LECCION 1 NMEROS NATURALESLos nmeros naturales son 0, 1, 2, 3, 4..Podemos distinguir entre:Nmeros cardinales: se utilizan para contar los elementos de un grupo: 1, 2, 3, 4Por ejemplo: 3 manzanas, 17 botellas, 4 niosNmerosOrdinales: se utilizan para determinar la posicin que ocupa un elemento dentro de un conjunto: primero, segundo, tercero, cuartoPor ejemplo: La primera camisa, el segundo coche, la cuarta sillaUtilizamos el sistema de numeracin decimal en el que cada 10 unidades forman una unidad de orden superior:10 unidades = 1 decena10 decenas = 1 centena10 centenas = 1 unidad de millar10 unidades de millar = 1 decena de millar

OPERACIONES CON NUMEROS NATURALES: REGLAS DE PRIORIDADESa) Si en una expresin matemtica hay sumas (restas) y multiplicaciones (divisiones), primero hay que resolver las multiplicaciones (divisiones) y luego las sumas (restas).Ejemplo:3 + 7 x 81 Resolvemos la multiplicacin: 7 x 8 = 56.2 Luego la suma: 3 + 56 = 59Ejemplo:9 6 : 21 Resolvemos la divisin: 6 : 2 = 32 Luego la resta: 9 3 = 6b) Si hay multiplicaciones y divisiones se comienza a resolver empezando por la izquierda. Igualmente, si hay sumas y restas se comienza a resolver empezando por la izquierda.Ejemplo:3 x 7 x 81 Empezamos por la izquierda, resolviendo la primera multiplicacin:3 x 7 = 212 Luego la segunda: 21 x 8 = 168Ejemplo:9 6 + 21 Empezamos por la izquierda, resolviendo la resta: 9 - 6 = 32 Luego la suma: 3 + 2 = 5c) Si en la expresin matemtica hay parntesis hay que comenzar resolviendo los parntesis. Si dentro de los parntesis hay sumas (restas) y multiplicaciones (divisiones), aplicamos el orden sealado anteriormente.Ejemplo:(5 + 3) x 4 = (8) x 4 = 32(9 - 3) + (4 x 3) = (6) + (12) = 18(5 - 3) x (7 - 4) : 3 = (2) x (3) : 3 = 2d) Si dentro de los parntesis hay otros parntesis, hay que comenzar resolviendo los parntesis interiores.Ejemplo:((15 3) x 4) 1 x ((5 + 3) x 4) = ((12) x 4) 1 x ((8) x 4) =(48) 1 x (32) = 48 32 = 16

LECCION 2 NUMEROS ENTEROSLosnmeros enterosincluyen tanto los nmeros naturales que ya conocemos (0, 1, 2, 3,.), como los nmeros negativos (-1, -2, -3)Elvalor opuestode un nmero entero es el mismo nmero pero con el signo cambiado:El opuesto de -3 es 3El opuesto de 5 es -5Elvalor absolutode un nmero entero es su valor sin considerar el signo. El valor absoluto de un nmero entero se expresa |3|.Ejemplo:|1| = 1|-1| = 1Vemos que un nmero (1) y su negativo (-1) tienen el mismo valor absoluto.Al ordenar los nmeros enteros de menor a mayor primero van lo negativos y luego los positivos:... -5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 OPERACIONES CON NUMEROS ENTEROSa) Suma:Si todos son nmeros enteros positivos se suman igual que los nmeros naturales.(+4) +(+ 5) + (+6) = 15(*) Hemos puesto los nmeros dentro de parntesis con signos positivos para recalcar que son enteros positivos, pero esta suma realmente se escribira: 4 + 5 + 6 = 15Si todos son nmeros enteros negativos se suman sus valores absolutos y al resultado se le pone el signo negativo.(- 5) + (-7) + (- 4) = |5| + |7| + |4| = |16| = -16Si hay nmeros enteros positivos y negativos:(+ 4) + (- 5) + (+2) + (- 9)Por un lado sumamos los nmeros positivos:(+ 4) + (+2) = 6Por otro lado sumamos los nmeros negativos:(-5)+ (-9) = |5| + |9| = -14Ahora se restan ambos resultados. Se pone como minuendo el valor absoluto mayor |14|y como sustraendo el valor absoluto menor |6|.14 6 = 8El resultado de la resta tendr el signo del minuendo (-14), luego:(+ 4) + (- 5) + (+2) + (- 9) = -8b) Resta:(+4) (+5) (-6)La resta de nmeros enteros se puede tratar como una suma. Para ello sustituimos el signo de la resta (-) por el de la suma (+) pero al hacer esta sustitucin tenemos tambin que cambiar el signo del nmero que va restando:(5) es positivo, pero como lleva delante el signo de la resta se convierte en (-5).(-6) es negativo, pero como lleva delante el signo de la resta se convierte en (6).La operacin queda como una suma:(+ 4) + (- 5) + (+ 6)Ahora procedemos igual que en la suma.Por un lado sumamos los nmeros positivos:(+ 4) + (+ 6) = 10Por otro lado sumamos los nmeros negativos:(- 5) = - 5Ahora se restan ambos resultados. Se pone como minuendo el de mayor valor absoluto |10|y como sustraendo el de menor valor absoluto |5|.10 5 = 5El resultado de la resta tendr el signo del minuendo (10), luego:4 (5) (-6) = 5c) Sumas y restas:(+ 7) - (- 5) + (-2) - (+ 9)Aquellos nmeros que vayan restando sustituimos el signo de la resta por el de la suma y al nmero le cambiamos el signo:(+ 7) + (+ 5) + (-2) + (- 9)Ahora procedemos igual que en la suma.Por un lado sumamos los nmeros positivos:(+ 7) + (+ 5) = 12Por otro lado sumamos los nmeros negativos:(- 2) + (- 9) = - 11Ahora se restan ambos resultados. Se pone como minuendo el de mayor valor absoluto |12| y como sustraendo el de menor valor absoluto |11|.12 11 = 1El resultado de la resta tendr el signo del minuendo (12), luego:(+ 7) - (- 5) + (-2) - (+ 9) = 1Veamos otro ejemplo:(+ 2) - (- 7) - (+2) - (- 9)Sustituimos los signos de resta por el de suma pero cambiando el signo del valor que va restando:(+ 2) + (+ 7) + (-2) + (+ 9)Sumamos los nmeros positivos:(+ 2) + (+ 7) + (+ 9) = 18Sumamos los nmeros negativos:(- 2)Restamos los valores absolutos:|18| - |2| = 16Como el minuendo es positivo el resultado es tambin positivod) MultiplicacinPara multiplicar nmeros enteros se multiplican sus valores absolutos, como si fueran nmeros naturales, pero a continuacin hay que prestar atencin al signo del resultado:Sitodos los factores son positivoselresultadoespositivo.Sihay factores negativoshay que distinguir:Si elnmero de factores negativosesparelresultadoespositivo.Si elnmero de factores negativoses impar elresultadoesnegativo.Veamos algunos ejemplos:( + 3) x (+ 4) = |3| x |4| = 12 (todos los factores son positivos)( + 3) x (- 4) = |3| x |4|= -12 (hay un factor negativo: luego el nmero de factores negativos es impar)(- 3) x (- 4) = |3| x |4|= 12 (hay dos factores negativos: el nmero de factores negativos es par, por lo que el resultado es positivo)Veamos ms ejemplos:(+ 2) x (+ 6) x (+5) = |2| x |6| x |5|= 60(+ 2) x (+ 6) x (-5) = |2| x |6| x |5|= -60(+ 2) x (- 6) x (-5) = |2| x |6| x |5|= 60(- 2) x (- 6) x (-5) = |2| x |6| x |5|= -60e) DivisinEn la divisin se opera igual que en la multiplicacin de nmeros enteros: se dividen los valores absolutos, igual que cuando operamos con nmeros naturales, y a continuacin hay que ver el signo del resultado:Sidividendo y divisor tienen el mismo signo(lo dos positivos o los dos negativos) elresultadoespositivo.Sidividendo y divisor tienen distinto signo(uno es positivo y otro es negativo) elresultadoesnegativo.Ejemplos:(+8) : (+4) = |8| x |4|= 2(-8) : (-4) = |8| x |4|= 2(+8) : (-4) = |8| x |4|= -2(-8) : (+4) = |8| x |4|= -2f) PotenciaLa base puede ser un nmero entero positivo o negativo, pero el exponente siempre tiene que ser positivo.El valor absoluto de la base se eleva a la potencia, igual que con los nmeros naturales, pero hay que prestar atencin al signo:Si labase es positivaelresultadosiempre espositivo.Si labase es negativael signo depende del exponente:Si elexponentees un nmeroparelresultadoespositivoSi elexponentees un nmeroimparelresultadoesnegativo.

LECCION 3 CRITERIOS DE DIVISIBILIDADDecimos que unnmero es divisiblepor otro cuando ladivisin es exacta, es decir, el resto es igual a 0.Veamos a continuacin los criterios de divisibilidad:a) Todo nmero es divisible por 1b) Un nmero es divisible por 2cuando termina en cifra par o en cero.10 : 2 = 5 (resto = 0)c) Un nmero es divisible por 3cuando al sumar todas sus cifras se obtiene un nmero que tambin es divisible por 3.Ejemplo:66 es divisible por 3 ya que 6 + 6 = 12, y 12 es divisible por 366 : 3 = 22 (resto = 0)Ejemplo:108 es divisible por 3 ya que 1 + 0 + 8 = 9, y 9 es divisible por 3108 : 3 = 36 (resto = 0)d) Un nmero es divisible por 5cuando termina en 0 o en 5.20 : 5 = 4 (resto = 0)35 : 5 = 7 (resto = 0)e) Un nmero es divisible por 9cuando al sumar todas sus cifras se obtiene un nmero que tambin es divisible por 9.162 es divisible por 9 ya que 1 + 6 + 2 = 9, y 9 es divisible por 9162 : 9 = 18 (resto = 0)f) Un nmero es divisible por 10si termina en 0.150 : 10 = 15 (resto = 0)g) Un nmero es divisible por 11si cumple la siguiente condicin: la suma de las cifras de lugar impar (comenzando a contar por la derecha) menos la suma de las cifras de lugar par da cero o un nmero que es mltiplo de 11.Ejemplo:2.629 es divisible por 11 ya que:9 + 6 = 152 + 2 = 4Ahora restamos: 15 4 =11 (mltiplo de 11)2.629 : 11 = 18 (resto = 0)Ejemplo:253 es divisible por 11 ya que:3 + 2 = 55 = 5Ahora restamos: 5 5 =0 (mltiplo de 11)253 : 11 = 23 (resto = 0)

LECCION 4 DECOMPOSICIONES FACTORIALESLECCION 5 MXIMO COMN DIVISOR

LECCION 7 NMERO DECIMAL.Nmero decimales aquel que tiene unaparte enteray unaparte decimal.3,54,7652,875La parte decimal, que va a la derecha de la coma (en el primer ejemplo: 0,5) es una cantidad inferior a la unidad.Los nmeros decimales se pueden clasificar en:a)Decimales exactos: tienen un nmero finito de cifras decimales.4,321,65,4323b)Decimales peridicos: tienen un nmero infinito de decimales, que a partir de cierto momento se van repitiendo siguiendo un patrn, que se denomina periodo. Cabe distinguir dos casos particulares:b.1.-Nmeros peridicos puros: si el patrn de repeticin de las cifras decimales comienza desde el primer decimal.3,333334,757575752,423423423..b.2.-Nmeros peridicos mixtos: si la sucesin infinita de decimales no presenta inicialmente ningn patrn y luego comienza una secuencia.Las cifras decimales que hay entre la coma y el comienzo del periodo se denominaanteperiodo.5,21477777776,91636363637,1332456456456456..c)Decimales infinito no peridicos: tiene un nmero infinito de decimales que no siguen ninguna secuencia:5,3264,2352239813,0074823Paracomparar nmeros decimalesse comienza comparando la parte entera:23,45 > 12,45Ya que la parte entera del primer nmero (23) es mayor que la del segundo (12).Si las partes enteras fueran iguales, habra que comparar las partes decimales: primero comenzando por las dcimas; si fueran iguales comparamos las centsimas; si fueran iguales comparamos las milesimas; y si fueran iguales comparamos las diezmilsimas12,45 > 12,35 Las dcimas del primero (0,4) son mayores que las del segundo (0,3)12,43 > 12,41 Las centsimas del primero (0,03) son mayores que las del segundo (0,01)12,477 > 12,475 Las milsimas del primero (0,007) son mayores que las del segundo (0,005)12,4774 > 12,4771 Las diezmilsimas del primero (0,0004) son mayores que las del segundo (0,0001)

LECCION 8 REDONDEOS Y TRUNCAMIENTO DE UN NMERO DECIMALa)REDONDEOSLos nmeros decimales se pueden redondear:-A la unidad: consiste en eliminar la parte decimal, aproximndola a la unidad ms cercana. Si la parte decimal es igual o inferior a 0,500 se aproxima a la unidad inferior, si es superior se aproxima a la unidad superior.4,14 se aproxima a 4 (ya que la parte decimal es 0,1)4,673 se aproxima a 5 (ya que la parte decimal es 0,6)4,449 se aproxima a 4 (ya que la parte decimal es 0,4)4,399 se aproxima a 4 (ya que la parte decimal es 0,3)4,723 se aproxima a 5 (ya que la parte decimal es 0,7)-A la dcima: consiste en dejar una sola cifra decimal, aproximando las centsimas a la dcima ms cercana. Si la parte centesimal es igual o inferior a 0,050 se aproxima a la dcima inferior, si es superior se aproxima a la dcima superior.4,14 se aproxima a 4,1 (ya que la parte centesimal es 0,04)4,673 se aproxima a 4,7 (ya que la parte centesimal es 0,07)4,449 se aproxima a 4,4 (ya que la parte centesimal es 0,04)4,399 se aproxima a 4,4 (ya que la parte centesimal es 0,09)4,723 se aproxima a 4,7 (ya que la parte centesimal es 0,02)-A la centsima: consiste en dejar tan slo dos cifras decimales, aproximando las milsimas a la centsima ms cercana. Si la parte milesimal es igual o inferior a 0,005 se aproxima a la centsima inferior, si es superior se aproxima a la centsima superior.4,14 se aproxima a 4,14 (ya que la parte milesimal es 0,000)4,673 se aproxima a 4,67 (ya que la parte milesimal es 0,003)4,449 se aproxima a 4,45 (ya que la parte milesimal es 0,009)4,399 se aproxima a 4,40 (ya que la parte milesimal es 0,009)4,723 se aproxima a 4,72 (ya que la parte milesimal es 0,003)b)TRUNCAMIENTOEn el truncamiento de un nmero decimal se eliminan las cifras a partir de aquellas en la que se realiza el truncamiento.-Truncamiento por la unidad: se eliminan todas las cifras decimales.45,325 se trunca por 45122,3434 se trunca por 12291,435123 se trunca por 91-Truncamiento por la dcima: tan slo se deja esta cifra decimal:45,325 se trunca por 45,3122,3434 se trunca por 122,391,435123 se trunca por 91,4-Truncamiento por la centsima: tan slo se dejan dos cifras decimales:45,325 se trunca por 45,32122,3434 se trunca por 122,3491,435123 se trunca por 91,43Y as sucesivamente.LECCION 9 OPERACIONES CON DECIMALESa)Suma con decimales: se realiza como una suma ordinaria. Hay que tener la precaucin de poner las cifras en las columnas correspondientes: las unidades con las unidades, las dcimas con las dcimas, las centsimas con las centsimas, etc. Las comas deben estar alineadas.Ejemplo:23,45 + 5,2 + 67,345La suma es:

Vemos en el ejemplo anterior que si alguno de los sumandos tiene menos cifras decimales que el resto, las que faltan se completan con ceros.Si en la suma hay alguna cifra sin decimales hay que tener precaucin en su colocacin (es como si llevara una coma a su derecha).Ejemplo:33,04 +17 + 0,456La suma es:

b)Resta con decimales: se realiza como una resta ordinaria. Al igual que en la suma hay que tener la precaucin de poner las cifras en la columna correspondiente.Ejemplo:45 0,567La resta es:

Vemos en el ejemplo anterior que si uno de los 2 nmeros tiene menos cifras decimales que el otro las cifras que le falten se completan con ceros.Veamos otro ejemplo:67,1 43,872La resta es:

c)Multiplicacin con decimales: se realiza como una multiplicacin ordinaria, pero al resultado hay que ponerle tantos decimales como el nmero de cifras decimales que tengan conjuntamente los dos factores.Ejemplo:45,2 x 36,56La multiplicacin es:

Como el primer factor tiene un decimal y el segundo dos decimales, en total suman tres cifras decimales, por lo que el producto tendr tres decimales.d)Divisin con decimales:d.1.-Divisin con decimales:234 : 45,56Si el divisor tiene decimales hay que eliminarlos multiplicndolo por un 1 seguido de tantos ceros como cifras decimales.45,56 x 100 = 4556Para que la divisin sea equivalente a la inicial, y el resultado no vare, el dividendo hay que multiplicarlo por el mismo nmero.234 x 100 = 23400Luego la divisin quedara:23400 : 4556Ahora ya operaramos como en una divisin normal.d.2.-Dividendo con decimales:124,45 : 15Realizamos la divisin como si no hubiera decimales:12445 : 15 = 829 (resto 10)Pero el cociente llevar tantas cifra decimales como tenga el dividendo.Cociente 8,29d.3.-Dividendo y divisor con decimales45,679 : 31,22Al igual que en el primer caso hay que eliminar los decimales del divisor.31,22 x 100 = 3122Para que la divisin sea equivalente a la inicial y el resultado no vare, el dividendo hay que multiplicarlo por el mismo nmero.46,679 x 100 = 4667,9La divisin quedara:4567,9 : 3122Y operaramos como en el segundo caso.

LECCION 10 FRACCIONESLafraccinest formada por 2 nmeros naturales: el nmero de arriba se denominanumeradory el de abajodenominador.4 / 6 (4 es el numerador y 6 es el denominador)El denominador indica el nmero de partes en las que se divide una unidad y el numerador el nmero de partes que se toma.4 / 6 de una tarta significa que la tarta se ha dividido en 6 porciones y se han tomado 4.La fraccin tiene unaequivalencia numricaque se calcula dividiendo el numerador entre el denominador:4 : 6 = 0,666Puede ocurrir que el numerador sea menor, igual o mayor que el denominador:Si el numerador es menor que el denominador se denominafraccin propia. El valor de la fraccin es menor que la unidad (como vimos en el ejemplo anterior).Si el numerador es igual que el denominador, elvalor de la fraccines launidad.7 / 7 su valor numrico es 7 : 7 = 1Si el numerador es mayor que el denominador se denominafraccin impropia. El valor de la fraccin es mayor que la unidad.9 / 6 su valor numrico es 9 : 6 = 1,5En una fraccin impropia puede ocurrir que su equivalencia numrica sea un nmero exacto o no:12 / 6 su valor numrico es 12 : 6 = 2 (resto = 0)15 / 6 su valor numrico es 15 : 6 = 2 (resto 3)Estas fracciones impropias cuya divisin no es exacta se pueden representar en forma denmero mixto, que es la combinacin de una parte entera y de una fraccin.La parte entera ser el cociente de la divisin (en este caso, 2) mientras que la fraccin tendr como numerador el resto (3) y como denominador el mismo que la fraccin original (6).Luego 15 / 6 equivale al nmero mixto 2 + (3 / 6)Veamos otros ejemplos:19 / 5 = 19 : 5 = 3 (resto = 4)Luego 19 / 5 equivale al nmero mixto 3 + (4 / 5)21 / 4 = 21 : 4 = 5 (resto = 1)Luego 21 / 4 equivale al nmero mixto 5 + (1 / 4)El valor de un nmero mixto es igual a la suma de la parte entera y de valor numrico de la fraccin:Ejemplo: 2 + (3 / 6)Calculamos el valor numrico de la fraccin: 3 : 6 = 0,5Luego el valor del nmero mixto ser:2 + (3 / 6) = 2 + 0,5 = 2,5Vimos anteriormente que este nmero mixto era equivalente a la fraccin 15 / 6. Podemos comprobar cmo el valor del nmero mixto coincide con el valor numrico de la fraccin original:15 / 6 = 15 : 6 = 2,5Lasfraccionestambin se utilizan enoperaciones aritmticas:Calcular: 7 / 10 del nmero 30Esto es equivalente a 7 / 10 x 30Para resolverla el nmero (30) se multiplica por el numerador de la fraccin (7) y se divide por su denominador (10):7 / 10 de 30 = (7 x 30) / 10 = 210 / 10 = 21Vamos a hacer otro clculo: 5 / 7 de 355 / 7 de 35 = (5 x 35) / 7 = 175 / 7 = 25LECCION 11 EQUIVALENCIA ENTRE FRACCIONESDosfraccionessonequivalentescuando tienen elmismo valor numrico.9 / 3 su valor numrico es 9 : 3 = 321 / 7 su valor numrico es 21 : 7 = 3Luego ambas fracciones son equivalentes.Paracomprobar si dos fracciones son equivalentes: se multiplica el numerador de la primera por el denominador de la segunda, y el denominador de la primera por el numerador de la segunda. Si ambos resultados son iguales las 2 fracciones son equivalentes.Vamos a comprobarlo con el ejemplo anterior: 9 / 3 y 21 / 79 x 7 = 633 x 21 = 63Paracalcular una fraccin equivalentea una dada hay que multiplicar (dividir) los 2 miembros de la fraccin por un mismo nmero.Ejemplo: 4 / 10Multiplicamos ambos miembros, por ejemplo, por 6:24 / 60Comprobamos que ambas fracciones son equivalentes aplicando la regla anterior:4 x 60 = 24010 x 24 = 240Cuando calculamos fracciones equivalentes dividiendo numerador y denominador por un mismo nmero estamossimplificando la fraccin.Por ejemplo: 44 / 24Dividimos ambos miembros por 2:44 : 2 = 2224 : 2 = 12Volvemos a dividir por 2:22 : 2 = 1112 : 2 = 6La fraccin equivalente: 11 / 6La fraccin ya no se puede reducir ms (numerador y denominador ya no tienen ms divisores comunes), decimos que estafraccinya esirreductible.Y podemos comprobar que es equivalente a la fraccin original:44 x 6 = 26424 x 11 = 264Veamos otros ejemplos:Vamos a hallar la fraccin irreductible de 28 / 20Dividimos numerador y denominador por 2.28 : 2 = 1420 : 2 = 10Volvemos a dividir por 2.14 : 2 = 710 : 2 = 5Ya no podemos seguir simplificando ya que no tienen ms divisores comunes. La fraccin equivalente es 7 / 5Podemosobtenerdirectamente lafraccin irreductiblede una dada dividiendo numerador y denominador por elMximo Comn Divisor(MCD) de ambos nmeros.Veamos un ejemplo:50 / 20Calculamos el MCD:50 = 2 x 5220 = 22 x 5El MCD es: 2 x 5 = 10Dividimos numerador y denominador entre 10:50 : 10 = 520 : 10 = 2La fraccin irreductible es: 5 / 2

LECCION 12 COMPARACIN DE FRACCIONES

LECCION 13 OPERACIONES CON FRACCIONES

LECCION 14 NMERO MIXTO

Es una expresin numrica formada por unnmero naturaly unafraccin:3 + 6 / 5Elvalor numricode un nmero mixto es la suma del nmero y del valor numrico de la fraccin:6 / 5 = 6 : 5 = 1,2Luego:3 + 6 / 5 = 3 + 1,2 = 4,2Unnmero mixtose puedeexpresar en forma de fraccin. Para ello expresamos la parte entera en forma de fraccin (ponindole como denominador 1) y sumamos 2 fracciones.3 + 6 / 5 = 3 / 1 + 6 / 5 = 15 / 5 + 6 / 5 = 21 / 5Unafraccincuyo numerador es mayor que su denominador se puedeexpresaren forma denmero mixto:16 / 5Dividimos el numerador entre el denominador.16 : 5 = 3 (resto = 1)La parte entera ser el cociente de la divisin (3), mientras que la fraccin tendr como numerador el resto (1) y como denominador el mismo que la fraccin original (5).16 / 5 = 3 + 1 / 5Vamos a realizar algunosejemplos: Calcular el valor numrico de:3 + 4 / 6= 3 + 0,666 = 3,6665 + 2 / 8= 5 + 0,250 = 5,2507 + 1 / 6= 7 + 0,166 = 6,166Expresar las siguientes fracciones en forma de nmero mixto:7 / 3Dividimos el numerador entre el denominador.7 : 3 = 2 (resto = 1)El nmero mixto es: 2 + 1 / 39 / 2Dividimos el numerador entre el denominador.9 : 2 = 4 (resto = 1)El nmero mixto es: 4 + 1 / 2Expresa los siguientes nmeros mixtos en forma de fraccin.4 + 5 / 74 + 5 / 7 = 4 / 1 + 5 / 7 = 28 / 7 + 5 / 7 = 33 / 75 + 6 / 85 + 6 / 8 = 5 / 1 + 6 / 8 = 40 / 8 + 6 / 8 = 46 / 8

LECCION 15 NMERO DECIMAL EXPRESADO COMO FRACCINUnnmero decimalse puedeescribir en forma de fraccin.nicamente cuando el nmero de cifras decimales es infinito y el nmero no es peridico no se puede escribir como fraccin.Veamos los siguientes casos:1.- Fraccin de un nmero decimal exactoUn nmero decimal exacto es aquel que tiene un nmero finito de cifras decimales. Para escribirlo como fraccin hay que escribir en elnumeradorel nmero decimal sin comas y en eldenominadorun 1 seguido de tantos ceros como cifras decimales tenga el nmero.2,36 =236 / 1004,567 =4567 / 10002.- Fraccin de un nmero decimal peridico puroUn nmero decimal peridico puro es aquel que tiene un nmero infinito de cifras decimales que siguen un patrn.4,333.5,171717178,234234234.Para escribirlo como fraccin hay que escribir:En elnumeradorel nmero decimal sin comas incluyendo tan slo la primera repeticin del periodo, restndole la parte entera del nmero decimalEn eldenominadorun nmero con tatos 9 como cifras diferentes tenga el periodo.4,333. = (43 4) /9 =39 / 95,17171717 = (517 5) / 99 =512 / 998,234234234. = (8234 8) / 999 =8226 / 9993.- Fraccin de un nmero decimal peridico mixtoPara escribirlo como fraccin hay que escribir:En elnumeradorel nmero decimal sin coma hasta el periodo (incluyendo la primera repeticin del periodo), restndole el nmero decimal sin coma, excluyendo el periodo.En eldenominador, se pone un nmero con tatos 9 como cifras diferentes tenga el periodo, seguido de tantos ceros como cifras diferentes tenga el anteperiodo.2,128333. = (21283 2128) / 9000 =19155 / 90007,31523232323 = (731523 7315) / 99000 =724208 / 990006,70214214214. = (670214 670) / 99900=669544 / 99900

LECCION 16 OPERACIONES CON POTENCIAS

LECCION 17 SISTEMA MTRICO SEXAGESIMALMientras que en el sistema mtrico decimal las unidades van de 10 en 10, en elsistema sexagesimallas unidades vande 60 en 60.Este sistema se utiliza paramedir el tiempo(horas, minutos y segundos):1 hora = 60 minutos1 minuto = 60 segundosParapasar de horas a minutos y de minutos a segundoshay que multiplicar por 604 min = 4 x 60 =240 s3 h = 3 x 60 =180 min1 h = 1 x 60 x 60 =3.600 sParapasar de minutos a horas y de segundos a minutoshay que dividir por 60120 s = 120 : 60 =2 min180 min = 180 : 60 = 3 h7.200 s = 7.200 : 60 : 60 = 2 hTambin se utiliza este sistema paramedir la apertura de un ngulo(grados).La circunferencia completa mide 360 grados. Cada grado se divide en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos.En elsistema sexagesimallos nmeros se pueden escribir de2 formas:1.- Forma compleja: cuando se utilizan diversas unidades (horas, minutos, segundos)3 h 452 h 35 42Los minutos se representan con una comilla y lo segundos con 2 comillas.2.- Forma incompleja: cuando se utilizan tan slo un tipo de unidad.12.5001.345Un nmero en forma compleja se puede escribir en forma compleja, y viceversa.a.- Pasar de forma compleja a incompleja:Ejemplo: Expresar en minutos el nmero 2 h 35 42Hay que expresar en minutos cada parte de la expresin y luego sumar los resultados:2 h x 60 = 12035 = 3542 : 60 = 0,7120 + 35 + 0,7 = 155,7Ejemplo: Expresar en segundos el nmero 2 h 35 422 h x 3600 = 7.20035 x 60 = 2.10042 = 427.200 + 2.100 + 42 = 9.342Ejemplo: Expresar en horas el nmero 2 h 35 m 42 s2 h = 2 h35 : 60 = 0,583 h42 : 3.600= 0,0116 h2 + 0,583 + 0,0116 = 2,5946 hb.- Pasar un nmero de la forma incompleja a la compleja:Para ello vemos cuantas unidades de orden superior contiene, y ello lo calculamos dividiendo entre 60.Ejemplo: Expresar en 18.550 en forma compleja:Comenzamos viendo cuantas unidades de orden superior comprende. En este caso, minutos.18.550 : 60 = 309 (resto 10)El resto sern los segundos de la nueva expresin.Como los minutos (309) superan 60, tendremos que ver cuntas unidades de orden superior (hora) incluyen, para ello dividimos los minutos entre 60:

309 : 60 = 5h (resto 9)El resto sern los minutos de la nueva expresin.Por lo tanto 18.550 en forma compleja es:5 h 9 10Ejemplo: Expresar en 256 en forma compleja:Comenzamos viendo cuantas unidades de orden superior comprende. En este caso, horas.Atencin: como el nmero viene en minutos y no tiene decimales no calculamos unidades de orden inferior (segundos). Si tuviera decimales estos habra que expresarlos en segundos.256 : 60 = 4 h (resto 16)El resto sern los minutos de la nueva expresin.Por lo tanto 256 en forma compleja es:4 h 16Ejemplo: Expresar en 654,8 en forma compleja:Los decimales representan unidades inferiores al minuto por lo que tenemos que convertirlas a segundos. Para expresar una unidad en otra de orden inferior hay que multiplicar por 60.0,8 x 60 = 48Estos sern lo segundos de la nueva expresin.Vamos a analizar ahora la parte entera (654) como supera 60 quiere decir que incluye unidades de orden superior (horas). Para calcularlas dividimos entre 60:654 : 60 = 10 h (resto 54)El resto sern los minutos de la nueva expresin.Por lo tanto 654,8 en forma compleja es:10 h 54 48

LECCION 18 SISTEMA METRICO SEXAGESIMAL: OPERACIONES1.- SumaCuando se suman 2 o ms expresiones de tiempo hay quesumar cada unidad con su unidad: las horas con las horas, los minutos con los minutos y los segundos con los segundos.3 h 10 40 + 5 h 30 10Se comienza la suma por las unidades inferiores:40 + 10 = 5010 + 30 = 403 h + 5 h = 8 hEl resultado de la suma es:8 h 40 50A vecespuede ocurrir que al sumar los segundos o los minutos el resultado sea superior a 60, por lo que podramosformar una unidad de orden superior.5 h 40 50 + 2 h 50 30Comenzamos a sumar las unidades de orden inferior:50 + 30 = 8080 supera 60 lo que quiere decir que incluye unidades de orden superior (minutos), para calcularlas dividiremos entre 60.80 : 60 = 1 (resto 20)El resto (20) sern los segundos del resultados, el cociente (1) lo sumamos con los minutos.1 + 40 + 50 = 9191 supera 60 lo que quiere decir que incluye unidades de orden superior (horas), para calcularlas dividiremos entre 60.91 : 60 = 1 h (resto 31)El resto (31) sern los minutos del resultados, el cociente (1 h) lo sumamos con las horas.1 h + 5 h + 2 h = 8 hLuego el resultado de la suma es:8 h 31 202.- RestaAl igual que en la suma hay que restar cada unidad con su unidad, comenzando por los niveles inferiores.5 h 40 30 - 2 h 25 20Se comienza la resta por las unidades inferiores:30 20 = 1040 25 = 155 h - 2 h = 3 hEl resultado de la resta es:3 h 15 10A vecespuede ocurrir que al restar los segundos o los minutos el resultado sea negativo, por lo que tenemos quepasar a ese nivel una unidad de orden superior(ya que el tiempo no puede ser negativo).3 h 20 20 - 1 h 50 45Comenzamos a restar:20 45 = -25Como nos da un resultado negativo, en el minuendo (3 h 20 30) vamos a quitar 1 minuto de los minutos y se lo vamos a sumar a los segundos. El minuendo quedara (3 h 19 80).Volvemos a restar los segundos:80 45 = 35Seguimos operando con los minutos:19 50 = -31Tenemos el mismo problema que antes. Como nos da un resultado negativo, en el minuendo (3 h 19 80) vamos a quitar 1 hora de las horas y se la vamos a sumar a los minutos. El minuendo quedara (2 h 79 80).Volvemos a restar los minutos:79 50 = 29Seguimos con las horas:2 h 1 h = 1 hLuego el resultado de la resta es:1 h 29 453.- MultiplicacinPara multiplicar una expresin de tiempo por un nmero:(4 h 30 20) x 4Hay quemultiplicar cada nivel(horas, minutos y segundos) por el nmero. Se comienza por el nivel inferior y actuamos igual que en la suma:si el resultado de los segundos o minutos supera 60 formamos una unidad de orden superiory la sumamos con la de su nivel.20 x 4 = 80 = 1 20Dejamos los 20 y sumamos 1 con el siguiente nivel.(30 x 4) + 1 = 120 + 1 = 121 = 2 h 1Dejamos 1 y sumamos 2 h en el siguiente nivel.(4 h x 4) + 2 h = 18 h + 1 h = 17 hLuego el resultado de la multiplicacin es:17 h 1 204.- DivisinPara dividir una expresin de tiempo entre un nmero hay quedividir cada nivel(horas, minutos y segundos) por el nmero. Comenzaremos dividiendo las unidades de orden superior.Ejemplo: (5 h 24 58) : 35 h : 3 = 1 h (resto 2)El resto (2) lo convertimos en minutos multiplicando por 60 (2 x 60 = 120) y se lo sumamos a los minutos (24 + 120 = 154) y se sigue dividiendo:154 : 3 = 51 (resto 1)El resto (1) lo convertimos en segundos multiplicando por 60 (1 x 60 = 60) y se lo sumamos a los segundos (58 + 60= 118) y se sigue dividiendo:118 : 3 = 39,33 (dejamos los decimales ya que no vamos a calcular unidades inferiores al segundo)El resultado ser por tanto:1 h 51 39,33

LECCION 19 SEMEJANZASFiguras semejantesson aquellas que son exactamenteiguales en formapero quese diferencian en el tamao.

Susladossonproporcionalesy susngulossoniguales.Razn de semejanzaLos lados guardan uno a uno la misma proporcin.A y aB y bC y cD y dLa proporcin entre ellos es la misma.A esta proporcin se le denomina razn de semejanzaVeamos un ejemplo:

Los lados horizontales miden 2 y 3 respectivamente, la proporcin entre ellos es:2 / 3 =0,66Los lados verticales miden 1 y 1,5 respectivamente, la proporcin entre ellos es:1 / 1,5 =0,66Por lo tanto,la razn de semejanzade estas dos figuras es0,66.LECCION 20 TEOREMA DE TALESSi tenemos 2 rectas y las cortamos con rectas paralelas, lossegmentosgenerados sonproporcionales.

En la figura se pueden ver dos rectas en azul que han sido cortadas por 3 rectas paralelas en rojo, originando 4 segmentos:A y C son proporcionalesB y D son proporcionalesTringulos en posicin de Tales: dos tringulos estn en posicin de Tales cuando tienenun ngulo comn y los lados opuestos a este ngulo son paralelos.

En la figura se puede ver que los dos tringulos tienen el ngulo a comn, mientras que los lados opuestos a este ngulo, los lados ED y CB, son paralelos.Si dos tringulos estn en posicin de Tales se les pueda aplicar dicho teorema:Los segmentos OE y OD son proporcionalesLos segmentos EC y DB son proporcionalesLos segmentos OC y OB son proporcionalesVeamos el siguiente ejemplo de dos tringulos en posicin de Tales:

Segmento OE : 5 cmSegmento OD : 4 cmOE / OD = 5 / 4 = 1,25Segmento EC : 8 cmSegmento DB : 6,4 cmEC / DB = 8 / 6,4 = 1,25Segmento OC : 13 cmSegmento OB : 10,4 cmOC / OB = 13 / 10,4 = 1,25

LECCION 21 TEOREMA DE PITGORAS

LECCION 22 TRINGULOS SEMEJANTESDostringulossonsemejantessi cumplen alguna de las siguientes propiedades:a) Todos sus lados son proporcionales

Vemos que los lados del ejemplo guardan la misma proporcin:Lado A / Lado A = 6 / 3 = 2Lado B / Lado B = 6,4 / 3,4 = 2Lado C / Lado C = 5 / 2,5 = 2b) Tienen los tres ngulos iguales

Estos dos ngulos tienen los tres ngulos iguales.c) Un ngulo igual y los dos lados que se inician en dicho vrtice son proporcionales

Estos dos ngulos tienen el ngulo C igual (30) y los dos lados que se inician en dicho vrtice son proporcionales.Lado A / Lado A = 8 / 4 = 2Lado B / Lado B = 9 / 4,5 = 2d) Dos tringulos en posicin de Tales son semejantes

LECCION 22 TRINGULOS RECTNGULOS SEMEJANTESDos tringulos rectngulos son semejantessi cumplen alguna de las siguientes propiedades:a) Tienen un ngulo agudo igual y uno de los catetos proporcionales

En ambos tringulos un lado agudo mide 40. Como el ngulo recto mide 90, el otro ngulo agudo tiene que medir 50 ya que en cualquier tringulo la suma de sus tres ngulos siempre es 180.Por lo tanto los tres ngulos son iguales, que ya vimos antes que era uno de los requisitos para que dos tringulos fueran semejantes.b) Tienen los dos lados catetos proporcionales

Lado A / Lado A = 4 / 2 = 2Lado B / Lado B = 7 / 3,5 = 2Al tener los dos lados catetos proporcionales, como el ngulo recto que forman mide 90, cumple uno de los requisitos que vimos para que dos tringulos fueran semejantes.c) Tienen un cateto y la hipotenusa proporcionales

Lado A / Lado A = 8 / 6 = 1,33Lado B / Lado B = 4 / 3 = 1,33Aplicando el Teorema de Pitgoras podemos calcular la longitud de los catetos que desconocemos.

Calculamos su proporcin:Lado C / Lado C = 6,928 / 5,196 = 1,33Luego todos los lados son proporcionales que vimos que era uno de los requisitos para que dos tringulos fueran semejantes.POLGONOS SEMEJANTESPolgonos semejantes son aquellos que tienen todos sus lados proporcionales

Lado A / Lado A = 3 / 1,5 = 2Lado B / Lado B = 2,5 / 1,25 = 2Lado C / Lado C = 5 / 2,5 = 2Lado D / Lado D = 7 / 3,5 = 2