algebra

1.1.- Definición de AlgebraEl álgebra es una rama de las matemáticas que emplea números, letras y signos para generalizar las distintas operaciones aritméticas. El término proviene del latín algebra que, a su vez, deriva de un vocablo árabe que significación “reducción” o “cotejo”.

Este origen etimológico permitió que, en la antigüedad, se conozca como álgebra al arte encargado de reducir los huesos dislocados o quebrados. Este significado, de todas maneras, ha caído en desuso.

Hoy entendemos como álgebra a la rama de las matemáticas que estudia las estructuras, las relaciones y las cantidades. El álgebra elemental es aquel que se encarga de operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación, división) pero que, a diferencia de la aritmética, utiliza símbolos (a, x, y) en lugar de números (1, 2, 9). Esto permite formular leyes generales y hacer referencia a números desconocidos (incógnitas), lo que posibilita el desarrollo de ecuaciones y el análisis correspondiente a su resolución.

El álgebra elemental postula distintas leyes que permiten conocer las propiedades de las operaciones aritméticas. Por ejemplo, la adición (a+b) es conmutativa (a+b=b+a), asociativa, tiene una operación inversa (la sustracción) y posee un elemento neutro (0).

Algunas de esas propiedades son compartidas por distintas operaciones (la multiplicación, por ejemplo, también es conmutativa y asociativa).

Se conoce como Teorema Fundamental del Álgebra a aquel que establece que un polinomio, en una variable no constante con coeficientes complejos, tiene tantas raíces como su grado, ya que las raíces se cuentan con sus multiplicidades. Esto supone que el cuerpo de los números complejos es cerrado para las operaciones del álgebra.

1.2.- Antecedentes históricos del algebra

Desde el siglo XVII aC. los matemáticos de Mesopotamia y de Babilonia donde fueron capaces de resolver ecuaciones lineales (ax = b) y cuadráticas (ax2 + bx = c), así como ecuaciones indeterminadas como x2 + y2 = z2, con varias incógnitas. Los antiguos babilonios resolvían cualquier ecuación cuadrática empleando esencialmente los mismos métodos que hoy se enseñan.

En el siglo XVI aC. los egipcios desarrollaron un álgebra muy elemental que usaron para resolver problemas cotidianos que tenían que ver con la repartición de víveres, de cosechas y de materiales. Ya para entonces tenían un método para resolver ecuaciones de primer grado que se llamaba el "método de la falsa posición". No tenían notación simbólica pero utilizaron el jeroglífico hau (que quiere decir montón o pila) para designar la incógnita.

Alrededor del siglo I dC. los matemáticos chinos escribieron el libro Jiu zhang suan shu ( que significa El Arte del cálculo), en el que plantearon diversos métodos para resolver ecuaciones de primero y segundo grado, así como sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Con su ábaco (suan zí) tenían la posibilidad de representar números positivos y negativos.

En el siglo II, el matemático griego Nicómaco de Gerasa publicó su Introducción a la Aritmética y en ella expuso varias reglas para el buen uso de los números.

En el siglo III el matemático griego Diofanto de Alejandría publicó su Aritmética en la cual, por primera vez en la historia de las matemáticas griegas, se trataron de una forma rigurosa no sólo las ecuaciones de primer grado, sino también las de segundo. Introdujo un simbolismo algebraico muy elemental al designar la incógnita con un signo que es la primera sílaba de la palabra griega arithmos, que significa número. Los problemas de álgebra que propuso prepararon el terreno de lo que siglos más tarde sería "la teoría de ecuaciones". A pesar de lo rudimentario de su notación simbólica y de lo poco elegantes que eran los métodos que usaba, se le puede considerar como uno de los precursores del álgebra moderna.

En el siglo VII los hindúes habían desarrollado ya las reglas algebraicas fundamentales para manejar números positivos y negativos.

Siglo VIII. Época en la que trabajó el matemático y astrónomo musulmán Al-Jwarizmi (vivó del año 780 al 835), cuyas obras fueron fundamentales para el conocimiento y el desarrollo del álgebra. Al - Jwarizmi investigó y escribió acerca de los números, de los métodos de cálculo y de los procedimientos algebraicos para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Su nombre latinizado dio origen a la palabra algoritmo que, usada primero para referirse a los métodos de cálculos numéricos en oposición a los métodos de cálculo con ábaco, adquirió finalmente su sentido actual de "procedimiento sistemático de cálculo". En cuanto a la palabra álgebra, deriva del título de su obra más importante, que presenta las reglas fundamentales del álgebra, Al-jabr wal muqabala.

En el siglo X vivió el gran algebrista musulmán Abu Kamil, quien continuó los trabajos de Al-Jwarizmi y cuyos avances en el álgebra serían aprovechados en el siglo XIII por el matemático italiano Fibonacci. Durante este mismo siglo, el matemático musulmán Abul Wafa al Bujzani, hizo comentarios sobre los trabajos de Diofanto y Al-Jwarizmi y gracias a ellos, los europeos conocieron la Arithmetica de Diofanto.

1202. Después de viajar al norte de África y a Oriente, donde aprendió el manejo del sistema de numeración indoarábigo, Leonardo de Pisa, mejor conocido como Fibonacci, publicó el Liber Abaci (Tratado del Ábaco) obra que en los siguientes tres siglos fue la fuente principal para todos aquellos estudiosos de la aritmética y el álgebra.

En el siglo XV, el matemático francés Nicolás Chuquet introdujo en Europa occidental el uso de los números negativos, introdujo además una notación exponencial muy parecida a la que usamos hoy en día, en la cual se utilizan indistintamente exponentes positivos o negativos.

En 1489 el matemático alemán Johann Widmann d´Eger inventó los símbolos "+" y "-" para sustituir las letras "p" y "m" que a su vez eran las iniciales de las palabras piu (más) y minus (menos) que se utilizaban para expresar la suma y la resta.

En 1525, el matemático alemán Christoph Rudolff introdujo el símbolo de la raíz cuadrada que usamos hoy en día: Este símbolo era una forma estilizada de la letra "r" de radical o raíz.

Entre 1545 y 1560, los matemáticos italianos Girolamo Cardano y Rafael Bombelli se dieron cuenta de que el uso de los números imaginarios era indispensable para poder resolver todas las ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grado.

En 1557 el matemático inglés Robert Recorde inventó el símbolo de la igualdad, =.

En 1591 el matemático francés François Viéte desarrolló una notación algebraica muy cómoda, representaba las incógnitas con vocales y las constantes con consonantes.

En 1637 el matemático francés René Descartes fusionó la geometría y el álgebra inventando la "geometría analítica". Inventó la notación algebraica moderna, en la cual las constantes están representadas por las primeras letras del alfabeto, a, b, c, … y las variables o incógnitas por las últimas, x, y, z. Introdujo también la notación exponencial que usamos hoy en día.

1.3.- Lenguaje común y lenguaje algebraico.

El lenguaje común es el que comúnmente utilizamos a través de un denominado código o lenguaje, por lo que a partir de este podemos relacionarnos mutuamente, ya que lo ocupamos en la vida diaria

En lenguaje álgebraico nace en la civilización musulmán en el período de Al–khwarizmi, al cual se le considera el padre del álgebra. el lenguaje álgebraico consta principalmente de las letras de alfabeto y algunos vocablos griegos. La principal función de lenguaje álgebraico es estructurar un idioma que ayude a generalizar las diferentes operaciones que se desarrollan dentro de la aritmética, por ejemplo: si queremos sumar dos números cualesquiera basta con decir a + b; donde la letra a indique que es un número cualquiera de la numeración que conocemos, b de la misma manera que a significa un número cualquiera de la numeración.

También el lenguaje álgebraico ayuda mantener relaciones generales para razonamiento de problemas a los que se puede enfrentar cualquier ser humano en la vida cotidiana.

Para poder manejar el lenguaje álgebraico es necesario comprender lo siguiente:

Se usan todas las letras del alfabeto. Las primeras letras del alfabeto se determinan por regla general como constantes, es decir, cualquier número o constante como el vocablo pi. Por lo regular las letras X., Y y Z se utilizan como las incógnitas o variables de la función o expresión algebráica.

Términos para identificar las operaciones en lenguaje algebraico

Suma.- Adición, aumentar, sumar, añadir, exceder, más, agregar.

Resta.- Sustraer, diferencia, menos, disminuir, menos que, menos, de, quitar, reducir.

Multiplicación.- Producto, por, multiplicado por, tantas veces, el producto de, incrementar, los vocablos: doble, triple, cuádruplo, etc.

División.- Cociente, entre, dividido por, razón de, fracción, porción, parte, reparto, mitad, tercio, cuarto, etc.

Otros terminos: Semi (Indica la mitad de algo).Al cuadrado o el cuadrado de (Elevado a la 2).Al cubo o el cubo(Elevado a la 3).Igual o Equivalente (Igualdad). Consecutivos o Sucesor (Siguiente). Antecesor (Antes de). Simétrico(Inverso Aditivo). Recíproco (Inverso Multiplicativo.)

Ejemplo:

El doble de un número excedido en cinco. 2a+5Doble: Indica que vamos a multiplicar por 2Excedido: Significa sumar

a Un número cualquiera

b Un número cualquiera

a+b La suma de dos numeros o la adición de dos números

a-b+cLa suma de dos números cualesquiera menos otro número cualquiera

a-b La resta de dos números o la diferencia de dos números

a.b El producto de dos números

ab El producto de dos números

a/b El cociente de dos números

2a El doble de un número

3(a+b) El triple de la adición de dos números

La mitad de un número

La tercera parte de la diferencia de dos números

La tercera parte de la suma de dos números

a2 El cuadrado de un número

a3 El cubo de un número

Raíz cuadrada de un número

2b+5d El duplo de b mas el quintuplo de d.

El triple de m menos la tercera parte de m.

20+2a 20 aumentado en el doble de a.

El quintuplo de la suma de e más f dividido entre 10.

El reciproco de un número.

El reciproco de la suma de dos números.

2.0. - Notación Algebraica El La notación algebraica es el uso de letras y números para representar una cantidad de modo mas general posible.

Los símbolos que se emplean en álgebra para representar cantidades pueden se de dos tipos: números y letras. Donde, los números se emplean para representar cantidades conocidas y perfectamente determinadas.

Las letras se utilizan para representar todo tipo de cantidades tanto conocidas como desconocidas. En general, las cantidades conocidas se representan utilizando las primeras letras del alfabeto: a, b, c, d…, mientras que las cantidades desconocidas se representan utilizando las últimas letras del alfabeto: x, y, z…

Una misma letra puede representar distintos valores diferenciándolos por medio de comillas; por ejemplo a’, a’’, a’’’ que se leen a prima, a segunda, a tercera, o también por medio de subíndices: a1, a2, a3, que se leen a subuno, a subdos, a subtres.

Consecuencia de la generalización que implica la representación de las cantidades por medio de letras son las fórmulas algebraicas. Una fórmula algebraica es la representación, por medio de letras, de una regla o de un principio general.

En el tablero de ajedez podemos observar un ejemplo de notación algebraica.

Signos del álgebra

Los símbolos empleados en algebra son de tres clases: signos de operación, signos de relación y signos de agrupación.

Signos de agrupación

( ) paréntesis

[ ] Corchetes

{ } llaves

Estos signos se emplean para indicar que cantidades contenidas en ellas se consideran como una sola cantidad. Tambien indican que las oporaciones que estan dentro de ellas deben efectuarse primero.

Jerarquia de las operaciones

Las operaciones se tienen que resolver en el siguiente orden. Operaciónes dentro de signos de agrupación en el siguiente orden: Paréntesis(), corchetes[] y llaves {}.

Evaluar todos los exponenetes.

Primero resuelve las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha.

y despues resuelve las suma y las restas de izquierda a derecha

Signos de relación

< menor que

> menor que

= es igual a

es diferente de

mayor o igual a

manor o igual a

Signos de operación

+ mas

- menos

por

entre

raíz de

2.2.- Concepto de expresión algebraica.

Una expresión algebraica es una combinación de letras, números y signos de operaciones. Las letras suelen representar cantidades desconocidas y se denominan variables o incógnitas. Las expresiones algebraicas nos permiten traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje habitual.

Ejemplos:

x + y

2a2 + y

2.3.- Concepto de término y sus elementos.

Los Términos Algebraicos son expresiones algebraicas que constan de un solo símbolo, no separados entre si por el signo (+) o (-)

Ejemplos de términos Algebraicos:

4x

- 5xy

2x2y

- x3y2x

Los elementos de un término algebraico son:

- 3x2 Donde:El simbolo es [ - ]Coeficiente [ 3 ]Literal [ x ]Exponente [2 ]

El Signo.Los t&éacute;rminos que están precedidos de un signo + se llaman términos positivos, en tanto los términos que están precedidos del signo – se llaman términos negativos. Pero, el signo + se acostumbra omitir delante de los términos positivos; así pues,

cuando un término no va precedido de ningún signo se sobreentiende de que es positivo.

El Coeficiente.Se llama coeficiente al número que se le coloca delante de una cantidad para multiplicarla. El coeficiente indica el número de veces que dicha cantidad debe tomarse como sumando. En el caso de que una cantidad o literal no vaya precedida de un coeficiente numérico se sobreentiende que el coeficiente es la unidad.

La Parte literal.La parte literal está formada por las letras que haya en el término.

El Grado.El grado de un término con respecto a una letra es el exponente de dicha letra. Así, por ejemplo el término x3y2z, es de tercer grado con respecto a x, de segundo grado con respecto a y y de primer grado con respecto a z.

** Grado absoluto es el que resulta de sumar todos los exponenetes de las letras del término algebraico.

Ejemplo:

3x2y

La suma de exponentes: 2 + 1 = 3, grado absoluto: tercer grado.

Nota: si la letra del termino algebraico no tiene exponente, se entiende que es la unidad.

** Grado con relación a una letra o reltivo.- Es el valor del exponente de cada letra.

Ejemplo:

3x2y

Exponente de 3x2: de segundo grado Exponente de y : de primer grado

2.4.- Clasificación de términos.

Clasificación de los términos por sus caracteristicas:

Término entero: es que no tiene denominador literal

Ejemplos:

-4a

Término Fraccionario: es el que si tiene denominador literal

Ejemplos:

Término Racional: es el que no tiene signo radical

Ejemplos:

-3a

Término Irracional: es el que si tiene signo radical

Ejemplos:

Clasificación de los términos por su grado absoluto:

Términos homogeneos: Es un conjunto de términos algebraicos con igual valor absoluto.

Ejemplos:

a2b2 6sxyz

Son términos de cuarto grado absoluto.

Términos heterogeneos: Es un conjunto de términos algebraicos con diferente valor absoluto.

Ejemplos:

a3b2 6sxyz

Son términos de distinto grado.

Clasificación de los términos por sus elementos:

Términos semejantes: Son aquellos términos que tienen las mismas variables y éstas tienen los mismos exponentes, sin importar cuál es su coeficiente.

Ejemplos:

-7a3b2 a3b2

Términos iguales: Son aquellos términos que tienen igual el signo, coeficiente, literal y exponente.

Ejemplos:

Término simetrico: Son aquellos t&íacute;rminos que tienen el mismo coeficiente, literal y exponente, pero no tienen el mismo signo.

Ejemplos:

-2a3b2 2a3b2

2.5.- Clasificación de las expresiones algebraicas.

MONOMIOS: son todas aquellas expresiones algebraicas que posee un solo término algebraico.

Ejemplos:

xy -5abc

BINOMIOS: son todas aquellas expresiones algebraicas que que estan formadas por dos terminos algebraicos, separados por el signo positivo o negativo.

Ejemplos:

x-y -5a+bc

TRINOMIOS: son todas aquellas expresiones algebraicas que que estan formadas por tres términos algebraicos, separados por el signo positivo o negativo.

Ejemplos:

x+y-z -5a+2bc-3d

POLINOMIOS: Se les denomina de manera general a todas aquellas expresiones algebraicas que que estan formadas por dos o más términos algebraicos, separados por el signo positivo o negativo.

Ejemplos:

a-x+y-z -5a+3bc

Leyes de los signos LEY DE LOS SIGNOS PARA LA MULTIPLICACIÓN

Cuando se multiplican dos números con el mismo signo, el resultado es positivo.

Cuando se multiplican dos números con diferente signo , el resultado es negativo.

(+) (+) = + (-) (-) = + (+) (-) = -(-) (+) = -

Ejemplos:

( +4 ) ( +2 ) = +8

( -3 ) ( -2 ) = +6

( +5 ) ( -3 ) = -15

( -2 ) ( +6 ) = -12

LEY DE LOS SIGNOS PARA LA DIVISIÓN

Cuando se dividen dos números con el mismo signo, el resultado es positivo.

Cuando se dividen o dos números con diferente signo , el resultado es negativo.

+ ÷ + = + - ÷ - = + - ÷ + = - + ÷ - = -

Ejemplos:

+8 ÷ +2 = +4

-8 ÷ -2 = +4

-8 ÷ +2 = -4

+8 ÷ -2 = -4

LEY DE LOS SIGNOS PARA LA SUMA

Si los signos son iguales se suman y se repite el sisgno

Si los signos son opuestos se debe restar y escribir el signo del mayor

( + ) + ( + ) = +( - ) + ( - ) = -

( - ) + ( + ) = segun sea el valor del mayor

( + ) + ( - ) = segun sea el valor del mayor

Ejemplos:

( +3 ) + ( +4 ) =

+3 + 4 = +7

( -3 ) + ( -5 ) =

-3 - 5 = -8

( -6 ) + ( +20 ) =

-6 + 20 = +14

( +20 ) + ( -4 ) =

+20 - 4 = +16

LEY DE LOS SIGNOS PARA LA RESTA

Es igual que la suma solo se cambia el signo del segundo número (sustraendo).

( + ) - ( + ) = +( - ) - ( - ) = -

( - ) - ( + ) = segun sea el valor del mayor

( + ) - ( - ) = segun sea el valor del mayor

Ejemplos:

( +4 ) - ( +2 ) =

+4 - 2 = +2

( -4 ) - ( -2 ) =

-4 + 2 = -2

( +4 ) - ( -2 ) =

+4 + 2 = +6

( -4 ) - ( +2 ) =

-4 - 2 = -6

Reducción de términos semejantes En una expresión algebraica se llaman términos semejantes a todos aquellos términos que tienen igual factor literal, es decir, a aquellos términos que tienen iguales letras (símbolos literales) e iguales exponentes.

Por ejemplo:

6 a2b3 es término semejante con –2 a2b3 porque ambos tienen el mismo factor literal (a2b3)

1/3 x5yz es término semejante con x5yz porque ambos tienen el mismo factor literal (x5yz)

0,3 a2c no es término semejante con 4 ac2 porque los exponentes no son iguales, están al revés.

Reducir términos semejantes significa sumar o restar los coeficientes numéricos en una expresión algebraica, que tengan el mismo factor literal.

Para desarrollar un ejercicio de este tipo, se suman o restan los coeficientes numéricos y se conserva el factor literal.

Recordando cómo se suman los números enteros:

Las reglas de suma se aplican únicamente a dos casos: números de igual signo y números con signo distinto.

Las reglas a memorizar son las siguientes:

a) Números de igual signo: Cuando dos números tienen igual signo se debe sumar y conservar el signo.

Ej : -3 + -8 = - 11 ( sumo y conservo el signo)

12 + 25 = 37 ( sumo y conservo el signo)

Ej : -7 + 12 = 5 (tener 12 es lo mismo que tener +12, por lo tanto, los números son de distinto signo y se deben restar: 12 - 7 = 5

b) Números con distinto signo: Cuando dos números tienen distinto signo se debe restar y conservar el signo del número que tiene mayor valor absoluto

5 + -51 = - 46 ( es negativo porque el 51 tiene mayor valor absoluto)

-14 + 34 = 20

Recordando cómo se resta:

Para restar dos números o más, es necesario realizar dos cambios de signo porque de esta manera la resta se transforma en suma y se aplican las reglas mencionadas anteriormente.

Son dos los cambios de signo que deben hacerse:

a) Cambiar el signo de la resta en suma

b) Cambiar el signo del número que está a la derecha del signo de operación por su signo contrario

Ej: -3 - 10 = -3 + - 10 = -13 ( signos iguales se suma y conserva el signo)

19 - 16 = 19 + + 16 = 19 + 16 = 35

Ejemplo 1:

xy3 – 3 x2y + 5 xy3 – 12 x2y + 6 Hay dos tipos de factores literales: xy3 y x2y

Hay también una constante numérica: 6

Para resolver este ejercicio se suman los coeficientes numéricos de xy3 con 5xy3 y –3 x2y con –12 x2y.

Hay que tener presente que cuando una expresión no tiene un coeficiente, es decir, un número significa que es 1 (x3y = 1 xy3).

xy3 – 3 x2y + 5 xy3 – 12 x2y + 6 = 6 xy3 + –15 x2y + 6

1 + 5 = 6

–3 – 12 = – 15

Ejemplo 2:

3ab – 5abc + 8ab + 6abc –10 + 14ab – 20 = 25ab + 1abc – 30

Operaciones:

3 + 8 +14 = 25 ab

– 5 + 6 = + 1 abc

– 10 – 20 = – 30

3.1.a) .- Suma algebraica "La suma algebraica es la operación binaria que tiene por objetivo el reunir dos o mas sumandos (expresiones algebraicas), en una sola expresión llamada SUMA o ADICIÓN." (Dr. A. Baldor)

La suma de monomios y polinomios es asunto de combinar términos semejantes.

El algoritmo de la suma, cualquiera que sea la forma en que se plantea el problema, requiere de los siguientes pasos:

* Escribir el primer sumando.* Escribir los siguientes sumandos debajo del primero, alinéandolos en columnas, según sean términos semejantes.* Se realiza la suma de los términos de cada columna, obteniendo cada uno de los términos de la adición esperada:

SUMA DE MONOMIOS

Ejemplo:

SUMA DE POLINOMIOS

Se colocan los polinomios unos debajo de los otros de modo que los términos semejantes queden en columna; se hace la reducción de éstos, separándolos unos de otros con sus propios signos.

Ejemplo:

3.1 b) .-Resta algebraica Se escribe la primera expresión algebraica (minuendo) con su propio signo.

Se escribe la segunda expresión algebraica (suatraendo)con terminos semejantes con los signos cambiados

RESTA DE MONOMIOS

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:

RESTA DE POLINOMIOS

De la misma manera cuando el sustraendo es un polinomio, hay que restar del minuendo cada uno de los términos del sustraendo, así que a continuación del minuendo, escribiremos el sustraendo cambiandole el signos a todos sus términos.

Ejemplo:

De 10x2 - 2xy -3y2 restar 2x2 - 3xy +5y2

Nota: Observa que el suatraendo se escribió con los signos cambiados

Ejemplo:

Para eliminar los paréntesis de una expresión precedida por un signo menos (de resta) debemos cambiar el signo de cada término dentro del paréntesis. Esto es lo mismo que multiplicar cada término dentro de los paréntesis por -1.

Ejemplo:

( 3x2 -2x +1 ) - ( 4x2 +5x +2 )=3x2 -2x +1 -4x2 -5x -2

______________ -x2 -7x -1

RESTA DE POLINOMIOS CON COEFICIENTE FRACCIONARIO

Ejemplo:

Eliminación de Signos de agrupación

Signos de agrupación

( ) paréntesis

[ ] Corchetes

{ } llaves

Estos signos se emplean para indicar que cantidades contenidas en ellas se consideran como una sola cantidad. También indican que las oporaciones que estan dentro de ellas deben efectuarse primero.

Jerarquia de las operaciones

Las operaciones se tienen que resolver en el siguiente orden. Operaciónes dentro de signos de agrupación en el siguiente orden: Paréntesis(), corchetes[] y llaves {}.

Evaluar todos los exponenetes.

Primero resuelve las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha.

y despues resuelve las suma y las restas de izquierda a derecha

Ejemplo:

Nota: Recuerda siempre tomar en cuenta la Ley de los signos

3x- (5y+ [-2x+ (y- 6+x) - (-x+y)])=

3x- (5y+ [-2x+ y -6 +x - (-x+y)])

Quitando el primer paréntesis () que estan dentro del []

3x- (5y+ [-2x+ y - 6 + x + x - y])

Quitando el segundo paréntesis () que estan dentro del []

3x- (5y -2x+ y - 6 + x + x - y) quitando el []

3x - 5y + 2x -y +6 - x - x + y quitando el ()Ahora una reducción de términos semejantes

3x - 5y + 6 Y nos quedó como resultado

Ejemplo :

Nota: Recuerda siempre tomar en cuenta la Ley de los signos

- (3m+n) - [2m+ {-m+ (2m-2n-5) }] - (n+7)=- 3m - n - [2m + {- m + 2m - 2n - 5}] - n -7 quitando el ()

- 3m - n - [2m - m + 2m - 2n - 5] -n - 7 quitando el { }

- 3m - n - 2m + m - 2m + 2n + 5 -n - 7 quitando el [ ]

- 6m - 2 Y nos quedó como resultado

Leyes de los exponentes Los exponentes también se llaman potencias o índices

El exponente de un número dice cuántas veces se multiplica el número.

En este ejemplo: 82 = 8 × 8 = 64

En palabras: 82 se puede leer "8 a la segunda potencia", "8 a la potencia 2" o simplemente "8 al cuadrado"

Todo lo que necesitas saber es...

Son tres bases fundamentales para Todas las "Leyes de los Exponentes" ( "reglas de los exponentes")

* El exponente de un número dice multiplica el número por sí mismo tantas veces

* Lo contrario de multiplicar es dividir, así que un exponente negativo significa dividir

* Un exponente fraccionario como 1/n quiere decir hacer la raíz n-ésima:

EJEMPLOS:

Ley Ejemplox1 = x 61 = 6x0 = 1 70 = 1

x-1 = 1/x 4-1 = 1/4xmxn = xm+n x2x3 = x2+3 = x5

xm/xn = xm-n x4/x2 = x4-2 = x2

(xm)n = xmn (x2)3 = x2×3 = x6

(xy)n = xnyn (xy)3 = x3y3

(x/y)n = xn/yn (x/y)2 = x2 / y2

x-n = 1/xn x-3 = 1/x3

Las tres primeras leyes (x1 = x, x0 = 1 y x-1 = 1/x) son sólo parte de la sucesión natural de exponentes. Mira este ejemplo:

Ejemplo: potencias de 5... etc...

52 1 × 5 × 5 2551 1 × 5 550 1 15-1 1 ÷ 5 0.25-2 1 ÷ 5 ÷ 5 0.04

... etc...

verás que los exponentes positivos, cero y negativos son en realidad parte de un mismo patrón, es decir 5 veces más grande (o pequeño) cuando el exponente crece (o disminuye).

La ley que dice que xmxn = xm+n

En xmxn, ¿cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: primero "m" veces, después otras "n" veces, en total "m+n" veces.

Ejemplo: x2x3 = (xx) × (xxx) = xxxxx = x5

Así que x2x3 = x(2+3) = x5

La ley que dice que xm/xn = xm-n

Como en el ejemplo anterior, ¿cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: "m" veces, después reduce eso "n" veces (porque estás dividiendo), en total "m-n" veces.

Ejemplo: x4-2 = x4/x2 = (xxxx) / (xx) = xx = x2

(Recuerda que x/x = 1, así que cada vez que hay una x "sobre la línea" y una "bajo la línea" puedes cancelarlas.)

Esta ley también te muestra por qué x0=1 :

Ejemplo: x2/x2 = x2-2 = x0 =1

La ley que dice que (xm)n = xmn

Primero multiplicas x "m" veces. Después tienes que hacer eso "n" veces, en total m×n veces.

Ejemplo: (x3)4 = (xxx)4 = (xxx)(xxx)(xxx)(xxx) = xxxxxxxxxxxx = x12

Así que (x3)4 = x3×4 = x12

La ley que dice que (xy)n = xnyn

Para ver cómo funciona, sólo piensa en ordenar las "x"s y las "y"s como en este ejemplo:

Ejemplo: (xy)3 = (xy)(xy)(xy) = xyxyxy = xxxyyy = (xxx)(yyy) = x3y3

La ley que dice que (x/y)n = xn/yn

Parecido al ejemplo anterior, sólo ordena las "x"s y las "y"s

Ejemplo: (x/y)3 = (x/y)(x/y)(x/y) = (xxx)/(yyy) = x3/y3

La ley que dice que

Para entenderlo, sólo recuerda de las fracciones que n/m = n × (1/m):

Ejemplo:

Y eso es todo

Si te cuesta recordar todas las leyes, acuérdate de esto: siempre puedes calcular todo si entiendes las tres ideas de la parte de arriba

de esta página.

Una cosa más... ¿Qué pasa si x= 0?

Exponente positivo (n>0) 0n = 0Exponente negativo (n<0) ¡No definido! (Porque dividimos entre 0)Exponente = 0

Hay dos argumentos diferentes sobre el valor correcto. 00 podría ser 1, o quizás 0, así que alguna gente dice que es "indeterminado":

x0 = 1, así que ... 00 = 10n = 0, así que ... 00 = 0Cuando dudes... 00 = "indeterminado

3.2.- Multiplicación algebraica La multiplicación es una operación que tiene por objeto, dadas dos cantidades llamadas multiplicando y multiplicador, hallar una tercera cantidad, llamada producto, que sea respecto del miltiplicado, en valor absoluto y signo, lo que el mutiplicador es respecto de la unodad positiva.

El multiplicando y el multiplicador son llamados factores del producto.

El orden de los factores no altera el producto

Observa la ley de los signos, exponentes, coeficientes para la Multipliación.

La ley de los signos para la multiplicación es: Signos iguales dan + y signos doferentes dan -

O sea:

+ por + da +- por - da ++ por - da -- por + da -

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:

La ley de los exponentes para la multiplicación es: para multiplicar potencias de la misma base se escribe la misma base y se pone por exponente la suma de los exponentes de los factores.

Ejemplo:

Ejemplo:

La ley de los coeficientes para la multiplicación es: El coeficiente del producto de dos factores es el producto de los coeficientes de los coeficientes de los factores.

Ejemplo:

MULTIPLICACION DE MONOMIOS

Se toma en cuenta la ley de los signos... Se multiplican los coeficientes y a continuación de este producto se escriben las letras de los factores en orden alfabética, poniendole a cada letra un exponente igual a la suma de los exponentes que tenga en los factores.

Ejemplo:

MULTIPLICACION DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIO

Se multiplica el monomio por cada uno de los terminos del polinomio, teniendo en cuenta en cada caso la regla de los signos y se separan los productos parciales con sus propios signos.

Ejemplo:

MULTIPLICACION DE BINOMIOS

Se multiplican todos los términos del multiplicando por cada uno de los términos del multiplicador, teniendo en cuenta la ley de los signos, y se reducen los terminos semejantes.

Ejemplo:

MULTIPLICACIoN DE POLINOMIOS POR BINOMIOS

Ejemplo:

MULTIPLICACION DE POLINOMIOS POR EXPONENTES LITERALES

Ejemplo:

3.3.- División algebraica La division es una operación que tiene por objeto, hallar el factor (cociente) del producto de dos factores (el dividendo entre el divisor)

Observa la ley de los signos, exponentes, coeficientes para la division.

La ley de los signos para la división es: Signos iguales dan + y signos doferentes dan -

O sea:

+ entre + da +- entre - da ++ entre - da -- entre + da -

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:

La ley de los exponentes para la división es: Se deja la misma base y se restan los exponentes (el dividendo menos el divisor)

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:

Observa los siguientes ejemplos al restar los exponentes queda cero... y una literal con exponente cero es igual a cero.

La ley de los coeficientes para la división es: El coeficiente del cociente es el resultado de dividir el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor.

Ejemplo:

DIVISION DE MONOMIOS

Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del devisor...y acontinuación se escriben en orden alfabetico las letras tomando en cuenta la ley de los exponentes para la división y la ley de los signos para la división.

Ejemplo:

Ejemplo:

DIVISION DE UN POLINOMIO ENTRE UN MONOMIO

Divide cada uno de los términos del polinomio entre el monomio, separando los cocientes parciales, con sus propios signos.

DIVISION DE POLINOMIO ENTRE UN BINOMIO

La división algebraica es muy facil, sólo tinenes que ser muy observador, es muy parecida a una división de aritmética.

Observa el siguiente ejemplo...Se ordena el dividendo y el divisor con relación a una misma letra. (observa el este ejemplo el acomodo del dividendo).

Observa que cada termino del cociente se va multiplicando por el divisor...y los resultados se escriben con signo contrario....Por ejemplo: al multiplicar x3 por x2 + 2x el resultado es x5 + 2x4 pero se escribe con el signo contrario - x5 - 2x4 y se le resta al

dividendo...y así sucesivamente hasta que el reciduo sea cero( o hasta que ya no se pueda dividir).

Se ordenan el dividendo y el divisor con relación a una misma letra. Se divide el primer termino del dividendo entre el primero del divisor y tendremos el primer término del cociente.

Estre primer termino del cocientese multiplica por todo el divisor y el producto resta el dividendo, para lo cual se cambia el signo, escribiendo cada termino debajo de su semejante. Si algún término de este producto no tiene termono semejante en el dividendo se escribe en el primer lugar que le corresponda de acuerdo con la ordenación del dividendo y el divisor.

Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor y tendremos el segundo término del cociente.

Este segundo término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo, cambiando los signos.

Se divide el primer término del segundo resto entre el rpimero del divisor y se efectúan las operaciones anteriores; y así sucesivamente hasta que el residuo se cero.

Observa que te pueden presentar la división de la siguiente manera, pero es exactamente lo mismo, solo observa el acomodo del dividendo, divisor, cociente y el resto.

UNIDAD II.- Productos notables

1.0.- Productos notables Los productos notables son aquellos productos que se rigen por reglas fijas y cuyo resultado puede hallarse por simple inspección. Su denominados también "Identidades Algebraicas". Son aquellos productos cuyo desarrollo es clásico y por esto se le reconoce fácilmente. Las más importantes son :

Binomio conjugados"El cuadrado primer término menos el cuadrado del segundo término .

( a + b )( a - b ) = a2 - b2

El cuadrado de la suma de dos cantidades (binomio al cuadrado) "El cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo término".

( a + b )2 = a2 + 2ab + b2

El cuadrado de la diferencia de dos cantidades (binomio al cuadrado)"El cuadrado del primer término, menos el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo término".

( a - b )2 = a2 - 2ab + b2

Cubo de la suma de un binomio (binomio al cubo)"El cubo del primer termino, más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo"

( a + b )3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3

Cubo de la diferencia de un binomio (binomio al cubo)"El cubo del primero, menos el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo"

( a - b )3 = a3 - 3 a2b + 3 ab2 - b3

Binomios que tienen un término común.El cuadrado del término común más la suma de los términos no comunes multiplicado por el término común más el producto de los términos no comunes".

(x + a )(x + b ) = x2 + (a+b) x + (a)(b)

Trinomio de la suma al cuadrado. (trinomio al cuadrado)

"El cuadrado del primero término, más el cuadrado del seguno término, más el cuadrado del tercer término, más el doble del primero por el segundo, más el doble del primero por el tercero, más el doble del segundo por el tercero".

(a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

Trinomio de la suma al cubo. (trinomio al cubo)

(a + b + c )3 = a3 + b3 + c + 3(a + b) (b +c) (a + c)

Producto de dos binomios que tienen un término semejante y el otro no común.

( ax + b )( cx + d )= acx2 + (ad+bc)x + bd

Factores cuyo producto da una suma de cubos.

( a + b ) (a2 - 2ab + b2)= a3 + b3

Factores cuyo producto da la diferencia de cubos.

( a - b ) ( a2 + 2ab + b2)= a3- b3

Producto de dos binomios que no tienen un término común.

( a + b )( c + d )= ac + ad + bc + bd

1.1.- Binomios conjugados Es el producto de dos binomios semejantes, la unica diferencia es el signo...y su resultado es la diferencia de cuadrados perfectos.

Por ejemplo:

a – b es el binomio conjugado de a + b.También se suele decir que a – b es el conjugado del binomio a + b.

De manera general podemos reprecentar los binomios conjugados de la siguiente forma.

Observa que en los binomios conjugados tenemos dos terminos iguales que le llamariamos termino común y tenemos dos terminos que son iguales pero con signo diferentes que le llamariamos terminos simétricos.

Como regla podremos decir que "El cuadrado del primer terminio menos el cuadrado del segundo término .

Si cambias el orden de los signos quedará de la siguiente manera

Ejemplo:

(3x+4) (3x-4)= 9x2 - 16

Ejemplo:

( 7 a2-3b2) (7 a2 +3b2)= 49 a4 – 9b4

¿por qué el resultado de ( a + b) ( a - b ) es igual a: a2 – b2 ?Al multiplicarlo te darás cuenta...

¿por qué el resultado de ( - a + b) ( a + b ) es igual a: - a2 + b2 ?Al multiplicarlo te darás cuenta...

¿por qué el resultado de ( 3x + 4 ) ( 3x - 4 ) es igual a: 9x2 - 16 ?Al multiplicarlo te darás cuenta...

¿por qué el resultado de ( 7 a2-3b2) (7 a2 +3b2) es igual a 49 a4 – 9b4 ?Al multiplicarlo te darás cuenta...

MAS EJERCICIOS

1.2.- Binomio al cuadrado En general un binomio al cuadrado (El cuadrado de la suma de dos cantidades) es igual a "el cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo término".

mmm...¿ y si el signo fuera negativo?

Si fuera un Binomio de resta al cuadrado seria (El cuadrado de la diferencia de dos cantidades) ""el cuadrado del primer término, menos el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo término".

Ejemplo:

(3x+4)2 = 9x2 + 24x - 16

Ejemplo:

(3x - 4)2 = 9x2 - 24x - 16

Ejemplo:

( 7 a2-3b2)2 = 49 a4 + 42a2b2 – 9b4

¿por qué el resultado de ( a + b)2 es igual a: a2 +2ab + b2 ?Al multiplicarlo te darás cuenta...

¿por qué el resultado de ( a - b)2 es igual a: a2 -2ab + b2 ?Al multiplicarlo te darás cuenta...

¿por qué el resultado de ( 3x + 4 )2 es igual a: 9x2 + 24x + 16 ?Al multiplicarlo te darás cuenta...

¿por qué el resultado de ( 3x - 4 )2 es igual a: 9x2 - 24x + 16 ?Al multiplicarlo te darás cuenta...

¿por qué el resultado de ( 7 a2+ 3b2 )2 es igual a 49a4 + 42a2b2 + 9b4 ?Al multiplicarlo te darás cuenta...

MAS EJERCICIOS

Al multiplicarlo te darás cuenta...

Resolver el siguiente binomio al cuadrado...


1.3.- El cuadrado de un polinomio Si el polinomio es un trinomio...

Un trinomio al cuadrado es igual a "el cuadrado del primero término, más el cuadrado del seguno término, más el cuadrado del tercer término, más el doble del primero por el segundo, más el doble del primero por el tercero, más el doble del segundo por el tercero".


mmm ... ¿Si el polinomio tiene cuatro terminos?


O sea que si el polinomio tiene cuatro terminos es igual a "el cuadrado del primero, más el cuadrado del seguno, más el cuadrado del tercero, más el cuadrado del cuarto, más el doble del primero por el segundo, más el doble del primero por el tercero, más el doble del primero por el cuarto, más el doble del segundo por el tercero, más el doble del segundo por el cuarto, más el doble del tercero por el cuarto. ".

Ejemplo:


MAS EJEMPLOS

1.4. a).- Binomio con termino común Son aquellos binomios que tienen un termino idéntico en los dos parésntesis (el término comun), y los otros dos son diferentes.

Donde la literal x es el termino común y a,b son los terminos comunes y representan cualquier cantidad.

El producto de dos binomios con termino común es igual a "el cuadrado del término común más la suma de los términos no comunes multiplicado por el término comúsn más el producto de los términos no comunes".

Ejemplo:


Ejemplo:

MAS EJEMPLOS


1.4. b).- Binomio con término semejante

(Producto de dos binomios que tienen un término semejante y otro no común)

El producto de dos binomios con término semejante y otro no común es igual a "el producto de términos semejantes más, el producto de los términos de los medios más, el producto de los extremos más, el producto de los términos no común ".

Ejemplo:


MAS EJEMPLOS:

1.5.- Binomio al cubo El CUBO DE LA SUMA DE UN BINOMIO

Un binomio al cubo (suma)(El cubo de la suma de un binomio) es igual a "el cubo del primero, más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo".

El CUBO DE LA DIFERENCIA DE UN BINOMIO

Un binomio al cubo ( resta )(El cubo de la diferencia de un binomio) es igual a "el cubo del primero, menos el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo".

Ejemplo:


MAS EJEMPLOS:

Factores cuyo producto da una suma o diferencia de cubos

Existen otras fórmulas, que aunque menos usadas que las anteriores, pueden en cierto contexto ser consideradas productos notables. Entre ellas se destacan:

" Factores cuyo producto da una suma de cubos "

" Factores cuyo producto da una diferencia de cubos "

Ejemplo:


MAS EJEMPLOS:

UNIDAD III.- Factorización

Factorización En álgebra, la factorización de un monomio o polinomio es descomponer o expresarlo como producto de sus factores. ( que son monomios o polinomios mas pequeños). Existen métodos de factorización como por ejemplo:

FACTOR COMÚNab + ac + ad = a ( b + c + d )

FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN

ax + bx + ay + by = ( a + b ) ( x + y )

DIFERENCIA DE CUADRADOSa2 - b2 = ( a + b ) ( a - b)

CUBOS PERFECTOS

a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)

a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

a2 + 2ab + b2 = (a + b) (a + b) = (a + b) 2

a2 - 2ab + b2 = (a - b) (a - b) = (a - b) 2

TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c

x2 + bx + c = ( x + d ) ( x + e )

TRINOMIO DE LA FORMA ax2 + bx + c

ax2 + bx + c = ( fx + d ) ( gx + e )

Factor Común ab + ac + ad = a ( b + c + d )

Se reconoce por que tiene una literal en común en ambos términos

a) Se extrae el factor común de cualquier clase, que viene a ser el primer factor.

b) Se divide cada parte de la expresión entre el factor común y el conjunto viene a ser el segundo factor.

Ejemplo: Factorizar x7 + x3

En este caso el factor común es x3

Se divide cada término entre x3

x7 entre x3 es igual a x4

x3 entre x3 es igual a x1

Entonces: x7 + x3 = x3 (x4 + 1)

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Ejemplo: Factorizar 28mp2 + 48m2nx - 60mn2

En este caso el factor común es 4m

Se divide cada término entre 4m

28mp2 entre 4m es igual a 7p2

48m2nx entre 4m es igual a 12mn

-60mn entre 4m es igual a -15n2

Entonces: 28mp2 + 48m2nx - 60mn2 = 4m ( 7p2 + 12mnx - 15n2 )

Ejemplo: Factorizar ½xy + ½ x2y - ½

En este caso el factor común es ½

Se divide cada término entre ½

½xy entre ½ es igual a xy

½ x2y entre ½ es igual a x2y

- ½ entre ½ es igual a -1

Entonces: ½xy + ½ x2y - ½ = ½ ( xy + x2y - 1 )

Factor Común por agrupación ax + bx + ay + by = ( a + b ) ( x + y )

a)Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos.

b)Se trata de agrupar con la finalidad de obtener en primer lugar un factor común monomio y como consecuencia un factor común polinomio.

c) Se divide cada parte de la expresión entre el factor común y el conjunto viene a ser el segundo factor.

Ejemplo: Factorizar2x2 - 4xy + 4x - 8y

Agrupamos( 2x2 - 4xy ) + ( 4x - 8y )

Se aplica factor común en cada binomio:

2x(x - 2y) + 4(x - 2y)

Entonces:2x2 - 4xy + 4x - 8y = (x - 2y) ( 2x + 4 )

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Ejemplo: Factorizar3m2 - 6mn + 4m - 8n

Agrupamos( 3m2 - 6mn ) + ( 4m - 8n )

Se aplica factor común en cada binomio:

3m(m - 2n) + 4(m - 2n)

Entonces:

3m2 - 6mn + 4m - 8n = (m - 2n) ( 3m + 4 )

Diferencia de cuadrados a2 - b2 = ( a + b ) ( a - b)

Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma (a-b)(a+b), uno negativo y otro positivo.)

a) Se extrae la raíz cuadrada de los cuadrados perfectos.

b) Se forma un producto de la suma de las raíces multiplicada por la diferencia de ellas.

a2 - b2

√ √↓ ↓a b

( a + b ) ( a - b )

Ejemplo: Factorizar 25x2 - 1

25x2 - 1√ √↓ ↓5x 1

( 5x + 1 ) ( 5x - 1 )

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Ejemplo: Factorizar 16x2 - 36x4

16x2 - 36x4

√ √↓ ↓4x 6y2

( 4x + 6y2 ) ( 4x - 6y2 )

Ejemplo: Factorizar

x2 9y4

_____ - _____49 64

x2 9y4

_____ - _____49 64√ √↓ ↓x y2

_____ _____7 8

(x y2

_____ + _____7 8

)(x y2

_____ - _____7 8

)

Cubos perfectos En una SUMA de cubos perfectos, el Procedimiento para factorizar

a) Se extrae la raíz cúbica de cada término del binomio.

b) Se forma un producto de dos factores.

c) Los factores binomios son la suma de las raíces cúbicas de los términos del binomio.

d) Los factores trinomios se determinan así:

e) El cuadrado de la primera raíz menos el producto de estas raíces más el cuadrado de la segunda raíz.

a3 + b3 = (a + b) ( a2 - ab + b2 )

En una DIFERENCIA (RESTA) de cubos perfectos, el Procedimiento para factorizar

a) Se extrae la raíz cúbica de cada término del binomio.

b) Se forma un producto de dos factores.

c) Los factores binomios son la diferencia (resta) de las raíces cúbicas de los términos del binomio.

d) Los factores trinomios se determinan así:

e) El cuadrado de la primera raíz más el producto de estas raíces más el cuadrado de la segunda raíz.

a3 - b3 = (a - b) ( a2 + ab + b2 )

Ejemplo: Factorizar 8x3 + 64

8x3 + 64

La raíz cúbica es:2x 4

Su procedimiento es:( 2x + 4 ) [(2x)2 + (2x)(4) + (4)2 ]

Entonces:8x3 + 64 = ( 2x + 4 ) (4x2 + 8x + 162)

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Ejemplo: Factorizar y3 - 27

y3 - 27

La raíz cúbica es:y 3

Su procedimiento es:( y - 27 ) [(y)2 + (y)(3) + (3)2 ]

Entonces:y3 - 27 = ( y - 3 ) (y2 + 3y + 9)

Trinomio cuadrado perfecto Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto.

a) Un trinomio ordenado con relación a una letra.

b) Es cuadrado perfecto cuando el primer y tercer término son cuadrados perfectos.

c) El segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas.

Procedimiento para factorizar de la forma:

a2 + 2ab + b2 = (a + b) (a + b) = (a + b)2

Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término; en el ejemplo a y b.

Se forma un producto de dos factores binomios con la suma de estas raíces; entonces (a + b)(a + b).

Este producto es la expresión factorizada (a + b)2.

Procedimiento para factorizar de la forma:

a2 - 2ab + b2 = (a - b) (a - b) = (a - b)2

Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término; en el ejemplo a y b.

Se forma un producto de dos factores binomios con la suma de estas raíces; entonces (a - b)(a - b).

Este producto es la expresión factorizada (a - b)2.

Ejemplo: Factorizar x2 + 10x + 25

x2 + 10x + 25√ √↓ ↓

x 5

El doble producto de las raíces: 2(x)(5) es 10x

Entonces: x2 + 10x + 25 = (x + 5) (x + 5) x2 + 10x + 25 = (x + 5)2

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Ejemplo: Factorizar 81z2 - 180z + 100

81z2 - 180z + 100√ √↓ ↓

9z 10

El doble producto de las raíces: 2(9z)(10) es 180z

Entonces: 81z2 + 180z + 100 = (9z - 10) (9z - 10) 81z2 + 180z + 100 = (9z - 10)2

TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c

1) Se extrae la raíz cuadrada del 1er. término; aquí, x.

2) Dos números d, e, tales que multiplicados den "c".

3) Sumados resulten "b" (d + e = b).

x2 + bx + c = ( x + d ) ( x + e )

Ejemplo: factorizar x2 + 6x + 8

Los signos quedarán así: x2 + 6y + 8 = ( + ) ( + )

La raíz cuadrada del primer termino es :

x2 + 6x + 8√↓

x

Dos números d, e, tales que multiplicados den "c" y Sumados resulten "b".

4 x 2 = 84 + 2 = 6

Entonces: x2 + 6x + 8 = ( x + 4 ) ( x + 2 )

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Ejemplo: factorizar y2 - 13y + 40

Los signos quedarán así: y2 - 13y + 40 = ( - ) ( - )

La raíz cuadrada del primer termino es :

y2 - 13 + 40√↓

y

Dos números d, e, tales que multiplicados den "c" y Sumados resulten "b".

5 x 8 = 405 + 8 = 13

Entonces: y2 - 13y + 40 = ( y - 5 ) ( y - 8 )

TRINOMIO DE LA FORMA ax2 + bx + c

Procedimiento para factorizar

a) buscamos dos números que multiplicados den el primer término ax2

b) buscamos dos números que multiplicados den el tercer termino c

c) multiplicamos en diagonal

d)Se comprueba el término que falta bx con el producto de (dgx + efx = bx).

Ejemplo

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Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

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