5.3 La matriz de una transformacin linealTeorema1:Sea una transformacin lineal de un espacio vectorial de dimensiones en un espacio vectorial de dimensiones y sean ,, ,, } y ,, , bases de respectivamente. Entonces, la matriz de cuya j-esima columna es el vector de coordenadas de con respecto a , esta asociada con y tiene la siguiente propiedad. Si x est en , entonces

Donde y son los vectores de coordenadas de y con respecto a las bases respectivas de Adems es la nica matriz con esta propiedad.Demostracin:La demostracin es constructiva; es decir, mostraremos la forma de construir la matriz. Es ms complicada que la demostracin del teorema 3.8 consideremos el vector en para Entonceses un vector en y como es una base para , podemos exopresar este vector como una combinacin lineal de los vectores en de manera nica. As,

Esto significa que el vector de coordenadas de con respecto a es

Ahora definimos la matriz de eligiendo como la j-esima columna de y mostraremos que esta matriz satisface las propiedades indicadas del teorema. Definicin:La matriz del teorema se llama la matriz que representa a con respecto a las bases , o a la matriz de con respecto a .Ahora resumiremos el procedimiento para calcular la matriz de una transformacin lineal con respecto a las bases ,, ,, } y ,, , para respectivamente, es el siguiente:

Paso 1. Calculamos para Paso 2. Determinaremos el vector de coordenadas de con respecto a la base Esto significa que debemos expresar como una combinacin lineal de los vectores en .Paso 3. La matriz de con respecto de se forma al elegir como la j-esima columna de

Figura 1

La figura 1 proporciona una interpretacin grafica de la ecuacin (1). La flecha horizontal superior representa la transformacin lineal de del espacio vectorial de de dimensin en el espacio vectorial de dimensiones y que lleva el vector x en en el vector en . La flecha horizontal inferior representa la matriz entonces un vector de coordenadas en se obtiene al multiplicar , un vector de coordenadas en , por la matriz. As, siempre podemos trabajare con matrices en vez de transformaciones lineales.Los fsicos y otras personas que trabajan en gran medida con transformaciones lineales realizan la mayor parte de sus clculos con las matrices de las transformaciones lineales.

Definiremos las operaciones bsicas con las transformaciones lineales, que son suma multiplicacin por escalar e inversin, y las relacionaremos con las operaciones bsicas con matrices. Tambin repasaremos ahondaremos en la investigaciones del concepto de isomorfismo.Nota: en toda esta seccin V, W y U son espacios vectoriales de dimensin finita.En esta seccin generalizaremos el concepto d la matriz estndar de una transformacin lineal. Demostraremos que toda transformacin lineal entre espacios vectoriales de dimensiones finitas puede representarse con una transformacin matricial. Este resultado til nos permite evaluar transformaciones lneas mediante la multiplicacin de matrices, la cual puede efectuarse en computadora.Teorema 2:Sea una transformacin lineal entre dos espacios vectoriales de dimensiones finitas. Sea ,, } una base de ,,} una base de W. La matriz A m x n cuyas columnas son;

Es la nica matriz que satisface

Para todo v V.Demostracin: como B genera a V, hay escalares ,, tales que v = c|v| ++ . As:

Por qu T es lineal.

La verificacin de que A es la nica matriz con la propiedad para todo v V. Se deja como ejercicio. La matriz a del teorema 2 se llama matriz de T con respecto a B y B. Si V=W y B=B, A se llama matriz de T con respecto a B (figura 2).

Figura 2. Matriz de una transformacin lineal.

Observaciones1. El teorema 2 es muy til. si conocemos A es posible evaluar T(v) calculando como , lo cual es tan solo una multiplicacin de matrices.

2. La matriz de T depende de T, B, B. Aun cuando se modifica el orden de los vectores en una de las bases, la matriz de T cambia.

Teorema 3:Toda transformacin lineal es una transformacin matricial.DemostracinSean B y B las bases estndar de y , respectivamente. Entonces, segn el teorema 2, hay una matriz A tal que

Para todo Pero todo para las bases estndar tenemos . Por consiguiente T es una transformacin matricial cuya matriz estndar es A.

5.3.1 cambio de base y la matriz de una transformacin linealEn este prrafo estudiaremos como se afecta la matriz de una transformacin lineal cuando se modifican las bases de V. en general, una transformacin lineal tiene distintas matrices con respecto a diferentes bases. A veces hay bases que producen una matriz muy sencilla para T, como una matriz diagonal. En este caso, la evaluacin de T es muy sencilla. El teorema siguiente nos dice como determinar una nueva representacin (potencialmente fcil) matricial de T a partir de otra anterior.Teorema 3:Sea una transformacin lineal de un espacio vectorial V de dimensin finita en s mismo. Sean B y B dos bases de V, y sea P la matriz de transicin de B a B. si A es la matriz de T con respecto a B y si A es la matriz de T con respecto a B, entonces

DemostracinComo P es la matriz de transicin de B a B, entonces es la matriz de transicin de B a B por consiguiente para todo w en V. en particular, para todo v en V. as

Entonces, la matriz satisface para todo v en V. Por tanto, debe sr la matriz de una transicin de T con respecto a B (figura 3).Figura 2. El efecto del cambio de base.

5.3.2 Representacin matricial de una transformacin linealSi A es una matriz de m x n y est definida por Tx = Ax, entonces, como se observ T es una transformacin lineal. Ahora se vera que para toda transformacin lineal de en existe una matriz A de m x n tal que Tx = Ax para todo Este hecho es de gran utilidad. Como se dijo en la observacin, si Tx = Ax, entonces nu e im . Ms aun v(T) = dim un T =V(a) Y P(t) =DIM IM Tx = p(A). As se puede determinar el ncleo, la imagen, la nulidad y el rango de una transformacin lineal de determinado el espacio bulo y la imagen de la matriz correspondiente. Adicionalmente, una vez que se sabe que Tx = Ax, s puede evaluar Tx para cualquier x en mediante una simple multiplicacin de matrices.Pero esto no es todo. Como se ver, cualquier transformacin lineal entre espacios vectoriales de dimensin finita se puede representar mediante una matriz.Teorema 4:Sea una transformacin lineal. Existe entonces una matriz nica de m x n, tal queTx = para todo ObservacionesEn este teorema se supone que todo vector en esta expresado en trminos de los vectores de la base estndar en esos espacios. Si se eligen otras bases para , por supuesto que se obtendr una matriz La demostracin del teorema 4 muestra que es sencillo obtener como la matriz cuyas columnas son los vectores T.Nota 1: La matriz de transformacin est definida usando las bases estndar tanto en como en Si se utilizan otras bases, se obtendr una matriz de trasformacin diferente.Teorema 5: Sea la matriz de tranformacion correspondiente a la tranformacion lineal T. entonces:1. Im t = im A = C2. P(t) = P(3. nu T = N4. v(T) = v(Definiremos las operaciones bsicas con las transformaciones lineales, que son suma multiplicacin por escalar e inversin, y las relacionaremos con las operaciones bsicas con matrices. Tambin repasaremos ahondaremos en la investigaciones del concepto de isomorfismo.Nota 2: En toda esta seccin V, W y U son espacios vectoriales de dimensin finita.

BibliografaBernard Kolman; Algebra Lineal con Aplicaciones y Matlab; Sexta edicin; Prentice hall; Pag. 345-347; Mxico 1999

Stanley I. Grossman, Jose Job Flores Godoy; Algebra Lineal; Sptima Edicin; Mc Graw Hill;