cap 2 estática de fluidos

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Capitulo 2. Esttica de Fluidos Fundamentos de Mecnica de Fluidos Carlos Joel Perilla Perilla Contenido Esttica de Fluidos 2.1. Introduccin2.2. Presin en un punto2.3. Variacin de la Presin2.4. Fluidos en Reposo 2.4.1. Presin en lquidos. 2.4.2. Presin en la atmsfera. 2.4.3. Manmetros 2.4.4. Principio de Pascal 2.4.5. Flotacin2.5. Recipientes linealmente acelerados2.6. Recipientes rotatorios Introduccin Estudio de los fluidos que no tienen movimiento relativo entre sus partculas. No hay esfuerzo cortante. Solo esfuerzo normal presin Unidades de medida de la presin En los Estados Unidos comnmente se utilizan unidades de libras por pulgada cuadrada (psi). En la mayora del resto delmundo, el sistema mtrico utiliza kilogramos por metro cuadrado (kg/m2). La presin tambin puede expresarse en trminos de altura de una columna de lquido. Si se vertiera una libra de agua en un tubo de vidrio con un rea de una pulgada cuadrada, el peso del agua sobre esa rea al fondo del tubo es una libray por lo tanto la presin es una psi. A 3.85C, la columna de agua tendra una altura de 72,84 cm. Si reemplazamos el agua con un lquido ms pesado, la presin que se genera aumenta. Por ejemplo, solamente se requieren 5.17 cm de mercurio (Hg) para generar 1 psi vs. 72,84 cm de agua debido a que el mercurio es tan pesado. Una psi equivale a 5.17 cm Hg. Evangelista Torricelli realiz una gran parte de los primeros trabajos acerca de la medicin de presin e invent el barmetro. En su honor, un mmHg ha sido designado como un Torr. El pascal lleva ese nombre por Blaise Pascal, otro matemtico antiguo quien descubri que la presin de aire disminuye con la altitud y que la presin de un fluido es igual en todas las direcciones. Otras unidades de medida de presin son la Atmsfera y el Bar, las cuales son bsicamente equivalentes a la presin atmosfrica al nivel del mar en un da normal. Variacin de la presin y y y yx x x xadxdydz dxdydzg pdsdz dxdz p ma Fadxdydzpdsdz dydz p ma F2 2cos2sin | |= == =| | cos sin ds dx ds dy = =( )dy g a p pdx a p py yx x+ = = 22Las cantidades del lado derecho de las ecuaciones son infinitesimales y se pueden despreciar p p py x= =La presin en un punto es igual en todas las direcciones yzxdxdydza dxdz dyypp pdxdzdxdydza dxdydzg dxdy dzzpp pdydxdxdydza dydz dxdxpp pdydz =||.|

\|cc+ + =|.|

\|cc+ =|.|

\|c+ Si asumimos que el fluido tiene aceleracin mientras la posicin relativa entre sus elementos permanece igual. Se presume que existe una presin p debido a la aceleracin.( ) g azpaypaxpz y x+ =cc =cc =cc El diferencial de presin se puede entonces escribir como: ( )dz g a dy a dx adzzpdyypdxxpdpz y x+ =cc+cc+cc= As, mediante integracin directa se puede hallar la variacin de presin entre dos puntos en el fluido. Esta expresin ser til para casos particulares que se desarrollaran mas adelante. [ 2.1] En un fluido en reposo, la aceleracin es cero; as entonces: dz gdz dp = =Fluidos en reposo Si la densidad es constante la presin se incrementa con la profundidad. z es positivo hacia arriba! cte zpcte z p z p = + = + A = A [2.2] Fluidos en reposo Si el punto de inters fuera una distancia h por debajo de una superficie libre (una superficie que separa un gas de un lquido), entonces: h p =[2.3] Con p=0 cuando h=0. Se convierte presin en una altura de un lquido equivalente. Esta ecuacin es usada para convertir presin al peso equivalente de un lquido; la presin atmosfrica se expresa en mm de mercurio (la presin en el fondo de una columna de 760 mm de mercurio es la misma que la presin en la superficie de la tierra debido a la atmsfera. VASOS COMUNICANTES La presin hidrosttica no depende de la forma del recipiente. Como la presin solo depende de y de h, la presin a cierto nivel de profundidad en cualquiera de los recipientes es la misma. 12 Presin Atmosfrica La densidad depende de la altura = (z), tiempo y latitud. Para los clculos se utiliza la atmsfera estndar que se ubica a 40 de latitud. Troposfera. Es la capa mas cercana a la tierra Variacin lineal de la temperatura vara con la altura: T(z) = T0 oz o (gradiente trmico vertical) = 0,0065 K/m T0 = 288 K.Estratosfera. La temperatura vara entre -56C y 50C. Ionosfera y Exosfera. la densidad del aire es demasiado baja y la presin es muy pequea. Presin Atmosfrica Para determinar la variacin de presin en la troposfera, se utiliza la ley de gas ideal y la variacin de la presin con la altura [2.2]: dzRTgpdpdzRTpgdp gdz dpRTpRT p = = == = Presin Atmosfrica Rgatmatmz ppTz Tp pTz TRgppz TdzRgpdpatmoooo o||.|

\|== =} }000000ln lnSi se asume que la variacin de la temperatura es despreciable cuando la variacin de la elevacin es pequea podemos escribir entonces: |.|

\|== =} }RTgzatmatmz ppe p pzRgppTdzRgpdpatmoln00Presin Atmosfrica Si se utilizan condiciones estndar, se ve que p/patm = 0,999 con z = 10 m. Es decir se pueden omitir los cambios en la presin del aire a menos que z sea relativamente grande. La presin atmosfrica se mide con un barmetro; ste dispositivo, inventado por Evangelista Torricelli (1608-1647), consiste en un tubo cerrado en uno de sus extremos, con una longitud de un metro, el cual es llenado de mercurio y que posteriormente se invierte dentro de un depsito que tambin contiene mercurio. Barmetro A nivel del mar y a una temperatura de 0 oClacolumnaseequilibrara76cm,a estacantidadseledenominauna atmsferaestndar,yesequivalentea 101.3 kPa. Debetomarseencuentaque bajodiferentescondicionesla presinatmosfricavara,por ejemploenlaCiudadde Bogot la columna de mercurio seequilibraa56cm,loque indicaunapresinatmosfrica menorquealniveldelmar, estosignificaquelapresin atmosfricadisminuyeconla altitud. Es un tubo en U, que contiene mercurio en su interior, uno de sus extremos est abierto a la atmsfera y el otro se conecta al recipiente en donde se quiere medir la presin.P Manmetro h H p pH p h pp pHgHg1 0 10 1 13 2 + =+ = +=1 Hg Si la densidad del medio 1 es pequea (1 0) llegamos a la expresin ya conocida: man absp p p + =0Donde p0 es la presin atmosfrica, pabs se denomina presin absoluta, y pman se denomina presin manomtrica gH pman =Principio de Pascal Una variacin en la presin aplicada a un lquido encerrado, se transmite por igual a cada punto del liquido y a las paredes del recipiente que lo contiene. PRENSA HIDRAULICA Las presiones en los 2 mbolos son iguales: 24 La ventaja que presentan los lquidos es que al transmitir Presiones, pueden multiplicar las Fuerzas aumentando el rea sobre la cul se ejerce. 121 211221 2AAF FAFAFP P===PRENSA HIDRAULICA Lo que se gana en fuerza, se pierde en recorrido. Ej: si A1= 10 cm2, A2= 1000 cm2 y el recorrido por el pistn chico es de 5 cm: V=A1.d1=10 cm2.50 cm=500 cm3 d2=V/A2=500 cm3/1000 cm= 0.05 cm 25 Principio de Arqumedes "... se olvidaba de comer y descuidaba su persona, hasta tal punto que, cuando en ocasiones era obligado por la fuerza a baarse y perfumarse, sola trazar figuras geomtricas en las cenizas del fuego y diagramas en los ungentos de su cuerpo, y estaba embargado por una total preocupacin y, en un muy cierto sentido, por una posesin divina de amor y deleite por la ciencia." (Plutarco) Cuenta la leyenda que el rey Hern II de Siracusa le haba dado a un orfebre una cierta cantidad de oro para que le hiciera una corona de oro puro. Cuando se la entregaron, el rey tuvo la sensacin de que no era nada ms oro lo que haba sido usado. Le plante la duda a Arqumedes y ste se dio a la tarea de resolver el misterio...y lleg la hora del bao. Esa vez lo acept sin chistar, pues estaba sumido en el problema de la famosa corona... y cuando se meti a la tina que estaba llena hasta el tope, se dio cuenta de que la cantidad de agua derramada, estaba relacionada a la cantidad de su cuerpo sumergida en el agua. Con la cara iluminada por la alegra, sali de la tina y desnudo, se fue por las calles de la ciudad " Eureka!Eureka!''.Cmo acaba la historia? Arqumedes sumergi la misma cantidad de oro puro que el rey haba entregado al artesano y descubri que sta pesaba ms en el agua de lo que pesaba la corona tambin en el agua; con esto descubri que el material falso de la corona tena mas volmen. El orfebre confes que haba quitado oro y agregado la misma cantidad de plata.Wo B h1 h2 F1 F2 F Al sumergir un objeto en un fluido, se observa una disminucin de su peso. Esto es, hay una fuerza que se opone a la accin de la gravedad. ( )( )g m V g V BV A h h VV A h A h F F F Bf f f ff= = = = = = '' '1 21 2 1 2Vf La flotacin B es la fuerza de reaccin del agua sobre el objeto. Todo cuerpo parcial o totalmente sumergido en un fluido, experimenta una fuerza de empuje hacia arriba igual al peso del volumen del fluido desalojado. a V g V g Va m g m Bo o o o f fo o = = Caso I: Objeto completamente sumergido. a ga V g V g VV Vofo o o o o fo f=||.|

\|= =1 Si f > o entonces a > 0 el objeto asciende Si f < o entonces a > 0 el objeto desciende Caso II: Objeto parcialmente sumergido. foofo o f fVVV Va=== 0La fraccin del volumen del objeto que esta bajo la superficie del fluido es igual a la relacin entre la densidad del objeto y la del fluido Recipientes linealmente acelerados Fluido en reposo con respecto a un marco de referencia acelerado linealmente. De la ecuacin [2.1]: ( )( ) g a a dpk a i a ag a a a dpz xz xz y x+ =+ =+ = 1 2 z1z2 x2x1 ax az Si se integra sobre dos puntos arbitrarios p1 y p2 se obtiene ( ) ( )( )1 2 1 2 1 2z z a g x x a p pz x + = o Si los puntos quedan sobre una lneas de presin constante, tal como la superficie, p2 p1 = 0 y por consiguiente: zxzxa gaa gax xz z+=+=o tan1 22 1rdVRecipientes rotatorios El recipiente rota sobre el eje z. Despus de un tiempo, el lquido alcanza un equilibrio esttico con respecto al recipiente y al marco de referencia rz rotatorio. La presin no depende de la coordenada u. Se aplica las ley de Newton con respecto a la direccin r a un elemento de volumen dV para obtener las ecuaciones de variacin de presin. ( )2222e u uuu u u udrdzr rddz prd pdrdzddz d drrpdz pdrd dz prd dz drrdrp =)`+ +cc ccSimplificando y dividiendo la ecuacin entre el volumen: 2e rrp=ccHaciendo una analoga de la ecuacin [2.1] para coordenadas cilndricas, la diferencial de presin es por tanto (az = 0): gdz dr rdzzpdrrpdp e =cc+cc=2Si se integra sobre dos puntos cualquiera (r1,z1) y (r2,z2) se obtiene: ( ) ( )1 2212221 22z z g r r p p = eSi los dos puntos estn sobre una superficie de presin constante, (superficie libre) y el punto 1 se localiza sobre el eje z de modo que r1 = 0 ( )1 22222z z gr =eEsta es la ecuacin de una parbola; es decir la superficie libre es un paraboloide en revolucin.