casos de factorización

CASOS DE

FACTORIZACIÓ

N

FACTOR

COMÚN

CARACTERÍSTICAS Mínimo tiene que tener dos términos

como mínimo. Tiene que tener una letra o un número

común. Partes literales en todos los términos. El común debe de ser el menor

exponente y el menor numero de coeficiente.

Debe ser posible de repartir en factores.

EJEMPLO  a x b + a x c = a(b+c) 5 x 3 + 5 x 4 = 5(3+4) = 5(7) = 35

PASOS PARA DESARROLLAR UN EJERCICIO DE FACTOR COMÚN

1. Se busca la variable común : x2

2. Luego se divide para cada uno de sus factores

3. Entonces queda: x2. (7 + 11x - 4x3 + 3x2 - x6)

4. Se resuelve primero lo del paréntesis: (3+4) = 7

5. Por ultimo se multiplica los dos números: 5(7) = 35

FACTOR COMÚN

POR AGRUPACI

ÓN DE TÉRMINOS

CARACTERÍSTICASEl número de monomios que la

conforma puede ser cualquiera. La máxima potencia presente no

tiene un límite. Válido para operaciones de suma

y resta entre los monomios. Existen dos grupos, cada uno con

un factor en común.

EJEMPLO2y + 2j + 3xy + 3xj = (2y+2j) + (3xy+3xj) = 2(y+j) + 3x(y+j) = (2+3x) (y+j)

PASOS PARA DESARROLLAR UN EJERCICIO DE FACTOR COMÚN POR

AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS1. Organizar los monomios de mayor a menor

exponente.2. Buscar el factor común para formar dos grupos.3. Colocar el factor común para cada uno de los

grupos seguido de un paréntesis en el cual irá el resto de la expresión.

4. Sumar la factorización realizada para cada grupo.

5. Colocar el factor común de los dos grupos seguido de un paréntesis en el cual irá el resto de la expresión.

6. Verificar que la multiplicación expresada da el ejercicio que se quiere desarrollar.

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

CARACTERÍSTICAS El trinomio debe estar organizado en forma

ascendente o descendente (cualquiera de las dos).

Tanto el primero como el tercer término deben ser positivos. Asimismo, esos dos términos deben ser cuadrados perfectos (es decir, deben tener raíz cuadrada exacta). En otras palabras, el primero y el tercer término deben reunir las características de los términos que conforman una Diferencia de Cuadrados Perfectos (Caso 3).

EJEMPLO (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

(a-b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

x2+6x+9=(x+3)2 =(x+3)2=x2+6x+9

PASOS PARA DESARROLLAR UN EJERCICIO DE TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Se escribe un paréntesis (   ) Se obtiene la raíz cuadrada al primer término (en

este caso x2), por lo que se obtiene: Se obtiene la raíz cuadrada del tercer término, en

este caso 9, por lo que: Se escribe el resultado de los pasos (b) y (c) en el

paréntesis con el signo del segundo término: (x+3) Se eleva al cuadrado el binomio resultante y se

obtiene: (x+3)2, que mantiene la igualdad con el

trinomio x2+6x+9 Solución (x+3)2=x2+6x+9

DIFERENCIA DE

CUADRADOS

CARACTERÍSTICAS Tienen dos términos El signo que los separa siempre es

menos Las potencias de letras están elevadas

con números pares 2, 4, 6… Tiene raíz cuadrada exacta el primer

término Tiene raíz cuadrada exacta el segundo

término

EJEMPLO x2 - 9 = (x + 3).(x - 3)

x     3 x2 - y2 = (x + y).(x - y)

x     y x2 - 9/25 = (x + 3/5).(x - 3/5)

x      3/5

PASOS PARA DESARROLLAR UN EJERCICIO DE DIFERENCIA DE

CUADRADOS Identifico las bases, y el resultado de la

factorización es: "La suma de las bases multiplicada por la resta de las bases", es decir: suma por resta de las bases. En letras:

a2 - b2 = (a + b).(a - b) Donde a2 y b2 son los dos cuadrados, cuya forma

es alguna de las indicadas en la pregunta anterior. Y "a" y "b" son las bases de esos cuadrados.

Por ejemplo, en 25x2 - 100, los dos cuadrados son: 25x2 y 100. Las bases son 5x y 10. Entonces se factoriza como (5x + 10).(5x - 10)

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

POR ADICIÓN Y

SUSTRACCIÓN

CARACTERÍSTICAS Tienen tres términos (ordenarlo en forma

descendente) El primer término la debe estar elevado a

una potencia múltiplo de 4 y el número debe tener raíz cuadrada exacta .

El tercer término el número debe tener raíz cuadrada exacta y si tiene letra debe estar elevada a un múltiplo de 4.

Debe tener raíz cuadrada exacta el primer y tercer término pero al multiplicar el primer término con el tercero y por dos no da el tercer término.

EJEMPLO x⁴ + x²y² + y⁴ =...Sumando y restando x²y²

para completar el TCP

x⁴ + x²y² + x²y² + y⁴ - x²y² =

x⁴ + 2x²y² + y⁴ - x²y² = .... factorizando como TCP:

(x² + y²)² - x²y² = ....factorizando como diferencia de cuadrados:

[(x² + y²) - xy] [(x² + y²) - xy] =

(x² + y² - xy) (x² + y² + xy)

PASOS PARA DESARROLLAR UN EJERCICIO DE TRINOMIO

CUADRADO PERFECTO POR ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN

x4 + 3x2 + 4

Raíz cuadrada de x4 es x2

Raíz cuadrada de 4 es 2

Doble producto de la primera raíz por la segunda: 2(x2 )(2) = 4x2

El trinomio x4 + 3x2 + 4 no es trinomio cuadrado perfecto, entonces:

x4 + 3x2 + 4

= x4 + 3x2 + 4

 +  x2         - x2  Se suma y se resta x2

----------------------------------------

=(x4 + 4x2 + 4) - x2   Se asocia convenientemente

=(x2 + 2)2 - x2     Se factoriza el trinomio cuadrado perfecto

=[(x2 + 2) - x] [(x2 + 2) - x]  Se factoriza la diferencia decuadrados        

=(x2 + 2 + x) (x2 + 2 - x) Se eliminan signos de agrupación 

=(x2 + x+ 2) (x2 - x + 2) Se ordenan los términos de cada factor.

Entonces: x4 + 3x2 + 4 = (x2 - x+ 2) (x2 - x + 2)

TRINOMIO DE LA

FORMA X2 + BX + C

CARACTERÍSTICASTienen tres términos No tiene numero delante de el x2

EJEMPLO 2: x2+5x+6=0

la factorización queda como:(x+3)(x+2)=0ya que 3x2=6 y 3+2=5

x2 + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2)  a4 - 7a2 - 30 = (a2 - 10)(a2 + 3) m2 + abcm - 56a2b2c2 = (m + 8abc)(m -

7abc)

PASOS PARA DESARROLLAR UN EJERCICIOS DE

TRINOMIO DE LA FORMA X2 + BX + C

Ordeno el trinomio en forma descendente. Abro dos paréntesis   Saco raíz cuadrada del primer término y lo

coloco en cada uno de los paréntesis Copio el primer signo del ejercicio en el

primer paréntesis Multiplico el primer signo por el segundo del

ejercicio y lo coloco en el segundo paréntesis Opero + . - = - Observo cuidadosamente la respuesta que

tengo en los paréntesis y analizo los signos

TRINOMIO DE LA

FORMA AX2 + BX +

C

CARACTERÍSTICAS El coeficiente del primer término es diferente

de 1. La variable del segundo término es la misma

que la del primer término pero con exponente a la mitad.

El tercer término es independiente de la letra que aparece en el primer y segundo términos del trinomio.

EJEMPLO 15x4 - 23x2 + 4=15(15x4 - 23x2 + 4)                 15               =(15x2)2 - 23(15x) + 60                  15          =(15x2 - 20)(15x2 - 3)                   15           =5(3x2- 4) 3(5x2 - 1)                     5 . 3       15x4 - 23x2 + 4 = (3x2 - 4)(5x2 - 1)

PASOS PARA DESARROLLAR UN EJERCICIO DE TRINOMIO DE LA

FORMA AX2 + BX + C

Se multiplica y se divide el trinomio por el coeficiente del primer término.

Se resuelve el producto del primero y tercer término dejando indicado de el segundo término.  

Se factoriza como en el caso del trinomio de la forma x2 + bx + c, o sea, se buscan dos números que multiplicados de 60 y sumados 23. (Se suman por que los signos de los dos factores son iguales) 

 Se factorizan los dos binomios resultantes sacándoles factor común monomio, se descompone el 15 y por último dividir,

CUBO PERFECTO

DE BINOMIOS 

CARACTERÍSTICAS

Debe tener cuatro términos. Que tanto el primero como el último término

sean cubos perfectos. Que el segundo término sea

aproximadamente el triplo del cuadrado de la raíz cúbica del primer término multiplicado por la raíz cúbica del último término.

Que el tercer término sea más que el triplo de la raíz cúbica del último .

EJEMPLO 125 x 12 + 600 x8 y5 + 960 x4 y10 +

512y15

125 x 12 + 600 x8 y5 + 960 x4 y10 + 512 y15

= (5 x 4 +8 y5 )3

raíces cúbicas: 5 x 4 8 y5

3. (5 x4)2 . (8 y5) 3 . (5 x4) . (8 y5)2

= 600 x8 y5 =960 x4 y10

PASOS PARA DESARROLLAR UN EJERCICIO DE CUBO PERFECTO DE

BINOMIOS Organizar los monomios de mayor a menor exponente. Sacar la raíz cúbica al primer y cuarto término.  Multiplicar la raíz del primero elevada al cuadrado por la

raíz del cuarto y esto por tres.  Verificar que dé igual al segundo término de la expresión.  Multiplicar la raíz del cuarto elevada al cuadrado por la

raíz del primero y esto por tres.  Verificar que dé igual al tercer término de la expresión.  Colocar dentro de un paréntesis la suma o diferencia de

las raíces del primer y cuarto términos (de acuerdo al signo del segundo monomio), y todo elevado a la tres. 

Verificar que la expresión obtenida da el ejercicio que se quiere desarrollar.

SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS

PERFECTOS

CARACTERÍSTICAS Son dos términos, separados por el signo ( + ) cuando

sea suma, y por el signo ( - ) cuando sea una diferencia.

Los coeficientes deberán tener raíz cúbica exacta. Los exponentes deberán ser divisibles entre 3. El procedimiento que se sigue para su factorización

es: “Se abren dos paréntesis, el primero es para un binomio formado por las raíces cúbicas de los términos dados, separados por el mismo signo; el segundo paréntesis es para un trinomio que se forma con el cuadrado del primer término del binomio, menos ó más el primero por el segundo términos del binomio (dependiendo si es suma o resta), y por último, más el cuadrado del segundo término”.

EJEMPLO a3 - 8 

SOLUCIÓN:

a3 - 8 = (a - 2) . ( a2 + 2 a + 4 )

raíces cúbicas: a 2

PASOS PARA DESARROLLAR UN EJERCICIO DE SUMA I DIFERENCIA

DE CUBOS PERFECTOS Organizar los monomios de mayor a menor

exponente. Sacar la raíz cúbica al primer y segundo

término.  Colocar dentro de un paréntesis la suma o

diferencia de las raíces de acuerdo al signo que se tiene en la expresión. 

Multiplicar por otro paréntesis en el que se coloca la primera raíz elevada al cuadrado, luego la multiplicación de las dos raíces, y por último la segunda raíz elevada al cuadrado. 

Verificar que la expresión da el ejercicio que se quiere desarrollar.

SUMA O DIFERENCIA

DE DOS POTENCIAS

IGUALES

CARACTERÍSTICAS  Es divisible por a-b siendo n un

número par o impar  Es divisible por a+b siendo n un

número impar  Es divisible por a+b siendo n un

número par  Nunca es divisible por a-b

EJEMPLO x4 + z4 = x4 + z4/x + z = x3 – x2z + xz2 – z3 x4 + z4 = (x + z)(x3 –x2z + xz2 –z3) m6 + n6 = m6 + n6/m + n= m5 - m4n + m3n2 – m2n3 + mn4 – n5 m6 +

n6 = (m + n)(m5 - m4n + m3n2 – m2n3 + mn4 –

n5) b3 + c3 = b3 + c3/b+c = b2 – bc + c2 b3 + c3= (b + c)(b2 – bc + c2)

PASOS PARA DESARROLLAR UN EJERCICIO DE SUMA O DIFERENCIA

DE DOS POTENCIAS IGUALES Clasificar la expresión en positiva o negativa, y en par o impar (si son

positivas y pares no se pueden realizar por este método). Se sacan las raíces de cada termino. Se coloca el primer factor el cual es un binomio cuyo primer termino es la raíz

del primer termino dado y el segundo termino es la raíz del segundo termino dado.

El signo del primer factor (binomio) será el mismo que tiene la expresión dada.

Se crea el segundo factor (un factor polinomio) en el cual existirá un número de términos igual al exponente de la expresión dada (los siguientes pasos son solo para el segundo factor).

En cada término se multiplicara el término de la izquierda por el término de la derecha de la expresión dada

En el primer término del factor polinomio el factor de la izquierda tendrá un exponente igual a “n – 1”, y el factor derecho tendrá un exponente de cero.

Para los exponentes de los siguientes términos, en el caso del factor de la izquierda irán disminuyendo en una unidad, y los del termino de la derecha irán aumentando también en una unidad (si se suman los exponentes de los dos términos siempre será igual a n-1).

Si el binomio es negativo todos los términos del polinomio son positivos, si el binomio es positivo impar los signos del polinomio se alternarán (+ ó –) comenzando por el “+”.

Cuando en el polinomio, el exponente del termino de la derecha sea igual a n-1 damos por terminada la respuesta.