algebra

ltima modificacin: 24-04-2015250101 - ALGGEOM - lgebra y Geometra

Universitat Politcnica de Catalunya1 / 7

Competencias de la titulacin a las cuales contribuye la asignatura

Otros: SERGI NADAL CABEZAS, MARIA ANGELES PUIGVI BURNIOLResponsable: MARIA ANGELES PUIGVI BURNIOL

Unidad que imparte:Curso:

Crditos ECTS:

727 - MA III - Departamento de Matemtica Aplicada III2014GRADO EN INGENIERA CIVIL (Plan 2010). (Unidad docente Obligatoria) 6 Idiomas docencia: Cataln, Castellano

Unidad responsable: 250 - ETSECCPB - Escuela Tcnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos de Barcelona

Titulacin:

Profesorado

Especficas:

Transversales:

3048. Capacidad para la resolucin de los problemas matemticos que puedan plantearse en la ingeniera. Aptitud para aplicar los conocimientos sobre: lgebra lineal; geometra; geometra diferencial; clculo diferencial e integral; ecuaciones diferenciales y en derivadas parciales; mtodos numricos; algortmica numrica; estadstica y optimizacin.

591. COMUNICACIN EFICAZ ORAL Y ESCRITA - Nivel 1: Planificar la comunicacin oral, responder de manera adecuada a las cuestiones formuladas y redactar textos de nivel bsico con correccin ortogrfica y gramatical.597. USO SOLVENTE DE LOS RECURSOS DE INFORMACIN - Nivel 1: Identificar las propias necesidades de informacin y utilizar las colecciones, los espacios y los servicios disponibles para disear y ejecutar bsquedas simples adecuadas al mbito temtico.600. APRENDIZAJE AUTNOMO - Nivel 1: Llevar a cabo tareas encomendadas en el tiempo previsto, trabajando con las fuentes de informacin indicadas, de acuerdo con las pautas marcadas por el profesorado.

La asignatura consta de 4 horas a la semana de clases presenciales en el aula.Se dedican a clases tericas 2,5 horas, en que el profesorado expone los conceptos y materiales bsicos de la materia, presenta ejemplos y realiza ejercicios.Se dedica 1,5 horas a la resolucin de problemas con una mayor interaccin con los estudiantes. Se realizan ejercicios prcticos para consolidar los objetivos de aprendizaje generales y especficos.Se utiliza material de apoyo en formato de plan docente detallado mediante la pgina algweb.net/2.0/ contenidos, programacin de actividades de evaluacin y de aprendizaje dirigido y bibliografa.

Metodologas docentes

Horario: Maringels Puigv: Mircoles de 10:00 a 14:00 Sergi Nadal: Jueves de 10:00 a 14:00

Horario de atencin



Conocimientos de lgebra lineal, mtodos de resolucin de problemas lineales que aparecen en ingeniera, elementos de geometra analtica en dos y tres dimensiones. Capacidad para el anlisis y la resolucin de los problemas matemticos planteados en la ingeniera que involucren estos conceptos.Al finalizar el curso el alumno habr adquirido la capacidad de:1. Interpretar espacios vectoriales. 2. Resolver sistemas de ecuaciones lineales tanto manualmente como mediante algn programa de ordenador.3. Interpretar geomtricamente los conceptos de clculo vectorial.4. Manipular algebraicamente vectores, matrices, operadores y tensores: operaciones elementales, reducciones a formas cannicas y cambios de base.

Teoria de operadores y sus aplicaciones geomtricas. Operadores de espacios eucldeos complejos. Operadores simtricosy operadores normales reales.Conocimientos de sistemas de ecuaciones lineales, aplicaciones lineales y formas bilineales y algoritmos bsicos para su resolucin. Conocimientos de espacios eucldeos. Conocimientos de determinantes y sus aplicaciones, en particular en el clculo de reas y volmenes. Conocimientos de geometra analtica. Conocimientos de operadores lineales: endomorfismos y teoremas espectrales, espacios afines eucldeos, autovalores y autovectores. Conocimientos de lgebra tensorial: operaciones elementales, cambios de base y elementos de clculo tensorial. Aplicaciones de los tensores a la mecnica, tensor de inercia.Profundizar en los mecanismos de razonamiento lgico. Estudiar mtodos de resolucin de problemas lineales que aparecen a menudo en ingeniera. Presentar elementos de geometra analtica y lgebra tensorial.

Objetivos de aprendizaje de la asignatura

Dedicacin total: 150h Horas grupo grande: Horas grupo mediano: Horas grupo pequeo: Horas actividades dirigidas: Horas aprendizaje autnomo:

31h 16h 13h 6h 84h

20.67% 10.67% 8.67% 4.00% 56.00%

Horas totales de dedicacin del estudiantado



Contenidos

Tema1: Aplicaciones lineales Dedicacin: 16h 48mGrupo grande/Teora: 4h Grupo mediano/Prcticas: 3h Aprendizaje autnomo: 9h 48m

Definiciones y ejemplos. Subespacios Imagen y Ncleo. Monomorfismo, epimorfismo, isomorfismo. Propiedades bsicas. Espacio vectorial de las aplicaciones lineales. Aplicaciones definidas entre espacios de dimensin finita. Matriz asociada. Obtencin de bases del Ncleo y de la Imagen. Teorema fundamental de dimensiones.Se resuelven algunos problemas de aplicaciones lineales sobre espacios de dimensin no finita pero fundamentalmente se trabaja con las definidas en espacios de dimensin finita. A partir de la matriz asociada y utilizando la teora de espacios vectoriales y de resolucin de sistemas lineales, se obtienen bases del Ncleo y dela Imagen.Composicin de aplicaciones lineales. Anillo de los endomorfismos. Inversa de un isomorfismo. Matriz asociada a la composicin. Espacio Dual.Resolucin de problemas de composicin de aplicaciones lineales. Clculo de la matriz asociada a la aplicacin inversa de un isomorfismo. Base del espacio dual.

Descripcin:

Objetivos especficos:Introducir los conceptos fundamentales y establecer su vinculacin con los contenidos de matemticas que han trabajado en otras asignaturas. Familiarizarse con vectores distintos a los que han usado hasta el momento en aplicaciones fsicas. Vincular la inyectividad y exhaustividad de una aplicacin lineal con su ncleo y con su imagenVincular los nuevos conceptos con el lgebra bsica que ya conocen: espacios vectoriales, propiedades de las matrices, resolucin de sistemas, rango de un sistema de vectores y ecuaciones implcitas de un subespacio.Justificar que las aplicaciones lineales inversibles son las biyectivas. Vincular la composicin de aplicaciones lineales con el producto der matrices. Introducir el concepto de espacio dual. Obtencin de bases y estudio de sus propiedades.Relacionar los contenidos de este tema con las propiedades que ya conocen de las matrices. Trabajar ejemplos de espacio dual y obtener bases. Insistir en aplicaciones geomtricas.



Tema 2: Espacio eucldeo Dedicacin: 28h 47mGrupo grande/Teora: 6h Grupo mediano/Prcticas: 2h Grupo pequeo/Laboratorio: 4h Aprendizaje autnomo: 16h 47m

Formas bilineales. Ejemplos y propiedades bsicas. Matriz asociada a una forma bilineal. Cambio de base. Forma bilineal simtrica. Forma cuadrtica. Formas definidas. Forma cannica y forma normal de una forma bilineal real simtrica.Se resuelven problemas de reduccin de una forma bilineal simtrica a su forma cannica y normal. Se determina el cambio de base.Definicin de producto escalar real y complejo. Ejemplos. Propiedades bsicas. Norma. Subespacio ortogonal. Bases ortogonales y ortonormales. Proyeccin ortogonal. Teorema de Pitgoras y ley del parallogramo. Coeficiente de Fourier. Desigualdades de Schwarz, triangular i de Bessel. Mtodo de ortogonalizacin de Gram-Schmidt. Interpretaciones geomtricas.Resolucin de problemas de producto escalar real y complejo. Propiedades de la norma. Proyeccin ortogonal sobre un subespacio. Interpretaciones geomtricas.

Descripcin:

Objetivos especficos:Desarrollar las propiedades de las formas bilineales, especialmente de las simtricas, preparando su posterior aplicacin a la clasificacin de extremos en la asignatura de Clculo. Trabajar las propiedades de las formas bilineales simtricas aplicando el mtodo de las operaciones elementales de fila que ya conocen. Recordar las propiedades i las operaciones con nmeros complejos. Presentar las definiciones y propiedades generales y continuamente interpretarlas en el espacio eucldeo real de tres dimensiones con el que el estudiante est familiarizado. Se pretende conseguir un conocimiento abstracto deespacio eucldeo Se trabajan especialmente las aplicaciones geomtricas.Presentar y demostrar las propiedades fundamentales. Interpretacin en el espacio eucldeo real de tres dimensiones. Justificar propiedades geomtricas.Adquirir destreza en la demostracin y uso de propiedades abstractas. Operar con nmeros complejos, Aplicar laspropiedades generales al espacio eucldeo real tridimensional.



Tema 3: Determinantes

Tema 4: Reduccin de endomorfismos y matrices

Dedicacin: 12h

Dedicacin: 21h 36m

Grupo grande/Teora: 3h Grupo mediano/Prcticas: 2h Aprendizaje autnomo: 7h

Grupo grande/Teora: 6h Grupo mediano/Prcticas: 3h Aprendizaje autnomo: 12h 36m

Definicin de determinante. Propiedades fundamentales. Determinante de una matriz triangular. Determinante deuna matriz diagonal por bloques. Clculo de determinantes. Mtodo de Gauss.Ejemplos de determinantes calculados reduciendo la matriz a la forma triangular.Expresin de la funcin determinante. Desarrollo por una fila y por una columna. Determinante del producto de matrices. Determinantes e inversin de matrices. Regla de Cramer. Ejercicios para determinar si una matriz es inversible, y en caso afirmativo obtener su inversa. Resolucin de sistemas de ecuaciones lineales utilizando la Regla de Cramer.Aplicaciones geomtricas: matriz de cambio de base entre bases ortonormales. Volumen de un paralleppedo. Producto vectorial. Producto mixto. Propiedades.

Valores y vectores propios. Polinomio caracterstico. Teorema general de diagonalizacin.Teorema elemental de diagonalizacin. Ejemplos.Problemas de diagonalizacin.Teorema bsico de triangularizacin. Ejemplos. Teorema de Cayley-Hamilton. Ejemplos y aplicaciones.Problemas de triangularizacin.Problemas de endomorfismos y matrices. Tercer bloque.

Descripcin:

Descripcin:

Objetivos especficos:Definir las formas multilineales alternadas, de las cuales el determinante es un caso particular. A partir de su definicin se demuestran algunas propiedades bsicas, todo ello sin necesidad de explicitar el desarrollo del determinante. Se calcula el determinante de una matriz numrica aplicndole operaciones elementales de fila hasta reducirla a la forma triangular.Practicar adecuadamente las operaciones elementales de fila y tomar conciencia de la posible programacin numrica del mtodo.Despus de introducir las propiedades bsicas de las permutaciones se explicita el determinante y su desarrollo. Utilizando las propiedades de las formas multilineales alternadas, de demuestra que el determinante de un producto de matrices es el producto de determinantes. Se define la matriz cofactor y se utiliza en el clculo de la matriz inversa. Trabajar este segundo mtodo para invertir una matriz, dado que ya conocen el de transformarla en su forma escalonada reducida por filas.Dotar al estudiante de las herramientas que necesitar en Clculo para la clasificacin de los extremos de una funcin, y para justificar la existencia de polinomios interpoladores.



Tema 5. Operadores y teoremas espectrales.

Tema 6. lgebra tensorial.

Dedicacin: 38h 24m

Dedicacin: 26h 24m

Grupo grande/Teora: 7h Grupo mediano/Prcticas: 4h Grupo pequeo/Laboratorio: 5h Aprendizaje autnomo: 22h 24m

Grupo grande/Teora: 5h Grupo mediano/Prcticas: 2h Grupo pequeo/Laboratorio: 4h Aprendizaje autnomo: 15h 24m

Definiciones y propiedades bsicas. Operadores adjunto y transpuesto. Relacin con las formas sesquilineales y bilineales. Matrices asociadas. Operadores normales. Propiedades. Teorema espectral para operadores normales.Algunos tipos de operadores normales, caracterizacin y propiedades. Operadores hermitianos, antihermitianos y unitarios. Operadores normales reales. Operadores simtricos, antisimtricos y ortogonales. Teorema espectral para operadores simtricos.Problemas de operadores normales y propiedades de matrices normales.Forma cannica de los operadores normales reales no simtricos. Isometras. Clasificacin de los operadores ortogonales en un espacio tridimensional. Matrices normales.Problemas de operadores normales reales.

Espacio dual. Tensores afines: formas multilineales. Definiciones y propiedades bsicas. Cambios de base. Notaciones. Producto tensorial. Estudio detallado de los tensores de orden uno y dos. Tensores de orden superior. Contraccin. Tensores simtricos, antisimtricos y completamente antisimtricos. Producto exterior. Tensores cartesianos. Tensor de inercia.Problemas de tensores y sus aplicaciones fsicas.

Descripcin:

Descripcin:



La calificacin final se obtiene a partir de las calificaciones parciales siguientes:E1: examen de los temas 1 y 2E2: examen de los temas 1,2,3,4 y 5P: nota media de los problemas realizados en clase,correspondientes a los temas 1, 3 y 6.P = (P1 + P3 +2 P6) / 4Nota Final = 0.3P +0.3 E1 +0.4 E2Los exmenes constan de una parte con cuestiones sobre conceptos asociados a los objetivos de aprendizaje de la asignatura en cuanto al conocimiento o la comprensin, y de un conjunto de ejercicios de aplicacinCriterios de calificacin y de admisin a la reevaluacin: Los alumnos suspensos en evaluacin ordinaria que se hayan presentado regularmente a las pruebas de evaluacin de la asignatura tendrn opcin a realizar una prueba de reevaluacin en el periodo fijado en el calendario acadmico. La calificacin mxima en el caso de presentarse al examen de reevaluacin ser de cinco. En el caso de ausencias justificadas durante el periodo de evaluacin ordinaria que hayan impedido realizar exmenes de parte de los contenidos de una asignatura, y con aprobacin previa del Jefe de Estudios de la titulacin, el alumno podr recuperar en el examen de reevaluacin tanto aquella parte de la asignatura que no ha sido previamente evaluada como aquella que haya sido suspendida. La limitacin en la calificacin mxima no se aplicar a las partes evaluadas por primera vez.

Sistema de calificacin

Normas de realizacin de las actividadesSi no se realiza alguna de las actividades de laboratorio o de evaluacin continua en el periodo programado, se considerar como puntuacin cero.Bibliografa

Bsica:Rojo, J. lgebra lineal. 2a ed. Madrid: McGraw-Hill, 2007. ISBN 9788448156350.Hoffman, K.; Kunze, R. lgebra lineal. Mxico D.F. [etc.]: Prentice Hall Hispanoamericana, 1973. ISBN 9688800090.Proskuriakov, I.V. 2000 problemas de lgebra lineal. Barcelona: Revert, 1991. ISBN 8429151095.Rojo, J.; Martn, I. Ejercicios y problemas de lgebra lineal. 2a ed. Madrid: McGraw-Hill, 2005. ISBN 8448198581.

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