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Algebra LinealTarea No 14: Independencia lineal, espacios generados y bases

Solucion a algunos problemas de la tarea (al 29 de junio de 2014)

1. Indique si la matriz

A =

[4 2

−3 1

]es una combinacion lineal de las matrices:

A1 =

[3 1

0 4

]

A2 =

[6 2

0 8

]y

A3 =

[4 −2

0 4

]

A Cierto

B Falso

Solucion

Debemos ver si acaso existen escalares c1, c2 y c3 tales que

c1 A1 + c2 A2 + c3 A3 = A (1)

Al desarrollar el lado izquierdo, lo anterior se convierte en:[3 c1 + 6 c2 + 4 c3 1 c1 + 2 c2−2 c30 c1 + 0 c2 + 0 c3 4 c1 + 8 c2 + 4 c3

]=

[4 2

−3 1

]Entonces para la igualdad se debe cumplir:

elemento (1, 1) : 3 c1 + 6 c2 + 4 c3 = 4

elemento (1, 2) : 1 c1 + 2 c2−2 c3 = 2

elemento (2, 1) : 0 c1 + 0 c2 + 0 c3 = −3

elemento (2, 2) : 4 c1 + 8 c2 + 4 c3 = 1

Esto es un SEL que tiene como matriz aumentada:

c1 c2 c3 rhs

3 6 4 4

1 2 −2 2

0 0 0 −3

4 8 4 1

A1 A2 A3 A

para analizar el SEL no hace falta reducir: sera inconsis-

tente por el renglon 3. Concluimos que no existen escalares

c1, c2 y c3 que cumplan la relacion 1. Por tanto, es falso

que A sea combinacion lineal de A1, A2 y A3 �

2. Indique si el polinomio

p(x) = 11− 2x− 8x3

es una combinacion lineal de los polinomios:

p1(x) = 2− x− 3x3

p2(x) = 1 + 2x + 4x2 + 4x3

y

p3(x) = −3 + x + 2x2 + 3x3

A Cierto

B Falso

Solucion

Debemos ver si acaso existen escalares c1, c2 y c3 tales que

c1 p1(x) + c2 p2(x) + c3 p3(x) = p(x) (2)

Al sustituir los polinomios, desarrollar los productos y

agrupar respecto a las potencias de x el lado izquierdo,

lo anterior se convierte en:

(2 c1 + 1 c2−2 c3) +

(−1 c1 + 2 c2 + 1 c3) x+

(0 c1 + 4 c2 + 2 c3) x2+

(−3 c1 + 4 c2 + 3 c3) x3 =

11− 2x + 0x2 − 8x3

por lo tanto, c1, c2 y c3 deben balancear ambos miembros

de la igualdad, es decir deben cumplir:

constante : 2 c1 + 1 c2−3 c3 = 11

coef. en x : −1 c1 + 2 c2 + 1 c3 = −2

coef. en x2 : 0 c1 + 4 c2 + 2 c3 = 0

coef. en x3 : −3 c1 + 4 c2 + 3 c3 = −8

esto es un SEL cuya aumentada es

A =

c1 c2 c3 rhs

2 1 −2 11

−1 2 1 −2

0 4 2 0

−3 4 3 −8

p1(x) p2(x) p3(x) p(x)

Ma1019, Tarea No 14: Independencia lineal, espacios generados y bases 2

al reducirla obtenemosc1 c2 c3 rhs

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

Concluimos que el SEL es inconsistente. Por tanto, no exis-

ten escalares c1, c2 y c3 que cumplan la relacion 2. Por tan-

to, es falso que p(x) sea una combinacion lineal de p1(x),

p2(x) y p3(x) �

3. Si

p1(x) = 11 + 5x, p2(x) = 5 + 2x, p3(x) = 6 + 3x, p4(x) = 33+15x

Indique cuales opciones contienen declaraciones ciertas:

1. p4(x) ∈ Gen {p3(x)} 2. p4(x) ∈ Gen {p1(x)}3. p1(x) ∈ Gen {p2(x), p3(x)} 4. p2(x) ∈ Gen {p1(x), p4(x)}5. p2(x) ∈ Gen {p1(x), p3(x)} 6. p1(x) ∈ Gen {p4(x)}

Solucion

1. p4(x) ∈ Gen {p3(x)} falso, porquec1 rhs

6 33

3 15

p3(x) p4(x)

rref−−−→

c1 rhs

1 0

0 1

da inconsistente.

2. p4(x) ∈ Gen {p1(x)} cierto, porquec1 rhs

11 33

5 15

p1(x) p4(x)

rref−−−→

c1 rhs

1 3

0 0

p1(x) p4(x)

da consistente (p4(x) = 3 p1(x))

3. p1(x) ∈ Gen {p2(x), p3(x)} cierto, porquec1 c2 rhs

5 6 11

2 3 5

p2(x) p3(x) p1(x)

rref−−−→

c1 c2 rhs

1 0 1

0 1 1

p2(x) p3(x) p1(x)

da consistente (p1(x) = 1 · p2(x) + 1 · p3(x))

4. p2(x) ∈ Gen {p1(x), p4(x)} falso, porquec1 c2 rhs

11 33 5

5 15 2

p1(x) p4(x) p2(x)

rref−−−→

c1 c2 rhs

1 3 0

0 0 1

p1(x) p4(x) p2(x)

da inconsistente.

�

4. Si

A1 =

[6 6

4 2

]A2 =

[3 5

1 −3

]

A3 =

[15 21

7 −7

]A4 =

[12 12

8 4

]Indique cuales opciones contienen declaraciones ciertas:

1. A4 ∈ Gen{A2,A3} 2. A4 ∈ Gen{A3}3. A1 ∈ Gen{A2,A3} 4. A1 ∈ Gen{A4}5. A3 ∈ Gen{A1,A2} 6. A4 ∈ Gen{A1}

Solucion


1. A4 ∈ Gen{A2,A3} cierto, porque

c1 c2 rhs

3 15 12

5 21 12

1 7 8

−3 −7 4

A2 A3 A4

rref−−−→

c1 c2 rhs

1 0 −6

0 1 2

0 0 0

0 0 0

A2 A3 A4

da consistente (A4 = −6 ·A2 + 2 ·A3).

2. A4 ∈ Gen{A3} falso, porque

c1 rhs

15 12

5 12

1 8

−3 4

A3 A4

rref−−−→

c1 rhs

1 0

0 1

0 0

0 0

A3 A4

da inconsistente.

3. A1 ∈ Gen{A2,A3} falso, porque

c1 c2 rhs

3 15 6

5 21 6

1 7 4

−3 −7 2

A2 A3 A1

rref−−−→

c1 c2 rhs

1 0 −3

0 1 1

0 0 0

0 0 0

A2 A3 A1

es consistente (A1 = −3 ·A2 + 1 ·A3).

4. A1 ∈ Gen{A4} cierto, porque se ve que

A1 =1

2·A4

5. A3 ∈ Gen{A1,A2} falso, porque

c1 c2 rhs

6 3 15

6 5 21

4 1 7

2 −3 −7

A1 A2 A3

rref−−−→

c1 c2 rhs

1 0 1

0 1 3

0 0 0

0 0 0

A1 A2 A3

es consistente (A3 = 1 ·A1 + 3 ·A2).

6. A4 ∈ Gen{A1} cierto , porque se ve que

A4 = 2 ·A1

�

5. Que valor debe tener a para que el polinomio:

p(x) = a− 2x

sea una combinacion lineal de los polinomios:

p1(x) = 1 + x2 + x3

p2(x) = −1 + x− x2 + x3

p3(x) = −1 + x + 4x2 + x3

Solucion

Buscamos el valor de a que nos de la consistencia de la

matriz aumentada:

c1 c2 c3 rhs

1 −1 −1 a

0 1 1 −2

1 −1 4 0

1 1 1 0

p1(x) p2(x) p3(x) p(x)

como la matriz tiene variables, no podemos utilizar rref;

pero la consistencia esta dada por la escalonada. Si esca-

lonamos haciendo las operaciones elementales de renglon:

1.- R3 ← R3 −R1

2.- R4 ← R4 −R1

3.- R4 ← R4 − 2R2

obtenemos: 1 −1 −1 a

0 1 1 −2

0 0 5 −a0 0 0 4− a


por lo tanto, habra consistencia si y solo si no queda pi-

vote en la columna de las constantes, es decir, si y solo si

4− a = 0; es decir, si y solo si a = 4 �

6. Que valor debe tener a para que la matriz:

A =

[−12 −2

3 a

]sea una combinacion lineal de las matrices:

A1 =

[0 2

0 −3

]A2 =

[3 2

−1 −1

]A3 =

[−1 0

0 1

]

Solucion

Requerimos encontrar el valor de a que nos garantice que

sea consistente el sistema con aumentada

c1 c2 c3 rhs

0 3 −1 −12

2 2 0 −2

0 −1 0 3

−3 −1 1 a

A1 A2 A3 A

como la matriz contiene variables, no podemos utilizar

rref; escalonaremos y aplicaremos la condicion de consis-

tencia. Haciendo las operaciones elementales de renglon

1. R1 ↔ R2

2. R4 ← R4 + 32 R1

3. R4 ← R4 − 23 R2

4. R4 ← R4 + 53 R3

obtenemos la matriz2 2 0 −2

0 3 −1 −12

0 0 −1 3

0 0 0 a + 10

por lo tanto, habra consistencia si y solo si no queda pi-

vote en la columna de las constantes, es decir, si y solo si

a + 10 = 0; es decir, si y solo si a = −10 �

7. Sobre el valor del parametro x de la matriz

A =

[−1 1− 2x

3 + x −3

]para que pertenezca al espacio que generan las matrices

A1 =

[0 −2

1 0

]

A2 =

[0 −2

2 −1

]

A3 =

[1 0

0 3

]se puede decir que . . .

A para ningun valor pertence.

B hay una infinidad de valores.


C hay un unico valor.

Solucion

Buscamos los valores de x que nos garanticen que existen

constantes c1, c2 y c3 tales que

c1 A1 + c2 A2 + c3 A3 = A

es decir, que hagan que sea consistente la matriz aumen-

tada:

c1 c2 c3 rhs

0 0 1 −1

−2 −2 0 1− 2x

1 2 0 3 + x

0 −1 3 −3

A1 A2 A3 A




1. R2 ← R2 − 12 R1

2. R3 ← R3 + 12 R1

3. R4 ← R4 + 32 R1

4. R3 ← R3 − 53 R2

5. R4 ← R4 − 53 R2

6. R4 ← R4 − 2216 R3

obtenemos la matriz−2 3 3 2− 2x

0 3/2 −7/2 −4

0 0 16/3 17/3

0 0 0 15/8

observamos que el sistema es inconsistente independiente-

mente del valor de x: no existe un valor de x que haga que

A sea una combinacion lineal de A1, A2 y de A3 �

8. Sobre el valor del parametro x de la matriz

A =

[2− 2x −3− x

−2 + x 3x

]para que pertenezca al espacio que generan las matrices

A1 =

[−2 −1

1 3

]

A2 =

[3 3

1 −2

]

A3 =

[3 −2

−2 −3

]se puede decir que . . .

A hay una infinidad de valores.

B para ningun valor pertence.

C hay un unico valor.

Solucion

Buscamos los valores de x que nos garanticen que existen

constantes c1, c2 y c3 tales que

c1 A1 + c2 A2 + c3 A3 = A

es decir, que hagan que sea consistente la matriz aumen-

tada:

c1 c2 c3 rhs

−2 3 3 2− 2x

−1 3 −2 −3− x

1 1 −2 −2 + x

3 −2 −3 3x

A1 A2 A3 A





1. R2 ← R2 − 12 R1

2. R3 ← R3 + 12 R1

3. R4 ← R4 + 32 R1

4. R3 ← R3 − 53 R2

5. R4 ← R4 − 53 R2

6. R4 ← R4 − 2216 R3

obtenemos la matriz−2 3 3 2− 2x

0 3/2 −7/2 −4

0 0 16/3 17/3

0 0 0 15/8

observamos que el sistema es inconsistente independiente-

mente del valor de x: no existe un valor de x que haga que

A sea una combinacion lineal de A1, A2 y de A3 �

9. Indique si V = P2, donde

V = Gen{p1(x) = x + x2, p2(x) = 1 + x, p3(x) = −1 + x2

}A Falso

B Cierto

Solucion

Debemos ver si todo polinomio p(x) = a + b x + c x2 es

combinacion lineal de p1(x), p2(x) y de p3(x). Para ello

debemos ver si siempre es consistente el sistema con ma-

triz aumentada:c1 c2 c3 rhs

0 1 −1 a

1 1 0 b

1 0 1 c

p1(x) p2(x) p3(x) p(x)




1. R1 ↔ R2

2. R3 ← R3 −R1

3. R3 ← R3 + R2

obtenemos la matriz 1 1 0 b

0 1 −1 a

0 0 0 a− b + c

observamos que la consistencia depende de la expresion

a − b + c, es decir, depende de p(x): Si por ejemplo

p(x) = 1 + 2x + x2 (a = 1, b = 2 y c = 1: a− b + c = 0),

p(x) si esta en V (al ser combinacion lineal de p1(x), p2(x)

y p3(x)); pero para p(x) = 1+x+x2 (a = 1, b = 1 y c = 1

da a − b + c = 1 6= 0) no es combinacion lineal de p1(x),

p2(x) y p3(x) (al dar inconsistente el SEL). Concluimos

que el espacio generado por los polinomios p1(x), p2(x) y

p3(x) no es todo P2: Es falso que V = P2 �


10. Indique en cuales opciones el conjunto dado sı genera a

M2×2 :

1. A1 =

{[−1 3

3 3

],

[18 −2

22 −14

],

[−24 18

−12 44

],

[−4 0

−6 4

],

[1 −4

−4 −5

]}

2. A2 =

{[−5 3

2 −5

],

[1 9

−4 −4

],

[7 15

−10 −3

],

[6 6

−6 1

]}

3. A3 =

{[6 1

3 −2

],

[1 3

5 2

],

[−2 −5

0 6

],

[3 0

0 2

]}

4. A4 =

{[−6 −5

−2 −1

],

[6 2

6 −3

],

[−2 0

−1 −2

],

[−5 1

−6 4

]}

Solucion

1. A1 no genera a M2×2

porque al intentar escribir una matriz 2×2 cualquiera

A =

[a b

c d

]como combinacion lineal de los elementos de A1 y

formamos la matriz aumentadac1 c2 c3 c4 c5−1 18 −24 −4 1 a

3 −2 18 0 −4 b

3 22 −12 −6 −4 c

3 −14 44 4 −5 d

que al ser escalonada obtenemos

−1 18 −24 −4 1 a

0 52 −54 −12 −1 3 a+ b

0 0 −66/13 −6/13 6/13 −18/13 a− 19/13 b+ c

0 0 0 0 0 −3 a− 14/3 b+ 8/3 c+ d

y observamos que la consistencia depende de los valo-

res de a, b, c y d; es decir, depende de A. Por lo tanto

concluimos que no toda matriz A de M2×2 pertenece

al generado por A1.

Es importante observar que lo esencial del resultado

anterior es el renglon de ceros a la izquierda de la au-

mentada: no se genero la totalidad de M2×2 porque

tenıamos este renglon a la izquierda. Si no hubiera

ocurrido esto, la consistencia estaba garantizada in-

dependientemente de la matriz A. Y por tanto, en

este caso se hubiera generado la totalidad de M2×2.

Por consiguiente, para responder la pregunta si un

conjunto genera a todo el espacio del cual es par-

te, no formaremos la matriz aumentada con un ele-

mento cualquiera: solo pondremos como columnas los

elementos del conjunto y reduciremos (o escalonare-

mos). Si se tiene por lo menos un renglon de cero,

concluiremos que el conjunto no genera la totalidad

del espacio. Si por otro lado, no tenemos renglones

cero entonces el conjunto sı genera la totalidad del

espacio. Esto nos facilitara mucho los calculos por-

que a priori no tendremos variables en la matriz y

podremos utilizar el comando rref.

2. A2 no genera a M2×2

porque el construir la matriz cuyas columnas son los

elementos de A2 y reducir

−5 1 7 6

3 9 15 6

2 −4 −10 −6

−5 −4 −3 1

rref−−−→

1 0 −1 −1

0 1 2 1

0 0 0 0

0 0 0 0

aparece un renglon de ceros.

3. A3 sı genera a M2×2

porque el construir la matriz cuyas columnas son los

elementos de A3 y reducir

6 1 −2 3

1 3 −5 0

3 5 0 0

−2 2 6 2

rref−−−→

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

no aparece ningun renglon de ceros.


�

11. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto

formado por las matrices[5 2

1 4

],

[5 1

4 4

][

4 3

2 1

],

[1 2

1 a

]no genere M2×2.

Respuesta:

Solucion

Nuestro resultado clave de referencia para resolver el pro-

blema es el siguiente:

Si W = Gen {v1, . . . ,vk} es un espacio generado

con vectores en Rn, entonces: W = Rn si y solo

si al formar [v1 · · ·vk] y reducir (o escalonar) se

tiene pivote en cada renglon.

Lo que debemos hacer es vectorizar nuestras matrices para

aplicar el resultado anterior.

La matriz en cuyas columnas entran nuestras matrices-

vectores es:

X =

5 5 4 1

2 1 3 2

1 4 2 1

4 4 1 a

Apliquemos operaciones elementales de renglon para esca-

lonar nuestra matriz X (en las siguientes figuras se ilustra

el proceso en una TI):

Xescalonando−−−−−−−−→

5 5 4 1

0 −1 7/5 8/5

0 0 27/5 28/5

0 0 0 a + 40/27

Para no tener pivote en el ultimo renglon a + 40/27 = 0,

de allı que el unico valor para el cual el conjunto no genera

a M2×2 es para a es -40/27.


B = {p(x) = 1 + a x, q(x) = a + (−2 + 3 a) x} ⊆P2

es linealmente dependiente.

Solucion

La teorıa indica que


Un conjunto de vectores A = {a1, . . . ,ak} es

linealmente independiente si y solo si en la re-

ducida o escalonada de [a1 · · ·ak] quedan k pi-

votes.

Por consiguiente, debemos escalonar [p(x) q(x)] y obligar

que no queden 2 pivotes. Al escalonar la matriz:

1 a

a −2 + 3 a

0 0

R2←R2−aR1−−−−−−−−−→

1 a

0 −2 + 3 a− a2

0 0

Para que no queden dos pivotes ser requiere que −2 +

3 a− a2 = 0; Las dos raıces de esta ecuacion son a1 = 2 y

a2 = 1. Por lo tanto; los unicos dos valores de a que hacen

que el conjunto B sea linealmente dependiente son 1 y 2

�


formado por las matrices

A1 =

[2 3

3 3

],A2 =

[3 2

2 1

]

A3 =

[1 2

4 1

],A4 =

[4 a

5 5

]

sea linealmente dependiente.

Solucion



linealmente independiente si y solo si en la re-

ducida o escalonada de [a1 · · ·ak] quedan k pi-

votes.

Por consiguiente, debemos escalonar [A1A2A3A4] y obli-

gar que no queden 4 pivotes. Al escalonar la matriz:

2 3 1 4

3 2 2 a

3 2 4 5

3 1 1 5

escalonando−−−−−−−−−→

2 3 1 4

0 −5/2 1/2 a− 6

0 0 2 5− a

0 0 0 52/2− 2 a

Observamos que se tienen 3 pivotes y en la unica columna

sobre la cual podemos intervenir es la columna 4: el con-

junto sera linealmente dependiente si y solo si en la cuarta

columna no queda pivote: es decir, si y solo si a = 26/5 �

14. Considera el conjunto

B = {p(x) = x + x2, q(x) = 1 + x}

¿Cuales opciones entre

1. s(x) = 1

2. r(x) = x

3. t(x) = 1 + x

extienden B a una base para P2?

Solucion



base para V si y solo si en la reducida o esca-

lonada de [a1 · · ·ak] queda la matriz identidad.

Que quede pivote en cada columna indica que el

conjunto es linealmente independiente; que que-

de pivote en cada renglon indica que el conjunto

genera a V .

1. s(x) sı extiene B a una base para P2,

porque

[p(x) q(x) s(x)] =

0 1 1

1 1 0

1 0 0

rref−−−→

1 0 0

0 1 0

0 0 1


queda la matriz identidad.

2. s(x) sı extiene B a una base para P2,

porque

[p(x) q(x) r(x)] =

0 1 0

1 1 1

1 0 0

rref−−−→

1 0 0

0 1 0

0 0 1

queda la matriz identidad.

3. t(x) no extiene B a una base para P2,

porque

[p(x) q(x) t(x)] =

0 1 1

1 1 1

1 0 0

rref−−−→

1 0 −1

0 1 1

0 0 0

no queda la matriz identidad.

�

15. Considere los vectores:

v1 = −2 + 5x + 2x2

v2 = −4 + 10x + 4x2

v3 = 2− 5x− 2x2

v4 = −12 + 9x− 9x2

v5 = −6x + 4x2

v6 = −4− 3x + x2

y los subespacios generados:

W1 = Gen {v1,v2,v3}W2 = Gen {v4,v5,v6}

¿Cual de las siguientes afirmaciones es cierta?

A W1 = W2

B Solo W1 ⊆W2

C Solo W2 ⊆W1

D Ni W1 ⊆W2, ni W2 ⊆W1

Solucion

Para poder responder debemos ver como se comparan en-

tre si:

1. W1 ⊆W2 es falso,

porque al reducir

[v4 v5 v6|v1 v2 v3]rref−−−→

1 0 1/3 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 0 1 2 −1

queda un pivote a la derecha indicando que falla la

contencion (de hecho, la posicion de ese pivote indica

que v1 /∈W2).

2. W1 ⊆W2 es falso, porque al reducir

[v1 v2 v3|v4 v5 v6]rref−−−→

1 2 −1 0 0 0

0 0 0 1 0 1/3

0 0 0 0 1 1



que v4 /∈W2).

�


16. En M2×2 considere los vectores:

v1 = 5 E1,1 − 3 E1,2 + 6 E2,1 − 2 E2,2

v2 = −5 E1,1 − 3 E1,2 + 2 E2,1 + 3 E2,2

v3 = −3 E1,1 + 2 E1,2 − 3 E2,1 + 3 E2,2

v4 = −10 E1,1 − 24 E1,2 + 28 E2,1 + 9 E2,2

v5 = 10 E1,1 − 12 E1,2 + 20 E2,1 − 3 E2,2

v6 = −30 E1,2 + 40 E2,1 + 5 E2,2


W1 = Gen {v1,v2,v3}W2 = Gen {v4,v5,v6}


A Ni W1 ⊆W2, ni W2 ⊆W1

B Solo W2 ⊆W1

C W1 = W2

D Solo W1 ⊆W2

Solucion

Recuerde que significa Ei,j : son matrices de ceros, excepto

que en la posicion (i, j) tienen un 1. El contexto indicara el

tamano de la matriz. A tener como referencia las matrices

2× 2, M2×2, tenemos

E1,1 =

[1 0

0 0

]E1,2 =

[0 1

0 0

]E2,1 =

[0 0

1 0

]E2,2 =

[0 0

0 1

]por tanto, al hacer las multiplicaciones y sumar tendre-

mos:

v1 = 5 E1,1 − 3 E1,2 + 6 E2,1 − 2 E2,2 =

[5 −3

6 −2

]v2 = −5 E1,1 − 3 E1,2 + 2 E2,1 + 3 E2,2 =

[−5 −3

2 3

]v3 = −3 E1,1 + 2 E1,2 − 3 E2,1 + 3 E2,2 =

[−3 2

−3 3

]v4 = −10 E1,1 − 24 E1,2 + 28 E2,1 + 9 E2,2 =

[−10 −24

28 9

]v5 = 10 E1,1 − 12 E1,2 + 20 E2,1 − 3 E2,2 =

[10 −12

20 −3

]v6 = −30 E1,2 + 40 E2,1 + 5 E2,2 =

[0 −30

40 5

]Para poder responder debemos ver como se comparan en-

tre si:

1. W1 ⊆W2 es falso,

porque al reducir

[v4 v5 v6|v1 v2 v3]rref−−−→

1 0 5/6 −1/12 1/4 0

0 1 5/6 5/12 −1/4 0

0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0



que v3 /∈W2).

2. W1 ⊆W2 es cierto, porque al reducir

[v1 v2 v3|v4 v5 v6]rref−−−→

1 0 0 3 3 5

0 1 0 5 1 5

0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0

no queda ningun pivote a la derecha indicando que

la contencion es cierta.

�

17. En M2×2 considere los vectores:

v1 = 10 E1,2 − 16 E2,1 + 22 E2,2

v2 = −10 E1,2 + 16 E2,1 − 22 E2,2

v3 = −5 E1,2 + 8 E2,1 − 11 E2,2

v4 = −6 E1,1 − 2 E1,2 − 7 E2,1 + 7 E2,2

v5 = 2 E1,1 −E1,2 + 5 E2,1 − 6 E2,2

v6 = −2 E1,1 − 4 E1,2 + 3 E2,1 − 5 E2,2



W1 = Gen {v1,v2,v3}W2 = Gen {v4,v5,v6}


A Solo W2 ⊆W1

B Ni W1 ⊆W2, ni W2 ⊆W1

C W1 = W2

D Solo W1 ⊆W2

Solucion

Para poder comparar los espacios generados en terminos

de si uno de ellos contiene al otro utilizaremos nuestro

resultado clave de comparacion:

Para dos espacios generados W1 =

Gen {a1, . . . ,an} y W2 = Gen {b1, . . . ,bm},un espacio contiene al otro si y solo si contiene

a los generadores:

W1 ⊆W2 si y solo si cada ai ∈W2

Otra cosa que debemos recordar es que la matriz Ei,j es

la matriz de ceros que tienen un uno en la posicion (i, j),

ası

v1 =

[0 10

−16 22

]v2 =

[0 −10

16 −22

]v3 =

[0 −5

8 −11

]v4 =

[−6 −2

−7 7

]v5 =

[2 −1

5 −6

]v6 =

[−2 −4

3 −5

]¿W1 ⊆W2? es cierto, porque al reducir

[v4 v5 v6|v1 v2 v3]rref−−−→

1 0 1 −2 2 1

0 1 2 −6 6 3

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

no aparecen pivotes a la derecha, concluimos que sı se

cumple la contencion es decir, W1 ⊆W2.

¿W2 ⊆W1? es falso, porque al reducir

[v1 v2 v3|v4 v5 v6]rref−−−→

1 −1 −1/2 0 −1/6 −1/3

0 0 0 1 −1/3 1/3

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

aparecen pivotes a la derecha, concluimos que no se cum-

ple la contencion es decir, W2 6⊆W1. Un vector de W2 que

no esta en W1 es por ejemplo v4 (la ubicacion del pivote a

la derecha nos indica el vector que no pertenece al espacio

generado a la izquierda). En resumen, nuestra situacion se

describe como:

W2

W1

v4

W1 ⊆W2 y W2 6⊆W1

Las siguientes figuras ilustran los calculos en una TI. Ob-

serve que es mas comodo capturar los vectores como ren-

glones en una matriz y despues transponerla. Observe tam-

bien que las matrices deben vectorizarse.

18. Considere los vectores:

v1 = −3− 6x− x2 − 3x3

v2 = 2 + 6x2 + 4x3

v3 = 4 + 3x− 4x2 − x3

v4 = −2− 3x + 10x2 + 5x3

v5 = −6− 18x2 − 12x3

y suponga que

W = Gen {v1,v2,v3,v4,v5}


Indique que opciones contienen vectores que no se pue-

den remover del generador y que el conjunto restante siga

generando W

1. v1,v4

2. v2,v5

3. v1,v3

4. v2,v3

5. v2

6. v1

Solucion

Para remover simultaneamente los vectores indicados, de-

bemos ver si simultaneamente son combinacion lineal de

los vectores que se quedaran en el conjunto generador.

1. v1,v4 no se pueden remover simultaneamente,

porque en la reducida de:

[v2 v3 v5|v1 v4]→ rref

1 0 −3 0 1

0 1 0 0 −1

0 0 0 1 0

0 0 0 0 0

queda un pivote a la derecha.

2. v2,v5 sı se pueden remover simultaneamente,



1 0 0 0 0

0 1 0 1 −3

0 0 1 1 −3

0 0 0 0 0

no queda ningun pivote a la derecha.

3. v1,v3 no se pueden remover simultaneamente,



1 0 −3 0 1

0 1 0 0 −1

0 0 0 1 0

0 0 0 0 0

queda un pivote a la derecha.

�

algebra lineal - teccb.mty.itesm.mx/ma1010/materiales/ma1019-hw14-sol.pdf · ma1019, tarea no 14:...

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