1.2 Definicin de lgebra de BooleSea B un conjunto en el cual se definen dos operaciones binarias, + y *, y una operacin unitaria denotada; sean 0 y 1 dos elementos diferentes de B. Entonces la sxtupla:B, +, *, 0, 1Se denomina lgebra de Boole si se cumplen los siguientes axiomas para cualesquiera elementos a, b, c del conjunto B:[B1] Conmutatividad: (1a) a + b = b + a (1b) a * b = b * a[B2] Distributivita: (2a) a + (b * c) = (a + b) * (a + c) (2b) a * (b + c) = (a * b) + (a * c)[B3] Identidad: (3a) a + 0 = a (3b) a * 1 = a[B4] Complemento: (4a) a + a = 1 (4b) a * a = 01.3 Terminologa y convenciones Las operaciones + y * se denominan suma y producto, respectivamente. La operacin a se denomina complemento de a. El elemento 0 se denomina elemento cero (neutro respecto de la suma). El elemento 1 se denomina elemento unidad (neutro respecto del producto). Por convencin, omitimos el smbolo *, usndose en su lugar la yuxtaposicin; de este modo, (2a) y (2b) se escriben:(2a) a + bc = (a + b) (a + c) (2b) a (b + c) = ab + ac Por convencin, establecemos que + es ms fuerte que * y * es ms fuerte que; por ejemplo:a + b * c significa a + (b * c) y no (a + b) * ca * b significa a * ( b ) y no (*) a b1.4 DualidadEn un lgebra de Boole B, el dual de cualquier enunciado es el enunciado obtenido de intercambiar las operaciones + y *, e intercambiar los elementos neutros 0 y 1 en el enunciado original. Por ejemplo: El dual de (1 + a) * (b + 0) = b es (0 * a) + (b * 1) = bCon esta definicin de dualidad puede observarse que, en la definicin de lgebra deBoole, los axiomas del grupo (1) son duales de los axiomas del grupo (2) y viceversa. En otras palabras, el dual de cualquier axioma de B tambin es un axioma. En consecuencia, se cumple el siguiente teorema:Teorema 1.1 (Principio de dualidad): En un lgebra de Boole, el dual de cualquier teorema es tambin un teorema.Esto significa que, si cualquier teorema es una consecuencia de los axiomas de un lgebra de Boole, entonces el dual tambin es una consecuencia de estos axiomas ya que se puede probar usando el dual en cada paso de la demostracin original.1.5 Teoremas bsicosUtilizando los axiomas de la definicin de un lgebra de Boole, pueden demostrarse los siguientes teoremas:Teorema 1.2: Sean a, b, c elementos cualesquiera de un lgebra de Boole B, se cumple:(i) Idempotencia: (5a) a + a = a (5b) a * a = a(ii) Acotamiento: (6a) a + 1 = 1 (6b) a * 0 = 0(iii) Absorcin:(7a) a + (a * b) = a (7b) a * (a + b) = a (iv) Asociatividad:(8a) (a + b) + c = a + (b + c) (8b) (a * b) * c = a * (b * c)Teorema 1.3: Sea a un elemento cualquiera de un lgebra de Boole B, se cumple:(i) Unicidad del complemento: Si a + x = 1 y a * x = 0, entonces x = a(ii) Involucin:a = a(iii) (9a) 0 = 1 (9b) 1 = 0Teorema 1.4: Leyes de De Morgan(10a) a b ab + = * (10b) ab a b * = +Es importante insistir que el lgebra de Boole es la estructura algebraica de la lgica de enunciados. En efecto, si se reemplazan las variables a, b, c, por variables proposicionales, la suma y el producto por la disyuncin y la conjuncin respectivamente, el complemento por la negacin, la igualdad por el bicondicional, y 1 y 0 por V y F respectivamente, todos los axiomas y teoremas del lgebra de Boole se transforman en axiomas o teoremas de la lgica de enunciados. Por ejemplo:(2b) a * (b + c) = (a * b) + (a * c) p (q r) (p q) (p r)(5a) a + a = a p p p(7a) a + (a * b) = a p (p q) p(10b) ab a b * = + (p q) p q1.6 Forma de suma de productosConsidrese un conjunto de variables a, b, c, d,. Una expresin booleana E en estas variables es o una variable o una expresin construida con estas variables y usando las operaciones booleanas +, * o. Por ejemplo, las siguientes son expresiones booleanas:( )( ) a bc abc ab ++ + (( ) ) abc b ac + + Un literal es una variable o una variable complementada. Por ejemplo, a, a , b, b son literales. Un producto fundamental es un literal o un producto de dos o ms literales en el cual no hay dos literales con la misma variable. Por ejemplo, ac , abc , a, b , bc , abc son productos fundamentales. En cambio, abac y abcb no son productos fundamentales: el primero contiene a y a , mientras que el segundo contiene b dos veces. Una expresin booleana E est en forma de suma de productos si E es un producto fundamental o una suma de dos o ms productos fundamentales. Por ejemplo, la siguiente expresin est en suma de productos:ac abc abc + +Pero la siguiente expresin no est en forma de suma de productos:ac aba abc + +Ya que el segundo trmino no es un producto fundamental.