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Tema 7.- CINEMÁTICA. MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS

Y SU COMPOSICIÓN

1.- RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTO

1.1.- ¿Reposo o movimiento? Un cuerpo se moverá o no dependiendo respecto a qué lo comparemos, por lo que decimos que el movimiento es relativo. 1.2.- Sistemas de referencia Un objeto se mueve cuando cambia de posición respecto a un sistema de referencia considerado fijo. Los sistemas de referencia cartesianos son los más utilizados. Consisten en dos o tres ejes perpendiculares entre sí, que se cruzan en el origen del sistema.

2.- POSICIÓN Y DESPLAZAMIENTO

2.1.- Vector posición La posición de una partícula viene determinada por su vector de posición, que es un vector que va desde el origen de coordenadas O hasta el punto A donde está situada la partícula:

(En el espacio sería: )

El módulo del vector nos indica la distancia en línea recta entre la partícula y el origen del sistema.

Si la partícula se mueve, su vector de posición será una función del tiempo:

Esta expresión se denomina ecuación vectorial del movimiento.

2.2.- Vector desplazamiento

Cuando una partícula se desplaza de un punto A a otro B, el vector desplazamiento es el vector que va desde el punto inicial (A) al punto final (B). Se representa por :

(Ver ejercicio resuelto 1 de pág. 207)

3.- TRAYECTORIA Y ESPACIO RECORRIDO

3.1.- Trayectoria

La trayectoria es la línea que una partícula describe en su movimiento y por tanto es la línea que uno las sucesivas posiciones que va ocupando la partícula en su movimiento. La forma de obtenerla la ecuación de la trayectoria es expresar la componente “y” del vector de posición en función de la componente “x”: y = f(x) Para ello se despeja el tiempo en la coordenada “x” y se sustituye en la coordenada “y”. (Ver ejercicio resuelto 2 de pág. 208)

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Según la forma de la trayectoria los movimientos pueden clasificarse en rectilíneos y curvilíneos (un caso especial de estos son los movimientos circulares).

3.2.- Espacio recorrido

El espacio recorrido (s) es la distancia recorrida por una partícula medida sobre la trayectoria. Cuanto la trayectoria es recta el espacio recorrido coincide con el valor (o módulo) del desplazamiento, pero si no es rectilíneo no coincidirán (la distancia recorrida será mayor que el desplazamiento). Si coinciden la posición inicial y la final, el desplazamiento será cero.

4.- CAMBIO DE POSICIÓN: VELOCIDAD

La velocidad ( ) es una magnitud vectorial que nos indica la rapidez con que se realiza un movimiento y la dirección y el sentido del mismo. En el Sistema Internacional se mide en m/s.

4.1.- Velocidad media (vm

) : Es el cociente entre el desplazamiento

efectuado y el tiempo invertido.

4.2.- Velocidad instantánea (v) : Es el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero, lo que matemáticamente se denomina derivada respecto al tiempo del vector de posición. Expresión del vector:

Dirección del vector: Tangente a la trayectoria en cualquier punto. Sentido: El del movimiento

Módulo del vector:

(Ver ejercicio resuelto 3 de pág. 209)

5.- CAMBIOS DE VELOCIDAD: ACELERACIÓN

La aceleración (a) es una magnitud vectorial que nos indica la rapidez con que varía la velocidad. En el Sistema Internacional se mide en m/s2. 5.1.- Aceleración media (a

m )

Expresión del vector:

Es una magnitud vectorial cuya dirección y sentido coinciden con los del

vector

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5.2.- Aceleración instantánea (a) Expresión del vector: De forma similar a la velocidad, se calcula haciendo la derivada, pero en este caso hay que derivar el vector velocidad respecto al tiempo.

(Ver ejercicio resuelto 4 de pág. 210) Consideraciones: * Se produce aceleración al variar el vector , tanto si es en módulo como en dirección o sentido. * La variación de velocidad puede ser positiva o negativa, lo que producirá aceleración positiva o negativa. * Es un vector que estará siempre apuntando hacia la concavidad de la curva de la trayectoria. 5.3.- Componentes intrínsecas de la aceleración

Para el estudio de movimientos curvilíneos interesa utilizar en cada punto de la trayectoria un sistema de referencia anclado al móvil (en lugar de un sistema cartesiano), en el que uno de los ejes es tangente ( a la trayectoria y otro es perpendicular ( ) a ella. En este sistema de referencia las coordenadas del vector se denominan componentes intrínsecas, que

se denominan aceleración tangencial y aceleración normal ( o centrípeta:

a) Aceleración tangencial: * Se produce cuando la velocidad cambia en valor (módulo). * Módulo: (hay que derivar el módulo de la velocidad) * Dirección: la misma que la de la velocidad. * Sentido: el del movimiento (si v aumenta) o contrario al

movimiento (si v disminuye) b) Aceleración centrípeta o normal:

* Se produce cuando la velocidad cambia de dirección. Por tanto solo se da en movimientos curvilíneos.

* Módulo: * Dirección: la del radio de la curva descrita. * Sentido: hacia el centro (C) de la curva.

La aceleración, en función de las coordenadas intrínsecas quedará así:

El vector aceleración instantánea, por tanto, puede expresarse de dos formas:

Componentes cartesianas Componentes intrínsecas

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5.4.- Tipos de movimientos

Los valores de las componentes intrínsecas de la aceleración nos informan sobre el tipo de movimiento: a) Según el valor de la aceleración tangencial:

* Si es nula, el módulo de la velocidad es constante y el movimiento es uniforme. * Si es constante, la velocidad va variando progresivamente y es uniformemente acelerado. * Si es variable, la velocidad cambiará de manera variable y el movimiento es acelerado no

uniforme. b) Según el valor de la aceleración normal:

* Si es nula, el radio es infinito y el movimiento es rectilíneo. * Si no es nula y el radio es constante, el movimiento es circular. * Si no es nula y el radio es variable, el movimiento es curvilíneo.

5.5.- Cálculos de magnitudes cinemáticas. (Hacer ejercicio igual al 5 de pág. 212, pero a partir del vector )

6.- CONTRIBUCIONES DE GALILEO AL ESTUDIO DEL MOVIMIENTO (No entra en examen)

7.- MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS

Los movimientos se pueden describir de dos formas: * Mediante las ecuaciones de movimiento: son ecuaciones que nos indican cómo varían con el tiempo

las diversas magnitudes cinemáticas (espacio, velocidad y aceleración) * Mediante las gráficas del movimiento: son gráficas que nos indican cómo varían con el tiempo las

magnitudes cinemáticas (gráfica posición-tiempo, gráfica velocidad-tiempo y gráfica aceleración-tiempo)

En los movimientos rectilíneos:

- coinciden el valor del desplazamiento con el espacio recorrido, pues la trayectoria es recta. - sólo hay una coordenada de posición (el vector de posición sólo posee una coordenada): * será “x” si el movimiento es horizontal. * será “y” si el movimiento es vertical. - hay que establecer un criterio de signos para las magnitudes vectoriales. 7.1.- Movimiento rectilíneo uniforme (m.r.u.)

- Es aquel que transcurre con velocidad constante en módulo (por eso at=0 uniforme) y en

dirección y sentido (por eso an=0 rectilíneo). - Recorre espacios iguales en intervalos de tiempo iguales (v = vm)

- Ecuación del movimiento: Se obtiene de v = vm = x/t

x = xo ± v · t (signo + indica que se aleja y – indica que se acerca al sistema de referencia)

- Gráficas del m.r.u.: (ver en página siguiente) * Posición-tiempo: Sale una recta inclinada cuya pendiente es el valor de la velocidad. * Velocidad-tiempo: sale una recta horizontal (pues es constante). * Aceleración-tiempo: sale una recta horizontal sobre el eje X (pues siempre vale 0)

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Graficas del m.r.u. Graficas del m.r.u.a 7.2.- Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (m.r.u.a.)

- Es aquel que transcurre con aceleración tangencial constante (uniformemente acelerado) y aceleración normal nula (rectilíneo).

- Las variaciones de la velocidad son iguales en intervalos de tiempo iguales (a = am). - Ecuaciones del movimiento:

* Ecuación de la velocidad: Se obtiene de a =am = v/t

v = vo ± a · t

(signo + cuando sentido de “a” coincide con sentido de “v

o”, cuando aumenta “v”)

(signo - cuando sentido de “a” es contrario al de “vo”, cuando disminuye “v”, cuando frena)

* Ecuación de la posición:

x = xo ± vo· t ± ½ · a· t2

(signos + cuando “v

o” y “a” se alejen del observador y signos – cuando se acerquen)

- Gráficas del m.r.u.a. (Ver al principio de la página) * Posición-tiempo: sale una parábola * Velocidad-tiempo: sale una recta inclinada cuya pendiente es el valor de la aceleración. * Aceleración-tiempo: sale una recta horizontal (pues la aceleración es constante).

(Ver ejercicios resueltos 6 y 7 de pág. 215)

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7.3.- Los m.r.u.a. en la naturaleza: caída libre y lanzamiento vertical.

Todos los cuerpos, independientemente de su masa, caen con la misma aceleración y, por tanto, llegan a la vez al suelo partiendo de la misma altura (siempre que no se considere la resistencia del aire).

Esta aceleración la comunica la Tierra y se denomina aceleración de la gravedad. Se representa por “g”,

vale aproximadamente 9,8 m/s2 y su sentido es hacia el centro de la Tierra.

a) Caída libre: Se trata del movimiento de un cuerpo cuando se deja caer (no existe velocidad inicial) desde una cierta altura (yo) y sobre él sólo actúa la fuerza de atracción de la Tierra (y por tanto sólo actúa la aceleración “g”).

Ecuaciones de movimiento: (Para un observador situado en el suelo) La velocidad y la aceleración se acercan al sistema de referencia, por lo que son negativas.

- Ecuación de velocidad: v = − g · t

- Ecuación de posición: y = yo − ½ · g · t

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* Si un cuerpo se lanza hacia abajo con una cierta velocidad inicial, ya no se trata de caída libre sino de lanzamiento vertical hacia abajo, y en las ecuaciones anteriores habría que incluir dicha velocidad inicial vo. * Lógicamente, si situamos el observador en la posición inicial del cuerpo (en la parte alta), en lugar de situarlo en el suelo, las ecuaciones anteriores cambiarán

b) Lanzamiento vertical (hacia arriba): También se suele tomar como sistema de referencia el suelo, con lo cual en este movimiento inicialmente la velocidad tiene sentido positivo (pero en la bajada tiene sentido negativo).

Ecuaciones de movimiento: - Ecuación de velocidad: v = v

o − g · t

- Ecuación de posición: y = vo · t − ½ · g · t

2

Aspectos a destacar de este movimiento: - En la altura máxima la velocidad se hace 0. Este dato nos permite el cálculo de la ymáx

- Al llegar al suelo la altura es 0. Con este dato calculamos la velocidad al llegar al suelo - Tarda el mismo tiempo en subir que en bajar (si sale y llega al mismo punto). - Sale y llega con la misma velocidad (si sale y llega al mismo punto).

- Si no se lanzase desde el suelo, sino desde cierta altura inicial, habría que incluir en la ecuación de la posición dicha altura inicial (yo).

(Hacer ejercicios 10, 12 y 13 de pág. 215)

RESUMEN DE LOS CRITERIOS DE SIGNOS PARA LA POSICIÓN, LA VELOCIDAD Y LA ACELERACIÓN

Movimientos horizontales Movimientos verticales

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8.- COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS

Vamos a estudiar movimientos que se producen en dos dimensiones, y por tanto tendrán una componente en la dirección “x” y otra en la dirección “y”, como por ejemplo el movimiento de un balón al darle una patada.

En este tipo de movimientos hemos de tener en cuenta el Principio de Superposición: “Cuando un cuerpo está sometido simultáneamente a varios movimientos elementales independientes, el movimiento total se obtiene sumando vectorialmente dichos movimientos parciales”.

Esto nos permite aplicar a cada movimiento componente sus propias ecuaciones y, para obtener las ecuaciones del movimiento compuesto, hemos de tener en cuenta que:

- La posición y la velocidad del móvil se obtendrán sumando vectorialmente los vectores de posición

o de velocidad de cada uno:

- El tiempo empleado en el movimiento compuesto es igual al empleado en cada uno de los

movimientos componentes. t = tx = ty

8.1.- Composición de dos m.r.u. perpendiculares: Ecuaciones de movimiento: - Ecuaciones de posición:

x = vx t y = v

y t

- Ecuaciones de velocidad:

(Ver ejercicio resuelto 8 de pág. 216) 8.2.- Movimientos parabólicos Están compuestos por: - un movimiento rectilíneo horizontal (eje X) con velocidad constante: m.r.u. - un movimiento rectilíneo vertical (eje Y) con aceleración constante: m.r.u.a. (con a=g)

* Si el lanzamiento es horizontal el m.r.u.a. es de caida libre.

* Si el lanzamiento es inclinado el m.r.u.a. es lanzamiento hacia arriba.

El caso general es el tiro oblícuo (movimiento parabólico completo).

En este movimiento la velocidad

inicial forma un cierto ángulo () con la horizontal. Cada movimiento componente tendrá un valor de velocidad inicial, que

vendrá dado por: vox

= vo · cos v

oy = v

o · sen

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Ecuaciones de movimiento:

- Ecuaciones de posición: x = vox

t y = yo + voy

t − ½ g t2

- Ecuaciones de velocidad: vx= v

ox vy = v

oy − g t

Tiempo de vuelo: Se obtiene despejando “t” cuando y=0

Altura máxima: Se obtiene calculando “y” cuando vy=0, teniendo en cuenta que t = tv/2

Alcance: Se obtiene calculando “x” cuando t = tv

* En el caso que el movimiento empiece en su punto más alto, en el que la velocidad solo tiene componente horizontal, se habla de tiro horizontal. Sus ecuaciones serán similares a las anteriores, solo que considerando voy = 0 (Ver ejercicios resueltos 9 y 10 de pág. 218)