1 apuntes de cinemática

IES ICHASAGUA4º ESODpto. de Física y Química Problemas: Cinemática

1.- EL MOVIMIENTO

La física estudia la materia y los cambios que sufre ante todo tipo de fenómenos y acciones que suceden sobre ella, al tiempo que estudia los cambios energéticos que se dan en dichos procesos. Uno de los fenómenos que primero se estudiaron y se explicaron fue el del movimiento. La importancia el estudio del movimiento estriba en que es el efecto más común que sufre la materia cuando sobre ella actúan fuerzas. Conocer el movimiento que esas fuerzas han producido es un permite poder describir y explicar mejor cómo son esas fuerzas, o mejor dicho, esas interacciones entre cuerpos.Un primer paso es el de estudiar el movimiento de los cuerpos sin atender a esas causas que lo originan, y éste es el objetivo de la cinemática.

Para cualquier estudio científico uno de los primeros pasos es la identificación de las magnitudes que describan bien el problema. En el caso de la cinemática, estas magnitudes son:

Sistema de referencia

Es lo primero que hay que establecer para el estudio del movimiento. Generalmente es un sistema de coordenadas, al que se le puede referir la posición de un punto material mediante un punto de coordenadas. Se dice que el sistema es un Sistema de Referencia Inercial (SRI) cuando respeta el principio de inercia, es decir cuando está en reposo o con un movimiento rectilíneo a velocidad constante. El Sistema de Referencia No inercial (SRNI) es aquel que está acelerado, como por ejemplo un sistema fijo en un objeto con movimiento de rotación.

Posición:

1

El vector de posición es el vector que une el origen de coordenadas con el punto de posición del cuerpo. Se mide en metros en el S.I.El vector de posición es el vector que une el origen de coordenadas con el punto de posición del cuerpo. Se mide en metros en el S.I.


Tiempo: tEs absoluto para todos los observadores y fluye a su propio ritmo. Se mide en segundos en el S.I.

Con ello se puede hacer una definición de movimiento:

Desplazamiento:

Ec. 1

Si el movimiento es rectilíneo, esta ecuación se puede escribir:

Ec. 1.1

Trayectoria

Existen varios tipos de trayectorias, rectilíneas, curvilíneas, circulares,…

Espacio recorrido: s(t)

A tener en cuenta es que a no ser que el movimiento entre un punto 1

2

Se dice que un cuerpo está en movimiento cuando cambia su posición con el tiempo.Se dice que un cuerpo está en movimiento cuando cambia su posición con el tiempo.

Es el vector que se forma al unir los extremos del vector de posición inicial, y el vector de posición en un instante dado.Es el vector que se forma al unir los extremos del vector de posición inicial, y el vector de posición en un instante dado.

La distancia que implica recorrer la trayectoria es el espacio recorrido.La distancia que implica recorrer la trayectoria es el espacio recorrido.

La curva descrita por el vector de posición a lo largo de su movimiento es lo que se llama trayectoria.La curva descrita por el vector de posición a lo largo de su movimiento es lo que se llama trayectoria.


y otro 2 no sea rectilíneo, el desplazamiento y el espacio recorrido no coinciden.

Para caracterizar el movimiento, o sea, para dar toda la información posible a cerca de donde va a estar el móvil en cada instante es necesario encontrar la ecuación del movimiento. Esta ecuación no es otra cosa sino la ecuación del vector de posición respecto del tiempo,

2.- VELOCIDAD Y ACELERACIÓN

2.1. VelocidadPara estudiar más en profundidad el movimiento se debe cuantificar cómo cambia la posición, si lo hace muy rápido o poco a poco, si siempre es la misma velocidad, etc. La magnitud que recoge los cambios en la posición de un móvil es la velocidad. El vector velocidad da un valor de la velocidad en cada instante, y si el cuerpo se encuentra en la posición en un instante dado, el

vector de velocidad, , será tangente a la trayectoria del cuerpo en ese instante. La unidad en que se mide la velocidad en el S.I. son los metros por segundo (m/s). Evidentemente no es el mismo problema si un cuerpo se mueve en una dirección que en otra, por lo que la velocidad será una magnitud vectorial.

Velocidad media: La velocidad media es el promedio de la velocidad que ha

llevado un cuerpo móvil a lo largo de su desplazamiento y para el que ha tardado un tiempo (t – t0).

Ec. 2

Velocidad instantánea: Si la velocidad no se mantiene constante en un intervalo de tiempo lo suficientemente grande que nos permita caracterizar el movimiento, hay que definir la velocidad instantánea, como la velocidad del objeto en cada instante. Es decir, la velocidad

3


instantánea se puede tomar como la velocidad media en un intervalo de tiempo muy corto.

¿Cómo pasar de km/h a m/s?

Una velocidad de 72 km/h es:

72

Para pasar de m/s a km/h el procedimiento será el inverso.

2.2. Aceleración

Ya se ha visto que la magnitud que recoge los cambios en la posición es la velocidad. La magnitud que recoge los cambios con el tiempo de la velocidad es la aceleración. Su unidad en el S.I. es el metro por segundo al cuadrado (m/s2).

La interpretación geométrica de la aceleración es algo más complicada.

Que un cuerpo tenga 1 m/s2 de aceleración quiere decir que en un segundo su velocidad ha aumentado en un m/s. Si el vector aceleración es negativo, quiere decir que el objeto ha perdido velocidad en ese intervalo de tiempo y el movimiento será desacelerado. De nuevo, se ve que la aceleración es una magnitud vectorial, ya que el problema es distinto si se acelera o si se desacelera.

Aceleración media: La aceleración media es el incremento en el intervalo (t – t0) de la velocidad instantánea :

= Ec. 3

4.- TIPOS DE MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS

4

Ejemplo:

Ejemplo:


Por ser un movimiento rectilíneo, el movimiento se producirá en una solas dirección, por lo que la notación vectorial es innecesaria. Sólo tener en cuenta el signo si se mueve en un sentido o en otro.

4.1. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (MRU)

En este tipo de movimientos la velocidad permanece constante y por tanto, su aceleración es nula. Aplicando este resultado a la Ec. 1.1

Ec. 4

Al representar el espacio recorrido frente al tiempo transcurrido y la velocidad frente al tiempo, las gráficas del movimiento serán:

Gráfica 1 Gráfica 2

En la gráfica 1 se comprueba que un MRU tiene como representación una recta, creciente si el móvil se aleja del origen y decreciente si el móvil se acerca al origen.

En la gráfica 2 se observa como el área de la gráfica se corresponde con el espacio recorrido, así el espacio recorrido es

, y el rectángulo del área tiene una base de y una

altura de . Así base·altura es

Problema de dos móviles que se cruzan. Un tren sale del pueblo en dirección al pueblo B a una velocidad de 90 km/h. Simultáneamente sale desde B otro tren hacia A a 120

5

V0 · (t – t0)

Ejemplo:

Ejemplo:


Km/h. ¿A qué distancia de “A” se cruzan y cuanto tiempo tardan en hacerlo? La distancia entre los pueblos es de 350 km

TREN A TREN BDatos:

Se plantea la ecuación del MRU para el tren A:

)

Datos:

Se plantea la ecuación del MRU para el tren B:

)

Se hace cumplir que

Y para la distancia de A a la que se cruzan:

Problema de dos móviles en persecución. Desde un pueblo sale un corredor a una velocidad de 3 m/s. Media hora más tarde, sale un ciclista a una velocidad de 12 m/s. ¿Cuánto tiempo tarda en alcanzarlo y a qué distancia del pueblo lo hace? Hacer las gráficas espacio tiempo de ambos.

CORREDOR CICLISTADatos:

Se plantea la ecuación del MRU para el tren A:

)

Datos:

Se plantea la ecuación del MRU para el tren B:

)

Cuando el ciclista lo alcance se ha de cumplir que

Y para la distancia a la que lo alcanza:

6

A B

350 km

VA = 90 km/h VB = -120 km/h

Ejemplo:

Ejemplo:


4.2. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV)

En este movimiento la aceleración, es distinta de cero pero permanece constante y el movimiento es rectilíneo, por lo que de nuevo se puede obviar el tratamiento vectorial. Si la aceleración es positiva será un MRUA y si es negativa un MRUV. Si la aceleración es constante de la ecuación 3 sale lo siguiente:

Ec. 5

Las gráficas velocidad frente a tiempo

MRUA MRUD

La expresión para el espacio recorrido es:

7

t(s)2400 s

7200

corredor

ciclista

X(m)


Ec. 6

La deducción de es similar a la anterior y basta con calcular el área que encierra la gráfica v-t para calcular el espacio recorrido.Al representar la gráfica espacio frente a tiempo de este movimiento se obtiene una función parabólica como se ve por la dependencia de .

De combinar las ecuaciones 5 y 6 se obtiene otra de mucha utilidad, que es:

Ec. 7

Un coche circula a 90 km/h, de repente empieza a frenar y se detiene en 6 segundos. Calcular la aceleración de frenado. La distancia que recorre hasta detenerse. Y la velocidad que lleva a los 4 segundos.Datos:

; ;

Para calcular la aceleración:

=

El signo menos indica que es un MRUD

Para calcular la distancia de frenado:

Otra forma:

=

Para calcular la velocidad a los 4 segundos

Dada la siguiente gráfica, calcular la distancia recorrido en cada tramo, y la aceleración en cada tramo.

8

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:


Tramo I (0-5 seg); MRUAdatos


=

Para calcular la distancia recorrida:

Tramo II (5-15 seg); MRUADatos


=


Tramo III (15-25 seg); MRUDatos


=


Tramo IV (25-30 seg); MRUDDatos


= Para calcular la distancia recorrida:

Distancia total recorrida:

4.3. CAÍDA LIBRE

En todo el desarrollo de este tema se ha hecho la aproximación del punto material, que consiste en no atender a las dimensiones del objeto que se mueve. Un corredor, un ciclista, una moto, un coche, un tren,… todos responden a las mismas ecuaciones y sus dimensiones y formas no han intervenido en la resolución del problema, esto es porque se les ha considerado como un punto material, un punto que contiene al móvil completo.

9

V (m/s)

t (s)

15

25

5 15 3025


Cuando un objeto se deja caer se observa que el efecto de la resistencia del aire es muy notable, no hay más que pensar en una hoja de papel cayendo. Si se logra eliminar esa resistencia o por lo menos minimizarla, se comprueba que cerca de la superficie terrestre, todos los objetos caen con un MRUA cuya aceleración es de 9,8 m/s2 (aceleración de la gravedad). Este valor varía según la latitud, siendo distinta en el Ecuador que en los Polos. Pero en nuestro caso la tomaremos como constante.

Este hecho de que todos los cuerpos caigan con la misma aceleración implica que la velocidad de caída no depende de la masa del objeto (siempre que se desprecie la resistencia del aire). Es decir, dos objetos que tengan la misma forma (dos pelotas por ejemplo), y que una pese el doble que la otra, al dejarse caer desde una misma altura, llegarán al suelo al mismo tiempo y con la misma velocidad lógicamente.

Este problema fue estudiado, investigado y formulado por Galileo Galilei quien en 1590 publica “Sobre el movimiento”. Se puede decir que el método de Galileo establece las bases del método científico, que es la manera que tienen los científicos de investigar la naturaleza.

Así, el problema de la caída libre no es más que un MRUA, y cuya aceleración es ya conocida y se denota por la letra g y vale 9,8 m/s2 como ya se dijo antes. Las ecuaciones de la caída libre se pueden escribir entonces:

Ec. 8

Ec. 9

Lanzamiento hacia arriba. Se lanza hacia arriba un objeto con una velocidad de 8 m/s, Calcular la máxima altura que alcanza y el tiempo que tarda en subir.

Datos:

10

Ejemplo:

Ejemplo:


En la subida, el movimiento es MRUD, por lo que g = - 9,8. En el punto de máxima altura se cumple que

Si se trabaja con la ecuación de la velocidad se obtiene el tiempo que tarda en subir.

Para calculara la máxima altura se sustituye ahora en la ecuación de la altura

Caída hacia abajo. Se deja caer un objeto desde lo alto de una torre de 70 metros. Calcular la velocidad con que llega al suelo y el tiempo que tarda en caer.

Datos: ;y

el sentido positivo es del eje y es hacia abajo

En la caída, el movimiento es MRUA, por lo que g = + 9,8 m/s2.

Para calculara el tiempo de caída se sustituye ahora en la ecuación de la altura

Si se trabaja con la ecuación de la velocidad se obtiene la velocidad con la que llega al suelo

11

Ejemplo:

Ejemplo:

70 m+


MOVIMIENTO CIRCULAR

6.- MAGNITUDES ANGULARES

Muchos de los movimientos de la naturaleza y que podemos observar a nuestro alrededor son movimientos de rotación, por ejemplo un tiovivo, una peonza, una puerta, el movimiento de los astros, de los satélites artificiales, etc.La mayoría de los movimientos que se dan en la naturaleza son una combinación de movimientos rectilíneos y movimientos de rotación. Para hacer un estudio más exacto del movimiento de los cuerpos es preciso pues conocer bien ambos movimientos.

El movimiento de rotación de una partícula queda descrito por el radio de curvatura de la trayectoria R, y una serie de variables que llamaremos angulares. Estas magnitudes angulares están relacionadas con las magnitudes lineales ya conocidas como el espacio recorrido, la velocidad lineal y la aceleración lineal.

Donde: S es el arco recorrido y se mide en metrosR es el radio de la trayectoria y se mide en metrosφ es el ángulo recorrido y su unidad en el sistema internacional es el radián (rad)

Es preciso conocer las relaciones:

ec. 10 ec. 11

6.1. Velocidad Angular ( ω )

La velocidad angular no recoge otra cosa sino la variación del ángulo descrito por el vector posición r en la unidad de tiempo.

12

360º = 2π radianes360º = 2π radianes


Expresado analíticamente tenemos una expresión para la velocidad angular media:ω = (φ – φ0) / (t – t0). La unidad de ω en el sistema internacional es: rad/sPero la expresión que más nos interesa la que relaciona a la velocidad lineal con la velocidad angular y que se deduce de la ec. 2

ec. 12Es importante saber que la velocidad angular es un vector y su dirección es perpendicular a la velocidad v y al radio vector r. Y por lo que la ec. 3 vectorial.

6.2. Revoluciones por minuto (rpm)

Las revoluciones por minuto son una unidad muy utilizada para dar la velocidad angular, y recogen el número de vueltas que da un cuerpo en un minuto. Así 1rpm son 2π radianes en 60 segundos, por lo que se puede deducir el factor de paso de rpm a rad/s:

1 rpm = 2π rad / 60 seg ec. 13

7.- MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (M.C.U.)

Cuando el movimiento curvilíneo tiene un radio de curvatura constante se tiene el caso particular del movimiento circular, y si además este movimiento tiene una velocidad angular constante, el movimiento será circular y uniforme. O sea que:

Si r y ω son constantes M.C.U.

Bajo estas condiciones podemos encontrar la ecuación del ángulo recorrido en un movimiento circular en función del tiempo sin más que operar con la expresión antes vista de la velocidad angular media. Así se tiene que para un M.C.U.:

ec. 14

Donde se ha supuesto que el tiempo inicial t0 es nulo. Y φ0 es el ángulo inicial.Si se multiplica esta ecuación por el radio R se tiene la expresión de un MRU

13

1 rpm = π/30 rad/seg1 rpm = π/30 rad/seg

φ = φ0 + ω · tφ = φ0 + ω · t


7.1. Período del movimiento (T)

Un móvil que describe un M.C.U. siempre emplea el mismo tiempo en dar una vuelta, a este tiempo es a lo que se llama período del movimiento de rotación y por ser un tiempo se mide en segundos. En ese tiempo, el móvil da una vuelta completa como ya se ha dicho, o sea 360º, o lo que es lo mismo 2π radianes. Por lo tanto, podemos encontrar una expresión para el período del movimiento a partir de la ec. 5

φ = ω · t que para una vuelta es: 2π = ω · T, y nos queda que el periodo del M.C.U. puede escribirse como:

ec. 15

Esta magnitud es muy útil para el estudio del movimiento de rotación de los cuerpos celestes.

7.2. Frecuencia del movimiento

En este tipo de movimientos también se define una nueva magnitud que es la frecuencia. Su unidad en el sistema internacional es el Herzio (Hz)

La frecuencia se define como la inversa del período, y nos da idea del número de vueltas que da un móvil en un sólo segundo. A partir de esta definición se puede decir que:

ec. 16

Esta magnitud tiene su utilidad en M.C.U. de gran velocidad como puede ser el de electrones girando alrededor del núcleo o de una partícula cargada en un acelerador lineal de partículas.

A modo de resumen se ponen las ecuaciones que relacionan magnitudes angulares con magnitudes lineales:

14

= + · = + ·

ω = 2π / Tω = 2π / T

f = 1/ T ; ω = 2π · ff = 1/ T ; ω = 2π · f


9.- COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA ACELERACIÓN EN MOVIMIENTOS CIRCULARES

Existe un sistema de referencia situado sobre el móvil y a las coordenadas de los vectores en ese sistema de referencia se les llama coordenadas intrínsecas. En concreto, las coordenadas de la aceleración son las más importantes para describir los movimientos.En este sistema se tienen dos componentes, una llamada tangencial, y cuya dirección es tangente a la trayectoria en cada punto de la misma, y otra normal, que es perpendicular a la primera y apunta hacia el radio de curvatura. Si la velocidad es constante parecería lógico pensar que no hay aceleración. Sin embargo, cuando un coche toma una curva a una velocidad constante los pasajeros se desplazan (o tienden a ello) hacia fuera de la curva, lo que implica la presencia de una aceleración.

Por último, sólo queda dar la expresión algebraica de ambas aceleraciones, cuya deducción quedan fuera del nivel de este curso, pero que se dan aquí para su aplicación en problemas muy sencillos.

ec. 20 ec. 21

15

at = aat = a an = v2/Ran = v2/R


1. El Sol está a 152 millones de kilómetros de la tierra. Si la luz viaja a 300.000 Km/s, ¿Cuánto tiempo tarda en llegar un fotón de luz emitido por el sol a la tierra?

2. La estrella alfa-centauro es segunda estrella más cercana a la tierra después de el Sol, y está a 4 años luz aproximadamente, si quisiésemos ir allí en una nave capaz de viajar a 30.000 Km/h, ¿cuánto tiempo tardaríamos?

3. Si entre los relámpagos de una tormenta y el sonido del trueno transcurren 6 segundos, ¿a qué distancia de nosotros estará la tormenta? Dato: velocidad del sonido es 340m/s.

4. Dos pueblos separados por 200Km están unidos por una carretera. De cada pueblo salen sendos coches al mismo tiempo. El que sale del pueblo A va a 60 Km /h y el que sale de B va a 45 Km/h, ¿a qué distancia del pueblo A se cruzan? Representa la gráfica e-t de ambos coches.

5. Un ciclista sale de un pueblo y marcha con una velocidad constante de 45 Km/h durante media hora, luego se para y descansa 10 minutos, finalmente regresa al pueblo a una velocidad constante pero tarda 45 minutos. Representa las gráficas e-t y v-t y calcula la velocidad que lleva en el regreso.

6. Un ciclista sale de un pueblo con un MRU y a 25 Km/h, 15 minutos más tarde sale una moto que va a 54 Km/h, ¿a qué distancia lo alcanza y cuánto tiempo tarda en hacerlo? Representa las gráficas e-t y v-t y calcula la velocidad que lleva en el regreso.

7. Un coche va a 90 Km/h y empieza a frenar, calcula la distancia que tarda en detenerse y el tiempo que tarda en hacerlo. Representa las gráficas e-t y v-t del movimiento.

8. Una moto iba 60 Km/h y recorrió 70 metros hasta detenerse totalmente, calcula la aceleración de frenado que desarrolló la moto.

9. A partir de las gráficas siguientes indica el tipo de movimiento que tiene el móvil en cada tramo, y calcula los metros recorridos, la velocidad y la aceleración en cada uno de ellos.

a)

16


b)

10. Un coche va a 120 Km/h cuando el conductor ve un obstáculo a 90 metros de distancia, si el tiempo de reacción del conductor es de 0,15 segundos, averiguar si logrará detenerse antes de llegar al obstáculo o si chocará con él. Pista: Durante los 0,15 segundos el coche sigue con MRU.

11. El transbordador Atlantis es capaz de desarrollar en su despegue 40m/s2 de aceleración, ¿qué velocidad tendrá a los 3 minutos de haber despegado? ¿Y qué distancia habrá recorrido?

12. Un alumn@ de 4º ESO del IES ICHASAGUA circula en su moto a una velocidad de 55Km/h por la carretera y la frenada máxima de su moto es de 6 m/s2, ¿Cuál será la distancia que recorre hasta pararse? Cuando está a 25 metros de un paso de peatones empieza a frenar para evitar atropellar a un peatón que cruza, ¿Conseguirá evitarlo? En un día lluvioso, con la calzada mojada, la capacidad de frenado de la moto se reduce drásticamente hasta 4 m/s2, ¿Lo conseguirá ahora? Si no es así, ¿a qué velocidad (en Km/h) debería de haber estado circulando?

13. Desde lo alto de una torre de 90 m de altura se deja caer hacia abajo una piedra, calcula el tiempo de caída y la velocidad con que llega al suelo.

14. Lanzamos una bola hacia arriba con una velocidad inicial de 30 m/s y tarda 3,06 segundos en pararse. Demuestra que la aceleración de la gravedad es 9,8 m/s2; que el tiempo que tarda

17

e (m)

45

15

5 129 23t (s)

v (m/s)

20

10

4 128 20t (s)

22

18


en caer es el mismo que e en subir; y que llega al suelo con la misma velocidad que la lanzamos.

15. Desde una torre de 35 metros de altura lanzamos hacia arriba una piedra con una velocidad de 10 m/s, calcula la altura máxima que alcanza, el tiempo que tarda en caer y la velocidad al llegar al suelo.

16. Repetir el problema anterior en la Luna donde su aceleración de la gravedad es 1,6 m/s2

17. *Desde la boca de un pozo de 50 metros de profundidad se deja caer una piedra, ¿Cuánto tiempo pasará hasta que oigamos el ruido de la piedra al caer en el agua? Dato: velocidad del sonido en el aire 340m/s.

18. Calcula la velocidad angular en rad/seg, la frecuencia y el periodo de horario, el minutero y el secundero de un reloj.

19. Un tiovivo gira a 10 vueltas por minuto, que velocidad lleva un niño subido en un caballito del borde del tiovivo.

20. Las ruedas de un coche tiene una altura de 90 cm, si el motor gira a 3000 rpm, calcula la velocidad lineal de un punto del borde de la rueda y los metros que recorrerá ese coche en 12 minutos.

21. Un coche toma una curva de 20 metros de radio a 55 Km /h, calcula su velocidad angular y su aceleración normal.

18

1 apuntes de cinemática

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