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Vicerrectoría Académica Dirección de Servicios Académicos

Subdirección de Servicios a Escuelas

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ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE

Sigla Curso MAT330 Nombre Curso Cálculo I

Créditos 10 Hrs. Semestrales Totales 5 Requisitos MAT200 o MAT2001

Fecha Actualización

Escuela o Programa Transversal Programa de Matemática Currículum

Carrera/s Todas N°

APRENDIZAJE(S) ESPERADO(S)

Dibuja gráficos de funciones elementales.

Calcula imágenes de funciones exponenciales.

Calcula imágenes de funciones logarítmicas.

Calcula pre-imágenes de funciones exponenciales.

Calcula pre-imágenes de funciones logarítmicas.

Resuelve problemas de fenómenos modelados con funciones exponenciales.

Resuelve problemas de fenómenos modelados con funciones logarítmicas.

NOMBRE DE LA ACTIVIDAD

Aplicaciones de la función exponencial y logarítmica

Modalidad

□ Presencial

□ No Presencial

Duración de la actividad (horas):

__________________________

Forma de trabajo:

□ Individual

□ Grupal

- Tamaño del grupo:

□ 2 □ 3-5 □ 6-8 □ +8

Lugar:

□ Sala de clases

□ Laboratorio (especifique)_____________

□ Taller (especifique)_____________

□ Terreno (especifique)_____________

□ Otros (especifique)_____________

Recursos de información:

□ Impreso

___________________________________________

□ Tecnológico

___________________________________________

□ Informático

___________________________________________

Material de apoyo para la actividad:

DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD

Secuencia didáctica - roles de estudiantes y docentes - criterios de evaluación



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FUNCIÓN LOGARITMO

El logaritmo de un número x es el exponente y al que hay que elevar la base dada b ,

para que nos de dicho número x , es decir:

y

b bxyx log

La base tiene que ser positiva y distinta de 1. El Dominio de la función logaritmo es: Los

reales positivos ( )

Propiedades:

a. )(logloglog yxa

ya

xa

b.

y

xyx aaa logloglog

c. xnx a

n

a loglog

d. xx loglog10

e. xxe lnlog

FUNCION EXPONENCIAL

Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder

la potencia xa se llama función exponencial de base a y exponente x .

La más famosa de todas las funciones exponenciales es xeaxf )( .

Donde 571828182842,e

El dominio de la función exponencial es: Todos los reales ( )



3

OBSERVACION

La función exponencial es la función inversa de la función Logarítmica (aplicadas en una

misma base) y viceversa, es decir por ejemplo:

a. xe x )ln( c. xx )log(10

b. xex )ln( d. xx )10log(

I APLICACIONES DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA

1. Una población de bacterias cambia según el modelo logarítmico

000.1) 25,01( ln 000.12 tP donde t es el tiempo en días.

a) ¿Cuál es la población inicial de bacterias?

b) ¿Cuál será la población de bacterias al cabo de 50 días?

2. En la escala de Richter, la magnitud M de un terremoto de intensidad I está

dada por:

)10ln(

)ln(IM

a) Encuentre la intensidad del terremoto de San Francisco de 1906, que midió

3,8M en la escala de Richter.

b) Encuentre la intensidad del terremoto de Valdivia de 1960, que midió

1,9M en la escala de Richter.

c) Si la intensidad de un temblor es de 4.320, ¿cuál es su magnitud?



4

3. La intensidad del sonido que percibe el oído humano tiene diferentes niveles. Una

fórmula para hallar el nivel de intensidad , en decibeles, que corresponde a

intensidad de sonido I es:

0

log10I

I donde 0I

es un valor especial de I

que corresponde al sonido más débil que puede ser detectado por el oído bajo

ciertas condiciones. Encuentre en los casos siguientes:

a) I es 1.000 veces más grande que 0I .

b) I es 10.000 veces más grande que 0I .( este es el nivel de intensidad

promedio de la voz)

c) Un nivel de intensidad del sonido de 141 decibeles produce dolor en un oído

humano común. ¿Cuántas veces, aproximadamente debe ser I más grande

para que

alcance este nivel?

4. Datos experimentales han mostrado que el crecimiento en los niños entre las

edades de 2 a 16 años puede ser aproximado por medio de la función:

1,37ln6,18)( AAP ; donde P es el porcentaje de la estatura de un adulto y

A es la edad del niño en años.

a) ¿Qué porcentaje de su estatura de adulto tendrá un niño a la edad de 8

años?

b) ¿Qué porcentaje de su estatura de adulto tendrá un niño a la edad de 14

años?

c) ¿A qué edad un niño logra el 80% de su estatura de adulto?

5. Los químicos usan un número denotado pH para describir cuantitativamente la

acidez o la basicidad de ciertas soluciones. Por definición, HpH log

donde [H+] es la concentración de iones hidrógenos en moles por litros.

Aproxime el pH de las siguientes soluciones dados sus correspondientes [H+]:

a) Vinagre: [H+] = 3103,6

b) Zanahoria: [H+] = 5100,1

c) Agua de mar: [H+] = 9100,5



5

II GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN LOGARÍTMICA

6. Un terremoto cuya lectura sismográfica mide x milímetros tiene una magnitud M

dada por: )10log()( 3 xxM . ¿Qué gráfico modela la situación?, fundamente su

respuesta.

La gráfica de una función logaritmo xxfb

log)( es una curva que depende de b

10 b 1b

La gráfica pasa por el punto (1,0) ya que 01log b



6

7. Un constructor necesita saber en cuanto tiempo t se enfría totalmente un objeto

que tiene temperatura T y para ello se rige por la siguiente función:

30

50log2

Tt . ¿Cuál es el gráfico que modela la situación?, fundamente su

respuesta.

8. Se quiere saber cuántos años deberán pasar para que un auto tenga un valor de

Vf millones de pesos, ya que este se deprecia pasados los t años.

03,0log7

Vft ¿Cuál es el gráfico que modela la situación?.



7

9. La estatura de una planta, después de haber sido plantada, depende del agua

proporcionada, y del clima en el cual se encuentre. Considerando que estas

condiciones son las óptimas para su crecimiento, a medida que transcurran los

días la planta incrementará su altura, de acuerdo a una expresión logarítmica,

modelada a través del siguiente gráfico

a) De acuerdo a la siguiente gráfica, determine la expresión algebraica que

modela la situación. Considere la expresión xbay log

b) ¿Qué altura alcanzará una planta al cabo de una semana de haber sido

plantada?

c) Si una plata tiene una altura de 11 centímetros, ¿hace cuántos días fue

plantada?



8

10. La sonoridad de un sonido )(xS medida en decibelios, se define, utilizando una

expresión logarítmica, donde x es el flujo de energía producida por unidad de

área (intensidad), medida en watts por metro cuadrado 2mW .


modela la situación. Considere la expresión axy blog

b) ¿Cuál es la sonoridad producida por el tráfico vehicular, si la intensidad

producida es de 90 2mW ?

c) Si la sonoridad producida por un concierto es de 5 decibelios, ¿Cuál es

intensidad?



9

11. La magnitud M de una estrella, indica cual es su clasificación de acuerdo al brillo

que esta posea. Esta magnitud se puede determinar conociendo el flujo luminoso

de la estrella, a través de una expresión logarítmica, modelada a través del

siguiente gráfico.


modela la situación. Considere la expresión xbay log

b) ¿Cuál es el la Magnitud de una estrella, que tiene flujo luminoso 9?

c) Si la Magnitud de una estrella es 4,8, ¿Cuál es su flujo luminoso?



10

III APLICACIONES DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

12. La Función:x

xV

)09,1(5001

500.15)(

Representa las ventas totales, en miles de pesos, x días después de ingresar un

nuevo artículo al mercado. Determine:

a) ¿Cuánto fue la venta después de una semana?

b) ¿Cuánto fue la venta total durante el pasado mes de Marzo?

13. Si se invierte un capital inicial iV pesos al %i de interés compuesto anual, al

cabo de n años se tendrá una cantidad

n

if

iVV

1001 . Determine:

a) ¿Cuál será la tasa de interés para que $1.000.000 se transforme en

$1.440.000 en dos años?

b) Si decido invertir $200.000 al 36% de interés anual, ¿Cuál es la cantidad

final después de 10 años?

c) ¿En cuánto tiempo debo invertir $100.000 para producir $12.749.052 al

33%?

14. Se ha proyectado que dentro de t años, la población de nuestro país será:

tetP 02,017)( Millones de habitantes.

a) ¿Cuál es la población actual?

b) ¿Cuál será la población dentro de 30 años?

c) Si la población de nuestro país es de 51 millones de habitantes, ¿cuántos

años han transcurrido?

15. La población de una pequeña comunidad después de t años es aproximadamente

de ktetP 500.1)( . Si la población inicial aumenta 25% en 10 años, ¿cuál será

la población en 20 años?



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16. Investigaciones recientes sugieren que el riesgo R (en porcentaje) de tener un

accidente automovilístico puede ser modelado por la función kxAexR )( ,

sabemos que inicialmente el riesgo es del 6% y al suponer una concentración de

0,04 grados de alcohol en la sangre produce un riesgo del 10%.

a) ¿Cuál es la función que modela esta situación?

b) ¿Cuál será el riesgo para una concentración de 0,17 grados de alcohol?

c) Si el riesgo es del 20%, ¿Cuál será la concentración?.

IV GRÁFICA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

La gráfica de la función exponencial x

aTxf )( , con 1a es una curva, cuya

forma depende del valor de a

10 a

1a

La grafica Intersecta al eje y en 1, es decir, pasa por el punto (0,1).



12

17. Un almacén de aparatos electrodomésticos liquida mercancía con ligeros

deterioros, mediante el sistema de reducir cada año el 35% del valor de la

mercancía que va quedando. Si desea comprar un hervidor eléctrico, cuya

variación de precio está reflejada en el siguiente gráfico.

a) ¿Cuál es el valor inicial del hervidor eléctrico?

b) ¿Cuál es el valor de un hervidor eléctrico que permanece 4 años

almacenado?

c) ¿En qué porcentaje disminuye el valor del hervidor a los 4 años respecto del

valor inicial?

18. En la ciencia de la pesca se conoce como “cohorte” al conjunto de peces que

resulta de una reproducción anual. Se supone que el número de peces que sigue

vivo cuando han pasado t años, con un máximo de 50 años, está representado

en la siguiente gráfica.

a) ¿Cuál es el tamaño inicial del Cohorte?

b) ¿Cuántos peces viven después de 10 años?

c) ¿Cuál es el tamaño del cohorte a los 50 años?



13

19. El índice de contaminación aumenta a medida que transcurren las horas del día,

lo que está dado por la función tetI 2,01,2)( , donde t son las horas

transcurridas a partir de las 6 am ¿Cuál es la gráfica que modela dicha

situación?, fundamente su respuesta.

20. La ganancia anual G de una empresa, en miles de dólares, debido a los negocios

con otras entidades, después de x

años que se realiza este negocio, es: x

G

2

160100 ¿Cuál es la gráfica que modela dicha situación?,

fundamente su respuesta.



14

21. Un taller se dedica a la venta de repuestos mecánicos nuevos y usados. El valor

V , en miles de pesos, de un repuesto está dado por la ecuación: teV 2,060 ,

donde t son los años de uso del repuesto ¿Cuál es la gráfica que modela dicha

situación?, fundamente su respuesta

22. Cristóbal de 28 años recién cumplidos, piensa en su vejez y decide depositar

cierta cantidad de dinero a una tasa de interés compuesto anual, ofrecido por su

banco. Según la siguiente gráfica donde “x” representa los años invertidos del

dinero, “y” la cantidad de dinero total.

a) Determine la función exponencial que modela dicha situación. Considere la

expresión xaTy

b) ¿Cuánto dinero tendrá Cristóbal cuando tenga 50 años?

c) ¿Cuántos años aproximadamente tendría que tener invertido su dinero para

retirar $10.947.132?



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23. Para el laboratorio de Informática se compró un equipo de cómputo; sin embargo

se sabe que cualquier equipo sufre una devaluación a partir de su compra, la que

está dada por una función matemática. En la gráfica siguiente, donde “x”

representa la cantidad de años e “y” representa el valor en pesos del equipo.

a) Determine la función exponencial que modela dicha situación. Considere la

expresión xaTy

b) ¿Cuál será el valor aproximado del equipo cuando hayan pasado 7 años?

c) ¿Cuántos años aproximadamente tendrían que pasar para que el equipo

tenga un valor de $826.873

24. Una obra de arte de un famoso pintor chileno, vale cierta cantidad de dinero en

la actualidad y este valor aumenta cada año según una función matemática. La

siguiente gráfica representa dicha situación donde “y” representa el valor de la

obra de arte y “x” representa los años que han pasado desde la actualidad.

a) Determine la función exponencial que modela la situación anterior.

Considere la expresión xaTy

b) ¿Qué valor tendrá la obra de arte cuando pasen 7 años?

c) ¿Cuántos años aproximadamente tendrían que pasar si el valor de la obra

fuese de $1.569.214?



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SOLUCIONES

1. a) La población inicial es de 1.000 bacterias.

b) Al cabo de 50 días la población será de 32.232 bacterias.

2. a) La intensidad es de 3,810I o

1,19eI

b) La intensidad es de 1,910I

c) La magnitud fue de 3,6° en la escala de Richter

3. a) La intensidad es de 30 decibeles

b) La intensidad es de 40 decibeles

c) I debe ser 1,1410 veces más grande que

0I

4. a) El niño a los 8 años logra el 75,8% de su estatura de adulto.

b) El niño a los 14 años logra el 90,9% de su estatura de adulto.

c) El niño logra el 80% de su estatura de adulto aprox. a los 10 años.

5. a) Vinagre 2,2 PH.

b) Zanahoria 5 PH.

c) Agua de Mar 8,3 PH.

6. Modelo 3.

7. Modelo 3.

8. Modelo 2.



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9. a) La función es )log(35)( xxM

b) La planta al cabo de una semana alcanza 7,54 cm.

c) La planta fue plantada hace 100 días.

10. a) La función es )1000(log)( 10 xxS .

b) La sonoridad producida por el tráfico vehicular es de 4,95 decibelios.

c) La intensidad del concierto es 100 2mW .

11. a) La función es ).log(5,26)( xxM

b) La magnitud de la estrella es 3,6.

c) El flujo luminoso de la estrella es 3.

12. a) La venta después de una semana es de $56.463.

b) La venta total en el mes de Marzo fue $338.619.

13. a) La tasa de interés anual es de un 20%.

b) A los 10 años se obtiene un monto de $4.329.314.

c) debe invertir el dinero por aprox. 17 años.

14. a) La población actual es de 17.000.000 de habitantes.

b) La población a los 30 años aprox. es de 30.976.019 de habitantes.

c) Han transcurrido aprox. 55 años.



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15. 022314,010

4

5ln

k ; 344.27,343.220 P

Respuesta: La población a los 20 años es aproximadamente 2.344 habitantes.

(Este valor puede variar dependiendo de las aproximaciones decimales, en el

problema se consideraron 6 decimales para el valor de k)

16. a) La función es x

exR77,12

6)(

b) El riesgo para 0,17 grados de alcohol es 52,6%.

c) Si el riesgo es del 20% la concentración de alcohol es 0,09 grados.

17. a) El valor inicial del hervidor es de $15.000.

b) El valor del hervidor a los 4 años es de $2.678.

c) El porcentaje de disminución es de 82,1%.

18. a) El tamaño inicial del cohorte es de 2.000 peces.

b) El tamaño del cohorte a los 10 años es de 2.443 peces.

c) El tamaño del cohorte a los 50 años es de 5.437 peces.

19. Modelo 1.

20. Modelo 3.

21. Modelo 2.

22. a) La función es xxf )12,1(000.000.2)( .

b) Cristóbal cuando tenga 50 años tendrá $24.200.620.

c) Debe tener invertido su dinero por 15 años.



19

23. a) La función es xxf )85,0(000.200.4)( .

b) A los 7 años el valor será $1.346.424.

c) Deben transcurrir aproximadamente 10 años.

24. a) La función es xxf )1,1(000.500)( .

b) A los 7 años el valor será $974.359.

c) Deben transcurrir aproximadamente 12 años.

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