analogía del reticulado -...

Capítulo 15: Esfuerzos internos analogía. Jorge Bernal

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Esfuerzos internos Analogía del reticulado

1. Introducción.

General.

En artículos anteriores hemos estudiado los esfuerzos internos desde la teoría

clásica, con ella logramos establecer fórmulas para verificar las tensiones de

trabajo de las vigas. Lo que sigue es otro método, desde el empirismo que se

obtiene de la observación en las conductas de las vigas, tanto en su deformación

como en sus fisuras.

Hemos establecido que en el interior de la viga se forman caminos de

esfuerzos que difieren según sean de tracción o compresión. Son las líneas o

isostáticas de tensiones. La "analogía del reticulado" fue desarrollado por Ritter y

Morsch y con este método es posible encontrar no solo la dirección de los

esfuerzos internos, sino también sus magnitudes. En el interior de la viga se

producen las líneas de esfuerzos (figura 15.1).

Figura 15.1

El extremo de viga real en este caso de hormigón armado, si las cargas son

elevadas, las fisuras en proximidad de la columna se inclinan y producen los

puntales que se ajustan a la inclinación de las líneas de compresión. Destacamos

que las líneas de esfuerzos no son observables, mientras que las fisuras son

perceptibles a visión directa (figura 15.2).

Figura 15.2

Del análisis de las dos observaciones anteriores es posible dibujar la analogía

del reticulado tal como se muestra en la figura siguiente. Podemos copiar esos

caminos de manera aproximada con líneas rectas que se cortan en puntos

establecidos, cada una se denomina barra y el punto de encuentro nodo. Hay solo


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dos tipos de barras, las de compresión "bielas o puntales" y las de tracción

"tensores o tirantes" (figura 15.3).

Figura 15.3

En la figura superior las distinguimos realizando una equivalencia

simplificada de las líneas de esfuerzos internos. El objeto del presente estudio es

determinar la intensidad y dirección de los esfuerzos internos por fuera de la teoría

clásica. Al final de este capítulo haremos un ejemplo comparativo de cálculo de los

esfuerzos internos con ambos métodos.

Resistencia a tracción y compresión.

El único material que resiste por igual ambas fuerzas de tracción y

compresión es el hierro. La madera posee buena resistencia en tracción en

dirección paralela a sus fibras y algo menos en compresión en la dirección normal.

Sin embargo el hormigón simple como la mampostería de ladrillos cerámicos la

diferencia es muy grande; la resistencia a tracción es diez veces a veinte veces

menor que la compresión. En el estudio desde la analogía del reticulado debemos

tener en cuenta las diferentes cualidades del material según el tipo de tensiones

(figura 15.4).

Figura 15.4


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Esta gráfica debemos comprenderla; en las filas los valores de las tensiones

y en las columnas la intensidad de las tensiones de compresión "C" y tracción "T"

de cada material. En fluencia el hierro común alcanza y supera los 3.500 daN/cm2,

mientras que las paredes de ladrillos cerámicos apenas alcanzan los 10 a 20

daN/cm2, algo parecido sucede con el hormigón a tracción. Estos datos son

variables para el diseño el proceso de analogía del reticulado.

2. Definiciones según reglamentos.

El reglamento Cirsoc 201 contiene un capítulo referido al modelo de bielas,

las definiciones que siguen son copia textual de la normativa.

Discontinuidad: Cambio brusco en la geometría o en las cargas.

Modelo de bielas: Modelo reticulado de un elemento estructural, o de una región

"D" de dicho elemento estructural, compuesto por puntales y tensores que se

conectan a nodos, capaces de transferir las cargas mayoradas a los apoyos o a las

regiones "B" adyacentes (figura 15.10).

Nodo: En un modelo de bielas, es el punto de una unión donde se produce la

intersección de los ejes de los puntales, los tensores y los esfuerzos concentrados

que actúan en la unión.

Puntal: Elemento comprimido en un modelo de bielas. Un puntal representa la

resultante de un campo de compresión paralelo o en forma de abanico.

Puntal en forma de botella: Puntal que es más ancho en su punto medio que en

sus extremos.

Región B: Parte de un elemento a la cual se le puede aplicar la hipótesis de

secciones planas de la teoría de flexión.

Región D: Parte de un elemento ubicada dentro de una distancia "h", medida a

partir de una discontinuidad del esfuerzo o de una discontinuidad geométrica.

Tensor: Elemento traccionado en un modelo de bielas.

Viga de gran altura: Son aquellas cuya longitud supera a cuatro veces su canto.

Zona nodal: Volumen de hormigón alrededor de un nodo que se supone que

transfiere los esfuerzos de los puntales y tensores a través del mencionado nodo.

3. Las fisuras en las estructuras.

Las fisuras se pueden presentar en cualquier elemento estructural del

edificio, esto lo representamos en las figuras que siguen.

Columnas: por cuantías muy reducidas de estribos, el hormigón se

expande (figura 15.5).

Figura 15.5


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Vigas: por corte o flexión según la disposición y cantidad de las barras (figura

15.6).

Figura 15.6

Paredes: por ausencia de resilencia, paredes sin armaduras (figura 15.7).

Figura 15.7

Nudos: encuentros de vigas con columnas por inadecuada disposición de las

barras y estribos (figura 15.8).

Figura 15.8

Ménsulas: por errores en la colocación de las barras y estribos (figura 15.9).

Figura 15.9


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Vemos que aparecen con cierto orden en su tendencia. Las bielas son

paralelas a las líneas de compresión y normales a las líneas de tracción. Entre una y

otra actúa el puntal o diagonal soporte, las barras en el interior algunas ya en estado

de fluencia funcionan como tensores. Así, de esta manera, desde la evidencia de las

fisuras y fracturas podemos establecer la analogía del reticulado.

4. Regiones "B" y "D" de la viga.

En las vigas existen secciones o regiones donde se cumplen de manera

aproximada todas las hipótesis de la teoría de la flexión, son las llamadas regiones

"B" (en honor a Bernoulli o también por las palabras "beam-bending") en ellas solo

existe la flexión pura. Las otras regiones son las "D" disturbadas por la presencia

de esfuerzos corte mezclados con los de flexión. La sigue es una viga de apoyos

simples con dos cargas iguales concentradas; en rayado se indican las zonas "D" y

en blanco las "B" (figura 15.10).

Figura 15.10

En general las turbulencias de las trayectorias de los esfuerzos internos se

producen en las cercanías de cargas concentradas (acciones o reacciones) en la

figura a región "D", mientras que en la región "B" las líneas son casi paralelas. En

la teoría clásica solo se emplean los principios o hipótesis de zonas "B", sin

embargo en este método de biela y tensor las hipótesis se dejan de lado y se

interpreta el fenómeno de manera más real.

5. Los esfuerzos según posición y tipo de cargas.

5.1. Tipos de cargas y posición.

En una síntesis, las cargas que actúan sobre una viga pueden ser:

Única concentrada al medio.

Dos iguales en los tercios de longitud.

Varias cargas concentradas iguales.

Cargas uniformes repartidas.


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Existen muchas más, pero para la introducción del análisis del método de

biela y tensor es suficiente.

5.2. Carga concentrada al medio.

En el caso de viga simple con una carga concentrada al medio aparecen tres

zonas "D" disturbadas; en los extremos por la reacción de los dos apoyos y en

centro por la carga. Además dos regiones intermedias de menor desorden que la

adoptamos como tipo "B" . Distinguimos vigas normales cuando su longitud es

mayor que cuatro veces su altura (l > 4h), en caso que la longitud resulte menor

estamos en los casos de vigas de gran

altura. Ahora estudiamos solo las vigas

normales.

Figura 15.11

La líneas de esfuerzos en el caso de única carga concentrada es similar al de

la imagen (figura 15.11). En base a las inclinaciones de las líneas distinguimos las

regiones en cinco espacios de la viga (figura 15.12).

Figura 15.12

Con los antecedentes anteriores dibujamos el esquema de bielas y tensor

(figura 15.13).

Figura 15.13

En la realidad la carga concentrada la envía una columna que posee espesor

determinado (figura 15.14). La columna de 30 centímetros de lados apoya sobre un

cabezal de dos pilotes de longitud total 2,10 metros. La carga total de 60 toneladas

la bifurcamos en dos paralelas de 30 toneladas.


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Figura 15.14

Con ellas dibujamos la geometría de la analogía del reticulado. El esquema

interpreta al fenómeno desde un plano bidimensional por una simplificación

didáctica (figura 15.15). La carga de columna de 60 tn se descompone en dos

paralelas de 30 que al inclinarse en la biela del cabezal aumentan a 62 tn y crean un

estado de tracción en la parte inferior de 55 tn. Con esos valores es posible

dimensionar al cabezal.

Figura 15.15

En los casos de más de dos pilotes se debe analizar al sistema desde el

espacio, con ello podremos establecer la cantidad de bielas en diagonal que

participan, por ejemplo el caso de una columna que apoya sobre un cabezal de

cuatro pilotes (figura 15.16).

Figura 15.16


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Dos o más cargas concentradas.

En los ensayos de laboratorio se utilizan dos cargas iguales en los tercios de

la viga (figura 15.17). Las líneas se inclinan entre apoyo y carga (región D).

Permanecen con cierto paralelismo en el tercio interno (región B).

Figura 15.17

El esquema que sigue muestra la disposición más simple de configuración de

las bielas y tensores (figura 15.18).

Figura 15.18

Las regiones "B" y "D" se

ordenan en solo tres espacios (figura

15.19).

Figura 15.19

En el cabezal de tres o cuatro pilotes no alineados la carga de columna se

bifurca en el espacio del cabezal. En la figura de cabezal con cuatro pilotes, por

ejemplo, la carga de 60 toneladas se fragmenta en cuatro bielas de inclinadas.

El ángulo entre biela y tensor debe ser como mínimo de 25° o también la

proyección de la biela debe tener una longitud menor a 2h.

Varias cargas o uniforme repartidas.

En una viga de varias cargas con separación uniforme es posible colocar un

nudo en la vertical de cada carga, de esa manera se obtiene un sistema reticulado

(figura 15.20). La región central es de tipo "B", mientras los laterales con

diagonales es región "D".


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Figura 15.20

La configuración de las líneas de esfuerzos es muy similar al de la viga con

carga uniforme repartida. Las curvaturas son suaves en toda la longitud tanto para

las líneas de tracción como las de compresión (figura 15.21).

Figura 15.21

Cuando las cargas son del tipo uniforme repartidas las líneas de los esfuerzos

resultan más ordenadas y presentan una configuración similar al varias cargas

concentradas.

6. Vigas de gran altura.

Líneas de esfuerzos.

En estas vigas las líneas de esfuerzos resultan muy diferentes a las de las

vigas normales, aquí aparece el efecto tamaño y forma. Además se debe analizar la

posición de la carga si es ubicada en la parte superior o inferior de la viga (figura

15.22).

Figura 15.22

Es notable la diferencia de la dirección de las líneas según la posición de

cargas arriba o abajo.


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Las paredes como vigas de gran altura.

Las paredes de las viviendas deben ser consideradas como vigas de gran

altura para comprender sus fisuras y los esfuerzos dentro de su masa. Mostramos

una pared de esquina con una fisura inclinada a 45° ascendente (figura 15.23).

Sobre la imagen se marcan de manera aproximada las líneas de tracción y

compresión. Este suceso se produjo por un asentamiento del suelo en la zona de la

pared.

Figura 15.23

En el esquema el suelo se separa o se debilita en el extremo de la esquina, el

peso propio de la pared y la cubierta generan las líneas de tracción que quiebran la

pared.

En la secuencia de imágenes que sigue se analiza una pared sobre un suelo

de arcilla activa que se expande o contrae según su contenido de humedad. En

situaciones de aumento de humedad en el perímetro de la vivienda, el suelo se

expande en las fronteras y levanta las paredes como lo indica la figura. Mostramos

solo dos posibles diseños de biela y tensor (figura 15.24).

Figura 15.24

La situación inversa se produce en largos períodos de seca; el suelo en el

perímetro de la vivienda se contrae y la carga de peso propio busca la zona de

resistencia del suelo que se ubican en la zona central (figura 15.25).


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Figura 15.25

En el esquema de la derecha puede ser el caso de una pared continua o muro

donde uno de sus extremos queda sin soporte adecuado del suelo. En el Capítulo 22

"Suelos" ampliamos el estudio.

De todos los materiales de la construcción quien posee menor capacidad de

acumular energía de deformación en tracción es la pared de ladrillos cerámicos; no

tiene resilencia para ese esfuerzo. Desde estos razonamientos es necesario la

colocación de (diámetro 6 mm) cada cinco o seis hiladas, asentadas sobre mortero

en una cuantía de 0,4 por mil.

Por ejemplo una pared de ancho 20 cm y alto 300 tiene una sección de Sp =

20 . 300 = 6.000 cm2; la superficie en barras que se deben colocar es ≈ 0,4 . 6000 /

1000 = 2,4 cm2 que corresponden a unas 8 barras de diámetro 6 mm: dos sobre

capa aisladora, dos bajo antepecho, dos sobre dintel y dos bajo carga superior.

El hábito y la rutina en la ingeniería.

El muro o las paredes se han construido por siglos con la ayuda de la fuerza

gravitatoria; piedra sobre piedra o ladrillo sobre ladrillo. Con o sin argamasa quien

los mantiene en su posición es la fuerza de gravedad. Esa noción se transformó en

inercia intelectual, tanto que en la ingeniería de construcciones las paredes se

verifican a compresión, pero la paradoja; se quiebran por esfuerzos de tracción.

La presencia de las fisuras en paredes se puede explicar desde los cambios

de niveles de las napas freáticas; en los principios de colonia o pueblo el agua era

extraída de pozos profundos y el agua de lluvia almacenada en aljibes con ello las

napas descendían. Pero con los años el pueblo se transforma en ciudad y aparecen

las cañerías de agua potable y los pozos negros; las napas ascendían. Luego la

instalación de cañerías de cloacas y vuelta a descender las napas. En esa oscilación

se produjeron cambios de contenido de humedad en los suelos con expansión y

contracción de masa y las paredes terminaron con fisuras.

Este desacuerdo entre el pensamiento vulgar y la realidad de las fisuras

queda resuelto en parte con la analogía del reticulado, tal como lo hemos visto en

los párrafos anteriores.

7. Efecto de expansión de las bielas.

Las bielas son una simplificación de las trayectorias de los esfuerzos, esto lo

vemos en la imagen. No hay una sola línea recta, son varias curvas que en el

cambio de dirección generan fuerzas transversales (figura 15.26).


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Figura 15.26

Las isostáticas anteriores es posible representarlas en diferentes tipos de

esquemas donde las líneas de tracción se cruzan con las de compresión, mostramos

solos dos de muchos posibles de diseñar (figura 15.27).

Figura 15.27

En el quiebre de la dirección de las bielas

se produce una acción de tracción en el interior

de la masa. Para mostrarlo elegimos una viga de

hormigón. En la imagen de la izquierda la fuerza

en el eje de la biela la descomponemos en otras

líneas simétricas que por su forma generan

tracción normal al eje. En la imagen de la

derecha se muestra el "efecto botella"; es la biela

que se abulta generando tracción y son las barras

longitudinales y estribos que equilibran (figura

15.28).

Figura 15.28

Mostramos un ejemplo. La reacción RA = 10.000 daN se descompone en

otras inclinadas como lo muestra la figura. Vemos que en cada quiebre de las

diagonales aparece una fuerza de tracción de unos 3.100 daN que debe ser

sostenida por los estribos o barras (figura 15.29).


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← Fuerzas en las barras.

Figura 15.29

8. El nudo.

En el encuentro de biela con

tensores se materializa el nudo tal

como se lo observa (figura 15.30).

El nudo superior trabaja a

compresión en todo su espacio,

mientras el inferior se mezclan

espacios en tracción con los de

compresión. El cálculo de la longitud

de anclaje está indicado en el

Apéndice "A" del Cirsoc 201.

Figura 15.30

9. Aplicaciones.

9.1. Inicio.

El ejemplo que sigue mostramos dos maneras de calcular las tensiones

internas de una viga maciza de madera de un tramo y apoyos simples. En la primer

fase lo hacemos desde la teoría clásica y luego mediante el método de la analogía

del reticulado (figura 15.31).

9.2. Datos:

Longitud de viga: 5,00 metros.

Material: madera.

Tensión admisible: 150 daN/cm2

Sección: rectangular: b = 15 cm h = 30 cm

Cargas: P = 500 daN

Separación entre cargas: 0,5 metros.


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Figura 15.31

9.3. Resolución por teoría clásica:

RA = RB = 500 . 9 / 2 = 2.250 daN

Mf = 2250 . 2,5 - 500( 2,0 + 1,5 + 1,0 + 0,5) = 3.125 daNm

Módulo resistente: W = bh2/6 = 2.250 cm3

Desde la teoría clásica: Tensión de trabajo tracción compresión:

σ = M / W =3125.100 / 2250 ≈ 140 daN/cm2 BC < 150 daN/cm2.

Tensión tangencial:

τ = RA . (3,/2) / (bh) = 2250 . 1,5 / (30 . 15) = 7,5 daN/cm2.

Recordemos que la tensión normal (tracción o compresión) se da en las

fibras más alejadas del eje neutro y en el centro de la viga, mientras que la

tangencial máxima o de corte se da en la sección transversal cerca del apoyo.

9.4. Verificación modelo de bielas:

Reacciones:

RA = RB = 2.250 daN

Dibujamos la geometría de los montantes, diagonales y cordones que

soportan las cargas en el interior de la viga (figura 15.32).

tg α = 25/50 ≈ 0,5 α = 28,6° sen α = 0,48 cos α = 0,,88

Figura 15.32

barra 1-2: fuerza compresión F12 = 2250/0,0,48 ≈ 4.700 daN

barra 1-3: fuerza tracción F13 = 4700 . 0,88 ≈ 4.100 daN


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Esquema de cordones paralelos de viga reticulada (figura 15.33):

Figura 15.33

Fuerzas máximas de cupla en el centro:

C = T = Mf / z = 3125 / 0,24 ≈ 13.000 daN

Sección de CS y CI: 15 . 6 = 90 cm2

Tensiones máximas de tracción y compresión en centro de viga:

σ = 13000 / 90 ≈ 140 daN/cm2 BC < 150 daN/cm2.

Tensiones de compresión en barra 12:

σ = 4700 / 90 ≈ 52 daN/cm2 BC τadm < 0,5 . 150 = 75 daN/cm2.

Tensiones de tracción en barra 13:

σ = 4100 / 90 ≈ 45 daN/cm2 BC τadm < 0,5 . 150 = 75 daN/cm2.

La tensión de trabajo máxima (tracción o compresión) se establece en el

centro de la viga y es un esfuerzo uniforme en toda la sección transversal de cordón

superior o cordón inferior. En la analogía del reticulado la tensión tangencial

desaparece para transformarse en una tensión normal y la máxima se produce en la

diagonal más cercana al apoyo.


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