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PROGRAMA DE INGENIERÍA CIVILMecánica de Fluidos

CAPÍTULO 2

Estática de Fluidos

Pedro León García ReinosoIngeniero Civil de la Universidad del Quindío

Magíster en Ingeniería Civil de la Universidad de los AndesCandidato a Doctor en Ingeniería de la Pontificia Universidad Javeriana

2.3 Fuerzas hidrostáticas sobre superficies sumergidas

Para determinar completamente la fuerza que actúa sobre una superficie sumergida, vamos…

1. La magnitud de la fuerzaSe calcula con la altura vertical sobre CGEmplear EcuaciónEmplear la IntegralEmpelar el Prisma de Presiones

2. La dirección de la fuerzaPerpendicular y contra cuerpo sumergido

3. La línea de acción de la fuerza Pasa por el CP, mejor sobre plano inclinado

• Superficies curvas

Las fuerzas elementales de presión, por actuar perpendicularmente a la superficie en cada punto, varían en dirección a lo largo de ésta y no pueden ser sumadas simplemente. Sumando por separado las tres componentes de las fuerzas elementales, no es necesaria esta triple integración. La resultante de las fuerzas de presión se calcula fácilmente separando la componente vertical y horizontal.

• Superficies curvas

Las fuerzas elementales de presión, por actuar perpendicularmente a la superficie en cada punto, varían en dirección a lo largo de ésta y no pueden ser sumadas simplemente. Sumando por separado las tres componentes de las fuerzas elementales, no es necesaria esta triple integración. La resultante de las fuerzas de presión se calcula fácilmente separando la componente vertical y horizontal.

• Superficies curvas

Las fuerzas elementales de presión, por actuar perpendicularmente a la superficie en cada punto, varían en dirección a lo largo de ésta y no pueden ser sumadas simplemente. Sumando por separado las tres componentes de las fuerzas elementales, no es necesaria esta triple integración. La resultante de las fuerzas de presión se calcula fácilmente separando la componente vertical y horizontal.

• Superficies curvas

Las fuerzas elementales de presión, por actuar perpendicularmente a la superficie en cada punto, varían en dirección a lo largo de ésta y no pueden ser sumadas simplemente. Sumando por separado las tres componentes de las fuerzas elementales, no es necesaria esta triple integración. La resultante de las fuerzas de presión se calcula fácilmente separando la componente vertical y horizontal.

• Superficies curvas

Las fuerzas elementales de presión, por actuar perpendicularmente a la superficie en cada punto, varían en dirección a lo largo de ésta y no pueden ser sumadas simplemente. Sumando por separado las tres componentes de las fuerzas elementales, no es necesaria esta triple integración. La resultante de las fuerzas de presión se calcula fácilmente separando la componente vertical y horizontal.

• Superficies curvas

La componente horizontal de la FP sobre SC es igual a la fuerza de presión sobre la proyección de la superficie curva. El plano vertical de la proyección es normal a la dirección de la componente.

La componente vertical de la FP sobre SC es igual al peso del líquido que se encuentra verticalmente por encima de dicha superficie y se extiende hasta la superficie libre.

Ejemplo 2.3.7

La compuerta cilíndrica mostrada en la figura está hecha de un cilindro circular y de una placa unida a la presa por un pivote. La posición de la compuerta se controla bombeando agua hacia adentro y hacia afuera del cilindro. El centro de gravedad de la compuerta vacía está sobre la línea de simetría a 1.2 m del pasador. Se encuentra en equilibrio cuando está vacía en la posición mostrada.¿Cuántos litros de agua deben añadirse por metro de cilindro, para mantener la compuerta en su posición cuando la superficie del agua aumenta a 0.9 m?.

Ejemplo 2.3.7

La compuerta cilíndrica mostrada en la figura está hecha de un cilindro circular y de una placa unida a la presa por un pivote. La posición de la compuerta se controla bombeando agua hacia adentro y hacia afuera del cilindro. El centro de gravedad de la compuerta vacía está sobre la línea de simetría a 1.2 m del pasador. Se encuentra en equilibrio cuando está vacía en la posición mostrada.¿Cuántos litros de agua deben añadirse por metro de cilindro, para mantener la compuerta en su posición cuando la superficie del agua aumenta a 0.9 m?.

Ejemplo 2.3.7

La compuerta cilíndrica mostrada en la figura está hecha de un cilindro circular y de una placa unida a la presa por un pivote. La posición de la compuerta se controla bombeando agua hacia adentro y hacia afuera del cilindro. El centro de gravedad de la compuerta vacía está sobre la línea de simetría a 1.2 m del pasador. Se encuentra en equilibrio cuando está vacía en la posición mostrada.¿Cuántos litros de agua deben añadirse por metro de cilindro, para mantener la compuerta en su posición cuando la superficie del agua aumenta a 0.9 m?.

Ejemplo 2.3.7

El peso de la compuerta,

𝐹𝑣 ∙ 1.5 = 𝑊 ∙ 1.2

𝑊 = 15602.131 𝑁

Ejemplo 2.3.7

𝐹𝐴𝐵 = 𝛾തℎ𝐴 = 9810 ∙ 0.45 ∙ 0.90 ∙ 1.0

𝐹𝐴𝐵 = 3973.050 𝑁 𝑎𝑐𝑢𝑡𝑎𝑛𝑑𝑜 0.30 𝑚 ↑ 𝐸

Ejemplo 2.3.7

𝐹𝐴𝐵 = 𝛾തℎ𝐴 = 9810 ∙ 0.45 ∙ 0.90 ∙ 1.0

𝐹𝐴𝐵 = 3973.050 𝑁 𝑎𝑐𝑢𝑡𝑎𝑛𝑑𝑜 0.30 𝑚 ↑ 𝐸

Ejemplo 2.3.7

𝐹𝐴𝐵 = 𝛾തℎ𝐴 = 9810 ∙ 0.45 ∙ 0.90 ∙ 1.0

𝐹𝐴𝐵 = 3973.050 𝑁 𝑎𝑐𝑢𝑡𝑎𝑛𝑑𝑜 0.30 𝑚 ↑ 𝐸

𝐹𝑉 = 31966.057 𝑁 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 1.264𝑚 ← 𝐸

𝐹𝐴𝐵 ∙ 0.30 + 𝐹𝑉 ∙ 1.264 −𝑊𝑊 ∙ 1.50 −𝑊𝐶 ∙ 1.20 = 0

Ejemplo 2.3.7

𝐹𝐴𝐵 = 𝛾തℎ𝐴 = 9810 ∙ 0.45 ∙ 0.90 ∙ 1.0

𝐹𝐴𝐵 = 3973.050 𝑁 𝑎𝑐𝑢𝑡𝑎𝑛𝑑𝑜 0.30 𝑚 ↑ 𝐸

𝐹𝑉 = 31966.057 𝑁 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 1.264𝑚 ← 𝐸

3973.050 ∙ 0.30+ 31966.057 ∙ 1.264 −𝑊𝑊 ∙ 1.50 − 15602.131 ∙ 1.20 = 0

Ejemplo 2.3.7

𝐹𝐴𝐵 = 𝛾തℎ𝐴 = 9810 ∙ 0.45 ∙ 0.90 ∙ 1.0

𝐹𝐴𝐵 = 3973.050 𝑁 𝑎𝑐𝑢𝑡𝑎𝑛𝑑𝑜 0.30 𝑚 ↑ 𝐸

𝐹𝑉 = 31966.057 𝑁 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 1.264𝑚 ← 𝐸

2.4 Flotación y Estabilidad

Los mismos principios empleados para calcular las FH pueden ser aplicadas al cálculo de la resultante sobre un cuerpo completamente sumergido o un cuerpo que flota. Se deducen entonces las dos leyes de flotación enunciadas por Arquímedes en el siglo III a.C.,

1. Un cuerpo sumergido en un fluido experimenta una fuerza de flotación vertical igual al peso del fluido que desaloja.

2.4 Flotación y Estabilidad

Los mismos principios empleados para calcular las FH pueden ser aplicadas al cálculo de la resultante sobre un cuerpo completamente sumergido o un cuerpo que flota. Se deducen entonces las dos leyes de flotación enunciadas por Arquímedes en el siglo III a.C.,

2. Un cuerpo que flota desaloja su propio peso en el fluido en que flota.

2.4 Flotación y Estabilidad

Los mismos principios empleados para calcular las FH pueden ser aplicadas al cálculo de la resultante sobre un cuerpo completamente sumergido o un cuerpo que flota. Se deducen entonces las dos leyes de flotación enunciadas por Arquímedes en el siglo III a.C.,

2. Un cuerpo que flota desaloja su propio peso en el fluido en que flota.

2.4 Flotación y Estabilidad

Los mismos principios empleados para calcular las FH pueden ser aplicadas al cálculo de la resultante sobre un cuerpo completamente sumergido o un cuerpo que flota. Se deducen entonces las dos leyes de flotación enunciadas por Arquímedes en el siglo III a.C.,

2. Un cuerpo que flota desaloja su propio peso en el fluido en que flota.

2.4 Flotación y Estabilidad

Los mismos principios empleados para calcular las FH pueden ser aplicadas al cálculo de la resultante sobre un cuerpo completamente sumergido o un cuerpo que flota. Se deducen entonces las dos leyes de flotación enunciadas por Arquímedes en el siglo III a.C.,

2. Un cuerpo que flota desaloja su propio peso en el fluido en que flota.

𝐹𝐵 = 𝛾∀

2.4 Flotación y Estabilidad

Los mismos principios empleados para calcular las FH pueden ser aplicadas al cálculo de la resultante sobre un cuerpo completamente sumergido o un cuerpo que flota. Se deducen entonces las dos leyes de flotación enunciadas por Arquímedes en el siglo III a.C.,

2. Un cuerpo que flota desaloja su propio peso en el fluido en que flota.

𝐹𝐵 = 𝛾∀

Ejemplo 2.4.1

Un semicilindro homogéneo descansa en la posición (a) indicada, siendo las áreas ABC y ADC exactamente iguales. Calcular la fuerza F requerida para mantenerlo en la posición (b).

Ejemplo 2.4.1

En la posición (a), dado que las áreas ABC y ACD son iguales, la fuerza flotación es igual al peso del volumen sumergido,

𝐹𝐵 = 17335.701 𝑁

Ejemplo 2.4.1

En la posición (a), dado que las áreas ABC y ACD son iguales, la fuerza vertical es igual al peso del volumen sumergido,

𝜃 = 23.827°

1.5 ∙ cos 23.827° = 1.372 𝑚

𝐹𝐵 = 17335.701 𝑁 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 1.372 𝑚 ← 𝐴

Ejemplo 2.4.1

En la posición (a), dado que las áreas ABC y ACD son iguales, la fuerza vertical es igual al peso del volumen sumergido,

𝑊 = 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎…

ℎ = 1.630 𝑚

Ejemplo 2.4.1

En la posición (a), dado que las áreas ABC y ACD son iguales, la fuerza vertical es igual al peso del volumen sumergido,

𝑊 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 1.5 𝑚 ← 𝐴

1.630 ∙ cos 23.827° − 22.997° = 1.629 𝑚

Ejemplo 2.4.1

Sumatoria de momentos con respecto al pivote en el Punto A,

17335.701 ∙ 1.372 = 𝑊 ∙ 1.629

𝑊 = 14599.402 𝑁

𝐹𝐵 ∙ 𝐷𝐹𝐵 = 𝑊 ∙ 𝐷𝑊

Sumergido, para F, sumatoria de momentos con respecto al pivote en el Punto A,

Ejemplo 2.4.1

𝐹 ∙ 𝐷𝐹 +𝑊 ∙ 𝐷𝑊 = 𝐹𝐵 ∙ 𝐷𝐵

𝐹 ∙ 3 + 14599.402 ∙ 1.5 = 34671.402 ∙ 1.5

𝐹 = 10036.000 𝑁

El equilibrio de un cuerpo flotante se clasifica en tres tipos:

Estable. Una fuerza actuante – el empuje del oleaje o del viento – origina una inclinación lateral, pero cuando aquélla cesa el cuerpo vuelve a su posición general. Este tipo de equilibrio lo tienen los cuerpos de centro de gravedad bajo.

Inestable, la fuerza actuante origina el volteo brusco del cuerpo, el cual después recupera una posición más o menos estable. Este equilibrio lo tienen aquellos cuerpos cuyo centro de gravedad es alto.

Indiferente, la fuerza actuante origina un movimiento de rotación continua del cuerpo, cuya velocidad es directamente proporcional a la magnitud de la fuerza y cuya dirección es la misma que la de dicha fuerza.

Estabilidad de cuerpos flotantes

Estabilidad de cuerpos flotantes

Ejemplo 2.4.2

Un vertedero cilíndrico tiene un diámetro de 3 m y una longitud de 6 m. Calcule la magnitud y dirección de la fuerza resultante ejercida por el agua sobre el vertedero del agua.

Ejemplo 2.4.2

La componente de la Fuerza Horizontal:

𝐹𝐻 = 𝐹𝐻𝐷 + 𝐹𝐻𝐼

𝐹𝐻 = 𝛾 തℎ𝐷𝐴𝐷 + 𝛾 തℎ𝐼𝐴𝐼

Ejemplo 2.4.2

La componente de la Fuerza Horizontal:

𝐹𝐻 = 𝐹𝑅 sin 𝜃

Fuerza Izquierda menos Fuerza Derecha

Ejemplo 2.4.2

La componente de la Fuerza Horizontal:

Ejemplo 2.4.2

La componente de la Fuerza Horizontal:

Ejemplo 2.4.2

La componente de la Fuerza Vertical:

𝐹𝑉 = 𝐹𝑉𝐷 + 𝐹𝑉𝐼

𝐹𝑉 = 𝛾𝑉𝐷 + 𝛾𝑉𝐼

Ejemplo 2.4.2

La componente de la Fuerza Vertical:

𝐹𝑉 = 𝐹𝑅 cos 𝜃

Volúmenes Imaginarios – Fuerzas Negativas

Ejemplo 2.4.2

La componente de la Fuerza Vertical:

Ejemplo 2.4.2

La componente de la Fuerza Vertical:

Ejemplo 2.4.2

La componente de la Fuerza Vertical:

𝐹𝑅 = 369910.004 𝑁

𝐹𝑅 = 198652.52 + 312042.6172

Ejemplo 2.4.3

Una masa cilíndrica M de 1 m de diámetro está conectada a una compuerta rectangular de 2 m de ancho como se muestra en la figura. La compuerta se debe abrir cuando el nivel h del agua desciende por abajo de 2.5 m. Determinar el valor necesario para M. Ignorar la fricción en la articulación de la compuerta y en la polea.

Ejemplo 2.4.3

Ejemplo 2.4.3

La Fuerza sobre la compuerta:

Ejemplo 2.4.3

La Fuerza sobre la compuerta:

La Fuerza de la masa:

𝐹𝑀 = 𝑀𝑔 − 𝛾𝜋

4ℎ − 1 𝐸𝑐.2

Ejemplo 2.4.3

La sumatoria de momentos en la articulación,

𝐹𝐻 ∙ 𝐷𝐻 = 𝐹𝑀 ∙ 𝐷𝑀

Igualando las Ec. 2 y Ec. 3,

Ejemplo 2.4.3

La sumatoria de momentos en la articulación,

𝐹𝐻 ∙ 𝐷𝐻 = 𝐹𝑀 ∙ 𝐷𝑀

Igualando las Ec. 2 y Ec. 3,

Ejemplo 2.4.3

La sumatoria de momentos en la articulación,

𝐹𝐻 ∙ 𝐷𝐻 = 𝐹𝑀 ∙ 𝐷𝑀

Igualando las Ec. 2 y Ec. 3,

Ejemplo 2.4.3

La sumatoria de momentos en la articulación,

𝐹𝐻 ∙ 𝐷𝐻 = 𝐹𝑀 ∙ 𝐷𝑀

Igualando las Ec. 2 y Ec. 3,

Ejemplo 2.4.4

Un cubo de material con peso de 445 N se baja a un tanque que contiene una capa de agua encima de una capa de mercurio. Determine la posición del bloque cuando se alcanza el equilibrio.

Ejemplo 2.4.4

¿Cuál es el peso específico del material con el cual se construyó del cubo?

El peso específico del aguas es…

𝛾𝑊 = 9810 𝑁/𝑚3

El peso específico del mercurio es…

𝛾𝑀 = 133416 𝑁/𝑚3

Ejemplo 2.4.4

¿Cuál es el peso específico del material con el cual se construyó del cubo?

El peso específico del aguas es…

𝛾𝑊 = 9810 𝑁/𝑚3

El peso específico del mercurio es…

𝛾𝑀 = 133416 𝑁/𝑚3

Ejemplo 2.4.4

Dado que el cubo se hunde, la fuerza de flotación debe ser igual al peso. Cada fluido tiene una fuerza de flotación,

𝑊 = 𝐹𝐵−𝑊 + 𝐹𝐵−𝑀

𝑊 = 𝛾𝑊∀𝑊 + 𝛾𝑀∀𝑀

Ejemplo 2.4.4

Dado que el cubo se hunde, la fuerza de flotación debe ser igual al peso. Cada fluido tiene una fuerza de flotación,

𝑊 = 𝐹𝐵−𝑊 + 𝐹𝐵−𝑀

𝑊 = 𝛾𝑊∀𝑊 + 𝛾𝑀∀𝑀

𝑊 = 𝛾𝑊 0.3 ∙ 0.3 ∙ 0.3 − 𝑥 + 𝛾𝑀 0.3 ∙ 0.3 ∙ 𝑥

Luego de identificar el volumen corresponde a cada fluido,

Ejemplo 2.4.4

Dado que el cubo se hunde, la fuerza de flotación debe ser igual al peso. Cada fluido tiene una fuerza de flotación,

𝑊 = 𝐹𝐵−𝑊 + 𝐹𝐵−𝑀

𝑊 = 𝛾𝑊∀𝑊 + 𝛾𝑀∀𝑀

445 = 9810 ∙ 0.027 − 0.09 ∙ 𝑥 +133416 0.09 ∙ 𝑥 → 𝑥 = 0.016 𝑚

Luego de identificar el volumen corresponde a cada fluido,

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