analisis vectorial

ANALISIS VECTORIAL

CAPITULO 1ANLISIS VECTORIAL 1.1 INTRODUCCION

En este captulo hacemos un resumen de los conceptos del anlisis vectorial que sern necesarios para comprender las relaciones entre los campos electromagnticos y sus fuentes. Los conceptos de gradiente, divergencia, rotacional y laplaciano son introducidos como conceptos independientes del sistema de coordenadas. Luego se explica cmo obtener las respectivas expresiones en coordenadas cartesianas, esfricas y cilndricas. Se generaliza el mtodo a coordenadas curvilneas ortogonales.Tambin incluimos en este resumen el concepto de ngulo slido, las propiedades de la funcin delta de Dirac y el teorema de Helmholtz.1.2CAMPOS ESCALARES Y CAMPOS VECTORIALES

En electromagnetismo como en cualquier otra rama de la fsica se trabaja fundamentalmente con magnitudes escalares y magnitudes vectoriales. Ejemplo tpico de magnitud escalar es la temperatura y de cantidad vectorial, la velocidad.

Sin considerar variaciones con el tiempo, para describir la temperatura de una regin del espacio necesitamos en el caso ms general funciones de R3 en R.

Definicin: A las funciones de R3 en R que describen magnitudes escalares en una regin del espacio se les llama Campos Escalares.

Para describir las velocidades de las partculas de un fluido en una regin del espacio, en un instante dado, necesitamos en general funciones de R3 en R3.

Definicin: A las funciones de R3 en R3 que describen magnitudes fsicas vectoriales se les llama Campos Vectoriales.

2 Capitulo 1 Anlisis Vectorial .

1.3 GRADIENTE Definicin: Se llama gradiente de un campo escalar al campo vectorial grad f tal que: (1)donde es el incremento de la funcin cuando el argumento cambia de

La expresin correspondiente en el anlisis de funciones de R en R es:

Expresin para gradiente en coordenadas cartesianas:

Observando que el incremento del campo f cuando el vector posicin cambia de a tambin puede escribirse en la forma:

y que el vector desplazamiento infinitesimal en coordenadas cartesianas es:

Entonces, tendremos:

(2) Divergencia y teorema de la divergencia 3

1.4 DIVERGENCIA Y TEOREMA DE LA DIVERGENCIA

Definicin: La divergencia de un campo vectorial es el campo escalar:

(3)

TEOREMA DE LA DIVERGENCIA: Dado un campo vectorial y una superficie cerrada S, entonces:

donde V es el volumen encerrado por la superficie S.

PRUEBA:Si el volumen V encerrado por S lo dividimos en dos partes, V1 y V2, por una superficie S0. Cada una de las partes quedar encerrada por superficie S1 y S2 respectivamente; siendo S0 una superficie comn. Es evidente que:

Si el volumen se divide en N elementos : (i)

Si N es muy grande y V muy pequeo, aplicamos la definicin de divergencia

(ii)Reemplazando (ii) en (i)

Luego:

(4)


Divergencia en coordenadas cartesianas:

En cualquier punto del espacio, en particular en (x, y, z) existe un vector

Aplicando la definicin de divergencia a la geometra de la fig.(2) tenemos:

El flujo a travs de la superficie del paraleppedo es la suma de los flujos a travs de todas las caras:

(i)

(ii) (i) + (ii) : (iii)Anlogamente: (iv)y . (v)Sumando (iii) + (iv) + (v) obtenemos:

Luego: (5)

Rotacional y teorema de Stokes 5

1.5 ROTACIONAL Y TEOREMA DE STOKES

Definicin: Rotacional de un campo vectorial es un campo vectorial cuya componente a lo largo de una direccin es: (6)dondees un elemento de superficie perpendicular a , y Cn es el borde de recorrido en sentido positivo segn la regla de la mano derecha.Para determinar completamente el campo vectorial necesitamos por lo menos hallar sus componentes en tres direcciones linealmente independientes.

TEOREMA DE STOKES: Dado un campo vectorial y una trayectoria cerrada C, entonces:

donde S es cualquier superficie limitada por C.PRUEBA

Si partimos la superficie S en un nmero muy grande de elementos limitados por trayectorias cerradas Ci puede comprenderse que:

(i)

Si es muy pequeo (tiende a cero), de acuerdo con la definicin (ec (6))

(ii) reemplazando (ii) en (i):

Si N tiende a infinito: (7)6 Capitulo 1 Anlisis Vectorial .

Rotacional en coordenadas cartesianas: Aplicamos la definicin de rotacional (ec.(6)) al rectngulo de la figura (3) para hallar la componente x de

(*)

donde:

(i)

(ii) (iii) (iv)Sumando miembro a miembro (i) + (iii) y (ii) + (iv) se obtiene respectivamente: (v) (vi)Sumando miembro a miembro las ecs. (v) + (vi)

(vii)y reemplazando (vii) en (*) concluimos que:

Por analoga se pueden obtener expresiones similares para las otras componentes cartesianas del rotacional, obteniendo finalmente: (8)

Operador vectorial Nabla 7

1.6 OPERADOR VECTORIAL NABLA Como una tcnica memorstica, para recordar rpidamente las expresiones de gradiente, divergencia y rotacional en coordenadas cartesianas es conveniente definir el operador vectorial nabla.Definicin: Se llama operador vectorial nabla al ente:

No tiene ningn significado por s solo pero opera como si fuera un vector. Con ayuda de este operador podemos obtener las expresiones grad f , div, rot en coordenadas cartesianas:

El gradiente de un campo escalar f es el producto del vector por el campo escalar f

(2a)La divergencia de un campo vectorial es el producto escalar del vector por el campo vectorial

(5a)El rotacional de un campo vectorial es el producto vectorial del vector por el campo vectorial


(8a)

Ntese que en los tres productos que acabamos de definir no tiene sentido hablar de conmutatividad.

Definicin: Dado un campo escalar f se llama Laplaciano de f, a la divergencia del vector grad f.

La expresin para el laplaciano en coordenadas cartesianas es:

(9)Definicin: Dado un campo vectorial se llama laplaciano vectorial de al campo vectorial:

(10)Con la ayuda del operador vectorial nabla podemos construir otros operadores vectoriales como por ejemplo:

Identidades vectoriales 9

1.7 IDENTIDADES VECTORIALES:Las siguientes identidades vectoriales pueden demostrarse usando los conceptos mencionados anteriormente y sern usadas a lo largo del curso para explicar las propiedades de los campos electromagnticos.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)


1.8 COORDENADAS ESFRICAS

Recordamos aqu las relaciones entre las coordenadas cartesianas y coordenadas esfricas. (11a)

(11b)El vector posicin , en funcin de las coordenadas esfricas y los vectores unitarios cartesianos, puede escribirse:

(12)Definicin: Los vectores unitarios esfricos; ; quedan definidos como la direccin y sentido en que cambia el vector posicin al aumentar slo respectivamente; es decir:

(13)De las expresiones (12) y (13) obtendremos la relacin entre los vectores unitarios esfricos y cartesianos:

(14)

De las ecs. (14) se pueden deducir las siguientes relaciones inversas:

(15)

Coordenadas esfricas 11

Obsrvese de las ecs. (14) que los vectores unitarios esfricos son perpendiculares entre s, es decir:

y adems satisfacen las relaciones:

DESPLAZAMIENTO ELEMENTAL Si a partir del punto P nos desplazamos a otro punto muy cercano, el vector posicin variar de a , donde se puede escribir en la forma: (16)es decir, cualquier desplazamiento infinitesimal puede descomponerse en tres desplazamientos a lo largo de las direcciones de los vectores unitarios.

ELEMENTOS DE SUPERFICIE Cada par de componentes del desplazamiento infinitesimal define un elemento diferencial de rea perpendicular al tercer vector unitario esfrico. As

(17)

Recurdese que dar est sobre la esfera r = cte., sobre el cono = cte., y sobre el plano = cte. Un elemento de rea arbitrario tendr proyecciones sobre las tres superficies mencionadas y podr ser considerada como un vector con componentes en las direcciones de los tres vectores esfricos unitarios: (18)12 Capitulo 1 Anlisis Vectorial .

ELEMENTO DIFERENCIAL DE VOLUMEN Las tres componentes del vector desplazamiento elemental, , definen un paraleppedo rectangular cuyo volumen es:

(19)

GRADIENTE A partir de la definicin ec (1) y de la expresin para el desplazamiento elemental ec (16) se obtiene:

(20)DIVERGENCIA Usando la definicin de divergencia, ec (3); as como las expresiones para los elementos de rea y de volumen, ecs. (17) y (19).

(21)

ROTACIONAL Usando la definicin de rotacional, ec.6, as como las expresiones para los elementos infinitesimales de desplazamiento y de rea obtenemos:

(22)LAPLACIANO A partir de la definicin de laplaciano y las expresiones para grad y div en coordenadas esfricas podemos obtener:

(23) Coordenadas cilndricas 13

1.9 COORDENADAS CILNDRICAS

Relaciones de las coordenadas cilndricas con las coordenadas cartesianas:

(24a)

(24b)

Vector posicin en coordenadas cilndricas y en funcin de los vectores unitarios cartesianos:

(25)Vectores unitarios de las coordenadas cilndricas:

(26)

Relaciones inversas:

(27)

Relaciones de ortonormalidad: Los vectores unitarios cilndricos satisfacen:


Elemento diferencial de desplazamiento:

(28)

Elementos diferenciales de rea:

(29)

Elemento diferencial de volumen:

(30)

GRADIENTE:

(31)DIVERGENCIA:

(32)

ROTACIONAL:

(33)LAPLACIANO:

(34) Coordenadas curvilneas ortogonales 15

1.10 COORDENADAS CURVILNEAS ORTOGONALES Relaciones de las coordenadas curvilneas ortogonales con las coordenadas cartesianas:

(35a) (35b)Vector posicin en coordenadas curvilneas ortogonales y en funcin de los vectores unitarios cartesianos: (36)Vectores unitarios en coordenadas curvilneas ortogonales:

(37) Relaciones de ortonormalidad:

Desplazamiento elemental:

(38)

, 16 Capitulo 1 Anlisis Vectorial .

Elementos diferenciales de rea:

(39) Elemento diferencial de volumen:

(40)GRADIENTE:

(41)DIVERGENCIA:

(42)ROTACIONAL: (43)LAPLACIANO:

(44) ngulo slido 17

1.11 ANGULO SLIDODefinicin. El elemento de ngulo slido subtendido en un punto P (que tomamos como origen de coordenadas) por el elemento de rea cuyo centro est ubicado en es:

donde es la componente del vector en la direccin de (vector que va de P al centro del elemento de rea ).

Definicin: Por extensin de la anterior, podemos definir el ngulo slido subtendido en un punto por un elemento de rea cuyo centro est ubicado en el punto .

Definicin: El ngulo slido subtendido en un punto P por una superficie finita S es:

(45)Ejemplo: Calcular el ngulo slido subtendido por un disco de radio R que yace en el plano XY centrado en el origen, en un punto P ubicado a una distancia z sobre el eje perpendicular del disco.

Solucin: Usemos la ec. (45) y refirmonos a la fig. (6):


;

Tendremos entonces:

Ntese que para puntos encima del disco el ngulo es siempre negativo y para puntos debajo del disco el ngulo slido es positivo. (Tiene sentido hablar del signo del ngulo porque hemos asignado explcitamente un sentido al rea del disco, k). Observemos tambin que en z = 0 el slido experimenta una discontinuidad de 4.

Significado geomtrico de ngulo slido: es el rea de la sombra que proyecta sobre una esfera de radio uno centrada en P. De esta afirmacin se deduce que el ngulo slido subtendido por cualquier superficie cerrada S en un punto P dentro de la superficie es 4. Y por un punto fuera de la superficie es cero.

La funcin delta de Dirac 19

1.12 LA FUNCIN DELTA DE DIRAC Para facilitar una variedad de operaciones en Fsica e Ingeniera, Dirac propuso la introduccin de la as llamada funcin delta, representativa de cualquier funcin nula en todo el dominio pero con un pico infinitamente agudo en x = 0.Definicin: Podemos considerar las dos siguientes expresiones como definicin de la funcin delta de Dirac.

(46a) (46b)Propiedad: De la definicin dada se puede demostrar: (47)Definicin: Haciendo un cambio de variable puede extenderse el concepto para funciones que no tienen el pico infinito en x = 0 sino en cualquier otro punto del eje real. (48a) (48b)Propiedad:

(49)20 Capitulo 1 Anlisis Vectorial .

FUNCIN DELTA DE DIRAC EN TRES DIMENSIONESLa definicin dada en las ecs. (46) se puede extender tambin de la siguiente manera, para funciones de R3 en R:

(50a) (50b)Propiedad:

(51)Similarmente, para funciones que tienen el pico infinito en (52a) (52b)Propiedad:

(53)Un caso particular de funcin delta de DiracPuede demostrarse que (54)Prueba:

Aplicando la ec. (21) para la divergencia en coordenadas esfricas puede verse que:

La funcin delta de Dirac 21

Adems, usando el teorema de la divergencia y el concepto de ngulo slido se obtiene:

Efectivamente, hemos visto que la expresin definida en ec. (54) cumple con las dos relaciones que definen la funcin delta de Dirac en 3 dimensiones; adems, teniendo en cuenta que:

La ec (54) tambin puede expresarse como: (55)Y desplazando el origen del sistema de coordenadas: (56a)Tambin: (56b)Finalmente, si derivamos respecto a en lugar de

(57) 22 Capitulo 1 Anlisis Vectorial .

1.13 TEOREMA DE HELMHOLTZ

Es tambin conocido como el teorema fundamental del anlisis vectorial

Teorema: Un campo vectorial continuo , nulo en infinito, puede ser descom- puesto como la suma del gradiente de un campo escalar y el rotacional de un campo vectorial.

(58)

Prueba:

Definamos el campo auxiliar.

y tommosle el laplaciano vectorial:

De acuerdo con ec. (57):

Vemos que el campo se puede escribir como el laplaciano del campo auxiliar

Haciendo uso de la identidad vectorial (8)

donde:

Teorema de Helmholtz 23

FRMULA EXPLCITA PARA

Por identidad vectorial 4 (ver seccin 1.7)

Por teorema de la divergencia y expandiendo el dominio de integracin hasta infinito.

(59)FRMULA EXPLCITA PARA


Aplicando la identidad vectorial 6 de la seccin 1.7 tendremos:

Aplicando la identidad vectorial 11 al segundo sumando del segundo trmino y efectuando la integral de superficie sobre una superficie muy alejada (en infinito) se obtiene:

(60)

Conclusin: De las ecuaciones (58), (59) y (60) se concluye que si conocemos el rotacional y la divergencia de un campo vectorial entonces podemos obtener una expresin explcita para dicho campo. Problemas 25

PROBLEMAS1. Definicin alternativa de rotacional. Demostrar que la definicin de rotacional:

es equivalente a la definicin dada en la ecuacin (6).

2. Demostrar la identidad vectorial (11) de la seccin 1.7

3. A partir de la definicin de rotacional, ec. (6), obtenga la siguiente expresin

coordenadas cilndricas.

4.A partir de la definicin de divergencia, ec.(3), obtenga la siguiente expresin, vlida para un campo de la forma:

5.Verifique las siguientes identidades vectoriales:

a)

b)

c)

d)

6. Evale:

a)

b)


7.a)Demuestre:

b) Evale:

y

8.Si:

Encontrar:

a) , b) , c) , d) , e)

9.Dado el campo , evaluar el flujo de a travs de una esfera de radio R centrada en el origen.

10Dado el campo vectorial

Evaluar:

a) div en el punto: x = 3 , y = 4 , z = 2

b) rot en el punto: x = 2 , y = 0 , z = 0

c) , donde S es el hemisferio superior (encima del plano XY ) de radio R = 3

d) el flujo de a travs de la superficie de un cubo de lado = 3 centrado en el origen de coordenadas.

11.Si S es cualquier superficie cerrada S que encierra un volumen V y

probar que

Problemas 27

12.Dado el campo vectorial:

Evaluar:

a) El flujo de a travs de una esfera de radio R centrada en el origen.

b) La circulacin de a travs de una circunferencia de radio R centrada en el origen y en el plano XY.

13.a)Representar el campo vectorial :

en coordenadas esfricas, especificando .

b)Evaluar el flujo de a travs de una esfera de radio 5 centrada en el origen.

c) Evaluar la circulacin de a travs de una circunferencia de radio 2 centrada en el origen y ubicada en el plano XY.

14.Sea:

a) Evale el flujo de travs del cilindro cerrado de altura 2h, radio R y centrado en el origen.

b) Evale la circulacin de a travs de la circunferencia C :

15.Dado el campo vectorial:


a)Halle rot en el punto .

b)Halle div en el punto .

c) Evale la circulacin de a travs del rectngulo con vrtices: (2, 2, 1) ; (2, 2, 1) ; (2, 2, 1) ; (2, 2, 1).16.Dado el campo escalar: demostrar:

a)

,b)

17.Sea el campo vectorial , donde k es una constante;

a) Obtenga y

b) Halle un campo escalar f tal que ; si no es posible, explique la razn.

c) D una expresin para un campo vectorial tal que ; si no es posible explique la razn.18.Demostrar que el campo vectorial : es irrotacional y solenoidal ; encuentre un campo tal que .

19.Dado el campo vectorial: y la superficie S : esfera de radio R centrada en el origen, verificar el teorema de la divergencia. Explique qu sucede.

20.Evaluar la integral de lnea desde (0,0,0) hasta (1,2,4) si :

a)a lo largo del segmento de recta que une los puntos dados.

b)a lo largo de la curvax = t2 , y = 2 t , z = 4 t 3

Problemas 29

21.Dado el campo vectorial expresado en coordenadas cilndricas:

evaluar la circulacin de a travs de una circunferencia de radio R centrada en el eje Z y en un plano paralelo al plano XY. Es un campo vectorial conservativo?.

22.Evaluar :

donde : y S la superficie :

a) el hemisferio x2 + y2 + z2 = 16 sobre el plano XY.

b) el paraboloide z = 4 ( x2 + y2 ) sobre el plano XY.

23.Usando los teoremas de la divergencia y/o de Stokes, si lo considera conveniente, evaluar las siguientes integrales:

a) donde S una esfera de radio R centrada en el origen.

b)

, donde ; C : circunferencia radio = 1 ubicada en el plano z = 2 y centrada en el eje Z.

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Figura 1

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Z

.

.

(x,y,z)

Y

EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Figura 2

X

Ci

EMBED Equation.3

Figura 3

C

C

EMBED Equation.3

Z

Y

X

D

( x, y, z )

EMBED Equation.3

B

A

EMBED Equation.3

Figura 4

EMBED Equation.3

Z

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

da

X

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Y

Figura 5

Y

X

Figura 6

R

EMBED Equation.3

Z

EMBED Equation.3 P

P

Figura 7. El ngulo slido subtendido en P por ACB es el mismo que el subtendido por ADB, pero de signo contrario. EMBED Equation.3 .

A

C

D

B

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

PAGE

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