algebra basica

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1. Jerarquía de operaciones. Evaluación de una expresión para ciertos valores de las variables. Uso correcto de los operadores. CALCULADORA 2. Uso de leyes de exponentes para simplificar expresiones 3. Binomio al cuadrado 4. Producto de binomios conjugados 5. Factorización Trinomio Diferencia de cuadrados Factor común

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Algebra Básica

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Page 1: Algebra Basica

1. Jerarquía de operaciones. Evaluación de una expresión para ciertos valores de las variables. Uso correcto de los operadores. CALCULADORA

2. Uso de leyes de exponentes para simplificar expresiones

3. Binomio al cuadrado 4. Producto de binomios conjugados 5. Factorización Trinomio Diferencia de cuadrados Factor común

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Rama de las matemáticas en la que se utilizan letras para representar relaciones aritméticas

Sus operaciones fundamentales son adición, sustracción, multiplicación, división y cálculo de raíces.

El álgebra es el idioma de las matemáticas.

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Es la rama de las Matemáticas que emplea números, letras y signos para generalizar las distintas operaciones aritméticas. El álgebra elemental, se encarga de operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación, división, elevar a una potencia y obtener una raíz), pero que a diferencia de la aritmética, utiliza también letras (a, x, y). Esto permite formular leyes generales y hacer referencia a números desconocidos (incógnitas), lo que posibilita el desarrollo de ecuaciones y el análisis corespondiente a su solución.

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SÍMBOLOS

LETRAS NÚMEROS SIGNOS

Representan constantes y variables Son Constantes De agrupación De operaciones

básicas

Paréntesis ( ) corchetes [ ]

Llaves y rayas horizontales

Adición + Sustración –

Multiplicación X División :

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SISTEMA DE NÚMEROS REALES.

•NATURALES.- Se designan por N (N = {0, 1, 2, 3, 4, .....}

•ENTEROS.-Se designan por Z = { ... −3, −2, −1, ,0, 1, 2, 3, 4,......}. •RACIONALES.- Se definen : Q = {a/b: a ∈Z, b ∈Z y b ≠ 0}. Dentro de este conjunto están los decimales simples y decimales periódicos. Son ejemplo de números racionales: ½, ¾, -4, 0, 1.3333, 0.25.

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• IRRACIONALES.- Se representan simbólicamente por Q́ , es porque constituyen el complemento de los números racionales y que incluyen, justamente aquellos decimales o números que no pueden expresarse, de ninguna manera como una fracción o un número racional. 2, π

• REALES.- Este conjunto esta constituido por la unión de los números racionales (que comprenden los números naturales, los números enteros, los números fraccionarios) y los irracionales, es decir R = Q ∪ Q´

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Los operadores aritméticos poseen una jerarquía, y ésta controla el orden en que se realizan las operaciones. La jerarquía natural de los operadores aritméticos es la siguiente:

^ alta jerarquía *,/ media jerarquía -,+ baja jerarquía

El significado de la jerarquía es que las operaciones

de mas alta jerarquía se realizan primero: X = 4+6*15 X = 4 +90 X =94

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Para resolver cualquier operación o ejercicio se debe desarrollar teniendo en cuenta el siguiente orden:

Todas las expresiones entre paréntesis se evalúan primero. Las expresiones con paréntesis anidados se evalúan desde el centro hacia fuera, el paréntesis mas interno se evalúa primero. Dentro de una misma expresión los operadores se evalúan en el siguiente orden.

Exponenciación Multiplicación, División Suma y resta

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Cuando se encuentran operadores del mismo nivel, estos se desarrollan de izquierda a derecha. Cuando se encuentran varios paréntesis, se empiezan a desarrollar por el más interno. Un paréntesis, sólo desaparece, cuando queda un solo término en medio de ellos

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40 / 5 + 8 ^ 2 * 3 ------> 1° es la exponenciación 40 / 5 + 64 * 3 ---- ---> Se resuelve la división (de izquierda a derecha) 8 + 64 * 3 ------------> Luego multiplicación (mismo nivel jerárquico que la división) 8 + 192---------------> Por último se realiza la suma 200

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Leyes de los Exponentes Ejemplos

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EXPONENTES RACIONALES

75

32

21

2−

yx

7 57 53 2 12

yyx =−

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FORMULAS DE FACTORIZACIÓN Diferencia de cuadrados Diferencia de cubos Suma de cubos binomio al cuadrado y binomio al cubo

))((22 yxyxyx −+=−

))(( 2233 yxyxyxyx ++−=−

))(( 2233 yxyxyxyx +−+=+

)33()(2)(

32233

222

yxyyxxyxyxyxyx

±+±=±

+±=±

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Triángulo de Pascal y Binomio de Newton

La fórmula es del binomio de Newton es:

El número combinatorio Cm n (n sobre m) que representa el número de grupos de n elementos que pueden hacerse de entre un conjunto de m, por ejemplo, (4 sobre 2) nos da el número de parejas distintas que podrían hacerse en un grupo de cuatro personas), se encuentra en el triángulo en la fila n+1, en el lugar m+1.

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(a + b)3 = 1·a3 + 3·a2b + 3·ab2 + 1·b3.

La fórmula general del llamado Binomio de Newton (a + b)n está formada por unos coeficientes que coinciden con la línea número n+1 del triángulo de Pascal .

aplicando la fórmula y la definición de número combinatorio se tiene:

(𝑥 + 𝑦)4=

(𝑥 + 𝑦)5=

Obtenga:

Además de los "grandes paréntesis", también se usan estas notaciones:

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1. La suma de dos números reales a y b es otro número real que se escribe a + b.

2. Propiedad asociativa: cualquiera que sea la forma en que se agrupan los términos de la adición el resultado es siempre el mismo. (a + b) + c = a + (b + c)

3. Dado un número real a existe otro número real cero (0) conocido como elemento neutro de la suma tal que a + 0 = 0 + a = a

4. Dado un número real a, existe otro número real (-a) llamado elemento simétrico de a , tal que a + (-a) = 0

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1. El producto de dos números reales a y b es otro número real, que se escribe a·b o ab.

2. Propiedad asociativa: Cualquiera que sea la forma de agrupar los términos de la multiplicación, el producto es siempre el mismo: (ab)c = a(bc).

3. Dado un número real a existe otro número real uno (1) llamado elemento neutro de la multiplicación, tal que a(1)=1(a)=a.

4. Dado un número real a distinto de cero, existe otro número (𝑎−1 𝑜 1

𝑎 ), llamado elemento inverso para

el que 𝑎−1 𝑎 = 𝑎(𝑎−1) = 1

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Otra propiedad importante del conjunto de los números reales relaciona la adición y la multiplicación de la

forma siguiente:

a(b+c) = ab + ac (b + c)a = ba + ca

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Dada una expresión algebraica complicada, resulta útil el descomponer en un producto de varios términos más sencillos.

TRINOMIOS x2 + 2xy + y2 (x + y)2

x2 – 2xy + y2 (x – y)2

DIFERENCIA DE CUADRADOS x2 – y2 (x + y) (x – y )

TRINOMIOS DE LA FORMA X2 + (a + b)x + ab (x + a) (x + b)

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M.C.D.: Dado un polinomio suele ser

importante determinar el mayor factor común a todos los términos del polinomio.

9𝑥3 + 18𝑥2 = 9𝑥2(𝑥 + 2)

9𝑥2 es el m.c.d.

M.C.M.: Encontrar el m.c.m. puede ser

útil para poder hacer ciertas operaciones con fracciones algebraicas.

Dadas varias expresiones, su m.c.m. es aquella expresión con el menor grado y los menores coeficientes que se puede dividir exactamente por cada una de ellas

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¿Qué es el "mínimo común múltiplo"? Es simplemente el más pequeño de los múltiplos comunes. Los múltiplos de 4 son 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40 … Los múltiplos de 3 son 3, 6, 12, 15, 18, 24, 27, 30, 30, 33, 36 .. … De los múltiplos comunes el mas pequeño es 12, así que el mínimo común múltiplo de 3 y 4 es 12.

realice

1𝑥

+2

𝑥(𝑥 + 1)+

3𝑥(𝑥 + 2)

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http://www.librosvivos.net/smtc/hometc.asp?temaclave=1118

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