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Vicerrectoría Académica Dirección de Servicios Académicos

Subdirección de Servicios a Escuelas

1

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE

Sigla Curso MAT330 Nombre Curso Cálculo I

Créditos 10 Hrs. Semestrales Totales 5 Requisitos MAT200 o MAT2001

Fecha Actualización

Escuela o Programa Transversal Programa de Matemática Currículum

Carrera/s Todas N°

APRENDIZAJE(S) ESPERADO(S)

Reconoce el límite como el valor de tendencia de una función

Calcula el límite de una función.

Resuelve problemas aplicando el concepto de límite.

NOMBRE DE LA ACTIVIDAD

Aplicaciones de límites de funciones y límites laterales.

Modalidad

□ Presencial

□ No Presencial

Duración de la actividad (horas):

__________________________

Forma de trabajo:

□ Individual

□ Grupal

- Tamaño del grupo:

□ 2 □ 3-5 □ 6-8 □ +8

Lugar:

□ Sala de clases

□ Laboratorio (especifique)_____________

□ Taller (especifique)_____________

□ Terreno (especifique)_____________

□ Otros (especifique)_____________

Recursos de información:

□ Impreso

___________________________________________

□ Tecnológico

___________________________________________

□ Informático

___________________________________________

Material de apoyo para la actividad:

DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD

Secuencia didáctica - roles de estudiantes y docentes - criterios de evaluación



2

I Límite de funciones.

1. Considere la función 5)( xxf

a) ¿Existe )1(f ?

b) Haga una tabla de valores de )(xf con x cercanos a -1 (por cualquiera de

los lados de -1). Investigue qué pasa con las imágenes )(xf cuando x se

acerca a -1.

2. Considere la función 2

4)(

2

x

xxf

a) ¿Existe )2(f ?

b) Haga una tabla de valores de )(xf con cercanos a -2 (por cualquiera de los

lados de -2). Investigue qué pasa con las imágenes )(xf cuando x se

acerca a -2.

3. Calcule los siguientes límites:

a) 4

32

2lim

x

x

b) 2122

423320

lim

x

x

x

c) )1632( 32

4lim

xx

x

d) )12( 2

2lim

tx

x

e) 1

542

1lim

x

xx

x

DEFINICIÓN Significado intuitivo de límite

Decir que Lxfcx

)(lim significa que cuando x está cerca de c , pero diferente de

c , entonces )(xf está cerca de L .



3

4. Calcule los siguientes límites:

a) 2

234

0

2lim

x

xxx

x

b) 3

92

3lim

x

x

x

c) 7

2142

7lim

t

tt

t

d) h

h

h

4)2( 2

0lim

e) h

xhx

h

22

0

)(lim

II Límites Laterales.

LÍMITES LATERALES

DEFINICIÓN Límites por la derecha y por la izquierda

Decir que Lxfcx

)(lim , significa que cuando x está cerca, pero a la derecha de c ,

entonces )(xf está cerca de L . De manera análoga, decir que Lxfcx

)(lim ,

significa que cuando x está cerca, pero a la izquierda de c , entonces )(xf está

cerca de L .

TEOREMA:

LxfxfLxfcxcxcx

)(lim)(lim)(lim



4

5. Calcule los límites laterales de la función )(xf en 2x , indicando si existe el

límite de la función para ese valor.

2;13

2;3)(

x x

x xxf

6. A continuación se muestra el gráfico de una función )(xg . Calcule el límite de la

función en 0x :

7. Calcule los límites laterales de la función )(xf en 3x , indicando si existe el

límite de la función para ese valor.

3;3

128

3;3

9

)(

2

x x

x

x x

x

xf



5

8. A continuación se muestra el gráfico de una función )(xf . Calcule el límite de la

función en 1x :

9. Calcule los límites laterales de la función )(xf en 3x , e indique si existe el

límite de la función para dicho valor.

3;3

642

3;8

3;3

152

)(

2

2

xx

xx

x

xx

xx

xf

10. Calcule los límites laterales de la función )(xf en el punto 0x y 2x , cuyo

gráfico está a continuación:



6

11. El costo de arriendo diario de un vehículo está dado por: xxC 100000.10)( ,

donde x representa la cantidad de kilómetros recorridos, con la restricción de

que el vehículo debe recorrer menos de 1.500 km al día. Determine a que valor

tiende el costo de arriendo cuando los kilómetros recorridos tienden a los 1.500

km.

12. La pendiente de la recta tangente a la curva 2)( xxf , en 2x , está dada por

la expresión: h

hh

h

42

0lim

. Determine la pendiente de la recta tangente a la curva

en ese punto.

13. Supongamos que bajo una intensidad luminosa x, el diámetro (en milímetros) de

la pupila viene dado por: 4,0

4,0

154

90160)(

x

xxf

. Hallar el diámetro de la pupila bajo

una intensidad casi nula.

14. En estos tiempos eliminar la contaminación en un 100% es muy difícil, casi

imposible. Si el costo (en dólares) de eliminar x% de la contaminación del agua

en cierto riachuelo está dado por: x

xxC

100

000.75)( ; 1000 x . Determine que

ocurre con el costo cuando el porcentaje de contaminación eliminado tiende al

100%.

15. Suponga que la cantidad de horas-trabajador requeridas para distribuir nuevas

guías telefónicas al x% de las familias de una cierta comunidad rural está dada

por la función: x

xxf

300

600)( . Determine a qué cantidad de horas-trabajador

tiende la función cuando se han repartido casi el 100% de las guías telefónicas.



7

III Límites al infinito.

LÍMITES AL INFINITO ELEMENTALES

i) 0lim nx x

C , Si 0n y C es un número real

ii) CCx

lim , Si C es un número real

16. Cuesta 574 xxc miles de dólares producir x unidades de un artículo. La

función costo medio está dada por x

xcxA , para 0x .

¿Qué sucede con el costo medio xA cuando la producción aumenta

indefinidamente?



8

17. El efecto de reducción del dolor de una droga puede medirse empleando la

función:

03,05,0

1002

2

xx

xxp

donde xp es el porcentaje de alivio del dolor que se espera, cuando se utilicen

x unidades de droga.

¿Qué sucede con el porcentaje de alivio

xp cuando el número de unidades de

droga aumenta indefinidamente?

18. En un colegio, el porcentaje de estudiantes que sufre mononucleosis, x días

después del primer caso reportado, está dado por:

322

1002

x

xxp

¿Qué sucede con el porcentaje de

estudiantes que sufre de mononucleosis

xp a largo plazo?



9

19. Para estudiar la tasa de aprendizaje de los animales, se realizo un experimento

en el que se enviaba una rata repetidamente a través de un laberinto. Suponga

que el tiempo requerido para que la rata atraviese el laberinto en el n-ésimo

intento era aproximadamente n

nnT

175)(

minutos.

¿Qué ocurre con el tiempo que tarda la rata en atravesar el laberinto a medida

que aumenta indefinidamente el número de intentos n ?

20. Un alambre se estira horizontalmente, como se muestra en la figura. Se realiza

un experimento en el cual se fijan diferentes pesas en el centro y se miden los

desplazamientos verticales correspondientes. Si la resistencia del alambre está

dado por: 1

100)(

3

2

w

wwR

¿Qué ocurre con la resistencia del alambre a medida que aumenta

indefinidamente el peso w ?



10

SOLUCIONES

1. a) 4)1( f

b)

x -0.9 -0.999 -0.9999 -1.001 -1.01 -1.1

)(xf 4,1 4,001 4,0001 3,999 3,99 3,9

Respuesta: Examinando las imágenes de elementos cercanos a -1, se observa que las

imágenes se acercan a 4.

Luego 4)(1

lim

xfx

2. a) 0

0)2( f , no existe imagen

b)

x -1.9 -1.999 -1.9999 -2.001 -2.01 -2.1

)(xf -3,9 -3,999 -3,9999 -4,001 -4,01 -4,1

Respuesta: Examinando las imágenes de elementos cercanos a -2, se observa que

las imágenes se acercan a -4.

Luego 4)(2

lim

xfx

3.

a) 4

1

b) 2

c) 240

d) 32 t

e) 4



11

4.

a) 1

b) 6

c) 10

d) 4

e) x2

5. 5)3( 2

lim

xx

7)13(2

lim

x x

;

)()(22

limlim xfxfxx

)(2

lim xfx

6. 2)( 0

lim

xfx

; 1)( 0

lim

xfx

;

)()(00

limlim xfxfxx

)(0

lim xfx

7. 6)3(3

9

33

limlim

xx

x

x

2

x

63

128

3

lim

x

x

x

; 6)()()(333

limlimlim

xfxfxfxxx

8. 6)(1

lim

xf x

; 6)(1

lim

xf x

; 6)()()(111

limlimlim

xfxfxfxxx

9. 8)5(3

152

33

limlim

xx

xx

x

2

x

8)1(23

642

3

2

3

limlim

x x

xx

xx

; 8)()()(333

limlimlim

xfxfxfxxx



12

10. Para el punto 0x , tenemos que:

2)( 0

lim

xfx

; 2)( 0

lim

xfx

; 2)()()(000

limlimlim

xfxfxfxxx

Para el punto 2x , tenemos que

0)( 2

lim

xfx

; 0)(2

lim

xfx

; 0)()()(222

limlimlim

xfxfxfxxx

11. 000.160)100000.10(500.1

lim

x x

Respuesta: El costo del arriendo tiende a $160.000.

12. 4)4()4(4

00

2

0limlimlim

h

h

hh

h

hh

hhh

Respuesta: La pendiente de la recta tangente a la curva 2xxf en 2x es 4.

13. 404

160

154

901604,0

4,0

0lim

x

x

x

Respuesta: El diámetro de la pupila es de 40 mm.

14. existeNox

x

x

0

000.500.7

100

000.75

100lim

Respuesta: El costo aumenta indefinidamente.

15. 300200

000.60

300

600

100lim

x

x

x

Respuesta: La cantidad de horas tiende a 300 horas.



13

16. El costo medio xA tiende a 4.000 dólares.

17. El porcentaje de alivio del dolor xp se acerca al 100%.

18. El porcentaje de estudiantes que sufre mononucleosis xp se acerca al 0%.

19. El tiempo que tarda la rata en atravesar el laberinto a medida que aumenta

indefinidamente el número de intentos se acerca a 5 minutos.

20. La resistencia del alambre tiende a 0.

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