01. números naturales

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Números Naturales

Unidad: Números Reales Sección: Números Naturales http://jorgegaonaparedes.blogspot.com

Objetivos: Al realizar en forma completa esta guía el alumno será capaz de:

- Reconocer números naturales. - Desarrollar la operatoria con números naturales aplicando la prioridad de las operaciones y al uso de

paréntesis. - Reconocer números primos y compuestos. Descomponer números en sus factores primos. - Aplicar reglas de divisibilidad. - Aplicar distintos métodos para determinar el máximo común divisor. - Aplicar distintos métodos para determinar el mínimo común múltiplo. - Utilizar m. c. m. y m. c. d. para resolver problemas de planteo.

1. Operatoria y prioridad en uso de paréntesis: Ingresa en la página http://www.thatquiz.org/es/practice.html?arithmetic (también puede acceder

a estos ejercicios llevando a cabo la siguiente secuencia de pasos: ingrese a www.thatquiz.org luego

presiona aritmética en la columna enteros) y resuelvan los ejercicios que aparecen en este link

configurando la página de la siguiente forma:

0. En el círculo que está etiquetado con el número cero configúrelo así: largo:10, con un

nivel:10, duración: abierta y pausa: no

1. Seleccione las casillas sumar, restar, multiplicar y dividir

2. Primero haga ejercicios seleccionando el modo sencillo, luego invertido, luego triple

3. La zona 3 es donde aparece el ejercicio, una vez que escriba la respuesta presione ok.

4. En este lugar aparecerá la siguiente información: cantidad de preguntas acertadas, cantidad

de preguntas erradas y el tiempo que se demora en realizarlos

Cada vez que realices una serie de 10 ejercicios completa esta tabla:

Sencillo 1ª vez 2ª vez 3ª vez 4ª vez 5ª vez 6ª vez 7ª vez 8ª vez 9ª vez

Nivel 10 10 10 10 10 10 10 10 10

Duración

Buenas

Invertido 1ª vez 2ª vez 3ª vez 4ª vez 5ª vez 6ª vez 7ª vez 8ª vez 9ª vez

Nivel 10 10 10 10 10 10 10 10 10

Duración

Buenas

Triple 1ª vez 2ª vez 3ª vez 4ª vez 5ª vez 6ª vez 7ª vez 8ª vez 9ª vez

Nivel 10 10 10 10 10 10 10 10 10

Duración

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http://www.thatquiz.org/es/practice.html?arithmetic

http://www.thatquiz.org/

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Buenas

2. Números Naturales y código verificador de R.U.T en Chile:

El Rol Único Tributario, conocido también por el acrónimo RUT, es un número único chileno, que fue establecido como identificación tributaria por el Decreto con Fuerza de Ley N° 3 del29 de enero de 1969. La identificación tributaria anterior era el Rol General de Contribuyentes (1959-1969).El algoritmo para obtener el dígito verificador corresponde al método para validar el RUN o RUT. El Rol Único Nacional (RUN) y el Rol Único Tributario (RUT) chilenos (ambos coinciden en el RUN si se trata de personas naturales) poseen un dígito verificador que evita engaños y suplantaciones de identidad. El dígito verificador se obtiene a partir de un algoritmo conocido como Módulo 11. Existen otras maneras de obtener el dígito verificador de los números de identificación del mundo, pero en Chile se aplica exclusivamente el Módulo 11. El Módulo 11 consiste en la aplicación de operaciones aritméticas a cada dígito del número del RUT.

El RUT consta de dos partes, el número y el dígito verificador separados por un guión. En el siguiente ejemplo se toma como RUT el número 30.686.957-X, donde 30.686.957 es el número del RUT y X es el dígito verificador que no conocemos o que queremos verificar:

Se procede a tomar el número de RUT de derecha a izquierda, multiplicando cada dígito por los números que componen la serie numérica 2,3,4,5,6,7; y sumando el resultado de estos productos, como se muestra a continuación (si se ha aplicado la serie hasta el 7 y quedan dígitos por multiplicar, se comienza la serie nuevamente):

En el ejemplo: 7 × 2 = 14, 5 × 3 = 15, 9 × 4 = 36, 6 × 5 = 30, 8 × 6 = 48, 6 × 7 = 42, 0 × 2 = 0, 3 × 3 = 9, entonces la suma de los productos es: 14+15+36+30+48+42+0+9 = 194 Al número obtenido por la suma del producto de cada dígito por la serie ya mencionada, se le aplica módulo 11, o sea, se divide por 11 y se determina el resto de la división. En el ejemplo:

194: 11 = 17 Resto: 7 Ahora a 11 se le resta el resto: En el ejemplo: 11 - 7 = 4

Si el resultado es 11, el dígito verificador será 0.

Si el resultado es 10, el dígito verificador será K.

http://es.wikipedia.org/wiki/Acr%C3%B3nimo

http://es.wikipedia.org/wiki/D%C3%ADgito_verificador

http://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmo

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En otro caso el resultado será el dígito verificador.

Como en el ejemplo el resultado de la resta es 4, el dígito verificador es 4.

Por ende, el RUT del ejemplo es el 30.686.957-4.

Ahora en base a toda la información que hay responda las siguientes preguntas:

a. Verifique el algoritmo que se presentó más arriba utilizando su RUT.

b. ¿El dígito verificador que aparece en el carnet de más arriba está correcto?

c. Mi RUT es 20.038.619-X ¿cuál es mi código verificador?

d. Suponiendo que usted pertenezca a alguna empresa ¿cuál es la utilidad que usted daría a saber como calcular el código verificador?

e. (Desafío) Indique como con el programa Excel podría calcular el código verificador solamente ingresando los 8 primeros dígitos

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3. Divisores de un número entero y reglas de divisibilidad Un divisor de un número entero es simplemente algún otro número por cual se puede dividir el mismo. Por ejemplo, yo puedo dividir 20 por 5. Entonces 5 es un divisor de 20. También decimos que 5 divide a 20.

¿Cómo hal lar divisores de un número? Si el número es no muy grande (menos de

100) , primero se recuerda las tablas de mult ipl icar . ¿Se hal la tu número en alguna

tabla de multipl icar? Entonces es divisible por ese número. Por ejemplo, yo sé que

56 se hal la en tabla de 7. Entonces 56 se puede dividir por 7. También se puede

dividir por 8. Luego usamos las reglas o cri terios de divisibi l idad para hal lar más

divisores.

a. ¿Cómo podemos saber si un número es divisible por 2, 3, 4, 5, 6, 7 y por 11 sin necesidad de hacer la división?

Ejemplo: un número es divisible por 2 si es un número par, es decir, si termina en 0, 2, 4, 6, 8.

b. ¿Con qué dígito completarías para que el número sea múltiplo de a (siempre que sea posible, si no

lo es indícalo)?, si sirve más de un dígito indícalo.

a) 12___2 a=4 b) 64___95 a=3 c) 5___25 a=5 d) 874___ a=11

g) 6___24 a=11 h) 751___ a=2 i) 852___ a=6 j) 10___9 a=7

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e) 504___ a=8 f) 75___6 a=9

k) 8___5 a=25

4. Números primos El conjunto de los números primos es un subconjunto propio de los números naturales que engloba a todos los elementos de este conjunto mayores que 1 que son divisibles únicamente por sí mismos y por la unidad. Por ejemplo, el número 7 tiene sólo dos divisores que son el 1 y el mismo 7 por lo que 7 es número primo. En otros términos, un número natural es primo o lineal si tiene exactamente dos divisores distintos que son el 1 y el mismo número en cuestión. El número 1, al ser solo divisor sí mismo, se conoce como número unitario. Un número natural con más de dos divisores distintos se conoce como número compuesto o rectangular. Por ejemplo, el número 4 tiene más de dos divisores distintos: el 1, el 2 y el 4, por lo que 4 es un número compuesto o rectangular, porque se puede formar un rectángulo con el número de puntos mientras que con el número primo solo se puede formar una hilera de puntos, por lo que es conocido también como número lineal.

a. ¿Cuántos y cuáles son los primeros números primos entre 0 y 100?

b. Averigue ¿cuántos números primos hay entre 101 y 200 y entre 201 y 300? La cantidad aumenta

o disminuye. Si esta tendencia se mantiene ¿llegará un momento en el cuál ya no se puedan encontrar números primos?

c. Encontrar números primos ha sido un problema a lo largo de la historia de la humanidad, algunos de los números primos incluso tienen apellidos. Averigue cuál es la historia asociada a los siguientes tipos de números primos y indique el valor de alguno de ellos :Número primo de Fermat, números primos de Mersenne, número primo de Sophie Germain, números primos gemelos, números primos reversibles

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d. Cigarras y Números primos:

Durante miles de años, la evolución ha llegado a soluciones tan sofisticadas que a veces sorprende a los propios científicos. El fenómeno de las plagas de cigarras, por ejemplo, ha intrigado largamente a los biólogos al producirse alternativamente cada 13 ó 17 años con una regularidad infalible. Tal y como explica Richard Dawkins en "El Relojero Ciego", la posible explicación a estos ciclos vitales tan extraños está en la naturaleza de los números 13 y 17. "La única sugerencia que ha aportado alguien sobre lo que hay de especial en el 13 y el 17, - explica Dawkins - es que son números primos. Un número primo es un número que no es divisible por ningún otro. La idea es que una especie de animales que irrumpe regularmente en forma de plagas se beneficia “abrumando” y haciendo morir de hambre alternativamente a sus enemigos, depredadores y parásitos. Si estas plagas están cronometradas para tener lugar en ciclos que duran un número primo de años, dificultan a sus enemigos la sincronización de sus propios ciclos vitales. Si las cigarras irrumpiesen cada 14 años, por ejemplo, esto podría ser utilizado por una especie de parásitos con un ciclo vital de siete años”. De esta forma, la cigarra ha terminado por deshacerse de las amenazas por pura lógica matemática.

e. Criptografía y números primos: Los sistemas de cifrado de clave pública se basan en funciones-trampa de un solo sentido que

aprovechan propiedades particulares, por ejemplo de los números primos. Una función de un solo sentido es aquella cuya computación es fácil, mientras que su inversión resulta extremadamente difícil. Por ejemplo, es fácil multiplicar dos números primos juntos para obtener uno compuesto, pero es difícil factorizar uno compuesto en sus componentes primos. Una función-trampa de un sentido es algo parecido, pero tiene una "trampa". Esto quiere decir que si se conociera alguna pieza de la información, sería fácil computar el inverso. Por ejemplo, si tenemos un número compuesto por dos factores primos y conocemos uno de los factores, es fácil computar el segundo. Dado un cifrado de clave pública basado en factorización de números primos, la clave pública contiene un número compuesto de dos factores primos grandes, y el algoritmo de cifrado usa ese compuesto para cifrar el

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mensaje. El algoritmo para descifrar el mensaje requiere el conocimiento de los factores primos, para que el descifrado sea fácil si poseemos la clave privada que contiene uno de los factores, pero extremadamente difícil en caso contrario.

f. Averigue si hay alguna aplicación o algún tema interesante donde aparezcan los números primos

5. Descomposición de números en sus factores primos Como se indicó más arriba descomponer un número grande en sus factores primos no es una tarea fácil, sobre todo si el número a descomponer tiene como factores números primos muy grandes, afortunadamente esta no es una tarea complicada. Descomponga los siguientes números en sus factores primos, como en el siguiente ejemplo: Descomponer el número 60 En la parte izquierda superior de la tabla colocamos el número que queremos descomponer y en la parte derecha colocamos algún número primo con el que podamos dividir 60, en este caso partimos con 2 porque 60 es par, el resultado es 30 y lo colocamos bajo 60. Ahora 30 también es par pero elegimos el 3 como divisor (esto lo hice para mostrar que el orden en que se eligen los números no importa). Al dividir 30 por 3 da como resultado 10, ese número lo dividimos por 5 y el resultado que es 2 solamente lo podemos dividir por si mismo. Entonces

60 2

30 3 10 5 2 2 1

Descomponga los siguientes números: 68

Entonces 68=

76

Entonces 76=

95

Entonces 95=

99

Entonces 95=

210

Entonces 210=

380

Entonces 380=

711

Entonces 711=

256

Entonces 256=

640

1260

23

121

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Entonces 640=

Entonces 1260=

Entonces 23=

Entonces 121=

6. Máximo común divisor (m. c. d.) El máximo común divisor (m.c.d.) de dos o más números es el mayor de los divisores comunes. Para hallar el máximo común divisor de dos o más números, por ejemplo, m.c.d. (12, 18), se siguen estos pasos: 1° Se descompone cada número en producto de factores primos. En este caso: y

2° El producto de estos factores comunes elevados al menor exponente es el máximo común divisor de los números dados. Entonces a. Encuentre el m. c. d. entre los siguientes pares de números: a. 40 y 60

40= 60=

Entonces m. c. d(40,60)=

b. 35 y 48

35= 48=


c. 70 y 62

70= 62=


d. 100 y 150

100= 150=


e. 225 y 300

225= 300=


f. 415 y 520

415= 520=


7. Calcula el m. c. d entre los siguientes pares de números y obtén conclusiones al responder las preguntas formuladas aquí

a. 280 y 840 280= 840=


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¿Es 840 múltiplo de 280? Nuevamente ¿cuál es el m. c. d. (280,840)?

b. 315 y 945 315= 945=


¿Es 945 múltiplo de 315? Nuevamente ¿cuál es el m. c. d. (945,315)? c. En general, si a es múltiplo de b, ¿cuál es el m.c.d. (a, b)? d. 40 y 77

40= 77=


¿Cuántos factores se repiten? Nuevamente ¿cuál es el m. c. d. (40,77)? e. 8 y 33

8= 33=


¿Cuántos factores se repiten? Nuevamente ¿cuál es el m. c. d. (8,33)? f. En general si los números no tienen factores primos ¿cuál es el m. c. d. entre ellos?

8. Halla el máximo común divisor de las siguientes series de números a. 180, 252 y 594

180= Entonces el m. c. d.(180,252,594)= 252= 594=

b. 924, 1000 y 1250

924= Entonces el m. c. d.(924,1000,1250)= 1000= 1250=

9. Encuentra el máximo común divisor entre los siguientes números tomando en cuenta que p y q son números primos

a. b. c. d.

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10. Mínimo común múltiplo El mínimo común múltiplo (m. c. m.) de dos o más números es el menor múltiplo común distinto de cero. Para hallar el mínimo común múltiplo de dos o más números, por ejemplo: m.c.m. (12, 18), se siguen estos pasos: 1° Se descompone cada número en producto de factores primos. 2° El producto de estos factores comunes elevados al mayor exponente y de los no comunes es el mínimo común múltiplo de los números dados. Si utilizamos una tabla como la adjunta, el m. c. m es la multiplicación de los números de la columna que está mas a la derecha

12 18 2

6 9 3 2 3 2 1 3 3 1

Entonces: Utilizando la descomposición prima tenemos que:

, entonces

a. Halla el mínimo común múltiplo de los siguientes pares de números: 32 68

Entonces m. c. m (32,68)=

52 76


84 95


105 210


380 420


590 711


320 640

420 1260

11 23

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Entonces m. c. m (420,1260)=

Entonces m. c. m (11.23)=

11. Encuentra el mínimo común múltiplo entre los siguientes números tomando en cuenta que p y q son números primos. También tome en cuenta que a y b son números cualquiera

a. b. c. d. e. Ordene de menor a mayor los siguientes números: m. c. m(a, b), m. c. d(a, b) y a f. Si a es múltiplo de b ¿cuál es el valor del m. c. m. (a, b)? g. Si a y b no tienen factores primos comunes ¿cuál es el valor del m. c. m. (a, b)?

12. Resuelva los siguientes problemas utilizando de m. c. d y m. c. m. a. El mueblista ahorrador Un ebanista quiere cortar una plancha de madera de 256 cm de largo y 96 cm de ancho, en cuadrados lo más grandes posible. i. ¿Cuál debe ser la longitud del lado de cada cuadrado? ii. ¿Cuántos cuadrados se obtienen de la plancha de madera? SOLUCIÓN: i. La longitud del lado del cuadrado tiene que ser un divisor de 256 y de 96, y además debe ser el mayor divisor común; luego hay que calcular el m.c.d. (256, 96).

Como y Entonces m.c.d. (256, 96) = = 32

ii. Área de la plancha de madera 256 x 96 = 24.576 Área de uno de los cuadrados 32 x 32 = 1.024

De la plancha de madera se obtienen 24.576: 1.024 = 24 cuadrados. b. Una cita en Rancagua

Alonso viaja a Rancagua cada 18 días, Catalina viaja a Rancagua cada 15 días y María Alicia viaja a Rancagua cada 8 días. El día 20 de marzo los tres coincidieron en Rancagua.

¿Dentro de cuántos días como mínimo volverán a coincidir en Rancagua?

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c. Andrés tiene en su tienda los botones metidos en bolsas. En la caja A tiene bolsitas de 24 botones cada una y no sobra ningún botón. En la caja B tiene bolsitas de 20 botones cada una y tampoco sobra ningún botón. El número de botones que hay en la caja A es igual que el que hay en la caja B. ¿Cuántos botones como mínimo hay en cada caja? d. María y Jorge tienen 25 bolas blancas, 15 bolas azules y 90 bolas rojas y quieren hacer el mayor número de collares iguales sin que sobre ninguna bola. i. ¿Cuántos collares iguales pueden hacer? ii. ¿Qué número de bolas de cada color tendrá cada collar? e. Un campo rectangular de 360 m de largo y 150 m de ancho, está dividido en parcelas cuadradas iguales. El área de cada una de estas parcelas cuadradas es la mayor posible. ¿Cuál es la longitud del lado de cada parcela cuadrada?

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f. Teresa tiene un reloj que da una señal cada 60 minutos, otro reloj que da una señal cada 150 minutos y un tercero que da una señal cada 360 minutos. A las 9 de la mañana los tres relojes han coincidido en dar la señal. i. ¿Cuántas horas, como mínimo, han de pasar para que vuelvan a coincidir? ii. ¿A qué hora volverán a dar la señal otra vez juntos?

g. Rosa tiene cubos azules de 55 mm de arista y cubos rojos de 45 mm de arista. Apilando los cubos en dos columnas, una de cubos azules y otra de cubos rojos, quiere conseguir que las dos columnas sean iguales. ¿Cuántos cubos, como mínimo, necesita de cada color? h. Juan tiene que poner un guardapolvo de madera a dos paredes de 12 m y 9 m de longitud. Para ello ha averiguado la longitud del mayor listón de madera que cabe en un número exacto de veces en cada pared. ¿Cuál será la longitud de este listón?

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