anexo 1 números naturales y divisibiidad

1

ANEXO 1-

NÚMEROS NATURALES Y DIVISIBILIDAD

1 Númerosnaturales.Sistemas denumeración

Los números naturales surgieron debido a la necesidad que siente el serhumano de contar lo que le rodea.

EJEMPLO

1 ¿Cuántos días hay desde el 8 de septiembre hasta el 27 de septiembre?S E PT I EMB R E

L M M i J V S D

Del 8 al 27 de septiembre hay 19 días.

El conjunto de los números naturales es ilimitado, es decir, no tiene fin,porque dado un número cualquiera, siempre es posible obtener el siguientesumándole una unidad a ese número.

Para escribir números naturales se utilizan los sistemas de numeración.

1.1 Sistema denumeracióndecimal

Para expresarnúmeros naturales

solemos utilizarel sistema de numeración

decimal.

En el sistema de numeración decimal se utilizan diez cifras distintaspara representar una cantidad: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.

ANTES, DEBES SABER…Cuáles son los órdenes de unidades del sistemade numeración decimal y sus equivalencias

Centenade millón

Decenade millón

Unidadde millón

Centenade millar

Decenade millar

Unidadde millar

Centena Decena Unidad

En el sistema de numeración decimal cada 10 unidades de un orden formanuna unidad del orden inmediato superior.

1 D = 10 U1 C = 10 D = 100 U

1 UM = 10 C = 1 000 U1 DM= 10 UM = 10 000 U1 CM = 10 DM = 100 000 U

1 U. de millón = 10 CM = 1 000 000 U1 D. de millón = 10 U. de millón = 10 000 000 U1 C. de millón = 10 D. de millón = 100 000 000 U

LO QUE DEBES SABER RESOLVER

1 Contesta.

a) ¿Cuántas decenas hay en 1 unidad de millar?

b) ¿Cuántas centenas hay en 1 decena de millar?

c) ¿Cuántas centenas hay en 1 unidad de millón?

Centenade millón

Decenade millón

Unidadde millón

Centenade millar

Decenade millar

Unidadde millar

Centena Decena Unidad

1 2 9 0 9 8 1 0 5

1 2 9 0 9 8 1 0 5

F 5 UnidadesF

F

F

F

0 Decenas1 Centena = 100 unidades8 Unidades de millar = 8 000 unidades9 Decenas de millar = 90 000 unidades

F

F

F

F

0 Centenas de millar9 Unidades de millón = 9 000 000 unidades2 Decenas de millón = 20 000 000 unidades1 Centena de millón = 100 000 000 unidades

ANTES, DEBES SABER…Cómo se descompone un número en su orden de unidades

En el sistema de numeración decimal, a cada cifra de un númerole corresponde un orden de unidades.

EJEMPLO

1 Descompón estos números en su orden de unidades.

a) 14 = 1 D + 4 U

b) 256= 2 C + 5 D + 6 U

c) 1 807 = 1 UM + 8 C + 7 U

d) 103 410 = 1 CM + 3 UM + 4 C +1 D

e) 3 020 070 = 3 U. de millón + 2 DM + 7 D

f) 906 025 000 = 9 C. de millón + 6 U. de millón + 2 DM + 5 UM

El sistema de numeración decimal es posicional, es decir, el valor decada cifra depende del lugar o posición que ocupa en el número.

EJEMPLO

2 Calcula el valor posicional de las cifras del número 129 098 105.

El valor de cada cifradepende de su posición

en el número.


1 Señala el valor de la cifra 5 en estos números.

a) 15 890 900 b) 509 123 780 c) 163 145 900

2 Escribe tres números que tengan 4 unidadesde millar, 7 decenas y 4 unidades.

3 Escribe cinco números cuya cifra de lascentenas de millón sea 7 y otros cinco cuya cifrade las centenas de millar sea 9.

I = 1 V = 5 X = 10 L= 50C = 100 D = 500 M = 1000

1.2 Sistema denumeración romanoAunque habitualmente paraescribir números naturales

utilizamos el sistemade numeración decimal,a lo largo de la historiase han empleado otros

sistemas de numeración.

Para expresar cantidades mediante el sistema de numeración romanose utilizan siete letras distintas con estos valores:

El sistema de numeración romano es aditivo, es decir, cada letra tienesiempre el mismo valor.

Reglas para escribir números en el sistema de numeración romano

• Suma. Una letra escrita a la derecha de otra de igual o mayor valor,le suma a esta su valor.

XVI = 10 + 5 + 1 = 16 CLV = 100 + 50 + 5 = 155

• Repetición. Las letras I, X, C y M se pueden escribir hasta tresveces seguidas. Las demás letras no se pueden repetir.

III = 3 XXX = 30 CCC = 300

• Sustracción. La letra I escrita a la izquierda de V o X, la X a la izquierdade L o C, y la C a la izquierda de D o M, les resta a estas su valor.

IV = 4 XC = 90 CM = 900

• Multiplicación. Una raya colocada encima de una letra o grupo deletras multiplica su valor por mil.

VI = 6000 VI = 5 001 XL = 40 000

EJEMPLOS

3 Expresa estos números romanos en el sistema decimal.

a) LXV " 50 + 10 + 5 = 65

b) XXI " 10 + 10 + 1 = 21

c) CCVII " 100 + 100 + 5 + 1 + 1 = 207

d) MDIII " 1 000 + 500 + 1 + 1 + 1 = 1 503

e) IX " 10- 1 = 9

f) XLVII " 50- 10 + 5 + 1 + 1 = 47

g) VCCCXL " 5 · 1 000 + 100 + 100 + 100 + 50- 10 = 5 340


5 Traduce al sistema de numeración decimal 6 Escribe en números romanos.estos números romanos. a) 194a) XCII b) 426b) DCCXL c) 2 046

c) VIIIIX d) 12 311

2 Multiplicacióndenúmerosnaturales

La multiplicación es la expresión abreviada de una suma de varios su-mandos iguales.

Los términos de la multiplicación se denominan factores. El resultadofinal se llama producto.

EJEMPLOS

El producto de dosnúmeros se indica por

un punto (·), aunque tambiénse puede representar

por el signo x.12 · 7 = 12 x 7

4 Expresa como un producto.

a) 3 + 3 + 3 + 3 = 3 · 4 = 12 b) 12 + 12 = 12 · 2 = 24

5 Colocamos en una báscula 5 sacos de patatas que pesan 75 kg cada uno.¿Qué peso marcará la báscula?

75 + 75 + 75 + 75 + 75 = 75 · 5 = 375 . La báscula marcará 375 kg.Factores Producto

La multiplicación cumple las siguientes propiedades:

• Conmutativa. El orden de los factores no altera el producto.5 · 7 = 7 · 5

35 = 35

• Asociativa. El orden en el que agrupamos los factores no alterael producto.

(4 · 7) · 5 = 4 · (7 · 5)28 · 5 = 4 · 35

140 = 140

• Elemento neutro o unidad. Es el 1, ya que cualquier número mul-tiplicado por 1 es igual al mismo número.

13 · 1 = 13

• Distributiva. El producto de un número por una suma o resta esigual a la suma o resta de los productos del número por cada término.

3 · (2 + 5) = 3 · 2 + 3 ·5 4 · (8 - 3) = 4 · 8 - 4 · 33 · 7 = 6 + 15 4 · 5 = 32 - 12

21 = 21 20 = 20


7 Expresa como un producto.

a) 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6

b) 11 + 11 + 11 + 11 + 11

c) 13 + 13 + 13

8 Mario ha comprado 5 cajas de pinturas.Si en cada caja hay 18 pinturas,¿cuántas pinturas tiene en total?

9 Una docena de huevos son 12 huevos.¿Cuántos huevos hay en 2 docenas de huevos?¿Y en 8 docenas de huevos? ¿Y en 32 docenas?

3 Divisióndenúmerosnaturales

En una división, el restosiempre tiene que sermenor que el divisor.

Dividir es repartir una cantidad en partes iguales.

Los términos de la división se llaman dividendo, divisor, cocientey resto.

EJEMPLO

6 Un padre quiere repartir 630 € entre sus tres hijos en partes iguales.¿Qué cantidad recibirá cada uno?

630 3

03 210 Cada hijo recibirá 210 €.000

• Cuando el resto es cero, la división es exacta.Dividendo D d

Resto 0 cDivisorCociente

• Si el resto no es cero, la división es no exacta.Dividendo D d

Resto r cDivisorCociente

En ambos casos se cumple que: Dividendo = divisor · cociente + resto

A esta igualdad se le llama prueba de la división.

EJEMPLO

7 Se quieren repartir 43 caramelos entre 14 niños. ¿Cuántos caramelosrecibirá cada niño? ¿Sobra alguno?

43 14

01 3 Cada niño recibirá 3 caramelos y sobra 1 caramelo.

Para comprobar que la división es correcta, primero vemos que el resto esmenor que el divisor, 1 < 14, y después realizamos la prueba de la división:

D = d · c + r 43 = 14 · 3 + 143 = 42 + 143 = 43

Esto significa que hemos realizado bien la división.


13 Halla el cociente y el resto de la división6 712 : 23. Haz la prueba.

6 Determina cuáles de estas divisiones sonexactas y calcula el cociente de cada unade ellas.

a) 1 416 : 18 b) 3 182 : 37 c) 2 470 : 26

7 Un barco lleva 56 contenedores en los quese ha metido el mismo peso en cada uno.Si el peso de la carga total es 85 288 kg,¿cuál es el peso de cada contenedor?

4 Potenciasdenúmerosnaturales

Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación defactores iguales:

an = a·a·a·…·a 4n veces

a es la base, el factor que se repite.

3 exponente

n es el exponente, el número de veces que se repite la base.

2 · 2 = 22 Se lee «2 elevado a 2» o «2 al cuadrado».4 · 4 · 4 = 43 Se lee «4 elevado a 3» o «4 al cubo».3 · 3 · 3 · 3 = 34 _ _ Se lee «3 elevado a 4» o «3 a la cuarta».

EJEMPLOS

8 Escribe en forma de potencia las siguientes multiplicaciones:

Multiplicación Potencia Se lee

5 · 5 · 5 ·5 · 5 · 5 56 «5 elevado a 6» o «5 a la sexta»

14 · 14 · 14 143 «14 elevado a 3» o «14 al cubo»

Potenciasdebase10

Una potencia de base 10 y exponente un número natural es iguala la unidad seguida de tantos ceros como indique su exponente.

EJEMPLO

9 Halla el valor de las siguientes potencias de base 10.103 = 10·10·10= 1000


16 Escribe y calcula.

a) Siete al cubo. c) Diez a la cuarta.

b) Cuatro a la quinta. d) Diez a la octava.

17 Indica la base y el exponente de estaspotencias. Escribe cómo se leen.

a) 36 b) 102 c) 54 d) 45

18 Escribe en forma de potencia y calcula su valor.

a) 10 · 10 · 10 b) 6 · 6 · 6 · 6 · 6

5 Operacionesconpotencias

Las potencias cumplen una serie de propiedades, independientemente decuál sea el valor de la base y del exponente.

ANTES, DEBES SABER…Cómo se expresa un número como una potencia con exponente 1

Cualquier número es igual a una potencia con base ese númeroy exponente 1.

2 = 21 5 = 51 16 = 161

Para que se puedan aplicarlas propiedades del productoy el cociente, las potenciashan de tener la misma base.

53 • 74 _____ No sepuede expresar como

una sola potencia.

5.1 Productodepotenciasde la misma base

Para multiplicar dos o más potencias de la misma base, se mantienela misma base y se suman los exponentes.

am · an = am+n

EJEMPLO

4 Escribe estos productos de potencias como una sola potencia.

a) 25 · 23 = 25+3 = 28 d) 25 · 23 · 26 = 25+3+6 = 214

b) 57 · 52 = 57+2 = 59 e) 57 · 52 · 5 = 57+2+1 = 510

c) 43 · 4 = 43+1 = 44 f) 43 · 4 · 4 = 43+1+1 = 45

5.2 Cocientedepotenciasde la misma base

Para dividir dos potencias con la misma base, se mantiene la misma basey se restan los exponentes.

am : an = am-n

EJEMPLO

5 Escribe estos cocientes de potencias como una sola potencia.

a) 25 : 23 = 25-3 = 22 d) 29 : 23 = 29-3 = 26

b) 57 : 52 = 57-2 = 55 e) 57 : 52 = 57-2 = 55

c) 43 : 4 = 43-1 = 42 f) 43 : 4 = 43-1 = 42


20 Escribe como una sola potencia.

a) 74 · 75 c) 93 · 95 · 94

b) 53 · 53 d) 42 · 43 ·44

21 Halla el valor de estos productosde potencias.

a) 104 · 105 b) 103 · 10 ·102

5.3 Potencias deexponente 1 y 0

• Una potencia de exponente 1 es igual a la base a1 = a.• Una potencia de exponente 0 es igual a 1 a0 = 1.

EJEMPLO

6 Calcula estas potencias.

a) 20 = 1 c) 70 = 1 e) 240 = 1

b) 21 = 2 d) 71 = 7 f) 241 = 24

5.4 Potenciadeuna potencia

Para elevar una potencia a otra potencia, se mantiene la misma basey se multiplican los exponentes.

(am)n = am·n

EJEMPLO

7 Calcula estas potencias.

a) (23)4 = 23·4 = 212 b) (54)6 = 54·6 = 524

5.5 Potenciadeuna multiplicación yuna división

• La potencia de una multiplicación es igual al producto de las po-tencias de sus factores.

(a · b)n = an · bn

• La potencia de una división es igual al cociente de las potencias deldividendo y el divisor.

Utilizando esta propiedad ensentido inverso se pueden

simplificar los cálculos.54 · 24 = (5 · 2)4 =

104

63 : 23 = (6 : 2)3 = 33

(a : b)n = an : bn

EJEMPLO

8 Escribe estos cocientes de potencias como una sola potencia.

a) (4 · 2)3 = 43 · 23 = 64 · 8 = 512

b) (10 : 5)3 = 103 : 53 = 1 000 : 125 = 8


25 Calcula el valor de las potencias.

a) 151 b) 140

28 Calcula.

a) (24)3 c) (14 · 16)5

b) (63)5 d) (216 : 24)3

CALCULADORA

Para hallar una raízcuadrada con la calculadorautilizamos la tecla .

361 " 361 19

1296" 1 296 36

a) 1 = 1 porque 12 = 1

b) 4 = 2 porque 22 = 4

c). 9 = 3 porque 32 = 9

d) 16 = 4 porque 42 = 16

e) 25 = 5 porque 52 = 25

f) 36 = 6 porque 62 = 36

g) 49 = 7 porque 72 = 49

F

6 Raícescuadradas

6.1 Raíz cuadradaexacta

La raíz cuadrada exacta de un número a es otro número b tal que,al elevarlo al cuadrado, obtenemos el número a.

a = b, cuando b2 = a

Llamamos radicando al número a,es el símbolo de la raíz y decimos

Símbolode raíz

a = b Raíz

que b es la raíz cuadrada de a. Radicando

A los números cuya raíz cuadrada es exacta se les denomina cuadradosperfectos.

EJEMPLOS

18 Halla las raíces de los siguientes cuadrados perfectos.

19 El área de un cuadrado es 49 cm2. ¿Cuánto mide el lado?

49 cm2Área = l · l = l2

lÁrea = 49 cm2 l2 = 49 l = 49 = 7

El lado mide 7 cm.

l


32 Comprueba si estas raíces cuadradas estánbien resueltas.

a) 225 = 15 c) 1 000 = 100

b) 255 = 16 d) 40 000 = 200

33 Halla con tu calculadora.

34 Calcula el lado de un cuadrado de 400 cm2

de área.

10 Calcula el radicando de estas raíces sabiendoque son raíces cuadradas exactas. Compruebaque el radicando al cuadrado es igual a la raíz.

a) 289 a) = 5

b) 10 000 b) = 7

7 Jerarquíade lasoperaciones

ANTES, DEBES SABER…Cómo se realizan operaciones combinadas de suma y resta

• Para calcular una serie de sumas y restas sin paréntesis,se hacen las operaciones en el orden en el que aparecen,de izquierda a derecha.

• Para calcular una serie de sumas y restas con paréntesis,se hacen primero las operaciones que hay dentro de los paréntesis.

EJEMPLO

9 Resuelve estas operaciones.

15 + 23- 2- 12 + 8 =

= 38 - 2- 12 + 8 =

= 36 - 12 + 8 =

= 24 + 8 =

= 32

Cuando en una expresión aparecen operaciones combinadas, el orden enel que se realizan las operaciones es el siguiente:

1.º Las operaciones que hay entre paréntesis y corchetes.2.º Las potencias y las raíces.3.º Las multiplicaciones y las divisiones, de izquierda a derecha.4.º Las sumas y las restas, de izquierda a derecha.

EJEMPLO

22 Calcula las siguientes expresiones.

a) 10 + 3 ? 7- 14 : 7 =

= 10 + 21 - 2 =

= 31 - 2 =

= 29


11 Resuelve estas operaciones.

a) 17- 8- 2 + 6 + 5- 10

41 Calcula.

a) 7 · 4 - 12 + 3 · 6 - 2

a) 15 890 900 c) 509 123 780 e) 163 145 900

b) 54 786 008 d) 64 320 510 f) 986 403 005

Dividendo Divisor Cociente Resto

173 3

267 4

1 329 9

a) 987 654 c) 887 787 e) 8 080 008

b) 656 565 d) 3 004 005 f) 2 222 222

ActividadesSISTEMAS DE NUMERACIÓN

12. ● Señala el valor de la cifra 5 en cada unode los siguientes números.

OPERACIONES CON NÚMEROSNATURALES

48. ● Indica el valor posicional de todas las cifrasde estos números.

58. ● Completa la tabla.

13. ● Escribe:

• Cinco números mayores que 20 000 cuya cifrade las unidades de millar sea 8.

• Cinco números menores que 100 000 cuya cifrade las decenas de millar sea 3.

54. ● Expresa en el sistema de numeración decimalestos números romanos.

a) XXVI c) MCCXXV

b) DCXLVI d) DXXX

14. ● Escribe estos números en números romanos.

a) 7 b) 22 c) 74 d) 143 e) 3 002

.

15. ● Resuelve estas divisiones y realiza la prueba.

a) 327 : 22 b) 4 623 : 18

POTENCIAS

66. ● Expresa estas multiplicaciones enforma de potencia, si se puede.

a) 3 · 3· 3· 3· 3· 3· 3·3

b) 37 · 37

c) 4 · 14 · 4 · 14 · 4 · 14

d) 25

67. ● Indica cuál es la base y elexponente.

a) 28 Base = Exponente =

b) 312 Base = Exponente =

68. ● Expresa con números.

a) Once a la quinta.

b) Nueve a la cuarta.

71. ● Completa la tabla.

Al cuadrado Al cubo A la cuarta

9

11

OPERACIONES CON POTENCIAS

3

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE CALCULA UN EXPONENTE DESCONOCIDOEN UN PRODUCTO DE POTENCIAS?

17. Copia y completa: 32 · 3X = 38

PRIMERO. Se aplican las propiedades de las potencias.

32 · 3X = 38---- 32+X = 38

SEGUNDO. Se igualan los exponentes.2 + = 8

El número que sumado a 2 nos da 8 es 6. El exponentebuscado es 6.

RAÍCES CUADRADAS

96. ● Calcula las raíces cuadradas de estos números.

a) 64 b) 100 c) 169 d) 196

97. ● Completa.

a) = 5 c) = 15b) = 9 d) = 20

JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES

18. ● Realiza las siguientes operaciones.

a) 31- 20 + 15- 4

b) 12 + 7- 8- 5 + 14

c) 17- 9- 5 + 24

d) 49 + 7- 54- 2 + 25

e) 59 + 45- 76- 12 + 51

f) 123 + 12-17 - 23- 9 + 12

103. ● Calcula.

a) 15 + (12 + 6) : 3

b) 31 - (13 + 8) : 7

c) 4 + 15 : 5 + 17

d) 42- (3 + (32 : 4) : 2)

107. ● Calcula mentalmente el número quefalta.

a) 3 · 5 + 3 · =60b) 13 · 40- 13 · =260c) 15 · +7 · - 15 · 6 = 150

PROBLEMAS CON NÚMEROSNATURALES

HAZLOASÍ

¿CÓMO SE RESUELVE UN PROBLEMAEN EL QUE LOS DATOS ESTÁN RELACIONADOS?

116. La factura telefónica del mes pasado fuede 34 €, la de este mes ha sido 5 €más cara y la de hace dos meses fue 4€ menos.¿A cuánto ha ascendido el gasto enteléfono en los últimos tres meses?

PRIMERO. Se toma el dato conocido del problema.

«El mes pasado» " 34 €SEGUNDO. Se calculan los demás datos del problema.

«Este mes 5 € más» " 34 + 5 = 39 €«Hace dos meses 4 € menos»" 34- 4 = 30 €

TERCERO. Se resuelve el problema.

34 + 39 + 30 = 103 €El gasto en teléfono ha sido de 103 €.

117. ●● En un partido debaloncesto, losmáximos anotadoreshan sido Juan, Jorgey Mario. Juan halogrado 19 puntos,Jorge 5 puntos másque Juan y Mario7 puntos menosque Jorge.¿Cuántos puntoshan obtenido entrelos tres?

118. ●● Si ganase 56 € más al mes podría gastar:420€ en el alquiler de la casa, 102€ en gasolinapara el coche, 60 € en la manutencióny 96 € en gastos generales, y ahorraría 32 €.¿Cuánto gano al mes?

119. ●●● Mario tiene 11 años y es 4 años menor quesu hermana. Entre los dos tienen 19 años menosque su madre. ¿Cuántos años tiene la madre?

120. ●● Se ha enseñado a un grupo de jóvenesa sembrar trigo. El primer día sembraron125 kilos y el segundo día sembraronel doble de kilos que el primero.

a) ¿Cuántos kilos sembraron el segundo día?

b) ¿Y entre los dos días?

121. ●● Observa estos precios.

127. ●● Vamos a repartir 720 € entre tres personasy se sabe que la primera recibirá 280 €.¿Cuánto recibirán las otras dos si el restose reparte en partes iguales?

128. ●● Nacho y Ana están preparando una fiestay compran 12 botellas de 2 litros de naranja,12 de limón y 12 de cola.

a) ¿Cuántos litros han comprado?

b) Si cada botella de 2 litros cuesta 2 €,¿cuánto dinero se han gastado?

130. ●●● En España cada persona recicla, portérmino medio, 14 kg de vidrio cada año.

a) Si en España hay 40 millones de personas,¿cuántos kilos de vidrio se reciclan al año?

b) Para reciclar 680 000 000 000 kg, ¿cuántos kilosmás debería reciclar cada persona?

Desde 400 €hasta 600 €



a) ¿Se pueden adquirir los tres artículoscon 900 €?

b) ¿Cuál es la cantidad mínima necesaria paracomprar los tres artículos?

c) ¿Cuánto sobra, con seguridad, si se disponede 2 000 € para comprar los tres artículos?

122. ●● Un generador eléctrico consume 9 litros degasolina a la hora y una bomba de agua 7 vecesmás. ¿Cuántos litros consumen entre los dosal cabo de 4 horas?

123. ●● Cada fin de semana Luis recibe 6 € y segasta 4 €. ¿Cuántas semanas han de pasarhasta que ahorre 18 €?

124. ●● Pedro tiene 79 € para comprar sillas.Sabiendo que cada una cuesta 7 €, ¿cuántassillas puede comprar? ¿Cuánto le sobra?

125. ●● Una botella de 1 litro de aceite cuesta 3 €.Si la garrafa de 6 litros cuesta 12 €, ¿cuántodinero nos ahorramos comprando garrafas?

126. ●●● Un coche va a 110 km/h y otro a 97 km/h.¿Cuántos kilómetros le llevará de ventajael primer coche al segundo al cabo de 9 horas?

131. ●● El tablero del ajedrez es un cuadradoformado por 8 filas, con 8 cuadraditos en cadafila. ¿Cuántos cuadraditos hay en total?

132. ●● Marta quiere saber cuántosmelocotones hay en el almacén. Para ello hace5 montones con 5 cajas en cada montón, y encada caja, 5 filas con 5 melocotones en cada fila.¿Cuántos melocotones hay?

133. ●● Luis acaba de recibir cuatro cajas cuadradasllenas de vasos que debe colocar.La caja tiene cuatro filas y hay cuatro vasosen cada fila. ¿Cuántos vasos tiene que colocar?

134. ●● ¿Cuántos azulejosnecesita Jorge para cubriruna pared cuadrada,si en la primera filaha colocado 5 azulejos?

18

28 4

10 7

28 5

13 5

•

•

3 Múltiplosdeun número

Dividendo (D) divisor (d )resto (r) cociente (c)

ANTES, DEBES SABER…Cuándo una división es exacta

• Una división es exacta si su resto es cero. 54 6Si una división es exacta se cumple que: 0 9

Dividendo = Divisor · Cociente

• Una división no es exacta cuando su resto 56 6es distinto de cero. En este caso se cumple que: 2 9

Dividendo = Divisor · Cociente + Resto

Un número b es múltiplo de otro número a si la división de b entre aes exacta.

EJEMPLO

4 ¿Es 28 múltiplo de 4? ¿Y de 5?

La división 28 : 4 es exacta_ 28 es múltiplo de 4.

La división 28 : 5 no es exacta _ _ 28 no es múltiplo de 5.

Los múltiplos de un número se obtienen multiplicando dicho número porlos sucesivos números naturales.

EJEMPLOSSE ESCRIBE ASÍ

3 _Todos los múltiplos de3.

5 Calcula los múltiplos de 3.

Múltiplos de 3 -- 3 ·1, 3 ·2, 3 · 3, 3 · 4, 3 · 5, 3· 6, 3· 7…•3 = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21…}

12 _ Todos los múltiplos de12.

Los múltiplos de 3 son un conjunto ilimitado de números.

1 Halla los seis primeros múltiplos de 12.

Múltiplos de 12— 12· 1, 12· 2, 12· 3, 12· 4, 12· 5, 12· 6Los seis primeros múltiplos de 12 son: 12, 24, 36, 48, 60 y 72.


10 ¿Es 35 múltiplo de 5? Razona la respuesta. 1 Calcula los diez primeros múltiplos de 8.

11 ¿Es 48 múltiplo de 6? Razona la respuesta. 2 Halla los diez primeros múltiplos de 16.

19

48 8

0 6

48 9

3 5

8 1 8 2 8 3

0 8 0 4 2 2 "

F

4 Divisoresdeun número

Un número a es divisor de otro número b si la división de b entre aes exacta.

EJEMPLO

7 Comprueba si 8 y 9 son divisores de 48.

La división 48 : 8 es exacta" 8 es divisor de 48.

La división 48 : 9 no es exacta" 9 no es divisor de 48.

8 es divisor de 48

48 es múltiplo de 8

Los divisores de un número se obtienen dividiendo dicho número entrelos sucesivos números naturales, hasta que el cociente de la división seamenor que el divisor.

EJEMPLOS

9 Calcula todos los divisores de 8.

El cociente, 2, es menor que el divisor, 3.Por tanto, no seguimos dividiendo.

De cada división exacta extraemos dos divisores: el divisor y el cociente.

8 : 1 = 8" Es una división exacta " 1 y 8 son divisores de 8.

8 : 2 = 4" Es una división exacta " 2 y 4 son divisores de 8.

Los divisores de 8 son 1, 2, 4 y 8. Se escribe así: Div (8) = {1, 2, 4, 8}.

SE ESCRIBE ASÍ

Div (8) " Todos losdivisores de 8.

Div (12) " Todos losdivisores de 12.


3 Di si es cierto o no.

a) 8 es divisor de 56. b) 12 e divisor de 95.

15 ¿Cuáles son divisores de 36?

2 7 12 36 15 20 1 4 40 9

16 Calcula todos los divisores de:

a) 30 b) 45 c) 27

17 Di si es cierto o no.

a) 12 es divisor de 3.

20

17 5

2 3 "

27 6

3 4 "

5 Númerosprimosycompuestos

• Un número es primo si solo tiene dos divisores: él mismo y launidad.

• Si un número tiene más de dos divisores, decimos que es un númerocompuesto.

EJEMPLO

10 Averigua si 17 y 27 son números primos o compuestos.

Calculamos todos los divisores de 17:

17 1 17 2 17 3 17 4

7 17 1 8 2 5 1 4

0El cociente, 3, es menor que el divisor, 5.Por tanto, no seguimos dividiendo.

La única división exacta es 17 : 1 = 17, extraemos el divisor y el cociente.

Div (17) = {1, 17} 17 solo tiene dos divisores.

17 es un número primo.

Calculamos todos los divisores de 27:

Números primos hasta 100

27 1 27 2 27 3 27 4 27 5

7 27 7 13 0 9 3 6 2 5

0 1Como 4 es menor que 6,

no seguimos dividiendo.

Extraemos el divisor y el cociente de las divisiones exactas:

27 : 1 = 27 " 1 y 27 son divisores de 27.

27 : 3 = 9 " 3 y 9 son divisores de 27.

Div (27) = {1, 3, 9, 27} " 27 tiene más de dos divisores.

27 es un número compuesto.


4 Determina si los siguientes números son primoso compuestos.

a) 11 e) 29 i) 58

b) 13 f) 42 j) 65

c) 18 g) 46 k) 70

d) 24 h) 54 l) 80

5 Escribe todos los números primos menoresque 20.

6 Escribe cinco números primos mayores que 50 yotros cinco menores que 40.

7 Escribe los números compuestos menores que20.

19 ¿Es 101 un número primo? ¿Por qué?

21

a) 15 : 3 c) 59 : 3 a) 37 : 2 c) 81 : 5

b) 26 : 3 b) 48 : 3

6 Factorizacióndeun número

ANTES, DEBES SABER…Cuándo la división de un número entre 2, 3 o 5 es exacta

• La división de un número entre 2 es exacta si el número termina en 0o en una cifra par.

• La división de un número entre 3 es exacta si, al sumar las cifrasde ese número, obtenemos un múltiplo de 3.

Los números pares son:2, 4, 6, 8, 10, 12, …

• La división de un número entre 5 es exacta si el número termina en 0o en 5.

EJEMPLO


9 Estudia si estas divisiones son exactas. 10 Estudia si estas divisiones son exactas.

22

a) 10 d) 21 g) 70

b) 14

c) 15

e) 35

f) 42

h) 105

i) 210

Factorizar un número es descomponerlo en factores primos, es decir,expresarlo como producto de sus divisores primos.

Para factorizar un número se divide entre la serie de números primos(2, 3, 5, 7, …), tantas veces como se pueda, hasta obtener como cociente launidad. Se empieza dividiendo entre 2; si no es exacto, entre 3; si tampocoes exacto, entre 5; si no entre 7, entre 11…

Los primerosnúmeros primos son:2, 3, 5, 7, 11, 13, …

EJEMPLO

6 Factoriza el número 30.

Tomamos el número y lo dividimos entre el primer número primoque haga la división exacta.

30 : 2" División exacta, porque 30 termina en 0.

30 : 2 = 15

Factorización" 30 = 2 · 15

Tomamos el cociente que hemos obtenido en la división exacta;en este caso 15, y volvemos a dividir este número entre el primer númeroprimo que haga la división exacta.

15 : 2" División no exacta, porque 5 no es par

15 : 3" División exacta, porque: 1 + 5 = 6

y 6 : 3 es división exacta

15 : 3 = 5

Factorización" 30 = 2 · 15 = 2 · 3 · 5

Repetimos el proceso hasta obtener como cociente 1.

5 : 2" División no exacta, porque 5 no es par.

5 : 3" División no exacta.

5 : 5" División exacta.

5 : 5 = 1

Cuando obtenemos como cociente 1, la factorización está terminada.

Factorización" 30 = 2 · 3 · 5

Este proceso se suele escribir de la siguiente manera:

Resultado de: Significa que:

30 2 30 : 2 División exacta30 : 2 " 15 3 15 : 3 División exacta15 : 3 " 5 5 5 : 5 División exacta5 : 5 " 1

Los números que aparecen en la columna de la derecha son los factores.

Factorización " 30 = 2 · 3 ·5


11 Factoriza los siguientes números.

23

F F

ANTES, DEBES SABER…Cómo se expresa un producto de factores iguales medianteuna potencia

Una potencia es un producto de factores iguales.

3 · 3 · 3 · 3 = 34 2 · 2 · 2 = 23

4 veces 3 veces

EJEMPLO

12 Descompón el número 420 como producto de factores primos.

Cocientes parciales Factorización

420 es divisible por 2 420 : 2 = 210 420= 2 ·210

210 es divisible por 2 210 : 2 = 105 420= 2 · 2 · 105

105 no es divisible por 2105 es divisible por 3 105 : 3 = 35 420= 2 · 2 · 3 · 35

35 no es divisible por 2ni por 3, pero sí por 5 35 : 5 = 7 420= 2 · 2 · 3 · 5 · 7

7 es un número primo,es divisible por él mismo

7 : 7 = 1 420= 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 1

Por tanto, podemos expresar el número 420 como:

420 = 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 1" 420 = 22 · 3 · 5 · 7

En la factorización de un número, siempre que se pueda, utilizaremospotencias.

Para realizar la descomposición de un número en factores primoslo escribimos, normalmente, del siguiente modo:

COCIENTESPARCIALES

FFACTORESPRIMOS

420 2420 : 2 " 210 2 420 = 2 · 2 · 3 · 5 · 7210 : 2 " 105 3 420 = 22 · 3 · 5 · 7105 : 3 " 35 535 : 5 " 7 7

7 : 7 " 1


22 Descompón en producto de factoresprimos los siguientes números.

a) 36 c) 24 e) 180

b) 100 d) 98 f) 120

13 Descompón en factores primos.

a) 8 c) 27 e) 125

b) 32 d) 81 f) 625

24

7 Máximocomún divisor

El máximo común divisor de dos o más números es el mayor de susdivisores comunes.

Para calcular, de forma rápida, el máximo común divisor de varios núme-ros seguimos estos pasos:

1.º Descomponemos los números en factores primos.2.º Escogemos los factores primos comunes, elevados al menor expo-

nente.3.º El producto de esos factores es el m.c.d. de los números.

EJEMPLOS

El máximo común divisor dedos números puede ser 1.

Por ejemplo:4 = 22 9 = 32

No hay factores comunes.m.c.d. (4, 9) = 1

7 Obtén el máximo común divisor de 12 y 40.

Primero, descomponemos 12 y 40 en factores primos.

12 2 40 2

6 2 20 2

3 3 12 = 2 · 2 · 3 = 22 · 3 10 2 40 = 2 ·2 · 2 · 5 = 23 ·5

1 5 5

1

El único factor primo común es 2.

Al elevarlo al menor exponente: 22

Así, resulta que: m.c.d. (12, 40) = 22 = 4


26 Calcula el máximo común divisor de cadapareja de números.

a) 42 y 21 b) 24 y 102

c) 13 y 90

14 Obtén el máximo común divisor.

a) 105 y 128

b) 180 y 240

27 Halla el máximo común divisor de 18, 30 y 54.

25

8 Mínimocomún múltiplo

El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor de losmúltiplos comunes.

Para calcular, de forma rápida, el mínimo común múltiplo de varios núme-ros seguimos estos pasos:

1.º Descomponemos los números en factores primos.2.º Escogemos los factores primos comunes y no comunes, elevados

al mayor exponente.3.º El producto de esos factores es el m.c.m. de los números.

EJEMPLOS

8 Obtén el mínimo común múltiplo de 4 y 6.

Primero, descomponemos 4 y 6 en factores primos.

4 2 6 22 2 3 31 1

4 = 2 · 2 = 22 6 = 2 · 3

El factor primo común es 2, y el no común, 3.

Al elevarlos al mayor exponente: 22 y 3

Así, resulta que: m.c.m. (4, 6) = 22 · 3 = 4 · 3 = 12

5

EJERCICIOS

30 Determina el mínimo común múltiplo de estasparejas de números.

15 Calcula el mínimo común múltiplo.

a) 24 y 48 c) 16 y 80

a) 5 y 12

b) 6 y 14

c) 3 y 21

d) 4 y 18

e) 14 y 27

f) 12 y 20

b) 18 y 54 d) 22 y 52

31 Halla el mínimo común múltiplo de 15, 25 y 9.

26

ActividadesMÚLTIPLOS DE UN NÚMERO

1. ● Contesta si es verdadero o falso, y razonalasrespuestas.

a) 35 es múltiplo de

5. b) 49 es múltiplo

de 6.

2. ● ¿Cuál de estas series está formadapor múltiplos de 4? ¿Y por múltiplosde 5?

a) 1, 4, 9, 16, 25,…b) 5, 10, 15, 20,…c) 8, 10, 12, 14, 16,…

3. ● ¿Cuáles son los múltiplos comunes de 5 y8 menores que 50?

4. ● Calcula cuatro números que seanmúltiplos de 7 y que estén comprendidosentre 60 y 110.

DIVISORES DE UN NÚMERO

5. ● Contesta si es verdadero o falso, y razonalas respuestas.

a) 12 es divisor de

48.

b) 15 es divisor de3.

c) 9 es divisor de720.

6. ● Completa los divisores de 24, 16, 36 y 54.

Div (24) = {1, 2, _, 4, _, 8, _, _}

Div (16) = {1, 2, _, _, 16}

27

7. ● Halla todos los divisores de 42.¿Cuántos divisores tiene 42?

8. ● Si 63 es múltiplo de 9, ¿cuáles de las siguientesafirmaciones son ciertas?

a) 63 es divisor de 9.

b) 9 es divisor de 63.

c) 9 es múltiplo de 63.

9. ● Al hacer la división 57 : 5, vemos que no esexacta. Decide si es verdadero o falso.

a) 5 no es divisor de 57.

b) 57 es múltiplo de 5.

c) 57 no es divisible por 5.

NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE DETERMINA SI UN NÚMERO ES PRIMOO COMPUESTO?

18. Averigua si 61 es primo o compuesto.

PRIMERO. Se calculan los divisores del número.

61 1 61 2 61 3 61 4 61 50 61 1 30 1 20 1 15 1 12

61 6 61 7 61 81 10 5 8 5 7 " El cociente, 7, es menor que

el divisor, 8.

Como solo existe una división exacta:

Div (61) = {1, 61}

SEGUNDO. Se decide si el número es primoo compuesto.

• Si el número de divisores es dos,el número es primo.

• Si el número de divisores es mayor que dos,el número es compuesto.

Como 61 tiene dos divisores, es un número primo.

10. ● Completa la siguiente tabla:

Números Divisores Primo/Compuesto

33 1, 3, 11, 33 Compuesto

61

79

72

39

11. ● ¿Cuáles de estos números son primos?¿Y cuáles son compuestos?

a) 46 b) 31

.

12. ●● Escribe estos números como suma de dosnúmeros primos.

a) 12 b) 20 c) 36 d) 52

28

FACTORIZACIÓN DE UN NÚMERO

13. ● ¿A qué números corresponden estasdescomposiciones en factores primos?

a) 23 · 3 · 5 e) 23 · 52 · 7

b) 2 · 32 ·7 f) 32 · 5 · 72

c) 5 · 72 · 11 g) 3 · 53 · 72

d) 2 · 3 · 5 · 72 h) 23 · 32 · 5 · 73

MÁXIMO COMÚN DIVISORY MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

14. ● Halla el máximo común divisorde los siguientes pares de números.

a) 16 y 24 b) 45 y 72

15. ● Calcula el máximo común divisor de estospares de números.

a) 4 y 15 c) 3 y 17 e) 21 y 2

b) 9 y 13 d) 12 y 7 f) 18 y 47

16. ●● Obtén el máximo común divisorde los siguientes números.

a) 8, 12 y 18 b) 16, 20 y 28

c) 8, 20 y 28

17. ● Calcula el mínimo común múltiplo de:

a) 12 y 24 b) 16 y 18

18. ● Halla el mínimo común múltiplo de:

a) 5 y 12 b) 7 y 14

19. ●● Determina el mínimo común múltiplo de:

a) 12, 15 y 18 b) 10, 20 y 30

PROBLEMAS DE DIVISIBILIDAD

20. ● José está haciendo una colección de cromos.Los cromos se venden en sobres con 5 cromoscada uno. ¿Puede comprar 15 cromos? ¿Y 17?

21. ● Rafa ha hecho 40 croquetas.

¿Puede repartirlas en partes iguales en 8 platossin que le sobre ninguna?

¿Y en 9 platos?

29

as distintas puede repartirlas?

22. ●● Ana tiene un álbum de 180 cromos.Los cromos se venden en sobres de 5 cromoscada uno. Suponiendo que no se repitaningún cromo, ¿cuántos sobres tieneque comprar como mínimo?

23. ●● Luis quiere pegar las 49 fotos desus vacaciones en filas de 3 fotos cada una.¿Cuántas filas enteras obtendrá? ¿Le sobraalguna foto? Razona la respuesta.

28. ●● Marta tiene 15 piñas y desea repartirlas encestos, con el mismo número de piñas en cadauno, sin que le sobre ninguna. ¿De cuántasmaner

HAZLO ASÍ29. ●● María ha hecho 45 pasteles y los quiere

¿CÓMO SE DIVIDE UNA CANTIDAD EN GRUPOSIGUALES?

guardar en cajas. ¿De cuántas maneras lospuede guardar para que no sobre ninguno?

24. Necesitamos envasar 10 rosquillas en cajasque tengan el mismo número de rosquillas cadauna. ¿De cuántas formas se pueden envasar?

PRIMERO. Se calculan todos los divisores de la cantidad.

10 1 10 2 10 3 10 40 10 0 5 1 3 2 2

El cociente, 2, es menor que el divisor, 4. Por tanto,no seguimos dividiendo.

10 : 1 = 10" División exacta " Divisores: 1 y 10

10 : 2 = 5 " División exacta " Divisores: 2 y 5

SEGUNDO. Los divisores son las formasen que se puede agrupar la cantidad.

Divisores: 1 y 10

Se pueden envasar en 1 caja de 10 rosquillaso en 10 cajas de 1 rosquilla.

Divisores: 2 y 5

Se pueden envasar en 2 cajas de 5 rosquillaso en 5 cajas de 2 rosquillas.

25. ●● Cristina tiene 24 coches de juguete y quierecolocarlos en fila, de modo que en cada fila hayala misma cantidad de coches.¿De cuántas maneras puede hacerlo?

26. ●●● Carmen cuenta sus 24 coches de juguete de3 en 3 y Alberto lo hace de 4 en 4. ¿Coinciden enalgún número? ¿Qué tienen en comúndichos números?

27. ●● Eduardo trabaja en una tienda de animales.Hay 8 canarios y quiere ponerlos en jaulas, conel mismo número de canarios en cada una, sinque sobre ninguno. ¿De cuántas formaspuede colocar los canarios en las jaulas?

30. ●● Paco tiene 20 láminas de madera y tiene queponerlas en montones, con el mismo número deláminas en cada uno, sin que le sobre ninguna.¿Cuántas láminas puede poner en cadamontón?

31. ●● Ana tiene 7 macetas de geranios y las quierecolocar en grupos, de manera que cada grupotenga el mismo número de macetas y no sobreninguna. ¿Cuántas macetas puede poneren cada grupo?

32. ● Maite ha regado hoy los geranios y los cactusde la terraza. Riega los geranios cada 3 díasy los cactus cada 9 días. ¿Cuántos días tienenque pasar como mínimo hasta que Maite vuelvaa regar las dos plantas el mismo día?

33. ● Fran y Raquel vana patinar a la mismapista. Fran va cada4 días y Raquel,cada 5 días.Hoy han ido los dos.¿Dentro de cuántosdías volverán acoincidir porprimera vez en lapista de patinaje?

anexo 1 números naturales y divisibiidad

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