Algebra LinealTarea No 17: Proceso de ortogonalizacion de Gram-Schmidt

Solucion a algunos problemas de la tarea (al 29 de junio de 2014)

Funciones Requeridas

La que calcula la proyeccion ortogonal o perpendicular

de un vector sobre otro. Es importante el orden: el pri-

mer argumento corresponde al vector que se proyecta

sobre el segundo argumento.

La que calcula la componente ortogonal o perpendicu-

lar de un vector sobre otro.

La que calcula la distancia entre dos vectores

En Maple:

En Mathematica:

1. Sea V es espacio generado por el conjunto de vectoresv1 =

5

0

0

−2

,v2 =

1

−3

−1

−1

,v3 =

1

−2

1

5

Defina u1 = v1. Indique las coordenadas de u2, la com-

ponente ortogonal de v2 sobre U1 = Gen {u1}.

Solucion

Recuerde que la proyeccion ortogonal, o simplemente

proyeccion, de v sobre u se define como

proy(v,u) = proyu(v) =v • u

u • uu

mientras que la componente ortogonal de v sobre u se

define como

compu(v) = v − proyu(v)

Ma1019, Tarea No 17: Proceso de ortogonalizacion de Gram-Schmidt 2

Por otro lado, la proyeccion ortogonal de v sobre el

espacio U generado por el conjunto de vectores orto-

gonales {u1, . . .uk} no nulos se define como

proyU (v) = proyu1(v) + proyu2

(v) + · · ·+ proyuk(v)

Y por ultimo, la componente ortogonal de v sobre el

espacio U generado por el conjunto de vectores ortogo-

nales {u1, . . .uk} no nulos se define como

compU (v) = v − proyU (v)

Con esto en mente

v2•u1 = (1)·(5)+(−3)·(0)+(−1)·(0)+(−1)·(−2) = 7

u1 •u1 = (5) · (5) + (0) · (0) + (0) · (0) + (−2) · (−2) = 29

y por tanto

proyu1(v2) =

v2 • u1

u1 • u1u1 =<

35

29, 0, 0,−14

29>

y ası

compU1(v2) = compu1

(v2)

= v2 − proyu1(v2)

= < − 629 ,−3,−1,− 15

29 >

�

2. Usando los datos del problema anterior, indique las

coordenadas de u3, la componente ortogonal de v3 so-

bre U2 = Gen {u1,u2}.Solucion

Siguiendo el procedimiento de ortogonalizacion de

Gram-Schmidt, tenemos que

u2 = compu1(v2) =< − 6

29,−3,−1,−15

29>

y por tanto si U2 = Gen {u1,u2}, tenemos

compU2(v3) = v3 − proyu1

(v3)− proyu2(v3)

= < 570299 ,−

406299 ,

363299 ,

1425299 >

Si los calculos se van a realizar en una calculadora, con-

viene definir la funcion que da la proyeccion de un vec-

tor sobre otro y la funcion que calcula la componente

ortogonal de un vector sobre otro. Las definiciones y los

calculos se ilustran en la siguiente figura.

�

3. Usando los datos del problema anterior, indique

las coordenadas de la proyeccion del vector b =

(0,−2, 3, 2)′

sobre U3 = Gen {u1,u2,u3}.

Solucion

Seguimos con el proceso de Gram-Schmidt y definimos

u3 = compU2(v3)

= < 570299 ,−

406299 ,

363299 ,

1425299 >

y ası la proyeccion de b sobre U3 sera

proyU3(b) = proyu1

(b) + proyu2(b) + proyu3

(b)

= < 259887 ,−

57624435 ,

40778870 ,

48431774 >

�

Ma1019, Tarea No 17: Proceso de ortogonalizacion de Gram-Schmidt 3

4. Usando los datos del problema anterior, determine la

distancia de b a U3.

Solucion

La distancia de b a U3 es la distancia de b a su proyec-

cion sobre U3:

d (b, U3) = ‖b− proyU3(b)‖

= 259√88708870

≈ 2.75003

�

5. Determine la distancia de P (−1, 5, 5) al espacio Uque

generan los vectores:

B =

v1 =

5

−1

3

,v2 =

0

0

−1

Solucion

Sabemos que la distancia de P a U es la distancia de

P a su proyeccion sobre U . Como

v2 • v1 = −3 6= 0

el conjunto B no es ortogonal y no podemos calcular

directamente la proyeccion sobre U , debemos aplicar el

proceso de Gram-Schmidt:

u1 = v1

u2 = v2 − proyu1(v2)

= < 37 ,−

335 ,−

2635 >

por tanto, la proyeccion de P sobre U sera

z = proyU (P) = proyu1(P)+proyu2

(P) =< −25

13,

5

13, 5 >

y ası

d (P, U) = d (P, z) ≈ 4.70679

�

6. Determine la distancia de P (2,−2, 3) al espacio U que

generan los vectores:

B =

v1 =

−2

5

−1

,v2 =

−3

0

−1

,v3 =

−8

5

−3

Solucion

Apliquemos el proceso de ortogonalizacion al conjunto

B:

u1 = v1

u2 = v2 − proyu1(v2)

= < 3815 ,−

76 ,−

2330 >

u3 = v3 − proyu1(v3)− proyu2

(v3)

= < 0, 0, 0 >

Como el vector u3 es cero, lo debemos descartar de los

vectores u’s:

U = Gen {v1,v2,v3} = Gen {u1,u2}

y la proyeccion se calculara solo usando los vectores u1

y u2:

z = proyU (P) = proyu1(P)+proyu2

(P) =<667

251,−535

251,

258

251>

y por tanto

d (P, U) = d (P, z) ≈ 2.08294

Ma1019, Tarea No 17: Proceso de ortogonalizacion de Gram-Schmidt 4

�

7. Determine la distancia de P (1, 0,−3, 1) al espacio que

generan los vectores:

B =

v1 =

2

−1

4

−3

,v2 =

−3

1

−1

−1

,v3 =

0

3

−1

4

Solucion

Apliquemos el proceso de ortogonalizacion al conjunto

B:

a1 = v1

a2 = v2 − proya1(v2)

= < − 3715 ,

1715 ,

115 ,−

95 >

a3 = v3 − proya1(v3)− proya2

(v3)

= < 0, 20374 , 58

37 ,8774 >

la proyeccion se calculara usando los vectores a1,a2 y

a3:

z = proyU (P)

= proya1(P) + proya2

(P) + proya3(P)

= < 14 ,−

34 ,−

94 ,

74 >

y por tanto

d (P, U) = d (P, z) = 1.5

Otra manera de hacer estos problemas es utilizando la

factorizacion QR: este comando aplica el proceso de

Gram-Schmidt a las columnas de una matriz A y entre-

ga una matriz Q cuyas columnas son una base ortonor-

mal para el espacio columna de la matriz A y ademas

tambien entrega una matriz R que permite calcular los

coeficientes de una combinacion lineal para las colum-

nas de A usando los coeficientes de una combinacion

lineal de las columnas de Q. La forma de usarlo en la

TI consiste en

primero formar una matriz cuyas columnas son los

vectores que generan el espacio, supongamos que

la matriz se asigna a la variable A

segundo invocar el proceso de Gram-Schmidt me-

diante la instruccion

qr A, q, r

a la variable q se le asignara la matriz Q y a la

variable r se le asignara la matriz R.

tercero, para calcular la proyeccion de P haremos

el calculo

Q ·QT ·P

La logica detras de esta operacion es la siguiente:

al hacer QT ·P se obtiene un vector cuyas compo-

nentes ci son

ci = qi •P

(qi es la columna i-esima de Q) y como los vecto-

res qi son unitarios, ci sera el coeficiente

ci =P • qi

qi • qi

Ma1019, Tarea No 17: Proceso de ortogonalizacion de Gram-Schmidt 5

es decir, que lo unico que falta para tener la pro-

yeccion de P sobre qi es multiplicar por qi. Ası

proyC(A) (P) =∑k

i=1 ci qi

= [q1 · · ·qk] ·

c1...

ck

= Q ·

c1...

ck

z = Q ·QT ·P

�

8. Determine la distancia de P (4,−4, 4) a

U = Gen

1

1

−2

,

2

0

1

Solucion

Aplicamos el proceso de Gram-Schmidt para ortogona-

lizar los vectores del conjunto generador y obtener una

base ortonormal para U , y posteriormente calculamos

la proyeccion z de P sobre U :

z = proyU (P) = Q ·QT ·P =<52

15,−4

3,

76

15>

y por tanto

d (P, U) = d(P, z) ≈ 2.92119

�

9. Determine la distancia de P (2, 0, 4) a

U = Gen

1

1

−2

,

2

3

1

Solucion

Aplicamos el proceso de Gram-Schmidt para ortogona-

lizar los vectores del conjunto generador y obtener una

base ortonormal para U , y posteriormente calculamos

la proyeccion z de P sobre U :

z = proyU (P) = Q ·QT ·P =<8

25,

6

5,

94

25>

y por tanto

d (P, U) = d(P, z) ≈ 2.07846

�

Ma1019, Tarea No 17: Proceso de ortogonalizacion de Gram-Schmidt 6

10. Determine las coordenadas de la proyeccion ortogonal

de u = (3, 2)′

sobre la recta L que pasa por el punto

P (5, 5) y el origen.

Solucion

La recta L es precisamente U = Gen {< 5, 5 >}. Apli-

camos el proceso de Gram-Schmidt para ortogonalizar

< 5, 5 > y obtener una base ortonormal para U , y pos-

teriormente calculamos la proyeccion z de P sobre U :

z = proyU (P) = Q ·QT ·P =<5

2,

5

2>

�