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Introducción a las Estructuras - Jorge Bernal Libro: Capítulo cuatro (1) - Estática de formas.

Introducción a las

Estructuras

Capítulo cuatro:

Estática de las formas (1)

Parte UNO

1. Estática de las formas.

General.

Para la resolución de muchos problemas de la Estática y del

Equilibrio de los cuerpos, es necesario ubicar el punto donde actúan

las Resultantes. Algo hemos visto cuando estudiamos composición

de fuerzas, especialmente cuando debíamos encontrar la posición de

la resultante dentro del sistema.

Antes estudiamos las fuerzas, ahora analizamos las formas es-

tructurales, en especial la sección transversal. Este análisis tiene una

historia muy larga y más aún interesante. Quien comienza a estudiar

la relación de las formas de la viga con respecto a las fuerzas fueron

en orden cronológico Leonardo da Vinci y luego, unos 50 años más

tarde Galileo Galilei.

La historia de las ciencias en algunos aspectos es injusta con

Leonardo porque atribuye a Galileo los primeros estudios realizados

sobre las vigas y las cargas. Esto se puede justificar porque el Códice

de Madrid, que contenía los estudios tanto de vigas como de la resis-


tencia de los materiales se mantuvo oculto, perdido por casi cuatro-

cientos años. Reproducimos una de sus páginas.

A la derecha están los esquemas de cinco vigas, del tipo de

dos apoyos simples y las cargas Leonardo las materializa con la for-

ma de pesas que cuelgan en diferentes posiciones. A la izquierda es-

cribe su famosa pregunta “Yo me pregunto”, describe su duda y lue-

go intenta contestarla. Este estudio es posible que lo haya realizado

en la década del 1490 (descubrimiento de América). Leonardo reali-

za otras investigaciones que están documentas pero escapan del ob-

jeto de este libro.

Unos 140 años más tarde, en la década del 1630, sin conocer

los escritos de Leonardo, Galileo Galilei realiza ensayos y experi-

mentos con las vigas y sus formas.

El dibujo superior le pertenece a Galileo y se encuentra en su

último libro “Discurso sobre dos nuevas ciencias” que es editado en

el año 1637. Tanto Leonardo como Galileo no llegan a resolver la re-

lación entre forma, carga y material en una viga, por una sencilla ra-

zón; en esa época recién se iniciaba la matemática científica y ade-

más aún no se habían desarrollado los ensayos para conocer las ca-

racterísticas mecánicas de los materiales.

Formas de sección transversal.

Primer caso:

Ante las cargas que solo producen tracción o compresión los

esfuerzos estarán en función de la superficie transversal de la pieza.

Pero cuando existe flexión o pandeo, aparece otro parámetro a estu-

diar: la forma.

Supongamos cuatro vigas cuyas secciones poseen diferentes

alturas pero con algo en común; todas tienen la misma base de 10

centímetros. La altura aumenta en escalones de 5 centímetros.


Los cuadrados de su altura serán para cada viga:

(1) 100 cm2

(2) 225 cm2

(3) 400 cm2

(4) 625 cm2

Tomando como unidad de resistencia la que posee la viga (1),

Leonardo observa:

La (2) resiste 225/100 = 2,25 veces más que la V1



Es decir que la resistencia de las vigas, cuando mantienen cons-

tante su ancho de base, aumenta proporcionalmente al cuadrado de su al-

tura. Esto es cierto y se comprueba con la fórmula actual de flexión:

El momento resistente “M” es directamente proporcional a la altu-

ra de la viga elevada al cuadrado.

Segundo caso:

Otro descubrimiento que obtuvieron los científicos antiguos de la

Estática es el de mantener la superficie constante. Por ejemplo, conside-

rar cuatro vigas de diferentes formas pero que todas posean la misma su-

perficie: 100 cm2.

La superficie de la sección de ambas vigas es igual a 100 cm2, sin

embargo las formas son diferentes. La viga de la derecha, de sección rec-

tangular, resiste dos veces más a la flexión que la cuadrada. Podemos

comprobarlo con más formas:

Adoptando como resistencia unitaria al de la viga (1), hacemos las

siguientes relaciones:

La V2 resiste 15/10 = 1,5 veces más que la V1.



Más adelante veremos que lo supuesto por Da Vinci hace más de

500 años, es rigurosamente cierto y tiene vigencia.


Baricentros de líneas.

La figura de la izquierda se muestra una viga cargada con fuerzas

uniformes y constantes. Esa configuración, para el solo efecto de la de-

terminación de las reacciones se la puede asimilar a una viga con una

carga única centrada, donde:

longitud de viga (metros): l

carga repartida (kN/metros): q

Q (kN) = l . q (kN)

Baricentros de superficies.

En otros casos debemos conocer el bari-

centro de una superficie para aplicar una carga.

En el caso de las columnas es necesario que las

cargas se ubiquen en los baricentros de sus sec-

ciones. El caso más simple, una columna cua-

drada. El carga “P” debe centrarse en el punto

“G”, que corresponde al baricentro. Si la carga

estuviera desplazada de dicho punto, existiría

una excentricidad “e” de la carga que produciría

tensiones parásitas a las columnas (flexo com-

presión).

En algunos casos cuando la carga no está centrada, la columna se

transforma en una especie de viga vertical con solicitaciones de flexión y

además con la carga de compresión.

Visualización práctica.

Hay columna con secciones complejas, por ejemplo aquellas con

formas de tipo “L”.

Para centrar la carga que transmiten otras piezas en la parte supe-

rior, para que la carga coincida con el baricentro de la sección, es nece-

sario calcular la posición de baricentro.

De manera analítica se procede como sigue y supongamos la co-

lumna con las siguientes dimensiones:

d1 = 60 cm. b2 = 20 cm

d2 = 40 cm b1 = 20 cm


Dividimos la superficie total en dos rectángulos:

S1 = 20 . 60 = 1.200 cm2 (d1.b2)

S2 = 20 . 20 = 400 cm2 (d2-b2).b1

Superficie total St = 1.600 cm2

Usamos ejes coordenados (x-y) coincidente con los lados exterio-

res de la sección de la columnas. Aplicamos la Ley de Momentos, ahora,

en vez de fuerzas maniobramos con superficies:

Según el eje x-x:

∑

Según el eje y-y:

∑

El baricentro de la columna se encuentra en la intersección de los

nuevos ejes x1 –y1. Es allí donde se debe ubicar el eje de las cargas su-

periores.

Cargas fuera de baricentros.

Las cargas fuera de baricentros pueden ser del tipo “previstas” y

las otras “no previstas”. Las primeras son aquellas que fueron detectadas

y aceptadas en el proceso de diseño y cálculo del edificio. Las segundas

responden a errores cometidos en algún proceso tanto del diseño como

de la construcción.

Una excentricidad inevitable es la que muestra la figura. Dos co-

lumnas y la superior de dimensiones menores que a los efectos de man-

tener una vertical externa debe ser desplazada. Esta situación crea efec-

tos de flexo compresión en la columna inferior que se tienen en cuenta

en el proceso de cálculo.


La excentricidad es la que surge por errores durante la construc-

ción. En especial por descuidos en los replanteos de los ejes de colum-

nas. Las columnas tienen las mismas dimensiones pero los ejes axiales

no coinciden. Los esfuerzos parásitos generados en ese encuentro en la

generalidad de los casos son absorbidos por el “nudo” que posee una

elevada rigidez. Recordemos que en esa región pueden llegar, además de

las dos columnas, las vigas y las losas del entrepiso.

Recordemos que está en nuestras manos la decisión de orientar las

fuerzas y además de controlarlas, tanto en la fase de diseño, de cálculo y

por último en la ejecución de la obra.

2. Momentos estáticos de superficie.

General.

Los próximos temas que estudiaremos “Momentos Estáticos” y

“Momentos de Inercia”, en la mayoría de los libros y manuales aparacen

como temas teóricos. Emplearemos una modalidad distinta para su análi-

sis y secuencia de estudio. Trataremos de justificarlos en la realidad me-

diante ejemplos prácticos y luego haremos el desarrollo teórico.


Habíamos dicho respecto a las secciones de las vigas, que si man-

teníamos constantes sus superficies, variando la altura y el ancho de ba-

se, obtendríamos vigas más resistentes, en una relación directa al aumen-

to de la altura.

El “Me” (Momento Estático) de las secciones mostradas es el pro-

ducto de su superficie por la distancia de la base a su baricentro. Vea-

mos:

Caso (1): 100 cm2 . 5,0 cm = 500 cm

2.

Caso (2): 100 cm2 . 7,5 cm = 750 cm

2.

Caso (3): 100 cm2 . 10,0 cm = 1.000 cm

2.

Caso (4): 100 cm2 . 12,5 cm = 1.250 cm

2.

La relación de cada uno respecto al del caso (1):

Caso (1): 500 / 500 = 1,00

Caso (2): 750 / 500 = 1,50

Caso (2): 1.000 / 500 = 2,00

Caso (3): 1.250 / 500 = 2,50

Conclusión: la relación de los “Me” tienen la misma relación al de

las resistencias de la vigas. Este ejercicio de figuras, formas, superficies

y resistencia se relacionan. Veremos de qué manera.


Desarrollo teórico.

El “Me” es similar al momento de una fuerza; producto de la in-

tensidad de la fuerza (kN) por la distancia al punto de referencia (me-

tros). Ahora multiplicamos la magnitud de la superficie por la distancia

al eje baricéntrico. Las unidades, para recordarlas:

Momento de fuera: kN . m.

Momento estático: m2 . m

2 = m

3.

“Me”: referido a un eje cualquiera.

El “Me” cuando está referido el eje x-x de la figura, se lo expresa

de manera matemática:

Utilizando diferencial de superficie: dF = bdy

∫

∫

∫

*

+

“Me”: referido a un eje baricéntrico.

El “Me” es nulo cuando está referido a un eje baricéntrico.

Mediante el análisis matemático y considerando un diferencial de

superficie dF, también se lo puede considerar como sigue:

∫

∫

∫

*

+


La expresión se anula por resultar y1 = y2.

“Me”: referido a un eje de base.

Si la figura apoya sobre el eje x-x, el valor y1 = 0, y2 = h.

Mediante la aritmética:

Mediante el análisis matemático:

∫

∫

1. Módulo resistente.

General.

Hemos visto que existe relación entre la forma de las sección

transversal de la pieza de una viga y su resistencia a la flexión. Ahora, en

el estudio que sigue incorporamos el concepto de tensión:

Para el análisis elegimos una viga con material que resiste por

igual la tracción y la compresión, por ejemplo la madera o el hierro.

La viga de la parte superior del esquema responde a la de una de

apoyos simples con carga uniforme repartida y con simetría de forma y

de cargas. La máxima solicitación a flexión se da en la mitad de su lon-

gitud (l/2). Llamamos Mf (Momento Flector) a esa demanda de las fuer-

zas repartidas que doblan a la viga.


En el interior de la viga se crean cuplas resistentes cuya intensidad

varían de acuerdo al Mf. La cupla de mayor intensidad se da en el punto

medio de la viga, sección (1-1). La parte superior de la viga se encuentra

comprimida y la inferior traccionada. La distribución de los esfuerzos in-

ternos (tensiones) tienen la forma triangular de la figura superior. Las re-

sultantes de ese volumen de tensiones es C para la compresión y T para

la tracción.

Para la geometría del volumen consideramos solo los esfuerzos de

compresión de la parte superior.

Ese prima se compone de fuerzas que se las denomina tensiones y

se las considera la cantidad de kN por centímetro cuadrado de superficie

de la sección. Entonces el valor de “C” será:

(

)

La tensión “σ” que utilizamos es la de rotura, la máxima que so-

porta el material. Esa resultante “C” se ubica a una distancia (2/3)h de la

resultante de tracción “T”. Esa cupla o resistencia interna a la rotura por

flexión se denomina “Mi”, momento interno.

En el instante de la rotura de la viga, las acciones externas superan

a la resistencia interna que forma la cupla.

Rotura cuando Mf > Mi

Para que la viga resulte estable durante su función en el edificio,

sebe cumplirse que:

Estable cuando Mf < Mi

Completando el modelo matemático de la cupla interna:

(

)

(

)

Esto significa que resistencia límite de la viga (cupla interna) es

igual a la tensión de rotura multiplicada por una expresión que depende

de la base y la altura de la viga.

Entonces el factor de proporcionalidad es:

Esta expresión se llama “Módulo resistente” de una viga de sec-

ción rectangular. La fórmula final de la teoría de la flexión:



El problema es determinar la resistencia última o el momento flec-

tor máximo que puede soportar la viga de la figura, planteado de otra

manera; establecer la magnitud de la carga “P” concentrada en el medio:

Longitud de la viga: l = 5 metros.

Material: madera dura.

Tensión de rotura en flexión: 45 Mpa.

Lado “b”: 12,5 cm

Lado “h”: 25,0 cm

Momento flector externo: Mf = Pl/4

Momento de cupla interno: Mi = σW

W = bh2/6 = 12,5 . 25

2 / 6 = 1.302 cm

3 = (1.302 cm

3 / 1.000.000

cm3/m

3)

Mi = 45 Mpa . 0,0013 m3 = 0,0585 Mpa . m

3 = 0,0585 (MN/m

2) .

m3 = 0,0585 MNm = 58,5 kNm

La carga de rotura será:

Mi = Mf Mi = 58,5 kNm = Mf = Pl/4 = P . 5 / 4 = P . 1,25

P = 58,5 / 1,25 = 46,8 kN ≈ 4.680 kg

Esa es la carga que lleva a la rotura a la viga. Luego, en el capítulo

de esfuerzos internos vamos a desarrollar el concepto de tensión admisi-

ble y el de coeficiente de seguridad para el dimensionado final de las

piezas.


2. Momento de inercia de una superficie.

General.

Es un concepto que pertenece a la familia del “Módulo Resisten-

te” (W), es más complejo de interpretar. En general se lo usa para esta-

blecer el grado de rigidez que posee la viga, se lo combina con el valor

“E” (Módulo de Elasticidad) del material.

Veremos que la rigidez de la pieza es: EI (el producto del módulo

de elasticidad del material por el momento de inercia de la sección). Re-

cordemos que en el punto anterior, la “resistencia a flexión” resultaba:

σW, el producto de la tensión del material por el módulo resistente de la

sección.

Vemos se multiplican valores característicos del material con una

entidad matemática de la forma de la sección. Por ejemplo para conocer

el descenso que sufre la parte media de la viga anterior, con la carga de

rotura, se utiliza la expresión:

Esta expresión la utilizaremos en la visualización práctica.

Desarrollo matemático.

Al momento de inercia “I” se lo conceptualiza como la suma de

los productos de las superficies por sus distancias al eje baricéntrico ele-

vada al cuadrado.

Por ejemplo en la figura que sigue consideramos una superficie

elemental dF = bdy que está a una distancia “y” del baricentro. Entonces

la sumatoria de la superficie elemental por su distancia al cuadrado lo re-

solvemos con una integral:

∫

∫

*

+

*(

)

(

)

+

(

)

Entonces:

La unidad es cm4.

3. Radio de giro “i”. El radio de giro es una longitud que cuya unidad puede ser el cen-

tímetro o el metro. También es una entidad matemática que expresa una


condición geométrica de la sección, en realidad es parte del Momento de

Inercia “I”.

El “I” es una longitud elevada a la cuarta potencia (m4), si la divi-

dimos por la superficie “S” de la figura nos quedará la unidad (m2). Si

por fin le aplicamos una raíz cuadrada conseguimos una distancia (m).

Veamos, para una sección rectangular:

√

√ (

)

√

El significado de “i” está muy bien definido en el libro “Intuición

y razonamiento del diseño estructural” de Moisset, al decir que el radio

de giro es una longitud que representa la distancia a la que habría que

colocar la totalidad del área para obtener el mismo momento de inercia

que la sección maciza.

La superficie total de la figura: S = bh

La mitad de esa superficie: S/2 = bh/2

La inercia de la sección maciza: bh3/12

Imaginemos una sección donde b = 10 cm y h = 20 cm.

El momento de inercia de masa total:

I = bh3/12 = 10 . 20

3 / 12 = 6.667 cm

4

La misma inercia anterior la obtenemos usando el radio de giro:

I = 2 . (bh/2) . i2 = 2 . (10.20/2) . (20/3,46)

2 = 6.667 cm2

La función o utilidad del “i” los veremos en párrafos siguientes.

4. Relación entre el “W” y el “I”. Sabemos hasta ahora que ambos provienen de maniobras aritméti-

cas realizadas con la base “b” y la altura “h”, entonces debe haber una

relación entre ellos, hacemos I/W:

El momento de inercia “I” resulta de multiplicar al módulo resis-

tente “W” por (h/2), la mitad de la altura de la viga.


5. Relación entre la geometría y las car-gas.

General.

En este espacio consideramos a la geometría de las secciones

transversales de las piezas estructurales de dos formas: superficie y for-

ma. Por otro lado consideramos las cargas también de dos maneras:

aquellas que actúan en la misma dirección que el eje longitudinal de la

pieza (columnas) y las otras que descargan en forma perpendicular a ese

eje (vigas).

Con esta propuesta de geometría y cargas, vamos a ver la manera

que se combinan y obtendremos una interesante respuesta.

Cargas en la misma dirección que el eje.

Son los tensores o cables que trabajan a tracción, las cargas por su

dirección y sentido corrigen cualquier desviación de la pieza, son auto

correctivas. La tensión o esfuerzo dentro del material será:

En el caso que las cargas sean de compresión, si la pieza es robus-

ta y no exista excentricidad, la expresión del esfuerzo es igual al del

efecto de tracción: fuerza sobre superficie.

Resumen: la tensión es la relación de la carga con la superficie.

Cargas normales a la dirección del eje.

Son las piezas sometidas a flexión, las vigas. En estos casos la

tensión de trabajo en la sección media, será:

Recordemos que:

Resumen: la tensión es la relación del Mf con la “forma” de la

sección expresa con el Me.

Pandeo.

Cuando las columnas son muy esbeltas, las cargas de compresión

producen un fenómeno de inestabilidad geométrica que se llama pandeo.

Ahora mostramos en forma directa la expresión matemática que lo re-

presenta, luego en capítulos próximos desarrollamos la teoría. Para ali-

viar la lectura advertimos que la transcribimos solo para ver como se re-

lacionan las cargas con las formas y las características del material.


La tensión en pandeo:

(

)

Complicada la fórmula. Observemos solo el último término; nos

dice que la tensión crítica, cuando la pieza ingresa en pandeo es función

de:

π: pi.

E: Módulo de elasticidad del material (Mpa).

i: radio de giro (m).

s: altura de la columna (m).

Notable; no figura la carga. Desde el aspecto geométrico, esta ten-

sión es función:

Del radio de giro “i” que es una expresión matemática que

indica la separación teórica de las masas del material res-

pecto del eje neutro.

De la altura “s” de la columna.

Del “Módulo de Elasticidad”, característico en cada mate-

rial.

6. Resumen. En todas las piezas donde actúas las cargas, el esfuerzo interior es

una función que tiene por variables la solicitación, la superficie y la for-

ma. En el caso de cargas simples (tracción y compresión) se toma la su-

perficie, en situación de flexión se toma el módulo resistente. Una situa-

ción particular es la de pandeo que no figura la carga pero aparece otra

dimensión de la pieza: la altura de la columna, el radio de giro y el “E”.

En realidad en el único fenómeno donde no aparece la dimensión

longitudinal es la de tracción y compresión, porque en flexión, la longi-

tud de la viga está incorporada al Mf.

Este tema de la dimensión longitudinal fue un dolor de cabeza pa-

ra los sabios del Renacimiento. La discusión se presentaba de la siguien-

te manera: Un cable aumenta su resistencia cuando mayor es su longitud.

No aumenta, pero surge un nuevo fenómeno que no se lo conocía en ésa

época: la energía o el trabajo. Sabemos ahora que el trabajo es el produc-

to de la fuerza por su desplazamiento: en el cable corto el desplazamien-

to para la rotura es reducido. Para un cable muy largo por la propia elas-

ticidad del cable, la fuerza debe desplazarse una distancia mayor.

Si bien no es tema de este capítulo, es conveniente destacar la di-

ferencia entre “trabajo” y “energía”. El primero, el trabajo, dijimos que

es el producto por la distancia que se desplaza, pero un instante antes de

la rotura, el cable tiene energía acumulada en su interior. El trabajo exte-

rior se transforma en energía elástica interna.

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