algebra basica: 04 sumas y diferencias de potencias iguales

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  • 8/3/2019 Algebra Basica: 04 Sumas y Diferencias de Potencias Iguales

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    FACTORIZAR SUMAS Y

    RESTAS DE POTENCIAS

    IGUALESDIFERENCIAS DE CUADRADOS Y ALGUNAS VARIANTES

    DEL PROBLEMA

    23/12/2011

    VISUALIZACION DEL ALGEBRA BASICA

    yoseff basserool

  • 8/3/2019 Algebra Basica: 04 Sumas y Diferencias de Potencias Iguales

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    Factorizar sFactorizar sFactorizar sFactorizar sumas y diferencias de potenciasumas y diferencias de potenciasumas y diferencias de potenciasumas y diferencias de potencias

    igualesigualesigualesiguales....

    En esta rea se deben tener en cuenta los

    siguientes casos:

    Diferencia deDiferencia deDiferencia deDiferencia de

    cuadradoscuadradoscuadradoscuadrados

    Sumas y diferenciasSumas y diferenciasSumas y diferenciasSumas y diferencias

    de cubosde cubosde cubosde cubos

    Sumas y diferenciasSumas y diferenciasSumas y diferenciasSumas y diferencias

    de potencias igualesde potencias igualesde potencias igualesde potencias iguales

    DDDDiferenciasiferenciasiferenciasiferencias de potencias pares:de potencias pares:de potencias pares:de potencias pares:

    Sumas de diferencias impares:Sumas de diferencias impares:Sumas de diferencias impares:Sumas de diferencias impares:

    DDDDiferenciasiferenciasiferenciasiferencias de potenciasde potenciasde potenciasde potencias

    impares:impares:impares:impares:

  • 8/3/2019 Algebra Basica: 04 Sumas y Diferencias de Potencias Iguales

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    Se debe entender que el casoSe debe entender que el casoSe debe entender que el casoSe debe entender que el caso msmsmsms general esgeneral esgeneral esgeneral es

    el de la suma y diferencia de potenciasel de la suma y diferencia de potenciasel de la suma y diferencia de potenciasel de la suma y diferencia de potenciasiguales.iguales.iguales.iguales. En consecuencia los principios que vamos a exponera continuacin son la base de la factorizacin de los tres grupos

    de problemas.

    SSSSumaumaumauma de potencias paresde potencias paresde potencias paresde potencias pares

    igualesigualesigualesiguales::::

    LLLLaaaas sumas de potencias pares no sons sumas de potencias pares no sons sumas de potencias pares no sons sumas de potencias pares no son

    factorizables, por lo general.factorizables, por lo general.factorizables, por lo general.factorizables, por lo general.

    SSSSiiii son factorizables nunca puedenson factorizables nunca puedenson factorizables nunca puedenson factorizables nunca pueden

    tener como factor a:tener como factor a:tener como factor a:tener como factor a:

    DDDDiferenciasiferenciasiferenciasiferencias de potenciasde potenciasde potenciasde potencias

    paresparesparespares igualesigualesigualesiguales::::

    Esta expresin siempre tiene comoEsta expresin siempre tiene comoEsta expresin siempre tiene comoEsta expresin siempre tiene como

    factores a:factores a:factores a:factores a:

    YYYY

    YYYY adicionalmente puede tener otrosadicionalmente puede tener otrosadicionalmente puede tener otrosadicionalmente puede tener otros

    factores.factores.factores.factores.

    SSSSumasumasumasumas de potencias imparesde potencias imparesde potencias imparesde potencias impares

    igualesigualesigualesiguales::::

    SSSSiiii el exponenteel exponenteel exponenteel exponente es impar entoncees impar entoncees impar entoncees impar entonces las las las la

    expresin siempre tendr comoexpresin siempre tendr comoexpresin siempre tendr comoexpresin siempre tendr como

    factor afactor afactor afactor a

    YYYY adems hay otroadems hay otroadems hay otroadems hay otros factores nos factores nos factores nos factores no

    binomiosbinomiosbinomiosbinomios

  • 8/3/2019 Algebra Basica: 04 Sumas y Diferencias de Potencias Iguales

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    DDDDiferenciaiferenciaiferenciaiferencia de potenciasde potenciasde potenciasde potencias

    impares iguales:impares iguales:impares iguales:impares iguales:

    Si el exponente igualSi el exponente igualSi el exponente igualSi el exponente igual es impares impares impares impar

    entoncesentoncesentoncesentonces la expresin siempre tendrla expresin siempre tendrla expresin siempre tendrla expresin siempre tendr

    como factor a:como factor a:como factor a:como factor a:

    YYYY adicionalmenteadicionalmenteadicionalmenteadicionalmente habrhabrhabrhabr otrosotrosotrosotros

    factores no binomios.factores no binomios.factores no binomios.factores no binomios.

  • 8/3/2019 Algebra Basica: 04 Sumas y Diferencias de Potencias Iguales

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    EEEEnnnn consecuenciaconsecuenciaconsecuenciaconsecuencia habrhabrhabrhabr varias situacionesvarias situacionesvarias situacionesvarias situaciones

    posiblesposiblesposiblesposibles en este tipo de expresiones:en este tipo de expresiones:en este tipo de expresiones:en este tipo de expresiones:Suma de potencias pares no

    necesariamente iguales

    Suma de potencias pares iguales

    Diferencia de potencias pares no

    necesariamente iguales

    Diferencia de potencias pares

    iguales

    Suma de potencias impares no

    necesariamente iguales

    Suma de potencias impares iguales:

    Diferencia de potencias impares no

    necesariamente iguales

    Diferencia de potencias impares

    iguales

  • 8/3/2019 Algebra Basica: 04 Sumas y Diferencias de Potencias Iguales

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    DDDDiferenciaiferenciaiferenciaiferencia de cuadrados.de cuadrados.de cuadrados.de cuadrados.

    Existen varias maneras en que se puede

    llegar a la conclusin de que los factores de

    una diferencia de cuadrados es la indicada

    por la identidad siguiente:

    Una de estas formas de prueba es aplicando

    el mtodo para factorizar un trinomiocuadrtico:

    NNNNuestrouestrouestrouestro problema serproblema serproblema serproblema ser

    factorizarfactorizarfactorizarfactorizar

    LLLLoooo consideraremos como unconsideraremos como unconsideraremos como unconsideraremos como un

    trinomio cuadrtico:trinomio cuadrtico:trinomio cuadrtico:trinomio cuadrtico:

  • 8/3/2019 Algebra Basica: 04 Sumas y Diferencias de Potencias Iguales

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    IIIIdentificamosdentificamosdentificamosdentificamos los factores delos factores delos factores delos factores delos extremos:los extremos:los extremos:los extremos:

    LLLLosososos productos cruzadosproductos cruzadosproductos cruzadosproductos cruzados de losde losde losde los

    factores se suman y nos debenfactores se suman y nos debenfactores se suman y nos debenfactores se suman y nos deben

    dar 0, el trmino de en medio:dar 0, el trmino de en medio:dar 0, el trmino de en medio:dar 0, el trmino de en medio:

    En consecuencia es claro culesEn consecuencia es claro culesEn consecuencia es claro culesEn consecuencia es claro cules

    son los factores:son los factores:son los factores:son los factores:

    Un mtodo parecido puede ser aplicado a la

    hora de factorizar una suma o una diferencia

    de cubos, aunque en tales casos lo mejor es

    utilizar el teorema del factor, debido a que la

    expresin es de grado 3.

  • 8/3/2019 Algebra Basica: 04 Sumas y Diferencias de Potencias Iguales

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    SSSSumasumasumasumas y diferencias de cubos.y diferencias de cubos.y diferencias de cubos.y diferencias de cubos.

    Suma de cubos

    Diferencia de cubos

    Por ejemplo, en el caso de la suma de cubos:

    EEEEllll problema es factorizarproblema es factorizarproblema es factorizarproblema es factorizar

    la expresin:la expresin:la expresin:la expresin:

    BBBBuscamosuscamosuscamosuscamos entreentreentreentre loslosloslos

    factores defactores defactores defactores de bbbb3333

    quequequeque

    conviertan en cero a laconviertan en cero a laconviertan en cero a laconviertan en cero a la

    expresin:expresin:expresin:expresin:

    EEEEntoncesntoncesntoncesntonces obtendremos:obtendremos:obtendremos:obtendremos:

    Esto nos dice que:Esto nos dice que:Esto nos dice que:Esto nos dice que:

    EEEEssss un factor de la suma de cubos.un factor de la suma de cubos.un factor de la suma de cubos.un factor de la suma de cubos.

  • 8/3/2019 Algebra Basica: 04 Sumas y Diferencias de Potencias Iguales

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    EEEEllll otro factor seotro factor seotro factor seotro factor se

    encuentra por divisin deencuentra por divisin deencuentra por divisin deencuentra por divisin de

    la suma de cubos ela suma de cubos ela suma de cubos ela suma de cubos entrentrentrentre

    este primer factoreste primer factoreste primer factoreste primer factor

    establecido:establecido:establecido:establecido:

  • 8/3/2019 Algebra Basica: 04 Sumas y Diferencias de Potencias Iguales

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    Este tipo de razonamiento puede aplicarseEste tipo de razonamiento puede aplicarseEste tipo de razonamiento puede aplicarseEste tipo de razonamiento puede aplicarse

    para obtener factores de sumas y diferenciaspara obtener factores de sumas y diferenciaspara obtener factores de sumas y diferenciaspara obtener factores de sumas y diferenciasde potencias iguales en general.de potencias iguales en general.de potencias iguales en general.de potencias iguales en general.

    Por ejemplo en el caso de una suma de

    potencias impares iguales:

    Sacar los factores de aaaa5555 + b+ b+ b+ b

    5555:

    Sabemos que uno de

    los factores es: (a + b)(a + b)(a + b)(a + b)El otro factor lo

    obtenemos por

    divisin:(a(a(a(a

    4444----aaaa3333b+ab+ab+ab+a

    2222bbbb2222----abababab

    3333+b+b+b+b4444))))

    En consecuencia la respuesta ser:(a + b)(a + b)(a + b)(a + b) (a(a(a(a

    4444----aaaa3333b+ab+ab+ab+a

    2222bbbb2222----abababab

    3333+b+b+b+b4444))))

    Observaremos lo que sucede con aaaa5555 bbbb

    5555:

    Sabemos que uno de

    los factores es: (a(a(a(a b)b)b)b)El otro factor lo

    obtenemos por

    divisin:(a(a(a(a

    4444++++aaaa3333b+ab+ab+ab+a

    2222bbbb2222++++abababab

    3333+b+b+b+b4444))))

    En consecuencia la respuesta ser:(a(a(a(a b)b)b)b) (a(a(a(a4444++++aaaa

    3333b+ab+ab+ab+a2222bbbb

    2222++++abababab3333+b+b+b+b

    4444))))

  • 8/3/2019 Algebra Basica: 04 Sumas y Diferencias de Potencias Iguales

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    Ahora tenemos un patrn para las respuestas

    de las sumas o diferencias de potenciasimpares iguales:

    PPPParaaraaraara la suma:la suma:la suma:la suma: aaaa5555

    + b+ b+ b+ b5555

    EEEEllll primer factorprimer factorprimer factorprimer factor eseseses la suma de lasla suma de lasla suma de lasla suma de las racesracesracesraces

    quintas de los trminos:quintas de los trminos:quintas de los trminos:quintas de los trminos:(a + b)(a + b)(a + b)(a + b)

    EEEEllll otro factor estotro factor estotro factor estotro factor est ::::

    ordenadoordenadoordenadoordenado por las potencias de lospor las potencias de lospor las potencias de lospor las potencias de lostrminostrminostrminostrminos,,,,

    con signoscon signoscon signoscon signos + y+ y+ y+ y alternadosalternadosalternadosalternados,,,, tiene tantos trminos como eltiene tantos trminos como eltiene tantos trminos como eltiene tantos trminos como el

    exponente de la expresin originalexponente de la expresin originalexponente de la expresin originalexponente de la expresin original,,,,

    la suma de exponentes en losla suma de exponentes en losla suma de exponentes en losla suma de exponentes en lostrminos suma 1 menos que eltrminos suma 1 menos que eltrminos suma 1 menos que eltrminos suma 1 menos que el

    exponente de los trminosexponente de los trminosexponente de los trminosexponente de los trminos

    originales.originales.originales.originales.

    (a(a(a(a4444----aaaa

    3333b+ab+ab+ab+a

    2222bbbb2222----abababab

    3333+b+b+b+b

    4444))))

    Luego,

    PPPParaaraaraara lalalala restarestarestaresta:::: aaaa5555

    bbbb5555

    EEEEllll primer factorprimer factorprimer factorprimer factor eseseses lalalala restarestarestaresta de lasde lasde lasde las racesracesracesraces

    quintas de los trminos:quintas de los trminos:quintas de los trminos:quintas de los trminos:(a(a(a(a b)b)b)b)

    EEEEllll otro factor estotro factor estotro factor estotro factor est ::::

    ordenadoordenadoordenadoordenado por las potencias de lospor las potencias de lospor las potencias de lospor las potencias de lostrminostrminostrminostrminos,,,,

    todos sus signos sontodos sus signos sontodos sus signos sontodos sus signos son ++++ tiene tantos trminos como eltiene tantos trminos como eltiene tantos trminos como eltiene tantos trminos como el

    exponente de la expresin originalexponente de la expresin originalexponente de la expresin originalexponente de la expresin original,,,,

    la suma de exponentes en losla suma de exponentes en losla suma de exponentes en losla suma de exponentes en lostrminos suma 1 menos que eltrminos suma 1 menos que eltrminos suma 1 menos que eltrminos suma 1 menos que el

    exponente de los trminosexponente de los trminosexponente de los trminosexponente de los trminos

    originales.originales.originales.originales.

    (a(a(a(a4444++++aaaa

    3333b+ab+ab+ab+a

    2222bbbb2222++++abababab

    3333+b+b+b+b

    4444))))

  • 8/3/2019 Algebra Basica: 04 Sumas y Diferencias de Potencias Iguales

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    En general

    Para t impar

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    EEEEnnnn el caso de la diferencia de potenciasel caso de la diferencia de potenciasel caso de la diferencia de potenciasel caso de la diferencia de potencias paresparesparespares

    iguales en generaliguales en generaliguales en generaliguales en general, donde los exponentes son, donde los exponentes son, donde los exponentes son, donde los exponentes sonpotencias de 2potencias de 2potencias de 2potencias de 2....

    Vamos a observar un ejemplo prctico con:

    EEEEstastastasta es una diferenciaes una diferenciaes una diferenciaes una diferencia

    de potencias paresde potencias paresde potencias paresde potencias pares

    igualesigualesigualesiguales

    FFFFactorizandoactorizandoactorizandoactorizando la primera vez nosla primera vez nosla primera vez nosla primera vez nos

    da:da:da:da:(a(a(a(a

    2222+b+b+b+b2222)(a)(a)(a)(a

    2222----bbbb2222))))

    LLLLuegouegouegouego vemos que uno de losvemos que uno de losvemos que uno de losvemos que uno de los

    factores puede ser factorizadofactores puede ser factorizadofactores puede ser factorizadofactores puede ser factorizado

    otra vez:otra vez:otra vez:otra vez:(a(a(a(a

    2222+b+b+b+b2222))))(a+b)(a(a+b)(a(a+b)(a(a+b)(a----b)b)b)b)

    Este tipo de patrn recurrente ocurre con

    todas las potencias iguales que sean a su vez

    2 a alguna potencia (2(2(2(2nnnn)))).

    Es decir que este tipo de solucin se

    presenta para todas las diferencias de

    potencias pares de la siguiente forma:

  • 8/3/2019 Algebra Basica: 04 Sumas y Diferencias de Potencias Iguales

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    EEEEllll caso de factorizarcaso de factorizarcaso de factorizarcaso de factorizar ((((aaaa6666 + b+ b+ b+ b

    6666)))) yyyy ((((aaaa6666 ---- bbbb

    6666))))

    Vamos a ilustrar el proceso para observar otro nivel de

    complejidad en la factorizacin de sumas y restas de

    potencias iguales:

    aaaa6666 ---- bbbb

    6666 PPPPuedeuedeuedeuede considerarse como unaconsiderarse como unaconsiderarse como unaconsiderarse como una

    diferencia de cuadrados:diferencia de cuadrados:diferencia de cuadrados:diferencia de cuadrados:

    aaaa6666 ---- bbbb

    6666 ==== ((((aaaa3333))))

    2222 ((((bbbb3333))))

    2222

    LLLLueueueuego:go:go:go: ((((aaaa3333))))

    2222 ((((bbbb3333))))

    2222 ==== (a(a(a(a3333+b+b+b+b

    3333)()()()(aaaa3333----bbbb

    3333))))

    AAAAhora:hora:hora:hora: TTTTenemosenemosenemosenemos una suma de cubos poruna suma de cubos poruna suma de cubos poruna suma de cubos por

    una resta de cubos.una resta de cubos.una resta de cubos.una resta de cubos.

    EEEEntonces:ntonces:ntonces:ntonces: (a+b)(a(a+b)(a(a+b)(a(a+b)(a2222----ab+bab+bab+bab+b

    2222)(a)(a)(a)(a----b)(ab)(ab)(ab)(a2222+ab+b+ab+b+ab+b+ab+b

    2222))))

    Ahora bien:

    aaaa6666

    ++++ bbbb6666

    DebeDebeDebeDebe considerarse como unaconsiderarse como unaconsiderarse como unaconsiderarse como una sumasumasumasumade cubosde cubosde cubosde cubos::::

    aaaa6666 ++++ bbbb

    6666 ==== ((((aaaa2222))))

    3333 ++++ ((((bbbb2222))))

    3333

    LLLLueueueuego:go:go:go: ((((aaaa2222))))

    3333 ++++ ((((bbbb2222))))

    3333 ==== (a(a(a(a2222+b+b+b+b

    2222)()()()(aaaa4444----aaaa

    2222bbbb2222++++bbbb

    4444))))

  • 8/3/2019 Algebra Basica: 04 Sumas y Diferencias de Potencias Iguales

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    Resumen de los problemas segn su dificultad.Resumen de los problemas segn su dificultad.Resumen de los problemas segn su dificultad.Resumen de los problemas segn su dificultad.

    Graduar la dificultad de estos problemas

    ayuda al alumno a tener confianza en su

    propia capacidad de establecer respuestas

    acertadas.

    DDDDiferenciasiferenciasiferenciasiferencias de cuadradosde cuadradosde cuadradosde cuadrados

    DDDDiferenciasiferenciasiferenciasiferencias de potencias paresde potencias paresde potencias paresde potencias pares

    igualigualigualiguales (exponentes que sones (exponentes que sones (exponentes que sones (exponentes que son

    potenciaspotenciaspotenciaspotencias de 2)de 2)de 2)de 2)

    SSSSumasumasumasumas y diferencias de cubosy diferencias de cubosy diferencias de cubosy diferencias de cubos

    DDDDiferenciasiferenciasiferenciasiferencias de potencias paresde potencias paresde potencias paresde potencias pares

    iiiigualesgualesgualesguales en las que apareceen las que apareceen las que apareceen las que aparecernrnrnrnsumas y diferencias de cubossumas y diferencias de cubossumas y diferencias de cubossumas y diferencias de cubos

    SSSSumasumasumasumas de potencias pares quede potencias pares quede potencias pares quede potencias pares que

    deben tratarse como sumas dedeben tratarse como sumas dedeben tratarse como sumas dedeben tratarse como sumas de

    cuboscuboscuboscubos

  • 8/3/2019 Algebra Basica: 04 Sumas y Diferencias de Potencias Iguales

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    SSSSumasumasumasumas y diferencias dey diferencias dey diferencias dey diferencias de

    potencias impares igualespotencias impares igualespotencias impares igualespotencias impares iguales

    TTTToooodosdosdosdos los casos anteriores perolos casos anteriores perolos casos anteriores perolos casos anteriores pero

    donde las potencias no sondonde las potencias no sondonde las potencias no sondonde las potencias no son

    igualesigualesigualesiguales

    PPPPotenciasotenciasotenciasotencias pares no igualespares no igualespares no igualespares no iguales

    PPPPotenciasotenciasotenciasotencias impares no igualesimpares no igualesimpares no igualesimpares no iguales