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Introducción a las Estructuras - Jorge Bernal Libro: Capítulo siete - Solicitaciones 1.

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Cap 7 solicitaciones.

Introducción a las

Estructuras

Capítulo siete:

Solicitaciones UNO

1. Revisión.

La figura es el entrepiso que ya lo revisamos en capítulos anteriores. Ahora

volvemos a él para analizar la viga primaria de madera maciza con los conocimien-

tos hasta ahora adquiridos.

Observamos la viga principal que sostie-

ne las cargas puntuales de las vigas secunda-

rias. Ese esquema responde a los primeros con-

ceptos escritos en el “Capítulo Uno de Intro-

ducción”, la idea de soporte transformada en la

realidad de una tirante (viga) de madera con

sus cargas (reacción de las secundarias) y las condiciones de borde en los apoyos

(simple sobre columnas).

Las cargas logramos conocerlas desde las operaciones indicadas en el “Ca-

pítulo Dos de Cargas”, ya conocemos su intensidad y su ubicación. Con la ayuda

del “Capítulo Tres de Continuidad” revisamos las condiciones en los extremos

de la viga; son de simple apoyo, no hay empotramiento y las columnas solo reciben

cargas de compresión (sin flexión).

Con la configuración de forma viga, cargas y columnas buscamos en el

“Capítulo Cuatro de Estática” la manera que podemos maniobrar desde las ma-

temáticas las ecuaciones que nos entreguen valores de las reacciones (cargas sobre

columnas) y también la forma que se puede describir la forma de la sección trans-

versal de viga con el módulo resistente “W” y la inercia geométrica de la sección

“I”. Hemos aplicado los principios de la Estática en las fuerzas y en la forma de la

viga.


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Mediante las ecuaciones fundamentales del equilibrio logramos conocer las

cargas que transmiten cada una de las vigas secundarias y la reacción que recibe la

columna desde la viga primaria, esto lo hemos estudiado en el “Capítulo Cinco

del Equilibrio”.

Hasta ahora merodeamos los acontecimientos de observación directa del

conjunto, del sistema estructural; las cargas, las distancias, las formas, el equilibrio.

En el “Capítulo Seis de Resistencia de Materiales”, nos metemos dentro de la

masa de la viga y revisamos las condiciones del material, tanto en su resistencia

como su capacidad de deformación.

Todo lo estudiado hasta ahora necesitamos relacionarlo para tratar de llegar a

fórmulas que nos permitan el dimensionado de la pieza. Entonces recurrimos a

entidades abstractas que son las herramientas que conectan las fuerzas externas

(acciones) con los esfuerzos internos (tensiones). esos instrumentos son el Momen-

to Flector, el Esfuerzo de Corte y el Esfuerzo Normal. A ellos los encontramos en

el “Capítulo Siete de Solicitaciones”.

Solo nos falta interpretar las maneras que esas solicitaciones generan o crean

esfuerzos internos en las piezas que actúan. El análisis se encuentra en el “Capítu-

lo Ocho Esfuerzos Internos”. Ya tenemos todo.

Solo nos falta revisar un fenómeno algo extraño en las estructuras el pandeo,

que lo estudiamos en el “Capítulo Nueva Pandeo”, que es algo independiente a

todo lo analizado hasta ahora.

2. La posición de las cargas.

Una misma carga puede causar distintos efectos. Para entenderlo imagina-

mos otra vez al tablón de albañil, el operario trabaja sobre ese andamio que se apo-

ya sobre dos caballetes. en una se posiciona en el medio que genera la elástica má-

xima y en la otra en un extremo, sin elástica.

La carga que transmite el operario al

tablón viga la representamos con el vector

“P”, pero recordemos que también actúa el

peso propio del tablón que por cuestiones

de simplicidad por ahora no la tenemos en

cuenta.

Como ya lo sabíamos desde la intui-

ción, una misma carga genera diferentes

esfuerzos según la posición que ocupa.

Este fenómeno natural se lo representa con

las entidades de momento flector y corte,

como veremos más adelante.

Vemos la carga puntual sobre el ta-

blón en dos posiciones diferentes y repre-

sentamos de manera esquemática cómo se


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distribuye esa acción tanto en el flector como en el corte.

En el primer esquema la carpa “P” en el medio de la viga. El diagrama flec-

tor y el de corte son simétricos. El primero es máximo bajo la carga, en el medio,

mientras que el de corte pasa de positivo a negativo bajo la carga “P”

En el segundo esquema la carga “P” se ubica más a la izquierda, se modifi-

can los diagramas y se corren hacia la recta de acción de la carga

3. Tipos de solicitaciones.

Volvemos a revisar la relación de las cargas externas con los esfuerzos inter-

nos y veamos cómo se los representa. Al estudio lo separamos en dos partes:

Tensiones puras o simples: Cargas que generan esfuerzos constantes

y uniformes en toda la pieza.

Tensiones combinadas o compuestas: Cargas que generan esfuerzos

combinados; en la sección de la pieza aparecen más de un tipo de

tensión.

3.1. Tensiones simples.

Tracción simple.

Tiende a separar las fibras y general alargamientos.

Elementos: tensores, barras traccionadas, cables.

Compresión pura.

Tiende a acercar y comprimir las fibras. Se producen acortamientos

Elementos: columnas, paredes, barras comprimidas en un reticulado.

Flexión pura.

Se presenta en situaciones especiales. El caso de una viga que solo recibe

momentos en los extremos, sin cargas en el tramo. La otra situación es una viga

con cargas iguales que se encuentran separadas a igual distancia y en forma simé-

trica; el sector medio posee flexión pura.


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La flexión pura solo existe tracción en las fibras superiores y compresión en

las inferiores. No existe el corte.

Otra situación de flexión pura es el de la viga que sostiene dos cargas iguales

con geometría simétrica. Entre “P1” y “P2” el momento flector es máximo y per-

manece constante, mientras el corte es nulo.

Elementos: vigas de rigidez con empotramientos en sus ex-

tremos, sin cargas intermedias. Vigas con cargas simétricas en

geometría e intensidad.

Corte puro.

Tensiones tangenciales que generan desplazamientos de

una sección respecto de otra. El desplazamiento se produce por

fisuras con inclinación promedio de 45º.

Torsión pura.

Tensiones tangenciales en el plano de la sec-

ción, actúan de manera concéntrica y produce giros

transversales.

Elementos: se presenta en casos muy particula-

res. Un ejemplo puede ser el de una viga aislada que

soporta un voladizo.

Elementos: se presenta en el caso de uniones abulonadas, el bulón o perno

sufre corte puro. También en las secciones de vigas muy cercanas al apoyo de co-

lumna.

3.2. Tensiones combinadas.

Pandeo:

Para cargas reducidas el es-

fuerzo es uniforme de compresión,

pero según la esbeltez de las co-

lumnas y la intensidad de la carga

surge de manera brusca el pandeo

con la rotura de la configuración


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geométrica inicial. Puede seguir resistiendo la carga que provoca el pandeo, pero

cualquier aumento surge mayor flexión.

El fenómeno de pandeo desde la teoría se lo podría clasificar como un es-

fuerzo simple de compresión, pero de manera brusca pasa a la flexo compresión.

Algunos autores consideran que es imposible centrar de manera precisa y exacta

una carga sobre la columna; siempre existirá una excentricidad, entonces no es

pandeo, es flexo compresión.

Elementos: columnas y paredes muy esbeltas.

Flexión plana:

Es la común, se encuentra en la mayoría de las piezas. Coexisten la tracción,

la compresión y el tangencial. En la figura la compresión arriba, la tracción abajo y

el corte transversal en la sección.

El corte máximo se produce en la zona

cercana al apoyo. No es posible decir que es

corte simple o puro porque existe algo de fle-

xión en la región.

Para com-

prender la relación

entre la flexión y

el corte es útil la

herramienta conceptual de “biela y tensor”. La figura

muestra la parte de una viga de hormigón armado cerca

de la columna. Las fisuras del medio de viga son verti-

cales y se generan por efecto de la tracción del flector,

pero si nos acercamos a la columna, las fisuras se in-

clinan porque aumenta el corte.

En la región de columna y viga el corte es

máximo, la viga lo sostiene mediante una biela a

compresión (figura izquierda) que se combina

con el tensor (estribos y barras dobladas).

Elementos: vigas comunes con cargas de

diferentes tipos. Son los casos más generaliza-

dos.


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Flexo compresión:

Las fuerzas externas son de compresión y flexión de manera simultánea.

Produce acortamientos y elásticas.

Elementos: generalmente en las columnas de medianeras. La compresión

con la carga superior y la reacción de la base. Si ésta es descentrada produce el giro

del momento flector.

Flexión tracción:

Actúa la flexión conjuntamente

con la tracción. Produce alargamientos y

giros.

Elementos: es rara de presentarse

en la construcción. Se puede dar en el

cordón inferior de una cabreada que está

en tracción y alguno de sus nudos le

transmite un giro de flexión.

Torsión y flexión.

Tensiones tangenciales en el plano de la

sección, actúan de manera concéntrica y pro-

duce giros transversales.

Elementos: se presenta en casos muy

particulares. Un ejemplo puede ser el de una

viga aislada que soporta un voladizo.

4. Solicitaciones principales. 4.1. General.

Hemos definido varios tipos de solicitaciones de ocurrencia en las estructu-

ras de los edificios, ahora estudiaremos solo tres, las más comunes. El valor numé-

rico de estos efectos servirá luego para determinar las secciones de las piezas.

Momento flector: considera a todas las solicitaciones de flexiones tanto pu-

ras como planas.

Esfuerzo de corte: estudia todas las acciones que puedan generar tensiones

tangenciales, tanto puras como mezcladas con flexión.

Esfuerzo Normal: comprende a todas las solicitaciones que actúan sobre el

eje longitudinal de la pieza, pueden ser de tracción o compresión.


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4.2. Momento flector.

Teoría y concepto.

Para que la viga se encuentre en equili-

brio, el flector producido por las cargas exter-

nas, debe resultar igual a la cupla interna que

se produce dentro del material de la pieza en

estudio. Esa cupla dependerá de la forma de la

sección y del tipo de material.

En el dibujo las cargas externas son del tipo repartida (kg/ml ó kN/ml) sobre

una viga apoyada de manera simple. Para que la viga pueda ser utilizada, debe

tener una elástica mínima y resistencia superior.

En el esquema se dibuja la viga a la izquierda con su carga externa y a la de-

recha los sucesos en su interior. Se muestran dos materiales: hormigón armado o

madera, ambos de forma rectangular. En ambos casos la cumpla interna (M i) se

conforma por las fuerzas “C” y “T” que representan a los volúmenes de tensiones

superior e inferior. Si la viga la hacemos de hormigón, la cupla se formará con la

resistencia del hormigón y del acero. El primero resiste a la compresión arriba y las

barras a la tracción abajo.

El momento flector, en general

es variable a lo largo de la viga. Cada

sección soporta una determinada inten-

sidad del flector. Por ello debemos

pensar en sus secciones y en el flector.

De ahí que esa sección es la referencia;

el flector se calcula con las fuerzas que

actúan a su derecha o a su izquierda.

La viga anterior posee cinco cargas externas; tres sobre la viga y dos reac-

ciones en los apoyos. El momento flector en el punto “nn” (de izquierda), es la

sumatoria de los momentos que producen las fuerzas externas:

∑

El momento flector en el punto “nn” (de derecha):

∑

En ambos casos tomamos con signo positivo los momentos que producen

griso en el sentido de las agujas del reloj. En valor absoluto:


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|∑ | |∑ |

Visualización real con tres cargas concentradas.

Calculamos los momentos que se generan en la viga bajo la acción de las

tres cargas puntuales

P1 = 1.000 kg = 10 kN

P2 = 2.500 kg = 25 kN

P3 = 800 kg = 8 kN

Si nos ubicamos en el apoyo “A” (allí el momento flector es nulo) y toma-

mos momentos de todas las fuerzas de la derecha obtenemos la reacción RB:

∑

Con la ecuación de sumatoria de fuerzas igual a cero:

∑

Conocidos los valores de las reacciones, ahora determinamos el momento en

el punto “nn”, tomamos momentos a la izquierda:

∑

También podemos calcular los momentos bajo los puntos donde actúan las

cargas:

M1 = 3.300 kgm = 33,0 kNm

M2 = 5.100 kgm = 51,0 kNm

M3 = 1.200 kgm = 12,0 kNm

Con estos valores trazamos el diagrama de manera rápida, la variación del

momento flector entre una fuerza y otra

es lineal.

Si imaginamos sobre la viga car-

gas de igual intensidad pero muy cer-

canas una de otras, fácilmente veremos

que el diagrama anterior tendrá tantos

quiebres como cargas actuantes y su


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forma va adquiriendo la geometría de una parábola.

Visualización real con cargas uniformes repartidas.

Si actúan cargas uniformes repartidas la determinación de los momentos

surgen de las siguientes ecuaciones:

Por simetría de cargas y de formas: RA = RB = ql/2

El Mf en “nn” en un punto cualquiera a distancia “x” del apoyo izquierdo.

(

) (

) (

) (

)

En el caso de buscar el Mf máximo que se da en la mitad de la viga: x = l/2

(

) (

)

Esta expresión es una de las más utilizadas para el cálculo de las solicitacio-

nes; en general las losas y las vigas de los

edificios poseen cargas uniformes.

Para dibujar la parábola del Mf se pro-

cede como sigue: trazamos una vertical en el

centro de la viga y sobre ella marcamos en

escala la distancia:

Luego dividimos en partes iguales las rectas AE y BE uniendo los puntos tal

como muestra la figura. La parábola quedará conformada por la curva tangente a

todas las rectas trazadas.

4.3. Esfuerzo de corte.

Teoría y concepto.

El esfuerzo de corte que actúa en un punto determinado de una viga, es igual

a la sumatoria de las fuerzas verticales existentes a la izquierda del punto conside-

rado o a la sumatoria de las fuerzas de las derechas cambiadas de signo.

Aplicando esta definición a la viga indicada en el ejemplo anterior, podre-

mos escribir las siguientes expresiones, tomando fuerzas a la izquierda de “nn”:

El esfuerzo de corte a la derecha de “nn”:

Los signos para el trazado de los diagramas de esfuerzo de corte se establecen:


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Área positiva: cuando las fuerzas producen giros según las agujas del reloj.

Área negativa: cuando giran en sentido contrario.

Ejemplo:

Resolvemos los valores de corte del ejercicio anterior, donde actúan tres cargas

concentradas.

En el punto “nn”, tomando las fuerzas de izquierda:

En la posición de la carga P2 el corte pasa de positivo a negativo; es decir

pasa por un valor nulo. Vemos que en esa sección se produce el máximo flector.

El diagrama de corte se resuelve considerando las fuerzas con dirección de

abajo hacia arriba como positivas, las de dirección contraria, negativas.

Si lo construimos comenzando desde la izquierda, dibujamos en escala el va-

lor de “RA”, por su extremo trazamos una paralela al eje de referencia, hasta encon-

trar la recta de acción de “P1”, allí bajamos en escala con el valor de esa fuerza.

Seguimos con el procedimiento y obtenemos los escalones que nos dibujan el dia-

grama. Vemos por partes:

A la derecha de “RA”:

A la derecha de “P1”:



En el extremo del apoyo “B”:

Cargas uniformes.

En el caso de cargas uniformes repartidas, no existen “escalones”, el diagra-

ma es representado por una línea recta continua e inclinada, desde el extremo de RA

al extremo de RB.


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En un punto “nn” a distancia “x” del apoyo “A”, el valor de Qnn será:

4.4. Esfuerzo normal.

General.

En un punto cualquiera de la viga será la sumatoria de las fuerzas horizonta-

les de izquierda o derecha cambiadas de signos. El esfuerzo normal es la fuerza que

actúa en el eje longitudinal de la viga. Genera esfuerzos de compresión o tracción

según la dirección de la fuerza y la posición del apoyo fijo.

La viga soporta cargas inclinadas, sus componente verticales y horizontales

serán Px y las verticales las Py. Antes se deben determinar las condiciones de los

apoyos (fijos o móviles). En la figura el apoyo izquierdo es el fijo y el derecho el

móvil. Los apoyos fijos pueden soportar cargas horizontales porque tienen restrin-

gido los movimientos en esa dirección. Los apoyos móviles solo resisten cargas

verticales.

Las expresiones teóricas de los normales de la viga:

A la izquierda del punto “nn” a distancia de 4,00 metros del apoyo “A”:

Las fuerzas horizontales con dirección hacia la derecha poseen signos positi-

vos, para la izquierda negativos. En el ejemplo la viga está sometida a dos cargas

inclinadas. Analizamos los tres esfuerzos: el flector, el corte y el normal.


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Ejemplo.

Datos y condiciones de borde.

Para operar solo en dos ejes normales, a las cargas inclinadas las descompo-

nemos en las direcciones “xx” e “yy”. El apoyo izquierdo es fijo y el derecho mó-

vil. Las cargas verticales (xx) generan flector y corte, mientras que las horizontales

(yy) solo normales.

Datos de las cargas:

P1 = 1.000 kg = 10 kN P2 = 2.000 kg = 20 kN

α = 15º β = 45º

Por ley de momentos: RAy = 644 kg = 6,44 kN RB = 1.029 kg = 10,29 kN

Descomposición de fuerzas.

Momentos flectores.

Esfuerzos de corte.

Esfuerzos de normales.

En el apoyo fijo la reacción horizontal tiene dirección hacia la derecha.

El normal desde el apoyo “A” hasta P1 es igual al valor de la componente

horizontal de la reacción.

El normal en el tramo de P1 a P2:

El normal en el tramo de P2 a RB:


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4.5. Relación entre el flector (Mf) y el corte Q.

Análisis conceptual.

Observando los diagramas de “Mf” y “Q” veremos la relación que existe en-

tre ellos. Cuando el flector aumenta, el corte disminuye. Para valores máximos de

uno le corresponde valores nulos del otro. Esta correlación entre ellos nos permite

determinar la magnitud y los puntos donde son máximos.

La viga que sigue se encuentra sometida a cargas concetradas y también con

repartidas uniformes. Para determinar el máximo “Mf” es necesario antes calcular

el punto donde se anula el “Q”. Ese punto se encuentra a una distancia “x” del apo-

yo “A”. Se calcula como sigue:

Con la aplicación de Ley de Momentos se determinan las reacciones:

RA = 3.133 kg = 31,33 kN RB = 3.467 kg = 34,67 kN

Vamos a buscar el tramo donde cambia el signo de Q, si cambia el signo

significa que pasa por un valor nulo (Q = 0). El valor del cortante disminuye desde

RA hasta la posición de P1:

A este valor que fue disminuyendo en forma lineal, ahora hay que restarle la

carga P1:

En este tramo cambió el signo de “Q”. Ahora determinamos la distancia “x1”

donde se produce el cambio de signo.

La distancia total desde el apoyo A:

A esa distancia del apoyo “A” se produce el corte nulo y el máximo flector.


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Análisis teórico.

La relación entre el flector y el corte es un fenómeno donde la matemática,

desde el análisis diferencial, provoca una rápida y notable explicación. Analizamos

un trozo muy pequeño de la viga, separado por dos secciones adyacentes en una

distancia “dx” (una distancia tan pequeña como se quiera). Las secciones que sepa-

ran esa distancia se indican con “nn” y “mm”.

A la izquierda de la sección “nn” actúa un corte “Qnn” y el flector “Mnn”. En

la otra sección los valores del primero se reducen y del segundo aumentan:

El corte será: Qmm = (Qnn – dQ) y el Mmm = (Mnn + dM)

La carga total que actúa en el elemento “dx”, es “q.dx”. Del equilibrio del

elemento se deduce que la fuerza cortante en la sección “mm” difiere de la “nn” en

la cantidad:

Encontramos así que la derivada del corte respecto de “x” es igual a la inten-

sidad de la carga unitaria repartida. Si ahora tomamos momentos de todas las fuer-

zas que actúan sobre el elemento diferencial, obtenemos:

(

)

El segundo término es una cantidad muy pequeña que la podemos despre-

ciar. Entonces queda:

Entonces, el esfuerzo de corte “Q” es la derivada del momento flector res-

pecto de “x”. Dicho de otra manera, el corte es igual a la variación del flector res-

pecto de “x”.


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También se conceptualiza la relación entre el corte y el flector aplicando la

definición matemática de “derivada”: “La derivada de una curva es la tangente

trigonométrica de la tangente geométrica, en el punto dado”. Definición que a pri-

mera lectura parece complicada, pero que no lo es si la analizamos desde el gráfico.

En el caso particular de una viga de simple apoyo, con cargas uniformes, el

diagrama del “Mf” es una parábola. Si trazamos una tangente (geométrica) en el

arranque de la parábola (en el apoyo de la viga), la inclinación está dada por la

tangente del ángulo (tangente trigonométrica).

La inclinación en ese punto es máxima (flector nulo y corte máximo). Si

ahora observamos la inclinación en el centro de la viga, veremos que la tangente es

nula (flector máximo y corte nulo). El diagrama del corte nos indica punto a punto

ls valores de la inclinación de las tangentes a la curva del flector (Q=dM/dx). Los

valores del diagrama de cargas repartidas son todos constantes porque la inclina-

ción del diagrama de corte también lo es (q = dQ/dx)

5. Las solicitaciones, las formas y los materiales.

Los diagramas de las solicitaciones, especialmente

el del momento flector y el del esfuerzo de corte, se trazan

para observar los efectos de las cargas sobre las vigas o de

las piezas estructurales. En función de ellos las piezas

toman su forma. Para comprender mejor este concepto,

daremos algunos ejemplos.

Los camiones y acoplados poseen “elásticos” en

sus ejes para soportar las cargas dinámicas. Esos elásticos

no son más que vigas de simple apoyo con su carga con-

cretada en el medio, que se materializa en el apoyo del

eje.

La viga sostiene una carga concretada en su parte

media y el diagrama de Mf lo muestra la figura. Su forma

es triangular y el “paquete de elásticos” también posee

una forma similar aproximada. En este caso la viga, me-

diante hojas de acero conforma una figura similar al dia-

grama de momentos.

Algo parecido sucede con una ménsula reticulada

que sostiene una carga en su extremo. El diagrama del

flector es triangular. La ménsula (viga empotrada en un

extremo) también tiene esa forma. En estos casos se pue-


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den combinar los materiales. Colocando, por ejemplo, tirantes de madera que traba-

je a la compresión (cordón inferior) y barras delgadas de acero (cordón inferior)

que soportarán tracción

En el caso de vigas de hormigón armado, que a simple vista parecen homo-

géneas, en su interior posee todo un diseño en barras de acero que acompañan los

esfuerzos de flexión y de corte. En la zona inferior y central las barras soportan la

flexión, mientras que en las zonas cercanas a los apoyos, ésas mismas barras las

podemos levantar a 45º para que absorban los esfuerzos de corte.

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