tipos y estudio de los principales movimientos (cinemÁtica) unidad 12

TIPOS Y ESTUDIO DE LOS PRINCIPALES MOVIMIENTOS

(CINEMÁTICA)

TIPOS Y ESTUDIO DE LOS PRINCIPALES MOVIMIENTOS

(CINEMÁTICA)

Unidad 12

Contenidos (1)Contenidos (1)

1.- Definición de Cinemática.

2.- Clasificación de los movimientos:

3.- Movimiento rectilíneo uniforme.

4.- Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Caída libre.

5.- Composición de movimientos:5.1. Dos movimientos MRU perpendiculares.

5.2. Tiro horizontal.

5.3. Tiro oblicuo.

Contenidos (2)Contenidos (2)

6.- Movimiento circular uniforme.

7.- Movimiento circular uniformemente acelerado.

Definición de CinemáticaDefinición de Cinemática

Es la ciencia que estudia el movimiento sin preocuparse de las causas que lo producen, es decir, de las fuerzas.

Las únicas magnitudes que se usan son, pues, la posición y el tiempo y las derivadas de ambas, es decir, la velocidad y la aceleración.

Para medir el espacio definiremos un sistema de referencia y el vector posición r (r).

Tipos de movimientosTipos de movimientos Según sean “”at “y “an” los movimientos se clasifican

en: Variación en “at”

– at = 0; v = 0, es decir, la rapidez es constante Mov. Mov.

Uniforme.Uniforme.

– at = k; es decir, la rapidez varía proporcionalmente al tiempo Mov. Uniformemente acelerado.Mov. Uniformemente acelerado.

– at k; es decir, la rapidez no es directamente proporcional al tiempo Mov. Variado.Mov. Variado.

Tipos de movimientos (cont.)Tipos de movimientos (cont.) Variación en “an”

– an = 0 (porque R= ); no hay variación en la trayectoria Mov. Rectilíneo.Mov. Rectilíneo.

– an 0 y R = k; la trayectoria es circular Mov. Circular.Mov. Circular.

– an 0 y R k ; la trayectoria cambia continuamente de radio Mov. Curvilíneo.Mov. Curvilíneo.

Movimiento Rectilíneo UniformeM.R.U.

Se cumple que a = 0at = 0

an = 0

Ecuación del movimiento.Ecuación del movimiento. Si a = dv/dt = 0, significa que v es constante y no

depende del tiempo (no cambia ni el módulo ni la dirección), ya que sólo la derivada de una constante da 0.

dv = a · dt. Integrando: v = ∫ dv = ∫ a · dt = k EjemploEjemplo: : Sea v = 3 i m/s a = 0 Para obtener la posición se vuelve a integrar:

r = ∫ dr = ∫ v ·dt = v · t + r0 Ecuación Ecuación (r0 = constante) vectorialvectorial

EjemploEjemplo: : Sea r = ∫ (3 i) m/s · dt == (3 t + k) · i m

9Ejercicio: Sea un movimiento cuya ecuación de velocidad es: v = (3 i + 4 j –6 k) m/s. Determinar la ecuación vectorial de la posición suponiendo que para t = 0 su posición es r0 = (2 i + k) m, ¿cuál será su posición en el instante t = 2 s?

Ejercicio: Sea un movimiento cuya ecuación de velocidad es: v = (3 i + 4 j –6 k) m/s. Determinar la ecuación vectorial de la posición suponiendo que para t = 0 su posición es r0 = (2 i + k) m, ¿cuál será su posición en el instante t = 2 s?

r = ∫dr = ∫ v · dt = v · t + r0 =

= [(3 i + 4 j –6 k) · t + (2 i + k)] m

r = [(3 t + 2) i + 4 t j + (–6 t + 1) k] m

r (t = 2 s) = [(3 · 2 + 2) i + 4 ·2 j + (–6 ·2 + 1) k] m

= (8 i + 8 j– 11 k) m

r (t = 2 s) = (8 i + 8 j – 11 k) m

Ecuación escalar del movimiento.Ecuación escalar del movimiento.

Como el movimiento es rectilíneo, lo más sencillo es situarlo en el eje de las “x” con lo que:

v = vx · i = k · i r = x · i = (x0 + vx · t) · i Eliminando i de ambas miembros de las

ecuaciones nos queda:

vvxx = k = k ;; x = xx = x0 0 + v+ vxx· t· t

que se les denomina ecuaciones escalares.

Ecuaciones escalares del MRU en tres dimensiones.Ecuaciones escalares del MRU en tres dimensiones. Si no está situado en el eje “x” v = vx · i + vy · j + vz · k en donde vx, vy, vz son tres

constantes. Entonces r = x · i + y · j + z · k =

= (x0 + vx · t) · i + (y0 + vy · t) · j + (z0 + vz · t) · k Y las ecuaciones escalares quedarían:

vvxx = k = k11 ; ; x = xx = x0 0 + v+ vxx· t· t

vvyy = k = k22 ; ; y = yy = y0 0 + v+ vyy· t· t

vvzz = k = k33 ; ; z = zz = z0 0 + v+ vzz· t· t

Ejercicio: Escribir las ecuaciones escalares del movimiento anterior cuya ecuación de velocidad era: v = (3 i + 4 j –6 k) m/s, y su posición inicial venía determinada por r0 = (2 i + k) m.

Ecuaciones escalares

de velocidadde posición

vx = 3 m/s ; x = (2 + 3 t) m

vy = 4 m/s ; y = 4 t m

Vz = –6 m/s ; z = (1 – 6 t) m

Representación gráfica x/t. Representación gráfica x/t.

Al representar “x” frente a “t” se obtiene una recta cuya pendiente es “v” (v = tg ) y la ordenada en el origen es x0.

x = v · t + x 0

Representación gráfica v/t Representación gráfica v/t

Al representar “v” frente a “t” se obtiene una recta horizontal ya “v” es constante y no varía con “t”.

v(m/s)

vx = k

Movimiento Rectilíneo Uniformemente acelerado

M.R.U.A

Movimiento Rectilíneo Uniformemente acelerado

M.R.U.A

Se cumple que a = k · ut

at = k = aan = 0

Como la dirección no varía ut puede coincidir con cualquier vector unitario i, j o k.

Ecuaciones del movimiento. MRUAEcuaciones del movimiento. MRUA a = dv/dt = ax · i significa que la v varía con el

tiempo siempre al mismo ritmo. dv = a dt. Integrando: v = ∫dv = ∫a · dt = a · t + v0 (v0 = constante)

v = a · t + v0

Para obtener la posición se vuelve a integrar: r = ∫dr = ∫v · dt = ∫(a · t + v0) · dt

r = ½ a · t2 + v0 · t + r0 (r0 = constante) Si el movimiento transcurre a lo largo del eje “x”

la ecuación vectorial se expresará como: r = x i = (½ ax · t

2 + v0x· t + x0) i

Ejemplo: Sea un el movimiento definido por las siguientes constantes a = (5 i) m/s2 y v0 = 3 i m/s

r0 = 4 i m. Determina las ecuaciones vectoriales de la

velocidad y de la posición.

Ejemplo: Sea un el movimiento definido por las siguientes constantes a = (5 i) m/s2 y v0 = 3 i m/s

r0 = 4 i m. Determina las ecuaciones vectoriales de la

velocidad y de la posición.

v =∫ a · dt = ∫ (5 i) m/s2 dt

v = (5 m/s2 · t + 3 m/s) i r = ∫ v · dt = ∫ (5 m/s2 · t + 3 m/s) i · dt

r = (5/2 m/s2 · t2 + 3 m/s · t + 4 m) i

18Ejercicio: Sea un movimiento cuya ecuación de velocidad es: v = (4· t +2 ) j m/s. Determinar la ecuación vectorial de la aceleración y de la posición. Suponiendo que para t = 0 su posición es r0 = 3 j m, ¿cuál será su posición en el instante t = 2 s?

Ejercicio: Sea un movimiento cuya ecuación de velocidad es: v = (4· t +2 ) j m/s. Determinar la ecuación vectorial de la aceleración y de la posición. Suponiendo que para t = 0 su posición es r0 = 3 j m, ¿cuál será su posición en el instante t = 2 s?

a = dv/dt = 4 j m/s2

r = ∫ dr = ∫ v · dt = ∫(4· t + 2 ) j dt =

= (½ ·4 t2 + 2 t + 3) j m

r = (2 t2 + 2 t + 3) j m

r (t = 2 s) = [2 (2)2 + 2 ·2 + 3] j m =

= (8 + 4 + 3) j m r (t = 2 s) = 15 j m

Ecuaciones escalar del movimiento.Ecuaciones escalar del movimiento. Como el movimiento es rectilíneo, lo situaremos en uno de los

ejes, por ejemplo el “x” con lo que: v = vx · i = a t + v0 = (ax · t + v0x) · i

r = x · i = (x0 + v0x · t + ½ · ax · t2 ) · i Eliminando el vector unitario i quedan las ecuaciones escalares:

vvxx = a = axx · t + v · t + v0x0x ; x = x ; x = x0 0 + v+ v0x0x · t + ½ a · t + ½ axx · t · t22

Si el movimiento sucede en el eje “y” vertical (caída libre) y tomando g = 9’8 m/s2, ay = –g (sentido hacia abajo) y las ecuaciones serán: vvyy = v = v0y0y– g · t ; y = y– g · t ; y = y0 0 + v+ v0y0y · t – ½ g · t · t – ½ g · t22

Ecuación vx = f(x).Ecuación vx = f(x).Despejando “t en la ecuación vvxx = a = axx · t + v · t + v0x0x :

vx –vox t = ————

y sustituyendo en x = xx = x0 0 + v+ v0x0x · t + ½ a · t + ½ axx · t · t22

vx –vox 1 (vx –vox)2

x = x0 + v0x · ——— + — ax · ———— ax 2 ax

2 ax( x – x0) = 2 vx·vox – 2 vox2 + vx

2 + vox2 – 2 vx·vox

Despejando vx:

vvxx22 = v = voxox

2 2 + 2 a+ 2 axx( x – x( x – x00))

Ejercicio: Sea el movimiento anterior cuya ecuacionesdel movimiento eran: a = 4 j m/s2; v = (4· t +2 ) j m/s;r = (2 t2 + 2 t + 3) j m. Determinar sus ecuaciones escalares.

vvyy = a = ayy · t + v · t + v0y0y ; y = y ; y = y0 0 + v+ v0y0y · t + ½ a · t + ½ ayy · t · t22

Comparando con la ecuación general observamos que las constantes del movimiento son:

ay = 4 m/s2 ; v0y = 2 m/s; y0 = 3 m Y las ecuaciones escalares: ay = 4 m/s2

vy = (4 t + 2) m/s

y = (3 + 2 · t + 2 t2) m

Representación gráfica a/tRepresentación gráfica a/t

Al representar “a” frente a “t” se obtiene una recta horizontal ya “a” es constante y no varía con “t”.

aX (m/s2)

ax = k

Representación gráfica v/tRepresentación gráfica v/t

Al representar “v” frente a “t” se obtiene una recta cuya pendiente es “ax” (ax = tg ) y la ordenada en el origen es v0x.

v x = v 0x

+ a x · t

Vx (m/s)

Representación gráfica x/t Representación gráfica x/t

Al representar “x” frente a “t” se obtiene una parábola cuya pendiente “v” varía con el tiempo y que vale 0 cuando el movimiento cambia de sentido (v = tg ) y la ordenada en el origen es x0.

Ejercicio: Representar las gráficas ay/t, vy/t, y/t del movimiento anterior cuyas ecuaciones eran: a = 4 j m/s2;v = (4· t +2 ) j m/s; r = (½ ·4 t2 + 2 t + 3) j m .

ay (m/s2)

t(s) vy (m/s)

101418

Vy (m/s)

12 m/s

tg = (12m/s)/3 s = 4 m/s2

(Continúa en la diapositiva siguiente)

Ejercicio: Representar las gráficas a/t, v/t, y/t del movimiento anterior cuyas ecuaciones eran: a = 4 j m/s2;v = (4· t +2 ) j m/s; r = (2 t2 + 2 t + 3) j m .

t(s) y (m)

37152743

(Viene de la diapositiva anterior)

Composición de movimientosComposición de movimientos Se basan en dos principios: P. de Independencia: P. de Independencia: Cuando un móvil tiene dos

movimientos simultáneos, su cambio de posición es independiente de considerarlos simultáneos o sucesivos.

P. de superposición:P. de superposición: La posición, velocidad y aceleración vienen dados por la sumas vectorial de los movimientos parciales.

Si los movimientos transcurren en ejes distintos, se pueden considerar independientes. El tiempo es la única magnitud común para ambos.

Composición de dos movimientos uniformes perpendiculares.Composición de dos movimientos uniformes perpendiculares.

La ecuación de velocidad será:v = vx · i + vy · j , siendo vx y vy constantes.

La ecuación de la posición será:r = x · i + y · j = (x0 + vx· t) · i + (y0 + vy· t) · j

En la práctica se tienen dos ecuaciones independientes con el “tiempo” común:

vvxx = k ; v = k ; vyy = k’ ; x = x = k’ ; x = x0 0 + v+ vxx· t ; y = y· t ; y = y0 0 + v+ vyy· t· t Despejando “t” en una ecuación y sustituyendo en la otra se

obtiene la ecuación de la trayectoria: vvyy

y = yy = y0 0 + —– · (x – x+ —– · (x – x00) Ec. de una recta ) Ec. de una recta v vxx

29Ejemplo: Se desea cruzar un río de 50 m de ancho con una barca llevando un velocidad de 5 m/s. ¿Que dirección deberá tomar para cruzar justo enfrente si la velocidad del agua es de 3 m/s y qué tiempo tardará en conseguirlo?

Ejemplo: Se desea cruzar un río de 50 m de ancho con una barca llevando un velocidad de 5 m/s. ¿Que dirección deberá tomar para cruzar justo enfrente si la velocidad del agua es de 3 m/s y qué tiempo tardará en conseguirlo?

Vrío = –3 m/s i

Vbarca = (5 ·cos i + 5 ·sen j) m/s50 m

Ecuaciones escalares de velocidadEcuaciones escalares de velocidad::Vx= 5 m/s · cos – 3 m/s ; Vy= 5 m/s · sen

30Ejemplo: Se desea cruzar un río de 50 m de ancho con una barca llevando un velocidad de 5 m/s. ¿Que dirección deberá tomar para cruzar justo enfrente si la velocidad del agua es de 3 m/s y qué tiempo tardará en conseguirlo?

Ejemplo: Se desea cruzar un río de 50 m de ancho con una barca llevando un velocidad de 5 m/s. ¿Que dirección deberá tomar para cruzar justo enfrente si la velocidad del agua es de 3 m/s y qué tiempo tardará en conseguirlo?

Ecuaciones escalares de posiciónEcuaciones escalares de posición:: x = (5 m/s · cos – 3 m/s) · t Para cruzar justo enfrente x = 0 0 = 5 m/s · cos – 3 m/s cos = 3/5 =arc cos 3/5 = 53’13 º53’13 º y = 5 m/s · sen · t = 5 m/s · 0,8 · t Para y = 50 m; 50 m = 4 m/s · t t = 12,5 st = 12,5 s

Tiro parabólicoTiro parabólico Es una composición de dos movimientos: un MRU en el eje

horizontal (de las “x”) y un MRUA (caída libre) en el eje vertical (de las “y”).

Ecuaciones del movimientoEcuaciones del movimiento::a = – g · j ; v = v0x · i + (v0y – g · t) · j

r = (x0 + v0x · t) · i + (y0 + v0y · t – ½ g · t2) · j

v0x = v0 · cos ; v0y = v0 · sen

Normalmente tomaremos x0 = 0 e y0 = h con lo que:

v = v0 · cos · i + (v0 · sen – g · t) · j

r = v0·cos · t · i + (h + v0·sen · t – ½ g · t2)· j

Tiro parabólico (continuación).Tiro parabólico (continuación).

Ecuaciones escalaresEcuaciones escalares (paramétricas)(paramétricas): : vx = v0 · cos ; vy = v0 · sen – g · t

x = v0 · cos · t; y = h + v0 · sen · t – ½ g · t2

Ecuación de la trayectoriaEcuación de la trayectoria (se obtiene eliminando “t” en las ecuaciones de posición):

x x g x2 t = ———– y = h + v0 sen ———— – ————— v0 cos v0 cos 2 (v0 cos )2

g y = h + tg · x – —————— · x2 (parábola) 2 (v0 cos )2

Tiro horizontal (se cumple que: = 0 vx = v0 ; v 0y = 0 vy = – g · t)Tiro horizontal (se cumple que: = 0 vx = v0 ; v 0y = 0 vy = – g · t)

Se suele llamar “h” a la altura inicial (y0)

Ecuaciones escalaresEcuaciones escalares (paramétricas)(paramétricas)::vx = v0 ; vy = – g · t

x = v0 · t ; y = h – ½ g · t2

Ecuación de la trayectoria:Ecuación de la trayectoria: g

y = h – –—— · x2

Tiempo de impacto con el sueloTiempo de impacto con el suelo (y = 0) (y = 0):: –——

0 = h – ½ g · t2 t = 2 h/g

Tiro horizontal (continuación).Tiro horizontal (continuación).

AlcanceAlcance (“x” para y = 0)::

–—— x = v0 · 2 h/g

Velocidad de impacto con el sueloVelocidad de impacto con el suelo::

——– ——–vx = v0 ; vy = – g · 2 h/g = – 2 g h

–——–—v = vx

2 + vy2 ;

–——–———v = v0

2 + 2 g h

35Ejemplo: Una persona lanza piedras horizontalmente desde lo alto de un acantilado de 25 m de altura. Si pretende que caigan a 30 m de la base del acantilado, calcula: a) la velocidad con que debe lanzar las piedras; b) el tiempo que tardan en caer éstas.

Ejemplo: Una persona lanza piedras horizontalmente desde lo alto de un acantilado de 25 m de altura. Si pretende que caigan a 30 m de la base del acantilado, calcula: a) la velocidad con que debe lanzar las piedras; b) el tiempo que tardan en caer éstas.

a)a) De la ecuación del alcance [x = v0 · (2 h/g)½] despejamos “v0”:

x 30 m v0 = ———— = ————————— = 13,28 m/s13,28 m/s

(2 h/g)½ (2 ·25 m/9,8 m/s2)½

b)b) De la ecuación [ x = v0 · t] despejamos “t”:

x 30 m t = —— = ————— = 2,26 s2,26 s

v0 13,28 m/s

Tiro oblicuo (para simplificar, vamos a suponer que se lanza desde el suelo: y0 = h = 0).Tiro oblicuo (para simplificar, vamos a suponer que se lanza desde el suelo: y0 = h = 0).

Ecuaciones escalaresEcuaciones escalares (paramétricas)(paramétricas): : vx = v0 · cos ; vy = v0 · sen – g · t

x = v0 · cos · t; y = v0 · sen · t – ½ g · t2

Ecuación de la trayectoriaEcuación de la trayectoria (se obtiene eliminando “t” en las ecuaciones de posición):

x x g x2 t = ———– y = v0 sen ———— – —————– v0 cos v0 cos 2 (v0 cos )2

g y = tg · x – —————— x2

2 (v0 cos )2

Tiro oblicuo Tiempo de impacto con el suelo (y = 0): Tiempo de impacto con el suelo (y = 0): Tiro oblicuo Tiempo de impacto con el suelo (y = 0): Tiempo de impacto con el suelo (y = 0):

0 = v0 · sen · t – ½ g · t2 Sacando factor común “t”: 0 = (v0 · sen – ½ g · t) · t Cuyas soluciones son: t = 0

2 v0 · sen t = ———————

Tiro oblicuo. Alcance (x para y = 0)::Tiro oblicuo. Alcance (x para y = 0)::

Sacando factor común “x” de la ecuación de la trayectoria e igualando a 0:

0 = [tg – ½ g / (v0 cos )2 · x] · x Cuyas soluciones son: x = 0

x = 2 v02 · cos2 · tg /g = 2 v0

2 sen · cos /g

v02 · sen 2

x = —————— g

A igualdad de velocidad de lanzamiento el valor máximo se obtendrá cuando = 45º

39Tiro oblicuo. Velocidad de impacto con el sueloTiro oblicuo. Velocidad de impacto con el suelo

vx = v0 · cos ; vy = v0 · sen – g · t Sustituyendo “t” por ”2 v0 · sen / g” en vy que es la que varía se tendrá:

vy = v0 · sen – g · ( 2 v0 sen / g)

vy = – v0 · sen ; vx = v0 · cos

———— —————————————v = vx

2 + vy2 = (v0 · cos )2 + (– v0 · sen )2

————————— —— v = v0

2(cos2 + sen2 ) = v02 = v v00

Es decir, siempre que se lance desde el suelo, la velocidad de caída es igual a la de lanzamiento.

40Tiro oblicuo. Altura máxima (y para v(y para vyy = 0). = 0).Tiro oblicuo. Altura máxima (y para v(y para vyy = 0). = 0).

0 = v0 · sen – g · t

De donde t = v0 · sen / g (observa que es justo la mitad que el tiempo de impacto con el suelo)

Sustituyendo “t” por “v0 · sen / g” en la ecuación de posición “y”

y = v0·sen ·(v0·sen /g) – ½ g·(v0·sen / g)2=

= v02· sen2 / g – ½ (v0

2· sen2 / g)

vv002 2 · sen· sen22

y = y = 2 g 2 g

41Ejemplo: Un futbolista chuta hacia puerta con una velocidad de 15 m/s. Calcula: a) el alcance para un ángulo de tiro de 30º, 45º y 60 º; b) el tiempo que el balón permanece en el aire en cada tiro; c) la altura máxima en cada caso.

Ejemplo: Un futbolista chuta hacia puerta con una velocidad de 15 m/s. Calcula: a) el alcance para un ángulo de tiro de 30º, 45º y 60 º; b) el tiempo que el balón permanece en el aire en cada tiro; c) la altura máxima en cada caso.

a) a) v02 · sen 2 (15 m/s)2 · sen 60º

x(= 30º) = —————— = ————————— = 19,9 m19,9 m g 9,8 m/s2

v02 · sen 2 (15 m/s)2 · sen 90º

x(= 45º) = —————— = ————————— = 23,0 m23,0 m g 9,8 m/s2

v02 · sen 2 (15 m/s)2 · sen 120º

x(= 60º) = —————— = ————————— = 19,9 m19,9 m g 9,8 m/s2

b)b) 2 v0 · sen 2 · 15 m/s · sen 30º t (= 30º) = ————— = ————————— = 1,53 s1,53 s g 9,8 m/s2

Análogamente t (= 45º) = 2,16 s2,16 s; t (= 60º) = 2,65 s2,65 s

42Ejemplo: Un futbolista chuta hacia puerta con una velocidad de 15 m/s. Calcula: a) el alcance para un ángulo de tiro de 30º, 45º y 60 º; b) el tiempo que el balón permanece en el aire en cada tiro; c) la altura máxima en cada caso.

Ejemplo: Un futbolista chuta hacia puerta con una velocidad de 15 m/s. Calcula: a) el alcance para un ángulo de tiro de 30º, 45º y 60 º; b) el tiempo que el balón permanece en el aire en cada tiro; c) la altura máxima en cada caso.

c) c) v02 · sen2 (15 m/s)2 · sen 2 30º

y (= 30º) = —————— = ————————— = 2,87 m2,87 m 2 g 2 · 9,8 m/s2

v02 · sen2 (15 m/s)2 · sen 2 45º

y (= 45º) = —————— = ————————— = 5,74 m5,74 m 2 g 2 · 9,8 m/s2

v02 · sen2 (15 m/s)2 · sen 2 60º

y (= 60º) = —————— = ————————— = 8,61 m8,61 m 2 g 2 · 9,8 m/s2

MOVIMIENTOS CIRCULARESMOVIMIENTOS CIRCULARES

Movimientos circularesMovimientos circulares El vector posición r va cambiando

continuamente de dirección y sentido pero no así su módulo: r= R (radio)

Periodo (T):Periodo (T): Es el tiempo que tarda en dar una vuelta completa. Se mide en segundos.

Frecuencia (Frecuencia ():): Es el número de vueltas que da por unidad de tiempo. Se mide en herzios = s–1.

T = 1/T = 1/

Movimientos circulares (cont.).Movimientos circulares (cont.). Ángulo (Ángulo ():): Se mide en rad. Es un vector

perpendicular al plano del ángulo y sentido el del avance del tornillo.

Como 1 vuelta = 360º = 2 rad La distancia recorrida (e) escalar toma el valor: e = e = · R = · R = · R · R

Existen otras dos magnitudes vectoriales que son la velocidad angular () y la aceleración angular () con definiciones similares a sus correspondientes lineales.

Movimientos circulares (cont.).Movimientos circulares (cont.).

Velocidad angular (Velocidad angular ():): = d = d / d t/ d t Tiene la misma dirección y sentido que y se

mide en rad/s. Aceleración angular (Aceleración angular ():): = d = d / d t / d t Tiene la misma dirección que y su mismo

sentido si ésta aumenta y sentido contrario si disminuye. Se mide en rad/s2.

Movimiento Circular UniformeM.C.U.

Se cumple que a 0 at = 0 (v = cte)

an = k (como v = cte R = cte)

Mov. Circular uniforme (MCU).Mov. Circular uniforme (MCU). Como at = at= v / t = 0 v= k La velocidad angular es constante: = · kk = = 2 rad / T (s) = 2 rad · Integrando: = ∫ d = ∫ · d t = · t + 00

En la práctica utilizaremos la ecuación escalar que es similar:

= · t + 0

La celeridad “v” depende lógicamente del radio: e · R

v = —— = ——— = · R t t

49Ejemplo: Las aspas de un molino giran con velocidad angular constante. Si dan 90 vueltas por minuto, calcula: a) la velocidad angular en radianes por segundo; b) la velocidad lineal de un punto de las aspas que se encuentra a 0,75 m del centro; c) el ángulo girado en 10 s.

Ejemplo: Las aspas de un molino giran con velocidad angular constante. Si dan 90 vueltas por minuto, calcula: a) la velocidad angular en radianes por segundo; b) la velocidad lineal de un punto de las aspas que se encuentra a 0,75 m del centro; c) el ángulo girado en 10 s.

a) a) 90 vueltas min 2 rad = ————— · ——— · ———— = 3 3 rad/s rad/s min 60 s vuelta

b)b) 3 rad v = · R = ———— · 0,75 m = 7,1 m/s 7,1 m/s s

c)c) 3 rad = · t = ———— · 10 s = 30 30 rad rad = 15 vueltas

Movimiento Circular Uniformemente acelerado

M.C.U.A

Movimiento Circular Uniformemente acelerado

M.C.U.A

Se cumple que a 0 at = k an k’

Movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA).Movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA).

dv d v d (·R) d at=at= —— = —— = ——— = —— ·R = · R d t d t d t d t

Integrando d = · d t se obtiene la ecuación de la velocidad angular en función del tiempo:

= · t + 0

Volviendo a integrar se obtiene la ecuación del ángulo en función del tiempo:

= ½ · t2 + 0 · t + 0

Relación entre ecuaciones lineales y angulares.Relación entre ecuaciones lineales y angulares.

MRUMRU v = k (constante) Ecuación e = Ecuación e =

f(t):f(t): e = e0 + v · t

MCUMCU = k (constante) Ecuación Ecuación = f(t): = f(t): = 0 + · t

e = e = · R · Rv = v = · R · R

Relación entre ecuaciones lineales y angulares (cont.).Relación entre ecuaciones lineales y angulares (cont.).

MRUAMRUA a = k (constante) Ecuación v = f(t):Ecuación v = f(t): v = v0 + a · t

Ecuación e = f(t):Ecuación e = f(t): e = e0 + v0 t + ½ a ·t2

MCUAMCUA = k (constante) Ecuación Ecuación = f(t): = f(t): = 0 + · t

Ecuación Ecuación = f(t): = f(t): = 0 + 0 t + ½ ·t2

e = e = · R · Rv = v = · R · Raatt = = · R · R

54Ejemplo: Un disco de 15 cm de radio, inicialmente en reposo, acelera uniformemente hasta alcanzar una veloci-dad angular de 5 rad/s en 1 min. Calcula: a) la aceleración angular del disco; b) la velocidad lineal de un punto de la periferia a los 25 s de iniciarse el movimiento; c) las componentes intrínsecas de la aceleración en un punto del borde del disco; d) el nº de vueltas que da en 1 minuto.

Ejemplo: Un disco de 15 cm de radio, inicialmente en reposo, acelera uniformemente hasta alcanzar una veloci-dad angular de 5 rad/s en 1 min. Calcula: a) la aceleración angular del disco; b) la velocidad lineal de un punto de la periferia a los 25 s de iniciarse el movimiento; c) las componentes intrínsecas de la aceleración en un punto del borde del disco; d) el nº de vueltas que da en 1 minuto.

a) a) 5 rad/s – 0 = —— = —————— = 0,083 rad/s 0,083 rad/s22

t 60 s

b)b) (t = 25 s) = 0 + · t = 0,083 rad/s2 · 25 s = 2,1 rad/s

v (t = 25 s) = · R = 2,1 rad/s · 0,15 m = 0,31 m/s 0,31 m/s

55Ejemplo: Un disco de 15 cm de radio, inicialmente en reposo, acelera uniformemente hasta alcanzar una veloci-dad angular de 5 rad/s en 1 min. Calcula: a) la aceleración angular del disco; b) la velocidad lineal de un punto de la periferia a los 25 s de iniciarse el movimiento; c) las componentes intrínsecas de la aceleración en un punto del borde del disco; d) el nº de vueltas que da en 1 minuto.

Ejemplo: Un disco de 15 cm de radio, inicialmente en reposo, acelera uniformemente hasta alcanzar una veloci-dad angular de 5 rad/s en 1 min. Calcula: a) la aceleración angular del disco; b) la velocidad lineal de un punto de la periferia a los 25 s de iniciarse el movimiento; c) las componentes intrínsecas de la aceleración en un punto del borde del disco; d) el nº de vueltas que da en 1 minuto.

c)c) at = · R = 0,083 rad/s2 · 0,15 m = 0,012 m/s0,012 m/s22

an= v2 /R = 2 · R = 2 · t2 · R = (0,083 rad/s2 )2 · 0,15 m· t2

an = 1,03 · 101,03 · 10–3–3 · t · t22 m/s m/s22 (an depende de “t”)

d)d) (t = 1 min) = 0·t + ½ · t2 =

½ · 0,083 rad/s2 · (60 s)2 = 150 rad = 23,9 vueltas 23,9 vueltas

56Ejercicio: Un tiovivo se pone en marcha y tarda 5 s, durante los cuales acelera uniformemente, en adquirir los caballitos situados a 5 m del centro la velocidad de 5 m/s con la cual permanece durante todo el tiempo que dura la atracción. Calcula las componentes intrínsecas de la aceleración a los 2 y a los 8 segundos de iniciado el movimiento, así como los valores de sus módulos.

Ejercicio: Un tiovivo se pone en marcha y tarda 5 s, durante los cuales acelera uniformemente, en adquirir los caballitos situados a 5 m del centro la velocidad de 5 m/s con la cual permanece durante todo el tiempo que dura la atracción. Calcula las componentes intrínsecas de la aceleración a los 2 y a los 8 segundos de iniciado el movimiento, así como los valores de sus módulos.

v 5 m/s (t = 5 s) = — = ——— = 1 rad/s

– 0 1 rad/s – 0 = ——— = ————— = 0,2 rad/s2

(t = 2 s) = 0 + ·t = 0,2 rad/s2· · 2 s = 0,4 rad/s

v (t = 2 s) = · R = 0,4 rad/s · 5 m = 2 m/s

v2 (2 m/s)2

an (t = 2 s) = — = ———— = 0,8 m/s0,8 m/s22 R 5 m

at (t = 2 s) = ·R = 0,2 rad/s2 · 5 m = 1 m/s1 m/s22

a (t = 2 s) = [(0,8 m/s2)2 + (1 m/s2)2]½ = 1,28 m/s1,28 m/s22

v2 (5 m/s)2

an (t = 8 s) = — = ———— = 5 m/s5 m/s22 R 5 m

at (t = 8 s) = ·R = 0 rad/s2 · 5 m = 0 m/s0 m/s22

a (t = 8 s) = [(5 m/s2)2 + (0 m/s2)2]½ = 5 m/s5 m/s22

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