casos de factorización

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  • 1. FACTORCOMN

2. CARACTERSTICAS Mnimo tiene que tener dos trminos comomnimo. Tiene que tener una letra o un nmerocomn. Partes literales en todos los trminos. El comn debe de ser el menor exponentey el menor numero de coeficiente. Debe ser posible de repartir en factores. 3. EJEMPLO a x b + a x c = a(b+c) 5 x 3 + 5 x 4 = 5(3+4) = 5(7) = 35 4. PASOS PARA DESARROLLAR UNEJERCICIO DE FACTOR COMN1. Se busca la variable comn : x22. Luego se divide para cada uno de sus factores3. Entonces queda: x2. (7 + 11x - 4x3 + 3x2 - x6)4. Se resuelve primero lo del parntesis: (3+4) = 75. Por ultimo se multiplica los dos nmeros: 5(7) = 35 5. FACTOR COMN PORAGRUPACINDE TRMINOS 6. CARACTERSTICAS El nmero de monomios que laconforma puede ser cualquiera. La mxima potencia presente no tieneun lmite. Vlido para operaciones de suma yresta entre los monomios. Existen dos grupos, cada uno con unfactor en comn. 7. EJEMPLO 2y+ 2j + 3xy + 3xj =(2y+2j) + (3xy+3xj) =2(y+j) + 3x(y+j) =(2+3x) (y+j) 8. PASOS PARA DESARROLLAR UN EJERCICIO DE FACTOR COMN POR AGRUPACIN DE TRMINOS1.Organizar los monomios de mayor a menorexponente.2.Buscar el factor comn para formar dos grupos.3.Colocar el factor comn para cada uno de los gruposseguido de un parntesis en el cual ir el resto de laexpresin.4.Sumar la factorizacin realizada para cada grupo.5.Colocar el factor comn de los dos grupos seguidode un parntesis en el cual ir el resto de laexpresin.6.Verificar que la multiplicacin expresada da elejercicio que se quiere desarrollar. 9. TRINOMIOCUADRADOPERFECTO 10. CARACTERSTICAS El trinomio debe estar organizado en formaascendente o descendente (cualquiera de las dos). Tanto el primero como el tercer trmino deben serpositivos. Asimismo, esos dos trminos deben sercuadrados perfectos (es decir, deben tener razcuadrada exacta). En otras palabras, el primero y eltercer trmino deben reunir las caractersticas delos trminos que conforman una Diferencia deCuadrados Perfectos (Caso 3). 11. EJEMPLO (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a-b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 x2+6x+9=(x+3)2 =(x+3)2=x2+6x+9 12. PASOS PARA DESARROLLAR UN EJERCICIODE TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Se escribe un parntesis ( ) Se obtiene la raz cuadrada al primer trmino (en estecaso x2), por lo que se obtiene: Se obtiene la raz cuadrada del tercer trmino, en estecaso 9, por lo que: Se escribe el resultado de los pasos (b) y (c) en elparntesis con el signo del segundo trmino: (x+3) Se eleva al cuadrado el binomio resultante y se obtiene: (x+3)2, que mantiene la igualdad con eltrinomio x2+6x+9 Solucin (x+3)2=x2+6x+9 13. DIFERENCIA DECUADRADOS 14. CARACTERSTICAS Tienendos trminos El signo que los separa siempre es menos Las potencias de letras estn elevadas connmeros pares 2, 4, 6 Tiene raz cuadrada exacta el primertrmino Tiene raz cuadrada exacta el segundotrmino 15. EJEMPLO x2 - 9 = (x + 3).(x - 3)x 3 x2 - y2 = (x + y).(x - y)x y x2 - 9/25 = (x + 3/5).(x - 3/5)x3/5 16. PASOS PARA DESARROLLAR UN EJERCICIO DE DIFERENCIA DE CUADRADOS Identifico las bases, y el resultado de lafactorizacin es: "La suma de las basesmultiplicada por la resta de las bases", es decir:suma por resta de las bases. En letras:a2 - b2 = (a + b).(a - b) Donde a2 y b2 son los dos cuadrados, cuya formaes alguna de las indicadas en la pregunta anterior.Y "a" y "b" son las bases de esos cuadrados. Por ejemplo, en 25x2 - 100, los dos cuadrados son:25x2 y 100. Las bases son 5x y 10. Entonces sefactoriza como (5x + 10).(5x - 10) 17. TRINOMIOCUADRADOPERFECTO PORADICIN YSUSTRACCIN 18. CARACTERSTICAS Tienen tres trminos (ordenarlo en formadescendente) El primer trmino la debe estar elevado a unapotencia mltiplo de 4 y el nmero debe tener razcuadrada exacta . El tercer trmino el nmero debe tener razcuadrada exacta y si tiene letra debe estar elevadaa un mltiplo de 4. Debe tener raz cuadrada exacta el primer y tercertrmino pero al multiplicar el primer trmino con eltercero y por dos no da el tercer trmino. 19. EJEMPLO x + xy + y =...Sumando y restando xy paracompletar el TCPx + xy + xy + y - xy =x + 2xy + y - xy = .... factorizando como TCP:(x + y) - xy = ....factorizando como diferencia decuadrados:[(x + y) - xy] [(x + y) - xy] =(x + y - xy) (x + y + xy) 20. PASOS PARA DESARROLLAR UN EJERCICIODE TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICIN Y SUSTRACCIN x4 + 3x2 +4Raz cuadrada de x4 es x2Raz cuadrada de 4 es 2Doble producto de la primera raz por la segunda: 2(x2 )(2) = 4x2El trinomio x4 + 3x2 + 4 no es trinomio cuadrado perfecto, entonces:x4 + 3x2 + 4= x4 + 3x2 + 4 + x2 - x2 Se suma y se resta x2----------------------------------------=(x4 + 4x2 + 4) - x2 Se asocia convenientemente=(x2 + 2)2 - x2 Se factoriza el trinomio cuadrado perfecto=[(x2 + 2) - x] [(x2 + 2) - x] Se factoriza la diferencia decuadrados=(x2 + 2 + x) (x2 + 2 - x) Se eliminan signos de agrupacin=(x2 + x+ 2) (x2 - x + 2) Se ordenan los trminos de cada factor.Entonces: x4 + 3x2 + 4 = (x2 - x+ 2) (x2 - x + 2) 21. TRINOMIO DE LA FORMAX 2 + BX + C 22. CARACTERSTICASTienen tres trminosNo tiene numero delante de el x 2 23. EJEMPLO 2: x2+5x+6=0la factorizacin queda como:(x+3)(x+2)=0ya que 3x2=6 y 3+2=5 x2 + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2) a4 - 7a2 - 30 = (a2 - 10)(a2 + 3) m2 + abcm - 56a2b2c2 = (m + 8abc)(m - 7abc) 24. PASOS PARA DESARROLLAR UNEJERCICIOS DE TRINOMIO DE LA FORMA X2 + BX + C Ordeno el trinomio en forma descendente. Abro dos parntesis Saco raz cuadrada del primer trmino y lo colocoen cada uno de los parntesis Copio el primer signo del ejercicio en el primerparntesis Multiplico el primer signo por el segundo delejercicio y lo coloco en el segundo parntesis Opero + . - = - Observo cuidadosamente la respuesta que tengoen los parntesis y analizo los signos 25. TRINOMIO DE LA FORMAAX 2 + BX + C 26. CARACTERSTICAS El coeficiente del primer trmino es diferente de 1. La variable del segundo trmino es la misma que ladel primer trmino pero con exponente a la mitad. El tercer trmino es independiente de la letra queaparece en el primer y segundo trminos deltrinomio. 27. EJEMPLO 15x4 - 23x2 + 4=15(15x4 - 23x2 + 4)15=(15x2)2 - 23(15x) + 60 15=(15x2 - 20)(15x2 - 3)15=5(3x2- 4) 3(5x2 - 1)5.315x4 - 23x2 + 4 = (3x2 - 4)(5x2 - 1) 28. PASOS PARA DESARROLLAR UN EJERCICIO DE TRINOMIO DE LA FORMA AX2 + BX + C Se multiplica y se divide el trinomio por elcoeficiente del primer trmino. Se resuelve el producto del primero y tercertrmino dejando indicado de el segundo trmino. Se factoriza como en el caso del trinomio de laforma x2 + bx + c, o sea, se buscan dos nmerosque multiplicados de 60 y sumados 23. (Se sumanpor que los signos de los dos factores son iguales) Se factorizan los dos binomios resultantessacndoles factor comn monomio, sedescompone el 15 y por ltimo dividir, 29. CUBOPERFECTO DE BINOMIOS 30. CARACTERSTICAS Debe tener cuatro trminos. Que tanto el primero como el ltimo trmino seancubos perfectos. Que el segundo trmino sea aproximadamente eltriplo del cuadrado de la raz cbica del primertrmino multiplicado por la raz cbica del ltimotrmino. Que el tercer trmino sea ms que el triplo de laraz cbica del ltimo . 31. EJEMPLO 125 x 12 + 600 x8 y5 + 960 x4 y10 + 512y15 125 x 12 + 600 x8 y5 + 960 x4 y10 + 512 y15= (5 x 4 +8 y5 )3races cbicas: 5 x 4 8 y53. (5 x4)2 . (8 y5) 3 . (5 x4) . (8 y5)2= 600 x8 y5 =960 x4 y10 32. PASOS PARA DESARROLLAR UN EJERCICIODE CUBO PERFECTO DE BINOMIOS Organizar los monomios de mayor a menor exponente. Sacar la raz cbica al primer y cuarto trmino. Multiplicar la raz del primero elevada al cuadrado por la raz delcuarto y esto por tres. Verificar que d igual al segundo trmino de la expresin. Multiplicar la raz del cuarto elevada al cuadrado por la raz delprimero y esto por tres. Verificar que d igual al tercer trmino de la expresin. Colocar dentro de un parntesis la suma o diferencia de las racesdel primer y cuarto trminos (de acuerdo al signo del segundomonomio), y todo elevado a la tres. Verificar que la expresin obtenida da el ejercicio que se quieredesarrollar. 33. SUMA ODIFERENCIA DECUBOS PERFECTOS 34. CARACTERSTICAS Son dos trminos, separados por el signo ( + ) cuandosea suma, y por el signo ( - ) cuando sea una diferencia. Los coeficientes debern tener raz cbica exacta. Los exponentes debern ser divisibles entre 3. El procedimiento que se sigue para su factorizacin es:Se abren dos parntesis, el primero es para un binomioformado por las races cbicas de los trminosdados, separados por el mismo signo; el segundoparntesis es para un trinomio que se forma con elcuadrado del primer trmino del binomio, menos msel primero por el segundo trminos del binomio(dependiendo si es suma o resta), y por ltimo, ms elcuadrado del segundo trmino. 35. EJEMPLO a3 - 8SOLUCIN:a3 - 8 = (a - 2) . ( a2 + 2 a + 4 )races cbicas: a 2 36. PASOS PARA DESARROLLAR UN EJERCICIODE SUMA I DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS Organizar los monomios de mayor a menorexponente. Sacar la raz cbica al primer y segundo trmino. Colocar dentro de un parntesis la suma odiferencia de las races de acuerdo al signo que setiene en la expresin. Multiplicar por otro parntesis en el que se colocala primera raz elevada al cuadrado, luego lamultiplicacin de las dos races, y por ltimo lasegunda raz elevada al cuadrado. Verificar que la expresin da el ejercicio que sequiere desarrollar. 37. SUMA ODIFERENCIA DEDOS POTENCIAS IGUALES 38. CARACTERSTICAS Es divisible por a-b siendo n un nmero par o impar Es divisible por a+b siendo n un nmero impar Es divisible por a+b siendo n un nmero par Nunca es divisible por a-b 39. EJEMPLO x4 + z4 = x4 + z4/x + z= x3 x2z + xz2 z3 x4 + z4= (x + z)(x3 x2z + xz2 z3) m6 + n6 = m6 + n6/m + n= m5 - m4n + m3n2 m2n3 + mn4 n5 m6 + n6= (m + n)(m5 - m4n + m3n2 m2n3 + mn4 n5) b3 + c3 = b3 + c3/b+c= b2 bc + c2b3 + c3= (b + c)(b2 bc + c2) 40. PASOS PARA DESARROLLAR UN EJERCICIODE SUMA O DIFERENCIA DE DOSPOTENCIAS IGUALES Clasificar la expresin en positiva o negativa, y en par o impar (si son positivas y pares no sepueden realizar por este mtodo). Se sacan las races de cada