4L614(1) I)Qld... ERRATAS DETECTADAS LA PRIMERA EDICIN DEL LIBRO "LGEBRA LINEAL BSICA". PgRengln 98 113 22ltimo 237 2618 3812 44 45ltimo 4920 Dice AU :lalgnA-.; :lalgnA,-.; SiU .iii +flu (f + g)(x) + f(x) + g(x) (A(flf))(x) = A(flf)(x) + A((X) Debe decir............................................. . :lalgnA-.; :lalgnA-.; SiU flU+flV (f + g)(x) = f(x) + g(x) (A(flf))(x) =A(()(X) =A((X) Pgina 50, renglones12y ltimo;pgina 51, renglones 3, 9,16,23Y pgina.52, renglones 2 y10, hay que cambiar eldato 40 por 10 562x2 = x3 X3;X2 x2 1 XI 1 5618Y 20 x2 1x2 1 =a=a x2 1x3 1 x4 1x4 1 60Ss'iituir e -parrato-completo a paIrna TIea14poteT1>tTafu= l' 16 Demostraciones: _{ =AU+ AO_ _ l.A (Ji + O)==>AO= O = A Para obtener AU+ AOhemosaplicadolapropiedaddistributiva delosvec-tores respecto a la suma de escalares y para obtener AU hemosrealizado prime-ro lasuma devectores. {= AU + Ou_ 2.(A+ O)u==>Ou = O =AU 3.a ={ = H+ A)U = (-A)U + AU =>(-A)U = -(AU) = A(- + u) = A(-U)+ AU=>A(-U)= - (AU) 4.En AU = O,puede ocurrir A = O 6 A ;t O;si A;t O, 3Xl ER {=rl(a)=a_ r\w) ==>U= o (A- 1A)U =l u = u 1.2.Laestructura algebraica deespaciovectorial .SiAU= pu=>AU - pu = (A- p)u= 0, como u #0, aplicando la propie-dad 4=>A - p= O =>A = 11 . 6.Si AU = AV=>AU - AV= A(U - v)=0, como A #O, aplicandola propiedad 4=>u - V = =>u = V. 17 1Espaciosvectoriales 1.3.Subespacios vectoriales Enelorgani gramadeestecaptulo,despusdesaberquesunespacio vectorial , nos hacemosla pregunta: Hay subconjuntos deunespaciovectori al V que seana su vez espaciosvectori ales? La respuesta siempre es s. Cualquierespaciovectori alV tiene,almenos,dossubconjuntosquecon lasmi smas operacionesti enen tambin estructuradeespaciovectorial; son el elementoneutro(O),y elmi smoconj untoV sell amansubespaciosimpropi os. Sialgn otrosubconjuntodeVes espaciovectorial,diremos que esunsubes-paciopropio de V 1.3.1.Definicin desubespaciovectorial U esunsubespaciovectorialdel espacio(V*, ~ )*'*U essubconjuntonovaco deV y (U, *, ~ )es espaciovectori al A Paraversiunsubconj untoUdeVesunsubespacio,Ono,sepuedeir comprobandoqueverifi catodasy cadaunadelaspropiedadesquedefinen unespaciovectori al,o bi en,buscaruna caracteri zacin, esdecir, una ova-ri ascondiciones equi val entes,el smbolo queseutili zaparala equi valencia 18 es*'*. Con*'*debemos entender: Tener laspropiedades~Cumplir la caracteri zacin y Cumplir la caracteri zacin~Tener las propiedades 1.3.Sub espacios vectoriales Teorema: Caracterizacin de subespacio vectorial novaco deV. Demostracin: {'fU.vEV=>U * V EV Y siendoU un 'fuE V, 'f,lEIR=>,luE V =Esevidente;por ser (V,*. IR)espacio.se veri fica/i_ vEVy,lu EU. =) Paralos elementos deVse cumplen automticamentelaspropiedades lamult ipli cacinporelementosdeIR,yaqueloselementosdeVloson bin deV Lomi smoocurreconlaspropiedadesasociativay conmutativade(V, _). Elvector neutro Opertence a U.En efecto, 'f/i EV, Ou=OE V. Paracadaelemento/i deV,hayunsimtri co -u quetambi npertenece a l: 'AIi * LVEU 20 Ambascaracterizaciones son equi valentes: Demostracin: =Por cumplirse [1.3,2.], podemosafirmar que Vu,v E U;VA, j.1E IR=> =>AU' j.1V E U. U,V E U. Sien [1.3.3], hacemosVu, v E U;VAE 1R,j.1= O=>AIi E U. En [1.3.3] hemos utili zadountipo especialde expresiones:lasqueson de laformaAU ,j.1VE U;son muyimportantesyreciben el nombrede combina-ciones lineales 1.3.Subespacios vectoriales 3.4.Definicin de combinacin lineal una combinacinlineal o dependelinealmente delosvectoresde 5e\1 . Ti l* A,Ti,* .. . * A"Ti" ; 5 ={Ti,Ti, .. ... Ti,, } eespacio vectorial \1;Al.A, ...., A"E IR Elconjunto formadopor todaslascombinaciones lineales de los elementos de 5,recibediversosnombres,comoenvolventelineal de 5, o clausura de 5y e representa generalmente como (5). Los mltiples colores dela pantalla de unmonitor se defi nen comocombi-nacin lineal delos colores primarios rojo,verde yazul. Definicin de sistema de generadores de un espaciovectorial n sistema de generadores de U o U est generado por 5""U =(5) IIjIIrrlplo1.3.3 Cualquier vector delaformav = Al(1, 0, 1) + A,(2, 0,1) es combinacin lineal de los vectores de 5 ={ ( 1, 0,1),(2, 0,I) } eIR3 5 es el sistema de gene-dores de (5). ElsubespaciodeIR'generadopor5es(5)={(Al+ 2.:\"0,Al+ A, )lA, A, EIR ). Grficamente, vemos que, cualquier vector del plano que contiene los vec-toresdados,esunacombinaci nlinealde ellos.Dichoplanoesel subespacio mspequeo quelos conti ene. 21 1Espaciosvectoriales Ejemplo1.3.4 Comprubese que S'={( 1,O,1),(3,O, 2) I genera el mi smosubespacio de 1R3 que el generado por S del ejemplo anterior. La ecuacin del plano generadopor S es x, =O. La ecuacin del plano generadopor S' es x, =O. (S),=(S')se formancontodaslas combinacioneslineales de dos vectores del plano x, =O. Ambossistemasdevectoressonsistemasequi valentesporquegeneranel mi smosubespacio. Consecnencia: Para ge/l erar U/Isllbespacio/lOhay U/Isistema nico. 1.3.6.Definicin devectores linealmente dependientes S = {Ul. u, .. ... uple\/ esunsistema linealmente dependi ente oli gado*" *" Al menosuno de los , E S dependelinealmente delos otrosvectoresde S 1.3.7.Caracterizacin de vectores linealmente dependientes s ={"u, .. .. , I' I eVes unsi stemalinealmentedependiente*"Si O= All+ + A, , + ...+ AI' P: Al , A, ..... Al'E IR'"'3algn Al * O 22 1.3.Subespacios vectoriales Demostracin =SiS =I" , , ..., p} esunsistemalinealmentedependiente,la defi ni -cin [1.3.6]nosaseguraque, al menosunodelos Ui ES depende linealmente de los otros vectores de S.Podemos suponer sin prdida de generali dad (basta-rareordenar) que es , el vector que depende linealmente delos otros, enton-ces, U, = A.o, +.. .+Apup, ypor tanto O= - 1, + A.ou,+...+ App (A,* O). = )Si O=A,U,+ A.o,+.. .+ ApUp; A"A2 , .. . , Al'E~=>3al gnA, * O. Pode-mos suponer sinprdida de generalidad (bastara reordenar) que es A, * O como A,E~ ,3 A,', O= A'tA,'u, + A, A, ' , + ...+ Ap A,' p; , =J12U,+.. .+ J1 pup. 3.8.Definicin de vectores linealmente independientes ", .. .. , I' } el' esunsistema linealmente independiente o libre =A,,+ A,,+ ... + A,up;A,. A, ... ..ApE~=>A,= A2= ...=Al'= O Comprubese que, de entrelos siguientes conjuntos devectores,sonlibres olinealmenteindependientes ByC: A = {( I, 2, O), (O, O, O), (4, S, 6)};B = l (l, O, O, O),(0. 1, O, O),(O, 0, 1, O), (O, O, O,I) }; C ={(l,4, 7), (S- 3, 4)} { A+ 4y= O =>2A + Sy= O =>A = O;Y = O; 6y = O 23 1Espaciosvectoriales La igualdad es ciertaVf.lEIR=>A es unsistema linealmente dependiente o Li gado. Si Opertenece a un sistema de generadores, ste es linealmente dependiente. A Losvectoresdeberanescribirseverticalmenteparadistinguirlosdelos puntos, pero est admitido que se escriban tambi n horizontalmente por como-didad, nosotros loharemosindi stintamente dependiendo dela situacin, cuan-dohaga falta especificar ms,haremos la precisin correspondiente. Bes la base cannica o estndar de1R4 (1)(s)(0){ A=Sf.l = O c) A4+f.l-3= =>4A- 3f.l = 0 =>A=O;f.l=O;=>e es un sistema libre. 747.1 +4,/= 0 1.3.9.Proposicin SiS =I u" u" ..., ul' } es unsistema linealmenteindependienteeV,y v )Si O= A,u, + A2u, + .. . + App + f.lv; tiene que ser f.l= O, porque si f.l#O,se podra escribir v como combinacin lineal delos elementos de S, yeso vacon-tra lahiptesis de que v A,= A, =...= Ap = 11=O, que es la condicin necesaria parapoder decirque S U {ji}esunsistemalibre conte-nido en V Se pueden escribir msproposicionesrelati vas a la dependencia e indepen-dencialineal, peroson consecuenciadirectadelo queyahemosaprendi do,y se demuestranutili zandolasmismastcni cas. 1Espaciosvectoriales 1.4.Transformaciones enunsistema de generadores. Espacios vectoriales finitos.Bases En1.3 hemos vi stoquelos espaciosvectori alesse pueden generar median-telascombinacioneslineales de unsistema de generadores cualqui era,pero en general.es msinreresanres considerar los sistemas de generadores linealmen-teindependientes. Lasproposicionessiguientes expresanpropiedades relacionadas con lade-pendenciaylaindependencialineal delosvectoresUi, queformanel sistema de generadores G =u" u" ... , l/p Ideunespacio vectorial, V. Adems delaimportanciaintrnseca que ti enen laspropiedades que vamos a enunciar, tienen unvalor aadidoporque sernutili zadas en lasdemostracio-nesde teoremasposteriores. Laproposicinsiguiente expresa que,lacantidaddevectores deunsiste-madegeneradoresli gado,sepuedereducirsinquevareel espaciovectorial generado. 1.4. 1.Proposicin Siu, EGes combinacinli neal devectoresdeG,(G=u" u, ..... I/p)generador de 11).entonces, el e.pacio generadopor G - {Ui I es 11 26 Demostracin: Supongamossinperder generalidadqueu,= J1'u" + ...+ Jliip' Si v EV.v = =AIU[+ A,2U2 + ... + pup =iiJh2 + o+ J.1 pTip) + Alfi2 + ... + ApUp =riU2+ ... + Ypu,. Es decir, cualqui er vector de11se puede generar prescindi endo delos vec-tores de G que dependanlinealmente de otros vectores de G. 4.Transformaciones en un sistema de generadores P""P" U 1.4.1 Enel sistema e = 1(0.1),(3, O),(0, 2)}, elvector (0, 2) = 2 (0,1) + (3, O). El espacio que generae es el mismoque generae, = e - 1(0, 2) } = 1(0,1), 3. O) },ambos generan~ ' . Obsrvesequecualquiervectorde~ 'sepuedeexpresarconlosvectores de G, peronode fonnanica. Los colores dela pantalla de unmonitor sepueden definircomounacom-binacinlinealderojo,azulyverde,peronosepuedendefinirconninguna mbi nacinlinealderojo, azulymorado, porque el moradodependelineal-mente de rojoyazul. Laproposicinsigui ente expresa que se puede sustituir unvector del siste-madegeneradorese, porcualquier combinaci nlineal delosvectoresdee dondeintervengadi chovector con coefi ciente no nulo. Proposicin ees combinacin linealde vectores i/, de e. (e =IU,. i/, .... , p)generador de lOces. alsustituirun, (concoeficiente", enlacombinacinlinealque sa ,,)por" en e. elsistema obtenido e, sigue siendo generador deji Demostraci n: Sea v = A,,+ A,, + .. . + Apup, ysupongamos que es A,'" 0, entonces, ,= ,-,- ,-,,- ,-', -= /1.1V-1\. 1fVl U2- 0'_- /1.-1/\"pu". Cualqui ervectorxEVverificax=Il'"Il' ' ,+.. . + Il",,=fl ,(A, 'v-- A,'A.,, - ... - A,'Xpi/p) + Il' '+ ...+ IIpp =y,v + y,, + ... + Ypp _molo 1.4.2 Sea e = I ( 1,0, O),(O,1, O)}generador delplano de ~ 3 ,z = O. V =2(1, 0, O) + 0(0,1, O) = (2, 0,.2) wede sustituir a ( 1, 0, O) en e = I ( l , 0, O), (0,1, O)},obteniendo e, = 1(2, 0, O), (O,1, O) }, generador del mismoplano z = O. 27 1Espaciosvectoriales Sin embargo, (2,0, O)nopuedesustituir a (0,1, O)porque el sistema e2 = =1( 1, 0,O), (2, 0, O) I no genera el plano z = 0, sino la recta y = O; z = O. Elteoremasiguiente expresa que el nmero de vectoresdeunsistema ge-nerador libre es menor o igual al de cualquier otro sistema generador. 1.4.3.Teorema fundamental de la independencia lineal Si /=11' " 1'" .... 1', 1 essistemalibredegeneradoresdeVy e =Iu" u" ... ,uplun sistemagenerador de\ : entonces,/:; p Demostracin: =>)V; son vectoresdeunsistemalibredeV,e es generador deV,portanto V, = A,u, + ,Uz + ... + Apup con algnAi '" 0, supongamos A,'" 0, utilizando la pro-posicinanteriorpodemosasegurarquee, =Iv" U2 , ... , piesgeneradordeV (Observemosquehemossustituidounvectordelsistemadegeneradores por unvector delsistema libre). Por ser e, ={v" 2 , ... , pI generador de V y V2 vector de unsistemalibre de V,V2 = JI ,v" Jl22 + ...+ Ji pp conalgnJli '" 0, supongamos Jl2 '"0, utilizandola proposicin anterior podemos asegurar que e2 = {v"2 , .. . , up I es generador de V Esteproceso10 podemosrepetir, comomximo, pveces,obteni endo ep = ={v" V2, ... , vp),si P < h todava quedanvectores{Vi.',Vi. 2,.. . , V, } de /, quese pueden expresar como combinaciones lineales de ep ={v"V2,... , vp), que es un sistemagenerador,la suposicinde que p< hnoshallevadoaunacontradic-cin, porque / ={v" V2, .. . , v, } esunsistema libre,como consecuencia,la supo-sicin era falsay p ~h. A Parahacer estademostracin,hemosutili zadounaformaderazonarmuy frecuente,esla reduccinalabsurdo.Consiste en suponer que es cierto 10 con-trario a aquell o que queremos demostrar (queremos demostrar que p~h y su-ponemosque p< fI ),seguir el razonamientolgico,yllegar auna contradic-28 1.4.Transformaciones enun sistema de generadores cin conlahiptesis(concluimosque I={VI, V2 , ... , V, } noeslibre, en contra delahiptesis de que partimos). Alrepetir el procesodesustitucin deunvector del sistemadegenerado-res, por unvector del sistema libre,hemos sustituido parcialmente los vectores deunsistemadegeneradoresporlosdeunsistemalibrecualquiera,sinque vare el espacio generado. 44.Definicin 1E )Cualqui er ji EV.se puede expresar como combinacin lineal de los ele-mentosde B. Por tanto.B generaV. EVsepuedeexpresarcomocombinacinlinealdeloselementosde B. = ,1, ,e,+ A."e,+ .. . + ,1,,,e.;dadoque de = De, + De2 + ...+ De. Y losvectores sepueden expresar demanera ni ca. O =,1"=,1,2 =...= ,les decir. B esunsis-tema libre. Ejemplo1.4.2 30 El ejemplo ms sencill o debase en [J;l.es la base canni ca:B=1(1. O. ... . O), (O.l . .. .. O) . .. ., (O,O, ... , l) }. 1.4.Transformaciones enun sistema de generadores Cualqui ervector x =(x,.x, .....x") deIR"escombinacinlineal delos ele-mentos deB,(x"x, ... x") =x, ( l . O... O) +x,(O.l .. . O)+ ...+X" (O. O, ... 1). luego B genera IR". Six, (1.O... O) + x,(O.l . ... . O)+ ...+ x" (O. O ...1) = (O. O ... O)=> x,= = x, =...=x" =O.por tanto. B eslibre=>B generador y libre. esbase. Consecuencia: La segunda definicin de base IIOS permite decir que, x= (x/, X2,.. . ,x,,)se puede expresar de forma lnica mediante los coeficientes X,X2,.. "XII'respec-toa labase cannica, dichos coeficientesrecibenelnombre decoordenadas del vector x respectoa labase dada. Lasrelaciones que existen entrelasdi stintasbases deunespacio vectori al danlugar a diversos teoremas que recibenel nombre genri co de teoremas de labase, 4 8.Teoremadeexistencia de labase 'luier espaciovectorialfinito V"" TIti ene base Demostracin Sea G =Il . il, ...ilp} unsistemafinitode generadores deV"" TI. Sisusvectoressonindependi entes. G esbaseyest demostradoel teore-ma. Sisusvectoresnosonindependi entes.esporquealgunodependelineal-mente de otros. es decir. se cumpl ela hiptesis delaproposicin [1.4.11. y por tanto. es ciertala conclusin de di cha proposicin:Se genera el mi smo V susti-tuyendo G por G,.(G,se ha obtenido quitando en G los vectores que noson in-dependi entes).Elnuevosistemadegeneradoreslinealmenteindependientes. G" es una base. 31 1Espaciosvectoriales 1.4.9.Teoremadeladimensin TodaslasbasesdeunespaciovectorialVtienenelmismonmerodeelementos Demostracin SeaB= {eloe2... e" 1 una base de Vy seaB' ={e'l. e'2 ... e'ml otra base deV. B es sistema libre de generadores. B' es sistema de generadores.por [1.4.3J=> =>n ~m. Adems. B'essistemalibredegeneradores. Bessistemadegeneradores. por [1.4.3J =>ni::; /l. Por tanto. ni = /l. Todaslasbasesdeunespaciotienen el mismonmerode elementos.que recibe el nombre de dimensin del espacio. 1.4.10.Definicin dedimensin de un espaciovectorial Dimensindeunespacio vectorial V",{O 1,finito. Dim V.es el nmero de vecto-res de cualqui era de sus bases Ejemplo1.4.3 32 La base cannica deU;'es{(l. O. O).(O.l . O).(O. O.I)}. tiene tres elemen-tos.los vectores (l . O. O),(O,l . O).(O.O.1),portanto. cualquier base de U;'ti e-ne tres elementos y tres esla dimensin delespaciovectorialu;3 Si el espacio es V = O.por convenio se toma Dim V = O. 1.4.Transformaciones en un sistema de generadores 4. 11.Consecuencias 1.Si DimV = n=>No puede haber enV ms de/lvectoreslinealme/lte i/ldependientes. Demostracin: B ={e" e, ,... , e. } esbase, por tanto, es sistema de generadores} =>p ':;'n S ={v" v" ... , vp}esunconjunto de vectores linealmente independientes Hemos utili zado [1.4.3]. 2.Si DimV = n=>En cualquier sistema degeneradoresdeV/lOpuede haber menos denvectores. Demostracin: (es base)=>I! ':;'P B = {el , e"..., e. } Sus vectores ei son linealmente independientes } G ={" " .. . ,,, } es sistema de generadores 3.Si Dim V = /l=>Cualquier conju/lto S de nvectores linealmente i/lde-pendientes forma U/la base. Demostracin: Recordemosqueenlaproposicin[1.4.3],habamosconcluidoque,los vectores de unsistema de generadores pueden ser sustituidos parcialmentepor losdeunsistemalibrecualquiera. Portanto,losnvectoreslinealmenteinde-pendientesde S, pueden sustituir alosn.vectores de cualquier base(son gene-radores), y el resultadosigue siendo generador ylinealmente independiente, es decir, es otra base. 33 1Espaciosvectoriales 4.Si Dim V = /1=>Cualquier cOl1jU/lto de /1gel1eradores forma ulla base. Demostracin: Si G={u"u, ,.. ., u, } es sistema de generadores de V,y en G hay unsiste-maG'con pvectoresl.i. (p~11),entonces,el espacioquegenera G'tambi n esV, por tanto, G' esbasedeV.Comola dimensin deVes 11,elnmerode vectores deG' es11::::)P =". =>G=G' es base de V. 5.Si Dim V = 11=>TodocOlljulltodevectores S = {v" v, ,..., vpl deV COII P < /1,lillealmellte illdepe/ldie/lte,se puede completar con p - /1vecto-resdeVhastaconvertirsee/lbase(Teorema delabasei/lcompleta). Demostracin: Por [I.4.8Jpodemos afirmar que en V existe una base de dimensin /l.EnB hay almenosunvectorquenopertenece a(S), porquesi no, S generarauna base deV y como consecuenciaV,y estonoes posibleporque p P + I=>Partiendo del sistema generador S' que ti ene p+I vectores, obtenemosS"con p+ 2vectoresrepitiendolodoslospasosquehemosdadO para S. Ser necesari o repetir este proceso n - p veces. 1.4.12.Definicin de coordenadas deunvector (x"x, .... , x, )son las coordenadas dexE Vrespecloa la baseB={e"e, .....e,, } ** {::::}x=xel +X'1eZ+...+. xnen 34 1.4.Transformaciones en un sistema de generadores plo1.4.4 Cuando decimos quelas coordenadasdeunvector de~ 2respectoa labase cannica B = [( 1, O),(O, 1) 1son (2, 3), estamos expresando que (2, 3) = 2(1, O) + +3(0,1). Sihubiramos tomado B' =[(2, O),(0,1) 1 como base de~ 2 ,elmi smovec-lorseexpresara como1(2, O)+ 3(0,1),Y diramosquesuscoordenadasres-pecto a B' son (1 , 3). 35 1Espaciosvectoriales 1.5.Dimensin de lossubespacios de unespacio vectorial finito Lossubespaciosvectorialessonasu vezespaciosvectoriales, ypor tanto, tienen dimensin. Vamos a estudiar la relacin que existe entre la dimensinde distintos subespacios de unespacio vectorialV de dimensin n. 1.5.1.Proposicin.Lainterseccindesubespacios es subespacio La interseccin de subespaciosVi con i =1, .... 11deV.es unsubespacio deV Demostracin: Si U,V EnVi =>AV + /1UEr'\V" ya que todoslosVi son subespacios deV. 1=1,::1 Adems,la interseccinno es vacaporque Opertenece a todoslosVi. Hemos demostrado quela interseccin de subespacios cumple la cond.icin necesaria y sufi ciente para ser unsubespacio. 1.5.2.Teorema El conjunto (S) es el menor de todoslossubespacios deV que contienen S 36 Demostracin: Es claro que esel menor,porque para ser subespacioque contenga S debe contener todas lascombinacionesLineales de los elementos de S,es decir,debe 1.5.Dimensin delos subespacios de unespacio ... contener (S),Y (S)esespaciovectori alporquesudefinicinevidenciaquese cumple [1.1.3]. Proposicin. Launin de subespacios puede no ser subespacio lin de subespacios U, de V,puede no ser un subespacio de l' Demostracin: Essufi cienteencontrarunejempl oenelquelauni ndesubespaciosno sea unsubespacio, eso esloque haremos en el ejemplo siguiente. 1.5.1 Seanlos subespacios delespacio IR',U, =eje delas y, U,=eje delas x,si U, U U,fuera espacio, -'.(0,1) + /1(1,O) = (-'.,/1) debera pertenecer a U, U U" porque(O,1),(I , O) pertenecen a U, U U, Y -'., /1,EIR,pero, es evidente que (-'., Jl)El'U, U U,porque si -'.'" O YJl'" O (-'., /1) no est en ningn eje. Esimportante observar que,para comprobar que unaafirmacin escierta, no essufi cienteverifi carla en uncasoparticular o ejemplo, hayque hacer una demostracin, es decir, ver quela afirmacin es cierta para todos los casos. Sin embargo, paraver queuna afi rmacin no es correcta, es sufi ciente que nolosea,almenos,enuncaso,yportanto,valeconencontrarunejemplo queno verifique la afirmacin. Dicho ejemplosell ama contraejemplo. SabemosqueU, UU,esel conjuntomspequeoque contieneU, yU" peroconfrecuenciaesinteresanteutilizar,noelconjuntomnimo,sinoel 37 1Espaciosvectoriales subespacio mnimo deV,que conti ene U,yU"ese subespaciose ll amasubes-pacio suma. 1.5.4.Definicin de suma de subespacios Suma de los subespacios U,yU, . del' es el conj unto U, + U, : U,+U,= (, + , /, E U,., E U, ) 1.5.5.Proposicin.Lasuma de subespacios es subespacio La suma de subespacios deVes unsubespacio deV Demostracin: Sean,v EVI+ U2,entonces {U =UI+[[21 U EVI,U2EU2 _____=>A. Il = A.(,+ , ) + 11 (v, + v,) = v=\/ 1 + \/ 2/ VIEVI. \/ 2EU2 = (A.,+ Ilv,) + (A.lt, + Ilv,) EU,+ U, . Ejemplo1.5.2 38 Dados los subespacios V,={ (a, [3, O) )eIR'y V, ={(O,A.,t) )e1I\l' , (U, es elplano z = O:(plano XY)yU, es el plano x = O; (plano YZ)). 1. 5.Dimensin de los subespacios de un espacio .. . Losvectores que forman U,+ U, sonde la forma (a,f3 + A, 11) , es decir, son todoslos vectores de IR'-Ladescomposicindeunvector IR'en sumadeuno del planoz =O Y otro del plano x= O no es nica. plo1.5.3 (2, S, 3) = (2,O, O) + (O, S, 3)= (2,2, O) + (O, 3,3) = (2,1, O) + (O, 4, 3) = ... Ladimensindelossubespacios estrelacionada con ladimensin del su-bespaciosumamediante la expresinconocida comofrmuladedimensino frmula de Grassmann. 5. 6.Teorema(frmuladeGrassmann) ('-,+ U, ) + Dim(U,n U,) = Dim U, + DimU, Demostracin: SiBo =(e" e, ,... , ep}esbasedeU, n U,),sabemosquesepuedeampliar hasta conseguir una base B, =(e"e" ... , ep,u, ,... , u, } de U" ypor otra parte,se puede ampli ar hasta conseguir otra base B, =(e"e, ,... , el"v,,... , v., } de U, . Podemosconstruir B =Iel,e2,.. ., ep,u],... , ur l VI, .. ., vs},y demostraremos quees base deU,+ U,. Para que B sea base hace falta que sea unsistemalibre y que genere U,+ U, . B generaU I+ U2: Vu EU,+ Uz, u =u, + u" u,EU" u, EU, Como B, esbasedeU, yB, esbasede U"u,sepuede escribir comocom-binacinlinealdeB, =(e" e2,... , ep,u,,... , u,},y U2 comocombinacinlineal deloselementos de B2 =(e"e, ,... , ep,v,,... , v, },por tanto, u se puede escribir como combinacinlineal delos elementos de '8. 39 1Espaciosvectoriales B es unsistema libre: Sea \Vo + \V,+ \V,=0,una combinacin lineal de los vectores \VO=A,e,+",+ + Apep, WI =au+ ...+ a rUn W2 =/3v+ o,,+ f3svs;podemosescribir Wo+w = =-\V"como \VO+ \V,dependelinealmente deB, Y \V,dependelinealmente de B, se deduce que,\Vo+ \V,EU,n U"y como consecuencia, se puede expresar como combinacin lineal devectoresde Bo: \Vo+ \V,=Ole, +." +opep. Si formamos la combinacin \Vo + \V,+ \V,= Ole, + ". +opep+ p,v, +". + p,v,= = 0, hemos tomado unvector de U,n U2,y otro de U2,es decir, unvector genera-dopor B2,que esunsistemalibrepor ser base" O,=". = op= p,=". = p, =O. Por ser p,=" . = p, = O la expresin\Vo+ \V,+ \V2 = 0, se transforma en \VO + + w =O~A.le]+ o+ A.pep + Gu+ o+ a;iir = O~Al=o= A.p =al = ... =a, =0, con loquehemos demostrado que B es unsistema libre. Como antes habamos demostrado que B es unsistema generador podemos afi rmar que B es base deU,+ U2 Paraqueladescomposicindeunvectorseani cadebemosmovernosen una clase especial de sumas: las sumas di rectas, de ellas hablaremos muy pronto. 1.5.7.Definicin de suma directa de subespacios Suma de directa delossubespaciosU,yU"deVes el conjuntoU,tlU2 = {ji = =u,+ u, / u,EV"U,EU, }.tal quela descomposicin de cada vector Ties ni ca. Ejemplo 1.5.4 40 Dadoslossubespacios V,={ (a, p,O) }eIR'yU2 ={(O, O, JI ) }eIR'(U, es el plano z = O; (plano Xl') y U2 es la recta[x= O;(eje 2)), los vectores que LY =O forman U,+ V, son dela forma (a, p, JI ), es decir, son todoslos vectores de IR' . 1.5.Dimensin de los subespacios de unespacio .. . La descomposicin de unvector de [J;l 3 en suma de unodelplano XY yotro del eje Z esni ca. As (2,5, 3) = (2,5,O) + (O, 0,3),siendo(2, 5, O) Eplano z = y(O, 0, 3)E E{x= o y =O 5 8.Caracterizacin I de lasuma directa V, es suma de directade lossubespacios V, + V,~TI= TI , + TI, = O =>TI , = -=0.'d TlEV, ilV, Demostracin =>)= ,+ TI, = O+ 0, comoladescomposicin de TIesnica, ,= , = O. TI= 41 1Espaciosvectoriales Demostracin: = EU, n U,=>ti EU,Yti EU, ; U, . U, son espacios vectoriales -TiEU,. Como ()+ (- )= O.aplicando [1.5.8.J=>Ti= O. ti = O. Sea Ti= ti, + Ti,= O. unvector de U, + U, . ti , EU"Ti,EU, . U[EUh como u[:;;: - U2 ~- U2 EVI.~U2 EV I _ U2eU2como U2=- UI~-U1EV I .=>niEU2. Por tanto. los vectores Ti "ti, . son de U,n U,. cuyoni covector es O. Hemos demostrado que la suma es suma directa. 1.5. 10.Definiciny existencia de subespacio suplementario Dado unsubespacio fi nito U" exiqe unsubespacio U,. tal que\1 = U, (BU, U, es el slIbespacio slIplemel/ftlrio deU, Demostracin dela existencia de U, : Si I e" e, .... . ep)es base de U,. yle" e, ..... ep ela l... e,, }es base de \l. en-toncespodemos construirU, = (ep, e,,). que cumpl ela condi cin requeri -da. o Unabuenafonnade demostrar queunconjuntoexiste.es construirlo. eso rlo que hemos hechopara demostrar que existe U, . 42 En el ejempl o1.5.4. el complementari o delplano XY(Subespacio U,)esel eje Z (Subespacio U, ). Es evidente que si U, y U, son suplementarios. sus dimensiones estnrela-cionadas por la expresin:DimU, + DimU, =Dim\!. Ejercicios Consecuencias SiV, es el subespacio supl ementari o de V,enV,se deducenlas sigui entes consecuencias defomlainmediata al apli car la definicin de subespaciosupl e-mentari o dada en {1.5.1O): 1.ReLacilIentre Las dimellsiolles de subespacios supLementarios: DimV,+ DimV, =DimV Demostracin: ComoDim(VI n V, ) =0,el resultadoes consecuencia directa de [1.5.6.]. 2.Caracterizacin desubespacio supLemelltario de UIIsubespacio: UI + U, = V Y UI n V, = O Demostracin: Laprimera afinmacin esconsecuencia dela definicindesuma directay lasegunda dela caracteri zacinIlde sumadirecta. 3.Si B= (el,ez ,..., e.J esbase deLespacioV.. V= (e,) 8Jtez)8J... 8J 8J te.). Demostracin: Esconsecuencia inmediata de lasdefUliciones de base y suma directa. cicio1.1 Demustresequeelconjuntodefunciones~:IR--+IRconlassigui entes operaciones: 43 (j + g)(x) + f(x)+ g(x), siendo j, g E ~ . 2.Mul tiplicacinpor escalares, defini da como(Aj)(X)= Af(x),siendoA E ERf E ~ ,es un espacio vectori al sobre lIt Solucin: Tenemosquedemostrarquelasfuncionestienenunaseriedepropiedades; para ello, sabiendo que dos funciones son iguales si sus imgenes son iguales pa-racada elemento del domini o dedefini cin, trasladamoslascomprobacionesal campodelasimgenes,cuyaspropiedadesconocemosporser nmerosreales. ( ~ ,+)es grupo conmutativo.La operacin +en el conjunto ~verificatodaslaspro-piedades necesarias: Asociati va:(j + g)+ h = f+ (g+ h), Vj, g,h E ~ . Primer miembro (!f+ g) + " )(x) =(j + g)(x) + " (x) = =j(x) + g(x)+ h(x) Segundo miembro (j+(g + " (x) = j(x) + (g + h)(x) = = jlx) + g(x) + h(x) Propiedad conmutati va:Vj, g E~severi fi caf + g =g + f Primer mi embro (j + g)(x)= f(x) + (g)(x) Segundo mi embro (g+ j)(x) = g(x)+ j(x) Existeunelemento neutro:O E ~ ,que veri ficaf + O = f, Vf E~ La funcin O esla funcin nul a, es decir, O(x) = O, 'Ix EIR Primer mi embroSegundomi embro (j + o)(x) =f(x) + O(x)=j(x) + O =f(x)j(x) 44 Ejercicios Existeunelementosimtricoparacadaelementodelconjunto:Vf E:J(-IJ Edefinido como (-IJ(x) = -f(x), que verificaf+ (-IJ = O Primer miembroSegundo miembro fJ)(x)=j(x) + (-IJ(x) = OO - Rltiene las propiedades: Distributi vade escalares respecto a elementos).lf + g)= V + ).g Pri mer mi embro = ).(j(x)+ g(x)= "r)+ ).(g(x)) Segundo miembro W + ).g)(x) = ().j)(.r)+ ().g)(x) = =).j(x) + ).g(x) Distributiva de elementos de respecto a escaleres:(). + /1)f =).f + /1f Primer mi embro - .ulj)(x) = (). + p )f(x) = .r) + /11(x) Segundo mi embro W + pIJ(x) =().IJ(x)+ (lIJ(x) = =).1(x)+ pf(x) Asociativa respecto alproducto de escalares: ()./1)f=).(lIJ Primer mj embroSegundomi embro _.,f)(.r) =(Ap)1(X)= Ap1(X)=).(/1IJ(x)+ Apf(x) 45 1Espaciosvectoriales Existeunescalar unidad,1, que verifica1/=/ Primer mi embroSegundomiembro ( Ij)(x) =I/(x) =/(x)Jtx) Podemosdecir quelas funcionesson vectorespor ser elementos deunes-paciovectorial,y los elementosdeIRsonlos escalares. Ejercicio1.2 * I II 33 55 77 99 46 (A, *,IR)esuna estructura algebraica, tal que, en el conjunto A =Ix I x son dgitos impares I se handefmidolas siguientesoperaciones: l.* esunaoperacin, tal que, a* b =e,siendo ela cifradelasunidades del producto ab. 2.Multiplicacin estndar por elementos deIR. Se pide hacer la tabla de (A,*) y comprobar si (A, *, IR)es, o no es, espacio vectorial. Solucin: (A,*)noesgrupo,porquenoti enealgunadelaspropiedadesnecesari as. 3579 3579 95I7 - Es ley de composicin interna:(1* b EA,V a,b EA - Esasociati vaporserloelproductodenmerosenteros - Es conmutativa a* b =b * a, Va, b EA 5555 - Existe elemento neutro:lEA;I * (1= (1,V a EA l593 753I - No todoslos elementos de A tienen simtri co - Poseen simtri co1, 3,7,9. No tiene simtri co 5 Ejercicios (A, *, IR) no esunespacio vectorial, ya que no es grupo. Observacin: En la tabl a se pueden ver algunas de laspropiedades,por ejemplo: Esleydecomposicininterna:Noapareceningnnmerodi stintoalos elementosde A. Es conmutati va: La tabla es simtrica. Exi ste elemento neutro: 1 EA; Lal'fi la yla primera columna, correspon-di entes a la multipl icacin por 1,permanecen invariabl es. Poseen simtri co1, 3,7, 9.Noti ene simtri co 5: En cada fil a (no hace fal-la especificar columna porque es simtri ca)hayunl , excepto en las correspon-dientes a 5. 1.3 Si en el conjunto IR'se definen lasoperaciones: (x" x,) + (y"y, ) = (XI+ y"x, + y, ) . Si x =I=> Si x = 2=> A= O f3 +r= O 8f3+ 2r =o Ejercicios Del sistema de ecuacionesformadopor f3+ r = O Y 8f3 + 2r = O, se deduce que f3= r = O, es decir, esunsistema libre o linealmente independi ente. cicio1.7 SiP, esel espaciovectori alrealdelospolinomi osdegradomenorque3. Sepide: a)Decidirrazonadamente si{x', x'+ x, x+t} esuna base de dicho espa-cio vectori al. b)Calcular las coordenadas de 5/ + 3x + lrespecto a la base{J, .,) + x, x + + I . e)Encontrar unabase del espaciovectorial real delospolinomios de gra-domenor o igual que 3,que contenga a la base dada. d)Calcularlascoordenadasde5x'+ 3x + Irespectoalabase encontrada en el apartadoanteri or. Solucin: a)Cualquier base B del conjunto P,{ax'+ bx + e I a, b,e EIR } debe ser un sistema libre de vectores de P"talque, todopolinomio de grado meoor o igual que tres, se pueda escribir como combinaci n lineal delos vectores de B. Vamos a comprobar si {x', x'+ x, x +I } cumpl e estas dos condiciones: al ){x', x'+ x, x + I } esunsistema libre: aJ +{J(x' +x) + 8(x+1) =0 =>a= 0,{J =0, 8 =0=>{x2,x' +x,x+ 1} es un sistemalibre. a2){J, x' + x, x + l } esunsistemagenerador de P, : 53 1Espaciosvectoriales Cualquier elemento de P, es de laforma al + bx + e;para que{x' , x' + x, x+ + l } sea generador la ecuacin (Lt'+ bx + e = a! + f3(x2 + x) + o(x + 1) debe tener oluciones realespara a, 13,o. En efecto, (Lt'+ bx + e =al + f3(x'+ x) + o(x + 1) = x'{a+ fJ)+ x(f3 + O)+ + o=>a= a - b+ e;=>13= b - e;o = e;a, 13,o existen y son realespara cual-quier polinomio deP2,porque existen y son reales, a,b, c. b)En5x'+ 3x + 1, los coeficientes son: a = 5; b = 3;e = 1 =>a=5 - 3 +l =3; 13=3 - 1 =2; c = l=>5x' +3x+l =3x'+2(x' +x)+ +I(x+1). Las coordenadas de 5 X2+ 3x + 1 respectoa labase dada son (3, 2,1). c)Para que{x', x'+ x, x + 1}sea base deP"nos falta aadir x' ; elconjun-to{x' , x', x' + x, x+ 1)puede generar P"y losvectores queloformanson un conjunto de vectoreslinealmenteindependientes.Hemosaadido x' , perohay otras muchas posibilidades como por ejemplo, x' -x', x' - x' + x, x' + 1, .. . d)Elpolinomio5x'+ 3x +1 tambinpertenecea P"portanto,se puede expresar como combinacin lineal delos elementos de cualquiera de susbases. Enparticular,5x'+ 3x + 1 = ax'+ f3x'+ o(x' + x) + r(x +1) = ax'+ (f3+ + O)x' + (o + r)x + r=>a = O, 13= 3,0= 2, r = 1. Las coordenadas de 5x'+ 3x + 1 respecto a la base{x' , x', x' + x, x + 1) son (0,3,2, 1). Ejercicio 1.8 54 Sea S ={(2, -1,2,3), (1, 3, 2,1)}elit. Se pide: a)Escribir unas ecuaciones paramtri cas de (S); b)Determinar si elvector (11, -2,12,16) pertenece a(S),ysi esas, en-contrar la combinacinlineal que logenera; c)Determinar elvalor delosparmetros ni.y npara que el vector =(1, m, 4, n) pertenezca alsubespacio de lit generado por los vectores, v = (2, - 1, 2, 3)yw= ( 1, 3,2,1). ( Ejercicios Solucin: a)Ecuaciones paramtricas: 4X2= - A + 3/1 {X,=2A +/1 (S) =(A(2,-1, 2,3)+ /1(1 , 3, 2,1) I A,/1EIII)=>X,= II + 2/1 x4=3A+/1 b)Para que (11, -2,12, 16) pertenezca a (S), deben existir soluciones en el sistema formadopor las ecuaciones paramtricas: ~I I=ll+/1 -2 = -A + 3/1 12=ll+2/1 16=3A+/1 Losvaloresde A,/1obtenidoscomosolucindelas dosprimeras ecuacio-nesson A = 5, /1= 1;que convierten enidentidades lasdosltimas ecuaciones, por tanto,(11 , -2, 12,16)E(S),Y la combinacin lineal quelogenera es: ( 11, -2, 12, 16) = 5(2, - 1, 2,3) +1(1,3,2, 1). c)Del mismo modo que en elapartado anterior,para que (1, ni, 4, n) perte-nezcaa (S), debenexistir soluciones enelsistema de ecuacionesformadopor las ecuaciones paramtricas: {l=ll+/1 ni =-A + 3/1 4= 2.LzG:lL3 = ~ 4 . Cualquier vector de~ 4se puedeobtener comosumade unvector deLzy otro de L3. t = X2 L n 0, est fonnado por los vectores que verifican las ecuacionesX2= X3 Y X3 = X4 {X2 = 2 ~ 4 X4= 2Ln 0, {(O, O, O, O)}=>L+ 0, es suma directa. Clcu.lode LG:lL3: Base deL ={( I , 1,1,I ) } Base de 0, ={ ( 1, O, O, O),(O, 4,1, 2) ) Siv E LG:lL3 =>V =V+ V3 / VEL Y V3EL-, . {Xl= a + f3 ..x2=a+48.. Unas ecuacIones paramtncas de L G:lL3 son:"'queelLml-X3 = a+ u x4=a +28 nandolosparmetros danlugar alas ecuaci onescartesinas X2 + 23VI,V2 EV,tales que!\v) = WI,j\V,)= W2, por tanto, j\vl + v,) =j\VI) + (v, ) = WI+ W"como VI+ + v, EV por ser V unespacio vectorial=>WI + W,E1m(/) . Tambin se verifica \fA EIR,j\AV)=AflV)=AW,como AW E1m(/)porque AVE E V => 1m(/) esunsubespacio de W. Elotrosubespacioimportantees elsubconjuntodeV cuyoselementosse transforman en el vector neutro de W. .Definicin de ncleo de una aplicacin lineal ~ odelaaplicacinlinealf: l' -+ IV e, el conj unto '1= Iv E\ ~talesque.f(')=OEIV} Nuc (/) v W 75 2Aplicaciones lineales 2.2.4.Proposicin El ncleo de una aplicacin lineal f: V --7Wes unsubespacio deV Demostracin: VamosacomprobarqueNuc(f)verificalacondicinquecaracterizaun subespacio. SiV"V,E Nuc(f)=>f(VI + v, ) = f(VI) + f(v,)por ser funaaplicacinlineal; como f(VI) + f(v,) =O + O =O EW =>VI+ v, E Nuc(f). Tambi nseverifIca:'itAE1J\Ii,VvENuc(f)=>f(AV)= Af(v)= O => AvE ENuc(f), por tanto, Nuc(f) es unsubespaciodeV Ejemplo 2.2.1 76 "Seaf(M, +, IJ\Ii)--7(1J\Ii',+,IJ\Ii)la aplicacinlineal definida como (all a'l --7(all+ al ' , al, -al "a, ,, O)en elejemplo 2. 1.1" Laimagen dela aplicacinlinealestar formadapor el subconjunto de 1J\Ii' , cuyos elementos sean dela forma (x" x"x"x, ) = (all+ al' , al2 -a 11 ,a, ,,O). XI= all + al , } X2=a1 2 - al ]=> X3=a 21 x, =O lm(f)= I (XI,x"Xl,x,)E1J\Ii'/x, = O} Elncleo delaaplicacinlineal estarformadopor elsubconjuntodeM cuyaimagensea(O, O,O,O)= OE1J\Ii' , esdecir,loselementos( ~ ; :a,)EM que cumPlanf( :;11a ~ , )= (all+ al2, al2-all , a,,, O)= (O, O, O, O) 2.2.Subespacios distinguidos: ncleo e imagen esde dimensin finita (dimV =11 ). entonces. severifica: '1\luc(j)+ dim1m(j)= dimV Demostracin: El ncleo es unsubespaciovectori al deV (Ves unespacio finito).por tan-to.tieneunabasefinita.LJamenos B aestabase.losvectores de B sonlineal-menteindependientes.ysepuedencompletarconotrosistema devectoresli -nealmenteindependientes hasta obtener unabase{'el . e, . ... . epu" .... uq}de V HemostomadoB como base del ncl eo. cuyadimensin es p. Nos falta ver que{fiu,) ... f(uq)}esuna base delaimagen de! Veamosprimero que es generador. Por la tercera concl usin de [2.1.21. sabemos que si{e,. e, .. . ep u, ...uq} esgenerador deV =>I!(e,).f(e,) ... f(ep).f(u,) ... f((uq)} es generador def(V). ComoBeNuc(j).f(e,)= ... = f(e,,)= O.y{fi(u,) ... f((uq) } genera f(V) . que eslm(j). Veamos ahora que... f((uq) } sonlinealmenteindependientes: Si+ ...+ A.JC(Uq) =O. por ser funaaplicacinlineal f(A, u,+ ...+ + AqUq) =O.esdecir A,U,+... + AqUq ENuc(j).yportanto. sepuedeexpresar como combinacin delosvectores deuna de sus bases.por ejemplode B. A,U, + ...+ AqUq = a,e,+ ...+ apep = O.podemos escribir a,e,+ ... + apep + A,U,+ ... + AqUq = O.dedondesededuce necesariamente quea,= ...= ap = A,= ...= Aq = O porser{e" e2 ...ep u, ... uq} base deV. Por tanto. AJ(U,)+ .. . + AJ(Uq) = O =>A,= ...= Aq= O =>{fiu,) . .. f(uq) } es unconjuntoli bre.yla dimensin delaimagen defes q. Hemos demostrado que p+ q = 11. 77 2Aplicaciones lineales Ala dimensindelaimagen de/ selallamaRango delaapli cacinli -neal: rglf). Ejemplo 2.2.2 En el ejemplo 2.2. 1 se verifi ca dimNuclf) + dimlmlf) = dim V.Enefecto: La dimensin de M={(es tresporqueGO' ) =Gil( + + GI2 ) + G2Iy{( ), esunsistema libre, es de-cir, esuna base de Mformada por tres elementos. dim Nuc lf)= O, porque Nuc lf)=dim1mlf)= 3, porque: Imlf)= {(x"x"X3,X4)Eihl' / X4=O}= {(x"x"X3,O) Eihl4} {(x" x"X3,O) = x,(1, O, O, O)+ x, (O,1, O, O) + X3(O,O, 1, O) como {(l , O,O, O), (O,1, O, O), (O, O,1, O) Iesunsistemalibre junto es una base de lmlf)eihl'formadapor tres elementos. =esteCQn-AYaconocemosla importancia delasdemostraciones en matemticas,pero adems de su valor intrnseco, a lolargo de ell as,se utili zany demuestran pro-piedadesimportantes que tienenvalor fuerade dicha demostracin. 78 Comopartedela demostracinanterior haquedado demostradala propie-dadexpresada en la proposicin siguiente: 2.2.Subespacios distinguidos: ncleo e imagen 2.2.6.Proposicin .1aplicacin linealf : \1-. W conservalaindependencialinealsi el ncleo de la Icacinlineales{ O} Lapartedelademostracinanteri orquedemuestraestaproposicines: "Debernoscomprobarque{u"... ,uq}linealmenteindependientes~ ~lf(u,), ... , f(uq)}son linealmenteindependientes si el ncleo de laaplicacin lineales{O};.1,U,+...+.1qUq =O~f(.1 ,U,+... + .1qUq)=.1J{u,)+...+ + .1J(uq) = f(O)= O. Corno .1,=... = .1q = O porque{u"... uq} son linealmente in-dependientes~f (u,),... ,f (uq)son linealmenteindependientes." 79 2Aplicaciones lineales 2.3.Aplicaciones lineales ymatrices fi Determinar una aplicacin/: V---7Wes darunprocedimientoque pennita cal cularlas imgenes delos elementos de V. Hay distintosprocedimientos para determinar una apli cacin: Si el conj unto tiene unnmero finito de elementos (noeslomismo que de dimensin finita),se pueden dar las imgenes de todos y cada uno de ellos. Se puede dar una ley de formacin que pemuta asignar a cada elemento de V unelemento de W, demodo que/verifica lascondiciones dadasen [2.1.1Jcomo hemoshechoen 2.2. Sila apli cacin es lineal, no es necesari o dar esa leyde formacin nilas imgenesdetodosloselementos,essuficientedar lasimgenesdelos vectores deunabase,porque por ser lineal, con ell o quedandetermina-daslasimgenes de todoslosvectores deV, es decir, queda determina-da la apli cacin. LasimgenesdeloselementosdeV son elementosde W,yvienen da-dosrespecto a una base de W, que hayque fijar previamente. 2.3.1.Teorema SiV,W son dosespaciosvectorialessobreIR; B ={e" e".... e,, ) esuna base de V y S ={W"w" ... , W,, ) unsubconjunto de W, entonces, existeunaapli cacin lineal ni ca/ : V ---7W, tal que,f(e,) =w, ,f(e,) = w" .. ..f(e") = W" 80 Demostracin: Comohemoshechoenotrasocasionespara demostrarqueal goexiste,lo construimos.Queremosdemostrar que existeunaaplicacin lineal /: V---7W, vamosa construirla: 2.3.Aplicaciones linealesy matrices Cuando se fija la base B en V. cualquier vector x E V.se puede escribir dan-dosuscoordenadasrespectoalabase:x=(x.x, .... x,).esdecir.x= xe+ +X2 ez+ o +x,;e". Construimos de la siguiente manera la imagen de cada elemento de la apli-cacin: j(x) = j(xe+ x,e, + ...+ x,e, ) = xj(e) + x,f(e,) + .. . + xJ(e,) = = xw + x,w,+ ... + x,w,=>La aplicacinf existe. Comolascoordenadas(x,x, ... x,) deunvector xsonnicasrespectoa una base B=>la aplicacin f esnica. Para ver que es lineal debemos comprobar que la aplicacin construida as. verifica las condiciones dadas en (2.J.J]: j(Xi + liy) = ).j(x) + J.lfl.Y);'Vx. yEV;'V),. J.lEIR En efecto. j(Xi + J.lYJ= j(M + J.ly)e + ... + (M, + J.ly,)e,) = = [(M+ J.l y)w+ ... + (M, + J.ly,)w,l= =(MW+ ...+ M,W,) + (uyw+ ... + J.ly,w,) = = (Mj\e) + .. . + MJ(e,)) + (uyJ\i! ) + ... + J.lyJ(e,)) = =)'(xj\e) + ... + xJ(en)) + J.l(yj\e) + ... + yJ(e,)) = = ).j(xe + .. . + x,e,) + J.lj(ye+ ...+ y,e,) = ).j(x) + J.lfl.Y) =>La aplicacin f es lineal. 2.3.1 Seaf:IR'-7IRJ /j(l. O)= ( l. 2,1);j(0.1) = (1. 1, O)una aplicacinlineal. Determnense unasecuaciones de dicha aplicacin. Solucin: B={(l. O).(O.l)}es una base de IR'.{(l. 2.1).(l .l . O)}eIRJ(no es base) (x, x, ) = x(I. O)+ x, (O.1); por serf lineal podemos escribir: 81 2Aplicaciones lineales {y,=x,+x, =>y, = 2x, + x,sonunasecuacionesdelaaplicacinlinealdada,que Y3 =x, permiten calcul ar la imagen (y"y"Y3) de cualquier elemento (x" x, ) de1I\l'. Ejemplo 2.3.2 Se puede determinar alguna aplicacin lineal f: 1I\l'~1I\l', talque,.I(2,3) = (O,l);.I(-2, - 3) = ( l , O)? Solucin: No puede haber una aplicacin lineal que cumpl a las condiciones dadas,ya que,sifueralineal,deberacumplirse:.1(-2,-3)= j [-(2,3)]= - 11\2,3)= = -( 1, O),mientras que, en el enunciado aparece.l(-2, - 3) =(1, O). Unaaplicacin lineal se puede determinar dando sus ecuaciones, comohe-mos hecho en el ejemplo anteri or, perotambi n se puede hacer dando una ma-tri z quevaasociadaa cadaaplicacinlinealcuando hemosfijadounabase en el conjuntoV y otra en elconjunto W. 2.3.2.Matriz asociada a una aplicacin lineal Si\ . W sondos espacios vectoriales sobreR B = 'l. e, . ... , e" I esunabase deV. S ={u,. u,. .... uml unabase deW y f unaaplicaci n lineal dc\enW. SeUamamatriz asociada a la aplicacinIinealfrespecto a lasbases B y S,alcon-junto A deelementosordenados enunatablarectangular de/Jlfilasy11columnas 82 2.3.Aplicaciones linealesy matrices fJsepuede escribir co-mo combinacin lineal de los elementosde fl.B). fl.x) =fl.x,e,+ x,e, + ... + x,en)=x,fl.e,) + xW,) + ...+ xJ(e,) 2.3.4.Definicin Rango deunamatriz es elrangodelaaplicacinlinealasociada denotadarg(A) 2.3.5.Teorema Elrangodeunamatriz eselnmerodevectorescolumnalinealmenteindepen-dientes que hay en ella 84 2.3.Aplicaciones linealesy matrices Demostracin: Si f(B) eslaimagende una base de V,esunsistema generador def(V), por tanto,ladimensinde f(V)serelnmerodevectoreslinealmenteindepen-dientes que haya enf(B). Las columnasdelamatri z A sonlosvectores de f(B),portanto,el nmero devectores linealmenteindependientes que hay enf(B) ser el nmero de vec-lores columnalinealmenteindependi entes que hay en A. Elrangodelaaplicacinlineal se puede definircomoladimensi6ndeSI/. imagen o el rango delamatri z asociada. Ejemplo 2.3.4 Enla apli cacin delejempl o 2.3. 1, la dimensin del subespacioimagen es 2,porque (~ ;)= X,( ~)+ X,(l ),es decir( ~) y ( l)generanla imagen;adems,co-mo sonlinealmenteindependientes, son base de Im(f)y su dimensin es 2. 85 2Aplicaciones lineales 2.4.los espacios vectoriales (L( V,W),+,1Ri ) Y (Mmxn ,+,1Ri ) Llamaremos L(Y;W)el conjunt o detodaslas apli cacioneslineales posibl es entre dos espaciosvectoriales sobre lRi: V de dimensin 11,y W de dimensin /1/ . Estamos acostumbrados a sumar apli caciones, multipli car aplicaciones por escalares ycomponer dos apli caciones. Eneste apartado vamos a ir viendo las propiedadesquetienenlasoperacionescitadas,ycomoconsecuencia,laes-tructuraalgebraicaquetieneL(V,W)conlasdistintasoperacionesdefinidas consus elementos. 2.4. 1.Teorema (L(\. W). +.IRiJesunespaciovectorialsobre lRi 86 Demostracin: Si I ygpertenecen a (L(Y;W).+),lasuma de aplicaciones se define como: !J + g)(v) = f(v) + g(v) La suma esuna aplicacinlineal: !J + g)(av, + {Jv, ) = f(av,+ {Jv,) + g(av,+ {Jv,) =f(av,) + f({Jv, ) + g(aV,) + + g({Jv,) = !J + g)(av,) + !J + g)({Jv,) = a!J + g)(v.) + f3!J + g)(v,) Es evidente que, tienelas propiedades conmutati vas,asociati va,existenci a deneutro (lafuncinnul a, talque 0(\1)=0, ';Iv EV),yelemento opuestode 1: -1, talque (-.fJ(Ti) = -f(Ti) . Por tanto, (L(Y;W),+) esun gr upo conmutativo. 2.4.Los espacios vectoriales (L(V,W), + IR)Y (Mmxn , +,IR) Elproducto deunaaplicacinlinealporunescalar se define como: (Af)(V) = Aj(V), siendo f EL(Y,W)YAEIR. Elproducto de escalar por apli cacinlineal es apli cacin lineal: (Af)(av,+ {IV, ) = Af(av, + {IV, ) =A[f(av,) + j(fJV2)] = A[aj(V,) + jJj(v, )] = = aAf(v,) + jJAj(V,) = a(Af)(v,) + a(Af)(v, ) Es claro que esta operacin ti ene laspropiedades que sirvieronpara definir unespacio vectorial en [1.2.2]: l.Distributiva de escalaresrespectoa aplicaciones: A(f + g) = Af + Ag. 2.Distributiva deaplicaciones respectoa escalares: (A+ .)! =).f + pI 3.Asociati va:(Ap )! = ).,(.f). 4.Existe el escalar unidad,1, que cumplelf = I Hemos demostradoque(L(Y,W),+, IR) esunespaciovectorialsobreIR. Porser(L(Y,W) ,+,IR)unespaciovectorial,lasaplicacioneslinealesdel espaciovectorial V (cuyoselementos sonlos vectores de V)en el espaciovec-torialW(cuyos elementos son los vectores de W)sonvectores. Sea fEL(Y,W) , recordemos que dim(V)=n y dim(W)=m,y quesi fija-mosunabase enV y otra en W, cadaapli cacin f:V-) Wll eva asociadauna matriz de orden ni x 11. Representaremospor Mm""el conjunto de todaslasmatri cesde ordenni x 11. Recordemosque, unaapli cacin tal quesuinversa tambinesapli cacin, es unabiyeccin o cOlTespondenciabiyectiva. Estees el caso dela correspondencia que existe entrelas aplicacionesline-ales y las matrices, cadaapli cacin lineal de L(Y,W)ll eva asociada unamatri z nica deMm ~ "y cadamatri z de M mX.determinauna apli cacin lineal ni ca de L(V,W). g L(Y,W) 87 2Aplicaciones lineales Lacorrespondenciabi yectivaexiste entre el objeto deestud.io L(V,W)Y la herramientautili zada, M"",,,,nosinducea anali zar la estructura de ambos con-juntos simultneamente. 2.4.2.Teorema (Mm",,,+.IR)es unespacio veclOrial sobre IR 88 Demostracin: Mmx"x Mmxll ~Mmrn:Operacinde sumar matricesdeorden InX11. Si A = (aij) eslamatriz asociada afA : V ---7W y B = (b'j) es la matriz asocia-daaf.: V ---7W, ll amaremos matri z suma A + B ala matriz asociada ala apli-cacin f A + f . : V ---7W Bastaver la definicin de suma de aplicaciones para establecer que A + B = =(aij + b,). La expres in analtica de f A + fBesy=(A+ B)X Porlacorrespondenciabi yectivaexistenteentreL(V,W)Y M_ ,talque conservala operacin de sumar, podemos asegurar que (M""""+) ti enelas mi s-mas propiedades que (L(V,W),+), es decir, es ungrupo conmutativo. MmXn xIR--7 MmXn :Oper acindemultiplicarunamatrizAEMmXn, por un escalar A EIR. Si A = (aij) es la matriz asociada afA : V---7W,laoperacin de multiplicar la matri z A EMn",,,,por el escalar A EIR, dacomoresultadola matriz AAEMmXn, que esla matriz asociada a AfA. Uti lizandola definicinde aplicacinpor escalar=>AA= (Aa,). Porlacorrespondenciabi yectivaexistenteentreL(V,W)Y Mm",,,talque conservala operacinde multiplicar por escalares, podemos asegurar queam-2.4.Los espacios vectoriales (L(V,W),+ IR)Y (Mmxn , +,IR) bosconjuntosti enen lasmi smaspropiedadesalmultipLi car sus elementospor unescalar: l .Distri butiva de escalaresrespecto a matrices: A(A+ 8) = AA+ AB 2.Distri buti vade matricesrespectoa escalares:(A+ .t)A= AA+ .tA 3.Asociati va:(A.t)A= A(.tA) 4.Existe el escalar uni dad,1, que cumpleLA = A Laaplicacin f:L(V,W)--.M""""queasociaacadaapLi cacinLineal una matri z,esuna aplicacinbi yecti va quetransformalasuma de aplicaciones en suma de matri ces, y al producto de escalar por aplicacin en escalar por matri z, es decir, conservalasoperaciones del espaciovectorial. UnaapLi cacinbiyecti vaqueconservalaestructuradeespaciovectorial recibe el nombre de isomorfismo entre los espaciosvectoriales. Hemosdemostradoqueelconjunto (Mm",,,+, IR)esunespacio vectori al isomor foa(L(V,W),+, IR). Ejemplo 2.4.1 (12 Dadaslasaplicacioneslineal es asociadas a lasmatri ces A =O - S -3 4) l- 1Y ( 3-S6- 1 )dbll. ,1' dll. B =2O- 2- 3,se PIe estaecera expreslOn ana JIJcaeasapIcaclO-neslineales asociadasfA.!B, la aplicacinfA+ 2f8'Y la matrizcorrespondiente a esta aplicacin. Solucin: (12 O - S -34)esla matriz de la aplicacin LinealfA: IR'-.IR' , cuya expresin es: 1 - 1 89 2Aplicaciones lineales =;)esla matriz de la aplicacinlinealfB: lit --7cuya expresin es: (y,)=(3 - 56- 1 )( ;: ).,. {y, =3x, - 5X2 + 6X3 - Ix, y,2O -2-3X3Y2=2y,+ OX2 - a 3- 3X4 X4 fA:--7(x" X2,X3, X4)--7( Ix,+ a , - 3X3 + 4X4, OX, - 5X2 +IX3 - IX4) 42 fB: --7I (x" X"X3,x,) --7(3x,- 5X2+ 6X3 - Ix"a, + OX2 - a 3- 3X4) fM2B:--7 I (x" X2,X3,X4)--7(7x , - 8X2 + 9X3 + a4, 4x,- 5X2 - 3X3 - 7X4) (1 2-34)(3-56- 1)(7-892)... 0 - 51 - 1+ 220 - 2 -3=4- 5 - 3 - 7eslamatrizdelaaplI caCin lineal fA+2B' 2.4.3.Teorema I Dim(L(\. W),+. = +.1Il;)= niX 11 90 Demostraci n: Para saber la dimensin de (Mmx.,+, es sufi ciente conocer el nmerode elementos de una de sus bases. 2.4.Los espaciosvectoriales(L(V,W), + IR)Y (Mmxn ,+, IR) {E'j' i = l , .. ., m, j= l , ... , /11es unabase si cada Eij es la matriz de orden m x xn que ti ene O todos los elementos, excepto el que ocupa la fila i, columna j , que vale1. Labase as construida esla base canni ca y tiene m X11matri ces E'j' y por tanto, la dimensin de (Mm"", +, IHI ) es mx/l. . Ladimensinde(L(V,W),+,IHI)estambi nmX11porserisomorfoa (Mil/xli)+, IR:) . Ejemplo 2.4.2 La base canni ca de M"" es: ~ ( lOO)(O10)(OO1) (00 0) (O00)(00 o)il. L OOO' OOO'OOO'IO O'OIO'O OIIJ' ti ene6ma-trices linealmenteindepedientes. 91 2Aplicaciones lineales 2.5.Composicinde aplicaciones lineales yproducto de matrices A veceshay querealizarunaseriesucesivadetransformacionesaunele-mentodeunconjuntoinicial ,demaneraqueeltransformadomedianteuna aplicacineselelementoatransformarmediantelasiguienteaplicacin;ese proceso es el de componer apl icaciones. SiV,W, U son tres espacios vectoriales reales, g y f son las siguientes aplica-cioneslineales, sepuede construirla aplicacinlineal f og(seleeg compuesta conJ),demodo que,laimagen mediante laaplicacinsucesivade gy f a cual-qui er vector de V, delmi smo resultado que la aplicacin de f og a dicho vector. y =g(X) Obsrvese que se escriben en ordeninversoa como se aplican. Laformademultiplicar matri cespareceraartificiosasi nofueralaexpre-sin analtica de la composicin de aplicaciones;vamos a ver por qu est defi-nida de esa extraa manera. 2.5.1.Teorema La composicin de dos apl icacioneslineales esuna aplicacin lineal 92 2.5.Composicin deaplicaciones linealesy producto ... Demostracin: Si g y f sonlasaplicaciones delgrficoanterior.por ser linealespodemos escri bir: Jog(AV,+ jiV,)=j[g(AV,+ jiV,)] =f (Ag(V,) + jig(v,)) =Aj(g(V,)) + jij(g\v, )) = = A(j og)(v,) + ji(j og)(v,). quedando demostrado que f og eslineal. Sidim(V)= n.dim(W)= py Besla matriz asociada alaaplicacinlineal respecto a lasbases cannicas. g : V -7 W ""B EMpxn Sidim(W)= P.dirn(U) = m y A es la matriz asociada a la aplicacin lineal. respecto a lasbases cannicas.!: W -7 U""A EMrnxp' Comodim(V)= n,dim( U)= mlamatri zasociadaalaaplicacinlineal. respecto a lasbases cannicas.! og : V-7 User de orden m xn. En estas condiciones definimos elproducto de matri ces comola matriz de la aplicacin composicin. 2.5.2.Definicin de producto de matrices ,u eslamatri z asociada a fog : l' -7 U.siendo A la matriz asociada a f:W -7 U Blamauiz asociada a g: V-7 W 2.5.3.Clculo del producto de matrices La aplicacin lineal g : V-7 W,cuya matriz asociada es B=(bij)Mpxn,tie-ne por ecuaciones: , (y"y, ... , Yp)= g (x"x" ... x,); Cada Yh= bhlx, + bh7.X,'+ ...+ bh,x, =Lbhjxj; J=I h=l ... p. 93 , 1 2Aplicaciones lineales Laaplicacinlineal f : W~U, cuyamatrizasociadaesA=(aU)EMn.xp, ti ene por ecuaciones: p (z"Z"... ,Zm)=fu"Y2,... , Yp) ; Cada Z;= adY'+ a,1J!2 + ... + a;pYp = a;hYh;i = 1, h:::\ ... , m Lasecuaciones delaaplicacinIUl eal f og: V ~U, cuya matri zasociada es AB = (Cu)EM_ , tendrpor ecuaciones: (Z"z"... , zm)=fu" Y2,.. ., Yp) =fIg(x"X2, .. . , xn) ]=f og(x"X2,... , xn) ppnnl' Cada Z;= a;h.Yh= a;h ( b;,X)= ( a;"bhj)Xj para i = 1, ... , m h= 1h=1j= lj= \11=1 EnInformtica elusodeexpresionesdeestetipoequivalealusodebucles (De i =1, .. ., m; For i =1, .. ., m), sonvl idos tambin para expresar flujos condi-cionales(i est entre1 y m, con i '" j ) o para flujos repetitivos (i est entre m y 11). A Uti lizar elsmbolo L simpl ifica la escritura deuna suma, aunque puede ha-cer ms difcilla interpretacin de laexpresin, por ell o,vamos aclarar susig-nificado. 94 Alescribirlamatrizasociadaalaaplicacinlinealque tieneestasecua-ciones,se obtieneunamatri z talque,el elemento que ocupalafi lai , colum-na j: C;jde AB = (Cu)EM mx",se haobtenido haciendolasiguientemanipula-cin: "Primer elemento dela filai delamatriz Apor primer elemento de la co-lumnaj delamatrizB, mssegundoelementodelafijaidelamatriz Apor segundo elemento de la columna jde lamatriz B,ms ... , ms elemento p-esi-mo delafilai de lamatriz Apor elemento p -esimo dela colunma jde lama-triz B". Todo este proceso se puede escribir con la siguiente expresin: p e =(Cij) EM,nXn,siendocij=ail bl} + a,'2b2j+ ...+ apb,j=L aik bkj;i =1, 2 .. . .k- 1 m;} =1, ,." n. . 2.5.Composicin de aplicaciones linealesy producto .. . Esta es la fonna en que el estudi ante ha visto siempre el producto de matri -ces, Abusando del lenguaje, se dice quese obtiene el elementoc ijmultipli can-dola fila i de A por la columnaj de 8, x x Fi laideAQi2.. . .. . .. . ..... . Columna} de B Obsrvese que parapoder componer apli caciones, el espacio finaldelapri-mera transformacin que se apli ca, debe ser el inicial de lasegunda transfor-macin, que en lenguaje de matri ces equi vale a decir "slo se pueden multi -plicar dos matri ces cuyos rdenes sonm Xp Y P X1/" , 2.5,4.Teorema ,.:omposicin de dos apli cacioneslineales verifica: 'io es conmutati va: fog puede ser 1'- g "f - Ex istelaapli cacin identidad: of= f \ sociati va: if og) " h = f o (g " /) Di stributiva respecto a la sumapor laizquierda: h ,, (f + g) =h o f + / " g Distributi va respecto ala Suma por la derecha: if + g)oh = f o /+ g" h Asociati va con escal[U'es )jf o g)=(A./)o g = f o (A.g) 95 2Aplicaciones lineales < Demostraciones: )l?: Elfundamentodeestassencillasdemostracionesescomprobarsilaima-gen de cualquier vector deV mediante lasaplicaciones que haya ambos lados delsigno "=" es la misma o di stinta. 96 l.Cuando se busca demostrar quela igualdad no es cierta, es suficiente en buscar uncontraejemplo, es lo que hacemos en este caso: Definimoslas funciones f : IR'-7 IR'como j(XI, x, ) =(XI + X"X, - x, ), y g: IR'-7 IR'como g(XI,x, )= (x"x,), al componer ambasfuncionesen ordendis-tinto se obtiene: (XI, x, ) -7 (XI+ X"x,- x, ) -7 (XI+ X"X,+ x, )=>(g o j) (X" x, ) = (XI + X"X,+ x,) IR' --'.. ' - -7)IR' -"'_-7) IR' (X" x,) -7 (XI, x,) -7 (2):, , O)=>(f og) (XI , x,) = (2):,, O) Por tanto, (go f) #(f og). 2.i es la aplicacin identidad definida en 2.1 como i(V)= v Vv. 3.[(f og) oh](x) = (f og)(h(x=j(g(h(x) [f o(goh)](x) = j[(g oh)(x)]= g(h(x))) 4.[h o(f + g)](x) = h(f + g)(x)) = h(f(x) + g(x= h(f(x+ h(g(x (h o f + h og)(x) = (h o j)(x) + (h og)(x) = h(f(x+ h(g(x 5.Es idntica a la 2. 6.[A.(f og)] (x)= A.(f o g)(x) = A.(f(g(x= A.j(g(x [(A.j)og](x) = (A.j)g(x)= A..f(g(x 2.5.Composicin de aplicaciones linealesy producto ... 2.5.5.Teorema Elproducto de matrices verifi ca: l .No es conmutativo: AB puede ser * BA _.Existelamatri zidentidad:J EM,x.talque 1.A= A Y I EMp,,:"3xI+ 4x, );f.(x"x, ) = (x"XI) f.!flo (x" x, = (3xl + 4X2, XI+ 2>:,) *fA!f.(.t " X2= (X2+ 2>:"3x, + 4xl) Para ver que la6 es cierta, es suficiente construir la aplicacin i de los gr-ficossiguientes: i(x)= x Cuandoenunconj unto haydefInidas dosoperaciones,de modo que,res-pecto a una de ellases grupo conmutativo, la segunda es asociativa y es distri -butivarespectoalaprimera, tenemoslaestructuraalgebraicallamadaanill o. Podemosrecopilar las propiedades quehemosvistoenelsiguienteteore-ma: 2.6.lgebras de endomorfismosy matrices cuadradas 2.6.3.Teorema conjuntodeendomorli smosde\esunanill onoconmutati voconelemento ,IlrO elconjunto L(Y,V)haydefinidasdosoperaciones:+, o ,V).+) esungrupo conmutati vo \\'), o)verifica la propiedad asociati va distributiva respecto a + porla derecha y por la izquierda ) es conmutativa 'Iemento neutro El conjunto de endomorfi smos de V ti ene estructura de ani llo considerando lasoperaciones+, o,y estructura de espaciovectorialconsiderandolasopera-ciones+, y multiplicacinpor escalares, ademsverificala condicindeaso-ciati vidadcon escalares. Esta estructuratan compleja se llama lgebra. Elhechodequelosendomorfismosdeunespaciovectorialsepuedan componersiempre,nospermitemultiplicarsiempresusmatricesasociadas. SiAesla matriz asociada afAy B esla matri z asociada af., siempre es po-sible hacer AB, que esla matri z asociada afA o f . plo 2.6.2 VJ,)VJ,)V X ---fn(x)---Mi.(x)) En el contraejemplo que pusimos anteriormente para la noconmutatividad, establecimos los siguientes endomorfismos de IR' : f A(x"x, ) = (x,+ 2x"3x,+ 4x, );f.(x"x, ) = (x"x,). La composicinf. o f A es: 101 2Aplicaciones lineales 102 ,, IR' ---t) IR' -----=-- ' ---7)IR' (Xi>x,) ---7(x,+ 2x"3x,+ 4x, ) ---7(3x,+ 4x"x,+ 2x, ) Lasmatri cesasociadasafA y f8son A= (j;) yB = ( ~6)respectoalas basescannicas. Suproductoessiempreposibl e,porquesiempreesposible componer losendomorfi smos en este caso la matri z asociada af8 o f A es: Hemos estudiadoel conjuntodeendomorflsmos, cadaunode ell oslleva aso-ciadaunamatri z cuadrada.Enel conjunto Mn",,,(matrices cuadradasde orden 11),estndefinidas las operaciones de sumar, multiplicar matri cespor escalare ymultiplicarmatricespormatri cesconlaspropiedadesquesederivandel f isomorfismo L(V,V) ()M nxn -' Porello,podemosasegurarqueMnx.,tieneestructuradelgebra,ycomo consecuencia, (Mnxn,+,.) es un anillo. 2.7.Matriz asociada a un cambio debase enV.Matriz... 2.7.Matriz asociadaa un cambio de baseenV. Matriz asociada a unaaplicacinlineal cuando cambianlasbases Recordemos que fij adauna base B ={e" e"... , e,, },cualqui er vector x EV, se puede expresar en funcin delos vectores de dicha base x = x,e, + x,e, + ... + + x"e" yll amamos coordenadas del vector :Xrespecto a la base dada a los coefi-cientes X, X2,.. "XII ' Elegir unabase diferente B'={e' " e'"... , e' ,, } en V, signifi ca que el vector x EV se puede expresar dela forma l: ::::Xle'!+ X' 2e'2 + o + :t' /l e'n,y sus coorde-nadas respectoa la nuevabase son: XI!X2, o ."XII ' El nmerode coordenadas respecto a las dos bases en el mi smo, porque to-daslas bases deunespacio vectori al ti enen el mi smonmero de elementos, su dimensin,perolascoordenadaspodrnser distintasrespectoaunabaseya otra. Establezcamos el endomorfi smoidentidad, demodo que, la imagen de ca-(\1;B' )) (\1;B) LasimgenesdelosvectoresdeB'medi anteelendomorfi smoivienen dadas por las expresiones siguientes: {-Ce' ,) = e' , = q"e,+ q2l e, + ... + q",e" ..+ :: : i(e' n) ::::e'n=qlne+ q2ne2 + o+ qnnen ( q" Q = q",CJn2 ...q,,, ) .. .q", o (j ,,,, Lamatri z Qeslamatriz asociadaa i, sell ama matri z del cambiodebase Las columnasdeQ sonlas coordenadas delosvectores delabaseB'res-pecto a B. 103 2Aplicaciones lineales Lasecuacionesdelaaplicacinidenti dadquepennitenpasar delascoor-denadas deunvector respectoa la base B' a las coordenadasrespectoa la base B se llaman ecuaciones de cambio de base, yson: Ejemplo 2.7.1. 104 Siendo B' =l e'=(1 , O, O,- 1), e'z=(O,1,2, O), e'3=( 1, - 1, 2, -2), e'4=(O, O,1, - I ) }yBlabasecannica,detennnenselamatriz de cambiodebaseen ~ 4 ,las ecuacionesdel cambiode base quepennitenpasar delascoordenadas respecto a B'a lascoordenadas respecto a B, yla imagen respecto a B del vec-tor (1, -3, 4, - 5)8'. Solucin: (V,B' ) ---'"7) (Y,B) vectores de B' respecto a B'vectoresde B' respectoa B (1 , O, O, 0)-- -'"7)(l, O, O, - 1) (0, 1, O,O)) (O,1,2, O) (O, O, 1, O)) ( 1, - 1, 2, -2) (O, O,0, 1)) (O,O,1,-1) Matriz Q del cambio de base: Q =(~ - 1 ? -\~ ) 221 -2- 1 2.7.Matriz asociada a un cambio de base enV.Matriz... Ecuaciones del cambio de base: (XI )(1 10)(x'1) X2= I- 1 x'2.,. X, 221x', X4- J -2- 1x'4 {X,=x',+ x', X2= x', -x', x, =2x', +2x', +x'4 X4=-X',-2X', -X'4 El vector conocido es x = (1, -3, 4, -5)8', para calcular X debemos hacer la sustitucin de ( 1, -3, 4, - 5)8' enla expresin anterior: (XI )(1 1 X,_ 1- 1 X,- 22 X4- 1 -2 0)(1){XI =5 -3.,.x, =-7 14X,= -3 - 1- 5X4 =-4 Comprobemosque (1, - 3, 4, -5)8' = (5, -7, -3, -4).: x = ( 1, -3, 4, -5)8' = (1 , 0, 0, - 1) -3(0, 1,2, O)+ 4(1, - 1, 2, - 2) - 5(0, 0, J, - 1) x= (5, - 7, - 3, -4)8 =5( 1, 0, 0, O) -7(0, 1, 0, O)- 3(0, 0,1, O) -4(0, 0, 0, 1) De la misma manera que hemos actuado para expresar en base B los vecto resqueestnenbase B' , podemosrepetirelprocesoy obtener enbase B'los vectores que estn en base B. (V,B)) (V,B') Cadavector de B pertenece aV,ysuimagen mediante el endomorfismoi establecido,eselmismovectorexpresadocomocombinacinlinealdelos vectoresdela base B'de V:

= = ++ .. . + (e2)==e2 ==Pl 2e l + P22e2+ o + pn2en; ooo o ooo oo iCen)ell = PII;e' + P2ne'2+ ',- + PIUre'" (PllP12,..PI " ) P =P21P22,..p", o.. ..oo P nlPn2...Pnll 105 2Aplicaciones lineales 106 La matriz P tambin esuna matriz de cambio de base. Las ecuaciones de este cambiode base son: x' =PI Esevidenteque,sitenemosunvectorexpresadorespectoaB',pasamos medianteQasu expres inrespectoaB,ylaimagenobtenidalaexpresamos respecto a B'utilizandoP, el resultado es el vector original. Siutili zamosiQ pararepresentarlaidentidadcuandoesQlamatrizdel cambiodebase enV, podemos escribir: (Y,B')I Q)(V,B) __i,--p -- (V,B') X' La expresin X'=PI = P QX' , demuestra quelas matri ces de cambio de ba-se ti eneninversa porque son matrices cuadradas,tales que PQ = 1..- 1..- 1 Y por tanto, I Q = I pe lp = I Q. En[2.3.2]vimosque "SiV,W sondosespaciosvectorial essobreIR,B es unabase deV,S unabasede W y f:V --7Wes una aplicacinlineal, laaplica-cinf li eva asociada unamatri z A". Cmovaraesa matri z si enV hacemosuncambi o delabase Bpor laba-se B' , y en Wcambiamos labase Spor labase S'? Los cambi osproducidos se ven en eldiagrama siguiente: (V,B) fA ) (W, S) x!(X) i'Q .". I p.j, ilp (V,B') fA-) (W,S') Xl (j(x))' Paraexpresar laimagen de los vectoresde (V,B' ) medi antelaaplicacinli -nealfen (W,S'),tenemosquehacerlacomposicin de aplicaciones p'o fAoiQ 27.Matriz asociada a un cambio de base enV.Matriz... Lamatri zasociada alaaplicacinlineal alcambiar lasbases es P-' AQ si Qes la matriz del cambio de base B' por B en V y P es la matriz de cambio de S' por S en W. La expres in A'=p-' AQesla frmula de cambio de lamatriz A asocia-da aunaaplicacinlineal cuando cambianambasbases. e mplo 2.7.2 /: IR'---71R3 esla aplicacin linealtalque,j( 1, 2)= (1, O, 1) Y1(0,1) = (2,1, O).Losvectores (l , 2), (O,l) estn referidos aunabase B ={eloe, l eIR',B' = ={e,+ e" e,- e2les otra base deIR' ; los vectores ( 1, O,1), (2,1, O) estn refe-ridos a una base S ={5loS2,53l e1R3, S' ={s,+ S3, S,- S2, s, l es otra base de 1R3. Sepidelamatri zasociadaalaaplicacinlinealrespectoalasbase Be1R2y Se1R3Sepidelamatrizasociadaalaaplicacinlinealrespectoalasbases BeIR'y Se1R3,la matri zasociada ala apli cacin linealrespecto alas bases B'eIR'yS'eIR"ylaimagenrespectoa S'deunvector cuyascoordenadas respecto a B' son (2, 3) . Solucin: 1(0,1) = 1(Oe,H , ) = /(e,) = (2,1, O);1( 1,2) =1( 1e,+ 2e2)=I}(e,) + 21(e2) "'" "'" 1(e,)= 1( 1,2) - 2f(e,) =(l , O,1) -2(2,1, O) = (-3, -2,1) (-32) I(IR',B) ---7(1R3,S) lleva asociadalamatriz A =-f b La matri z del cambio dela base B' = {e,+ e"e,- e, l a labase B = {e" e2l es Q = U _ ~ ) . ( II Lamatri z del cambio de base de S' a S esP =0 - 1 1O n.Necesitamosla matri z del cambio delabase S ={s"S2, s3l alabase S' ={s,+ s" s,- s" S2 }, 107 2Aplicaciones lineales 108 queesp-', Senfunci6nde lasde S': (OO 1) =>p-' =1O - 1 11- 1 La matriz asociada a la aplicaci6n linealreferida a lasbases B'y S'es (1 10)-'(-32)(OO1)(-32 )(11) A' =0-11-2 1 (: _:)=10- 1 -2 1(: :)=-2-6 1O OlO11- 11 O- -3 - 9 (j(2, 3 ,. = ( - ~J) m= ( - 2 ~). -3-9-33 Sino hubiramos utilizadola f6rmulaencontrada,lospasos seguidos seran: 1.Expresar x= (2,3)respecto a B : x = Qx; 2.Calcul ar laimagen por1 de(5,1) respecto a S : j(x) = Ax; (-32)(-17) 1(5,-1)=-;(-n=- I ~ 3.Ex presar j(:y =(-17, - 11 , 5) respecto a S' : P-'I.f(X); (001)(-17)( 5) 10-1-11=-22. 11 - 15-33 2.8.Operaciones elementales enuna matriz 2"S.Operaciones elementales enunamatriz. Matriz elemental Sabemos queunamatriz A EM"XnestasociadaaunendomorfismodeV cuando sehanfijadounas bases;decimos que son matri ces equi val entestodas lasmatricesquerepresentanelmismoendomorfismoaunquecambiemoslas bases enV. Lassucesivasoperaciones que permiten elpaso deunamatriz a otraequi -valente se llaman operaciones elementales enlas fiJ aso enlas columnas, segn donde se efecten. Dichas operaciones son: 1.Permutacin, o intercambio entre filas. 2.Sustitucindeunafilaporsusumaconunacombinacinlinealde otras. 3.Multiplicacinde una fi la por unescalar. Ejemplo 2.S.1 (1-2 La matriz A =OI 2-2 I)(1-21) 3es equivalente a la matriz B =O 1-1(2porque IOI3 sepuedepasar deunaaotramediantelassiguientes operaciones elementales enlasfil as. (1 -2 A =O1 2- 2 1)(1-21)(1-2 1)(1-21) 1O2- 1O13O13 3rOl 3rO2- 1r Ol -1(2= B F , ~ F , - 2 F ,F, HF,F , ~1/2F, Obsrvese que todas las matrices que se vanobteniendo enpasosinterme-dios son equivalentes. 109 2Aplicaciones lineales De entre las matrices equi valentes a una matri z dada,al gunas son especial-menteinteresantes, porqueesmsfciltrabajar con ell asqueconlaoriginal. Esto ocurre con lasmatri ces escal onadaspor fi las. A = (aij ) es una matriz escalonada por fil as(tambin lJ amadaforma canni-ca deHermite)cuando: 1.El elemento a"=1 (aunquemuchosautoresadmitenlamismadefini-cin imponi endo slo que a"'" O). 2.Cada f, la, excepto la primera, seinicia con una sucesin de ceros. 3.La sucesin de ceros que ini cia cada fi la ti ene algnceroms que la que ini cia lafila anteri or. 4.El primer elemento distinto de cero de cadafi ja, si lo hay,esununo (o distinto de cero si slo sepide que a"'" O) Y sell ama cabecera defi la. 5.Lasfilascuyoselementossontodosceros,silashay,sonlasltimas. 6.En cada columna, los elementos que quedanpor debajo del que sirve de cabecera defil a, son ceros. Deformaintuiti vapodemosresumirtodasestascondi cionesdibuj andola forma que ha de tener unamatri z escalonada: De orden dos: (1a12);a22 puede ser O l . O a 22 ( 1al 2al ) ) De orden tres:O a22a23; OOa33 2.8.1.Teorema Todamatrilsepuedetransformarenotraequivalenteescalonadaporfilasmc-diante transformacioncs elementales. 110 2.8.Operaciones elementales enunamatriz Unavezms,paraver quealgoesposibleessufi cientehacerl o;vamosa construir el algoritmo quepernlite esta transformacin. l .Conseguir que el primer elementode la primera columna sea distinto de O.Para ell o,si all = O, seintercambia la filauno con alguna cuyoprimer elemento sea distinto de O. 2.Convertir el pivote en uno. Se sustituyela filaque conti ene el elemento elegido en el paso anterior por ellamismadividida por dicho elemento. Llamaremospivore alprimer elementodi stintode cero(queda situado en lacabecera dela fil a) . 3.Hacer que sean ceros todosloselementos delacolumna delpivote que quedanpordebajodel.Seconsiguesustituyendolafi laencuestin por ell a mi sma menos su coeficientemultiplicado porla fi la delpivote. 4.Se repite el procedinliento partiendo de la fi la siguiente. Ejemplo 2.8.2 Dada la matriz:A =6 ~i ,para encontrarunamatriz equivalentede ( 2-1 O) -35I forma escalonada, procederemos de la siguiente manera: 1.Tomamos all=2 como elemento a transformar en elemento pivote. 2.Para que el pivote sea1, hacemoslasustitucinF, -7 1/2F,. 3.Para que queden ceros en lacolumna delpivotepor debajo de l, hace-moslas sustituciones:F, -7 F,- 3F, Y F4 -7 F,+ 3F,. 4.Volvemosacomenzarel cicl otomandocomoelementoparaconvertir en pivote G"= 7/2. Lastransformacionesa aplicar son: F,-7 2nF,; F,-7 F, -7 F,; F,-7 F, -7/2 F, . 111 2Aplicaciones lineales A =(~- ~~)-,>( ~- 1 ~~) - , > \ ~- ~ ~ 07207207 -351-351o7(2 O)(1-1(2O)(1- 1(2O) 1-,>012n-,>012n 2072000 1O7(2lOOO La matriz ltima es escalonada como queramos. El uso de matrices escalonadas pennite obtener algunas conclusiones fcil -mente,porejemplo,elclculodelnmerodevectoreslinealmenteindepen-dientes que formansus vectores filas y sus vectores columnas. Si A = (a;j)esunamatrizdeordenmXn,puedeser considerada comoun conjunto de m vectores fila o como unconjunto de n vectores columna. De A sepuedeobtenerunamatri z escalonadaBconunnmerordefil as nonulas: all a' 2 ... a," a a21 a22 ...a 2nOb OOOOe ... ..... . ...... AB = -'> OOOOO = ...r OOOO O...O O ...... o amiam2 ...amI!OOOOO ...O O Elsmbolo ". " expresa cualquier escalar, y debe entenderse que hayrfil as (o escalones)nonulas,contantos pivotes:a,b, ... , r,como "escalones". Larelacinquehayentrelasfi laslinealmenteindependientes,las colum-nas linealmenteindependientesy elnmero de escalonesviene dada por elte-orema siguiente: 2.8.2.Teorema El nmerodevectoresfil adeunamatrizA quesonlinealmenteindependientes coincide con el decolumnaslinealmenteindependi entesy esigualal nmerode filas no nulas de su matri z escalonada 112 2.8.Operaciones elementales enunamatriz Elteorema enunciadose puede desglosar en dos afirmacionesque demos-traremos sucesivamente. Estatcnicatambi n esempleadaamenudoenprogramacin, cuandoun problemasedivideensubproblemasquesonresueltosmediantesubrutinas. 1.El nlmerodevectores filadeuna matriz,A,que sonlinealmentein-dependientes coincide con elnlmero de filasno nulas desu matriz es-calonada, r. Demostracin: LosvectoresfiladeB sehanobtenidomedianteoperacioneselementales reali zadas enlosvectores fil a de A,y estasoperaciones queconsisten en cam-biar el orden delosvectores, multiplicarlosvectorespor escalaresy sustituir unvector por l msuna combinacin linealdelos otros,no modificanel n-merodevectoreslinealmenteindependientessegnvimosen el captul ouno. Por tanto, el nmero de vectores filalinealmenteindependientes que hayen B, es igual a r . 2.Elnlmero devectores columna deuna matriz A que sonlinealmmte independimtes coincide con elnlmero decolumnas no nulas, r, de su matriz escalonada. Demostracin: Para hacer esta demostracin suponemos que ellector recuerda la teorare-lativaasistemasdeecuacionesquevioencursosanteri ores.Sinofueraas, puede saltar lasdemostraciones y volver a eUas cuando haya estudi ado el cap-tulo cuatro. Sean el, e"... , en los vectores columna de lamatriz A correspondiente a las r columnas que conti enen lospivotes en B; paraver que son linealmenteindepen-dientes,delaexpresin:Ae+ A,e, + ...+ A.c, = O sedebededucirA= t,= = ...= A, = O. Laexpresin Ae+ A,e, + ... + A.c, =Oexpresadacomponenteacompo-nente esunsistema deecuacioneslinealhomogneo equivalente alplanteado conlascolumnas correspondientes de lamatri z escalonada B, ya quelasopera-113 2Aplicaciones lineales ciones que sehanhecho son lasoperacioneselementales, y en el sistema 8es evidente que la nica solucin esla trivial:Al = A2 = ... = A, = O. Adems, nopuede haber r+ 1 vectores columnasde A que seanindependien-tes, ya que la matriz escalonada 8, tiene solo rfijas no nulas,pasmamos el vector columna C>"+Idetrs del signo igual, A>"+Iactuara de parmetro, y como consecuen-cia, en el sistema de ecuaci ones anterior habra infinitas soluciones para A,. Ejemplo 2.8.3 ( 2- 10) Enel ejemplo 2.8.2 la matri z A = ~~se puede considerar como el -351 conjuntodevectoresfila: F={(2, - 1, O),(3, 2, 1),(O,7,2),(-3,5,1) 1, oel conjunto devectorescolumna e = {(2,3, 0, - 3), (- 1, 2, 7, 5),(O,1, 2,1) l. De lamatri z A se pasa a la 8mediante transformaciones elementales, y por tanto,podemos afirmar que,el nmero de vectores linealmenteindependi entes deF esigual al nmero devectoreslinealmenteindependi entesdee,igualal nmero de escalones de 8 , iguala dos. Sila matri z A es cuadrada, puede obtenerse como matri z escalonadapor fi-las una matri z triangular superi or, aunque algn elemento de la diagonalpuede ser cero. Adems,sitodaslasfi las son linealmenteindependi entes, la di agonal principal de laescalonada tendr todosloselementos di stintos de cero. En este ltimo caso, se puede seguir transfoml andolamatri z obtenida has-tall egar medi ante operaciones elementales en sus fil as, a una matriz diagonaly posteri ormente a la matri z unidad /. 2.8.3.Teorema Si elrangodelosvectoresfil a deunamatri zcuadradaA esigualalorden dela matri z, entonces, se puedetransformar A enlamatri zunidadmediante operacio-nes elementales en sus fi las 114 2.8.Operaciones elementales enunamatriz Para demostrar este teorema es sufi ciente construir el algoritmo que permi -te el paso de una a otra,dela mi sma manera que se hi zo en elteorema anteri or. Lasoperaciones elementales quehemosvisto, se pueden realizarmu lti pli-candolamatrizdadaporunamatrizdeunaformadeterminada,lasmatrices que sirven para expresar el cambi o se llaman matrices elementales. 8.4.Definicin de matriz elemental llamamatriz elemental a la matri z cuadrada que se obtiene delamatri z unidad efectuarunasolaoperacin elementalen lasfilas (o columnas) ~EMm""Y E EMm"'"esunamatri zelementalyT esunaoperacin elemental I)E { T Iquiera=>A -'..1"_- EA EAEMm"eslamatrizquese obtienede Amediantelamismaoperacin elemental que permite obtener E desde l . Demostracin: Sepuedehacer comprobando que es cieltala afirmacinpara cada una de lasoperacioneselementalesal construirlamatri zelementalcorrespondi ente. Demostrarpor casos,seraequi valenteen lnfonnti caala verifi cacin de unprograma con condi cionantes. 115 2Aplicaciones lineales 116 l.Supongamos que Tesla operacin elemental "intercambi o defilas", y Ela matri z elemental que seobtiene de 1 al intercambiar dos fijas,si elegimo lasfilas1 y2norestamosgeneralidadalresultado(podamoshaberelegido cualquier otro par). (a" al2...a,. )( O l...O) A =a . ~ ~a ~ ~. ....'.a ~ . ~,E =,I..~ .: ~ :. ~ . a miGm2o Gmn OOo..1 EA=( ~ . que esla matri z que se deduce de A al efectuar en ell ala mi sma operacin ele-mental en las fi las que habamos efectuado en E. 2.Supongamosque Teslaoperacin elemental "multiplicar unafij apor unescalar A", si la fi la multiplicada esla dos, por ejempl o, la matrizelemental E obtenida desde 1 es: (1 O ...O)(1 O ...O) (all al2...a, ,, )( all a" ... a,.) E = ~ . ~......~ .=>EA=~ . ~ .:::?a ~ ~a22 :::a.",= A . a . ~ ~Aa"::: A . a . ~ O OIO O ...1a miGm2 ' "G,nna mIOm2o . ,Gmn 3.SiTrepresentalaoperacinelementalsustituirunafi la(elijamosla uno)por ellami sma msuna combinacin lineal de otras(elij amos A vecesla dos, por ejemplo),la matriz elemental E obtenida desde 1 al efectuar esa opera-cin elemental es E = (~ .~. .:.. ~ ) O O...J 2. 8.Operaciones elementales en una matriz (l A...)( (t"al2...al" )(a"+ Aa"al2 + Aa"...a, ,,+ Aa,,,) ~EA=OIo..Oa 210 22...a 2n=a 21a 22o..a 2n o o '"o..o o. .o.,o.,o. ....o..O" OOo..]amiam2o.amll ami(1m2O"amI! Ejemplo 2.8.4 Lamatri zunidadIseconvierteenlamatri zelementalEmediantela (100)(100) siguiente operacin elementalen las fil as: I = 1 ~O1O= E. 001111 Cadaoperacin elementalenlasfi lasdeIt.i ene,portanto,sumatri zele-mentalcorrespondiente.Enelejemplo,Eeslamatri zelementalcorrespon-dientealaoperacinelemental "Sustituirlafi latrespor la fi la tresmsla fi la uno ms la fi la dos". Si serealizanlas operacioneselementales enlas columnas se obtiene IUI resultado anlogo, pero el producto es AE envez de EA. 2..8.6.Teorema FE M".x",esuna matriz elemental yE'E M""""es la matri z elemental de la ope-' In inversa entonces, ambas son regul aresy E'=[';' 117 2Aplicaciones lineales Demostracin: Esevidente.slohayqueobservarlaformadelostrestiposdematrices elementales. cadauno de ellos corresponde a una operacin elemental reali za-da en lasfil as dela matriz unidad. 2.8.7.Teorema I A EM m ~ "tieneinversa.,.rg(A) =/1 Demostracin: => )Si A tieneinversa. es equivalenteala matri zunidad del mismo orden; losvectoresfil aindependientesquehayen /sonI!(yaqueelrangonovara porla aplicacin de operaciones elementales)=>En A tambin hay/1vectores fil a independientes. en A haynfi lasindependientes=>A sepuede transformaren lamatrizunidadmedi anteoperacioneselementales=>Ati ene mversa. Ademses muy fcilel clculo de dicha inversa: SeanE" E, ...En lasma-trices elementales correspondientes a cada operacin elemental que llevanala matri z A hastala unidad /=>En ...E, E,. A = / . multiplicando a la derecha por A-I amboslados de la igualdad=>En ...E, E,. = A-l. EJERCICIOS Ej ercicio 2.1 118 Determnese si!: ~ '~~ ' Ij(X,. x,. x,) = (XI - 2x, . x, + X3) esuna transfor-macin lineal. Solucin: Conserva la suma: f(x + y) = f(X)+ (y) : (x,. X2.x,) ---7(x,- 2t2. X2 + x,) (Y,. Y2.y,) ---7(y,- 2Y2.Y2+ y,) Ejercicios (x,+ y,. x, + Y2. x, + Y3) ---7(x,+ y,- a2 - 2Y2.X2 + Y2+ X,+ y,) = (x,- a 2. X2 + x,) + (y, - 2Y2. Y, + y,) Conserva el productopor unescalar: f(XX)= Af(X): A(X" X2. x,) =(AX"Ax2.Ax,) ---7(Ax,- 2Ax2 AX2 + Ax,) (x" X2. x,) ---7(x,- a 2. X2 + x,); A(X,-a2. x, + x,) = (Ax,- 2Ax2.Ax, + Ax, ) Por conservar la suma y el producto esuna transformacin lineal. Ejercicio 2.2 Determnese si! : [J;l'---7[J;l3I f(x ,. X2.x,) =(a" x,+ X2.O)esuna aplicacin lineal. y si lo es. estdiense su ncleo y su imagen. Solucin: Esunaaplicacinotransformacindel espaciovectorial[J;l'ens mismo. Lasaplicacioneslineales deunespaciovectorial en s mismo sellamanendo-morlismos. Conserva la suma:f(x + y)= f(x)+ f(Y) (x" X2. x,) ---7(2t" x,+ x,. O) (y, . Y2.y,) ---7(2y" y,+ Y2.O) (x,+ y" x, + Y2. X,+ y,) ---7(a, + 2y,. x,+ X2 + y,+ Y2.O) = (a" x,+ X2. O) + +(2y,. y,+ Y2.O) Conserva el productopor unescalar: f(XX)=J.f(x) (x" X2.x,)(a,. x,+ X2. O) A(a" x,+ X2. O)= (2Ax"AX,+ Ax2.O) A(X" X2. x,) =(Ax" Ax2. Ax, ) ---7(2Ax,.Ax,+ AX2.O) 119 2Aplicaciones lineales 120 Observaci n:estasdos condicionessepodanhaber comprobadoalavez utilizandola caracterizacin deaplicacioneslineales. Por conservar la suma y el producto, latransformaci n eslineal. El ncleo es ['(O, O, O) = [(x"x"x,)/(2x"x,+ X2,O) = (O,O,O) 1 2x,=O} =>Xl= - X2 =O x, +X2 =0 Unsubespaciovectorial se puede determinarnediantesus ecuaciones car-tes ianas,paramtricas o medianteuna base. L .di '1[t, + X2= O as ecuacIonescartesoanasenuc eoson:Lx,= O {X'=O Las ecuacionesparamtricas delncl eoson:x, = O x, =A Ya hemos encontradounas ecuaciones,determi nemos una base: Elvector (O, O,J)esunsistema generador del ncleo; por ser slouno, es independiente=>[(O, O,J) 1 esunabase del ncleo. Elncleotienedimensin1(recordemos queeselnmerodeelementos de sus bases =nmerodeparmetros enlas ecuacionesparamtricas). 1m(/)= [flx"x"x, ) = (2x"x,+ X2,O) 1 de Ejercicic pid de I aSOI ) Ejercicios Losvectores(2,1, O)Y (O,1, O) generanlaimagen de f ysonlinealmente independi entes,por tanto B ={(2,1, O),(O, 1, O)}esuna base de Im(f). La dimensinde laimagen es 2 Unas ecuaciones paramtricas delaimagenson: Las ecuaciones cartesianasde laimagen son: x, = O Comprobamos que se cumpl ela relacin entrelas dimensiones del ncleo, dela imagen y del espacio origen IR': dim(IR' ) = dimNuc(f)+ dim Im(f). Ejercicio2.3 Sif : IR'--7IR'/ 1(3,1) = ( 1, 2);1(- 1, O) =( 1,1) es una aplicacin li neal.Se pide: a) Determinarla matri z asociada aftomando la base cannica como base deIR' . b) Las ecuacionesdela aplicacin. c)La imagen de (2, 4). Solucin: a)LabasecannicadeIR'esB={ ( 1, O),(O,I ) }, paracalcul arlamatri z asociada afhayque calcular 1( 1, O)Y1(0,1): [ 1 =3x -y (1 , O) =x(3,I) + y(- I , O)=>~ = x Por ser f lineal, se veri fica: =>x =O;y =- 1 1( 1, O)=j[O(3,1)-1(-1, 0)] = 01(3, 1)-11(- 1, 0) =0(1,2) - 1(1 , 1) =(- 1, - 1) [ O=3x - y (O,1) = x(3,I) + y(- I , O)=> l l = x=>x=1; y =3 121 2Aplicaciones lineales Por ser f lineal, se verifica: 1(0,1) = fIl(3,1) + 3(-1, O)]=11(3,1) + 31(-1, O) =1( l , 2) + 3( 1,1) = (4,5) Matri z asociada a J:( - 14) - 15 b)Ecuaciones de la aplicacin: (YI) = (-14)(XI)=>{YI =-X, + 4X2 Y2- l5X2Y2= -X, + 5X2 c)Laimagen de (2, 4) se puede calcular utilizandoladefinicin deaplica-cin lineal ylasimgenes de los elementos dela base. (2, 4) = 2( 1, 0) +4(0, 1). Por ser f lineal, se verifica: fI2(1, O) + 4(0, 1)]= 21(1,O)+ 41(0,1) = 2(- l , - 1) + 4(4, 5)= (14,18) Tambin podamos haber uti lizadolas ecuaciones dela aplicacin: Y,= -X,+ 4X2{YI = - 2 + 4.4 =14 Y2 = -X, + 5X2=>y, = - 2 + 5.4 =18 o podamos haber determinado 1(2,4) a partir dela matri z: f( ~)= (=: ~ )(~)= (: : ) Ejercicio 2.4 122 Sif: IR'~1R' 1(I, 0, O)=O) = (1,1);1(0, 0, 1) = (1,O) esuna aplicacinlineal . Se pide: a) Determinar la matri z asociada aftomando lasba-Ejercicios ses cannicas de [J;l 3 y [J;l2b) Determinar las ecuaciones de laimagen del subes-pacio x,+ x, - X3= O. Solucin: a)Matriz asociada af: Esla matri z cuyascolumnas son lasimgenes dela base dada en [J;l 3: A=1 1) 110 Lasecuaciones de la apli cacin son:(~ ; )= (~I 1) (X') 1OX, X3 b)Unas ecuaciones paramtricas delsubespacio x,+ X,- X3= O son: t"' = A.(x,)( I )(O) x, :/1'"X2= A.O+ /1I X 3- A.+ /1X31I {(1,0, 1),(0, 1, 1))es una base dex, + X, -X3=0, portantoIfl l , O,1),.1(0, 1,1) esunsistemade generadoresde .l(x,+ x, - X3= O), =>x, - X3= O)est generadopor (J,1) Unasecuacionesparamtricas de .l(x, + x, - X 3= O)son:( ~ ;) = A.( T ) '" ",Ix, =U I' =A. Unas ecuaciones paramtri cas son: x,= 2x2 123 2Aplicaciones lineales Ejercicio 2.5 124 Determneselascondi cionesquedebencumplirdosmatricesdeigualta-maopara que su producto sea unamatriz simtri ca. Solucin: Tienenigualtamao} Se pueden multiplicar matrices de orden m X pYP Xm=> m=p=n Laprimera condicin esque sean cuadradas. Sie =A.,,,,B.,,"=(Cij) EM.,,", para que elproductoseasimtricodebe cum plirse cij= Cj siendoc j= :a,h'jycji= : a j ,h,paratodoslosvaloresdei, j. r=1r- l Luego la segunda condicin es que se verifique que,lafi la i de A por laco-lumna} de B sea iguala lafila} de A por la columna i de B. Recordemos la forma de multiplicar matri ces: X X Fila i de Aa ila i2....... . .......a jn b"j Columna} de B Ejercicios Ejercicio 2.6 Seaf : IR'~IR'una aplicacinlinealtal que .fl:x, x"x, ) = (x,- x"x,+ x,), y sea g: IR'~IR' , una aplicacin lineal tal que g(x"x, ) = (x, + x"x, - X2,2A-1=A - 1 Exi ste yvale A - l . 131 l', 3 RODUCCIN DETERMINANTE DEUNA MATRIZ CUADRADA Los determinantes aparecen en Matemti cas en relacin con los problemas de eliminacin y resolucin de sistemasli neales. En1693, Leibniz usunconj unto sistemtico de ndicespara designar los coeficientes deunsistemadetresecuacioneslinealescon dosincgnitas.Por unprocesodeeli minacin,obtuvounaexpresin(laresultantedelsistema, quenoesmsqueeldeterminantedeloscoefi cientes),cuyaanulacinera condicin necesari a y suficientepara que el sistema tuviera solucin. La bsqueda de frmul asexplcitas de resolucin de sistemaslineales, ini -ciadaporMacLaurinen1729pareceser el origen msdirectodelateorade determinantes.Vandermonde,enuna Memori aaparecida en1772,fueel pri-mero en daruna exposicin sistemtica y detallada dela teora.Demuestra las propiedadesgenerales delosdeterminantes, como el hecho de que son funcio-nesmultilinealesalternadas desus filasy desus columnas,laigualdaddeun determinanteysu transpuestoy tambi nlaregla para desarrollarundetermi -nanteporunafi laocolumna.Comolamayorpartedelosalgebri stasdela poca. Vandermonde se contenta con verificar laspropiedadespara valores pe-queos de n. El nombrededeterminantesedebeaCauchy,qui en tambin introdujoel usodedoblessubndi cesyla disposicin deloselementos en uncuadrado de n'puntos(laslneasverticalesfueronintroducidasposteriormenteporCay-133 3Determinante de una matriz cuadrada 134 ley).Como en muchosotrostemas, esCauchy qui en establecela teora gene-ral , dando demostracionesrigurosas y completas.Establece tambin la frmula general quedaelproductodedosdeterminantescomootrodeterminanteas comolasrelaciones entrelosdeterminantesformados con los menores de di s-tintosrdenes de undeterminante dado. A partir del trabajode Cauchy, losdetenninantesvan a convertirse en una herramientabs ica en todoslosprobl emasdelgebraLineal, y su estudi o fue objeto preferente de atencin de los matemti cos del sigloXlX. Cauchy (1789-1879) CAUCHY (1789-1879) Cauchy naci el 21 deagosto de1789 en unParsconvul so por la Revolu-cin Francesa y lasrevueltas populares. La ejecucin de rey en1793 enla guillotina, los cambios impulsados por Ro-bespierrequetambintermina enlaguillotinaylallegada de Napolen, propi-cianunapoca deorganizacin del estadoy de estabilidad paraloscientficos. En1814, Napolen abdica y se instaura en Francia, de nuevo,la monarqua enlapersona de Luisxvrn. Lascontrarreformasqueiniciaelrey,producen ungran descontento popular.Napolen se hace con el poder de nuevo.Lasmo-narquaseuropeas formanunejrcito y derrotan a Napolen enWaterl oo. Eneste perodo, desarroll a Cauchy su actividad, que a grandesrasgos esla siguiente: En 1805 entr enla Escuela Politcni ca de Pars donde se form. A lolargo de su vida fue coherente con susideas polticas y reli giosas, as, cuando en 1830 fuerequerido para que jurase lealtad alnuevo rgimen se neg a hacerlo y perdi lospuestosacadmicos que tena. Subrillantezcomocientfi conoleacompaabacomodocenteycuando daba clases, sus alumnos se quejaban de que no podan entenderlas. Entre otros alumnos, tuvoal nieto deCarlosX,perodadaslaslimitacionesdeunocomo alumno y de otro comoprofesor, el resultadonofue bueno y Cauchy regres a Pars en1838,volvi ala Academi a perono ala enseanza, porquese nega jurar lealtad al rgimen. Regres a su puesto en laUni versidad enl 848, cuando Luis Felipe fue de-rrocado. Muri:23de mayo de1857 en Sceaux (Pars-Francia). Con789 trabajosdi stribuidos en 27volmenes, esunode los matemticos msprolficos dela hi stori a. Sunombre apareceli gado agrancantidad de campos: teora defunciones complejas, series, ecuaciones,de ecuaciones diferenciales, crela te-ora de las funciones analticas, desarroll la teora de determinantes. infinitesimal adquiere bases.lidas,adoptando m-todos ri gurososque el mi smo describe: "Hetratado dedar alosmtodostodo el rigor queseexigeengeometra, sinacudir jams a losargumentos tomados dela generalidad del lgebra .. ." 135 Organigrama CAPTULO 3 \1atriz cuadrada .Endomorfismo n vectores de de M""" de une.v.den Determinante deDeterminante Determinante unamatrizde un de tlvectores eMIIXIl endomorfismode de une.v.de dimensinn ,,, ,,, ,,, , Clculode!determinantes , ,, ,, ,,, ,,, inversa Endomorfismo inverso RangoRango de un Rango de un de una matrizendomorfismo sistema de vectores 137 3Determinante deuna matriz cuadrada 3.1 .Determinante de unamatriz cuadrada Hastaaquhemosestadotrabajandoconvectoresymatrices,ylasherra-mi entasdequehemosdispuestoparasuestudiohansidopocoeficientes.En este captulovamos autili zarlos determinantes comoherramientaque facilita muchasdelastareascuyo estudiohastaahorahasidopocogil, comolade-pendencia eindependencialineal, el rango deunamatri z,el clculodelama-tri zinversa, etc. Vamosaestudiar eldeterminantedelamatri zasociadaaunendomorfi s-mo,porell o,esconvenienterepasarcondetenimiento[2.6Jantesdeseguir adelante. Dos conjuntos formadosporlosmi smos elementos, peroordenado de for-madiferente,decimosquesondospermutacionesosustit ucionesdiferentes del mi smo conjunto. 3.1.1.Definicin de permutacin a esunapennutacin de S ={ 1, 2 . ... , 11) '" a es una aplicacinbiyectiva de S ~S 138 La imagen decada elemento iES es o(i) ES.( 12...I! ) Esfrecuente expresar la permutacin dela siguiente manera:J..J.....J.., 0( 1)0(2)...0(1l) osimplemente( ~ I ) ~ I ):::aZll))' Dos elementos estn eninversin cuando el orden en que figuran es di stin-to deldela permutacin principal(1 ,2, .. . , 11) Unapermutacinse ll ama parsi tiene unnmero par de inversiones, eim-par si tiene unnmero impar deinversiones. Alaspermutacionesparesselesasigna el signo+, yalaspermutaciones impares seles as igna el signo-. 3. 1.Determinante deuna matriz cuadrada Ejemplo 3.1 .1 Si(J esuna permutacin de S = {l, 2, 3},en el grfico siguiente se detallan todaslaspermutacionesposibl es,as,como, el nmero deinversiones,el tipo de permutaciny el signo. Original ~Imagen --?N. o deinversiones --?Tipo de permutacinSigno 1,2, 3~1,2,3OPar + 1, 2,3~1, 3. 21Impar 1,2,3~ LL3 Impar ~ 1,2,3--..J42,U2Par + i"--1, 2, 3--..J4U , 22Par + .L"--.. 1,2, 3--..J43,2.....13Impar El nmero de permutaciones quesepuede hacer con unconjunto de 3 ele-mentos es 3! = 3.2.1 . SielconjuntoStienenelementos,elnmerodepermutacionesesn!= = 1I .(n- 1)00 . 3.2.1. Recibe el nombre de determinante la aplicacin que asigna a cada matri z el escalar obtenido delaforma sigui ente: Laimagen de una matri z cuadrada A =(aul EM,xnes el escalar obtenido al sumar algebraicamente II!sumandos, tales que: Cada sumando es el producto de n factores. Cada factor esunelemento dela matri z perteneciente a una filadi stinta del conjunto{1 , 2,oo. , II}, (colocadas en el orden natural), ya una columna di stinta perteneciente al conjunto{o( 1),0(2), oo. , o(n)}. Cadasumandoestarafectadodelsigno+ o -, segn quelapermutacin delascolumnas0( 1),0(2), oo .,0(11),seapar o impar. 139 3Determinante deunamatriz cuadrada La aplicacin deftnida da lugar a lasiguiente deftnicin: 3.1.2.Definicin de determinante de una matriz Determinante de una matriz A eslaapli cacin: M"""del)lI\l del'" A = (a,})) det(A) = lA l = ~ ( s i 8 " oo-)al"",o'0(2) ' "a"",,,1 140 Conel findeaclararlospasosdados,vamosaanalizardetenidamenteel proceso para una matriz de orden 2. M2X1de l) lI\l del)lAl = \ a"a,,\ a 21a 22 Como n.= 2, elnmero de sumandos es:2!= 2.1= 2. Cada sumando debe tener 2 factores: Enel sumando a"a22 , el factor a" es dela fija1, col umna1; elfactor a22es dela fLla2 columna 2. En el sumando a"a21,el factor a" es de la fi la1, columna 2; elfactor a 21 dela fila 2 columna1. 3. 1.Determinante deuna matriz cuadrada Elsumando a"a22ll evasignomsporqueunavezcolocados sus factores de modo que las fIJas estn en el orden natural (1 , 2), la permutacin que repre-sentalascolumnas (1,2)nopresentan ninguna inversin. Elsumandoa 12 a 21ll eva signomenosporqueunavez colocadossus facto-resdemodoquelasfilas estnen elordennatural(1, 2), lapermutacinque representalascolumnas(2,1)presentaunnmeroimpardeinversiones(1). Enlosrdenespequeosestamosacostumbradosautili zarladefmici n dada,aunque en general,nodecimos queesladefini cin, sinoqueutilizamos la "Regla de Sarrus". detlTll MM) " del) l A I =I a" a 21 del )I A I = a l]G I2al3 a 210 22a 23 G3\0 32a 33 = Eldeterminante de orden 4 ti ene 4!= 24 sumandos, el de orden 5 ti ene 5!= =120 sumandos,y para mat