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Introducción a las Estructuras - Jorge Bernal Libro: Capítulo nueve UNO - Pandeo.

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Introducción a las Estructuras

Capítulo nueve UNO: Pandeo

1. El pandeo en la construcción.

General.

En el año 1744 Leonhard Euler resuelve el problema del fenómeno de

las barras esbeltas sometidas a cargas de compresión. Las ecuaciones del

problema se conocen como “Ecuaciones de Euler”. La ingeniería en sus on-

das de cientifismo y empirismo quedó prendida del genio matemático de

Euler para resolver la cuestión de las columnas esbeltas.

Es tanto el atractivo que generó esa teoría que la literatura científica

de la construcción denomina “pandeo” también a fenómenos que están muy

lejos de la teoría de Euler. Esta teoría se basa en la hipótesis de barra recta,

material homogéneo y carga concentrada, todo de manera perfecta. Pero la

realidad es otra; no existe una columna de ejes y lados con esas condiciones.

El material de la construcción tampoco es homogéneo, cualquier alteración,

sea un pequeño agujero o un corto cordón de soldadura hace al material im-

perfecto. Por último, lo más difícil, casi imposible de lograr, es centrar carga

sobre la columna.

Con lo anterior queremos explicar que si bien el fenómeno, desde la

teoría se sigue llamando pandeo, desde la realidad es una flexo compresión.

La historia de la ingeniería los destaca como uno de los fenómenos que ma-

yor cantidad de fallas ha causada en la construcción. Antes del advenimiento

de materiales tales como el hormigón armado y el acero, las columnas goza-

ban de buena estabilidad. Porque en general, sus secciones eran robustas por

ser construidas con materiales como la piedra o mamposterías cerámicas

(muros, bóvedas, arcos y otros). La esbeltez de estas piezas resultaba baja y

la rotura solo llegaba con el agotamiento del material.

Pero cuando aparece el hierro a fines del siglo XIX, las secciones de

las piezas estructurales comienzan a elevar su esbeltez. Tal es así que los

primeros grandes desastres y derrumbes en obras de ingeniería, se produje-

ron por los efectos de alguna de las distintas formas que puede presentar el

pandeo o la flexo compresión. Se lo comienza a estudiar no solo desde la


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teoría, sino también dentro de los laboratorios y en con datos obtenidos de la

realidad de las obras.

2. Conceptos. Hasta ahora estuvimos acostumbrados a revisar la geometría de las

piezas desde los datos de su sección transversal:

S → Sección transversal: superficie (cm2).

W → Módulo resistente (cm3).

I → Momento de inercia (cm4).

Ahora en el estudio de las columnas debemos incorporar los datos de

su altura y condiciones de borde.

sk → longitud de pandeo.

i → radio de giro.

e → esbletez.

λ → grado de esbeltez.

Lo hacemos explicando los conceptos desde el inicio para interpretar

mejor el desarrollo.

Longitud de pandeo.

Es la distancia entre los

puntos de inflexión de la

deformada de la columna. Ellas

poseen deferentes condiciones de

apoyos en sus extremos. Por

ejemplo, el puntal que soporta los

encofrados, posee apoyos simples

que el permiten un libre giro, la

columna es articulada en ambos

apoyos.

Situación diferente se

presenta con las columnas de

hormigón armado, que forman

parte de un edificio de varias

plantas. Al existir continuidad

tanto del hormigón como de las

barras de hierro, la columna se

encuentra empotrda en ambos extremos. En estos casos la longitud de

pandeo se reduce.

Otro ejemplo es la columna de un tinglado. Se encuentra empotrada en

el suelo y libre en su extremo superior. .


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Según lo anterior a las columnas podemos clasificarlas según las con-

diciones de borde, de la siguiente manera:

1) Articulada articulada (sk = l):

Gira libremente en ambos extremos y su elástica o deformada tie-

ne la forma indicada en el dibujo. Es una media sinusoide. La lon-

gitud de pandeo es igual a la altura total de la columna.

2) Empotrada empotrada (sk = 0,5 l):

Los giros se encuentran impedidos en ambos extremos. La elástica

se configura mostrando una longitud de pandeo en su parte media

igual a la mitad de la longitud de la anterior.

3) Articulada empotrada (sk = 0,7 l):

Se deforma libremente desde el extremo articulado. La longitud

de pandeo es la dos terceras partes superiores.

4) Empotrada libre (sk = 2 l):

La elástica adquiere una conformación de una longitud doble de

su altura, como vemos la longitud de pandeo también será doble.

Hemos tomado la figura de la elástica del caso articulado articula-

do como unitario y la comparamos con todas las otras situaciones,

obteniendo así las diferentes longitudes de pandeo.

Radio de giro:

Es la raíz cuadrada del cociente entre la inercia de la sección y su su-

perficie, el radio de giro es una distancia y lo analizamos en el capítulo de

Estática de las Formas.

√

I: momento de inercia de la sección (cm4).

F: superficie de la sección (cm2).


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Esbeltez.

Es la relación entre la longitud de pandeo y su menor lado:

d: lado menor de la columna.

sk: longitud de pandeo.

Grado de esbeltez:

Es la relación entre la longitud de pandeo del elemento y su radio de

giro:

i: radio de giro.

Relación entre “esbeltez” y “grado de esbeltez”.

Supongamos una columna cuadrada cuyos lados sean de 15 centíme-

tros y hacemos variar la altura. A los efectos comparativos mostramos los

valores. En general se utiliza como referencia el “grado de esbeltez”, pero

algunas antiguas normas siguen utilizando la “esbeltez”.

Altura Esbeltez Grado

esbeltez

200 13 46

250 17 58

300 20 69

350 23 81

400 27 92

Tanto la esbeltez como el grado de esbeltez son adimensionales; es el

cociente entre dos longitudes (centímetros).

3. Tipos de roturas. Analizamos los sucesos de una columna en función de la carga y sus

dimensiones.

Acortamiento:

Es característica de cualquier material de-

formarse ante la acción de cargas. Las columnas

robustas sufren un acortamiento cuya magnitud

es proporcional al valor de la carga aplicada en

período elástico, en columnas muy esbeltas el

acortamiento puede ser simultáneo con un brusco

cambio de configuración. Según el tipo de mate-

rial esta relación de carga y deformación puede pasar por un período elástico

y luego plástico, es el caso del hierro.


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Rotura del material:

En columnas robustas, la rotura del material

sobreviene de manera instantánea en los casos de

materiales frágiles (paredes de ladrillos cerámicos)

y con un suceso de alta deformación en materiales

elasto plásticos.

Rotura de la configuración geométrica:

No se rompe el material, antes se quiebra la geo-

metría inicial. La barra pasa de su configuración recta a

la de una elástica de manera instantánea y sin aviso pre-

vio. Esta columna así deformada, si el material es elásti-

co (hierro o madera) seguirá resistiendo parte de la carga,

pero si es de material frágil (hormigón o cerámico) la

rotura de geometría se acompaña con rotura del material.

En el momento del suceso la viga posee dos tipos

de deformaciones, una la original, la del acortamiento

“δ” y la otra la del desplazamiento del eje teórico; la

excentricidad “e”. El fenómeno pasa de compresión pura

al de flexo compresión.

4. Otros tipos de pandeo.

Vigas metálicas.

También en las vigas

se presenta el fenómeno de

pandeo, especialmente en

aquellas que soportan gran-

des cargas y son construidas

con acero. Una viga consti-

tuida por un perfil normal

PNI puede resultar afectada

por alguna de las siguientes

formas de pandeo:

Pandeo en los extremos.

En la figura anterior, en el extremo (1), si la carga que proviene de las

columnas superiores es muy elevada, y el alma del perfil es muy esbelto, se

produce una dobladura o también llamado abollamiento.

Para evitar esta situación se colocan presillas o perfiles soldados en

los extremos que le otorgan rigidez en esa región.


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Pandeo en el alma.

Debido a la formación na-

tural de rutas de tensiones de

compresión, el alma (2), tal co-

mo lo vimos en capítulos ante-

riores, se puede deformar ingre-

sando en pandeo. Esta situación

se presenta en el caso de vigas

cuyas almas resultan muy delga-

das. La deformación se mani-

fiesta mediante un alabeo o abo-

llamiento.

El primer caso se presenta cuando las alas son muy delgadas, mientras

que el segundo cuando la longitud de la viga y su altura son elevadas.

Pandeo en el ala.

Las alas del perfil (3) están sometidas a esfuerzos de compre-

sión y pueden llegar a deformarse de dos maneras:

a) Generando dobleces o alabeos ondulantes en el ala supe-

rior.

b) Produciendo una especie de volcamiento total de la viga.

Es el caso de pandeo lateral de todo el cordón superior.

Vigas reticuladas.

En estas vigas pueden presentarse las mismas situaciones que en las

macizas, pero el fenómeno se sitúa en elementos localizados en las barras

que componen el reticulado (diagonales, montantes y cordones).

Pandeo los montantes extremos.

El montante (1) puede pandear en forma individual, si las cargas supe-

riores que apoyan sobre la viga son muy elevadas y la esbeltez del montante

muy grande.


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Pandeo en las diagonales.

En aquellos reticulados cuyas diagonales (2) trabajan a la compresión,

y resultan muy largas, sin los arriostramientos necesarios, también se puede

producir pandeo.

Pandeo del cordón superior.

Al igual que las vigas

macizas, se plantea el alabeo

parcial o total del cordón. En

estos casos es conveniente

tratar de armar los elementos

del reticulado, sometidos a

compresión con piezas com-

puestas. La figura muestra

los cordones, montantes y

diagonales efectuados con

dos perfiles ángulos soldados

a una gruesa planchuela, conformando así el nudo.

Para evitar el pandeo total del cordón superior, es conveniente arrios-

trarlo mediante triangulaciones con tensores que reducen las longitudes a

pandear. En el caso de las cubiertas, las correas que apoyan sobre el cordón

superior de las cabriadas conforman arriostramientos que evitan el pandeo de

los cordones.

Pandeo de cáscaras comprimidas.

Si generalizamos y llamamos cáscaras a todos los elementos estructu-

rales de superficie con diferentes curvaturas, tales como bóvedas cilíndricas,

cúpulas de revolución, bóvedas de doble curvatura, bóvedas corrugadas y

otras, podemos decir que el pandeo se puede presentar en ellas.

En estas superficies sometidas a compresión, la inestabilidad se genera

en función de las longitudes de los elementos y de su espesor (esbeltez de

superficie).


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En el pandeo se observa un cambio brusco de forma. Esto lo podemos

apreciar mediante el ejemplo de la pelotita de ping pong; que si bien es una

esfera, podemos asociarla a una cúpula de revolución. Si le aplicamos con el

dedo una fuerza de compresión en paulatino aumento, observaremos que en

un momento dado, en forma instantánea pasa a otra configuración de equili-

brio para desde allí, continuar resistiendo.

En algunas superficies cilíndricas verticales, especialmente las cons-

trucciones que se realizan de chapas delgadas para el acopio de cereales (si-

los), se observa luego de fuertes vientos que los cilindros se abollan. El vien-

to ejerció presiones de compresión en una dirección y el cilindro ingresó en

pandeo.

5. Carga crítica pandeo de Euler.

General.

Estudiaremos en los párrafos que siguen la carga crítica obtenida por

la ecuación teórica de Euler. También por el método simplificado “ω” y por

otro método indicado en algunos reglamentos.

Carga crítica de Euler.

En la época del 1770 cuando Euler descubre su admirable fórmula, era

imposible la experimentación. Las herramientas para realizar los ensayos

resultaban rudimentarias e imprecisas. Por otro lado, no se le dio importancia

a su teoría de pandeo porque las piezas de las estructuras de la época resulta-

ban muy grandes. Su teoría permanece en el olvido por más de un siglo.

Cuando surgen los nuevos materiales de la construcción (acero y hor-

migón), se obtienen secciones de columnas más pequeñas y con probabilida-

des de pandeo, entonces el estudio realizado por Euler vuelve a tomar vigen-

cia hasta nuestros días.

El genio de Euler resuelve la ecuación de la

elástica de una columna deformada:

P: La carga crítica que produce el pandeo.

y: el desplazamiento en zona central.

Soluciona la ecuación diferencial y obtiene

la carga crítica que provoca el pandeo:


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E: módulo de elasticidad del material.

I: momento de inercia de la sección.

sk: longitud de pandeo.

También la podemos expresar de otra manera, si a la expresión ante-

rior la dividimos por la sección, obtenemos la tensión crítica.

La esbeltez de la pieza:

La tensión crítica será:

Esta expresión corresponde al caso simple de una columna articulada

en sus dos extremos. Si queremos estudiarla para otras condiciones de borde,

sustituimos la longitud de pandeo por sus correspondientes valores.

La carga que nos da la expresión de Euler es la necesaria para que la

columna ingrese al pandeo. Es la carga límite. Según el tipo de material, a

las cargas críticas, calculadas según la expresión anterior, se las deben redu-

cir mediante un coeficiente de seguridad.

μ: coeficiente de seguridad que oscila entre 2,5 y 3,0 que depende de muchos

factores, en especial el tipo de material y las condiciones de borde.

Visualización práctica:

Calculamos la carga y tensión crítica de la

columna de madera dura de la figura:

Datos:

Condiciones de borde: articulada en ambos extremos.

Material de columna: madera dura.

Módulo de elasticidad: E = 70.000 kg/cm2

Tensión de rotura: σrot = 225 kg/cm2.

Tensión admisible: σadm = 85 kg/cm2.


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Longitud de pandeo: sk = h = 370 cm.

Sección de columna: S = 10 . 10 = 100 cm2.

Momento de inercia: I = 833 cm4

Radio de giro: 2,89 cm

Grado de esbeltez: λ = 128

Para columna robusta sin pandeo:

Carga de rotura sin pandeo:

Carga admisible sin pandeo:

Para columna esbelta con pandeo:

Carga crítica de pandeo:

Los valores anteriores son los críticos, los límites antes del pandeo. Si

adoptamos un coeficiente de seguridad igual a 2,65 obtendremos la carga

admisible:

En este caso la columna se encuentra a una tensión de trabajo:

Un valor varias veces menor que la tensión de rotura sin pandeo. Si

observamos los valores obtenidos vemos que la carga que soporta la colum-

na se reduce 14 veces desde la robusta sin pandeo (22.500 kg) hasta la esbel-

ta con carga admisible (1.600 kg).

Fin de pandeo parte uno

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