números naturales

Números naturales

Sistema decimal de numeración

Emplea diez símbolos y agrupa los elementos de diez en diez

Los símbolos son:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Unidades sueltas

1 - 5 - 4

1er orden 10 unidades forman 1decena

2do orden 100 u → 10 decenas → 1 centena

3er orden 1000 u →100 decenas → 1 unidad de mil

4to orden 10000 u → 1000 decenas → 1 decena de mil

5to orden 100000 u → 10000 decenas → 1 centena de mil

6to orden 1000000 u → 100000 decenas → 1 unidad de millón

Valor absoluto y valor relativo

Valor absoluto es el número de unidades que la cifra tiene por sí sola.

Valor relativo es el que tiene la cifra de acuerdo con el lugar que ocupa en el número.

Ejemplo:

924 4 854

Valores absolutos Valores absolutos

4 unidades 4 unidades



4 unidades

Valor relativo Valor relativo

4 unidades simples 4 unidades simples

2 decenas simples 5 decenas simples

9 centenas simples 8 centenas simples

4 unidades de mil

Billones Millones Unidades

Mil de billones Billones Mil de millones Millones De mil Simples

c d u c d u c d u c d u c d u c d u

Setecientos veinte mil trescientos dieciocho 7 2 0 3 1 8

Nueve millones cuatrocientos cincuenta y tres mil seis 9 4 5 3 0 0 6

Doscientos cuatro millones cinco mil setecientos cincuenta y tres

2 0 4 0 0 5 7 5 3

Cuatro mil doscientos veinticuatro millones ochocientos veinticinco

4 2 2 4 0 0 0 8 2 5

Novecientos ocho mil seiscientos setenta millones quince mil trescientos sesenta

9 0 8 6 7 0 0 1 5 3 7 0

Siete billones quinientos cuarenta y tres mil millones seiscientos cuatro mil doscientos siete

7 5 4 3 0 0 0 6 0 4 2 0 7

Nombre correcto de algunos números

De 10 a 19

Diez - veintiuno - once - doce - trece - catorce - quince - dieciséis - diecisiete - dieciocho - diecinueve

De 20 a 29

Veinte - veintiuno . veintidós - veintitrés - veinticuatro - veinticinco - veintiséis - veintisiete - veintiocho - veintinueve

De 30 a 99 se escriben dos palabras separadas por la letra "y".

34, treinta y cuatro; 87, ochenta y siete.

De 100 a 999 se escribe el nombre de las centenas y seguidamente el nombre del número formado por las otras dos cifras.

184, ciento ochenta y cuatro; 805, ochocientos cinco.

1 000 000 se lee un millón

1 000 000 000 000 se lee un billón.

Composición y descomposición de números naturales

Componer

5 billones + 9 decenas de millón + 5 centenas de mil + 2 unidades simples =

5 000 000 000 000

90 000 000

500 000

2

5 000 090 500 002 Se lee: cinco billones noventa millones quinientos mil dos

Composición polinómica

5 . 1012 + 9 . 10 7+ 5 . 105 + 2 . 100 = 5.000.090.500.002

Descomponer

352.016 = 6 u + 1 d + 2u de mil + 5d de mil + 3c de mil

352.016 = 6.10 0+ 1.101 +0.102 + 2.103 + 5.10 4+ 3.10 5

Operaciones con números naturales

Adición de varios números naturales

5 + 3 + 8 +1 = Los números 5, 3, 8 y 1 se llaman sumandos o términos.

8+ 8 + 1 =

16 + 1 = 17 El número 17 se llama suma

Se suman los dos primeros ,el resultado se suma con el tercero.el nuevo resultado con el cuarto y así sucesivamente.

Resta de números naturales

Prueba

584 231 - 231 + 353 353 584

El número 584 se llama minuendo, el 231 sustraendo. Ambos números son los términos de la resta. El resultado 353, es la diferencia.

Multiplicación

Prueba

823 205

x 205 x 823

4115 615 16 460 410 168715 1640

168715

Cambiando el orden de los factores

no se altera el producto

El número 823 se llama multiplicando y el 205, multiplicador.

Ambos números también se llaman factores.

El resultado 168715, es el producto.

División

El número 982 se llama dividendo; 23, divisor; 42, cociente; y 16 resto .

Cuando el resto es 0, la división es exacta.

La división también se puede indicar

982 : 23 = 982 = 23

Propiedades de los números naturales

Sumas algebraica: toda operación que combina sumas y resta, es una suma algebraica

20 + 5 - 3 - 2 + 1 - 4 =25 - 3 - 2 + 1 - 4=22 - 2 + 1 - 4 =20 + 1 - 4 =21 - 4 = 17

Uso de paréntesis

{ [ ( 50- 8 ) - 2 ] + 5 } - 1 =

Debe resolverse primero la operación encerrada entre paréntesis,luego la encerrada entre corchetes y por último la encerrada entre llaves.La colocación de un paréntesis(corchete o llave) puede cambiar la operación

Ejemplo:8 - 2 + 4 = 10Si se coloca un paréntesis así:( 8 - 2 ) + 4 =

6 + 4 = 10 Si se coloca un paréntesis así:8 - ( 2 + 4 )= 8 - 6 = 2El paréntesis debe ser respetado, resolviendo la operación que encierra para no alterar el resultado del ejercicio.

{ [ ( 50- 8 ) - 2 ] + 5 } - 1 ={ [ 42 - 2] + 5 } - 1 ={ 40 + 5} - 1 =45 - 1 = 44

Números racionales

Números naturales Números enteros

Números negativos Números fraccionarios puros

Fracción Número decimal

1/4 propia es siempre < 1 1 : 4 = 0,25

7/2 impropia es siempre > 1

7 : 2 = 3, 5

1 / 10 es decimal 1: 10 = 0,1

1/9 periódica 1: 9 = 0,11111........

Números fraccionarios puros

El número fraccionario puro es un cociente entre dos números enteros , distintos de cero y tales que el dividendo no sea múltiplo del divisor.

Fracción pura : 1 numerador Siempre es < 1. 1: 4 = 0,25 4 denominador

Fracción impura : 5 numerador Siempre es > 1 5: 2 = 2,5 2 denominador

Fracción aparente : 8 numerador es múltiplo del denominador 8 : 4 = 2 4 denominador

Fracción decimal : 1 ; 5 ; 7 10 100 1000

Números decimales

Representar en la recta numérica

1/4 - 3/4 - 4/4 - 9/4 - 12/4

____,____,____,____,____,____,___,____,____,____,____,____,______________ 1/4 3/4 4/4 8/4 9/4 12/4

1 2 3

Suma de fracciones de igual denominador

a) 2/7 + 4/7 = 6/7

Sumo los numeradores Dejo el mismo denominador

2 + 4 = 6 7

b) 2/9 +5/9 + 1/9= 8/9

Sumo los numeradores Dejo el mismo denominador

2 + 5 + 1 = 8 9

Suma de fracciones con distinto denominador

3 /4 + 1/6 =

Factoreo

m.c.m = 2 2 . 3 = 12 Divido 12 ( m.c.m) por cada uno de los denominadores

12 : 4 = 3 . 3 = 9

12 : 6 = 2 . 1 = 2

9 /12 + 2 /12 = 11 /12

Número mixto

23/5

De número mixto a fracción

5 . 2 + 3 = 13/ 5

De fracción a número mixto

13 : 5 = 2

resto = 3

Resta de números fraccionarios

De igual de nominador

2/4 - 1/4 = 1/ 4

De diferente denominador

2 /3 - 1/4 =

8/12 - 3/12 = 5 /12

Encuentro m.c.m entre 3 y 4 = 12

12: 3 = 4 4 . 2 = 8

12 : 4 = 3 3 . 1 = 3

Mínimo común múltiplo : m.c.mMultiplico los números comunes y no comunes con su mayor exponente.

Máximo común divisor : d.c.mMultiplico los números comunes con su menor exponente.

Divisibilidad

Factorizar

6 : 2 3 : 31 : 1

6 = 2 . 3 . 1 [el número 6 expresado en sus factores primos]

9 : 3

3 : 3

1 : 1

9 = 32 . 1 [ el número 9 expresado en sus factores primos]

Multiplicación División

→

5 . 4 = 20 5 : 4 = 35

3 7 21 3 7 12

a) 5 . 7 = 35

4 . 3 12

b) 5 . 7 = 35

3 4 12

Simplificación

9 . 14 = 9: 3 . 14 : 2 = 3 . 7 = 21 : 3 = 7

16 27 16: 2 27 :3 8 . 9 72 : 3 24

Ampliación o fracción equivalente

1 . 2 = 2 . 3 = 3

2 2 4 3 6

En la simplificación puedo dividir por un mismo número En la división solo puedo:

numerador y denominador de distintas fracciones, dividir por un mismo número

solo una vez y por un mismo número. al numerador y denominador

de una misma fracción.

Si aplico la regla de invertir

la segunda fracción:

24 . 12 =

36 15

ya puedo simplificar como en la

multiplicación.

Radicación

Propiedad distributiva ( Se aplica con la multiplicación y división )

\/ 81/100 . 9/4 =

9/10 . 3/2 = 27/20

Raíz de índice par y radicando positivo tienen 2 resultados, que son 2 números opuestos.

√ 16/9 = 4/ 3 y - 4/3

Raíz de índice impar y radicando positivo tiene resultado positivo

3√ 27/8 = 3/2

Raíz de índice impar y radicando negativo resultado negativo.3√ - 27/8 =

- 3/2Raíz de índice par y radicando negativo carece de solución en el campo de los números racionales. √ - 4/9 =∃

Se simplifican la raíz y la potencia . (√ 1/4 )2 = 1/4 .

Potenciación

Potencia 0 ( 5/8 ) 0 = 1

Potencia 1 ( 5/8 )1 = 5/8

Potencia negativa ( 5/8 ) - 1 = 8/5 ( 5/8 )- 2 = ( 8/5 )2 = 64/25

Base y exponente negativo ( - 5/3 )- 2 = (-3/5)2=9/25 (-2/3)-3= (-3/2)3= - 9/4

Base negativa, exponente par es siempre positivo (-3/5)2=9/25

Base negativa exponente impar es siempre negativo (-3/5)3

Producto de potencias de igual base 1/4 . ( 1/4 )2 = 1/4(1+2)= 1/43 = 1/64

División de potencias de igual base ( 1/3 ) 7 : ( 1/3 )2 = 1/3 (7 - 2) = 1/3 5

Potencia de potencia [ ( 1/2 )2 ] 3= 1/2(2×3) = 1/26

Números decimales

Fracción Número decimal

1/4 propia es siempre < 1 1 ÷ 4 = 0,25

7/2 impropia es siempre > 1 7 ÷ 2 = 3,5

8/2 aparente 8 ÷ 2 = 4

1/10 decimal 1 ÷ 10 = 0,1

1/9 periódica1÷ 9 = 0,11111........

Lectura de números decimales

2, 124....................... dos enteros , ciento veinticuatro milésimos

15, 4............................. quince enteros , cuatro décimos

18, 35.......................... dieciocho, treinta y cinco centésimos

Fracciones decimales

1/10 1/100 1/100

un décimo un centésimo un milésimo

La fracción decimal 8/10 puede representarse por un número decimal

8/10 ocho décimos------------------------------------------0,8 cero enteros,ocho décimos

Cada cifra escrita inmediatamente a la derecha de la coma pertenece a la parte decimal de nuestro sistema de numeración y representa unidades diez veces menores.

4,97624 = 4 + 0,9 + 0,07 + 0,006 + 0,0002 + 0,00004

En todo número decimal los ceros agregados a la derecha de la última cifra significativa no alteran su valor:

0,47 = 0,470 = 0,4700 = son números decimales equivalentes.

Adición

0,8 + 2,25 + 4,129 =

0,8 + 2,25

4,129 _____________

7,179

Sustracción

9,5 - 0,028 =

9,500 0,028

_______ 9,472

Multiplicación por la unidad seguida de ceros

5,29 x 10 = 52,9

5,29 x 100 = 529

División por la unidad seguida de ceros

5,29 : 10 = 0,529

5,29 : 100 = 0,0529

Multiplicación

5,8 1 lugar decimal

x 0,008______

3 lugares decimales

0,0464 4 lugares decimales

División

0,675 : 0,32 =

67,5 |__32___ 035 2,109

0300 12

Como el divisor tiene dos lugares decimales y conviene que quede espresado com número entero,se multiplican dividendo y divisor por 100.

0,675 x 100 = 67,5

0,32 x 100 = 32

Potencia de base 10

100 1

101 10

102 100

103 1000

104 10000

105 100000

106 1000000

100 1

10-1 0,1

10-2 0,01

10-3 0,001

10-4 0,0001

10-5 0,00001

10-6 0,000001

Composición polinómica de un número

8. 104 + 5. 102 + 3. 101 + 2 . 100 + 7. 10-2 =

8. 10.000 + 5 . 100 + 3. 10 + 2. 1 + 7. 0,01=

80.000 + 500 + 30 + 2 + 0,07 = 80.532,07

Transformar un número decimal en fracción decimal

0,37 ( se lee cero entero treinta y siete centésimos) = 37/100 ( se lee treinta y siete centésimos )

Transformar una fracción decimal en número decimal

145/10 ( se lee ciento cuarenta y cinco décimos ) = 14,5 ( se lee 14 enteros cinco décimos)

Notación cientifica

Número Notación científica

450.000 4,5 . 105

0,008543 8,543 . 10-3

50.000 5. 104

0,00009 9 . 10-5

Números RealesEl conjunto de números racionales y el de los irracionales constituye el conjunto de los números reales.

√2= 1,41421356237309............... no es una expresión decimal periódica, no puede expresarse como un número racional.

Número irracional : Son números de infinitas cifras decimales no periódicas y que en consecuencia no pueden representarse por un número racional.

Entre los números irracionales se encuentran las raíces cuadradas de los números que no son cuadrados perfectos , el número π que establece la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro y el número e que se eligió como base en los primeros sitemas de logaritmos.

π = 3,14159265358979 .............

e = 2,71828182845904............

Operaciones con números reales

Propiedades de la radicación

Reducir a mínimo común índice

6√a5 ; 4√2 y 3√x2

El m.c.m de los índices 6, 4 y 3 es 12. Luego, 12 es el mínimo común índice buscado.

Como 12 ÷ 6 = 2. Luego el exponente de multiplicarse también por 2

6√a5 = 6.2√a5.2 = 12√a10

Como 12 ÷ 4 = 3

4√2 = 3.4√2 1.3 = 12√23

Como 12÷ 3 = 4

3√x2 = 4.3√x4.2= 12√28

Extraer los factores fuera del radical

Se realiza el cociente entre el exponente del número o letra que se está dentro de la raíz y el índice de la raíz.

Introducción de factores dentro del radical

Se realiza la multiplicación entre el exponente del factor que se desea introducir y el índice de la raíz

x2 3√a =

=

Multiplicación de radicales

Se reduce a mínimo común índice los radicales. En este caso: 2 . 3 = 6

División de radicales

El m.c.m es de 4 y 6 es 12

Al tener ambas el mismo esponente, se dividen:

Racionalización

1)

a 5√x2

a 5√x3 a . 5√x3 a 5√x3 a 5√x3

________ = _________ = _______ = __________5√x2. 5√x3 5√x2. x3 5 √x5 x

2)

2 √5 - 1

2 .( √5 + 1 ) = 2√5 + 2 = 2√5 + 2 = 2√5 + 2 ________________ ____________ ________ ________ (√5 - 1 ) . ( √5 + 1 ) (√5 )2 - ( 1 )2 5 - 1 4__↑diferencia de cuadrados_

Simplificando

2 √ 5 + 2 = √5 + 1 2 2

Números complejos Números complejos C : En los números reales no hay solución de por ejemplo

√-25 porque -5 .--5 = +255 . 5 = +25

Para resolver estas operaciones se amplia el conjunto de los números introduciendo nuevos números llamados imaginarios.

Número racional : a/b en orden y siendo b diferente de 0 ,determinan el número fraccionario a/b,del cual el primer número a es el numerador y el segundo número b es el denominador.

Análogamente, un par de números reales a y b, dados en un cierto orden, definen un número complejo que se representa ( a ; b ), del cual el primer número a se llama componente real, y el segundo b,componente imaginaria.

( -1 ; 4 )

La componente real es -1 y la componente imaginaria es 4

Los números imaginarios se representan por la componente imaginaria seguida de la unidad imaginaria i

Adición de números complejos:

Se llama suma de dos o más números complejos al complejo que tiene como componente real la suma de las componentes reales y como componente imaginaria la suma de las componentes imaginarias de los números sumandos.

Suma = ( 2 ; 3 ) + ( 4; 5 ) =[ ( 2 + 4 ) ; ( 3 +5 )] = (6 ; 8 )

Representar en forma binómica

( 2/3 ; 5 ) = ( 2/3 + 5i ) ( 1/3 ; -2 ) = ( 1/3 - 2i)

Complejos conjugados :

Son iguales en valor absoluto tanto reales como imaginarios,pero éstos últimos tienen diferente signo.

Suma (3 + 2i ) + (3 - 2i ) = 3 +3 = 2.3 Su resultado es el DUPLO REAL

Resta ( 3 + 2i ) - ( 3 - 2i ) = 2i+2i = 2.2 = 4i Su resultado es DUPLO IMAGINARIO

Potencia de números complejos

i0 = 1 i4= 1 i8= 1

i1 = i i5= i i9= i

i2 = -1 i6 = - 1 i10= -1

i3= - i i7= - i i11 = - i

Multiplicación

Producto de una unidad imaginaria

( 2 + 4i ) .( 1 - 2i ) = Se aplica propiedad distributiva

( 2 . 1 ) + ( 2 . - 2i ) + ( 4i . 1 ) + ( 4i . - 2i ) = 2 4i + 4i + 4i2=

2 + 4 . - 1 =

2 - 4 = -3

Complejos conjugados :

El producto de dos complejos conjugados es igual a la suma de los cuadrados de las dos componentes

( 3 + 2i ) . ( 3 - 2i ) = ( 3 )2 - ( 2i )2 =

9 - 4i2 = 9 - 4 . -1 =

9 + 4 = 13

Aplicando propiedad distributiva

( 3 + 2i ) . ( 3 - 2i ) =

( 3 . 3 ) + ( 3 . - 2i ) + ( 2i . 3 )+ ( 2i . - 2i ) =

9 - 6i + 6i - - 4i2 = 9 - 4 . - 1=9 + 4 = 13

Ejemplo de no conjugado

( 3 + 2i ) . ( 4 - 3i ) =

( 3 . 4) + ( 3.- 3i ) + ( 2i . 4 )+ ( 2 i. - 3i ) =

12 - 9i +8i - 6i =12 -9i + 8i - 6 . (- 1)=

12 - i + 6 =( 18 - i )

División de números complejos

5 - 2i = 4 + 3i

( 5 - 2i ) . ( 4 - 3i ) =( 4 + 3i) . ( 4 - 3i )

20 - 8i - 15i + 6i 2 = 42 + 32

20 - 8i - 15i - 6 =16 + 9

14 - 23i = 25

( 14/25 - 23/25i )

Raíces de índice par de números negativos

√-25 no tenía solución en el conjunto de los números reales, pero al considerar los números complejos este problema queda resuelto.

√-25 = + 5 y - 5

+ 5i . + 5i = ( 5i )2 = 25i2 = -25

- 5i . - 5i = ( - 5i )2 = 25i2= - 25

Representación geométrica o gráfica de los números Complejos

A cada complejo le corresponde el punto del plano cuya abscisa es la componente real y su ordenada la componente imaginaria.

1) Al número complejo ( - 3; 2 ) = - 3 + 2i le corresponde el punto A de abscisa - 3 y ordenada 2

2) A todo número imaginario que tiene componente real 0, tiene el punto que le corresponde sobre el eje de las ordenadas:

a) ( 0 ; 3) = 3i le corresponde el punto Bb) ( 0 ; - 2 ) = - 2i le corresponde el punto Cc) (0 ; 1) = 1i le corresponde el punto U

3) Todos los números reales, que son complejos que tienen componente imaginaria 0, están representados por el eje de las x

a) ( 5 ; 0 ) = 5 le corresponde el punto D.

Forma polar trigonométrica

Si se considera el vector que tiene por origen O de coordenadas y por estremo el punto P, es decir ,semirrecta OP, el módulo de este vector se llama módulo del complejo ( a ; b ).

Lo denominamos módulo δ de ( a ; b )

El ángulo que forma dicho vector con el semieje positivo de las x en el sentido contrario a las agujas del reloj, en este caso ω, se llama argumento del número complejo ( a ; b )

Se tiene que:

cos ω = a ⇒ a = δ. cos ω δ

sen ω = a ⇒ b = δ. sen ω δ

bi = δ. sen ω i

Sumando miembro a miembro [ 1 ] y [ 2 ]

a + bi = δ. cos ω + δ. sen ω

Sacando factor común:

a + bi = δ.( cos ω + i sen ω )

Ejemplo:

a = √3 y b = 1

+ √4 = + 2

cos ω = √3 2

sen ω = 1 2

⇒ ω = 30º

La forma trigonométrica del número complejo dado:

√3 + i = 2 ( cos 30º + i sen 30º )

ConjuntosEs un grupo de elementos que tienen una característica común.

Por ejemplo:

Un conjunto de lápices.

Un conjunto de flores.

Un conjunto de países.

Comprensión

Un conjunto está definido por comprensión cuando se da un criterio que permite decidir si un elemento pertenece o no al conjunto.

Notas musicales

Vocales

Libros de historia

Extensión

Un comjunto está definido por extensión cuando se nombran cada uno de sus elementos.

Do - Re - Mi - Fa - Sol - La - Si

a - e - i - o - u

Lenguaje simbólico

Para representar por símbolos los conjuntos, los elementos y la relación de pertenencia se tiene en cuenta las siguientes convenciones:

Los elementos que forman un conjunto se encierran entre llaves.Los conjuntos se designan con letra mayúscula de imprenta.A = { do, re, mi, fa, sol, la, si}se lee: "A es igual al conjunto formado por do, re, mi, fa, sol, la, si"

Los elementos se designan con letras minúsculas. a = do b = re c = mi d = fa e= sol f = la g = si

A = { a, b, c, d, e, f, g}

Mientras trabajamos con este conjunto a, b, c, d, e, f, g mantienen siempre el mismo significado a designa sólo a do y g sólo a si,a - b - c - d - e - f - g, son constantes.

Para indicar que un elemento pertenece al conjunto se escribe:∈Para indicar que no pertenece al conjunto se escribe:

Lenguaje gráfico

Los conjuntos se representan por un curva cerrada. Los elementos que pertenecen al conjunto se representan por puntos interiores a la

curva. Los elementos que no pertenecen al conjunto se representan por puntos exteriores a la

curva. Ningún punto se representa sobre la curva.

Diagrama de Venn

Comjuntos infinitos

A = { los peces del mar}

B= { los números impares}

C = {las estrellas del universo}

Conjuntos según el número de elementos

A tiene 3 elementos→ A es una Terna

B tiene 2 elementos → A es un Par

C tiene 1 elemento → C es un Conjunto Unitario

D no tiene elementos → D es un Conjunto Vacío

Conjunto vacío

Definir un conjunto vacío por comprensión equivale a enunciar una propiedad que no es cumplida por ningún elemento.

Z = {vacas que vuelan}

T = { peces que corren en la pradera}

Z={Ø}

T= {Ø}

Conjunto referencial o universal

Es el conjunto formado por todos los elementos del tema de referencia.

Paralelogramo, trapecio, rectángulo, rombo, romboide, cuadrado.

El referencial = {cuadriláteros}

Si el universal es:

{x/x es un número menor o igual que 50}

"No existen" los números 51 - 70 ó 94, ningún punto puede representarse fuera del diagrama de referencia.

Ejemplo:

U = {x/x es una flor}

A = {es un clavel}

Los siguientes elementos:

a = clavel

b = rosa

c = gusano

a ε A

b ε A

El gusano no tiene sentido representarlo porque no es flor.

Complemento

Se llama complemento de A al conjunto de elementos que no pertenecen a A

En símbolos

---A = {x/x ε A}

Si P = {vocales} = {a, e, i, o, u}

y A = {vocales abiertas} = {a, e, o}

entonces

---A = {vocales cerradas} = {i, u}

Conjuntos iguales

Cuando están formados por los mismos elementos.

A = {alumnos que tocan la guitarra}

A= {Molina, Gasparino, Baltazarre}

B={alumnos que forman parte del equipo de natación}

B= {Molina, Gasparino, Baltazarre}

A = B

Partes de un conjunto

Inclusión

Un conjunto B está estrictamente incluído en un conjunto A si todo elemento de B pertenece a A pero no existe por lo menos un elemento de A que no pertenece a B.

B⊂ A B⊆ A B = A

Un conjunto B está incluído en otro conjunto A si y sólo si todo elemento de B pertenece a A

A = B ⇔ → x ε A ⇒ x ε B ⇒ A ⊆ B

A = B ⇔ → x ε B ⇒ x ε A ⇒ B ⊆ A

Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si cada uno de ellos está incluído en el otro.

A = B ⇔ A ⊆ B y B ⊆ A

El conjunto vacío está incluído en todo conjunto

Ø ⊆ A

Propiedades de la inclusión

1)

A ⊆ A Propiedad reflexiva : Todo conjunto está incluído en sí mismo.

2) A ⊆ B y B ⊆ A ⇒ A ≠ B

A ⊆ B y B ⊆ A ⇒ A = B

A ⊆ B y B ⊆ A ⇒ A = B Propiedad antisimétrica

A ⊆ B y B ⊆ C⇒ A ⊆ C Propiedad transitiva

Diferencia entre la relación de pertenencia y la relación de inclusión

La relación de pertenencia vincula un elemento con un conjunto.

La relación de inclusión vincula dos conjuntos.

Ejemplo:

D = {vocales} = {a, e, i, o, u}

F= {vocales abiertas} = {a, e, o}

G = {vocales cerradas} = {i, u}

F ⊂ D

C ⊂ D

Si relacionamos elementos:

a ε A a ε B

i ε A

Conjuntos de partes A

Se llama potencial de A y se escribe: P(A)

P(A)= {{a,b}, {a}, {b}, {Ø}}

{a,b} → 1 par

{a}, {b} → 2 conjuntos unitarios

Ø → 1 conjunto vacío

Total 4 subconjuntos o partes de A

Operaciones con conjuntos

Intersección

De dos conjuntos A y B al conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y a B.

A = {estudiantes de inglés}

B = {estudiantes de francés}

A ∩ B = {estudiantes de inglés y francés}

Representación gráfica. Diagrama de Venn

A ∩ B = { 2, 3 }

Conjuntos disjuntos

Si dos conjuntos no tienen elementos comunes la intersección es vacía.

A = {a, b, c}

B = {k, m}

A ∩ B = Ø no hay ningún elemento que pertenezca a A y a B.

Unión

Es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y a B.

A = {naranja, verde, azul}

B = {amarillo, gris}

A ∪ B = {naranja, verde, azul, amarillo, gris}

Diferencia

Es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B.

B - A = {4, 5}

Diferencia simétrica

Es el conjunto formado por todos los elementos que pertenenecen a A o a B pero no a ambos.

A Δ B = ( A - B) ∪ (B - A)

A Δ B = {1, 2, 4, 5}

Complemento

Es el conjunto formado por todos los elementos que no pertenecen a A.

----A = U - A

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A = {1, 2, 3}

----A = {4, 5, 6}

números naturales

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