ACTIVIDADES

Objetivo 1

Actividad 1.1.1Lea el capitulo 1: Patrones de Lynn A. Steen y el capitulo 3: Cantidad de James Fey del libro: La Enseñanza Agradable de las Matemáticas de Lynn Arthur Steen que están en la selección de lecturas. Debe presentar por escrito un esquema contentivo de los principales aspectos abordados en esos artículos. Una especie de ficha resumen que servirá para abordar las actividades posteriores.

Resumen de PATRONES (de Lynn A. Steen)

La matemática, desde el punto de vista común, es una disciplina estática basada en fórmulas aprendidas en las asignaturas escolares de aritmética, geometría, álgebra y cálculo. Pero fuera de esta perspectiva, las matemáticas continúan creciendo con rapidez, incursionando en nuevos campos y generando nuevas aplicaciones. La pauta de este crecimiento no son los cálculos ni las fórmulas sino una búsqueda abierta de patrones.

Las matemáticas son ahora un instrumento esencial de las actividades bancarias y manufactureras, de las ciencias sociales y la medicina. Cuando se contemplan en este contexto más amplio, vemos que las matemáticas no tratan tan sólo de números y formas sino de patrones y relaciones de orden de todas clases. Gracias a las gráficas de computadora, gran parte de la investigación de patrones realizada por matemáticos se encuentra dirigida ahora por lo que uno puede ver realmente con los ojos.

El cambio en la práctica de las matemáticas obliga a reexaminar la educación matemática. Los estudiantes que vivirán y trabajarán utilizando computadoras como herramientas de rutina necesitan aprender matemáticas diferentes a las de sus progenitores. La cuestión clave de la educación matemática no es si deben enseñarse los fundamentos sino cuáles fundamentos enseñar y cómo enseñarlos.

Para elaborar planes de estudios de matemáticas nuevos y eficaces debe intentarse prever las necesidades matemáticas de los estudiantes del mañana. La tradición escolar acierta en que la aritmética, la medición, el álgebra y ciertas nociones de geometría representan los fundamentos de las matemáticas, pero hay mucho más en el sistema total de las matemáticas. Uno puede pensar en estructuras matemáticas específicas, atributos, acciones, abstracciones, actitudes, comportamientos o dicotomías.

Estas diferentes perspectivas ilustran la complejidad de las estructuras que sostienen a la matemática. Dentro de cada perspectiva pueden identificarse varios hilos conductores que poseen en sí mismos la facultad de desarrollar una idea matemática significativa partiendo de intuiciones informales. Una sólida educación en las ciencias matemáticas requiere encontrarse con casi todas estas perspectivas e ideas.

El enfoque estratificado (por niveles) de la educación matemática impide el desarrollo informal de la intuición. Es necesario elaborar planes de estudio con una mayor continuidad vertical, a fin de conectar las raíces de la matemática con las ramas de la matemática en la experiencia educativa de los niños. Si los planes de estudio de matemáticas incluyeran diversos hilos conductores paralelos, el efecto colectivo será crear entre los niños una comprensión profunda y diversificada de varias raíces diferentes de la matemática.

Cinco aspectos del poder creador de las ideas matemáticas profundas que se deben incluir en los planes de estudios son: dimensión, cantidad, incertidumbre, forma y cambio.

Algunos conceptos que también se deben incluir son: medición, simetría, representación visual y algoritmos.

Desde el punto de vista pedagógico, las conexiones permiten el desarrollo de intuiciones profundas en un hilo conductor que se ramificarán en otros, múltiples hilos conductores enlazados por sólidas conexiones internas pueden desarrollar capacidades matemáticas en los estudiantes con una amplia variedad de inclinaciones y aptitudes.Nuevos conceptos, instrumentos, aplicaciones y métodos, derivados en gran parte de la introducción de la computadora, han transformado radicalmente la naturaleza y práctica de la matemática.

Los humanos utilizan el lenguaje de la matemática para describir patrones. Para crecer matemáticamente, los niños deben exponerse a una rica variedad de patrones apropiados a sus propias vidas a través de los cuales puedan ver la variedad, la regularidad y las conexiones internas.

Resumen de CANTIDAD (de James T. Fey)

Los sistemas numéricos de las matemáticas son herramientas indispensables para comprender el mundo en que vivimos. Todos los niños inician en los primeros grados una trayectoria matemática diseñada para desarrollar procedimientos de cálculos aritméticos junto con la comprensión conceptual correspondiente que se requiere para resolver problemas cuantitativos y tomar decisiones fundamentadas. La aritmética y el álgebra escolares siempre han estado dominadas por la meta de capacitar a los estudiantes en la manipulación de símbolos numéricos y algebraicos. Sin embargo, el surgimiento de calculadoras y computadoras electrónicas económicas ha cambiado esta situación para siempre.

La capacidad de cómputo de las máquinas, tanto de las que existen como de las que se proyectan, sugiere algunas posibilidades curriculares atractivas. Pero los planes de estudio escolares todavía tienen que ser modificados a fondo en respuesta a estas nuevas condiciones.

El criterio final de validez aún es la demostración formal por razonamientos hechos a partir de fundamentos axiomáticos. Sin embargo, las calculadoras y las computadoras han dado lugar a un nuevo equilibrio entre el descubrimiento de un teorema y su demostración.

Un segundo cambio fundamental que afecta los planes de estudio escolares es la difusión de los métodos cuantitativos en casi todos los aspectos de la vida personal y profesional contemporánea. Hoy, la cultura cuantitativa requiere la capacidad de interpretar los números usados para describir fenómenos tanto aleatorios como deterministas, de razonar con conjuntos complejos de variables interrelacionadas y de crear e interpretar de manera crítica métodos para cuantificar fenómenos cuando no existen modelos establecidos.

Los jóvenes con una cultura cuantitativa sólida necesitan una capacidad flexible para identificar relaciones críticas en situaciones nuevas y expresarlas en una forma simbólica eficaz, para usar herramientas de computación en el procesamiento de información e interpretar los resultados de esos cálculos.

La convergencia de las exigencias cada vez mayores planteadas por la aplicación de habilidades cuantitativas en los ámbitos social y científico con las poderosas

tecnologías nuevas que brindan apoyo a dichas habilidades, ha motivado la reconsideración de los objetivos de las matemáticas escolares.

Parece importante transmitir a los estudiantes, lo antes posible, técnicas modernas que sirvan para representar datos numéricos y hacer razonamientos con ellos. Pero esa instrucción sin lugar a dudas tendrá mayor éxito si se conforma por la comprensión de las raíces de las técnicas numéricas en la experiencia humana, así como de la trayectoria seguida por las ideas y habilidades en su evolución a través del tiempo.

Un análisis común del uso de los números indica que cualquier ejemplo se relaciona con una de tres tareas básicas:

Medición: El uso de operaciones aritméticas para hacer razonamientos acerca del tamaño, a fin de responder a preguntas tales como ¿cuántos? o ¿cuánto?

Ordenamiento: El uso de números para indicar la posición dentro de una secuencia con las relaciones de "mayor que" y "menor que".

Codificación: La asignación de etiquetas de identificación a los objetos de una colección.

Usiskin y Bell propusieron un análisis más detallado de las clases fundamentales de los usos de los números. Sugieren seis usos diferentes de los números individuales:

Cuantificación de colecciones discretas (poblaciones); Medición de cantidades continuas (tiempo, longitud, masa); Comparación por cocientes (descuentos, probabilidades, escalas de mapas); Localizaciones (temperatura, recta de tiempo, calificaciones de pruebas); Códigos (carreteras, teléfonos, número de modelo de un producto); Constantes obtenidas de fórmulas (π en A = πr2).

Una taxonomía paralela sugiere formas en que las operaciones sobre números pueden asociarse a las operaciones sobre los objetos que describen los números:

La adición equivale a reunir o cambiar; La sustracción representa quitar, comparar, cambiar o recuperar un sumando; La multiplicación representa cambio de tamaño, actuar en, o bien, usar un factor

de proporcionalidad; La división representa cocientes, razones de cambio, la división proporcional, la

división con cambio de tamaño, o la recuperación de un factor.

En el razonamiento cuantitativo están presentes fenómenos, un sistema numérico y una correspondencia entre fenómenos y números que preserva la estructura esencial. A cada objeto se le asigna un número de tal forma que objetos "semejantes" tendrán números "semejantes" y que las relaciones entre los objetos corresponderán a las relaciones del sistema numérico. Para comprender este proceso mediante el cual se establecen los modelos, los estudiantes deben tener una amplia experiencia con las propiedades estructurales de varias clases de sistemas numéricos.

Para que el razonamiento cuantitativo produzca resultados de mayores alcances que los hechos numéricos llanos es esencial que dicho razonamiento se encuentre enraizado firmemente tanto en los patrones generales de los números como en los cálculos asociados. El patrón típico es una relación entre dos o más cantidades variables.

Las ideas matemáticas claves requeridas para hacer razonamientos acerca de tales patrones son los conceptos centrales del álgebra elemental: variables, funciones, relaciones, ecuaciones, desigualdades y razones de cambio.

La noción de variable que los estudiantes deben comprender no es simplemente "una letra que representa un número" o "el valor desconocido en una ecuación". Debe incluir asimismo la consideración de las variables como cantidades mensurables que cambian cuando las situaciones en las que ocurren cambian.

La idea fundamental que permite la representación eficaz de los números es el sistema de numeración de valores posicionales. Cada número entero tiene una representación única en el sistema de numeración común base 10, y los números racionales pueden expresarse usando fracciones decimales o como cocientes de números enteros.

La segunda tarea principal de la representación de información numérica es expresar relaciones que se cumplan para todos los números; para muchos números o para ciertos números desconocidos, los conceptos matemáticos fundamentales que intervienen son los de variable, función y relación. Las formas de representación más conocidas son aquellas que hacen corresponder números con los puntos de una recta numérica o pares de números con los puntos del plano.

El uso de rectas numéricas y gráficas de coordenadas es una técnica matemática muy conocida, sin embargo, el advenimiento de calculadoras y software de computadora con capacidades de graficación ha tenido un efecto significativo sobre la facilidad para producir gráficas y, por tanto, sobre su utilidad.

Es importante que los estudiantes de matemáticas adquieran experiencia en la interpretación inteligente de las representaciones gráficas y en la comprensión de las conexiones entre las formas simbólicas, gráficas y numéricas de las mismas ideas. Las gráficas cartesianas de patrones numéricos y algebraicos son sólo las estrategias más conocidas de un impresionante arreglo de representaciones visuales de datos cuantitativos. El uso de computadoras para producir estas representaciones se está haciendo una práctica generalizada en todas las áreas de las matemáticas aplicadas.

La naturaleza independiente del contexto de los algoritmos matemáticos hace que sea sencilla su programación para ejecutarlos en computadoras. Este hecho tiene importantes aplicaciones en los planes de estudio escolares, cualquier algoritmo específico que sea de tal importancia fundamental y aplicabilidad general para merecer su inclusión en la escuela elemental o secundaria seguramente se ha programado y está disponible en calculadoras y software de computadora ordinario.

Para poder usar los algoritmos basados en computadora, resulta conveniente comprender atributos tales como precisión, economía y robustez, así como conceptos matemáticos fundamentales como inducción y recursión, los cuales reciben tan Poca atención en los planes de estudio tradicionales. Un reciente, meta-análisis de más de 70 estudios de investigación concluyó que el uso inteligente de las calculadoras puede fortalecer la comprensión conceptual de los estudiantes, la solución de problemas y las actitudes hacia las matemáticas, sin menoscabo aparente de la adquisición de las habilidades tradicionales.

Es importante fomentar en los estudiantes la consecución de diversos aspectos informales del razonamiento cuantitativo, a fin de desarrollar lo que podría llamarse noción de número. Incluso si las máquinas se hacen cargo de la mayor parte de los cálculos, es importante que los usuarios de dichas máquinas planteen las operaciones correctas e interpreten los resultados de manera inteligente.

En el desarrollo histórico de los sistemas numéricos la evolución se inició con los números naturales. En ampliaciones realizadas a lo largo de varios siglos se fueron

agregando las fracciones, luego los números negativos y, finalmente, una caracterización rigurosa de los números reales. En una perspectiva cercana al fin del siglo XX es posible organizar todas esas estructuras en sentido inverso.

Los números naturales (y su ampliación a los enteros) forman un conjunto discreto, una sucesión de elementos con separaciones iguales, sin ningún número entre un entero cualquiera k y el que lo sucede k + l.

El sistema numérico más pequeño que incluye elementos para representar cualquier división posible de los enteros a/b (con b diferente de cero) es, desde luego, el sistema de los números racionales Q.

Los números reales R, se trata de un campo ordenado en el que cualquier sub conjunto no vacío que esté acotado por arriba tiene una cota superior mínima en R. Los números reales proporcionan la herramienta matemática esencial para describir y hacer razonamientos acerca de procesos infinitos e infinitesimales.

Los números complejos constituyen la ampliación de campo más pequeña posible de los números reales que contiene un elemento i cuyo cuadrado es igual a -1. Todo número complejo puede expresarse en la forma a + bi, donde a y b son números reales.

Desde su invención a mediados del siglo XIX, el álgebra de matrices se ha convertido en una herramienta invaluable para hacer razonamientos acerca de datos numéricos complejos. Una matriz es una especie de súper número; dentro de ciertas familias de matrices, las operaciones de adición y multiplicación tienen propiedades algebraicas muy similares a las de los números reales. La excepción más notable es el hecho de que la multiplicación de matrices no es conmutativa.

Las matemáticas escolares deben desarrollar en los estudiantes la comprensión de los principios básicos, la destreza en el manejo de las técnicas y la agilidad en el razonamiento. Pero la prueba final de las matemáticas escolares es si capacitan a los estudiantes para aplicar sus conocimientos en la solución de problemas cuantitativos importantes. La habilidad para resolver problemas no sólo es la meta más importante de las matemáticas escolares sino también la tarea educativa más difícil de realizar.

En el enfoque de establecer modelos matemáticos, el primer paso es identificar las variables relevantes. El siguiente es describir, en el lenguaje formal adecuado, las relaciones que representen conexiones de causa y efecto entre estas variables, entonces pueden plantearse preguntas específicas en términos de valores de entrada y de salida o de propiedades globales de las relaciones del modelo establecido. Por último, es posible usar herramientas de computadora para contestar esas preguntas por métodos numéricos, gráficos o simbólicos.

En el corazón de cualquier proceso de medición hay un mapeo que asigna números a objetos. El mapeo asigna la medida 1 a cierta unidad designada. Después otros objetos se cubren con copias de la unidad. La elección del elemento unidad es arbitraria, pero una vez hecha proporciona la norma mediante la cual se miden todos los demás. Por tanto, toda medición consta de una unidad y un número, el número de copias completas y parciales de la unidad necesarias para abarcar exactamente el objeto medido. El estudiante de matemáticas que entienda este principio, como una propiedad general de muchas mediciones importantes, habrá adquirido una auténtica comprensión productiva de la conexión entre situaciones reales y modelos cuantitativos.

La meta más Importante de las matemáticas escolares consiste en desarrollar en los estudiantes la habilidad para hacer razonamientos inteligentes con información cuantitativa. Los conceptos, las técnicas y los principios matemáticos que establecen los modelos de los aspectos cuantitativos de la experiencia son proporcionados por las estructuras de los sistemas numéricos, del álgebra y de la medición que han sido por

largo tiempo el punto central de los planes de estudio escolares. Sin embargo, el surgimiento de las calculadoras electrónicas y las computadoras como herramientas de gran capacidad para representar y manipular información cuantitativa ha puesto en entredicho las prioridades tradicionales de la instrucción en estos temas. Las matemáticas escolares deben brindar a los estudiantes la preparación para usar sus conocimientos acerca de los números, el álgebra y la medición en formas flexibles y creativas, no sólo en cálculos rutinarios y predecibles.

A fin de preparar a los estudiantes para el reto de] razonamiento cuantitativo en el mundo moderno, las matemáticas escolares deben desarrollar la habilidad de los estudiantes para:

Comprender las propiedades fundamentales de los sistemas numéricos y la vinculación entre estos sistemas matemáticos y las situaciones de la vida real en las que están incluidos.

Describir e interpretar estructuras cuantitativas usando representaciones simbólicas, verbales y gráficas.

Efectuar cálculos tanto exactos como aproximados en los que intervengan ideas aritméticas y algebraicas por medio de diferentes métodos adecuados, operaciones mentales, técnicas de lápiz y papel, calculadoras o computadoras.

Aplicar la destreza en el manejo de números y expresiones algebraicas para resolver problemas cuantitativos tanto rutinarios como inéditos.

Actividad 1.1.2Con base en las lecturas efectuadas, exprese que implicaciones tiene para el trabajo que debe desarrollar el docente en el aula los señalamientos ahí contenidos. Sus opiniones deben centrarse en las lecturas realizadas, use la ficha resumen sugerida en la actividad anterior.

La matemática no es una ciencia estática, al contrario tiene una dinámica que ha aumentado en los últimos años y esto ha determinado un crecimiento de ella gracias a la aparición de nuevos campos de estudio y también nuevas aplicaciones. Por esta razón los docentes en la actualidad tienen una gran labor que realizar en el aula de clases. Deben desarrollar en los estudiantes habilidades, destrezas y aptitudes que le permitan resolver problemas matemáticos relacionados con los diferentes campos de aplicación de las matemáticas. Para ello se tienen que elaborar planes de estudio con una mayor verticalidad, conectando las raíces de la matemática con las ramas de las matemáticas, para que el estudiante aprenda los fundamentos de la matemática como aritmética, algebra, geometría o cálculo en relación a nuevas ramas de las matemáticas o también aplicados en nuevos campos como las ciencias económicas, sociales, de la salud y otros que se han desarrollado en función de las necesidades humanas.

La tecnología también tiene influencia en el desarrollo de las matemáticas, con la aparición de las calculadoras resulta más práctico realizar grandes cálculos con ellas que mediante algoritmos matemáticos. El docente debe aprovechar este recurso en la enseñanza de las matemáticas pero con el cuidado de que el estudiante posea una cultura cuantitativa solida que le permita “identificar relaciones críticas en situaciones nuevas y expresarlas en una forma simbólica eficaz, para usar herramientas de computación en el procesamiento de información e interpretar los resultados de esos cálculos”. (Selección de Lecturas, Cantidad de James T. Fey)

El docente debe desarrollar capacidades, aptitudes y habilidades en el estudiante que le permitan ejercer un razonamiento lógico y crítico en la solución de los problemas matemáticos que se le presenten.

Actividad 1.1.3Muestre un ejemplo de actividad que propondría a los alumnos de 7mo grado de educación básica con miras a consolidar su dominio sobre los temas. Las actividades propuestas deben reflejar lo señalado en las lecturas efectuadas y deben versar sobre los tópicos de Aritmética (no de geometría o álgebra) presentes en el currículo escolar.

Actividad Propuesta: se elaboran unos crucigramas numéricos, cuyas soluciones a las preguntas sean cálculos aritméticos, donde los estudiantes tengan que realizar cálculos con calculadoras, y así desarrollar la habilidad en el uso de las mismas; el crucigrama debe contener las cuatro operaciones de aritmética, suma, resta, multiplicación y división (opcionalmente se puede incluir la potenciación). El crucigrama se entrega a cada estudiante o por parejas y los crucigramas para que lo resuelvan usando la calculadora y luego se verifican las respuestas entre docente y estudiantes.

Actividad 1.1.4Construya una sucesión de tres números en la que se usen las cuatro operaciones aritméticas en N, solicíteles a dos alumnos de 7mo grado de Educación Básica que determinen cual es el cuarto y quinto número de la sucesión. ¿Qué hacen los estudiantes? ¿Qué dificultades presentan o manifiestan? Permítales usar una calculadora. Analice, por escrito todo el proceso desarrollado por los estudiantes. La sucesión que se le debe presentar a los estudiantes debe contener el número de elementos suficientes (pueden ser más de tres) para que el estudiante pueda determinar el patrón de comportamiento de la sucesión (no tiene porque ser sólo tres números, en caso de ser más de tres entonces se le preguntará al estudiante por los dos siguientes), no se debe presentar la fórmula que genera la sucesión. El uso de la calculadora debe sustentarse en lo planteado por James Fey en la lectura N° 2.

La sucesión presentada fue an = n+1

2n−1 con n > 0 cuyos primeros 5 términos

son:

a1 = 2 ; a2 = 1 ; a3 = 45 ; a4 =

57 ; a5 =

611

A los estudiantes se les presento la sucesión así: 2, 1, 45 ,

57 ,

611

Al realizar la pregunta los estudiantes se quedaron observando y luego hicieron comentarios, uno dijo que no sabía que era eso y el otro que no había visto eso, lo que demuestra la incapacidad de los estudiantes en general para realizar este tipo de deducciones, determinar elementos de una sucesión dados los primeros elementos de la sucesión, mas difícil aun seria si se les pide expresar el término general de la sucesión.

Se evidencia que los jóvenes estudiantes ante ciertos problemas buscan aplicar sus propios algoritmos, relacionados con el aprendizaje que han obtenido, pero se les dificulta desarrollar el razonamiento lógico para resolver nuevos problemas, de aquí la necesidad de generar en los jóvenes estudiantes la capacidad y habilidad para pensar y enfrentar nuevos retos.

Actividad 1.1.5

¿Cuáles pueden ser los pro y los contra de enseñar estos algoritmos? Revise cuidadosamente los algoritmos presentados, fíjese en los errores presentes. Indique al menos dos pro y dos contra de la realización de algoritmos como los presentados.

Uno de los pro de enseñar estos algoritmos es que el estudiante observa paso a paso los procedimientos que se aplican para resolver ciertos problemas y esto le permite conocer a fondo todo el proceso.

Otro pro es que se aplican operaciones en cada paso del algoritmo y esto obliga al estudiante a realizar diferentes cálculos que lo familiarizan con el mismo y adquiere un dominio de dichas operaciones.

Entre los contra de enseñar estos algoritmos se puede señalar lo tedioso y complicado que resulta en ocasiones memorizar cada uno de los pasos de un algoritmo, otro contra es el tiempo que requieren algunos algoritmos para su desarrollo, tiempo que se puede aprovechar si estos cálculos se realizan con instrumentos como calculadoras.

Uno de los contra más relevantes es que el estudiante se acostumbra a resolver problemas aplicando métodos ya aprendidos mediante algoritmos preestablecidos y esto limita o restringe la capacidad del estudiante para analizar un problema, identificar sus elementos y deducir como hallar una solución utilizando el razonamiento lógico, la deducción, y la inferencia.

Actividad 1.1.6¿Existen otros algoritmos diferentes a los presentados, que no sea el algoritmo tradicional? Muestre al menos uno. El algoritmo mostrado debe estar acompañado de una explicación de cómo se usaría en el proceso de enseñanza en el aula.

Si existen otros algoritmos diferentes al presentado, cada ser humano tiene la tendencia a elaborar algoritmos propios para resolver algún problema, en el caso de las matemáticas son muchos los que han dedicado tiempo y esfuerzo en la resolución de los problemas que se han presentado a través de la historia, de ahí que para algunos de los conceptos o definiciones matemáticas existan múltiples algoritmos para su resolución.

A continuación se presenta un algoritmo diferente del tradicional para realizar la resta de dos números naturales.

Resta por complemento.Para restar dos números naturales con este algoritmo, se siguen los siguientes

pasos:

1) Se halla el "complemento" del número que vas a restar o sustraendo.2) Se suma este complemento al número del que estás restando o minuendo.3) borra el "1" extra de la izquierda.

1) El complemento de un número natural es aquel que sumado a dicho número da como resultado un número compuesto por la unidad seguida de ceros. Por ejemplo el complemento de 456 es 544 porque 456 + 544 = 1000. Para hallar el complemento de un número es muy sencillo, se busca el número que sumado al digito que ocupa el lugar de las unidades de cómo resultado 10 y para el resto de los dígitos se busca el numero que sumado a ellos resulte 9. Si existen ceros a la derecha del número se saltan y se coloca cero por cada uno de ellos.Ejemplo: sea el número 269, vamos a hallar su complemento.

2 6 91 1 + 9 = 10 (1 es el número buscado)

2 6 9 3 + 6 = 9 (3 es el segundo número buscado)7 3 1 7 + 2 = 9 (7 es el tercer número buscado)

Y así se halla el complemento de 269 que es 731, es decir

2 6 9+ 7 3 11 0 0 0

2) Ahora si se quiere restar 837 – 269, lo que se hace es sumar 837 + 731, es decir 837 mas el complemento de 269.

8 3 7+ 7 3 11 5 6 8

3) Ahora el resultado es el número obtenido quitándole el uno de la izquierda, y tenemos que: 837 – 269 = 568

Otro ejemplo: 542 – 293, el complemento de 293 es 707, luego

5 4 2+ 7 0 71 2 4 9

Y se tiene que 542 – 293 = 249

Actividad 1.1.7¿Cuál estrategia usaría con los alumnos que inventan algoritmos alternos para la adición, para la sustracción, la multiplicación y la división? Recuerde que la estrategia debe explicar lo que se haría en clase ante un caso como el señalado.

La estrategia a utilizar es simplemente ayudarlos y orientarlos con el enfoque de sus algoritmos propios en función de desarrollar destrezas y habilidades matemáticas, permitiendo de manera libre y espontanea que los estudiantes aporten sus ideas, sus punto de vista o su manera de interpretar los problemas y generar discusiones didácticas orientadas siempre al libre pensamiento matemático para estimular un razonamiento lógico en el individuo, aunado a esto, se deben corregir a tiempo los errores o fallas que puedan surgir durante el proceso de aprendizaje para evitar confusiones futuras.

Objetivo 2

Actividad 1.2.1¿Qué modelo de enseñanza de la multiplicación genera que el estudiante crea que siempre que multiplica el resultado aumenta? Ejemplifique y explique el modelo que proponga. Acá no se pide que señale cómo se trabaja en determinado conjunto numérico, se le pide un modelo tal como se señala en el texto de la asignatura.

En el libro de 7mo grado de la editorial Santillana se presenta la multiplicación de la forma siguiente:

“La multiplicación es una adición de sumandos iguales. Los elementos de la multiplicación son los factores y el producto”. Por ejemplo:

3.456 x 678 = 2.343.168 Factores producto

Este modelo trasmite la idea al estudiante de que al multiplicar, el producto es mayor que los factores. Es una idea relacionada con adición, es decir si tengo un número y se le suma otro número entonces este crece o aumenta y como la multiplicación la definen como “una adición de sumandos” se genera la idea de aumento en la multiplicación.

Actividad 1.2.2¿Qué modelo debo enseñar para evitar esa concepción de aumento asociada a la multiplicación y la adición? Ejemplifique y explique el modelo que proponga. Acá no se pide que señale cómo se trabaja en determinado conjunto numérico, se le pide un modelo tal como se señala en el texto de la asignatura.

El modelo a enseñar debe expresar que el valor del producto depende de los factores, el producto puede aumentar, mantenerse o disminuir.

condiciones para la multiplicación de dos números:

1) Si los dos números son mayores que 1, entonces el producto es mayor que los factores.Ejemplo: 25 x 389 = 9725

2) Si uno de los factores es igual a 1, entonces el producto es igual al otro factor.Ejemplo: 1 x 1984 = 1984

3) Si uno de los factores es menor que 1, entonces el producto es menor que el mayor de los factores.Ejemplo: 0,25 x 456 = 114

4) Si los dos factores son menor que 1, entonces el producto es menor que los dos factores.Ejemplo: 0,2 x 0,56 = 0,112

Actividad 1.2.3¿Qué actividad de enseñanza permite la conceptualización en el niño de forma separada de la ejercitación? Acá se requiere diferenciar: cómo se enseña un concepto y cómo se enseña un algoritmo. Es conveniente que el ejemplo mostrado haga referencia a un tópico específico de aritmética (no de geometría o álgebra).

Los conceptos se enseñan generalmente indicando a los estudiantes que memoricen el mismo, mientras que los algoritmos se enseñan con ejemplos prácticos. El mejor aprendizaje es el que se obtiene por experiencia propia, con base en esta premisa se deduce que las mejores actividades de enseñanza son aquellas que se hacen de manera práctica donde el estudiante percibe la realidad con sus sentidos y así la comprende y logra obtener una concepción de manera directa de la actividad que realiza. Si se trata de enseñar solo con símbolos en un pizarrón, los jóvenes probablemente no aprendan de manera eficaz, solo memorizan, hasta donde les es posible, los algoritmos para realizar operaciones matemáticas.

Por ejemplo el concepto de suma se puede enseñar con objetos reales. Se toman varios objetos iguales y se colocan en una mesa, luego se le pide a un estudiante del grupo que tome dos objetos y los coloque en un pupitre, se pregunta a los estudiantes cuantos objetos hay, se espera que contesten 2, luego se indica a otro estudiante que tome de la mesa 3 de los objetos y los coloque en el mismo pupitre, se pregunta al grupo de estudiantes cuantos objetos hay ahora, se espera que contesten 5. Después de esta actividad se les indica que expliquen con sus palabras la experiencia vivida y traten de describir como obtuvieron el resultado, seguidamente se discuten los diferentes algoritmos empleados por los estudiantes, destacando ventajas y desventajas y finalmente se llega a las conclusiones.

Actividad 1.2.4Debe presentar por escrito un esquema contentivo de los principales aspectos abordados en estos artículos y luego presentar por escrito su análisis sobre lo expuesto en el mismo.

Resumen de: Actitudes, perseverancia y rendimiento en matemáticas: la calificación de las diferencias de raza y de sexo de George M. A. Stanic y Laurie E. Hart

Nuestro comentario sobre las actitudes y las conductas relacionadas con el rendimiento se centrará en dos conclusiones principales. En primer lugar, las limitaciones de la clase de matemáticas exigen una nueva consideración del significado de la perseverancia: hay que establecer una distinción entre perseverancia e independencia para comprender del todo la relación entre perseverancia y rendimiento. En segundo lugar, el análisis de las actitudes, tanto de grupos como de individuos, lleva a la conclusión de que no existe una relación sencilla y evidente entre una actitud concreta y el rendimiento. Esta conclusión no reduce la importancia del estudio de las actitudes, sino que supone que la relación entre las actitudes y el rendimiento es más compleja de lo que expresan los coeficientes de correlación, y que es posible que tengamos que examinar minuciosamente las configuraciones concretas de actitudes mostradas por cada alumno.

Tanto los ítems de papel y lápiz como nuestras observaciones en clase pusieron de manifiesto los problemas de la definición de la perseverancia y la determinación de la relación entre la perseverancia y el rendimiento en la clase de matemáticas. En el aula que estudiamos, era más fácil encontrar casos de alumnos que dejasen por imposible un problema que ejemplos positivos de tenacidad ante la dificultad, porque se daban pocas oportunidades a los alumnos para perseverar de ese modo.

Para nosotros, era más fácil encontrar ejemplos de falta de perseverancia que casos positivos de tenacidad ante las dificultades porque el nivel y el ritmo de enseñanza

no favorecían ese tipo de situación conflictiva. Ni los alumnos de rendimiento elevado ni los de bajo rendimiento solían demostrar perseverancia en clase.

En una situación de clase, la perseverancia no puede juzgarse sobre la sencilla base de si los alumnos dan o no una respuesta porque, en efecto, a todos se les exige que la obtengan.

Aunque los investigadores han utilizado instrumentos de papel y lápiz para aislar determinadas posiciones y establecer correlaciones entre actitudes y rendimiento, no han podido explicar cómo afectan éstas al rendimiento (o, incluso, cómo puede influir el rendimiento en las actitudes).

Más importante que su nivel de confianza, era su visión de las matemáticas como algo que no le gustaba hacer y cuya utilidad era limitada.

Nuestro trabajo indica la necesidad de calificar las diferencias de grupo mediante el estudio de individuos en el transcurso del tiempo, y sus actitudes y conductas en interacción, utilizando múltiples medidas de rendimiento.

Resume de: Dimensiones sociales y críticas de la equidad en la educación matemática de Walter G. Secada

No cabe duda del carácter urgente que se otorga a las cuestiones relativas a la equidad, que supone un cambio positivo con respecto al pasado reciente, en el que se consideraba que la equidad se oponía a la excelencia (TOMLINSON, 1986).

"La cuestión de la equidad" engloba la complejidad de la diversidad de los estudiantes y de las ideas y tradiciones de las personas que se dedican a este campo; podríamos referirnos con la misma facilidad a la "cuestión de la resolución de problemas".

La solución debe elaborarse de manera que se ajuste al discurso dominante; es decir, las soluciones deben adaptarse a los planes dominantes de reforma e investigación.

Algunos defensores de la reforma de la educación matemática han manifestado que las escuelas a las que asisten muchos niños de bajo nivel socioeconómico (NSE) experimentan una elevada tasa de movilidad del profesorado, un liderazgo inestable y otros problemas que "salen fuera del ámbito de la educación matemática". Como tenemos que centrar nuestra atención en aspectos "sobre los que podamos hacer algo" -dicen-, debemos dejar de lado las cuestiones que se refieren a la escuela y, en cambio, prestar atención al curriculum y a la enseñanza (en otras palabras, resolver un problema más sencillo, al estilo de POLYA, 1957), como si los educadores de matemáticas pudieran influir en el curriculum y en la enseñanza sin tener en cuenta la escuela en su totalidad. Nunca se considera que esta visión estrecha de las matemáticas escolares y de su reforma está muy sesgada por valores; que no sólo se traduce en una desconexión de la equidad con respecto a la reforma, sino también en la subordinación de la equidad a los imperativos de la reforma y, por último, que es probable que conduzca a una nueva estratificación de las oportunidades o al fracaso completo de los esfuerzos de reforma.

Los educadores multiculturales recomiendan que los profesores conozcan y comprendan las normas de comunicación de diversos grupos sociales y culturales (véanse, por ejemplo: DAMEN, 1987; GRANT Y SLEETER, 1989; HEATH, 1986; NIETO, 1992; SLEETER y GRANT, 1988).

En Professional Standards for Teaching Mathematics (National Council of Teachers of Mathematics, 1991), son muy escasas las alusiones a las muchas cosas que tienen que hacer los profesores de poblaciones estudiantiles de orígenes diversos dentro y fuera del aula.

En el marco de esta concepción más amplia, la buena enseñanza supone garantizar el acceso de los estudiantes a las oportunidades que puedan surgir. Los indicadores de una práctica competente son la llegada de alumnos de distinto origen cultural a las matemáticas avanzadas, la perseverancia en las asignaturas escogidas y, por último, el acceso de los alumnos de distintos orígenes a titulaciones y carreras profesionales superiores relacionadas con las matemáticas. En otras palabras, la buena enseñanza debe ayudar a los alumnos a mantenerse en la línea de las matemáticas. De acuerdo con ese perfil, habrá que considerar buenos profesores a aquellos cuyos alumnos aprueben el examen avanzado de cálculo.

En definitiva, mientras reformamos las matemáticas escolares, tenemos que garantizar que los diversos grupos tengan acceso al sistema vigente, con independencia de lo deficitario que parezca a los reformadores. La utilización de los grupos cooperativos, considerada por la comunidad de la educación matemática como indicativa de la buena enseñanza, puede interpretarse como una cuestión de equidad, y la comunicación transcultural también puede considerarse como un aspecto de la buena enseñanza.

A la preocupación por la equidad en el aprendizaje de los estudiantes se responde afirmando que los planes de reforma se ocuparán de la equidad, pero los hechos no concuerdan con tales afirmaciones, salvo los eslóganes de que la equidad y la excelencia son objetivos compatibles y que la reforma ayudará a todos los estudiantes ¿Cómo va a oponerse nadie a algo que ayude a todos los alumnos, sin que parezca irracional o tendencioso?

Actividad 1.2.5Seleccione un libro de texto cualquiera de matemáticas y tome un capitulo del mismo. Luego de leerlo analice y presente por escrito, si encuentra en el texto seleccionado elementos que pudieran generar discriminación o exclusión con base en las lecturas efectuadas. Haga exactamente lo que se le solicita, señale el libro y el capítulo que seleccionó.

El libro elegido fue Matemáticas de 7mo grado de la editorial Santillana, el capitulo seleccionado Unidad 1, Números Naturales.

En el texto seleccionado no se encontraron elementos que puedan generar discriminación o exclusión en los estudiantes que lo consulten. El libro en general tiene un lenguaje orientado a la enseñanza de la matemática sin hacer referencia en ninguna de sus líneas a preferencias de algún tipo o discriminación hacia alguien o algo. Se presenta el contenido con la mayor objetividad posible con la aclaratoria de que se la forma de enseñanza está dirigida a contenidos y algoritmos sin tratar de estimular en los estudiantes el pensamiento matemático.