). Perfil quíntico para la aceleración.

La ley matemática que rige los anteriores perfiles de trayectoria se determinan mediante un polinomio de grado quinto y sus respectivas derivadas temporales (ver ec.(6.28), (6.29) y (6.30)). Posición.

q t a tii

i

( ) ==∑

0

5

(6.28)

Velocidad.

q tdq t

dtia ti

i

i

o

( )( )

= = −

=∑ 1

0

5

(6.29)

Aceleración.

q td q t

dti i a ti

i

i

oo

( )( )

( )( )= = − −

=∑

2

22

0

5

1 (6.30)

6. TRAYECTORIA


72

Evaluando en condiciones iniciales y finales, es to es, t=0 y t=tf se obtienen los coeficientes que definen exactamente al polinomio. Estos coeficientes se muestran a continuación (ec. (6.31), (6.32), (6.33) y (6.34)).

a a a0 1 2 0= = = (6.31)

aq

tf

f3 310=

(6.32)

aq

tf

f4 415= −

(6.33)

aq

tf

f5 56=

(6.34)

Entonces, el perfil de la posición queda definido por la siguiente ecuación (6.35):

q t qt

tt

tt

tt t tf

f f ff( ) { ( ) ( ) ( ) } ; ,= − + ∀ ≤ ≤10 15 6 03 4 5 (6.35)

El perfil de la velocidad con que viaja el órgano terminal está definido por la siguiente ecuación (6.36) :

q t qtt

tt

tt

t t tff f f

f

o

( ) { ( ) ( ) ( )} ; ,= − + ∀ ≤ ≤30 60 30 02

3

3

4

4

5 (6.36)

En lo que respecta a la aceleración, ésta se determina por la ecuación (6.37):

q t qt

ttt

tt

t t tff f f

f

oo

( ) { ( ) ( ) ( )} ; ,= − + ∀ ≤ ≤60 180 120 03

2

4

3

5 (6.37)

6.2.5. PERFIL DE QUINTO GRADO CON PERIODO ESTACIONARIO Sin embargo, al igual que en el anterior perfil trapezoidal, supóngase que se desea un perfil en el cual exista un periodo estacionario (no se presente cambio en la magnitud de la velocidad) como lo marcan los gráficas de las siguientes figuras (Figs. (6.15), (6.16) y (6.17)).

6. TRAYECTORIA


73

q(t); n=3

t(seg)

q(t

)(m

m)

Fig. (6.15) Evolución de la posición en el perfil quíntico con un periodo estacionario en la parte central del proceso. Aunque en esta gráfica se

muestra el proceso para un estacionario de 1/3, en general el periodo lineal central puede variar para un n mayor o igual a 2.

Fase 2 Estacionario

Fase 3 Transitorio

Fase 1 ((n-2)/n)tf

tf/n

6. TRAYECTORIA


74

q'(t); n=3

t(seg)

q'(t

)(m

m/s

eg)

Fig. (6.16) Evolución de la velocidad para el perfil quíntico con periodo estacionario.

q''(t); n=3

t(seg)

q''(

t)(m

m/s

eg2)

Fig. (6.17). Evolución de la aceleración para un perfil quíntico con periodo estacionario.

Las ecuaciones que definen el perfil de trayectoria de la posición son las siguientes ecuaciones (6.38), (6.39) y (6.40), para el primer transitorio, estacionario y segundo transitorio, respectivamente.

Fase 2 Estacionario

Fase 1 Transitorio

Fase 3 Transitorio

((n-2)/n)tf

Fase 2 Estacionario

Fase 1 Fase 3

6. TRAYECTORIA


75

Fase 1 (primer transitorio) :

q t qn

nn

tt

nt

t

nt

tt

t

n

ff f

f

f

( ) { (( )

( ))}*{ ( )( ) ( )( )

( )( ) } ;

= −−

+ −− +

+ ≤ ≤

130 2

32 30 2102

152

62

0

33

3 44

4

55

5

(6.38)

Fase 2 (estacionario) :

q t qt

nq

t

nt

t

n

t

nt

nn

tf f f f

f( ) ( ) ( ){ } ; ( )= + − ≤ ≤−o 1

(6.39)

Fase 3 (segundo transitorio):

q t qn

nn

tn

nt

tn

tn

nt

t

nt

nn

t

tq

t

nn

nt

nn

t t t

f

f

f

f

f

f

f

ff f f

( ) { (( )

( ))} *{ ( )(

( )) ( )(

( ))

( )(( )

) } ( )( ) ;

= −−

+ −

−−

−−

−

+

+−

−

+− −

≤ ≤

130 2

32 30 2102

2152

2

62

22 1

33

3 44

4

55

5o

(6.40) Las ecuaciones que definen el perfil de la velocidad para cada periodo son las siguientes ecuaciones (6.41), (6.42) y (6.43):

Para la fase 1:

q t qn

nn

tt

nt

t

ntt

tt

n

ff f

f

f

o

( ) { (( )

( ))} *{ ( )( ) ( )( )

( )( )} ;

= −−

+ −− +

+ ≤ ≤

130 2

32 30 2302

602

302

0

33

2

34

4

3

4

55

4

5

(6.41)

Para la fase 2:

q t qt

n

t

nt

nn

tf f

f

o o

( ) ( ) ; ( )= ≤ ≤− 1

(6.42)

6. TRAYECTORIA


76

Para la fase (3) :

q t qn

nn

tn

nt

tn

tn

nt

t

nt

nn

t

tn

nt t t

f

f

f

f

f

f

ff f

o

( ) { (( )

( ))} *{ ( )(

( )) ( )(

( ))

( )(( )

)} ;

= −−

+ −

−−

−−

−

+

+−

−−

≤ ≤

130 2

32 30 2302

2602

2

302

21

33

2

34

4

3

4

55

4

5

(6.43)

Por otro lado, las ecuaciones que definen el perfil de aceleración son las (6.44), (6.45) y (6.46) siguientes:

Para la fase 1 :

q t qn

nn

tt

ntt

nt

tt

t

n

ff f

f

f

oo

( ) { (( )

( ))}* { ( )( ) ( )( )

( )( )} ;

= −−

+ −− +

+ ≤ ≤

130 2

32 30 2602

1802

1202

0

33 3

44

2

4

55

3

5

(6.44)

Para la fase 2 :

q tt

nt

nn

tf

f

oo

( ) ;= ≤ ≤−

01

(6.45)

Para la fase 3 :

q t qn

nn

tn

nt

tn

tn

nt

t

nt

nn

t

tn

nt t t

f

f

f

f

f

f

ff f

oo

( ) { (( )

( ))} *{ ( )( ) ( )(

( ))

( )(( )

)} ;

= −−

+ −

−−

−−

−

+

+−

−−

≤ ≤

130 2

32 30 2602

21802

2

1202

21

33 3

44

2

4

55

3

5

(6.46)

En las gráficas de las figuras (6.18), (6.19) y (6.30) siguientes se muestra el perfil quíntico para diferentes periodos estacionarios (n=2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)

6. TRAYECTORIA


77

q(t); n=2

q(t); n=3

q(t); n=4

q(t); n=5

q(t); n=6

q(t); n=7

q(t); n=8

q(t); n=9

q(t); n=10

Fig. (6.18). Evolución de la posición para diferentes periodos estacionarios en el perfil quíntico.

q'(t); n=2

q'(t); n=3

q'(t); n=4

q'(t); n=5

q'(t); n=6

q'(t); n=7

q'(t); n=8

q'(t); n=9

q'(t); n=10

Fig. (6.19). Evolución de la velocidad para diferentes procesos con periodos estacionarios

empleando perfil de grado cinco.

t(seg)

q´(t)(mm/seg)

t(seg)

q(t)(mm)

6. TRAYECTORIA


78

q''(t); n=2

q''(t); n=3

q''(t); n=4

q''(t); n=5

q''(t); n=6

q''(t); n=7

q''(t); n=8

q''(t); n=9

q''(t); n=10

Fig. (6.20). Evolución de la aceleración para diferentes procesos con periodos estacionarios

diferentes, empleando el perfil quíntico. 6.2.6. JUSTIFICACIÓN DEL EMPLEO DE UNO U OTRO PERFIL DE TRAYECTORIA

Hasta el momento se han presentado las cualidades del perfil de trayectoria trapezoidal y quíntico. Cada uno tiene ventajas y desventajas respecto del otro, y su uso depende de la tarea asignada, de los puntos de inicio y partida de la trayectoria y del lugar geométrico del recorrido.

Los manipuladores normalmente presentan una geografía no lineal en el volumen de trabajo

en la cual se existen dificultades mecánicas para el movimiento del manipulador. Esos “obstáculos” son precisamente la cercanía a la configuración singular y una forma de atacar el problema es efectuar velocidades y aceleraciones operacionales lo más bajas posibles en esas vecindades. El empleo del perfil quíntico es una buena elección para esa realizar esa tarea.

Sin embargo, supóngase que el manipulador se encuentra lejos de la configuración singular,

entonces se puede aprovechar al máximo la aceleración proporcionada por el perfil trapezoidal al inicio y fin del recorrido.

En lo que respecta a la elección del periodo estacionario, esto depende de la presencia de

segmentos curvos en el lugar geométrico de la trayectoria, donde se presentan aceleraciones radiales que producen el cambio de dirección de la velocidad. Durante el recorrido del segmento curvo, el estado estacionario no incrementa la velocidad lineal del objeto manipulado; de esta manera se puede alcanzar, un instante antes de entrar al segmento curvo, la máxima velocidad lineal y mantenerla en ese estado hasta el momento de salir de la curva. Esa máxima velocidad alcanzada producirá una aceleración radial con la que las condiciones dinámicas del manipulador, como vibraciones, saturación de actuadores o deslizamiento del objeto de trabajo, se presentan más adecuadas.

t(seg)

q´´(t)(mm/seg2)

6. TRAYECTORIA


79

6.3. LUGAR GEOMÉTRICO DE LA TRAYECTORIA 6.3.1 RECTAS. Una de las tareas de manipulación del robot tal vez relacione un desplazamiento en línea recta dentro del espacio físico del manipulador. A continuación se presentan las ecuaciones que muestran este hecho. En la figura (6.21) se presenta la descripción de una recta definida entre los puntos P1 (x1 y1 z1 ) y P2(x2 y2 z2) medidos respecto al sistema inercial {0}. El movimiento se lleva a cabo desde P1 a P2. Es importante destacar que el proceso se efectúa con cualquiera de los perfiles de trayectoria anteriormente vistos con un tiempo total de recorrido tf.

Fig. (6.21). Descripción del lugar geométrico de la recta

La ecuación (6.47) vectorial paramétrica de la recta se muestra a continuación. Allí se presenta el parámetro q(t) que relaciona al lugar geométrico con el perfil de trayectoria. Este parámetro es precisamente la variación con el tiempo de la distancia recorrida sobre la recta. En los casos extremos q(0) =0 y x(0)=x1, y(0)=y1, z(0)=z1 ; q(tf)=qf y x(tf)=x2, y(tf)=y2, z(tf)=z2.

x ty tz t

xyz

abc

q t( )( )( )

( )

=

+

1

1

1

(6.47)

Los elementos a, b y c son las compontes directrices de un vector unitario, paralelo al vector definido entre los puntos P1 y P2. Su ec. (6.48) está presente a continuación.

6. TRAYECTORIA


80

( ) ( ) ( )

abc x x y y z z

x xy yz z

=− + − + −

−−−

1

2 1

2

2 1

2

2 1

2

2 1

2 1

2 1

(6.48)

La velocidad vectorial (ec. (6.49)) definida para la recta, se encuentra derivando temporalmente la ec. (6.47). Esta ecuación se encuentra como una función de la velocidad escalar del perfil de trayectoria (dq(t)/dt).

x t

y t

z t

ddt

x ty tz t

abc

q t

( )

( )

( )

( )( )( )

( )

o

o

o

o

=

=

(6.49)

Para relacionar el perfil de aceleración de la trayectoria con la aceleración vectorial a la que está sujeto el movimiento se emplea el parámetro d2 q(t)/dt2 sobre la derivada de la ec. (132). Esta ec. de aceleración es la (6.50).

x t

y t

z t

ddt

x t

y t

z t

abc

q t

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

oo

oo

oo

o

o

o

oo

=

=

(6.50)

6.3.2. ARCOS. Otra de las posibles trayectorias geométricas que puede ejecutar el manipulador son los arcos o segmentos circulares en el espacio físico tridimensional. Un círculo en el espacio puede determinarse por 3 puntos (si los puntos son colineales significa que el radio del círculo se encuentra en el infinito). El manipulador ejecutará la tarea de la siguiente manera : partirá de la posición 0p1(0x1, 0y1, 0z1) y llegará a la posición 0 p3(0x3, 0y3, 0z3), pasando por la posición 0 p2(0x2, 0y2, 0z2) (ver fig. (6.22) siguiente).

6. TRAYECTORIA


81

Fig. (6.22). Descripción del lugar geométrico para el movimiento circular.

El primer paso es determinar la ubicación del círculo, para esto es necesario ubicar su centro determinado por el vector pc, descrito en el referencial inercial {0}, 0 pc. Tomando en cuenta la restricción de que las distancias de 0 pi (i=1, 2, 3) al centro del círculo, 0pc , son las mismas, se obtiene la siguiente ec. (6.51) en función de las coordenadas de cada uno de los tres puntos que se encuentran sobre la circunferencia.

xyz

x x y y z zx x y y z zx x y y z z

x x y y z zx x y y z zx x y y z z

c

c

c

=− − −− − −− − −

− + − + −− + − + −− + − + −

−

12

2 1 2 1 2 1

3 1 3 1 3 1

3 2 3 2 3 2

1

22

12

22

12

22

12

32

12

32

12

32

12

32

22

32

22

32

22

(6.51)

Para facilitar la determinación de los puntos cartesianos operacionales por los que viajará el órgano terminal se obtendrá la descripción de un sistema referencial respecto al sistema inercial {0}. Para la descripción es necesaria la orientación y posición entre los referenciales. El sistema generador a encontrar tendrá como origen al vector que define el centro del circulo, 0pc. El segmento circular será generado por este sistema referencial en un plano que coincide con el xc-yc constitutivo. Una vez determinada su posición es necesario obtener su orientación. El sistema ortonormal tiene la siguiente orientación: su elemento zc se encuentra perpendicular al plano del círculo, la ecuación (6.52) lo define con el vector 0u. Su elemento xc, unitario, se encuentra paralelo, y con la misma dirección y sentido, al vector diferencia entre los vectores op1 y 0pc. El vector restante se encuentra naturalmente para formar una base derecha (ver ecs. (6.53)-(6.60)).

0 01

02u p p p pc c= ⊗ (6.52)

Donde :

01

01

0p p p pc c= − (6.53)

6. TRAYECTORIA


82

0

20

20p p p pc c= − (6.54)

En forma desarrollada y en función de dos de los tres vectores perpendiculares a él, 0u es :

02 1 1 2 1 2 1 2

2 1 1 2 1 2 1 2

2 1 1 2 1 2 1 2

uz y y y z z y z z yx z z z x x z x x z

y x x x y y x y y x

c c

c c

c c

=− + − + −− + − + −− + − + −

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) (6.55)

Normalizando :

00

0$u

u

u= (6.56)

0

1

01

01

p pp p

p pcc

c

^= (6.57)

Así, las ecs. (6.58) y (6.59) siguientes representan a dos elementos de la base generadora.

00

1$^

x p pc c= (6.58)

0 0$ $z uc = (6.59) El tercer elemento es representado por la ec. (6.60) siguiente.

0 0 0 00

1$ $ $ $^

y z x u p pc c c c= ⊗ = ⊗ (6.60) Por lo tanto, la orientación de la base {c} respecto de la base {0} es (ec. (6.61) sig.) :

c c c cR x y z0 0 0 0= ( $ $ $ ) (6.61) La descripción del sistema {c} respecto de {0} es (ec. (6.62)) :

{ } { }0 0 0c R pc c= ; (6.62)

6. TRAYECTORIA


83

El cambio de descripción de los vectores pi (i=1, 2, 3) entre {0} y {c} se obtienen mediante las siguientes ec. (6.63) y (6.64).

0 0 0p p R pi c cc

i= + (6.63)

ci c

Ti cp R p p= −0 0 0( ) (6.64)

Para determinar totalmente la trayectoria (perfil de trayectoria con el lugar geométrico) es necesario relacionar el parámetro q(t). Así , el arco recorrido e n el tiempo es (ec. (6.65)):

A t q t P tc( ) ( ) ( )= = 1 ε (6.65) Con sus condiciones extremas :

A q A t q t qf f f( ) ( ) ; ( ) ( )0 0 0= = = = (6.66)

Y sus coordenadas cartesianas evolucionadas con el tiempo relativas a {c} se muestran en las ecuaciones (6.67), (6.68) y (6.69) siguientes:

c cc

y t p sinq t

p( ) (

( ))= 1

1

(6.67)

c ccx t pq t

p( ) cos(

( ))= 1

1

(6.68)

c z t( ) = 0 (6.69)

c

c

c

c

p tx ty tz t

( )( )( )( )

=

(6.70)

Su cambio al referencial {0} se muestra en la ec. (6.71) siguiente :

0 0p t p R p tc co c( ) ( )= + (6.71)

La posición del órgano terminal debe coincidir con 0p(t) (ec. (6.72)):

6. TRAYECTORIA


84

0 0OT t p t( ) ( )= (6.72)

En lo que respecta a la velocidad, se tienen las ecs. (6.73)-(6.76) sig :

cp

cpx

cpy

cpz

v tv tv t

v t

( )( )( )

( )

=

(6.73)

Donde:

cpx

cy c

v t p tq t

p( ) ( )

( )=−

o

1

(6.74)

cpy

cx c

v t p tq t

p( ) ( )

( )=

o

1

(6.75)

cpzv t( ) = 0 (6.76)

Descrita en el referencial {0}, la velocidad del punto p(t) se presenta en la ec. (6.77) siguiente.

0 0v t R v tp cc( ) ( )= (6.77)

Esta velocidad debe coincidir con la que el órgano terminal desarrolla. Esto se presenta en la ec. (6.78) sig.

0 0v t v tOT p( ) ( )= (6.78)

Para la aceleración se sigue el mismo proceso, teniéndose las siguientes ecs. (6.79)-(6.82):

cp

cpx

cpy

cpz

a ta ta t

a t

( )( )( )

( )

=

(6.79)

Donde:

6. TRAYECTORIA


85

cpx

cy c

cx c

a t p tq t

pp t

q t

p( ) ( )

( )( )

( )=−

−

oo o

1 1

2

(6.80)

cpy

cx c

cy c

a t p tq t

pp t

q t

p( ) ( )

( )( )

( )=

−

oo o

1 1

2

(6.81)

cpza = 0 (6.82)

Descrito en el referencial {0}, se tiene :

0 0a t R p tp cc( ) ( )= (6.83)

Limitando al órgano terminal a seguir esta característica cinemática, se tiene la ec. (6.84) siguiente:

0 0a t aOT p( )= (6.84)

ANEXO A. COMPARACIÓN ENTRE PERFILES


86

ANEXO A COMPARACIÓN ENTRE PERFILES A.1. INTRODUCCIÓN

Hasta el momento se han explicado las características de cada uno de los perfiles aquí expuestos (TEMA 6). A continuación se hace una comparación cualitativa y cuantitativa de cada uno de ellos, para que, posteriormente se haga una justificación del su uso tomando en cuenta las características del manipulador. En las gráficas de las siguientes figuras. (A1)-(A54) se comparan los perfiles quíntico y trapezoidal de la siguiente manera : a) se sobr eponen cada una de las evoluciones de la posición, velocidad y aceleración de los dos diferentes perfiles, y b) se efectúa la diferencia entre las diferentes evoluciones, esto es, qt(t)-qq(t), q´t(t)-q´q(t) y q´ t(t)-q´ q(t). Esta comparación toma en cuen ta los diferentes periodos estacionarios indicados en cada gráfica, variándose desde n=2,..,10. Los datos empleados son : una distancia de recorrido de 100 mm y 10 segundos de proceso.

0102030405060708090

100

0.00

0.63

1.26

1.89

2.52

3.15

3.78

4.41

5.03

5.66

6.29

6.92

7.55

8.18

8.81

9.44

t(seg)

q(m

m)

qt(t)

qq(t)

Fig. (A1). Comparación de la evolución de la posición para el perfil

trapezoidal y quíntico para un periodo estacionario nulo.

n=2



87

-2.5-2

-1.5-1

-0.5

00.5

11.5

22.5

0.00

0.60

1.20

1.80

2.40

3.00

3.60

4.20

4.80

5.39

5.99

6.59

7.19

7.79

8.39

8.99

9.59

t(seg)

qt(t)

-qq(

t)

Fig. (A2). Diferencia de la evolución de la posición entre el perfil

Trapezoidal y quíntico para un periodo estacionario nulo.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0.01

0.63

1.25

1.87

2.49

3.11

3.72

4.34

4.96

5.58

6.20

6.82

7.44

8.06

8.68

9.30

9.92

t(seg)

q(m

m) qt(t)

qq(t)

Fig. (A3). Comparación de la evolución de la posición entre el perfil

trapezoidal y quíntico para un periodo estacionario de un tercio del tiempo total del proceso.

n=2

n=3



88

-1.50

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00

1.50

0.01

0.63

1.25

1.87

2.49

3.11

3.72

4.34

4.96

5.58

6.20

6.82

7.44

8.06

8.68

9.30

9.92

t(seg)

qt(t)

-qq(

t)

Fig. (A4). Diferencia de posición con respecto al tiempo entre el perfil trapezoidal y quíntico

para un estacionario de un tercio (n=3).

0.00

10.00

20.00

30.00

40.00

50.00

60.00

70.00

80.00

90.00

100.00

0.01

0.66

1.31

1.96

2.60

3.25

3.90

4.55

5.20

5.85

6.50

7.15

7.80

8.45

9.10

9.75

t(seg)

q(m

m)

qt(t)

qq(t)

Fig. (A5). Comparación de la posición entre el perfil trapezoidal y quíntico (n=4).

n=3

n=4



89

-0.80

-0.60

-0.40

-0.20

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

0.01

0.63

1.25

1.87

2.49

3.10

3.72

4.34

4.96

5.58

6.20

6.82

7.44

8.06

8.68

9.30

9.92

t(seg)

qt(t)

-qq(

t)

Fig. (A6). Diferencia de posición entre el perfil trapezoidal y quíntico con n=4.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0.01

0.63

1.25

1.87

2.48

3.10

3.72

4.34

4.96

5.58

6.20

6.82

7.44

8.06

8.68

9.30

9.92

t(seg)

q(m

m)

qt(t)

qq(t)

Fig. (A7). Comparación de la posición entre el perfil trapezoidal y quíntico (n=5).

n=5

n=4



90

-0.80

-0.60

-0.40

-0.20

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

0.01

0.63

1.25

1.87

2.48

3.10

3.72

4.34

4.96

5.58

6.20

6.82

7.44

8.06

8.68

9.30

9.92

t(seg)

qt(t)

-qq(

t)

Fig. (A8). Diferencia de posición entre el perfil trapezoidal y quíntico, n=5)

-0.60

-0.40

-0.20

0.00

0.20

0.40

0.60

0.01

0.63

1.25

1.87

2.49

3.11

3.73

4.35

4.97

5.59

6.21

6.83

7.45

8.07

8.68

9.30

9.92

t(seg)

qt(t)

-qq(

t)

Fig. (A9). Diferencia de la posición entre el perfil trapezoidal y quíntico para n=6.

n=5

n=6



91

-0.50-0.40

-0.30-0.20-0.10

0.000.10

0.200.30

0.400.50

0.01

0.63

1.25

1.87

2.49

3.11

3.73

4.35

4.97

5.59

6.21

6.83

7.45

8.07

8.68

9.30

9.92

t(seg)

qt(t)

-qq(

t)


-0.50-0.40

-0.30-0.20-0.10

0.000.10

0.200.30

0.400.50

0.01

0.63

1.25

1.86

2.48

3.10

3.72

4.34

4.96

5.58

6.20

6.82

7.44

8.06

8.68

9.30

9.92

t(seg)

qt(t)

-qq(

t)


n=8

n=7



92

-0.40

-0.30

-0.20

-0.10

0.00

0.10

0.20

0.30

0.400.

01

0.62

1.22

1.83

2.44

3.05

3.66

4.27

4.88

5.49

6.10

6.71

7.32

7.93

8.54

9.15

9.76

t(seg)

qt(t)

-qq(

t)


-0.40

-0.30

-0.20

-0.10

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.01

0.63

1.24

1.86

2.48

3.10

3.72

4.34

4.96

5.58

6.20

6.82

7.44

8.06

8.68

9.30

9.92

t(seg)

qt(t)

-qq(

t)


n=10

n=9



93

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0.00

0.63

1.26

1.89

2.52

3.15

3.78

4.41

5.03

5.66

6.29

6.92

7.55

8.18

8.81

9.44

t(seg)

qt(t)

-qq(

t)n=2

n=3

n=4

n=5

n=6

n=7

n=8

n=9

n=10

Fig. (A14). Diferencia de la posición entre el perfil trapezoidal y quíntico

para los diferentes periodos estacionarios empleados en el proceso. La diferencia es menos acentuada conforme crece el periodo estacionario.

0

5

10

15

20

25

0.00

0.62

1.24

1.86

2.48

3.10

3.72

4.34

4.96

5.57

6.19

6.81

7.43

8.05

8.67

9.29

9.91

t(seg)

q´(m

m/s

eg)

q´t(t)

q´q(t)

Fig. (A15). Comparación de la velocidad entre el perfil trapezoidal y quíntico con n=2.

n=2



94

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

20.

00

0.60

1.20

1.80

2.40

3.00

3.60

4.20

4.80

5.39

5.99

6.59

7.19

7.79

8.39

8.99

9.59

t(seg)

q´t(t

)-q´q

(t)

Fig. (A16). Diferencia de la velocidad entre el perfil trapezoidal y quíntico con n=2.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0.01

0.63

1.25

1.87

2.49

3.11

3.72

4.34

4.96

5.58

6.20

6.82

7.44

8.06

8.68

9.30

9.92

t(seg)

q´(m

m/s

eg)

q´t(t)

q´q(t)


n=3

n=2



95

-2.00

-1.50

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00

1.500.

01

0.63

1.25

1.87

2.49

3.11

3.72

4.34

4.96

5.58

6.20

6.82

7.44

8.06

8.68

9.30

9.92

t(seg)

q´t(t

)-q´q

(t)


0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

14.00

0.01

0.66

1.31

1.96

2.60

3.25

3.90

4.55

5.20

5.85

6.50

7.15

7.80

8.45

9.10

9.75

t(seg)

q´(m

m/s

eg)

q´t(t)

q´q(t)


n=3

n=4



96

-1.50

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00

1.50

0.01

0.62

1.23

1.84

2.45

3.05

3.66

4.27

4.88

5.49

6.10

6.71

7.32

7.93

8.54

9.15

9.76

t(seg)

q´t(t

)-q´q

(t)


0

2

4

6

8

10

12

14

0.01

0.63

1.25

1.87

2.48

3.10

3.72

4.34

4.96

5.58

6.20

6.82

7.44

8.06

8.68

9.30

9.92

t(seg)

q´(m

m/s

eg)

q´t(t)

q´q(t)


n=4

n=5



97

-1.50

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.000.

01

0.62

1.23

1.84

2.44

3.05

3.66

4.27

4.88

5.49

6.10

6.71

7.32

7.93

8.54

9.15

9.76

t(seg)

q´t(t

)-q´q

(t)


0

2

4

6

8

10

12

14

0.01

0.63

1.25

1.87

2.49

3.11

3.73

4.35

4.97

5.59

6.21

6.83

7.45

8.07

8.68

9.30

9.92

t(seg)

q´(m

m/s

eg)

q´t(t)

q´q(t)


n=5

n=6



98

-1.50

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00

0.01

0.62

1.23

1.84

2.45

3.06

3.67

4.28

4.89

5.50

6.11

6.72

7.33

7.94

8.54

9.15

9.76

t(seg)

q´t(t

)-q´q

(t)


0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

0.01

0.65

1.29

1.93

2.57

3.21

3.85

4.49

5.13

5.77

6.41

7.05

7.69

8.33

8.96

9.60

t(seg)

q´(m

m/s

eg)

q´t(t)

q´q(t)


n=6

n=7



99

-1.50

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00

0.01

0.62

1.23

1.84

2.45

3.06

3.67

4.28

4.89

5.50

6.11

6.72

7.33

7.94

8.55

9.15

9.76

t(seg)

q´t(t

)-q´q

(t)


0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

0.01

0.66

1.30

1.95

2.60

3.25

3.90

4.55

5.20

5.85

6.50

7.15

7.80

8.45

9.10

9.75

t(seg)

q´(m

m/s

eg)

q´t(t)

q´q(t)


n=8

n=7



100

-1.50

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00

0.01

0.63

1.25

1.86

2.48

3.10

3.72

4.34

4.96

5.58

6.20

6.82

7.44

8.06

8.68

9.30

9.92

t(seg)

q´t(t

)-q´q

(t)


0

2

4

6

8

10

12

0.01

0.64

1.26

1.89

2.52

3.15

3.78

4.41

5.04

5.67

6.30

6.93

7.56

8.19

8.82

9.45

t(seg)

q´(m

m/s

eg)

q´t(t)

q´q(t)


n=8

n=9



101

-1.50

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00

0.01

0.62

1.22

1.83

2.44

3.05

3.66

4.27

4.88

5.49

6.10

6.71

7.32

7.93

8.54

9.15

9.76

t(seg)

q´t(t

)-q´q

(t)


0

2

4

6

8

10

12

0.01

0.63

1.24

1.86

2.48

3.10

3.72

4.34

4.96

5.58

6.20

6.82

7.44

8.06

8.68

9.30

9.92

t(seg)

q´(m

m/s

eg)

q´t(t)

q´q(t)


n=9

n=10



102

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

10.

01

0.61

1.20

1.80

2.40

3.00

3.60

4.20

4.80

5.40

6.00

6.60

7.20

7.80

8.40

9.00

9.60

t(seg)

q´t(t

)-q´q

(t)


n=10



103

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0.00

0.62

1.24

1.86

2.48

3.10

3.72

4.34

4.96

5.57

6.19

6.81

7.43

8.05

8.67

9.29

9.91

t(seg)

q´t

(t)-

q´q

(t)

n=2

n=3

n=4

n=5

n=6

n=7

n=8

n=9

n=10

Fig. (A33). Evolución de la diferencia de la velocidad entre el perfil trapezoidal

y quíntico para diferentes periodos estacionarios.



104

-6

-4

-2

0

2

4

6

0.00

0.64

1.28

1.92

2.56

3.20

3.84

4.48

5.11

5.75

6.39

7.03

7.67

8.31

8.95

9.59

t(seg)

q´´(

mm

/seg

2)

q´´t(t)

q´´q(t)

Fig. (A34). Comparación de la aceleración esntre el perfil trapezoidal y quíntico

con un periodo estacionario nulo.

-5-4

-3-2-1

01

23

45

0.00

0.59

1.18

1.77

2.36

2.95

3.54

4.13

4.72

5.30

5.89

6.48

7.07

7.66

8.25

8.84

9.43

t(seg)

q´´t(

t)-q´

´q(t)

Fig. (A35). Diferencia de la evolución de la aceleración entre el perfil trapezoidal

y quíntico para n=2.

n=2

n=2



105

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

0.01

0.63

1.25

1.87

2.49

3.11

3.72

4.34

4.96

5.58

6.20

6.82

7.44

8.06

8.68

9.30

9.92

t(seg)

q´´(

mm

/seg

2)

q´´t(t)

q´´q(t)


con un periodo estacionario n=3.

-5-4

-3-2-1

01

23

45

0.01

0.59

1.17

1.75

2.33

2.91

3.48

4.06

4.64

5.22

5.80

6.38

6.96

7.54

8.12

8.70

9.28

9.86

t(seg)

q´´t(

t)-q´

´q(t)



n=3

n=3



106

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

0.01

0.64

1.27

1.90

2.52

3.15

3.78

4.41

5.04

5.67

6.30

6.93

7.56

8.19

8.82

9.45

t(seg)

q´´(

mm

/seg

2)

q´´t(t)

q´´q(t)



-6

-4

-2

0

2

4

6

0.01

0.60

1.19

1.78

2.37

2.95

3.54

4.13

4.72

5.31

5.90

6.49

7.08

7.67

8.26

8.85

9.44

t(seg)

q´´t(

t)-q´

´q(t)



n=4

n=4



107

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

0.01

0.64

1.27

1.90

2.52

3.15

3.78

4.41

5.04

5.67

6.30

6.93

7.56

8.19

8.82

9.45

t(seg)

q´´(

mm

/seg

2)

q´´t(t)

q´´q(t)



-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

0.01

0.60

1.19

1.78

2.36

2.95

3.54

4.13

4.72

5.31

5.90

6.49

7.08

7.67

8.26

8.85

9.44

t(seg)

q´´t(

t)-q´

´q(t)



n=5

n=5



108

-15

-10

-5

0

5

10

15

0.01

0.65

1.29

1.93

2.57

3.21

3.85

4.49

5.13

5.77

6.41

7.05

7.69

8.33

8.96

9.60

t(seg)

q´´(

mm

/seg

)

q´´t(t)

q´´q(t)



-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

0.01

0.59

1.17

1.75

2.33

2.91

3.49

4.07

4.65

5.23

5.81

6.39

6.97

7.55

8.13

8.70

9.28

9.86

t(seg)

q´´t(

t)-q´

´q(t)



n=6

n=6



109

-15

-10

-5

0

5

10

15

0.01

0.64

1.27

1.90

2.53

3.16

3.79

4.42

5.05

5.68

6.31

6.94

7.57

8.20

8.82

9.45

t(seg)

q´´(

mm

/seg

2)

q´´t(t)

q´´q(t)



-10-8

-6-4-2

02

46

810

0.01

0.60

1.19

1.78

2.37

2.96

3.55

4.14

4.73

5.32

5.91

6.50

7.09

7.68

8.27

8.85

9.44

t(seg)

q´´t(

t)-q´

´q(t)



n=7

n=7



110

-15

-10

-5

0

5

10

15

0.01

0.64

1.26

1.89

2.52

3.15

3.78

4.41

5.04

5.67

6.30

6.93

7.56

8.19

8.82

9.45

t(seg)

q´´(

mm

/seg

2)

q´´t(t)

q´´q(t)



-10-8

-6-4-2

02

46

810

0.01

0.61

1.21

1.80

2.40

3.00

3.60

4.20

4.80

5.40

6.00

6.60

7.20

7.80

8.40

9.00

9.60

t(seg)

q´´t(

t)-q´

´q(t)



n=8

n=8



111

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

0.01

0.65

1.28

1.92

2.56

3.20

3.84

4.48

5.12

5.76

6.40

7.04

7.68

8.32

8.96

9.60

t(seg)

q´´(

mm

/seg

2)

q´´t(t)

q´´q(t)



-15

-10

-5

0

5

10

15

0.01

0.61

1.20

1.80

2.40

3.00

3.60

4.20

4.80

5.40

6.00

6.60

7.20

7.80

8.40

9.00

9.60

t(seg)

q´´t(

t)-q´

´q(t)



n=9

n=9



112

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

200.

01

0.64

1.26

1.89

2.52

3.15

3.78

4.41

5.04

5.67

6.30

6.93

7.56

8.19

8.82

9.45

t(seg)

q´´(

mm

/seg

2)

q´´t(t)

q´´q(t)



-15

-10

-5

0

5

10

15

0.01

0.60

1.18

1.77

2.36

2.95

3.54

4.13

4.72

5.31

5.90

6.49

7.08

7.67

8.26

8.85

9.44

t(seg)

q´´t(

t)-q´

´q(t)



n=10

n=10



113

-15

-10

-5

0

5

10

15

t(seg)

q´´t

(t)-

q´´q

(t)

n=2

n=3

n=4

n=5

n=6

n=7

n=8

n=9

n=10

Fig. (A52). Evolución de la diferencia de aceleración entre el perfil trapezoidal y el perfil quíntico

empleando diferentes periodos estacionarios.

A continuación se presenta la eficiencia del perfil quíntico respecto del trapezoidal. La eficiencia es la cantidad, en porcentaje, de veces que el perfil trapezoidal es mayor que el quíntico tomando en cuenta solamente a la velocidad y a la aceleración. ¿Por qué la velocidad y la aceleración solamente? Cerca del límite del volumen de trabajo ocurre que las velocidades y aceleraciones articulares se incrementan considerablemente para los valores de velocidades y aceleraciones operacionales presentes en esa configuración. Por tanto es recomendable optar por las velocidades y aceleraciones operacionales menores, que en este caso son las desarrolladas por el perfil quíntico, y que al ser operadas por el inverso de la matriz jacobiana producirán velocidades y aceleraciones articulares menores.

La gráfica de la fig. (A53) representa la evolución de la eficiencia del perfil quíntico respecto del trapezoidal en lo que toca a la velocidad, mientras que la gráfica de la figura (A54) representa a la eficiencia para la aceleración.



114

En ambos casos se nota que la eficiencia del perfil quíntico es mucho mayor al inicio y fin del recorrido. Esto se debe a la diferencia en el cambio de pendiente de cada uno de los perfiles desarrollados. Por otro lado, en la fig. (A53) se observa un pico muy pronunciado en la parte media del recorrido; este pico se debe al cambio brusco de aceleración en ese instante para el perfil trapezoidal.

-2000

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

0.01

0.65

1.29

1.93

2.57

3.21

3.85

4.49

5.12

5.76

6.40

7.04

7.68

8.32

8.96

9.60

t(seg)

efic

ien

cia(

%)

Fig. (A53). Eficiencia del perfil quíntico respecto al perfil trapezoidal para la velocidad

y con un periodo estacionario nulo (n=2)

-2000

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

0.01

0.65

1.29

1.93

2.57

3.21

3.85

4.49

5.13

5.77

6.41

7.05

7.69

8.33

8.97

9.61

t(seg)

efic

ien

cia(

%)

Fig. (A54). Eficiencia del perfil quíntico respecto al perfil trapezoidal para la aceleración

y con un periodo estacionario nulo (n=2)

n=2

n=2

Velocidad

Aceleración



115

A.2. JUSTIFICACIÓN DEL EMPLEO DE UNO U OTRO PERFIL

Hasta el mome nto se han presentado las cualidades del perfil de trayectoria trapezoidal y

quíntico. Cada uno tiene ventajas y desventajas respecto del otro, y su uso depende de la tarea asignada, de los puntos de inicio y partida de la trayectoria y del lugar geométrico del recorrido.

Ya se ha mostrado la geografía no lineal presente en el volumen de trabajo en la cual se

presentan dificultades mecánicas para el movimiento del manipulador. Esos “obstáculos” son precisamente la cercanía a la configuración singular y una forma de atacar el problema es efectuar velocidades y aceleraciones operacionales lo más bajas posibles en esas vecindades. El empleo del perfil quíntico es una buena elección para esa realizar esa tarea.

Sin embargo, supóngase que el manipulador se encuentra lejos de la configuración singular,

entonces se puede aprovechar al máximo la aceleración proporcionada por el perfil trapezoidal al inicio y fin del recorrido.

En lo que respecta a la elección del periodo estacionario, esto depende de la presencia de

segmentos curvos en el lugar geométrico de la trayectoria, donde se presentan aceleraciones radiales que producen el cambio de dirección de la velocidad. Durante el recorrido del segmento curvo, el estado estacionario no incrementa la velocidad lineal del objeto manipulado; de esta manera se puede alcanzar, un instante antes de entrar al segmento curvo, la máxima velocidad lineal y mantenerla en ese estado hasta el momento de salir de la curva. Esa máxima velocidad alcanzada producirá una aceleración radial con la cual las condiciones dinámicas del manipulador, como vibraciones, saturación de actuadores o deslizamiento del objeto de trabajo, se presentan adecuadas.

ANEXO B EJEMPLO REPRESENTATIVO

En este anexo se ofrece una aplicación a los puntos tratados anteriormente mediante un ejemplo representativo de un manipulador de robot; por lo tanto, se recomienda seguir el proceso de análisis auxiliándose de la teoría mencionada. El ejemplo trata sobre un manipulador P-R-R-R que se muestra en la figura (B1) efectuando una aplicación específica.

Los puntos que contemplan su análisis son los siguientes:

• Descripción del manipulador • Modelado Matemático • Dinámica • Simulación

Las características del manipulador se muestran a continuación.

B.1. DESCRIPCIÓN DEL MANIPULADOR

El manipulador, como se ha mencionado anteriormente, presenta cuatro articulaciones. La primer articulación es prismática, mientras que las tres restantes son rotativas. A continuación se presentan los rangos de giro permitidos al manipulador (tabla (B1)): ARTICULACIÓN RANGO DE DESPLAZAMIENTO Primera (lineal) 0-210 mm Segunda (rotacional) 0-360º Tercera (rotacional) 0-180º Cuarta (rotacional) 0-90º

Tabla (B1). Los rangos de desplazamiento de cada articulación. Las dimensiones de los eslabones se presentan a continuación, en la tabla (2) siguiente : LONGITUD DIMENSIÓN l1 150 mm l2 150 mm l3 180 mm e1 40 mm e2 30 mm e3 10 mm

Tabla (B2). Dimensiones de los eslabones. En la tabla (B3) se presentan las características de cada uno de los eslabones. Eslabón Perfil Diam. Ext. Diam. Int. Longitud Material Masa 1 tubular 40 mm 30 mm 210 mm aluminio 0.310 kg 2 tubular 40 mm 30 mm 150 mm aluminio 0.222 kg 3 tubular 40 mm 30 mm 150 mm aluminio 0.222 kg 4 tubular 40 mm 30 mm 180 mm aluminio 0.266 kg

Tabla (B3). Características de los eslabones. Los tensores de inercia de cada uno de los eslabones, respecto del sistema de referencia coincidente con el centro de gravedad, se presentan a continuación:

c I kg mm11

2

1187 7 0 00 1187 7 00 0 96 88

=

..

. (B1)

c I kg mm22

2

69 4 0 00 450 94 00 0 45094

=

..

. (B2)

c I kg mm33

2

69 4 0 00 450 94 00 0 450 94

=

..

. (B3)

c I kg mm44

2

83125 0 00 759 76 00 0 759 76

=

..

. (B4)

Los centros de gravedad de cada eslabón se presentan a continuación:

11

00

105p mmc =

(B5)

22

7500

p mmc =

(B6)

33

7500

p mmc =

(B7)

44

9000

p mmc =

(B8)

B.2. MODELADO B.2.1. MODELADO MATEMÁTICO DIRECTO En la fig. (B2) se muestra un esquema cinemátic o del manipulador P-R-R-R que consta de una articulación prismática, además 3 del tipo giratorias, sin embargo, la magnitud de desplazamiento angular de la última articulación depende de las 2 giratorias anteriores. Esto permite afirmar que el manipulador presentado es de tres grados de libertad (GDL).

Fig. (B2). Diagrama cinemático del manipulador.

En la tabla (B4) siguiente se muestran los parámetros de eslabonamiento según la convención de Denavit-Hartemberg.

I ai-1 α i-1 di θi Rango : 1 0 0º d1 0 0 ≤ d1 ≤130 2 0 0º 0 θ1 θ1=±360º 3 l1 0º e1+e2 θ2 θ2=±360º 4 l2 0º e3 θ3 θ3=±360º

5 0º 0 0º

Tabla (B4). Parámetros de Eslabonamiento del manipulador P-R-R-R, según Denavit-Hartemberg. Además, el volumen de trabajo generado por el manipulador está expuesto en la figura (3) siguiente, donde su diámetro mayor es de 480 mm, el diámetro interior es de 180 mm y una altura de 200 mm.

Figura (B3). Espacio de trabajo del manipulador P -R-R-R

Efectuando una adecuada descripción espacial mediante la siguiente relación de eslabonamiento, se puede determinar la situación de cada sistema de referencia sobre el manipulador.

{ }ii i

i i i i i

i i i i i

i

i i

i i

ic s

s c c c s

s s c s c

as d

c d

−− − −

− − −

−

−

−

=−

−

−

11 1 1

1 1 1

1

1

1

0θ θθ α θ α α

θ α θ α α

α

α

; (1)

Fig. (B4). Descripción espacial de eslabonamiento.

Las siguientes relaciones (ec. (10)-(B14)) muestran la situación que guarda cada sistema de referencia con su anterior (ver fig. (B4)).

{ } [ ]{ }03 3 11 0 0= I dx

T; (B10)

{ } [ ]{ }112 0 0 0= Rot z

T( $, );θ (B11)

{ } [ ]{ }22 1 1 23 0= +Rot z l e e

T( $, ); ( )θ (B12)

{ } [ ]{ }33 2 34 0= Rot z l e

T( $, );θ (B13)

{ } [ ]{ }43 3 35 0 0= I lx

T; (B14)

La descripción espacial general del sistema de referencia del órgano terminal (base {5}) respecto del sistema de referencia de la base (base {0}) está descrita por la ecuación (B15) siguiente.

{ }01 2 3

1 2 3 3 1 2 2 1 1

1 2 3 3 1 2 2 1 1

1 2 3 1

5 = + +

+ + + + +

+ + + + ++ + +

Rot z

c l c l c l

s l s l s le e e d

( $,( ));

( ) ( )

( ) ( )θ θ θ

θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ (B15)

B.2.2. MODELADO MATEMÁTICO INVERSO La variable articular lineal, d1, se encuentra definida entre las líneas de acción de los vectores x0 y x1 , además, θ i, se encuentra definida, angularmente, entre los vectores xi y xi+1 . Esto se puede observar gráficamente en las figuras (B5) y (B6) siguientes.

Fig. (B5) Definición de la primer variable articular.

Fig. (B6). Definición de las variables giratorias.

B.2.2.1. Definición de la primera variable articular (posición) La posición z del órgano terminal medida en el sistema referencial {0}, 0OTZ , puede determinarse mediante la ecuación (B16) siguiente (ver fig. (B7)).

Fig. (B7). Definición de la primer variable articular, d1.

01 2 3 1OT e e e dZ = + + +( ) (B16)

Despejando a la variable articular en función de las condiciones conocidas del órgano terminal se tiene (ec. (B17)) :

d OT e e ez10

1 2 3= − + +( ) (B17) B.2.2.2. Definición de la segunda variable articular (posición). En la figura (B8) se muestra la situación de la segunda variable articular en función de la posición del órgano terminal.

Fig.(B8). Definición de la segunda variable angular θ 1.

La ecuación (B18) siguiente define a la segunda variable articular.

θ α β1 = + (B18) Donde :

α = 2 0 0aTan OT OTy x( , ) (B19)

β =+ + − −

+ −

aCos

l OT OT l l

l OT OT l

x y

x y

10 2 0 2

32

22

10 2 0 2

32

( )

( ) (B20)

Para el ángulo α es necesario determinar el lugar geométrico en que se encuentra el punto OT. Existen 8 posibilidades: los cuadrantes de los sistemas de referencia {0} o {1} y precisamente los ejes ±x

e ±y de los mismos, por lo tanto, es necesario efectuar algunos ajustes en la ecuación para el ángulo dicho. Las ecuaciones (B21)-(B28) siguientes proporcionan esas consideraciones. Primer lugar geométrico : el cuadrante comprendido entre +x e +y.

α = aTan OT OTy x( , )0 0 (B21)

Segundo lugar geométrico : el cuadrante comprendido entre -x e +y.

α = +180 0 0º ( , )aTan OT OTy x (B22)

Tercer lugar geométrico : el cuadrante comprendido entre -x e -y.

α = +180 0 0º ( , )aTan OT OTy x (B23)

Cuarto lugar geométrico : el cuadrante comprendido entre +x e -y.

α = +360 0 0º ( , )aTan OT OTy x (B24)

Además, los ejes ±x e ±y. Quinto lugar geométrico : eje +x.

α = 0º (B25) Sexto lugar geométrico : eje +y.

α = 90º (B26) Séptimo lugar geométrico : eje -x.

α = 180º (B27) Octavo lugar geométrico : eje -y.

α = 270º (B28) B.2.2.3. Definición de la tercer variable articular (posición). En la Fig. (B9). se muestra la manera en que está definida la tercer variable articular, que es un ángulo definido alrededor del eje 3, medido en z , angularmente, desde la prolongación de x2 y hasta x3.

Fig.(B9). Definición de la tercer variable articular.

Según la Fig. (B9), la tercer variable articular está definida por la siguiente ec. (B29).

θ γ2 180= +º (B29) Donde :

γ =+ − + −

aCosl l OT OT l

l lx y

(( )

)12

22 0 2 0 2

32

1 22 (B30)

B.2.2.4. Definición de la cuarta variable articular (posición). Esta variable articular es dependiente de las dos anteriores (θ 1 y θ2) de tal manera que el resultado sea mantener la línea [M-OT] siempre radial al primer eje giratorio (eje 2). Esto se muestra gráficamente en la fig. (B10) siguiente.

Fig. (B10). Definición de la cuarta variable dependiente.

En la fig. (B10) se observa que θ T se entiende como la ecuación (B31) siguiente.

θ θ θ θT = + +1 2 3 (B31)

Así, θ3 está descrita por la ecuación (B32), tomando en cuenta que θ T =α .

θ α θ θ3 1 2= − − (B32) B.2.2.5. Velocidad lineal de la primera articulación. La velocidad lineal con que debe moverse la primer articulación, en función de la posición y velocidad con que viaja el órgano terminal, se obtiene derivando temporalmente la ecuación (B17), esto es (ecuación (B33)) :

d vOTz

o

10= (B33)

B.2.2.6. Velocidad angular de la segunda articulación. Esta definición (ec. (34)) se encuentra derivando la ecuación (10).

θα βo

1 = +ddt

ddt

(B34)

Donde :

ddt

v OT v OT

OT OTOTy x OTx y

x y

α=

−+

0 0 0 0

0 2 0 2 (B35)

ddt

OT v OT v

l OT OT

l OT OT l l

l OT OT l

l l OT OT l

OT OT l

x OTx y OTy

x y

x y

x y

x y

x y

β= −

+

+

−+ + − −

+ −

− + + −

+ −

0 0 0 0

10 2 0 2

12 0 2 0 2

32

22

10 2 0 2

3

2

22

12 0 2 0 2

32

0 2 0 23

2

12

2

( )

( )

*

*( )

( )

(B36)

B.2.2.7. Velocidad angular de la tercer articulación.

Derivando respecto del tiempo a la ec.(B29) se obtiene la expresión que relaciona la velocidad angular de la tercer articulación en función de la posición y velocidad con que viaja el órgano terminal, esto es (ecuación (B37)) :

( )( )

( )

θ2

0 2 0 23

0 0 0 0

1 20 2 0 2

12

22 0 2 0 2

3

2

1 2

2

1

12

o

=+ − +

+

−+ − + −

OT OT l OT v OT v

l l OT OT

l l OT OT l

l l

x y x x y OTy

x y

x y

*

*( ) (B37)

B.2.2.8. Velocidad angular de la cuarta articulación. Como se ha mencionado anteriormente, θ3 depende de las dos previas a ella como lo marca la ecuación (B32), por tanto, la velocidad angular está definida por la ecuación (B38) siguiente.

θα

θ θ3 1 2

o o o= − −

ddt

(B38)

B.2.2.9. Aceleraci ón lineal de la primer articulación. La aceleración con que viaja el eslabonamiento a lo largo de la articulación 1 se obtiene derivando la ecuación (B33). Esta ecuación es la (B39) siguiente.

d aOTz10

oo

= (B39) B.2.2.10 Aceleración angular de la segunda articulación. Derivando la ec. (B34), se obtiene la velocidad con que debe desplazarse la segunda articulación (ec. (B40) siguiente)

θα β

1

2

2

2

2

oo

= +ddt

ddt

(B40)

Donde :

( )( )( )

ddt

OT a OT a

OT OT

v OT v OT v OT v OT

OT OT

x OTy y OTx

x y

OTy x OTx y OTx x OTy y

x y

2

2

0 0 0 0

0 2 0 2

0 0 0 0 0 0 0 0

0 2 0 222

α=

−

+−

− +

+

(B41)

ddt

2

2 1

ββ= − (B42)

β β β β β β β1 11 12 13 14 15 16= + (B43)

β11

12 0 2 0 2

32

22

10 2 0 2

3

2

1

12

=

−+ + − −

+ −

l OT OT l l

l OT OT l

x y

x y

( )

( )

(B44)

β β β β β12 121 122 123 124= + (B45)

β121

0 0 0 0

10 2 0 2

=+

+

OT v OT v

l OT OT

x OTx y OTy

x y

(B46)

( )( )( )

β122

0 0 0 012

22

0 2 0 23

30 2 0 2

=+ −

+ − +

OT v OT v l l

OT OT l OT OT

x OTx y OTy

x y x y

(B47)

( )( )

β1231

0 0 0 2 0 0 0 2

0 2 0 2

0 0 0 02

0 2 0 23

1=

+ + +

+−

+

+

l

OT a v OT a v

OT OT

OT v OT v

OT OT

x OTx OTx y OTy OTy

x y

x OTx y OTy

x y

(B48)

( )( )

β124

22

12 0 2 0 2

3

2

0 2 0 23

2

2=

− + + −

+ −

l l OT OT l

OT OT l

x y

x y

(B49)

β β13 121= (B50)

β β14 124= (B51)

β15

12 0 2 0 2

32

22

10 2 0 2

3

2

2

1

12

=−

−+ + − −

+ −

(

( )

( ))

l OT OT l l

l OT OT l

x y

x y

(B52)

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) [ ]

β16

12 0 2 0 2

3

2

22 0 0 0 0

10 2 0 2

3

20 2 0 2

22

12 0 2 0 2

32

12 0 2 0 2

3

2

12

22 0 2 0 2

3

2

1

2

4

=− + + − −

+

+ − +

− + + −

+ − − − + + −

l OT OT l l OT v OT v

l OT OT l OT OT

l l OT OT l

l OT OT l l l OT OT l

x y x OTx y OTy

x y x y

x y

x y x y

*

*( )

(B53)

B.2.2.11 Aceleración angular de la tercer articulación. Al igual que la determinación de la aceleración de la anterior articulación, el cambio de velocidad angular de la tercer articulación con respecto al tiempo está definido por la ec. (B54) siguiente.

θγoo

21

1 2

=l l

(B54)

γ γ γ γ γ1 11 12 13 14= + (B55)

( )( )γ 110 2 0 2

30 0 0 0= + − +OT OT l OT v OT vx y x OTx y OTy (B56)

γ γ γ12 121 122= − (B57)

( ) ( )( )

( ) ( )γ 121

12

22 0 2 0 2

3

20 2 0 2

30 0 0 0

12

22 0 2 0 2 1

222 0 2 0 2

3

2

1 2

2 3

12

12

=−

+ − + −

+ − +

+ −+ − + −

l l OT OT l OT OT l OT v OT v

l l OT OTl l OT OT l

l l

x y x y x OTx y OTy

x y

x y

(

B50)

( ) ( )γ 122

0 0 0 0

0 2 0 23 1

222 0 2 0 2

3

2

1 2

2

12

=+

+ −+ − − −

OT v OT v

OT OTl l OT OT l

l l

x OTx y OTy

x y

x y

(B59)

( )γ 13

0 2 0 2 12

22 0 2 0 2

3

2

1 2

2

1

12

=

+ −+ − + −

OT OTl l OT OT l

l lx y

x y

(B60)

( )( )( )

γ 140 2 0 2

30 0 0 2 0 0 0 2

0 0 0 0 2

0 2 0 2

= + − + + + +

++

+

OT OT l OT a v OT a v

OT v OT v

OT OT

x y x OTx OTx y OTy OTy

x OTx y OTy

x y

(B61)

B.2.2.12. Aceleración angular de la cuarta articulación. La cuarta articulación acelera según lo hacen las articulaciones número 2 y 3. Su relación se muestra a continuación en la ec. (54).

θ α θ θoo oo oo oo

3 1 2= − − (B62) B.3. ANÁLISIS DE SINGULARIDADES. De las ecuaciones que definen la posición de la herramienta en función de las variables articulares se puede determinar el jacobiano del manipulador, esto se muestra en la ecuación (B63) siguiente.

J d

fd

f f

fd

f f

fd

f f

( , , )1 1 2

1

1

1

1

1

2

2

1

2

1

2

2

3

1

3

1

3

2

θ θ

∂∂

∂∂θ

∂∂θ

∂∂

∂∂θ

∂∂θ

∂∂

∂∂θ

∂∂θ

=

(B63)

Donde :

f l c l c l c1 1 1 2 1 2 3 1 2 3= + + + + +θ θ θ θ θ θ( ) ( ) (B64)

f l s l s l s2 1 1 2 1 2 3 1 2 3= + + + + +θ θ θ θ θ θ( ) ( ) (B65)

f e e e d3 1 2 3 1= + + + (B66) Además, sus respectivos elementos (derivadas parciales respecto de cada una de las variables articulares) son :

∂∂

fd

1

1

0= (B67)

∂∂θ

θ θ θ θ θ θf

l s l s l s1

11 1 2 1 2 3 1 2 3= − − + − + +( ) ( ) (B68)

∂∂θ

θ θ θ θ θf

l s l s1

22 1 2 3 1 2 3= − + − + +( ) ( ) (B69)

∂∂

fd

2

1

0= (B70)

∂∂θ

θ θ θ θ θ θf

l c l c l c2

11 1 2 1 2 3 1 2 3= + + + + +( ) ( ) (B71)

∂∂θ

θ θ θ θ θf

l c l c2

22 1 2 3 1 2 3= + + + +( ) ( ) (B72)

∂∂

fd

3

1

1= (B73)

∂∂θ

f 3

1

0= (B74)

∂∂θ

f 3

2

0= (B75)

En el campo de la robótica el jacobiano relaciona, entre otras cosas, las velocidades articulares con la velocidad cartesiana de operación del órgano terminal del brazo manipulador, esto es (ecuación (B76)) :

01 1 2v J dOT = ( , , )θ θ Θ

o

(B76) Donde :

0

0

0

0

vvvv

OT

OTx

OTy

OTz

=

(B77)

Θo

o

o

o=

d1

1

2

θ

θ

(B78)

Se observa que el jacobiano es una transformación lineal variante con el tiempo. Por otro lado, el jacobiano permite la relación inversa entre las velocidades respectivas de cada espacio, siempre y cuando sea cuadrado y no singular (ver ec. (B79)). Para el caso que se trata el jacobiano si es cuadrado, sin embargo la afirmación de la segunda condición se restringe a la configuración actual presente del manipulador.

Θo

= −J d vOT1

1 1 20( , , )θ θ (B79)

Donde :

J dAdj J d

J d− =1

1 1 21 1 2

1 1 2

( , , )( , , )

det ( , , )θ θ

θ θθ θ

(B80)

Si el determinante del jacobiano es nulo entonces la matriz es singular impidiendo la existencia de solución. El determinante del jacobiano es, entonces (ecuación (B81)):

det ( , , ) ( )J d l l s l l s1 1 2 1 2 2 1 3 2 3θ θ θ θ θ= + + (B81)

La configuración con la cual el determinante del jacobiano es cero es con θ2=0º, 180º. Es importante aclarar que el elemento θ 3 depende de θ 2, siendo θ3 = 0 c uando θ 2 =0. Tal vez sea más evidente la singularidad existente en el manipulador si se analiza solamente la sub-cadena cinemática formada por el eslabonamiento comprendido entre la segunda y tercer articulación (se excluye al primer y último eslabón. Ver fig. (B11) ). Con esta consideración se presentan las funciones que permiten obtener las coordenadas del punto M solamente para los espacios bidimensionales paralelos al plano formado por dos de los elementos de la base generadora {0}, x0, y0. Estas funciones se presentan en las ecs. (B82) y (B83) siguientes.

Fig. (B11). Subcadena cinemática constitutiva de 2GDL´s.

g l c l c M x1 1 1 2 1 20= + + =θ θ θ( ) (B82)

g l s l s M y2 1 1 2 1 20= + + =θ θ θ( ) (B83)

El jacobiano para este conjunto de ecuaciones es el siguiente (ec. (B84)).

Jl s l s l s

l c l c l cSUB ( , )( , ) ( )( , (

θ θθ θ θ θ θθ θ θ θ θ1 2

1 1 2 1 2 2 1 2

1 1 2 1 2 2 1 2

=− − − +

+ +

(B84)

El determinante de este arreglo matricial se presenta a continuación (ec. (B85)).

det ( , )J l l sSUB θ θ θ1 2 1 2 2= (B85)

Si θ2=0º,180º entonces det J(θ 1,θ 2)=0 que representa la condición necesaria para afirmar que el jacobiano es singular en esos puntos que representan los límites laterales del área de trabajo. En La siguiente fig. (B12) se muestra el comportamiento del determinante det J con la evolución de la tercer variable articular θ2. Los datos corresponden a un ejemplo cuyo manipulador tiene como dimensiones l1=l2 = 100 unidades.

det JSUB

-15000

-10000

-5000

0

5000

10000

15000

0.00

22.3

0

44.6

0

66.9

0

89.2

0

111.

50

133.

80

156.

10

178.

40

200.

70

223.

00

245.

31

267.

61

289.

91

312.

21

334.

51

356.

82

Fig. (B12). Variación del determinante del jacobiano con la variable articular θ 2.

Tomando en cuenta las leyes de Newton y Euler que a continuación se presentan (ecs. (B86)) Se puede entender los efectos dinámicos relacionados con los puntos singulares y los movimientos llevados a cabo en las cercanías de ellos.

F ma N I I= = + ⊗; ( )α ω ω (B86)

Donde, si el movimiento es de rotación, entonces la aceleración en la ley de Newton es (ecuación (B87)):

a r r= ⊗ + ⊗ ⊗α ω ω( ) (B87)

θ2(º)

Det J

Figura (B13a). Inverso del jacobiano del manipulador P-R-R-R En estas ecuaciones α y ω representan las aceleraciones y velocidades angulares del movimiento de los respectivos eslabones. De las anteriores ecuaciones se puede ver que las Fuerzas y momentos se incrementan conforme crecen las velocidades y aceleraciones angulares. Ahora se demostrará a continuación que como se aproxima el manipulador a su configuración singular las velocidades y aceleraciones articulares se incrementan considerablemente.

x

y

Jdet1

Figura (B13b). Inverso del jacobiano del manipulador P-R-R-R

La definición de aceleración angular articular se muestra a continuación (ecuación (B88)).

ΘΘ ∆ Θ

∆∆

ooo o

( )( ) ( )

t limt t t

tt=

+ −→0

(B88)

Donde :

Θ ∆ ∆∆∆

o

( ) ( )( )

det ( )t t J t t v

adj J t tJ t t

vOT OT+ = + =++

−1 0 0 (B89)

y,

Θo

( ) ( )( )

det ( )t J t v

adj J tJ t

vOT OT= =−1 0 0 (B90)

x

y

Jdet1

Figura (B14a). Cuadrado del inverso del determinante del jacobiano

Se observa que para condiciones de velocidad constante en el espacio operacional la diferencia entre los vectores de velocidad articular en distintos tiempos, separados un ∆ t muy pequeño, es muy grande en las vecindades de la singularidad. Su efecto se debe a que el det J va disminuyendo con una pendiente grande (ver fig. (B14a,b)) confor me el manipulador se aproxima al límite lateral del volumen de trabajo.

y

x (1/det J)2

Figura (B14a). Cuadrado del inverso del determinante del jacobiano

-15000

-10000

-5000

0

5000

10000

0.00

21.9

0

43.8

0

65.7

0

87.6

0

109.

50

131.

40

153.

30

175.

20

197.

10

219.

00

240.

91

262.

81

284.

71

306.

61

328.

51

350.

42

Fig. (B15). Velocidad de aumento de la pendiente del operador jacobiano.

Derivando la ec. (B79) con respecto al tiempo se puede observar claramente el efecto inversamente proporcional que presenta la disminución gradual del determinante del jacobiano conforme se acerca el manipulador hacia la singularidad.

y

x

(1/det J)2

d(J)/dt

Θoo

( )det ( )

( ( ))det ( )

( )det ( )

( )(det ( ))

tvJ t

d adj J tdt

aJ t

adj J tv

J tadj J t

d J tdt

OT OT OT=

+

−

0 0 0

2

(B91)

Fig. (B16a). Velocidad de aumento de la pendiente del operador jacobiano.

x

y

dJ/dt

Fig. (B16b). Velocidad de aumento de la pendiente del operador jacobiano.

En la anterior ecuación (B91)se observa que en un sumando a la derecha de la igualdad se presenta inversamente proporcional el cuadrado del valor del determinante del jacobiano que al presentarse muy pequeño se incrementan considerablemente algunos elementos del vector de aceleración articular para mantener las condiciones dinámicas del espacio operacional deseadas. Para ver claramente las implicaciones que tiene la configuración singular o el movimiento en la cercanía a ella se debe hacer notar que el manipulador puede transportar un elemento o sustancia delicada o peligrosa de una posición a otra. Estas posiciones se encuentran precisamente en la frontera del límite del volumen de trabajo, alrededor del manipulador. B.4. DINÁMICA

y

x dJ/dt

B.4.1 FORMULACIÓN RECURSIVA DE NEWTON-EULER

Para determinar las ecuaciones de movimiento, tomando en cuenta las fuerzas y pares, se empleó la formulación recursiva de Newton-Euler. Esta formulación se resume a continuación. Propagación hacia adelante (i=0, 1, 2, 3) : La definición de la velocidad angular del eslabón i+1 es (ec. (5.1)) :

ii i

i ii i

iiR z+

++

++

+= +11

11

11ω ω θ

o$ (5.1)

La aceleración angular del eslabón i+1, si la articulación es rotacional, es (ec. (5.2)) :

i

i ii

i

i ii i

i ii

i ii

iR R z z+

++ +

++

+ ++

+= + ⊗ +1

11 1

11

1 11

1ω ω ω θ θo o o oo

$ $ (5.2) La aceleración lineal del eslabón i+1, si su articulación anterior es rotacional, es (ec. (5.3)) :

( )i

i ii

i

ii

ii

ii

ii

i

i

iv R p p v+

++

+ += ⊗ + ⊗ ⊗ +

1

11

1 1

o o o

ω ω ω (5.3)

La aceleración lineal del centro de gravedad del eslabón i+1 es (ec. (5.4)) :

( )i

Ci

i

ii

Cii

ii

ii

Ci

i

iv p p v+

+

+

++

++

++

++

+

+

+= ⊗ + ⊗ ⊗ +1

1

1

11

11

11

11

1

1

1

o o o

ω ω ω (5.4)

La fuerza debida a la aceleración del eslabón i+1 (segunda ley de Newton) es (ec. (5.5)) :

ii i

i

CiF m v++ +

+

+=11 1

1

1

o (5.5)

El momento angular debido al movimiento rotacional del eslabón i+1 está representado por la ec. (5.6) siguiente :

ii

Cii

i

ii

iCi

ii

iN I I++

++

+

++

++

++

+= + ⊗11

11

1

11

11

11

1ω ω ωo

(5.6)

Por otro lado si la articulación anterior del eslabón i+1 es prismática, la velocidad angular presenta la siguiente forma (ec. (5.7)):

i

i ii

i

iR+

++=

1

11ω ω

o o

(5.7) Mientras que su aceleración lineal está dada por la ec. (5.8) :

( )i

i ii

i

ii

ii

ii

ii

i

i

ii

i ii

i ii

iv R p p v d z d z+

++

+ ++

+ ++

+ ++

+= ⊗ + ⊗ ⊗ +

+ ⊗ +

1

11

1 11

1 11

1 11

12o o o o oo

ω ω ω ω $ $

(5.8) Para i=0, 1, 2, 3 se tienen las ecs. de la velocidad angular (B92)-(B95) :

11 0ω = (B92)

22 10 0ω θ=

o T

(B93)

33 1 20 0ω θ θ= +

( )

o o T

(B94)

44 1 2 30 0ω θ θ θ= + +

( )

o o o T

(B95)

Para i=0, 1, 2, 3 se tienen las ecuaciones de aceleración angular (B96)-(B99):

1

1 0ωo

= (B96)

2

2 10 0ω θo oo

=

(B97)

3

3 1 20 0ω θ θo o o

= +

( )

T

(B98)

4

4 1 2 30 0ω θ θ θo oo oo oo

= + +

( )

T

(B99)

Las aceleraciones lineales de los eslabones 1, 2, 3, 4 (i=0, 1, 2, 3) están representadas por las ecuaciones (B100)-(B102) siguientes:

1

1 0 0v d gTo oo

= −

( ) (B100)

2

2 0 0v d gTo oo

= −

( ) (B101)

3

3

2 1 1 2 1

2

1

2 1

2

1 2 1 1

1

v

s l c l

s l c l

d g

o

oo o

o oo

oo=

−

+

−

θ θ θ θ

θ θ θ θ (B102)

4

4

3 1 2

2

2 2 1 1 2 1

2

1 3 1 2 2 2 1

2

1 2 1 1

3 1 2

2

2 2 1 1 2 1

2

1 3 1v

c l s l c l s l s l c l

s l s l c l co

o o oo o oo oo o oo

o o oo o oo

=

− +

+ −

+ +

+ +

− − +

+ −

+

θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ θ θ θ +

+ +

−

θ θ θ θ θoo o oo

oo

2 2 2 1

2

1 2 1 1

1

l s l c l

d g

(B102) Las aceleraciones lineales de los respectivos centros de gravedad de eslabones móviles se presentan mediante las ecuaciones (B103)-(B106) siguientes :

1

1 10 0v d gC

o oo= −

( ) (B103)

2

2

1

22

2 12

2

1

22

2 12

2

1

v

p p

p p

d g

C

C x C y

C y C x

o

o oo

o oo

oo

=

− −

− +

−

θ θ

θ θ (B104)

3

3

1 23

3 1 22 3

3 2 1 1 2 1

2

1

1 23

3 1 22 3

3 2 1 1 2 1

2

1

1

v

p p s l c l

p p c l s l

d g

C

C y C x

C x C y

o

oo oo o o oo o

oo oo o o oo o

oo

=

− + − + + −

+ − + + +

−

( ) ( )

( ) ( )

θ θ θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ θ θ (B105)

4

4

1 2 34

4 1 2 32 4

4

4

4

1 2 34

4 1 2 32 4

4

4

4

1

v

p p v

p p v

d g

C

C y C x x

C x C y y

o

oo oo oo o o o o

oo oo oo o o o o

oo

=

− + + − + + +

+ + − + + +

−

( ) ( )

( ) ( )

θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ (B106)

Las respectivas fuerzas debidas a la aceleración de cada eslabón se encuentran propagando i=0,1,2,3. Estas se muestran por medio de las ecuaciones (B107)-(B111) :

11

1 1

00F

m d g=

−

( )

oo (B107)

22

2 1

22

2 12

2

2 1

22

2 12

2

2 1

F

m p p

m p p

m d g

C x C y

C y C x=

− −

− +

−

( )

( )

( )

θ θ

θ θ

o oo

o oo

oo

(B108)

33

3 1 23

3 1 22 3

3 2 1 1 2 1

2

1

3 1 23

3 1 22 3

3 2 1 1 2 1

2

1

3 1

F

m p p s l c l

m p p c l s l

m d g

C y C x

C x C y=

− + − + + −

+ − + + +

−

( ( ) ( ) )

(( ) ( ) )

( )



oo oo o o oo o

oo oo o o oo o

oo

(B109)

44

4 1 2 34

4 1 2 32 4

4

4

4

4 1 2 34

4 1 2 32 4

4

4

4

4 1

F

m p p v

m p p v

m d g

C y C x x

C x C y y=

− + + − + + +

+ + − + + +

−

( ( ) ( ) )

(( ) ( ) )

( )

θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ

oo oo oo o o o o

oo oo oo o o o o

oo

(B110)

Para i=0, 1, 2, 3 se tienen los momentos angulares debido al movimiento giratorio. Las ecs. son las (B111)-(B114) siguientes:

11 0N = (B111)

22

22 1

22

2 1

22 1

22

2 1

22 1

N

I I

I I

I

Cyz

Cxz

Cxz

Cyz

Czz

=

−

− −

θ θ

θ θ

θ

o oo

o oo

oo

(B112)

33

33 1 2

2 33 1 2

33 1 2

2 33 1 2

33 1 2

N

I I

I I

I

Cyz

Cxz

Cxz

Cyz

Czz

=

+ − +

− + − +

+

( ) ( )

( ) ( )

( )

θ θ θ θ

θ θ θ θ

θ θ

o o oo oo

o o oo oo

oooo

(B113)

44

44 1 2 3

2 44 1 2 3

44 1 2 3

2 44 1 2 3

44 1 2 3

N

I I

I I

I

Cyz

Cxz

Cxz

Cyz

Czz

=

+ + − + +

− + + − + +

+ +

( ) ( )

( ) ( )

( )

θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ

θ θ θ

o o o oo oo oo

o o o oo oo oo

oo oo oo

(B114)

El siguiente proceso representa la propagación hacia atrás, y significa simplemente un balance de fuerzas y momentos angulares sobre cada eslabón. Es importante recalcar que el balance sobre el eje z de cada referencial de eslabonamiento es el efecto cinético que debe ser reaccionado por los actuadores de cada articulación. Proceso de propagación hacia atrás (i=4, 3, 2, 1) :

ii i

i ii

iif R f F= ++

++1

11 (5.9)

i

ii

i ii i

ii

Cii

ii

i ii i

in N R n p F p R f= + + + ⊗ + ⊗++

+ + ++

+11

1 1 11

1 (5.10) Las ecuaciones importantes, que permiten determinar una buena selección de los actuadores a utilizar, así como operarlos a condiciones de saturación electromagnética adecuada , son las siguientes (5.11) y (5.12) dependiendo del tipo de articulación a tratar :

τ ii

iT i

in z= $ (5.11)

f f zii

iT i

i= $ (5.12) Así, el balance de fuerzas sobre el eslabón i = 4, 3, 2, 1 se presentan mediante las ecuaciones (204)-(207) siguientes :

44

44f F= (B115)

33

34

4 34

43

3

34

4 34

43

34

43

3

fc F s F Fs F c F F

F F

x y x

x y y

z z

=− ++ +

+

θ θθ θ (B116)

22

23

3 23

32

2

23

3 23

32

23

32

2

fc f s f Fs f c f F

f F

x y x

x y y

z z

=− ++ +

+

θ θθ θ (B117)

11

12

2 12

2

12

2 12

22

21

1

fc f s fs f c f

f F

x y

x y

z z

=−++

θ θθ θ (B118)

Efectuando un balance de momentos angulares respecto al punto articular oi (origen de los sistemas de referencia de eslabón i=4, 3, 2, 1) se tienen las ecuaciones (B119)-(B121) siguientes:

44

44

44

44

44

44

44

44

44

44

44

44

44

44

44

44

nN p F p FN p F p FN p F p F

x C y z C z y

y C z x C x z

z C x y C y x

=+ −+ −+ −

(B119)

33

33 3

44 3

44

33

33

33

33 3 3

44 3

44

33 3

44 3

44

33

33

33

33 3 3

44 3

44 2

44

33

44

33

33

3

nN c n s n p F p F e s F c F

N s n c n p F p F e c F s F l FN n p F p

x x y C y z C z y x y

y x y C z x C x z x y z

z z C x y

=+ − + − − +

+ + + − + − −+ + −

θ θ θ θθ θ θ θ

( )( )

C y x x yF l s F c F33

3 2 34

4 34

4+ +

( )θ θ

(B120)

11

11 1

22 1

22

11

11

11 1

22 1

22

11

11

11

22

nN c n s n p FN s n c n p F

N n

x x y C y z

y x y C x z

z z

=+ − ++ + −

+

θ θθ θ (B121)

Si se extrae la carga dinámica (momentos angulares y fuerzas lineales) alrededor y a lo largo de los ejes z i móviles, se tienen las ec. (B122)-(B125).

τ44

44

44

44

44

4= + −N p F p Fz C x y C y x (B122)

τ θ θ33

34

43

33

33 3

3 2 34

4 34

4= + + − + +N n p F p F l s F c Fz z C x y Cy x x y( ) (B123)

τ θ θ22

23

32

22

22

22

2 1 23

3 23

3= + + − + +N n p F p F l s f c fz z C x y C y x x y( ) (B124)

{ }11 1 2 3 4 1f m m m m d gz = + + + −

oo (B125)

Las anteriores 4 ecuaciones permiten monitorear la carga sobre los actuadores al efectuarse una tarea con el manipulador. Es importante detectar los picos absolutos máximos, teniendo siempre presente que estos valores no deben sobrepasar las características ofrecidas por el catálogo del fabricante. Al efectuar una tarea con el manipulador se deben vigilar 3 parámetros importantes :

a).- Que durante la aceleración, el objeto manipulado no sea “arrancado” del órgano terminal. La fuerza, que es la masa por la aceleración máxima, debe mantenerse inferior a la fuerza de sujeción (que puede ser una prensión o succión generada por un vacío entre el órgano terminal y el objeto). b). - Que los parámetros cinéticos articulares que permiten generar el movimiento se mantengan inferiores a l os que pueden proporcionar los actuadores. c).- Que la estructura mecánica no alcance los modos resonantes o que las deflexiones de sus eslabones no sean muy grandes.

B.5. SIMULACIÓN B.5.1. INTRODUCCIÓN En este punto se lleva a cabo una simulación del manipulador efectuando una tarea específica. Básicamente, la tarea asignada consiste en transportar su órgano terminal desde la posición p1 y hasta la posición p2 a través de una recta como lugar geométrico. El proceso se desarrolla en un tiempo de 10 seg. Las posiciones inicial y final del recorrido se encuentran cercanas al límite del volumen de trabajo lateral, teniendo como objetivo en esta simulación determinar el comportamiento dinámico del sistema mecánico. Como se ha mencionado anteriormente, el manipulador presenta una singularidad con su brazo totalmente extendido o retraído, así se pretende analizar las velocidades y aceleraciones de cada eslabón, así como los pares motrices requerido para efectuar el movimiento para los principales perfiles temporales de trayectoria expuestos en el capítulo correspondiente. Resumiendo, se presentan los resultados de la posición, velocidad y aceleración en los espacios operacional y articular para los perfiles trapezoidal y quíntico con diferentes etapas estacionarias de 0, 1/3, 2/4, 3/5, 4/6, 5/7, 6/8, 7/9 y 8/10 del tiempo de recorrido total. B.5.2. DESCRIPCIÓN DE LA TAREA El manipulador desarrolla una trayectoria recta desde la posición p1 a la posición p2 (respecto del sistema inercial {0}, ver fig. (B17)) en un tiempo de proceso de 10 seg. Las coordenadas de las posiciones inicial y final se presentan a continuación en la siguiente tabla (B5) : Posición Coordenada x Coordenada y Coordenada z p1 479.9 mm 0 100 mm p2 0 479.9 mm 200 mm

Tabla (B5). Descripción de la tarea ejecutada por el manipulador.

Como se observa, las posiciones inicial y final se ubican a 1/10 de milímetro del límite del volumen de trabajo que se encuentra a 480 mm del eje central del cuerpo principal del manipulador. Este, al evolucionar sus articulaciones, desarrolla un volumen de trabajo tipo cilindro con un radio de 480 mm alcanzado con el brazo manipulador totalmente extendido. Tiempo de proceso 10 seg.

Tabla (B6) Tiempo empleado en el proceso. Los perfiles temporales empleados son trapezoidal y quíntico. Se emplea una variación en el periodo estacionario con n=2,3,..., 9,10, esto es, desde un periodo estacionario nulo hasta uno con 8/10 del tiempo total.

Fig. (B17). El manipulador desarrollando la tarea.

B.5.3. RESULTADOS DE LA SIMULACIÓN A continuación se muestran los resultados obtenidos para el manipulador ideal descrito. Los resultados, mostrados en forma de gráficas, se organizan de la siguiente manera (ver tabla núm. (B7)): Núm. Gráfica. Relación. Descripción. 1 qt(t)(mm.) vs. t(seg.). Variación del perfil de posición

trapezoidal contra el tiempo 2 q´t(t)(mm/seg.) vs. t(seg.). Variación del perfil de velocidad

trapezoidal con el tiempo 3 q´´t(t)(mm/seg2) vs. t(seg.). Variación del perfil de

aceleración trapezoidal con el tiempo.

4 xt(t)(mm) vs. t(seg.). Variación de la coordenada x trapezoidal con el tiempo.

5 yt(t)(mm) vs. t(seg.). Variación de la coordenada y trapezoidal con el tiempo.

6 zt(t)(mm) vs. t(seg.). Variación de la coordenada z trapezoidal con el tiempo.

P-R-R-R

7 vxt(t)(mm/seg) vs. t(seg.). Cambio de la coordenada x de la velocidad trapezoidal con el

tiempo 8 vyt(t)(mm/seg) vs. t(seg.). Cambio de la coordenada y de la

velocidad trapezoidal con el tiempo

9 vzt(t)(mm/seg) vs. t(seg.). Cambio de la coordenada z de la velocidad trapezoidal con el tiempo.

10 axt(t)(mm/seg2) vs. t(seg.). Variación de la coordenada x de la aceleración trapezoidal con el tiempo.

11 ayt(t)(mm/seg2) vs. t(seg.). Variación de la coordenada y de la aceleración trapezoidal con el tiempo.

12 azt(t)(mm/seg2) vs. t(seg.). Variación de la coordenada z de la aceleración trapezoidal con el tiempo.

13 d1t(t)(mm) vs. t(seg.). Desplazamiento lineal de la primera articulación para el movimiento trapezoidal.

14 θ1t(t)(rad) vs. t(seg.). Variación de la segunda articulación rotacional para el movimiento trapezoidal.

15 θ2t(t)(rad) vs. t(seg.). Cambio de la tercer articulación rotacional para el movimiento trapezoidal

16 θ3t(t)(rad) vs. t(seg.). Variación de la cuarta articulación para el perfil trapezoidal.

17 d1´t(t)(mm/seg) vs. t(seg) Velocidad de la primer articulación en el movimiento trapezoidal.

18 θ1´t(t)(rad/seg) vs t(seg) Velocidad de la segunda articulación para el movimiento trapezoidal

19 θ2´t(t)(rad/seg) vs. t(seg) Velocidad de la tercer articulación para el movimiento trapezoidal.

20 θ3´t(t)(rad/seg) vs. t(seg) Velocidad de la cuarta articulación para el movimiento trapezoidal.

21 d1´´t(t)(mm/seg2) vs. t(seg) Aceleración de la primer articulación para el movimiento trapezoidal.

22 θ1´´t(t)(rad/seg2) vs t(seg) Aceleración de la segunda articulación para el movimiento trapezoidal.

23 θ2´´t(t)(rad/seg2) vs. t(seg) Aceleración de la tercer articulación para el movimiento trapezoidal.

24 θ3´´t(t)(rad/seg2) vs. t(seg) Aceleración de la cuarta articulación para el movimiento trapezoidal.

25 qq(t)(mm.) vs. t(seg.). Variación del perfil de posición

quíntico contra el tiempo 26 q´q(t)(mm/seg.) vs. t(seg.). Variación del perfil de velocidad

quíntico con el tiempo 27 q´´q(t)(mm/seg2) vs. t(seg.). Variación del perfil de

aceleración quíntico con el tiempo.

28 xq(t)(mm) vs. t(seg.). Variación de la coordenada x quíntico con el tiempo.

29 yq(t)(mm) vs. t(seg.). Variación de la coordenada y quíntica con el tiempo.

30 zq(t)(mm) vs. t(seg.). Variación de la coordenada z quíntica con el tiempo.

31 vxq(t)(mm/seg) vs. t(seg.). Cambio de la coordenada x de la velocidad quíntica con el tiempo

32 vyq(t)(mm/seg) vs. t(seg.). Cambio de la coordenada y de la velocidad quíntica con el tiempo

33 vzq(t)(mm/seg) vs. t(seg.). Cambio de la coordenada z de la velocidad quíntica con el tiempo.

34 axq(t)(mm/seg2) vs. t(seg.). Variación de la coordenada x de la aceleración quíntica con el tiempo.

35 ayq(t)(mm/seg2) vs. t(seg.). Variación de la coordenada y de la aceleración quíntica con el tiempo.

36 azq(t)(mm/seg2) vs. t(seg.). Variación de la coordenada z de la aceleración quíntica con el tiempo.

37 d1 q(t)(mm) vs. t(seg.). Desplazamiento lineal de la primera articulación para el movimiento quíntico.

38 θ1q(t)(rad) vs. t(seg.). Variación de la segunda articulación rotacional para el movimiento quíntico.

39 θ2q(t)(rad) vs. t(seg.). Cambio de la tercer articulación rotacional para el movimien to quíntico.

40 θ3q(t)(rad) vs. t(seg.). Variación de la cuarta articulación para el perfil quíntico.

41 d1´q(t)(mm/seg) vs. t(seg) Velocidad de la primer articulación en el movimiento quíntico.

42 θ1´q(t)(rad/seg) vs t(seg) Velocidad de la segunda articulación para el movimiento quíntico.

43 θ2´q(t)(rad/seg) vs. t(seg) Velocidad de la tercer articulación para el movimiento quíntico.

44 θ3´q(t)(rad/seg) vs. t(seg) Velocidad de la cuarta articulación para el movimiento quíntico.

45 d1´´q(t)(mm/seg2) vs. t(seg) Aceleración de la primer articulación para el movimiento quíntico.

46 θ1´´q(t)(rad/seg2) vs t(seg) Aceleración de la segunda articulación para el movimiento quíntico.

47 θ2´´q(t)(rad/seg2) vs. t(seg) Aceleración de la tercer articulación para el movimiento quíntico.

48 θ3´´q(t)(rad/seg2) vs. t(seg) Aceleración de la cuarta articulación para el movimiento quíntico.

49 ft(t)(N) vs. t(seg) Fuerza requerida para desarrollar el movimiento de la primer articulación en el perfil trapezoidal.

50 τ1t(t)(N-mt) vs. t(seg) Par motriz requerido para efectuar el movimiento en la segunda articulación para el perfil trapezoidal.

51 τ2t(t)(N-mt) vs. t(seg) Par motriz requerido para efectuar el movimiento en la tercer articulación para el perfil trapezoidal.

52 τ3t(t)(N-mt) vs. t(seg) Par motriz requerido para efectuar el movimiento en la cuarta articulación para el perfil trapezoidal.

53 fq(t)(N) vs. t(seg) Fuerza requerida para desarrollar el movimiento de la primer articulación en el perfil quíntico.

54 τ1q(t)(N-mt) vs. t(seg) Par motriz requerido para efectuar el movimiento en la segunda articulación para el perfil quíntico.

55 τ2q(t)(N-mt) vs. t(seg) Par motriz requerido para efectuar el movimiento en la tercer articulación para el perfil quíntico.

56 τ3q(t)(N-mt) vs. t(seg) Par motriz requerido para efectuar el movimiento en la cuarta articulación para el perfil quíntico.

57 ft(t)/fq(t) vs. t(seg) ; n=2 Fuerza requerida para mover la primera articulación empleando perfiles trapezoidal y quíntico y par a proceso con estacionario nulo (n=2)

58 τ1t(t)/τ1q(t) vs. t(seg) Par motriz requerido para mover a la segunda articulación empleando perfiles trapezoidal y quíntico y para proceso con estacionario nulo (n=2)

59 τ2t(t)/τ2q(t) vs. t(seg) Par motriz requerido para mover a la tercera articulación empleando perfiles trapezoidal y quíntico y para proceso con

estacionario nulo (n=2) 60 τ3t(t)/τ3q(t) vs. t(seg) Par motriz requerido para

mover a la cuarta articulación empleando perfiles trapezoidal y quíntico y para proceso con estacionario nulo (n=2)

Tabla (B7). Organización de gráficas que definen los resultados de la simulación.

0

100

200

300

400

500

600

700

0.00

0.66

1.32

1.98

2.64

3.30

3.96

4.62

5.27

5.93

6.59

7.25

7.91

8.57

9.23

9.89

t(seg)

q(m

m)

qt(n=2)

qt(n=3)

qt(n=4)

qt(n=5)

qt(n=6)

qt(n=7)

qt(n=8)

qt(n=9)

qt(n=10)

Fig. (B18). Perfil trapezoidal para la posición impuesto al movimiento del

órgano terminal. Se presentan diferentes periodos estacionarios (n=2,3,...,9,10).

apuntes de robótica

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