1 nÚmeros naturales

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1 NÚMEROS NATURALES 1º E.S.O. 1 NÚMEROS NATURALES 1.1 .- SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL 1.2.- SÍMBOLOS DE DESIGUALDAD. REPRESENTACIÓN DE NATURALES. 1.3.- JERARQUÍA DE OPERACIONES 1.4.- LAS POTENCIAS Y SUS PROPIEDADES. 1.5.- RAÍCES CUADRADAS POR TANTEO

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Page 1: 1 NÚMEROS NATURALES

1 NÚMEROS NATURALES 1º E.S.O.

1 NÚMEROS NATURALES

1.1 .- SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL

1.2.- SÍMBOLOS DE DESIGUALDAD. REPRESENTACIÓN DE

NATURALES.

1.3.- JERARQUÍA DE OPERACIONES

1.4.- LAS POTENCIAS Y SUS PROPIEDADES.

1.5.- RAÍCES CUADRADAS POR TANTEO

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1 NÚMEROS NATURALES 1º E.S.O.

1.1.- SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL

El sistema de numeración decimal permite escribir cualquier número con diez símbolos:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Estos diez símbolos se llaman cifras o dígitos.

En un número, el valor de cada cifra depende de la posición que ocupa: unidades, decenas, centenas, unidades de mil o de millar, decenas de millar... Ejemplo: 165.789.032

CMM DMM UMM CM DM UM C D U 1 6 5 7 8 9 0 3 2

1. Expresa con cifras los siguientes números:

a) Seis mil quinientos tres b) Dos millones cuatrocientos veinte mil c) treinta y dos d) doce mil trescientos cuarenta y seis e) quince mil dos

2. Escribe como se leen los siguientes números

a) 1.234 b) 34.670 c) 123.987 d) 1.003.056 e) 23.405.000

3. Indica el orden de unidades y el valor de la cifra 2 en cada número:

Número Orden Valor Ejm: 1.230 Centenas 200

a) 12.347 b) 342 c) 34.211 d) 1.230.456 e) 23.010.000

4. Realiza la descomposición polinómica de los siguientes números:

Número Descomposición polinómica Ejm:2.378 2000+300+70+8 = 2x1000+3x100+7x10+8

a) 456 b) 8.934 c) 56.897 d) 256.009 e) 45.708.923

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1 NÚMEROS NATURALES 1º E.S.O.

1.2.- SÍMBOLOS DE DESIGUALDAD. REPRESENTACIÓN DE NATURALES

Dados dos números naturales cualesquiera se cumplirá una de las siguientes opciones: ▪ El primero es menor que el segundo (menor que ..... <) ▪ El primero es igual que el segundo (igual que ..... =) ▪ El primero es mayor que el segundo (mayor que ..... >)

1. Ordena los siguientes números de menor a mayor:

34.009, 34.894, 33.784, 35.007, 33.783, 35.688, 34.678

______ < ______ < ______ < ______ < ______ < ______< ______

2. Escribe tres números anteriores y cinco posteriores a los siguientes números:

Anteriores Número Posteriores a) 45.780 b) 55.890 c)1.237.900 d)500.678 e)1.001

3. Coloca cada número en su lugar correspondiente: 456, 896, 345, 783, 780, 234

______ < ______ < ______ < ______ < ______ < ______

4. Con las cifras 3 y 5, escribe un número de seis cifras, repitiendo cada una tres veces. ¿Cuál es el menor número posible?¿Y el mayor?

5. Averigua cuántos metros cuadrados tiene un campo con las siguientes pistas y escribe la solución en el cuadro:

- El lugar de las unidades lo ocupa un 6 - Tiene 23 centenas - El valor de posición de 7 es 70

6. Ordena y representa en una recta numérica los precios de los siguientes artículos:

un ordenador (567 euros), un coche (23.500 euros), un abrigo (123 euros), una maceta (24 euros), un televisor (350 euros) y una mesa (670 euros)

_______________________________________________________________

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1 NÚMEROS NATURALES 1º E.S.O.

1.3.- OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES

El orden para realizar operaciones es:

1) Operaciones entre paréntesis 2) Multiplicaciones y divisiones 3) Sumas y restas

Si sólo hay multiplicaciones y divisiones o sólo hay sumas y restas, se realizan de izquierda a derecha.

1. Calcula:

a) 30 – 15 + 4 = _________________________________________________ b) 30 – (15 + 4) = ________________________________________________ c) 45 – 6 +12 – 23 = ______________________________________________ d) 45 – (6 + 12) – 23 = ____________________________________________ e) 56 - 22 – 12 +34 = ____________________________________________ f) 56 - (22 – 12) +34 =___________________________________________

2. Calcula:

a) 3·4 +2·5 + 6·7 = _______________________________________________ b) 6·9 – 5·4 + 2·5 = _______________________________________________ c) 5 + 7·4 = _____________________________________________________ d) (5 + 7)·4 = ___________________________________________________ e) 12 – 3·2 = ____________________________________________________ f) (12 - 3) ·2 = __________________________________________________

3. Halla el cociente y el resto de las siguientes divisiones y realiza la prueba de la división:

a) 45.678 : 56 b) 3.456 : 235

c) 8.506 : 76 d) 17.600 : 45

4. Calcula:

a) (3·5 + 18): 9 – 7 = _____________________________________________ b) 3·(15 + 18) :9 – 7 = ____________________________________________ c) 3·15 + (18:9) -7 = ______________________________________________ d) 3·15 +18: (9 - 7) = _____________________________________________

5. ¿Qué número dividido entre 13 da de cociente 32 y de resto 3?

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1 NÚMEROS NATURALES 1º E.S.O.

1.4.- POTENCIAS DE NÚMEROS NATURALES

Propiedades de las potencias

• Producto con la misma base: am· an = am+n

• Cociente con la misma base: am : an = am-n

• Potencia de una potencia: (am)n = am·n

1. Escribe en forma de potencia:

a) 2·2·2·2·2·2·2 b) 7·7·7·7 c) 3·3·3·3·3 d) 11·11·11 e) 5·5·5·5·5·5·5·5·5

2. Calcula el valor de las siguientes potencias:

a) 73 = b) 54 = c) 29 = d)30 =

3. Sustituye las interrogaciones por los números que correspondan:

a) 7? = 49 b) 5? =625 c) 2? = 1024 d)3? = 81 e) 8? =64

4. Realiza los siguientes productos y divisiones de potencias:

a) 23·24·25 b) 55·57·52·53 c) 34·3·36·32·35 d) 11·11·11 e) 72·75·73

5. Realiza las siguientes potencias de potencias:

a) (24)5 b) (92)9 c) (37)8 d) ((54)7)3 e) (72)4

6. Opera:

a) 32·52·72 b) 95:35 c) 43·63:23 d) 85:25

• Producto y el mismo exponente: an · bn= (a·b)n

• Cociente y el mismo exponente: an : bn = (a:b)n

• Exponente 0: a0 = 1

• Exponente 1: a1 = a

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1 NÚMEROS NATURALES 1º E.S.O.

1.5.- RAIZ CUADRADA DE NÚMEROS NATURALES

Raíz cuadrada exacta

La raíz cuadrada es la operación contraria a elevar al cuadrado. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 64 es 8 porque 82=64 y se escribe √64=8.

El símbolo √ se llama radical y el número que está dentro del radical es el radicando.

√a=b significa que b2=a

Raíz cuadrada entera

Muchos números no tienen raíz cuadrada exacta. En tal caso se calcula la raíz cuadrada entera y habrá un resto.

Por ejemplo, 70 no tiene raíz cuadrada exacta porque 82=64 y 92=81. La raíz cuadrada entera de 70 es 8 y el resto es 70−64=6. √70=8 y resto 6.

Para hacer raíces cuadradas por tanteo buscaremos números que al elevarlos al cuadrado se aproximen al radicando.

1. Calcula las siguientes raíces cuadradas exactas:

a) √36 =

b) √100 =

c) √121 =

d) √1000 =

e) √81 =

2. √25 Calcula la raíz entera y el resto de las siguientes raíces:

a) √45 = y resto:

b) √105 = y resto:

c) √76 = y resto:

d) √58 = y resto:

e) √87 = y resto:

f) √13 = y resto:

Page 7: 1 NÚMEROS NATURALES

2 DIVISIBILIDAD

2.1.- MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO.

2.2.- DIVISORES DE UN NÚMERO.

2.3.- CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD. NÚMEROS PRIMOS.

2.4.- DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL.

2.5.- APLICACIONES (MCD Y MCM).

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2 DIVISIBILIDAD 1º E.S.O.

2.1.- MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO.

Sean a, b y c tres números naturales tales que a·b =c. Entonces, se dice que c es múltiplo de a y de b; y que tanto a como b son divisores de c. Para calcular los múltiplos de un número cualquiera; basta con multiplicarlo por todos los números naturales. Por ejemplo: M(3) = (0, 3, 6, 9, 12, …) porque 3·0=0, 3·1=3, 3·2=6, 3·3=9 y así sucesivamente.

1 Calcula los 10 primeros múltiplos de los siguientes números :

a) M(4) =

b) M(5) =

c) M(7) =

d) M(11) =

e) M(15) =

f) M(25) =

2 Calcula el mínimo común múltiplo (el primer múltiplo común) de los siguientes números:

a) mcm (6,9) =

b) mcm (2,9) =

c) mcm (4,10) =

d) mcm(15,20) =

e) mcm (8,12) =

Page 9: 1 NÚMEROS NATURALES

2 DIVISIBILIDAD 1º E.S.O.

2.2.- DIVISORES DE UN NÚMERO.

Para calcular los divisores de un número; se divide dicho número entre 1, 2, 3, 4...; hasta llegar a él mismo. Si el resto de dicha división es cero, ese número es divisor del primero. Por ejemplo: D(8) = (1, 2, 4, 8) porque esos son todos los números menores que 8 cuya división da exacta.

3 Calcula los divisores de los siguientes números:

a) D(10) =

b) D(16) =

c) D(20) =

d) D(30) =

e) D(45) =

f) D(50) =

4 Calcula el máximo común divisor (el mayor de todos los divisores comunes) de los siguientes números:

a) MCD (8, 20) =

b) MCD (15, 18) =

c) MCD (30, 50) =

d) MCD (12, 42) =

e) MCD (16, 25) =

Page 10: 1 NÚMEROS NATURALES

2 DIVISIBILIDAD 1º E.S.O.

2.3.- CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD. NÚMEROS PRIMOS.

Criterios de divisibilidad: un número es divisible– por 2; cuando acaba en cero o en cifra par.– por 3; cuando la suma de sus cifras es un múltiplo de 3.– por 5; si acaba en cero o en 5.– por 11; si al sumar las cifras de ocupan los lugares pares y las que ocupan los lugares impares y restar

ambas cantidades, da 0, 11 o multiplo de 11.

5 Completa la siguiente tabla, escribiendo SI o NO:

Divisible por...

2 3 5 11

18

45

120

385

622

1320

2090

Un número se dice que es primo si los únicos divisores que tiene son el 1 y él mismo. En caso contrario, se dice que es compuesto.

6 Completa la siguiente tabla:

Número Todos sus divisores son ... ¿Es primo?

15

29

37

42

55

60

89

Page 11: 1 NÚMEROS NATURALES

2 DIVISIBILIDAD 1º E.S.O.

2.4.- DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL.

Descomponer factorialmente un número es expresarlo como producto de números primos menores o iguales que él. Por ejemplo: 20 2 10 2 y lo expresamos como producto así: 5 5 1

7 Indica si son correctas las siguientes descomposiciones factoriales:

8 Completa la descomposición factorial de los siguientes números :

45 70 108 45 =

70 =

108 =

252 660 900 252 =

660 =

900 =

1100 1520 2184 1100 =

1520 =

2184 =

220 = 2 ·5

290 3 ·5·2= 2

12 2 ·5= 218 2 ·3=

327 3=66 11·3·2= 2

75 5 ·7=

Page 12: 1 NÚMEROS NATURALES

2 DIVISIBILIDAD 1º E.S.O.

2.5.- APLICACIONES: MCD Y MCM.

Para obtener el mínimo común múltiplo (mcm) de 2 o más números: se descomponen factorialmente y después, multiplicamos todos los factores primos que hemos obtenido; teniendo en cuenta que si algún factor se repite; tomaremos el que tenga el exponente más grande. Para obtener el máximo común divisor (MCD): se descomponen factorialmente y después, multiplicamos los factores primos que se repiten en todas las descomposiciones pero elevados al menor exponente. Si no hay ninguno que se repita, el MCD será el 1 y los números se dirán que son primos entre sí. Ejemplo:

9 Calcula el mcm y el MCD de:

a) 14 18 d) 2 6 9

mcm (14,18) = mcm (2,6,9) =

MCD(14, 18) = MCD (2,6,9) =

b) 45 54 e) 7 5 11

mcm (45,54) = mcm (7,5,11) =

MCD(45,54) = MCD (7,5,11) =

c) 75 100 f) 12 18 24

mcm (75,100) = mcm (12,18,24) =

MCD (75,100) = MCD (12,18,24) =

⇒2 225 = 5 , 15 = 5·3, 35 = 5·7 mcm(25,15,35) = 5 ·3·7, MCD(15,25,35) = 5

Page 13: 1 NÚMEROS NATURALES

3 NÚMEROS ENTEROS

3.1.- NÚMEROS ENTEROS. ORDEN.

3.2.- SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS.

3.3.- MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS.

3.4.- POTENCIAS Y RAÍCES DE NÚMEROS ENTEROS.

3.5.- OPERACIONES COMBINADAS.

Page 14: 1 NÚMEROS NATURALES

3 NÚMEROS ENTEROS 1º E.S.O.

3.1.- NÚMEROS ENTEROS. ORDEN.

El conjunto de los números enteros se designa con la letra ℤ . Está formado por : los números naturales, el cero y los correspondientes negativos.El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al prescindir de su signo.El opuesto de un número entero es el número que tiene el mismo valor absoluto pero signo contrario.Ejemplo : | 4 | = 4 | -3 | = 3 Opuesto de 5 -5 Opuesto de -4 4

1 Expresa mediante un número entero los siguientes enunciados :

a) Tengo sesenta euros en la hucha.

b) El termómetro marca cuatro grados bajo cero.

c) Debo dieciocho euros a mi hermano.

d) Esta ciudad está situada a ochocientos noventa y cinco metros sobre el nivel del mar.

e) Las ofertas están en el primer sótano del Centro Comercial.

2 Ordena de menor a mayor los siguientes números :

5 , - 8 , - 2 , 4 , - 6 , 1 , - 3 , 3

< < < < < < <

3 Calcula el valor absoluto de los siguientes números :

NÚMERO 4 -3 -5 8

VALOR ABSOLUTO

4 Calcula el opuesto de los siguientes números :

NÚMERO 6 -2 -7 12

OPUESTO

Page 15: 1 NÚMEROS NATURALES

3 NÚMEROS ENTEROS 1º E.S.O.

3.2.- SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS.

Para sumar dos números enteros:- Si tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos y se pone el mismo signo.- Si tienen distinto signo, se restan sus valores absolutos (el mayor menos el menor) y se pone el signo del mayor. Signo del mayor mismo signo Ejemplo : - 6 + 5 = - 1 - 4 - 6 = - 10 6 – 5 = 1 4 + 6 = 10

5 Calcula:

a) - 10 - 2 = b) 2 + 7 = c) - 15 + 13 =

d) 4 - 7 = e) - 3 + 6 = f) - 21 - 7 =

6 Calcula: a) 9 + (- 2) = 9 – 2 = b) - 5 – (-3) = - 5 + 3 =

c) - 6 – (- 4) = = d) 3 + (- 7) = =

e) - 12 + (- 3) = = f) 10 – (+ 6) = =

Para sumar o restar mas de dos números, se suman los positivos por un lado, los negativos por otro y después se restan los resultados.Ejemplo : 4 − 3 2 − 8 − 6 9 = 4 2 9

positivos

− 3 8 6negativos

= 15− 17 =−2

7 Calcula:

a) 8 – 4 – 2 =

b) –1 – 5 + 6 =

c) 2 – 4 + 7 – 5 – 4 =

d) 6 + 3 – 5 – 2 + 1 =

e) – 4 – 8 + 2 + 7 – 3 – 4 + 9 =

Page 16: 1 NÚMEROS NATURALES

3 NÚMEROS ENTEROS 1º E.S.O.

Si la expresión tiene paréntesis, podemos:- Operar primero los paréntesis. Por ejemplo : 10 – (8 – 5) + (3 + 2 – 7) = 10 – 3 + (5 – 7) = 10 – 3 + (-2) = 10 – 3 – 2 = 10 – 5 = 5- Quitar los paréntesis. En este caso, si va precedido de signo – , se cambian los signos de los sumandos interiores; si el paréntesis va precedido de signo + , los signos de los sumandos interiores se dejan como estaban. Por ejemplo : 10 – (8 – 5) + (3 + 2 – 7) = 10 – 8 + 5 + 3 + 2 – 7 = (10 + 5 + 3 + 2) – (8 + 7) = 20 – 15 = 5

8 Calcula operando primero los paréntesis :

a) 5 – ( 9 – 3 + 1) =

b) (4 – 5) – (– 3 – 6) + ( 2 – 7) =

c) – 9 – ( 5 – 11) – ( 3 – 12) =

d) 15 – [(9 + 7 – 5) – (4 – 2 + 1)] = 15 – [(16 – 5) – (5 – 2)] = 15 – [11 – 3] =

e) (11 – 5) – [5 – (3 – 4 + 2) + (7 – 10)] =

9 Calcula quitando paréntesis :

a) 5 + (– 8 – 2 + 1 – 4) – (6 – 5 + 3) =

b) (13 – 8 + 2) + (5 – 9) – (– 1 – 4) =

c) 2 + (7 – 3) – ( 2 + 10 + 6) =

d) 8 – [4 + (16 – 9) – (– 8 – 2 + 3)] = 8 – [4 + 16 – 9 + 8 + 2 – 3] =

e) (5 – 12) – [4 – (6 + 2) + (– 4 – 5)] =

Page 17: 1 NÚMEROS NATURALES

3 NÚMEROS ENTEROS 1º E.S.O.

3.3.- MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS.

Cuando se multiplican dos números enteros con el mismo signo, el resultado es positivo. Si tienen distinto signo, el resultado es negativo. La misma regla de los signos vale para la división.Ejemplo : (- 5) . 2 = -10 (- 3) . (- 4) = + 12 12 : (- 6) = - 2 (- 4) : (- 2) = + 2

10 Calcula :

a) (- 8) . (- 4) = b) (- 7) . 3 = c) 9 . (- 5) =

d) 16 : (- 4) = e) (- 54) : (- 9) = f) (- 35) : 7 =

11 Calcula :

a) (- 3) . 7 . (- 2) = b) (- 18) : (- 6) . (- 2) =

c) 15 : (- 5) : 3 = d) 15 . (- 2) : (- 6) =

3.4.- POTENCIAS Y RAÍCES DE NÚMEROS ENTEROS.

En una potencia de base negativa, si el exponente es par el resultado es positivo, si el exponente es impar, el resultado es negativo.Ejemplo : (- 5)2 = 25 (- 4)3 = - 64La raíz cuadrada de un número entero positivo tiene dos soluciones. La raíz cuadrada de un número negativo no existe.

Ejemplo : 4= 2

−2 porque 22 = 4 y (-2)2 = 4 ; −9 no existe

12 Calcula :

a) (- 5)3 = b) 42 = c) (- 2)4 =

d) (- 10)4 = e) (- 4)5 = f) 63 =

13 Calcula :

a) −25= b) 100= c) 36=

d) 1= e) 0= f) −49=

Page 18: 1 NÚMEROS NATURALES

3 NÚMEROS ENTEROS 1º E.S.O.

3.5.- OPERACIONES COMBINADAS.

El orden de las operaciones será : primero los paréntesis, después potencias y raíces, después multiplicaciones y divisiones, y por último sumas y restas. Ejemplo :

5 – (4 – 8 . 2 + 10) + 36 : 32 = 5 – (4 – 16 + 10) + 36 : 32 = 5 – (14 – 16) + 36 : 32 = 5 – (-2) + 36 : 9 = 5 + 2 + 4 = 11

14 Calcula :

a) (- 3) . (- 2) - 5 . 4 + 6 . (- 2) =

b) 5 . (- 6) - 3 . 2 + (- 9) . (- 4) =

c) (- 40) : 2 + 8 . 3 + (- 12) : (- 3) =

d) (- 2) . (5 - 2 + 7) - (9 + 6 - 3) : (- 3 + 9) =

e) - (2 + 3 - 10) . (- 4 + 6 - 9) : (12 - 3 - 2) =

15 Calcula :

a) 3 . [5 - (- 4) + 1] + (-13 + 9)2 : 8 =

b) (- 11) . 64 - (12 -15 - 5) .10 + 6 =

Recuerda que : am . an = am+n y am : an = am-n . Ejemplo : (-3)2 . (-3)3 = (-3)5 = - 243 (-2)8 : (-2)6 = (-2)2= 4

16 Calcula :

a) (-7)4 . (-7)5 : (-7)7 + (-1)10 =

b) (- 4)12 : [(- 4)2 . (- 4)3 . (- 4)5] - (- 4)6 : (- 4)5 =

Page 19: 1 NÚMEROS NATURALES

4 FRACCIONES

4.1.- INTRODUCCIÓN A LAS FRACCIOES. FRACCIONES EQUIVALENTES.

4.2.- COMPARACIÓN DE FRACCIONES. REDUCCIÓN A COMÚN DENOMINADOR

4.3.- OPERACIONES CON FRACCIONES (I)

4.4.- OPERACIONES CON FRACCIONES (II)

4.5.- PROBLEMAS CON FRACCIONES.

Page 20: 1 NÚMEROS NATURALES

4 FRACCIONES 1º E.S.O.

4.1.- INTRODUCCIÓN A LAS FRACCIONES. FRACCIONES EQUIVALENTES.

Una fracción es una expresión de la forma b

a donde a y b son dos números enteros y b ≠ 0 que se denominan:

b

a

Para leer una fracción:✔ El numerador se lee con el nombre del número✔ El denominador se leerá:

◦ Si es 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 o 9 se leerá medios, tercios, cuartos, quintos, sextos, séptimos, octavos y novenos respectivamente.

◦ Si fuera 10 se leerá décimos y si es mayor que 10 se lee el número añadiéndole la terminación “avos”.

1 Completa la fracción siguiendo las indicaciones del cuadro anterior:

FRACCIÓN NUMERADOR DENOMINADOR ¿CÓMO SE LLE?

4

3

7 2

Once tercios

15

22

2 Sombrea en cada figura geométrica la fracción que se indica:

4

3

3

2

5

1

8

3

2

3

FRACCIONES CON SIGNO NEGATIVO: Recuerda que b-

a

b

-a ==−

b

a, aunque la última forma solo se puede

admitir como válida en un paso intermedio dentro de un ejercicio de operaciones con fracciones y nunca en un resultado final, en ese caso o bien se saca el signo negativo fuera de fracción (primera forma) o bien se le pone al numerador (segunda forma).

Numerador

Denominador

Page 21: 1 NÚMEROS NATURALES

4 FRACCIONES 1º E.S.O.

RECUERDA además:– Una fracción es propia si su numerador es menor que su denominador. Corresponden a fracciones

menores que 1– Una fracción es impropia si su numerador es mayor que su denominador. Se trata de fracciones

mayores que 1. – Cuando el numerador y el denominador son iguales la fracción es igual a la unidad.

3 Considera el siguiente conjunto de fracciones y sitúalas donde corresponda:

122

121 ,

2

2 ,

9

1 ,

7

10 ,

3

3 ,

6

11 ,

2

5 ,

3

2

FRACCIÓNESPROPIAS

FRACCIONESIMPROPIAS

FRACCIONES IGUALES A LA UNIDAD

Dos fracciones b

a y

d

c se dicen equivalentes si db ca ⋅=⋅ . En ese caso se escribirá

d

c=b

a.

Para obtener fracciones equivalentes a partir de una dada basta con amplificar o simplificar ésta.Una fracción es irreducible si no se puede simplificar más.

4 Comprueba si son equivalentes estos pares de fracciones y marca la opción adecuada:

3

4y

4

3

20

16-y

5

4-

11

12y

3

7

21

24y

7

8

Son equivalentesNo son equivalentes

Son equivalentesNo son equivalentes

Son equivalentesNo son equivalentes

Son equivalentesNo son equivalentes

5 Completa cada recuadro para que obtengas pres de fracciones equivalentes:

12

3

2 =21

5

3 =48

8

6 =

6 Completa teniendo en cuenta que se trata de fracciones equivalentes:

24

30

10

27

8

9

3

2 ======

Page 22: 1 NÚMEROS NATURALES

4 FRACCIONES 1º E.S.O.

7 Halla la fracción irreducible de las siguientes fracciones:

64

20 = 30

75 = 48

42 =

4.2.- COMPARACIÓN DE FRACCIONES. REDUCCIÓN A COMÚN DENOMINADOR.

Para comparar dos fracciones:– Si tienen el mismo denominador se compararán atendiendo a sus numeradores.– Si tienen distintos denominadores se redirán a común denominador, teniendo así fracciones

equivalentes a las iniciales, y se compararán como en el caso anterior.

8 Ordena los siguientes conjuntos de fracciones de menor a mayor:

a) 7

24y

7

31b)

20

7y

5

2c)

7

5y

3

2

9 Ordena los siguientes conjuntos de fracciones de mayor a menor:

a) 16

5y

4

1b)

12

11y

9

7c)

2

3y

5

7 ,

3

4

4.3.- OPERACIONES CON FRACCIONES (I)

Para sumar o restar fracciones:– Si tienen el mismo denominador se suman o restan los numeradores y se deja el mismo denominador.– Si tienen distinto denominador se reducirán a común denominador para después sumar o restar los

numeradores.IMPORTANTE: No olvides simplificar al final de cada ejercicio.

10 Realiza estas sumas y restas de fracciones:

a) =+ 4

5

4

1

b) =− 3

2

3

7

c) =+++ 5

8

5

1

5

7

5

9

d) =−−+ 3

8

3

7

3

2

3

1

Page 23: 1 NÚMEROS NATURALES

4 FRACCIONES 1º E.S.O.

e) =−−− 8

3

8

1

8

11

8

9 f) =++

11

1

11

8

11

2

11 Realiza estas sumas y restas de fracciones:

a) =++ 8

1

4

3

2

2

b) =+ 6

1

9

7 -

3

9

c) =−+− 12

5

6

5

3

7

2

1

d) =−− 12

5

6

5

2

9 -

4

1

12 Realiza estas sumas y restas de fracciones:

a) =−+ 2

3

3

7

5

1

b) =+−+ 5

7

4

5

3

3

2

1

c) =−+− 15

2

3

5

5

2

9

1

d) =−− 15

1

3

7

5

9

Para multiplicar fracciones se multiplican los numeradores en el numerador y se multiplican los denominadores en el denominador:

db

ca

d

c

b

a

⋅⋅=⋅

Para dividir fracciones multiplicaremos en cruz, es decir:

db

da

d

c :

b

a

⋅⋅=

La fracción inversa de b

a es

a

b

IMPORTANTE: No olvides simplificar al final de cada ejercicio.

13 Realiza estas operaciones:

a) =⋅ 5

3

2

1

b) =⋅ 4

1

7

2

c) =⋅ 8

9

3

2

d) =⋅ 3

4

5

11

e) =⋅ 3

10

5

6

f) =⋅ 20

6

3

5

Page 24: 1 NÚMEROS NATURALES

4 FRACCIONES 1º E.S.O.

14 Realiza estas operaciones:

a) = 7

3 :

3

2

b) = 5

2 :

3

11

c) =⋅ 6

5 :

3

10

d) = 15

2 :

5

4

e) = 3

2 :

4

3

f) = 8

7 :

8

7

15 Realiza estas operaciones:

a) =⋅⋅ 4

1

3

1

2

1

b) =⋅⋅ 2

3

5

4

3

2

c) = 3

8 :

4

3 :

2

1

d) =⋅ 3

10 :

6

4

3

5

4.4.- OPERACIONES CON FRACCIONES (II)

Para realizar operaciones combinadas con fracciones debes respetar la jerarquía de las operaciones:PRIMERO: Potencias y raíces.SEGUNDO: Paréntesis y corchetes.TERCERO: Productos y divisiones (de izquierda a derecha)CUARTO: Sumas y restas.

IMPORTANTE: No olvides simplificar al final de cada ejercicio.

16 Realiza estas operaciones:

a) =

2

3 :

4

1

5

2

b) =

⋅−

2

3

3

5

10

3 :

5

2

c) =

3

10

5

6 :

3

1

4

3

d) =

+⋅

2

3

4

1

4

1

17 Realiza estas operaciones:

a) =−

3

1

10

3 :

5

2

2

1

b) =

2

3

3

5 :

10

3 :

5

2

c) =

2

3 :

3

5

5

1 3

d) =

+⋅

2

3 2

2

13

Page 25: 1 NÚMEROS NATURALES

4 FRACCIONES 1º E.S.O.

18 Realiza estas operaciones:

a) =−⋅10

6 :

5

3

4

1

3

2

b) =−

4

3

10

3 :

5

2

2

1

c) =⋅

+

3

5

4

1 - 2

3

1

2

1 - 3

d) =

−⋅

+

5

2 :

2

1 3

3

1 2

4.5.- PROBLEMAS CON FRACCIONES.

Para resolver un problema con fracciones debes seguir los siguientes pasos:

- Leer el problema cuidadosamente.

- Tomar nota de los datos más relevantes del enunciado.

- Realizar las operaciones oportunas para hallar la solución.

- Responder al problema.

TIPO I: Problemas sobre comparación de fracciones.

19 En el turno diurno del IES Santa Eulalia hay 3

1 de los alumnos en

el primer ciclo de la ESO,7

3 en el segundo ciclo de la ESO y

21

11 en

Bachillerato. ¿Cuál de los 3 ciclo es el más numeroso?

SOLUCIÓN:

20 5

2 de los turistas que visitaron Mérida el pasado año procedían

de nuestro país, 3

1 llegaron desde Portugal y

15

4 viajaron desde el

resto de Europa. ¿Podrías ordenar los 3 grupos de turistas en orden decreciente?

SOLUCIÓN:

Page 26: 1 NÚMEROS NATURALES

4 FRACCIONES 1º E.S.O.

TIPO II: Problemas en los que hay que calcular una parte del total

21 En una carrera popular celebrada en el circo romano de

Mérida participaron 300 atletas de los cuales 5

3 fueron chicos y el

resto chicas. ¿Qué fracción representaría la cantidad de chicas que participaron? ¿Cuántas chicas exactamente corrieron?

SOLUCIÓN:

22 El puente romano de Mérida tiene 792 metros de longitud. Tras recorrer la tercera parte del mismo decidí parar y observar el río Guadiana. Continué con mi paseo recorriendo una cuarta parte del puente. ¿Qué fracción me queda aún por completar? ¿Cuántos metros recorrí en cada parte?

SOLUCIÓN:

Page 27: 1 NÚMEROS NATURALES

5 LOS NÚMEROS DECIMALES

5.1.- LECTURA Y DESCOMPOSICIÓN

5.2.- LAS FRACCIONES DECIMALES

5.3.- REPRESENTACIÓN GRÁFICA Y ORDENACIÓN

5.4.- DECIMALES EXACTOS Y PERIÓDICOS. CLASIFICACIÓN

5.5.- APROXIMACIÓN

5.6.- OPERACIONES CON DECIMALES

5.7.- OPERACIONES POR LA UNIDAD SEGUIDA DE CEROS

Page 28: 1 NÚMEROS NATURALES

5 LOS NÚMEROS DECIMALES 1º E.S.O.

5.1.- LECTURA Y DESCOMPOSICIÓN

• ¿Cómo se leen los números decimales? Fíjate bien en estos ejemplos:

23,02 son veintitrés unidades y dos centésimas

4,1234 son cuatros unidades y mil doscientos treinta y cuatro diezmilésimas.

• Acuérdate también de cómo se descomponen:

23,02 son: 2 Decenas, 3 Unidades, 0 décimas y 2 centésimas.

¿Cómo se leen los siguientes decimales?

a) 4,56................................................................................................................................

c) 1,9083 ...........................................................................................................................

d) 3,567 .............................................................................................................................

h) 1,3..................................................................................................................................

i) 29,008 ..........................................................................................................................

j) 21,098 ..........................................................................................................................

Escribid los siguientes decimales :

a) dos unidades treinta y nueve centésimas ........................................................................

b) dos unidades cinco décimas ............................................................................................

c) ocho unidades cinco décimas...........................................................................................

d) ocho unidades veintitrés diezmilésimas ...........................................................................

e) dieciocho unidades doce milésimas..................................................................................

f) doce unidades seis milésimas ........................................................................................

g) siete unidades tres mil doscientas diezmilésimas ...........................................................

Descompón los siguientes números decimales:

a) 4,56................................................................................................................................

c) 1,9083 ...........................................................................................................................

d) 3,567 .............................................................................................................................

h) 1,3..................................................................................................................................

i) 29,008 ..........................................................................................................................

1

3

2

Page 29: 1 NÚMEROS NATURALES

5 LOS NÚMEROS DECIMALES 1º E.S.O.

5.2.- LAS FRACCIONES DECIMALES

Hay fracciones llamadas Fracciones Decimales, que tienen por denominador a la unidad seguida de ceros.

Por ejemplo:2 23 12; ;

100 1000 10.000

Recuerda que cada una equivale a un número decimal.

2

100 son dos centésimas, por lo que equivale al número decimal 0,02

23

1000son veintitrés milésimas, por lo que equivale al número decimal 0,023

De igual forma, todo número decimal puede expresarse en forma de fracción decimal. Por ejemplo:

25 1 284 71 572 2860,25 ; 2,84 ; 57,2

100 4 100 25 10 5= = = = = =

Fíjate que siempre que se pueda debemos simplificar la fracción (ten en cuenta que las fracciones decimales

sólo pueden simplificarse por 2 y por 5).

Expresa cada decimal como una fracción decimal:

0,23 ; 0,4563 ; 0,4 ; 0,329= = = =

2,3 ; 43,123 ; 80,4 ; 1,815= = = =

Pasa a fracción decimal y si es posible simplifica:

a) 3,6 = b) 5,29 = c) 0,04 =

d) 23,2 = e) 1,03 = f) 0,640 =

Pasa a decimal:

a) 45

1000 = b) =

100

8 c)

34

10=

d) 3

1000 = e)

35

100= f)

257

10=

4

5

6

Page 30: 1 NÚMEROS NATURALES

7 8

2,3 2,4

4 5

6,21 6,22

5 LOS NÚMEROS DECIMALES 1º E.S.O.

5.3.- REPRESENTACIÓN GRÁFICA Y ORDENACIÓN

Representa en la recta numérica los dos decimales siguientes:

Indica cuál es el número decimal representado en cada caso:

Recuerda que para comparar dos números decimales tienes que ir de izquierda a derecha, hasta encontrar la

primera cifra en la que se diferencian.

Por ejemplo, los números 51,29834 y 51,29598; si comienzas por la iquierda, la primera cifra diferente es la

situada en las milésimas y te indica que el primero es mayor.

Pon el símbolo < o > donde corresponda:

a) 12,088 12,33 b) 8,591 8,6 c) 1,404 1,403999

Ordena de menor a mayor los números: 3,65 − 3,7 − 3,68 − 3,654 − 3,661

Escribe tres números decimales comprendidos entre 3,4 y 3,5

<<<<

7,3

2,38

<<<<3,4 3,5

7

8

9

10

11

Page 31: 1 NÚMEROS NATURALES

5 LOS NÚMEROS DECIMALES 1º E.S.O.

5.4.- DECIMALES EXACTOS Y PERIÓDICOS. CLASIFICACIÓN

Los números decimales pueden ser:

Exactos: si tienen una cantidad finita de cifras.

Periódicos: si tienen una cantidad infinita de cifras y un grupo seguido de ellas se repite indfinidadmente.

(se llman periódicos puros si el grupo de cifras que se repite empieza tras la coma; en caso contrario son

periódicos mixtos).

No exactos ni periódicos: si tienen una cantidad infinita de cifras y no hay ningún período.

Clasifica los siguientes números decimales:

a) 2,0313131… _________________________________________________

b) 34,28 _________________________________________________

c) 1,245245245… _________________________________________________

d) 5,12131313… _________________________________________________

Expresa las fracciones como decimal y después di de qué tipo es cada uno:

a) 3

5 =

b) 10

11 =

c) 41

6 =

Escribe un número decimal que responda a la descripción:

Periódico puro con período de dos cifras:___________________________________________

Periódico mixto con anteperíodo de 2 cifras y período de 1 cifra:_________________________

Exacto:______________________________________________________________________

No exacto y no periódico:________________________________________________________

(Haz aquí las operaciones)

12

13

14

Page 32: 1 NÚMEROS NATURALES

5 LOS NÚMEROS DECIMALES 1º E.S.O.

5.5.- APROXIMACIÓN

Podemos aproximar el valor de un número decimal por redondeo y por truncamiento.

Ejemplo de REDONDEO: el número 45,3461 puede ser redondeado a la cifra de las centésimas así: 45,35

(fíjate que a las centésimas les hemos sumado 1 dado que en las milésimas hay una cifra superior a 4).

Ejemplo de TRUNCAMIENTO: el número 45,3461 puede ser truncado a la cifra de las centésimas así: 45,34

(fíjate que simplemente eliminamos el resto de cifras, sin más).

Aproxima por redondeo y por truncamiento, a las centésimas, los decimales siguientes:

a) 8,345 b) 23,5534 c) 0,297 d) 4,191

a) Redondeo: Truncamiento:

b) Redondeo: Truncamiento:

c) Redondeo: Truncamiento:

d) Redondeo: Truncamiento:

Aproxima por redondeo y por truncamiento, a las unidades, los decimales siguientes:

a) 8,7 b) 23,25 c) 0,92 d) 4,94

a) Redondeo: Truncamiento:

b) Redondeo: Truncamiento:

c) Redondeo: Truncamiento:

d) Redondeo: Truncamiento:

15

16

Page 33: 1 NÚMEROS NATURALES

5 LOS NÚMEROS DECIMALES 1º E.S.O.

5.6.- OPERACIONES CON DECIMALES

Realiza las siguientes sumas de decimales:

a) 789,01 + 89,124 = b) 247,321 + 1,08 =

b) 372,67 + 0,073 = d) 41,32 + 807,78 =

Realiza las siguientes las sumas de decimales:

a) 901,23 + 1,234 + 7,01 = b) 628,51 + 284 + 6,28 =

c) 951,7 + 5,04 + 28,406 = d) 628 + 0,62 + 84,5147 =

17

18

Page 34: 1 NÚMEROS NATURALES

5 LOS NÚMEROS DECIMALES 1º E.S.O.

Realiza las siguientes restas de decimales:

a) 234,75 – 21,296 = b) 356,27 – 35 =

c) 729 – 37 = d) 528,8 – 139,67 =

Resolver las multiplicaciones de decimales:

a) 3, 4 5 1 b) 5, 4 3 2 c) 8 4 0, 6

x 0,6 1 x 0,4 8 x 7, 2 4

Resolver las multiplicaciones de decimales:

a) 0, 0 3 6 b) 3, 6 2 c) 2 8 4, 1

x 4, 0 8 x 5,2 x 6 2, 4

19

20

21

Page 35: 1 NÚMEROS NATURALES

5 LOS NÚMEROS DECIMALES 1º E.S.O.

Resolver las divisiones de decimales:

a) 9 0 7, 8 5 : 5 b) 8 9 0, 1 : 9

c) 3 9 5, 4 6 : 7 8 d) 5 6 8, 2 6 : 42

Resolver las divisiones de decimales :

a) 6,069 : 5, 7 8 b) 742,6 : 74,26

c) 20,15 : 32,5 d) 20,82 : 6,94

23

22

Page 36: 1 NÚMEROS NATURALES

5 LOS NÚMEROS DECIMALES 1º E.S.O.

5.7.- OPERACIONES POR LA UNIDAD SEGUIDA DE CEROS

¿Cómo se multiplica un decimal por la unidad seguida de ceros? Movemos la coma a la derecha tantos

lugares como ceros haya. Por ejemplo: 32,93857 x 1000 = 32938,57

¿Cómo se divide un decimal por la unidad seguida de ceros? Movemos la coma a la izquierda tantos lugares

como ceros haya. Por ejemplo: 32,93857 : 1000 = 0,03293857

Multiplica por la unidad seguida de ceros :

a) 89,5 x 10 = b) 89,5 x 100 = c) 89,5 x 1000 =

d) 2,345 x 10 = e) 2,345 x 100 = f) 2,345 x 1000 =

g) 64 x 10 = h) 64 x 100 = i) 64 x 1000 =

Divide por la unidad seguida de ceros:

a) 268 : 10 = b) 83,47 : 100 = c) 1,458 : 100 =

d) 3,48 : 1000 = e) 71,93 : 10 = f) 0,472 : 1000 =

g) 357,56 : 10 = h) 4,92 : 100 = i) 51,2 : 100 =

Completar :

a) … ….………..….. x 100 = 8361,6 b) ……………….. x 100 = 67,2

c) ………………….. x 100 = 682,59 d) …………………x 1000 = 1,238

e) ………………….. x 10 = 37,92 f) …………………x 10 = 36,6

g) ………………….. x 100 = 946,2 h) …………………x 10000 = 94,367

24

25

26

Page 37: 1 NÚMEROS NATURALES

6 INICIACIÓN AL ÁLGEBRA

6.1.- LENGUAJE NUMÉRICO.

6.2.- LENGUAJE ALGEBRAICO.

6.3.- MONOMIOS.

6.4.- VALOR NUMÉRICO.

6.5.- IDENTIDADES. ECUACIONES.

6.6.- RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON ECUACIONES.

Page 38: 1 NÚMEROS NATURALES

6 INICIACIÓN AL ÁLGEBRA 1º E.S.O.

6.1.- LENGUAJE NÚMERICO

El triple de cincuenta más cinco → 3 · 50 + 5

La mitad de 24 menos 8 → 2

24

– 8

1 Expresa en lenguaje numérico :

SOLUCIÓN

El doble de cinco

La tercera parte de ochenta y siete

La mitad de ocho más tres

El triple de cuatro menos dos

El cuádruple de tres más cinco

La mitad de dieciséis menos cuatro

Cuatro veces seis mas dos

Nueve partido por tres más uno

Siete por cinco menos diez

El doble de siete más ocho

6.2.- LENGUAJE ALGEBRAICO

El triple de cincuenta más cinco → 3 · 50 + 5

La mitad de 24 menos 8 → 2

24

– 8

Page 39: 1 NÚMEROS NATURALES

6 INICIACIÓN AL ÁLGEBRA 1º E.S.O.

2 Relaciona cada enunciado con la expresión algebraica correspondiente:

ENUNCIADO EXPRESIÓN ALGEBRAICA SOLUCIÓN

a) Perímetro de un triángulo equilátero 1) 3x + 2

b) Al triple de un número le sumamos 2 unidades2) x (x + 1)

c) El doble de la suma de dos números 3) x2

d) El producto de un número y su consecutivo 4) 2(x + y)

e) El doble de un número más siete

5) 3

x

f) El cuádruple de un número menos cinco

6) 2

x – 3

g) Un número más cuatro 7) 2x + 7

h) La mitad de un número menos tres 8) 4 x – 5

i) La tercera parte de un número 9) x + 4

j) El cuadrado de un número 10) 3x

3 Escribe en lenguaje algebraico las siguientes expresiones:

ENUNCIADO SOLUCIÓN

a) El cuadrado de un número

b) Un número menos tres

c) El doble de un número más tres

d) La mitad de un número menos cinco

e) El triple de un número más el doble del mismo número

f) La cuarta parte de la suma de un número menos tres

g) La quinta parte de un número menos el triple de dicho número

h) La suma de dos números cualesquiera

Page 40: 1 NÚMEROS NATURALES

6 INICIACIÓN AL ÁLGEBRA 1º E.S.O.

4 Inventa frases para las expresiones algebraicas:

SOLUCIÓNa) x + y b) 4(a + b)c) x3 − 5d) m + 3e) 4(x − y)f) 5x − 2g) 3x + 4h) x + 8i) x − 6j) y2 + 9y

6.3.- MONOMIOS

Un monomio consta de un número y una o varias letras.• El número, incluido el signo, se llama coeficiente.• La letra o letras que lo acompañan, con sus exponentes, se denomina parte literal.

Llamamos grado de un monomio a la suma de los exponentes de las letras que lo forman.Ej:

Monomio Coeficiente Parte Literal Grado

25x2y3 25 x2y3 5

5 Completa la tabla indicando el coeficiente, la parte literal y el grado de cada monomio:

Monomio Coeficiente Parte Literal Grado

5x2 y

– 7 y z5

42

6

5yx−

x3

6.4.- VALOR NUMÉRICO

Valor numérico: es el número que resulta de sustituir las letras de una expresión algebraica por los valores correspondientes de dichas letras, y realizar las operaciones que se indican.

Page 41: 1 NÚMEROS NATURALES

6 INICIACIÓN AL ÁLGEBRA 1º E.S.O.

6 Calcula el valor de las expresiones, según el valor de x.

Operaciones Valor Numérico

a) 4x + 2 , si x = 4

b) −2x + 5x2 , si x = 3

c) (x2 − 2)2, si x = −3

6.5.- IDENTIDADES. ECUACIONES.

Igualdad algebraica, es una igualdad formada por dos expresiones en las que intervienen números y letras separadas por el signo =.Identidad, es una igualdad algebraica que es cierta para cualquier valor de las letras. Ej: x + 2x = 3xEcuación, es una igualdad algebraica que sólo es cierta para algunos valores de las letras. Ej: 2x = 4

7 Indica si las expresiones siguientes son identidades o ecuaciones:

IDENTIDAD ECUACIÓN

a) 3(x + 1) + 4 = 3x + 7

b) 4x + 2 = 6

c) 2 a + a = 3 a

d) 3x – 6 = 3(x – 2)

e) x – 4 = 5

8 En las ecuaciones, identifica la incógnita y resuélvelas.

Incógnita Resolución Solución

a) x + 3 = 7

b) y − 4 = 5

c) 4x = 8

d) 3

x = 2

e) 8 − z = 6

f) 3z − 3 = 9

Page 42: 1 NÚMEROS NATURALES

6 INICIACIÓN AL ÁLGEBRA 1º E.S.O.

6.6.- RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON ECUACIONES .

La tercera parte de un número es igual a 7.

Ej: 3

x=7 → 3 ·

3

x = 3 · 7 →

3

x·3 = 21 →

9 Un número y su anterior suman 57. ¿De qué números se trata?

10 Si sumamos 6 a un número, obtenemos el número 17. Escribe la ecuación y calcula dicho número.

11 La suma de un número más su triple es 16, ¿qué número es?

x = 21

Page 43: 1 NÚMEROS NATURALES

7 PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA

7.1.- RAZÓN Y PROPORCIÓN.

7.2.- MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES.

7.3.- REGLAS DE TRES SIMPLES DIRECTAS.

7.4.- PORCENTAJES.

7.5.- AUMENTOS Y DISMINUCIONES PORCENTUALES.

Page 44: 1 NÚMEROS NATURALES

7 PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA 1º E.S.O.

7.1.- RAZÓN Y PROPORCIÓN.

La razón entre dos magnitudes, a y b, es la relación que existe entre ellas, expresada en forma de fracción. También se puede dividir el numerador entre el denominador y expresarla en forma decimal. Ejemplo: Ramón ha encestado 5 canastas de 8 intentos; eso se expresaría en forma de razón con el número decimal 0'625 o con la fracción:

1 Expresa las siguientes relaciones en forma de razón:

a) De las 15 niñas de la clase, 4 son rubias.

b) Un ciclista ha recorrido la tercera parte de la etapa.

c) Julia ha aprobado 6 de los 8 exámenes realizados.

d) En una urna hay 4 bolas verdes por cada 7 bolas azules.

Se llama proporción a la igualdad entre dos razones; es decir, son dos fracciones igualadas. En toda proporción se verifica que “el producto de medios es igual al producto de extremos”; es decir, que al multiplicar dichas fracciones en cruz, nos da lo mismo.Ejemplo: comprobamos que las siguientes razones forman proporción:

si porque al multiplicar en cruz nos queda: 6 · 5 = 3 · 10.

2 Comprueba si las siguientes igualdades forman proporción:

3 Calcula el valor de x para que las siguientes igualdades formen proporción:

x = x = x = x =

5

8

5 10

3 6=

7 14

2 4=

8 24

5 10= 3 30

2 22=

6 18

7 21=

2 7

4 x=

5

3 18

x=20

12 30

x =1 13

26x=

Page 45: 1 NÚMEROS NATURALES

7 PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA 1º E.S.O.

7.2.- MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES.

Dos magnitudes, se dice que son directamente proporcionales si al multiplicar (o dividir) una de ellas por un numero cualquiera, la otra queda multiplicada (dividida) por dicho número. Es decir, a mayor valor de una de ellas, le corresponde mayor valor de la otra y viceversa. Ejemplo: la siguiente tabla representa los valores de dos magnitudes que son directamente proporcionales(para comprobar que está bien hecha, al multiplicar en cruz los datos de dos columnas cualesquiera, sale lo mismo)

Magnitud A 3 6 12 24

Magnitud B 5 10 20 40

4 Comprueba si las siguientes tablas representan a magnitudes directamente proporcionales:i

Magnitud A 12 6 4 2

Magnitud B 72 36 24 12

Magnitud A 250 500 1000 2000

Magnitud B 2 3 4 5

Magnitud A 5 15 45 135

Magnitud B 81 27 9 3

5 ¿Cuales de los siguientes pares de magnitudes son directamente proporcionales? a) La velocidad de un coche y el tiempo que tarda en hacer un recorrido.

b) La longitud del lado de un cuadrado y su perímetro.

c) El número de folios de un documento y su grosor.

d) El color de una camisa y su precio. e) El número de socios de un club y el dinero recaudado por sus cuotas.

6 Realiza una tabla para cada una de las siguientes situaciones:

a) En una papelería se vende cada caja de pinturas a 12€. Calcula el precio de 2, 3 y 9 cajas.

b) Un grifo arroja 6 litros de agua en 4 min. Calcula cuantos litros arroja en 2, 8 y 12 min.

c) El precio de 3 entradas de cine es de 18€. Calcula el precio de 1, 4 y 6 entradas.

Page 46: 1 NÚMEROS NATURALES

7 PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA 1º E.S.O.

7.3.- REGLAS DE TRES SIMPLES DIRECTAS.

Las reglas de tres simples directas, se utilizan para resolver problemas en los que aparezcan implicadas dos magnitudes directamente proporcionales. Dado el valor de una de ellas, se pedirá uno o varios valores de la otra. Ejemplo: Elena pagó 60 céntimos por 5 chicles, ¿cuánto le habrían costado 8?. 5 chicles 60 céntimos como son magnitudes directamente proporcionales, se plantea la 8 chicles x céntimos proporción que le corresponde y de ella se despeja la x multiplicando en cruz:

5 · x = 60 · 8

7 Tres bolígrafos iguales le han costado a Irene 2'40€. ¿Cuánto tendrá que pagar por 8 bolígrafos?. ¿Cuántos bolígrafos podrá comprar con 8€?.

8 Con un determinado grifo se ha llenado un depósito de 120 litros en 8 min. ¿Cuánto tardará en llenarse un depósito de 600 litros?. ¿Cuántos litros arrojará el grifo en 1 hora?.

9 Luis ha recorrido 240 Km en 3 horas. ¿Cuántos Kms recorrerá en 5 horas?

10 Con 4 jarras de agua, hemos llenado 16 vasos. ¿Cuántos vasos se llenarán con 2 jarras?. ¿Cuantas jarras teníamos si hemos llenado 40 vasos?.

11 Comprando 5 paquetes, he obtenido 30 cromos. ¿Cuántos cromos venían en 3 paquetes? Si tengo 42 cromos, ¿cuántos paquetes he comprado?.

5 60

8 x= 60·8

965

x cts= =

Page 47: 1 NÚMEROS NATURALES

7 PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA 1º E.S.O.

7.4.- PORCENTAJES.

Para calcular un porcentaje de una cantidad; se multiplica dicha cantidad por el porcentaje expresado en forma de fracción; o bien, se expresa la fracción en forma de número decimal y se multiplica por el.Ejemplo: para calcular el 15% de 120, tenemos dos maneras de proceder:

o bien

12 Calcula los siguientes porcentajes: a) 10% de 200 d) 3% de 40 b) 25% de 80 e) 50% de 82

c) 12% de 1500 f) 75% de 300

Para calcular una cantidad inicial a partir de un porcentaje suyo (o viceversa), se plantea una regla de 3.Ejemplo: En una empresa hay 150 mujeres, lo que representa el 15% del total de los trabajadores.¿Cuántos trabajadores tiene la empresa?. 15% 150 mujeres

100% x mujeres 13 De los 150 documentales emitidos en una cadena de televisión, 120 son de naturaleza. ¿Qué tanto por ciento representan los de naturaleza?.

14 En una clase han aprobado el control de lengua 18 alumnos, lo que representa el 60%. ¿Cuántos alumnos tiene la clase?.

15 De los 150 alumnos de 1º ESO del instituto, 45 han aprobado todas las materias, 60 han han suspendido una, 30 han suspendido dos y el resto, más de dos. Expresa en forma de porcentaje cada uno de estos resultados.

16 Roberto ha encestado 9 canastas, lo que supone un acierto del 45%, ¿cuántos tiros ha lanzado?.

15·120 180018

100 100= =

150 '15 0 '15·120 18

100= → =

15 150 1500015· 150·100 1000

100 15x x

x= → = → = =

Page 48: 1 NÚMEROS NATURALES

7 PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA 1º E.S.O.

7.5.- AUMENTOS Y DISMINUCIONES PORCENTUALES.

Para saber cómo nos queda una determinada cantidad tras un descuento del x%, hacemos 100 – x y el resultado obtenido se expresa como porcentaje decimal y se multiplica a la cantidad.Ejemplo: hacemos una compra de 200€ que lleva un descuento del 20%, ¿cuánto pagamos?.100 – 20 = 80; expresamos el 80% en decimal, que es 0'8 y después multiplicamos los 200€ por ese decimal. Es decir, pagamos 200 · 0'8 = 160€. 18 El número de nacimientos de una ciudad ha descendido un 15% respecto a los 1500 del año pasado. ¿Cuántos niños han nacido éste año?.

19 El presupuesto que le han dado a Ana para amueblar su cocina asciende a 5480€, pero le rebajan un 3% por pagar al contado. ¿Por cuánto le sale ahora la cocina a Ana?.

20 Me he comprado una camiseta de 20€ con un 30% de dto, unos zapatos de 45€ con un 12% de dto y una chaqueta de 60€ con un 45% de dto. ¿Cuánto pagaré?.

Para saber cómo quedaría una cantidad tras haberla aumentado un x%, se multiplica dicha cantidad por 1'(el porcentaje); estando ese porcentaje expresado con dos dígitos.Ejemplo: ¿Cuánto pagaremos por una multa de 120€ que tiene un 15% de recargo retraso en el pago?.120 · 1'15 = 138€. 21 Se ha decidido ampliar en un 12% las hectáreas de un parque que tiene actualmente 800. ¿Cuántas hectáreas tendrá el nuevo parque?.

22 Un litro de aceite de oliva costaba hace un año, 2'20€, pero lo han subido un 7%, ¿cuánto cuesta ahora?.

23 He comprado una lavadora de 400€, pero al ir a pagarla, nos han dicho que había que incrementarle el 18% de IVA. ¿Cuánto ha costado finalmente la lavadora?.

Page 49: 1 NÚMEROS NATURALES

8 ÁNGULOS

8.1.- TIPOS DE ÁNGULOS.

8.2.- ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Y SUPLEMENTARIOS.

8.3.- ÁNGULOS CONSECUTIVOS, ADYACENTES Y OPUESTOS

POR EL VÉRTICE.

8.4.- MEDIDA DE ÁNGULOS Y TIEMPO.

8.5.- OPERACIONES CON MEDIDAS ÁNGULOS.

8.6.- PROBEMAS CON ÁNGULOS Y TIEMPO.

Page 50: 1 NÚMEROS NATURALES

8 ÁNGULOS 1º E.S.O.

8.1.- TIPOS DE ÁNGULOS.

Ángulo agudo: mide menos de 90º

Ángulo obtuso: mide más de 90º

Ángulo recto: mide 90º.

Ángulo llano: mide 180º.

1 Un ángulo de 145° es un ángulo:

a) Recto b) Agudo c) Plano d) Obtuso

2 Un ángulo recto es el que mide: a) 180º b) 270º c) 360º d) 90º

3 Señala el ángulo agudo:

a) 130º b) 240º c) 36º d) 300º

4 Un ángulo llano es el que mide:

a) 180º b) 270º c) 360º d) 90º

8.2.- ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Y SUPLEMENTARIOS.

Dos àngulos se dice que son complementarios si su suma es igual a 90º .

Ej: 35º + 55º = 90º

Dos àngulos se dice que son suplementarios si su suma es igual a 180º .

Ej: 135º + 45º = 180º

5 El suplementario de un ángulo que mide 125° un ángulo que mide:

a) 55º b) 75º c) 155º d) 65º

6 El complementario de un ángulo que mide 25° un ángulo que mide: a) 55º b) 75º c) 155º d) 65º

Page 51: 1 NÚMEROS NATURALES

8 ÁNGULOS 1º E.S.O.

7 Escribe cinco pares de àngulos complementarios:

a) b) c) d) e)

8 Escribe cinco pares de àngulos suplementarios:

a) b) c) d) e)

9 ¿Cuál es el ángulo que falta en cada caso?

aº = bº = cº =

8.3.- ÁNGULOS CONSECUTIVOS, ADYACENTES Y OPUESTOS POR EL VÉRTICE.

Ángulos opuestos son los que tienen en común el vértice y sus

lados están sobre las mismas rectas.

Cuando dos rectas se cortan en un punto, los ángulos opuestos

son iguales. BA = y DC =

10 Halla A , B y C :

A =

B =

C =

Page 52: 1 NÚMEROS NATURALES

8 ÁNGULOS 1º E.S.O.

11 Halla L , M y N :

L =

M =

N =

12 Halla L , M y N :

L =

M =

N =

Ángulos consecutivos son los que tienen en común el vértice y un lado.

En la imagen B y A son consecuticos.

Ángulos adyacentes son los que tienen en común un lado y forman un

ángulo de 180º.

En la imagen A y B son adyacentes.

13 Señala los ángulos que son adyacentes y cuáles consecutivos:

Page 53: 1 NÚMEROS NATURALES

8 ÁNGULOS 1º E.S.O.

14 Si C mide 60º halla lo que miden A , B , D , E , F , G y H :

8.4.- MEDIDA DE ÁNGULOS Y TIEMPO.

Una hora equivale a 60 minutos ( 1h ≡ 60' )

Ej: 7h ≡ 7 · 60' = 420'

Un grado equivale a 60 minutos ( 1º ≡ 60' )

Ej: 11º ≡ 11 · 60' = 660'

Un minuto equivale a 60 segundos ( 1' ≡ 60”)

Ej: 15' ≡ 15 · 60” = 900”

15 a) ¿Cuántos minutos hay en 5º?

b) ¿Cuántos minutos hay en 7º? c) ¿Cuántos minutos hay en 18º?

16 Expresa en segundos: a) 3’ b) 5’ c) 10’ d) 15’

17 Convierte en minutos: a) 120” b) 180” c) 3600”

18 Convierte en grados: a) 60’ b) 180’ c) 240’ d) 120’

Page 54: 1 NÚMEROS NATURALES

8 ÁNGULOS 1º E.S.O.

8.5.- OPERACIONES CON MEDIDAS DE ÁNGULOS.

Suma de ángulos: Para sumar las medidas de ángulos colocamos los sumandos agrupados, grados con

grados, minutos con minutos y segundos con segundos:

55º 27’ 34” +

35º 36’ 44”

90º 63' 78” Si los segundos sobrepasan los 60, se transforman en minutos: 78” ≡ 1' 18”

Si los minutos sobrepasan los 60, se transforman es grados: 64' ≡ 1º 4'

Nos quedaría: 91º 4' 18”

19 Calcula:

a) 35º 27’ 14” + 62º 48’ 56”

b) 62º 46” + 25’ 43” + 39º 58’

c) 36º 51” + 2º 11’ 3” + 46’ 59”

d) 82º 2’ 7” + 39º 43’ 27”

Resta de ángulos: Para restar las medidas de ángulos colocamos los sumandos agrupados, grados con

grados, minutos con minutos y segundos con segundos:

55º 27’ 34” – Cuando el sustraendo es mayor 54º 86' 94” –

35º 36’ 44” que el minuendo se convierte un 35º 36' 44”

grado en minutos y un minuto en 9º 50' 50”

segundos:

20 Halla: a) 82º 2’ 7” – 39º 43’ 27”

b) 56º 14’ – 34º 42”

c) 36º 51” – 2º 11’ 3”

d) 36º 51” – 46’ 59”

Multiplicación de un ángulo por un número: Se multiplican los grados, minutos y segundos por ese

número.

Ej: (36º 51”) · 2 = 72º 102” ≡ 73º 42”

21 Calcula: a) ( 45º 23' 15”) · 4

b) (37’ 11”) · 3

Page 55: 1 NÚMEROS NATURALES

8 ÁNGULOS 1º E.S.O.

8.6.- PROBLEMAS CON ÁNGULOS Y TIEMPO.

22 Juan realiza un viaje en coche de la ciudad M a la ciudad N. Si sale de la ciudad M a las 6 h 15 min 35 s y llega a la ciudad N a las 11 h 33 min, ¿qué tiempo ha tardado?

23 Si tenemos un ángulo A = 106º 27’ 20’’ y trazamos su bisectriz, ¿cuánto vale cada uno de

los ángulos en los que queda dividido el ángulo A ? ¿Cuánto 4 · A ?

Page 56: 1 NÚMEROS NATURALES

9 POLÍGONOS Y CIRCUNFERENCIA

9.1.- POLÍGONOS.

9.2.- TRIÁNGULOS. ELEMENTOS NOTABLES. CLASIFICACIÓN

93.- TEOREMA DE PITÁGORAS. APLICACIONES.

9.4.- CUADRILÁTEROS. PROPIEDADES DE LOS PARALELOGRAMOS.

9.5.- CIRCUNFERENCIAS: ELEMENTOS Y POSICIONES RELATIVAS.

Page 57: 1 NÚMEROS NATURALES

10 POLÍGONOS Y CIRCUNFERENCIA 1º E.S.O.

9.1.- POLÍGONOS

Un polígono es una figura plana y cerrada limitada por segmentos. Sus elementos principales son: Su clasificación:

( )

( )

( )

( )

distinto ángulo o lado Álgún

iguales ángulos y lados los Todos

180º que mayor interior ángulo Álgún

180º de menores interiores Ángulos

sIrregulare

Regulares

Lados

Cóncavo

Convexo

Ángulos

Polígon

Nombre de polígonos según sus lados

La suma de los ángulos interiores de un polígono regular de n lados es 180º⋅n−2 .

1 Señala en la siguiente figura sus lados y las diagonales que parten de 2 de sus vértices.. Indica además cuáles son sus vértices y nómbralos según corresponda.

2 Halla el número de lados de un polígono cuya suma de todos sus ángulos es:

a) 540º → B) 360º →

Page 58: 1 NÚMEROS NATURALES

10 POLÍGONOS Y CIRCUNFERENCIA 1º E.S.O.

3 Escribe el nombre de estos polígonos indicando además si son o no regulares, irregulares, cóncavos o convexos:

9.2.- TRIÁNGULOS: ELEMENTOS NOTABLES Y CLASIFICACIÓN.

RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS

RECTAS NOTABLES PUNTOS NOTABLES

Mediana: Recta que une cada vértice con el punto medio del lado opuesto

Baricentro: Punto de intersección de las medianas. Centro de gravedad del triángulo.

Mediatriz: Recta perpendicular a cada lado por su punto medio.

Circuncenro: Punto de intersección de las mediatrices. Centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.

Altura: Recta perpendicular a cada lado trazada desde el vértice opuesto.

Ortocentro: Punto de intersección de las alturas.

Bisectriz: Recta que divide cada ángulo interior en 2 partes iguales

Incentro: Punto de intersección de las mediatrices. Centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.

4 Clasifica estos triángulos según sus lados y ángulos.

5 En un triángulo rectángulo sabemos que uno de sus ángulos mide 40º. ¿Cuánto miden los otros 2? Clasifícalo.

SOLUCIÓN:

6 En triángulo equilátero, ¿Cuánto valen sus ángulos interiores?

SOLUCIÓN:

Page 59: 1 NÚMEROS NATURALES

10 POLÍGONOS Y CIRCUNFERENCIA 1º E.S.O.

7 Completa con el nombre de la recta o punto notable que corresponda.

9.3.- TEOREMA DE PITÁGORAS. APLICACIONES.

TEOREMA DE PITÁGORAS: En un triángulo rectángulo la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Es decir:

a2=b

2c

2

8 Determina cuáles de los siguientes triángulos son rectángulo:

a) a = 5 cm. b = 4 cm. c = 3cm.

b) a = 6 cm. b = 2 cm. c = 3 cm.

c) a = 20 cm. b = 7 cm. c = 8 cm.

9 Calcula las diagonales de las siguientes figuras geométricas:

EJEMPLO

APLICACIONES:- Cálculo de la altura de un triángulo equilátero o isósceles.- Cálculo de la diagonal de un paralelogramo.

10 cm8 cm

6 cm

Page 60: 1 NÚMEROS NATURALES

10 POLÍGONOS Y CIRCUNFERENCIA 1º E.S.O.

9.4.- CUADRILÁTEROS. PROPIEDADES DE LOS PARALELOGRAMOS.

sTrapezoide

Escaleno

Isósceles

Rectángulo

Trapecios

Romboide

Rombo

Rectángulo

Cuadrado

amosParalelogr

EROSCUAD´RILÁT

360º D C B A =+++

10 Escribe el nombre de las siguientes figuras planas:

a) b) c) d)

e) f) g)

11 Calcula el ángulo que falta en cada cuadrilátero:

En un paralelogramo:a) :a suma de los cuatro ángulos interiores es 360º. Es decir:

b) Los ángulos opuestos son iguales y los contiguos suplementarios.

a)

b) c)

d) e)

f)

g)

120º 60º

B C

D

B C

D

Page 61: 1 NÚMEROS NATURALES

10 POLÍGONOS Y CIRCUNFERENCIA 1º E.S.O.

9.5.- CIRCUNFERENCIAS. ELEMENTOS. POSICIONES RELATIVAS.

La circunferencia es una curva cerrada y plana cuyos puntos están a la misma distancia de uno fijo llamado centro O.

( )

( )

( )

( )

( )

misma la de puntos 2 entre acomprendid nciacircunfere una de Parte

centro. el por pasa que Cuerda

nciacircunfere la de puntos 2 une que Segmento

nciacircunfere la de punto cualquier con centro el une que segmento

nciacircunfere la de puntos los todos equidistan cual del Punto

Arco

Diámetro

Cuerda

Radio

Centro

ELEMENTOS

12 Completa con la información de la tabla:

13 Sobre cada circunferencia dibuja lo que se solicita:

Su centro y su radio Un diámetro y una cuerda paralela

Un arco de longitud la mitad de la circunferencia

Un diámetro y un radio perpendiculares

a) El segmento OA recibe el nombre de

b) El segmento EB se llama

c)El segmento CD es

d) El tramo en verde es

Page 62: 1 NÚMEROS NATURALES

10 POLÍGONOS Y CIRCUNFERENCIA 1º E.S.O.

POSICIONES RELATIVAS

PUNTO CIRCUNFERENCIA

RECTACIRCUNFERENCIA DOS CIRCUNFERENCIAS

EXTERIOR EXTERIOR

INTERIOR SECANTE

INCLUIDO TANGENTE

14 Presta atención al dibujo que aparece a continuación y completa después la tabla que verás más abajo:

ELEMENTO 1 ELEMENTO 2 POSICIÓN RELATIVA

P1 C1

C1 C2

C1 C2

C2 C3

C1 r1

C2 r1

C1

C2

C3 r

1

P1

Page 63: 1 NÚMEROS NATURALES

10 PERÍMETROS Y ÁREAS

10.1.- PERÍMETRO DE POLÍGONOS Y CIRCUNFERENCIA.

10.2.- ÁREAS DE FIGURAS POLIGONALES.

10.3.- ÁREAS DE CÍRCULOS Y SECTORES CIRCULARES.

Page 64: 1 NÚMEROS NATURALES

10 PERÍMETROS Y ÁREAS 1º E.S.O.

10.1.- PERÍMETRO DE POLÍGONOS Y CIRCUNFERENCIA.

• Recuerda: El PERÍMETRO de un polígono es la suma de las longitudes de sus lados.

• Para hallar el perímetro de un polígono irregular debes conocer lo que miden todos sus lados y

calcular la suma total. (Por ejemplo, el perímetro de un triángulo cualquiera es la suma de las

medidas de sus tres lados)

• Para hallar el perímetro de un polígono regular, basta conocer la medida de un lado y multiplicarla por

el número total de lados. (Por ejemplo, el perímetro de un triángulo equilátero es el resultao de

multiplicar por tres la medida de uno de sus lados).

1 Halla el perímetro de:

a) Un cuadrado cuyo lado mide 2 metros:.............................................................................

b) Un triángulo equilátero cuyo lado mide 3 cm.....................................................................

c) Un hexágono regular cuyo lado mide 8 mm......................................................................

d) Un dodecágono regular cuyo lado mide 10 dm.................................................................

• Es posible que necesites el teorema de Pitágoras cuando necesites algún dato. Recuerda:

2 2 2c a b= + (cuando necesitas la hipotenusa)

2 2 2a c b= − ( si lo que necesitas es un cateto)

2 Halla el perímetro de:

a) Un trapecio isósceles con bases de 10 y 7 cm y lados de 4 cm...........................................................................................................................................

b) Una habitación de forma rectangular que mide 8 m de larga y 3 de ancha...........................................................................................................................................

c) Un triángulo isósceles del que conoces la base y la altura (ver dibujo):

ca

b

8 cm

Page 65: 1 NÚMEROS NATURALES

10 PERÍMETROS Y ÁREAS 1º E.S.O.

3 a) Halla el lado de un hexágono regular cuyo perímetro es de 78cm.

b) Halla la diagonal de un cuadrado cuyo perímetro es: 8 dm.

c) Halla el perímetro de la figura:

Recuerda que la longitud de una circunferencia de radio R viene dada por la fórmula: L=2·π·R

4 a) Halla la longitud de la rueda de una bicicleta que tiene un radio de 42 cm.

b) Halla el perímetro de la figura:

c) Averigua cuánto mide el diámetro de una mesa-camilla circular que tiene un circunferencia de 2,8 metros.

2

3

Page 66: 1 NÚMEROS NATURALES

14,3 cm

10 PERÍMETROS Y ÁREAS 1º E.S.O.

10.2.- ÁREAS DE FIGURAS POLIGONALES.

Vamos a repasar las áreas de los paralelogramos.

• Rectángulo: ÁREA = BASE x ALTURA

• Cuadrado: ÁREA = LADO x LADO

• Rombo: ÁREA = (DIAGONAL MAYOR x DIAGONAL MENOR) / 2

• Romboide: ÁREA = BASE x ALTURA

5 a) Determina el área de un campo de fútbol que mide 110 metros de largo por 61 de ancho.

b) Halla el área de un rectángulo de altura 24 cm y diagonal 52 cm.

c) Halla el área acristalada de una ventana cuadrada de 1 metro de diagonal.

d) Halla el área de la figura (¿qué es?) conociendo la base y la altura indicadas.

e) Halla el área del triángulo dibujado.

5,3 cm

Page 67: 1 NÚMEROS NATURALES

10cm10cm

12 cm

13 cm

4 cm

10 PERÍMETROS Y ÁREAS 1º E.S.O.

6

a) Halla el área de un triángulo rectángulo de catetos de 3 y 4 dm.

b) Halla el área del triángulo equilátero de la figura sabiendo que su lado mide 5 cm.

c) Halla el área de la figura:

d) Halla el área de la figura:

e) Halla el área de un pentágono regular de lado 4 dm y de apotema 2,75 dm.

12 cm

3 cm

5 cm

Page 68: 1 NÚMEROS NATURALES

10 PERÍMETROS Y ÁREAS 1º E.S.O.

10.3.- ÁREAS DE CÍRCULOS Y SECTORES CIRCULARES.

Vamos a repasar el áreas del círculo y del sector circular.

• Área del círculo de radio R: 2·Rπ

• Área del sector circular de radio R y ángulo α: 2· ·

360R

α π

7

a) De un círculo conoces su diámetro. Halla su área.

b) ¿Qué radio tiene un círculo de área 4 dm2?

c) Halla el área del sector circular:

d) Halla el área de la zona coloreada:

e) Halla el área de la zona coloreada: