algebra basica

CONCEPTOS ALGEBRAICOS

Clase 1

ALGEBRA

Un trmino es una combinacin de nmeros y smbolos unidos por operaciones de multiplicacin o divisin. Por ejemplo:

Los elementos de un trmino son cuatro: el signo, el coeficiente numrico, el coeficiente literal y el grado.

Por el signo, son trminos positivos o negativos. El signo + se omite delante de trminos positivos, as, equivale a .

El coeficiente o factor numrico corresponde al nmero, as, en el trmino el coeficiente numrico es el 3.

El coeficiente o factor literal lo constituyen las letras que hay en el trmino, es decir, en el factor literal es y en el factor literal es

El grado de un trmino es la suma de los exponentes de sus factores lineales, as el trmino es de primer grado y es de noveno grado, ya que la suma de los exponentes de su factor literal es: .

Una expresin algebraica se le llama a toda constante, variable o combinacin de constantes y potencias de variables que estn ligadas por alguno de los siguientes smbolos:

Por ejemplo: a)

b)

c)

Una expresin algebraica se clasifica en:

Monomio: Consta de un solo trmino

Binomio: Consta de dos trminos

Trinomio: Consta de tres trminos

Polinomio: Consta de ms de un trmino

Dos trminos se dice que son semejantes cuando slo se diferencian en el coeficiente numrico, es decir, su factor literal es el mismo.Para la reduccin de trminos semejantes se debe realizar la suma y/o resta de los factores numricos, multiplicado por el factor literal.

Por ejemplo:

a)

b)

En la adicin y sustraccin de polinomios se reducen por separado los trminos de cada clase.

Por ejemplo:I

a)

Solucin:La expresin cuenta con tres trminos semejantes, por lo tanto se puede reducir: De la misma forma se reducen resultando y resultando cero. Por lo tanto, el resultado final es:

b)

Solucin:Al igual que el caso anterior se reducen:

resultando

equivalente a , resultando

resultando

Por lo tanto, el resultado final es:

SIGNOS DE AGRUPACINLos signos de agrupacin se emplean para indicar que las cantidades encerradas en ellas se deben considerar como un todo.Se identifican varios tipos de signos de agrupacin o parntesis, los ms usuales son: el parntesis ordinario , el parntesis angular o corchete y las llaves . Se usan estos signos, que tienen distintas forma pero igual significado, para mayor claridad en los casos en que una expresin que ya tiene uno o ms signos de agrupacin se incluye en otro signo de agrupacin.

Las reglas generales para la eliminacin de estos signos son:

Para suprimir signos de agrupacin precedidos del signo + se deja el mismo signo que tenga cada trmino que se encuentran dentro de l.

Para suprimir signos de agrupacin precedidos del signo se cambia el signo de todos los trminos que se encuentran dentro de l.

Por ejemplo:

a)

Solucin:Considerando las reglas de eliminacin de parntesis recin nombradas, el resultado es:

b)

Solucin:Al igual que el ejemplo anterior, se considera las reglas de eliminacin de parntesis, teniendo en consideracin que el parntesis se encuentra dentro del parntesis de , por lo que es necesario eliminar primero el parntesis ordinario y despus el de llave, es decir:

EJERCICIOS RESUELTOS1. De la suma de con restar la suma de con

Solucin:

2. Restar la suma de con de la suma de

Solucin:

3. Simplificar, eliminando los signos de agrupacin y reduciendo trminos semejantes de la siguiente expresin:

Solucin:

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. De la suma de restar la suma de con , el resultado es:

a)

b)

c)

d)

e)

2.Restar la suma de ; de la suma de con , el resultado es:a)

b)

c)

d)

e)

3.Al introducir los tres ltimos trminos de la expresin: en un parntesis precedido de signo +, resulta:a)

b)

c)

d)

e)

4. Al reducir el polinomio: , resulta:

a)

b)

c)

d)

e)

5.Al introducir todos los trminos menos el primero, de la expresin: en un parntesis precedido del signo - , resulta:

a)

b)

c)

d)

e)

6.Al simplificar la expresin: eliminando parntesis y reduciendo trminos semejantes, resulta:a)

b)

c)

d)

e)

RESPUESTAS DE EJERCICIOS PROPUESTOS1. c

2. b3. d

4. c

5. a

6. b

PRODUCTOS NOTABLES

Clase 2

Antes de ver los productos notables, vamos a recordar que la multiplicacin es una operacin que tiene como objeto, dadas dos cantidades (el multiplicando y el multiplicador), hallar una tercera llamada producto. El orden de los factores no altera el producto, es decir, se puede escribir como (Ley Conmutativa de la multiplicacin).

Se distingue tres casos de multiplicacin:

1. Multiplicacin de Monomios: Se multiplica los factores numricos y a continuacin se escribe el factor lineal en orden alfabtico. El signo del producto vendr dado por la ley de los signos.

Por ejemplo:

Multiplicar =

2.Multiplicacin de Polinomios por Monomios: Se multiplica el monomio por cada uno de los trminos del polinomio, teniendo en cuenta en cada caso la regla de los signos (Ley Distributiva de la multiplicacin).

Por ejemplo: Multiplicar por

3.Multiplicacin de Polinomios por Polinomios: se multiplican todos los trminos del multiplicando por cada uno de los trminos del multiplicador, teniendo en cuenta la regla de los signos y reduciendo trminos semejantes.

Por ejemplo:

Multiplicar por

PRODUCTOS NOTABLESSe llama productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspeccin, es decir, sin verificar la multiplicacin. Dentro de los cuales, podemos nombrar:

1. Suma por su Diferencia:

Por ejemplo:

2. Cuadrado del Binomio:

Por ejemplo:

3. Cubo del Binomio:

Por ejemplo:

4. Cuadrado del Trinomio:

Por ejemplo:

5. Producto de dos Binomios con un trmino igual:

Por ejemplo:

6. Producto de un Binomio por un Trinomio

Por ejemplo:

EJERCICIOS RESUELTOS1.Resolver los siguientes productos notables:

a)

Solucin:

Corresponde a un cuadrado de binomio, por lo tanto:

b)

Solucin:

Corresponde a un cubo de binomio, por lo que resulta:

c)

Solucin:

Corresponde a una suma por su diferencia, resultando:

d)

Solucin:

Corresponde a la multiplicacin de dos sumas por su diferencia, por lo tanto:

e)

Solucin:

Corresponde a un cuadrado de un trinomio, resultando:

2.Desarrollar los siguientes productos notables, reduciendo trminos semejantes, de las siguientes expresiones:

a)

Solucin:Desarrollando cada producto notable, resulta:

Eliminando parntesis y reduciendo trminos, se obtiene:

b)

Solucin:Desarrollando cada producto notable, resulta:


1.Al simplificar la siguiente expresin: resulta:

a)

b)

c)

d) 1e)

2.Al desarrollar , el resultado es:

a)

b)

c)

d)

e)

3.Al desarrollar

a)

b)

c)

d)

e)

4.Si el antecesor de un nmero x se eleva al cubo y se le resta el cudruple de su sucesor al cuadrado, resulta:

a)

b)

c)

d)

e)

5.Al desarrollar la siguiente expresin: se obtiene:

a)

b)

c)

d)

e)

6.El sucesor de un nmero x se disminuye en dos unidades, luego se eleva al cuadrado y al resultado se le resta el cuadrado del triple de su antecesor. Cul es el resultado final?

a)

b)

c)

d)

e)


2. d3. c

4. b5. e

6. aFACTORIZACION

Clase 3

Factorizar un polinomio significa expresarlo como un producto de dos o ms factores.Existen varias formas de descomponer un polinomio, las cuales son:

1.Factor Comn: El factor comn de los trminos es el mximo comn divisor de los coeficientes multiplicado por las variables comunes elevadas al menor exponente con que aparezca en el polinomio.

Por ejemplo:a)

b)

c)

2.Factor Comn Polinomio: Como su nombre lo seala, ahora el factor comn es un polinomio.Por ejemplo:a)

b)

c)

3.Factor Comn por Agrupacin de Trminos: Este caso se aplica cuando la expresin algebraica no tiene un factor comn, por lo tanto, su factorizacin se realiza por agrupacin de trminos.

Por ejemplo:

a)

Solucin:

Si agrupamos el 1 y el 2 trmino, el factor comn es la x, por lo tanto:

Si agrupamos el 3 y el 4 trmino, el factor comn es la x, por lo tanto:

Factorizando por el polinomio, resulta:

EMBED Equation.3 b)

Solucin:

Si agrupamos el 1 y el 3 trmino, el factor comn es , por lo tanto:



Resumiendo:

4.- Diferencia de Cuadrados Perfectos: Para poder descomponer se debe extraer la raz cuadrada del minuendo y del sustraendo, multiplicando la suma de estas races con la diferencia de estas mismas.Por ejemplo:a)

Solucin:

Al extraer la raz cuadrada de y la raz cuadrada de , por lo tanto: escribe como el producto de la suma estas races por la diferencia de estas mismas. Es decir:

b)

Solucin:

Ordenando la expresin y encontrando las races cuadradas, se obtiene:

5.Trinomio Cuadrado Perfecto: Una cantidad se denomina cuadrado perfecto cuando es el producto de dos cantidades iguales , por ejemplo,

Un trinomio ordenado con relacin a una letra es cuadrado perfecto cuando el primero y tercer trmino son cuadrados perfectos y el segundo trmino es el doble producto de sus races cuadradas.Por ejemplo:

a)

Solucin:

La raz cuadrada de y la de y el doble del producto de estas races es . Por lo tanto, se puede factorizar como:

b)

Solucin:

La raz cuadrada de y la de y el doble del producto de estas races es . Por lo tanto, se puede factorizar como:

6.Trinomio de la forma : El trinomio se descompone en dos factores, cuyo primer trmino es la raz cuadrada de , luego se buscan dos nmeros que multiplicados den y sumado den

Por ejemplo:

a)

Solucin:

Despus de ordenarse el trinomio segn una letra, se pregunta que pareja de nmeros multiplicado nos da 36 ( 9 * 4 , - 9 * - 4 , 2 * 18 , - 2 * - 18 , 3 * 12 , - 3 * - 12 ) y luego la segunda pregunta es: De las parejas de nmeros que se encontr cul de ellas nos da - 13 ?. La respuesta es:

7.Trinomio de la forma : Se diferencia con el caso anterior porque el primer trmino tiene un coeficiente distinto de 1. Por lo tanto, antes de descomponer se debe multiplicar el trinomio por el coeficiente de , dejando el 2 trmino como producto. Luego se descompone este trinomio al igual que el caso anterior.

Por ejemplo:a)

Solucin:

Como el coeficiente que acompaa a la no es 1 sino que 2, se debe multiplicar el trinomio por 2, manteniendo el producto en el 2 trmino, es decir:

Como amplificamos por 2 al trinomio, se debe dividir por 2 para no alterar la expresin, por lo tanto:

EMBED Equation.3

Factorizando por 2 el primer factor, se tiene:

EMBED Equation.3 Simplificando,

EMBED Equation.3 8.Suma o Diferencia de Cubos: Se debe extraer las races cbicas de ambos trminos y reemplazar.

Por ejemplo:

a)

Solucin:

La raz cbica de y la de , por lo tanto:

EJERCICIOS RESUELTOS1.Factoriza las siguientes expresiones:

a)

Solucin:

El factor comn es , por lo tanto se obtiene:

b)

Solucin:

El factor comn es el polinomio , por lo tanto se obtiene:

c)

Solucin:

El factor comn es el polinomio , por lo tanto se obtiene:

d)

Solucin:

En este caso se aplica la factorizacin por agrupacin de trminos, ya que la expresin algebraica no tiene un factor comn, por lo tanto:

e)

Solucin:

Como los dos trminos tienen races cuadradas, se descompone como suma por su diferencia, es decir:

Pero, se puede seguir descomponiendo, ya que ambos trminos poseen races cuadradas.

f)

Solucin:

Antes de descomponer se debe multiplicar el trinomio por 3, dejando el 2 trmino como producto.

Simplificando:

2.Simplificar al mximo las siguientes expresiones:

a)

Solucin:

Utilizando los casos de factorizacin, se descompone como

EMBED Equation.3

y corresponde a una suma por su diferencia, por lo tanto:

Finalizando:

b)

Solucin:

Utilizando los casos de factorizacin, se descompone como y para se descompone como . Finalmente queda:

Simplificando:


1.Cul es el valor de la siguiente expresin?

a) 1

b) a b

c) a + b

d) ( a + b ) 2e)

2.El valor que toma la siguiente expresin es?

a) 1 x 2b) 1 2x + x 2c) 1

d) 1 + x 2e) 0

3.Cul de las siguientes expresiones es equivalente a: ?

a) 2ab

b)

c) 0

d) 1

e)

4.Cul(es) de las siguientes expresiones es (son) equivalentes a: ?

I

II

III

a) Slo I

b) Slo II

c) Slo III

d) II y III

e) I y II

5.Reducir la siguiente expresin: , encontrando la mnima expresin:

a)

b)

c)

d)

e) 1

6.Si x ( 0, y ( 2, entonces

a)

b) 3c) 1d)

e)

7.Reducir las siguientes expresiones, encontrando la mnima expresin:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)


2. b3. b

4. b

5. c6. d

7. a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i) 1j)

MINIMO COMUN DENOMINADOR

Clase 4

Reducir fracciones al mnimo comn denominador es convertirlas en fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador y que este sea el menor posible.Para reducir fracciones al mnimo comn denominador se sigue los siguientes pasos:

Se simplifican las fracciones dadas, si es posible.

Se encuentra el mnimo comn mltiplo de los denominadores, que ser el denominador comn.

Para hallar los numeradores, se divide el m.c.m. de los denominadores entre cada denominador, y el cociente se multiplica por el numerador respectivo.

Por ejemplo:

a) Reducir al mnimo comn denominador

Solucin:Se encuentra el m.c.m entre y el resultado es , correspondiente al denominador comn.

Luego dividimos entre los denominadores y cada cociente lo multiplicamos por su numerador respectivo, por lo que se obtiene:

entonces

entonces

entonces

Las fracciones reducidas al mnimo comn denominador, quedan:

, ,

b) Reducir al mnimo comn denominador

Solucin:

Para encontrar el m.c.m. de los denominadores, se debe primero factorizar:

Por lo tanto, el m.c.m. es:

Ahora se divide el m.c.m. entre cada denominador y el cociente lo multiplicamos por su numerador respectivo, por lo que se obtiene:

entonces

entonces

entonces


, ,

OPERACIONES CON FRACCIONESPara realizar las operaciones de suma o resta con fracciones, se deben seguir los siguientes pasos:

Se simplifican las fracciones dadas si es posible

Se calcula el m.c.m.

Se efectan las multiplicaciones indicadas

Se suman o restan los numeradores de las fracciones que resulten, reduciendo trminos semejantes y se divide el resultado por el denominador comn

Se simplifica la fraccin que resulte, si es posible

Por ejemplo:

a) Simplificar

Solucin:

Primero hay que encontrar el m.c.m. de los denominadores, el que resulta:

El m.c.m. es:

Luego,

EJERCICIOS RESUELTOS1. Reducir al mnimo comn denominador

Solucin:

Por lo tanto, el m.c.m. es.

Ahora se divide el m.c.m. entre cada denominador y el cociente lo multiplicamos por su numerador respectivo, por lo que se obtiene:

entonces

entonces

entonces


, ,

2.Simplificar la siguiente expresin:

Solucin:

Primero hay que encontrar el m.c.m. de los denominadores, este corresponde a: Luego se realiza todo el procedimiento descrito anteriormente. Por lo tanto:

EMBED Equation.3

3.Simplificar la siguiente expresin:

Solucin:

Primero hay que encontrar el m.c.m. de los denominadores, este corresponde a: Luego se realiza todo el procedimiento descrito anteriormente. Por lo tanto:


Simplificar las siguientes expresiones:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

RESPUESTAS DE EJERCICIOS PROPUESTOS1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

ECUACIONES LINEALES

Clase 5

Ecuacin es una igualdad en la que hay una o ms cantidades desconocidas llamadas incgnitas y slo se verifica para determinados valores.

Existen distintos tipos de ecuaciones, las ms simple son las ecuaciones lineales, que son las que veremos en esta clase.

ECUACIONES LINEALES

Las incgnitas se representan con letras del alfabeto: Por ejemplo: es una ecuacin, porque es una igualdad en la que hay una incgnita, la , y esta igualdad slo se verifica, o sea que slo es verdadera, para el valor

Para resolver una ecuacin, se debe seguir los siguientes pasos:

Se efectan las operaciones indicadas, si las hay.

Se hace la transposicin de trminos, reuniendo en un lado todos los trminos que contengan la incgnita y en el otro lado todas las dems cantidades.

Se reducen trminos semejantes en cada lado.

Se despeja la incgnita dividiendo ambos lados de la ecuacin por el coeficiente de la incgnita.

Por Ejemplo:1.Resolver la ecuacin:

Solucin:

Traspasando todas las incgnitas a un lado y las cantidades al otro, resulta:

Dividiendo por 2:

2.Resolver la ecuacin:

Solucin:

Traspasando todas las incgnitas a un lado y las cantidades al otro, resulta:

Reduciendo trminos:

Simplificando por :

EJERCICIOS RESUELTOS1.Resolver la ecuacin:

Solucin:

Resolviendo las operaciones previas, la ecuacin queda:

2.Resolver la ecuacin:

Solucin:Resolviendo las operaciones previas, la ecuacin queda:

3.La suma de las edades de A y B es 84 aos, y B tiene 8 aos menos que A. Hallar ambas edades.

Solucin:

Sea: edad de A

Como B tiene 8 aos menos que a: edad de B

Por lo tanto:

Luego, A tiene 46 aos y B tiene 38 aos.


1.Resolver las siguientes ecuaciones, encontrando el valor de x:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

2.|La edad de A es el doble que la de B, y ambas edades suman 36 aos. Hallar las edades.3.La suma de dos nmeros es 540 y su diferencia es 32. Hallar los nmeros

4.La edad de Mara es el triplo de la de Rosa ms quince aos y ambas edades suman 59 aos. Hallar ambas edades.

5.Si un nmero se multiplica por 8 el resultado es el nmero aumentado en 21. Hallar el nmero.

RESPUESTAS A EJERCICIOS PROPUESTOS1.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

2.A tiene 24 aos y B tiene 12 aos

3.Los nmeros son 286 y 254

4.Mara tiene 48 aos y Rosa 11 aos

5.El nmero es 3

GUA DE EJERCICIOS

(TALLER)Clase 6

Simplificar las siguientes expresiones:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Resolver las siguientes ecuaciones, encontrando el valor de x:

7.

8.

9.

10.

11.

12.

RESPUESTAS 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

PAGE 36

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