algebra

Horas alumnos-docente: 28Horas independientes: 28

Operacionesfundamentales

del Álgebra

Bloque I

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Álgebra I

Secuencia didáctica

Entiende la importancia de los números reales y las operaciones fundamentales del Álgebra y aplica las propiedades de campo en la resolución de problemas de la vida cotidiana.

Competencia desarrollada al finalizar el bloque

Identifica los tipos de números que se aplican en las actividades cotidianas y las propiedades de campo de los números reales. Distingue y aplica los algoritmos correspondientes de cada una de las operaciones básicas del Álgebra.

Competencias disciplinares básicas

1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta

con modelos establecidos o situaciones reales.4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o

variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las Tecnologías de la Información y la Comunicación.

5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos.

Competencias genéricas

Atributos

Se autodetermina y cuida de sí1.1

2.13.3

Se expresa y comunica4.14.5

Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. Valora el arte como manifestación de la belleza y expresión de ideas, sensaciones y emociones.Cultiva relaciones interpersonales que contribuyen a su desarrollo humano y el de quienes lo rodean.

Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. Maneja las Tecnologías de la Información y la Comunicación para obtener información y expresar ideas.

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Álgebra I

Conocer

• Identifica qué es un conjunto y las operaciones de unión, intersección y complemento de conjuntos.

• Identifica los tipos de números que se aplican en las actividades cotidianas.

• Identifica las propiedades del campo de los números reales.

• Distingue los tipos y grado de expresiones algebraicas.

• Identifica las operaciones de suma, resta, multiplicación y división de polinomios.

• Identifica los distintos productos notables.

Hacer

• Clasifica los distintos tipos de números que se utilizan en la vida diaria.

• Aplica las propiedades de campo en las operaciones algebraicas.

• Ejecuta sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de expresiones algebraicas relacionadas a su entorno.

• Utiliza los productos notables para simplificar la multiplicación algebraica.

Ser

• Asistencia puntual a clases.

• Respeto al salón de clases, compañeros y maestros.

• Trabajo colaborativo.

• Entrega en tiempo y forma de actividades.

• Reconoce y aprende de sus errores.

Valores:

• Respeto.

• Honestidad.

• Tolerancia.

Piensa crítica y reflexivamente5.1

5.25.6

6.1

Aprende de forma autónoma.7.1

Trabaja en forma colaborativa.8.1

8.28.3

Cuadro de saberes

Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.Ordena información de acuerdo con categorías, jerarquías y relaciones.Utiliza las Tecnologías de la Información y la Comunicación para procesar e interpretar información.Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo con su relevancia y confiabilidad.

Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos.Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimiento.

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Álgebra I

Indicadores de desempeño

• Argumentaaquésubconjuntodelosnúmerosrealesperteneceunnúmerodado.• Utilizalaspropiedadesdecampodelosnúmerosrealesenlasoperacionesalgebraicas.• Utilizalosalgoritmosdelasoperacionesdenúmerosreales,enlasoperacionesalgebraicas.• UtilizalasoperacionesbásicasdelÁlgebraenlasolucióndeproblemasteóricosoprácticosdesu

entorno.• Resuelvedeformacolaborativaeindividuallosejerciciospropuestos.• Compruebalassolucionesdelasoperacionesalgebraicasutilizandomedioscomputacionales.

Sugerencias de evidencias de aprendizaje

• Presentaenformaimpresaoelectrónicaunportafoliodeevidencias(carátula,índice,introducción,mapa conceptual de los subconjuntos de los números reales, un mapa mental de las propiedades de campo de los números reales, conclusión, bibliografía) de manera individual.

• Presentaen forma impresaoelectrónicaunproblemariodeoperacionesalgebraicasen formaindividual y en equipo.

• Elaboraunalistadecotejodelasoperacionesalgebraicas.• Realizaunapresentaciónelectrónicaodramatizadaenfocadaalasoperacionesalgebraicas.• Evaluaciónparcialyfinal.• Portafoliodeevidencias.

Evaluación de los aprendizajes

- Evaluación diagnóstica

- Evaluación formativa

•Portafoliodeevidencias

•Bitácoradelalumno

•Listadecotejo

- Evaluación

•Actividadintegradora

•Rúbricas:Coevaluación,MetaevaluaciónyHeteroevaluación

•Examendebloque

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Álgebra I

Evaluación diagnósticaLa siguiente evaluación tiene como finalidad detectar tus fortalezas y áreas de oportunidad para abordar con éxito este bloque.

Realiza las siguientes operaciones:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

ñ)

o)

p)

q)

r)

s)

t)

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Álgebra I

u) Un día Pedro se comió la mitad de un pastel. Al día siguiente se comió una tercera parte del pastel y al día siguiente se comió la cuarta parte de lo que quedaba. ¿Qué fracción del pastel queda?

v) Escribe el nombre de la propiedad que establece que

w) El valor de en qué subconjunto de los números reales está incluido.

Autoevaluación actitudinal¿Cómo te sentiste al desarrollar las preguntas de la evaluación diagnóstica?

¿Cuáles temas crees que tienes que repasar?

Elmaestroyelalumnodefiniránlasestrategiasquemásseadaptenalasnecesidades.Ejemplos:ABP;Proyectos, Análisis o Estudios de casos, Aprendizaje in situ, Aprender sirviendo, Aprender utilizando las TIC, Simulación, Investigar con tutoría, Aprendizaje cooperativo, Reuniones de socialización, estudio independiente, comunidades de diálogo, etcétera.

Indicador

Resuelve algunos ejercicios, no llega al resultado final de los mismos y los procedimien-tos presentan deficiencias.

Nivel

Bajo

Medio

Alto

Muy alto

Resuelve 50% de los ejercicios correctamente y escribe su procedimiento en forma clara y ordenada.

Resuelve 80% de los ejercicios correctamente, escribe su procedimiento en forma clara, ordenada y sin faltas de ortografía.

Resuelve más del 80% de los ejercicios correctamente, escribe su procedimiento en for-ma limpia, clara, ordenada y sin faltas de ortografía.

¿Cómo aprendo mejor?

Estrategias de aprendizaje que requieres para reafirmar los temas que tienesqueconsolidar:

Estrategias de enseñanza1.2.3.

Estrategias de aprendizaje1.2.3.

Evaluación

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Álgebra I

Contenido- División algebraica

- Productos notables

- Multiplicación algebraica

- Leyes de los exponentes

- Suma y resta algebraica

- Terminología algebraica

- Postulados de campo de los números reales

- Subconjuntos de los números reales

- Conjuntos y sus operaciones

Bloque I

Operaciones fundamentales del Álgebra

Introducción

En este bloque queremos brindarte un breve rescate de tus conocimien-tos que has generado desde tu educación básica hasta llegar a tus inicios del bachillerato universitario.

Una de las principales dificultades que enfrenta un estudiante con las Matemáticas es la falta de vinculación de los temas con problemas de la vida diaria, uno de los puntos que se aborda en esta guía es justamente que el alumno se dé cuenta la gran aplicación que tienen los temas de Matemáticas para resolver una gran cantidad de situaciones a las que se enfrenta en la vida diaria.

Estas actividades que se tienen contempladas permiten generar una aplicación de las principales operaciones de las ramas de las Matemáticas, como la Aritmética y el Álgebra.

Esperamos que cambie tu percepción del Álgebra y puedas relacionar los conocimientos previos que tienes en relación con la Aritmética, ya que puedes darte cuenta que las letras representan números. Dichos números forman parte del conjunto de los números reales y permiten la aplicación de los postulados de orden. Dichas letras pueden representar monedas, billetes, objetos, etc.; por ejemplo, si compras 5 cuadernos, lo puedes re-presentar en lenguaje algebraico como 5 c y aplicarlo en la resolución de alguna situación.

Las actividades que se te presentan sirven para reforzar los conocimien-tos que tienes de la educación básica para encauzar hacia un nivel mayor en tus conocimientos matemáticos que podrás aplicar en otras asignatu-ras de tu bachillerato.

18

Álgebra I

¿Cuál es el la superficie de la caja original?

¿Cuál será la superficie ?

¿Cuál será la superficie ?

¿En cuál de las dos opciones se gastará más cartón?

¿Cuánto cartón se ahorraría?

Aplicación del Álgebra en situaciones cotidianas

Una fábrica elabora chocolates y debido al aumento de precios en el material para su elaboración, decidió disminuir su costo de producción. Para no dejar de producir un chocolate de buena calidad, decidió reducir el volumen ( ) del empaque del chocolate en un , así que la caja tendrá un volumen de . La finalidad es usar menos cartón para la elaboración del empaque. La caja tiene las siguientes dimensiones: de largo, de ancho y de grosor. Se desea conservar el grosor del empaque y lo que se desea reducir es el largo o el ancho.

Introduzcamos , y el ancho, largo y el grosor del empaque respectivamente.

El grupo de consultores de la empresa encontró dos opciones para reducir el volumen, la primera opción es:

a) Reducir el largo en .

b) Reducir el ancho en .

La superficie (área) de la caja puede ser expresada como . Entonces, las superficies de las cajas son:

, si se reduce el largo.

, si se reduce el ancho.

En pares realiza la siguiente actividad. Después discutan la actividad con el resto del grupo.

Actividad 1 Confianza

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Álgebra I

1.1 Conjuntos y sus operaciones

Competencia específica• Identifica y aplica la notación de conjuntos,

así como las operaciones de los mismos.

Empezaremos por ver un concepto que se encuentra en nuestra vida cotidiana y que usamos todos los días. Hablamos del conjunto de amigos, el conjunto de tus mensajes de correo electrónico, etc. El concepto de conjunto es la base en la que se fundamenta gran parte de las matemáticas.

Conjunto: Es una colección de objetos (o elementos) bien definidos.

Para que un conjunto esté bien definido debe ser claro si un objeto (o elemento) se encuentra o no en el conjunto. Los conjuntos se representan por letras mayús-culas

Existen dos maneras de describir conjuntos.

1. Método de listado (por extensión): Se escribe cada uno de sus elementos del conjunto entre llaves.

Ejemplo: es el conjunto de las vocales:

2. Método de descripción verbal (por comprensión): Se escribe un enunciado entre llaves que nos describa claramente cada uno de sus elementos, de la si-guiente forma:

Ejemplo: es el conjunto de las vocales:

El símbolo significa tal que . Este símbolo siempre tiene que ir en el método descriptivo. En ocasiones en lugar de , se utiliza .

Para expresar que un elemento está o pertenece al conjunto se utiliza el sím-bolo .

Ejemplo: .

La teoría moderna sobre conjuntos fue creada por el matemático ruso George Cantor a finales del siglo XIX y a principios del XX. Pero se cree que las nociones respecto a los conjuntos se empezaron a utilizar en los siglos XVI y XVII.

20

Álgebra I

Para expresar que un elemento no está o no pertenece al conjunto se utiliza el símbolo .

Ejemplo: .

Se dice que dos conjuntos son iguales si cada elemento de un conjunto es elemen-to del otro y viceversa.

Ejemplo: Los siguientes conjuntos son iguales:

SUBCONJUNTO Y SUBCONJUNTO PROPIO

A continuación veremos dos conceptos importantes de la teoría de conjuntos.

Ejemplo:

Sean y . Observa que . Ya que cada elemento de pertenece a .

Ejemplo:

Sean y . Observa que , ya que y y .

CONJUNTO VACÍO Y CONJUNTO UNIVERSO

Ejemplo:

Sea , ya que no hay ningún número primo que sea mayor que y a la vez sea múltiplo de (no sería primo porque se podría dividir entre ).

Observa que:

En particular dos conjuntos iguales son subconjuntos uno del otro.

Observa que:

es subconjunto de cualquier conjunto.

Subconjunto:

Se dice que es subconjunto de y se denota como . Si todo elemento de es un elemento de .

Subconjunto propio:

Se dice que es subconjunto propio de y se denota como . Si todo ele-mento de es un elemento de y además existe un elemento de que no está en . Es decir, y también existe un elemento de que no pertenece a .

Conjunto vacío:

Es aquel conjunto que no tiene elementos. Se denota por el símbolo . También recibe el nombre de conjunto nulo.

21

Álgebra I

Ejemplo:

Encuentra todos los subconjuntos y subconjuntos propios del conjunto

Solución.

Para esto analizamos la siguiente tabla:

Conjunto universal:

Es aquel conjunto que contiene todos los elementos que se van a analizar en alguna situación especifica. Se representa por la letra .

Número de elementos del subconjunto Subconjunto

Cero elementos

Un elemento

Dos elementos

Todos los subconjuntos de .

Ahora, busquemos los subconjuntos propios, como debe haber algún elemento de que no esté en el subconjunto para que pueda ser un subconjunto propio, de nuestra tabla tenemos que quitar al conjunto . Así que los subconjuntos propios de son , y .

Ejemplo: Decir si son falsos o verdaderos los siguientes enunciados:

a)

b)

Solución

a) Observa que lo que tenemos que checar es que los elementos del conjunto que son el y el estén en el conjunto . De modo que es ver-

dadero.

b) Tenemos que ver que el conjunto sea un elemento del conjunto . Lo cual es cierto y, por tanto, es verdadero.

22

Álgebra I

OPERACIONES DE CONJUNTOS

Así como existen las operaciones de suma, resta, multiplicación y división de nú-meros (reales), también existen operaciones con los conjuntos. Dichas operacio-nes se describen en la siguiente tabla:

Operación Definición En Español Ejemplo

Union de conjuntos

Intersección de conjuntos

Complemento de un conjunto

o

Complemento de dos

conjuntos

(complemento de respecto

de )

Para que un elemento esté en la unión basta que esté en alguno de

los dos conjuntos.

Para que un elemento esté en la intersección

tiene que estar en los dos conjuntos.

Para que un elemento esté en debe estar en

el conjunto universal ( ) y no pertenecer al conjunto ( ). Es decir, son todos los elementos que le faltan a

para completar a .

Para que un elemento esté en debe estar en el primer conjunto ( ) y ade-más no debe pertenecer al

segundo conjunto ( ).

Sean y

Entonces:

Sean y

Entonces:

Sean y

Entonces:, donde es el conjunto universo.

Sean y

Entonces:

Observa que:

a) .

b) .

Ejemplo: Sea y

Encuentra , y .

Solución

Como en la unión basta que el elemento esté en alguno de los dos conjuntos se tiene que .

23

Álgebra I

En la intersección se debe cumplir que el elemento debe estar en los dos conjun-tos; entonces,

Esto quiere decir que tiene que ser una rosa, pero además debe ser una flor de color rojo; de modo que

Por último veamos quién es por definición debe estar en (debe ser una rosa), pero no debe estar en (no debe ser una flor de color rojo); es decir, debe ser una rosa pero no de color rojo, entonces ,

DIAGRAMAS DE VENN

Existe una manera de representar conjuntos, esta forma utiliza las figuras geomé-tricas, por lo general se utiliza el rectángulo y el círculo. El rectángulo se utiliza para representar al conjunto universal ( ) y el círculo para representar a un con-junto. Veamos algunas representaciones; es decir, algunos diagramas de Venn.

Conjunto a representar Diagrama de Venn

Conjunto universal.

subconjunto de . ( ).

Un conjunto que es subconjunto del conjunto

universal. ( ).

Dos conjuntos ( ) subconjuntos del conjunto

universal ( ).

Tres conjuntos ( y ) subconjuntos del conjunto

universal .

24

Álgebra I

También se pueden representar las operaciones de conjuntos utilizando los diagramas de Venn. Analicemos el método con los siguientes ejemplos:

Ejemplo: Representa el conjunto utilizando los diagramas de Venn.

Solución.

Primero con líneas horizontales representemos uno de los conjuntos a intersectar y con líneas verticales el otro.

Después, la región buscada es la región donde se encuentren líneas tanto hori-zontales o verticales (todo lo que contenga líneas), ya que un elemento está en la unión tiene que estar al menos en uno de los conjuntos. Así que la región que representa es:

De manera similar se hace para la intersección, solo que la región sería en donde se junten las líneas verticales y horizontales; es decir, la región tiene que contener tanto líneas horizontales como verticales.

Ejemplo: Representa utilizando los diagramas de Venn.

Solución.

Primero con líneas horizontales representemos uno de los conjuntos a unir y con líneas verticales el otro.

Entonces la región que representa la intersección es:

Ya que es la región donde se traslapan las líneas.

Para el caso de tres conjunto se hace de manera similar.

25

Álgebra I

Competencias a desarrollar: 3.3, 4.1, 4.5, 5.1, 5.2, 5.6, 6.1, 7.1, 8.1, 8.2 y 8.3.Realiza los siguientes ejercicios de forma individual. Después comenten con ayuda de su maestro los resultados con el resto del grupo.

Actividad 2

1. Decir si son falsos o verdaderos los siguientes enunciados.

Justifica tu respuesta.

a)

b)

c)

2. Sea Encuentra:

a)

b)

3. Sean y . Encuentra:

a)

b)

4. Utiliza los diagramas de Venn para verificar las siguientes proposiciones:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

5. Sea y

. Encuentra:

a)

b)

Laboriosidad

Responsabilidad

26

Álgebra I

6. Sea el conjunto universo del cual es subconjunto. Encuentra el conjunto señalado en términos de

a)

b)

7. Sabiendo que el número de elementos de son 15, el número de elementos de son 5 y el número de elementos de son 30. Determina cuántos elementos tiene . Sugerencia haz un diagrama de Venn.

8. Mediante un diagrama de Venn ilustra el siguiente conjunto .

9. En una ENMS de la Universidad de Guanajuato, de una muestra de 100 estudian-tes, se tiene que:

45 estudian Matemáticas, 41 Inglés, 47 Historia, 18 solamente Matemáticas e Historia, 17 solamente Inglés e Historia y 7 los tres cursos. Nadie estudia sola-mente Matemáticas e Inglés.

a) ¿Cuántos estudiantes estudian solamente Matemáticas?

b) ¿Cuántos estudiantes no estudian ninguno de los tres cursos?

10.Elabora un diagrama de Venn que nos represente el caso más general para cua-tro conjuntos y . Cuántas regiones se formaron. (Sugerencia: empieza por analizar cuántas regiones se forman para el caso de uno, dos y tres conjun-tos).

11. Encuentra cuántos subconjuntos se pueden forman de un conjunto de cuatro elementos. Además, da una fórmula para saber cuántos subconjuntos tiene un conjunto de elementos.

27

Álgebra I

TIC Para practicar en forma individual, consulta la plataforma blackboard.www.http://dieumsnh.qfb.umich.mx/matematicas/tc5.htm#nivel_Ic

Autoevaluación

12. Investiga algunas aplicaciones sobre los conjuntos.

13. Investiga a quién se le atribuye la introducción de los conjuntos y explica en qué consiste ésta.

14. Investiga qué significa que dos conjuntos son ajenos. Da un ejemplo.

Indicador

Resuelve algunos ejercicios, no llega al resultado final de los mismos y los procedimientos presentan deficiencias.

Nivel

Bajo

Medio

Alto

Muy alto


Resuelve 80% de los ejercicios correctamente, escribe su procedimiento en forma clara, ordenada y sin faltas de or-tografía.Resuelve más del 80% de los ejercicios correctamente, es-cribe su procedimiento en forma limpia, clara, ordenada y sin faltas de ortografía.

28

Álgebra I

1.2 Subconjuntos de los números reales

Competencias específicas• Reconoce e identifica los subconjuntos de

los números reales, así como las distintas formas de representarlos en situaciones teóricas o prácticas.

• Clasifica los elementos de los subconjuntos de los números reales.

LA BURGUESÍA DE LOS NÚMEROS REALES

No cabe duda que esto de las clases sociales está en todas partes, incluso hasta en las Matemáticas.

Existen varias clases sociales en los números, la primera es la clase de números que utilizamos para contar, estos números reciben el nombre de los números na-turales y se representa por la letra .

.

Como en toda clase social, para que un individuo pertenezca a esa clase se debe cumplir con algunos requisitos. Notemos que al sumar dos números naturales nos da otro número natural , . Pero al restar dos números na-turales el resultado podría no ser un número natural, , entonces el no pertenece a esta clase. Por esta razón surge la clase social de números que se llama números enteros y se representa por la letra .

Al sumar y restar números enteros nos vuelve a dar otro número entero. Pero al dividir dos números enteros nos puede dar un número el cual podría no ser ente-

ro, por ejemplo Esto, da lugar a una clase muy distinguida la cual llamaremos

números racionales ; es decir, un número racional es aquel que se puede expre-

sar en forma de fracción.

.

Aprecia que los números , y el son nú-meros racionales porque se pueden expresar como una división de dos números enteros de acuerdo al siguiente algoritmo:

El sistema de los números reales tiene su inicio al menos en la antigua Babilonia (1800 a. C.). Su sistema de numeración era muy similar al que utilizamos, su sistema se basaba en el 60, mientras que el nuestro se basa en el 10.

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Álgebra I

Caso I) Parte decimal finita Caso II) Parte decimal infinita, pero periódica

Para este caso contamos los decimales que tiene el número. Y hacemos la división entre el número que se forma al recorrer el punto decimal hasta el final entre el uno agregándole la cantidad de ceros como sus decimales.

Ejemplo:

Tiene cuatro cifras decimales. Entonces:

Debemos ver cuántos números se están repitiendo (periodo). Después, resolver la siguiente expresión

, donde es el número racional.

Despejamos y obtenemos la fracción.

Ejemplo:

. Observemos que el periodo es , ya que es el número el que se repite; entonces

Siguiendo los algoritmos anteriores tenemos que y representan res-

pectivamente los números , y el .

Esta es una característica de los números racionales: si un número tiene parte deci-mal finita o infinita pero periódica, se puede expresar en forma de fracción; es decir, es un número racional. Algunos ejemplos de números racionales:

Como es de esperarse hay números que no se pueden expresar mediante una fracción. Estos números reciben el nombre de números irracionales y se represen-tan por la letra . Los números que tienen parte decimal infinita y no periódica, no se pueden expresar en forma de fracción; es decir, son números irracionales. Ejem-plos de números irracionales:

Observemos que la clase de los números está incluida a la clase de los .

La barra horizontal de las fracciones (de origen árabe) ya era usada por Fibonacci en el siglo XIII, aunque no se generalizó hasta el siglo XVI.

30

Álgebra I

También la clase de esta incluida a la clase de , ya que si es un número entero,

lo podemos expresar como . Así que . De lo anterior concluimos que

La clase de los números no pertenece a ninguna de las anteriores, pero todas las clases de números pertenecen a una sola la clase de los números reales, los números reales se definen como la unión de los conjuntos y .

Diagrama de los números reales:GLOSARIO

El símbolo significa que un elemento no pertenece a un conjunto.

El símbolo representa la unión entre conjuntos.

El símbolo significa sub-conjunto propio.

TIC Investiga en internet, si existen otras clases de números, y ¿cuál es el conjunto de Cantor?.

Competencias a desarrollar: 3.3, 4.1, 4.5, 5.1, 5.2, 5.6, 6.1, 7.1, 8.1, 8.2 y 8.3.Realiza los siguientes ejercicios de forma individual. Después compara tus resultados con el resto del grupo.

Actividad 3

1. Califica si es falso o verdadero cada expresión. Justifica tu respuesta.

a)

b)

c)

d)

Se cree que el símbolo para el cero por primera vez lo inventó un hindú, el cual se llamó sunya. Los árabes lo llamaron sifr. Pero Ptolomeo de Alejandría comenzó a utilizar el o (ómicron) que significa nada en griego.

Empatía

Comunicación

31

Álgebra I

2. Escribe el número que corresponde a cada pregunta y clasifícalo (naturales, enteros, racionales e irracionales).

a) Número de alumnos del grupo es __________ __________

b) El promedio que obtuviste de secundaria fue de __________ __________

c) Tu estatura en metros es __________ __________

d) El precio de la gasolina por litro es __________ __________

e) Si el área de un cuadrado es 2 unidades cuadradas, la longitud de cada lado corresponderá a un valor de __________ __________. Toma en cuenta que la fórmula del área de un cuadrado es lado al cuadrado.

3. Considera el siguiente conjunto:

Escribe los elementos de los conjuntos que son:

a) Naturales

b) Enteros

c) Irracionales

d) Racionales

4. Redacta una situación práctica en la que distingas cada uno de los subconjuntos de los números reales.

a)

b)

c)

d)

5. Encuentra la fracción que representa los números racionales.

a)

b)

c)

d)

6. Con tus propias palabras define:

a) Número entero:

32

Álgebra I

b) Número racional:

c) Número irracional:

7. Elabora un mapa conceptual sobre el conjunto de los números reales.

Autoevaluación

Indicador


Nivel

Bajo

Medio

Alto

Muy alto



33

Álgebra I

1.3 Postulados de campo de los números reales

Competencias específicas• Reconoce e identifica las propiedades

de los números reales.

• Utiliza las propiedades de los números reales para realizar operaciones aritméticas.

EL CAMPO DE LOS NÚMEROS REALES

En los números reales están definidas las operaciones de suma, resta, multiplica-ción y división. Pero en realidad podemos considerar dos como las operaciones fundamentales: la adición, la cual incluye a la suma y a la resta, y el producto, que involucra a la multiplicación y división que ya conoces.

Estas dos operaciones tienen propiedades importantes que seguramente ya las has utilizado. Estas propiedades son la base para el Álgebra. Analizaremos estas propiedades a continuación.

3

-2.5

5

7

0.3

32

5

34

Álgebra I

Nombre de la propiedad

Propiedades de la adición Ejemplo En Español

Propiedad de cerradura para

la adición

Propiedad conmutativa

para la adición

Propiedad Asociativa para

la adición

Existencia del neutro aditivo

Existencia del inverso aditivo

Si ; entonces

Y este

resultado es único.

Si ; entonces

Sean , y ;

entonces y

Sea ; entonces,

Si ; entonces existe

, tal que

Sean y ; entonces . Y además, es único.

Sean y ; entonces

Sean , y ; entonces

Existe un número real único denotado por el , tal que para todo

se tiene que

Para todo número , existe un número que de-notaremos por , el cual llamamos el inverso aditivo tal que

Si sumamos dos números reales la suma vuelve a dar un número real único.

Si sumamos dos números, el orden de cómo los sumemos no altera el resultado de la suma.

Si asociamos los sumandos de una suma en varias formas el resultado no se altera.

Existe un número que llamamos el cero tal que si se suma con cualquier número real, este número no se altera. Además no hay otro número que cumpla con esta propiedad más que el cero.

Para todo número real , existe otro número

real llamado el inverso aditivo, que tiene la propiedad de que al sumarlo con ese número da por resultado el neutro aditivo; es decir, el número cero.

35

Álgebra I


Propiedades de la multiplicación Ejemplo En Español

Propiedad de cerradura para

el producto


para el producto

Propiedad asociativa para

el producto

Existencia del neutro

multiplicativo

Existencia del inverso

multiplicativo

Si ; entonces

. Y el

resultado es único.

Si ; entonces

Sean , y ; entonces

y

Sea ;entonces

Si ; entonces

existe , tal que

Sean y ; entonces . Y además, es único.

Sean y ; entonces

Sean , y ; entonces

Existe un número real único denotado por el , tal que para todo

se tiene que

Para todo número con existe un número que denotare-

mos por , el cual

llamamos el inverso multiplicativo tal que

Si multiplicamos dos números reales el producto vuelve a dar un número real único.

Si multiplicamos dos números, el orden de cómo los multipliquemos no altera el producto.

Si asociamos factores de un producto de varias formas el resultado no se altera.

Existe un número que llamamos el uno tal que si se multiplica con cualquier número real, este número no se altera. Además no hay otro número que cumpla con esta propiedad más que el uno.

Para todo número real distinto de cero, existe otro número real

llamado el inverso

aditivo, que tiene la propiedad de que al multiplicarlos nos da por resultado el neutro multiplicativo; es decir, el uno.

36

Álgebra I

Existe otra propiedad que relaciona a las dos operaciones fundamentales:


Propiedad de suma y multiplicación Ejemplo

Propiedad distributiva

Sean , y ; entonces

Sean , y ; entonces

y

TIC Investiga en internet si existe algún otro conjunto de números que forman un campo.

Cualquier conjunto que cumpla con las 11 propiedades anteriores, se dice que el conjunto forma un campo. De manera que los números forman un campo.

Competencias a desarrollar: 3.3, 4.1, 4.5, 5.1, 5.2, 5.6, 6.1, 8.1, 8.2 y 8.3.Realiza los siguientes ejercicios de forma individual. Y para finalizar con ayuda de tu maestro comenten los resultados con el resto del grupo.

Actividad 4

1. Relaciona ambas columnas.

a)

b)

c)

d)

2. Menciona la propiedad que se está utilizando y completa lo que falta.

e) Propiedad:

f) Propiedad:

3. Menciona si los números enteros impares (positivos y negativos, incluyendo al cero) forman un campo. Justifica tu respuesta.

( ) Propiedad distributiva

( ) Es un campo

( ) Propiedad asociativa del producto

( ) Propiedad de cerradura del producto

Comunicación

37

Álgebra I

4. Distingue qué propiedad está asociada en las siguientes expresiones y aplica dicha propiedad.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

5. Define con tus propias palabras las siguientes propiedades de los números reales y escribe un ejemplo en cada una.

a) Propiedad conmutativa de la suma:

b) Propiedad asociativa de la multiplicación:

c) Propiedad distributiva:

d) Propiedad de cerradura de la multiplicación:

Autoevaluación

Indicador


Nivel

Bajo

Medio

Alto

Muy alto



38

Álgebra I

1.4 Terminología algebraica

Competencias específicas• Identifica una expresión algebraica.

Identifica y clasifica los polinomios.

• Reconoce la importancia de las propiedades de los números reales, para la suma y resta de polinomios.

• Realiza operaciones de suma y resta de polinomios.

Expresión algebraica

Una expresión algebraica es aquélla en la cual uno o más números o literales (símbolos o letras que representan números) son combinados por medio de una suma, resta, multiplicación y división.

Ejemplos de expresiones algebraicas:

a)

b)

c)

Un monomio es la expresión algebraica más simple que sólo contiene un producto de un número real por una o más literales (letras) que tienen exponentes positivos.

Un polinomio es una suma finita de monomios. En particular, una suma de dos mo-nomios se le conoce como binomio, una suma de tres monomios recibe el nombre de trinomio; es decir, los monomios, binomios y trinomios son casos particulares de polinomios.

Monomios

Binomios

Trinomios

Polinomios

Se cree que la palabra álgebra se derivó de un libro escrito por Mohammed ibn Musa al-Khowarizmi llamado Hisak al-jabr w’almuqabala.

39

Álgebra I

En una expresión algebraica cada monomio junto con su signo recibe el nombre de término de la expresión.

Grado de un polinomio

Los polinomios se clasifican de acuerdo con su grado.

Si el polinomio tiene una sola variable, el grado del polinomio es el exponente más grande de cualquiera de sus monomios (términos) que lo forman.

Ejemplo: el grado del polinomio , es , ya que es el exponente más grande.

El grado de una constante distinta del cero, tendría grado cero. Si el polinomio es la constante cero, se dice que este polinomio no tiene grado.

Si el polinomio tiene varias variables, el grado del polinomio puede ser respecto a una de las variables o referente al producto de sus variables. El grado del polino-mio referente al producto de varias variables queda establecido como la mayor suma de exponentes de sus monomios (términos) que contengan alguna o todas las variables.

Ejemplo: Sea el polinomio de varias variables.

a) ¿Cuál es el grado del polinomio en las variables ?

Como lo queremos en las tres variables, sumemos en cada termino los expo-nentes de .

Término Grado

Como el más grande es 9, el grado es 9.

b) ¿Cuál es el grado del polinomio en las variables ?

Término Grado

Como el más grande es 5, el grado es 5.

40

Álgebra I

c) ¿Cuál es el grado del polinomio en las variables ?

Término Grado

Como el más grande es 9, su grado es 9.

d) ¿Cuál es el grado del polinomio en las variables ?

Término Grado

Como el más grande es 3, su grado es 3.

Antes de ver la suma entre polinomios, necesitamos un concepto muy importante que es el de términos semejantes.

Empezaremos con definir coeficiente numérico, el coeficiente numérico de un monomio (un término) es simplemente el número que está multiplicando a las variables (letras o símbolos).

Ejemplos:

Monomio Coeficiente numérico

Ahora sí estamos listos para definir los términos semejantes. Dos términos se di-cen que son semejantes si tienen las mismas variables (símbolos o letras) con sus mismos exponentes. Es decir, los términos sólo pueden ser distintos en sus coefi-cientes numéricos.

41

Álgebra I

Términos semejantes Términos no semejantes

y y (ya que, aunque tienen las mismas

literales, los exponentes de la literal no son iguales).

y (ya que no coinciden en sus variables).

y (ya que no coinciden en sus variables).

y

y

Competencias a desarrollar: 3.3, 4.1, 4.5, 5.1, 5.2, 5.6, 6.1, 8.1, 8.2 y 8.3.Junto con otro compañero, realicen los siguientes ejercicios. Después con ayuda de su maestro discutan las respuestas con el resto del grupo.

Actividad 5

1. De la siguiente tabla completa lo que se te pide.

Expresión algebraica Número de términos Grado en Grado en

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Diálogo

Empatía

42

Álgebra I

2. Completa la siguiente tabla y contesta las preguntas.

a)

Monomio

Coeficiente numérico

a) c) b) d)

b) De los monomios anteriores, ¿existen términos semejantes?

c) ¿Cuáles son?

3. Escribe un polinomio de una variable que tenga grado cinco y todos sus coefi-cientes numéricos de cada término sean números enteros.

4. Explica con tus propias palabras los siguientes conceptos y da un ejemplo.

a) Expresión algebraica:

b) Término semejante:

c) Coeficiente numérico:

d) Trinomio:

5. En las siguientes figuras se tiene la expresión del área de las mismas. Identifica el coeficiente numérico de las mismas:

a)

b)

43

Álgebra I

c)

6. Un derrame de petróleo en el Golfo de México se desplaza de acuerdo con la siguiente expresión: ( es el tiempo en días).

a) ¿Cuántos términos tiene la expresión?

b) ¿Qué tipo de expresión es?

c) ¿Cuál es el grado de la expresión?

d) Los coeficientes de cada término son:

Autoevaluación

Indicador


Nivel

Bajo

Medio

Alto

Muy alto



44

Álgebra I

1.5 Suma y resta algebraica

Competencias específicas• Reconoce la importancia de los las

propiedades de los números reales, para la suma y resta de polinomios.

• Realiza operaciones de suma y resta de polinomios.

Para sumar polinomios se utilizan la propiedad distributiva y la propiedad con-mutativa para la adición de los números reales. La propiedad conmutativa nos permite agrupar los términos semejantes y la propiedad distributiva nos permite sumarlos. Es decir, sólo se pueden sumar términos semejantes.

Ejemplo: Realiza las siguientes operaciones de polinomios.

a)

b)

c)

Recuerda

a) Propiedad distributiva:

b) Propiedad conmutativa:

Resta de polinomios

Para restar polinomios, lo único que tienes que recordar es que al polinomio que vamos a restar se le cambia de signo; es decir, a todos sus términos que lo forman se les debe cambiar el signo, después se hace de manera similar que una suma.

Ejemplo: Realiza las siguientes operaciones.

a)

Johann Widman, alrededor de 1489, publicó la aritmética comercial Rechenung auff allen Kauffmanschafft, el cual es el trabajo más antiguo en el que aparecen los signos + y -, utilizados al principio para indicar excesos y deficiencias.

45

Álgebra I

Observa que

Para sumar o restar polinomios basta que agrupes los términos semejantes y realices las sumas o restas (según el caso) entre ellos.

Observa el inciso a) y b) de la resta de polinomios.

b)

TIC Para practicar en forma individual.http://ponce.inter.edu/cremc/ejleccion1.htm

Competencias a desarrollar: 2.1, 3.3, 4.1, 4.5, 5.1, 5.2, 5.6, 6.1, 8.1, 8.2 y 8.3.Realiza los siguientes ejercicios de forma individual. Después compara y discute tus resultados con otro compañero. Y para finalizar con la ayuda de tu maestro discutan las respuestas con el resto del grupo.

Actividad 6

1. Realiza las siguientes sumas o restas de polinomios:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

Confianza

46

Álgebra I

i)

j)

k)

2. Determina una expresión polinomial para calcular el perímetro de las siguientes figuras.

a) Rectángulo

b) Hexágono regular

3. Efectúa las operaciones indicadas.

a) De , restar

b) Restar de

4. Efectúa las operaciones siguientes.

a) +

b) _

Perímetro:

Perímetro:

47

Álgebra I

5. Completa la siguiente tabla:

6. Completa la siguiente tabla:

Autoevaluación

Indicador


Nivel

Bajo

Medio

Alto

Muy alto



48

Álgebra I

1.6 Leyes de los exponentes

Competencias específicas• Identifica y reconoce una expresión

algebraica con exponentes enteros.

• Diferencia las leyes de los exponentes enteros.

• Utiliza las leyes de los exponentes enteros para simplificar expresiones algebraicas.

Para poder multiplicar polinomios requerimos de las leyes de los exponentes.

Primero recordemos el significado de potencia de un número; es decir, de , con .

y , donde

, de modo que

A la letra se le conoce como base y a la como su exponente.

Ejemplos:

a)

b)

c)

d)

Ahora, veamos la definición de , con y .

Ejemplos:

a)

b)

c)

49

Álgebra I

d)

Las siguientes leyes se obtienen fácilmente de la definición. Son válidas para todo y .

Ley Observación Ejemplo

1.

2.

3.

4.

Observa que es una multiplicación de potencias de la misma base. En este caso los exponentes se suman.

Observa que es una división de potencias que tienen la misma base. En este caso los exponentes se restan. El exponente del número de arriba (numerador) se le resta el exponente del número de abajo (denominador).

Observa que es un exponente elevado a otro exponente. En este caso los exponentes se multiplican.

Observa que es una potencia de una multiplicación.

a)

b)

c)

d)

a)

b)

c)

a)

b)

c)

a)

b)

c)

50

Álgebra I

5. , con Observa que es una potencia de una división.

a)

b)

Ejemplos: Transforma a exponentes positivos y simplifica.

a)

Por la ley 5.

Por definición de

TIC Observa el siguiente videohttp://www.youtube.com/watch?v=-8CEhrkH5aUmayo 2011.Investiga en internet qué leyes son verdaderas si el exponente fuera un número racional en lugar de un número entero.

b)


Propiedad asociativa

Por la ley 1.

Por definición

51

Álgebra I

c) Observa que

El inciso c) se puede resolver de varias formas. Se pudo haber elevado primero la potencia y al final haber realizado la división.

Competencias a desarrollar: 3.3, 4.1, 4.5, 5.1, 5.2, 5.6, 6.1, 8.1, 8.2 y 8.3.Con ayuda de tu maestro formen equipos de tres personas, resuelvan los siguientes ejercicios. Posteriormente discutan los ejercicios con el resto del grupo.

Actividad 7

1. Encuentra el valor de la expresión en cada uno de los incisos. Expresa el resul-tado sin exponentes.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

2. Resuelve las operaciones, simplifica y expresa el resultado sin exponentes ne-gativos.

a)

Solidaridad

52

Álgebra I

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

53

Álgebra I

3. Escribe falso o verdadero, para todos números reales y .

a)

b) , con

c) , con

d)

Autoevaluación

Indicador


Nivel

Bajo

Medio

Alto

Muy alto



algebra

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