1. cinemática partículas 2013-i (1)

Ing. Eduardo Orcés P.

Dinámica

Cinemática de Partículas

Ing. Eduardo Orcés P.

Mayo 15/20132013-I

Ing. Eduardo Orcés P.

TEMAS

Cinemática de partículas

Movimiento rectilíneo

Movimiento curvilíneo

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Una partícula es un cuerpo, posiblemente tan grandecomo un automóvil o un avión, en que solo interesa sumovimiento como una unidad completa, y se ignoracualquier rotación alrededor de su propio centro de masa.

Qué es la Cinemática de Partículas?

La Cinemática de Partículas estudia la geometría delmovimiento de las partículas. Se utiliza para relacionar eldesplazamiento, la velocidad, la aceleración y el tiempo,sin hacer referencia a la causa del movimiento.

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Movimiento rectilíneo: Posición, velocidad y aceleración

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Movimiento rectilíneo: Posición, velocidad y aceleración

• Una partícula que se mueveen línea recta se dice quetiene movimiento rectilíneo.

• La coordenada de posiciónx(t) de la partícula es sudistancia desde el orígen O.

• El movimiento de lapartícula está determinadopor el valor de x(t) en cadainstante. Por ej. x(t) = 6t2 - t3.

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Movimiento rectilíneo: Posición, velocidad y aceleración

• Velocidad promedio

• Velocidad instantánea

• De la definición de derivada

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Movimiento rectilíneo: Posición, velocidad y aceleración

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• Aceleración instantánea

• De la definición de derivada

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Movimiento rectilíneo: Posición, velocidad y aceleración

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• Considerar el movimiento de una partícula:

• En t=0, x=0,v=0, a=12 m/s2.• En t=2s,x=16m,v=vmax=12m/s, a=0.• En t=4s,x=xmax=32m,v=0,a=-12 m/s2.• En t=6s, x=0,v=-36m/s, a=-24 m/s2.

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Determinación del movimiento de una partícula

• El movimiento de una partícula queda determinadocuando se conoce su posición en cada instante.

• Generalmente se conoce la aceleración de la partícula.Se presentan 4 clases de problemas:- Aceleración constante (MUV) ó cero (MU).- Aceleración función del tiempo, a = f(t).- Aceleración función de la posición, a = f(x).- Aceleración función de la velocidad, a = f(v).

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- Aceleración constante (MUV):

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Determinación del movimiento de una partícula

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• Aceleración función del tiempo, a = f(t):

• Aceleración función de la posición, a = f(x):

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Determinación del movimiento de una partícula

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Determinación del movimiento de una partícula

• Aceleración función de la velocidad, a = f(v).

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Movimiento de varias partículas: Movimiento relativo

• El tiempo debe ser medidodesde el mismo instante inicialpara todas las partículas y elorigen de coordenadas debeser el mismo.

• Posición relativa de B con respecto a A:

• Velocidad relativa de B con respecto a A:

• Aceleración relativa de B con respecto a A:

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Movimiento de varias partículas: Movimientos dependientes

• La posición de una partícula puededepender de la posición de otraspartículas.

• La posición de los tres bloques son dependientes (2 grados de libertad)

• La posición del bloque B depende de laposición del bloque A. Suma de la longitudde los segmentos es constante (1 grado delibertad).

• Relaciones similares son válidas para las velocidades y aceleraciones

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Aplicaciones

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Ejemplo 1.1: Un saco lleno de arena es soltado desde unglobo que asciende a la velocidad constante de 6 m/s. Siel saco se suelta con la misma velocidad hacia arriba de 6m/s cuando t = 0, y llega al piso cuando t = 8 s, determinela velocidad del saco al llegar al suelo y la altitud delglobo en ese instante.

yg(t) ys(t)

g

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Ejemplo 1.2 : La aceleración de una partícula en movimientorectilíneo está dada por:

2m/s )12()( −= tta

donde t está en segundos. Si x = 1 m y v = 2 m/s cuandot = 0, determine la velocidad de la partícula y su posicióncuando t = 6 s. También, determine la distancia total querecorre la partícula durante este periodo de tiempo.

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Ejemplo 1.3 : La aceleración del cohete hacia arriba está dada por:

2m/s )02.06()( xxa +=

donde x está en metros. Determinela velocidad del cohete cuandox = 2 km y el tiempo necesario paraalcanzar esta altitud. Inicialmente,v = 0 cuando t = 0.

x(t)

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Ejemplo 1.4: El mecanismo de frenado mostrado se usapara detener el retroceso de un cañón, y consiste de unpistón que se mueve dentro de un cilindro lleno de aceite.Al pasar el aceite a través de orificios en el pistón, éstedesacelera a una tasa proporcional a su velocidad .

Determine v(t), x(t), v(x) si la velocidad inicial es vo.

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Ejemplo 1.5: Una bola es lanzada verticalmente desde unaaltura de 12 m en el pozo de un elevador con una velocidadinicial de 18 m/s. En el mismo instante, un elevador deplataforma abierta pasa el nivel de 5 m de altura con unavelocidad de 2 m/s hacia arriba. Determine: (a) cuándo y dóndela bola golpea al elevador, (b) velocidad relativa de la bola conrespecto al elevador en el momento del impacto.

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Ejemplo 1.6: La polea D está unida a un collarín que es haladohacia abajo a 3 plg/s. En t = 0, el collarín A empieza adescender a partir de K con aceleración constante y velocidadinicial cero. Sabiendo que la velocidad del collarín A es 12 plg/sal pasar por L, determine el cambio en elevación, velocidad yaceleración del bloque B cuando el bloque A está en L.

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Movimiento curvilíneo:

• Una partícula que se mueve en una curva,diferente a una recta, se dice que tienemovimiento curvilíneo.

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Movimiento curvilíneo: Posición, velocidad y aceleración

• Una partícula que se mueve enuna curva, diferente a una recta,se dice que tiene movimientocurvilíneo.

• El vector de posición r(t) de lapartícula es el vector desde elorígen O hasta la posición de lapartícula.

• Velocidad instantánea (vector)

• Rapidez instantánea (escalar)

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Movimiento curvilíneo: Posición, velocidad y aceleración

• Aceleración instantánea (vector)

• En general, la velocidad es unvector tangente a la trayectoria dela partícula, mientras que laaceleración es un vector que tienecomponentes tangencial y normala la trayectoria.

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Componentes rectangulares de la velocidad y aceleración

• Vector de posición en componentesrectangulares

• Vector velocidad

• Vector aceleración

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Componentes rectangulares de la velocidad y aceleración

• Componentes rectangulares son útilescuando las componentes de laaceleración pueden ser integradasindependientemente, p.ej. Movimientode un proyectil,

• con condiciones iniciales,

• integrando dos veces,

• Movimiento del proyectil puede serreemplazado por dos movimientosrectilíneos independientes: horizontaluniforme, vertical MUA. 2013-IIng. Eduardo Orcés P.

Ejemplo 1.7: Una partícula se mueve a lo largo de la curva:

donde x y y tienen unidades de [m]. Si lacomponente de velocidad en la dirección x es vx = 2m/s y permanece constante, determine lasmagnitudes de la velocidad y aceleración cuando x =20 m.

400)(

2xxxy −=

y(x)

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Ejemplo 1.8: Una paracaidista salta desde un avión quemantiene una altitud estable de 1500 m y abre suparacaídas a 300 m. Usando las expresiones cinemáticaspara movimiento de proyectiles, cuál es su rapidez de caídaen el momento que abre su paracaídas? Es razonable estarespuesta?

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Ejemplo 1.9: El pitcher lanza la bola horizontalmente conuna velocidad de 140 pies/s desde una altura de 5 pies. Siel bateador está a una distancia de 60 pies, determine eltiempo que le toma a la bola en llegar al bateador y laaltura a la que pasa por la posición del bateador.

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Ejemplo 1.10: El muchacho en A intenta lanzar una bolapor encima del techo del granero con una velocidad inicialde vA = 15 m/s. Determine el ángulo θA a que se debelanzar la bola para que alcance su máxima altura en C.También, encuentre la distancia d donde él debería pararsepara hacer el lanzamiento.

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Ejemplo 1.11: Pequeños paquetes que viajan sobre untransportador de banda deben caer dentro de un vagón decarga de 1 m de largo. Si el transportador trabaja a unavelocidad constante vC = 2 m/s, determine los valoresmáximo y mínimo de la distancia R a la que se puedecolocar el extremo A del vagón para que los paquetescaigan dentro del vagón.

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Movimiento relativo a un Sistema de referencia (SR) en movimiento de traslación

• En algunos casos, se describemás fácilmente la trayectoria deuna partícula usando variossistemas de referencia.

• La descripción del movimientousando sistemas de referencia(SR) en rotación es difícil, por loque por ahora nos restringiremosal caso que el SR x’y’z’ se trasladacon respecto al SR xyz.

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ABAB rrr /

+=

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Movimiento relativo a un Sistema de referencia (SR) en movimiento de traslación

• El vector de posición relativo de lapartícula B en el SR móvil es rB/A

• Derivando dos veces (asumiendo solotraslación), se obtienen las velocidad yaceleración relativas al SR móvil,

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Como el SR solo se traslada,estos resultados indican que lascomponentes de la velocidad yaceleración relativas,

ABAB av // ,

son debidas solo a los cambiosen las magnitudes, rB/A andvB/A, respectivamente; es decir,no tenemos que preocuparnosde las contribuciones debidasal cambio de orientación de losvectores unitarios

'ˆ , 'ˆ , 'ˆ kji

Movimiento relativo a un Sistema de referencia (SR) en movimiento de traslación

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Ejemplo 1.12: Un hombre puede remar un bote a 5 m/s enagua en reposo. Él desea cruzar un río de 50 m de anchohasta el punto B, que se encuentra 50 m aguas abajo. Si elrío fluye con una velocidad de 2 m/s, determine lavelocidad del bote y el tiempo requerido para hacer elcruce.

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Componentes tangencial y normal• La velocidad v es tangente a la

trayectoria. Generalmente, laaceleración a, no es tangente.

• El vector unitario tangencial ettiene magnitud constante, perosu dirección cambia. El cambioes en la dirección normal, y estádado por

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Componentes tangencial y normal• Aceleración,

• pero,

• Substituyendo en la ecuaciónanterior,

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Componentes tangencial y normal

• El radio de curvatura varía a lo largo de la trayectoria, y sehace infinito en los puntos de inflexión, donde la curvaturase invierte.

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Ejemplo 1.13: La canastilla B rota con una rapidez tangencialque aumenta así:

donde t está en segundos. Si la canastilla empieza desde elreposo cuando θ = 0°, determine las magnitudes de su velocidady aceleración cuando el brazo AB rota θ = 30°.

2m/s 5.0 tB ev =

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Ejemplo 1.14: El avión está volando con una rapidezconstante de 110 m/s a lo largo de la trayectoria curva.Determine la magnitud de la aceleración del avión en elinstante que alcanza el punto A (y = 0).

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Ejemplo 1.15: Una caja muy pequeña se desliza a lo largo deuna trayectoria curva definida por la parábola y(x) = 0.4x2.Cuando está en A, (xA = 2 m, yA = 1.6 m), la rapidez esvA = 8 m/s y aumenta a la tasa dvA/dt = 4 m/s2. Determine lamagnitud de la aceleración de la caja en ese instante.

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Ejemplo 1.16: En cierto instante, cada una de las dospartículas A y B se mueven con una velocidad de 8 m/s a lolargo de las trayectorias mostradas. Si B está desacelerando ala tasa de 6 m/s2 y la rapidez de A está aumentando a la tasade 5 m/s2, determine la aceleración relativa de A con respectoa B en ese instante.

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Ejemplo 1.17: Un conductor está viajando en una seccióncurva de la autopista a 60 mph. El conductor aplica los frenosproduciendo una desaceleración constante del vehículo.Sabiendo que después de 8s la rapidez se ha reducido a45 mph,determine la aceleración del automóvil inmediatamentedespués que se aplican los frenos.

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Componentes radial y transversal (cilíndricas)• Cuando la posición de la

partícula está dada encoordenadas polares, esconveniente usar componentesparalelas y perpendiculares alradio vector OP.

• Velocidad de la partícula,

• Aceleración,

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Ejemplo 1.18: Consideremos nuevamente la canastilla delEjemplo 1.12 anterior, pero ahora el eje A rota a una velocidadangular constante. Cómo se describen la velocidad yaceleración en coordenadas cilíndricas y cómo se relacionanéstas con las componentes normal y tangencial?

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Ejemplo 1.19: El movimiento de la partícula B es controladopor la rotación del eslabón ranurado OA. Si el eslabón rota a una velocidad angular constante de 6 rad/s, determine lasmagnitudes de la velocidad y aceleración de B en el instanteque θ = π/2 rad. La trayectoria espiral es r = 40θ [mm], donde θestá en radianes.

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Ejemplo 1.20: Debido a su acción telescópica, el extremodel brazo robótico industrial se extiende siguiendo latrayectoria: [m] )cos5.01( θ+=r

En el instante θ = π/4rad, el brazo tieneuna velocidad angularde 0.6 rad/s y unaaceleración angular de0.25 rad/s2. Determinelas componentes radialy transversal de lavelocidad y aceleracióndel objeto A quesostiene con sus pinzasen ese instante.

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Ejemplo 1.21: Una partícula P se mueve siguiendo la curvaespiral: [ft] /10 θ=rdonde θ está en rad. Si mantiene una rapidez constante,encuentre expresiones generales para las componentes vr yvθ como funciones de v y θ. Encuentre los valores de vr y vθpara el caso específico de v = 20 ft/s y θ = 1 rad.

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Ejemplo 1.22: La rotación del brazo alrededor del punto O estádefinida por θ = 0.15 t2, donde θ está en rad y t en seg. Elcollarín B se desliza a lo largo del brazo de tal manera quer = 0.9 – 0.12 t2, donde r está en metros. Después que el brazoha rotado 30º, determine: (a) la velocidad total del collarín, (b)la aceleración total del collarín, y (c) la aceleración relativa delcollarín con respecto al brazo.

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Tareas Leer las siguientes secciones del libro de

Beer/Johnston , Dinámica, 8ª Ed.:- Cap. 11, Cinemática de Partículas,

Secs.11.1 a 11.6, 11.9 a 11.14 Problemas:

Mov. rectilíneo 11.4 / 10 / 13 / 16 / 24MUV 11.38 / 46 / 49 / 60 / (69)Mov. Curv. (rect) 11.102 / 122 Mov. Curv. (tn, rθ) 11.142 / 146 / 167 / (171)

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