actividad de aprendizaje sigla curso mat330 … · vicerrectoría académica dirección de...

Vicerrectoría Académica Dirección de Servicios Académicos

Subdirección de Servicios a Escuelas

1

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE

Sigla Curso MAT330 Nombre Curso Cálculo I

Créditos 10 Hrs. Semestrales Totales 5 Requisitos MAT200 o MAT2001

Fecha Actualización

Escuela o Programa Transversal Programa de Matemática Currículum

Carrera/s Todas N°

APRENDIZAJE(S) ESPERADO(S)

Resuelve problemas utilizando la operatoria de funciones elementales.

Resuelve problemas utilizando el concepto de composición de funciones.

Reconoce el límite como el valor de tendencia de una función

Calcula el límite de una función.

Resuelve problemas aplicando el concepto de límite.

Analiza la continuidad de una función.

NOMBRE DE LA ACTIVIDAD

Aplicaciones de operatoria, límites y continuidad de funciones

(repaso de contenidos de la prueba 2)

Modalidad

□ Presencial

□ No Presencial

Duración de la actividad (horas):

__________________________

Forma de trabajo:

□ Individual

□ Grupal

- Tamaño del grupo:

□ 2 □ 3-5 □ 6-8 □ +8

Lugar:

□ Sala de clases

□ Laboratorio (especifique)_____________

□ Taller (especifique)_____________

□ Terreno (especifique)_____________

□ Otros (especifique)_____________

Recursos de información:

□ Impreso

___________________________________________

□ Tecnológico

___________________________________________

□ Informático

___________________________________________

Material de apoyo para la actividad:

DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD

Secuencia didáctica - roles de estudiantes y docentes - criterios de evaluación



2

I Aplicaciones de operatoria de funciones.

1. Un negocio de venta de artículos de aseo determina que el costo (en $), al

producir x artículos de un nuevo producto es 150.1900 xxC , y los

ingresos por venta (en $) están dados por la función xxI 600.2 . Se pide:

a) Determine la función de utilidad al vender x artículos del nuevo producto.

b) ¿Cuál es la utilidad al vender 730 artículos del nuevo producto?

2. Una fábrica de muebles tiene la capacidad para producir desde 0 a 100

comedores por día. El costo fijo diario de la planta son 5.000 dólares, y el costo

variable (mano de obra y materiales) para producir un comedor es 805 dólares.

a) Escriba la función de costo unitario (costo promedio por comedor) en un

día.

b) ¿Cuál es el número de comedores diarios para los cuales la función costo

unitario, tiene sentido dentro del contexto?

c) ¿Cuál es el intervalo en dólares en el cual fluctúa el costo unitario de los

comedores?

3. Para el libro “La casa de los espíritus” en su última edición, se determinó que la

función de oferta es 4709)( 2 pppO y la función demanda está dada por

ppD 2500)( , donde p es el precio en dólares. Tenemos que DyO

representan el número de libros ofrecidos y demandados, respectivamente:

a) ¿Cuál es el precio de equilibrio? (Dato: )()( pDpO )

b) Determine la cantidad de libros ofrecidos y demandados en el precio de

equilibrio.



3

II Aplicaciones de composición de funciones.

4. Un fabricante determina que el número total de unidades de producción por día,

es una función del número de trabajadores m , que viene dada por

4

40 2mmmP

. Además el ingreso total (en dólares) que recibe por la venta

de q unidades, está dado por la función qqI 60 .

Determine:

a) El ingreso total en función del número trabajadores.

b) ¿Cuál es el ingreso total, si la producción de 35 trabajadores es vendida?

5. Un estudio ambiental de cierta comunidad suburbana sugiere que el nivel diario

promedio de monóxido de carbono en el aire será 15

2 ppc partes por

millón cuando la población sea p miles de habitantes. Se estima que en t años

la población de la comunidad será 2

5

18 ttp miles de habitantes.

Determine:

a) El nivel de monóxido de carbono en el aire como una función del tiempo.

b) ¿Cuál será el nivel de monóxido de carbono en 5 años, a partir de hoy?

6. Un fundo en el Sur de Santiago produce frutos para exportar, determina que la

cantidad de kilógramos embalados por día )(nu , es una función del número de

trabajadores ( n ), donde:

3

3520)(

3

nnnu

El ingreso total )(uI en pesos, que se recibe por la exportación de u kilógramos

de fruta embalados está dado por:

uuI 570)(

a) ¿Cuál es el ingreso total si el embalaje de 120 trabajadores es vendido?

b) En invierno se reduce la cantidad de trabajadores de la pregunta (a) en un

40%. ¿Cuántos kilógramos se embalan por día?

c) ¿Cuál es el ingreso total para el exportador si el embalaje de n

trabajadores es vendido?



4

III Aplicaciones de límite de funciones.

7. Calcule los siguientes límites:

a) 408

1522

5lim

x

xx

x

b) 2110

1822

2

3lim

xx

x

x

8. Calcule los límites laterales de la función )(xf en 0x , indicando si existe el

límite de la función para ese valor.

0;

0; )(

2 xx

xxxf

9. A continuación se muestra el gráfico de una función )(xf . Calcule el límite de la

función en 1x :



5

10. Un conductor por ley debe conducir menos de 5 horas en forma continua. Si los

reflejos del conductor, en porcentaje, están dados por la función

xxR 20100)( , donde x representa la cantidad de horas de conducción

continua. Determine a que porcentaje tienden los reflejos del conductor cuando

las horas de conducción continua se acercan a las 5 horas.

11. Los estudios del departamento de publicidad de una empresa, determinaron que

la utilidad por la venta de un nuevo producto, está relacionada con el gasto x en

publicidad, mediante la función:

8

1660

x

xxU , con xU y x en miles de dólares.

¿A cuánto se aproxima la utilidad, cuando el gasto en publicidad es muy grande?

Fundamente matemáticamente.



6

IV Aplicaciones de continuidad de funciones.

12. Considere las siguientes funciones y determine si son continuas o discontinuas,

mostrando claramente si se cumplen o no las tres condiciones.

a)

1 ;1

1 ;2)(

xsix

xsixf

b)

2;42

124

2;4

2;2

42

)(2

2

x si x

xx

x si

x si x

xx

xf

13. Según su gráfica, diga si la función f es continua o discontinua en el valor de x

indicado, mostrando claramente si se cumplen o no las tres condiciones.

a) en 0x

b) en 2x



7

14. Una compañía después de realizar un exhaustivo estudio concluyó que la función

ingreso total )(xI , en millones de pesos, al vender x unidades de un producto,

es:

400;5

800.875,30

400150;50

1500;5

400

)(

2

xsi x

xsi x

xsi xx

xI

a) ¿La compañía tiene un ingreso continuo al vender sus productos?

b) ¿Cuál será el ingreso si venden 500 unidades?

c) ¿Cuántas unidades se deben vender, para que el ingreso sea de 14 mil

millones de pesos?

15. La empresa de neumáticos RUEDALOCA, junto a sus ingenieros comerciales,

realizaron un estudio de sus costos de producción, precios de mercado y

demanda del mercado de neumáticos, para la fabricación de un nuevo tipo de

neumáticos que se venderán el primer semestre del 2013. Los ingenieros

determinaron que la función de venta total del nuevo tipo de neumáticos xV ,

en cientos de dólares, al vender x neumáticos, está dada por:

500;4

000.314

5000;200

900

)(

2

xsi x

xsixx

xV

¿La empresa RUEDALOCA tiene una venta continua al vender sus neumáticos?

Fundamente matemáticamente.



8

SOLUCIONES

1. a) 1.1501.700)(150.1900600.2 xxUxxxU

b) 1.239.8501.150730.7001730 U

Respuesta: La utilidad es de $1.239.850.

2. a) La función costo unitario o costo promedio es:

805

000.5805000.5CM

xx

x

x

xC(x)

b) El Dominio son los enteros desde 1 hasta 100;

1001/ xxCMDom

c) El Recorrido son los reales desde 855 hasta 5.805;

805.5855/ yyCMRec

3.

a) 030725004709 22 ppppp

a

cabbp

c

b

a

2

4

30

7

12

xx p 3;102

137

2

9167

21

Respuesta: El precio de equilibrio es de 10 dólares.

b) 480102500)10()10( DO

Respuesta: La cantidad es de 480 libros.



9

4. a) 22

40154

4060))(())(( mm

mmmPImPI

215600))(( mmmPI

b) 625.2351535600)35)((2PI

Respuesta: El ingreso total es de 2.625 dólares.

5. a) 125

2

5

161

5

18

5

2))(())(( 22

tttpctpc

2

25

2

5

21))(( ttpc

b) 2,65

315

25

2

5

21)5)((

2pc

Respuesta: El nivel de monóxido de carbono en 5 años será de 6,2 partes por millón.

6.

a) 201.520.11)120( u ; 570.514.566.6)201.520.11( I

Respuesta: El ingreso total es de $6.566.514.570.

b) Trabajadores 726,0120 ; 441.488.2)72( u kg. embalados por día

c) 3

3520570))(())((

3

nnnuInuI

570950800.3))(( 3 nnnuI



10

7. a) 0

0

408

1522

5lim

x

xx

x

18

8

8

3

58

53

408

152

55

2

5limlimlim

x

x

xx

x

xx

xxx

b) 0

0

2110

1822

2

3lim

xx

x

x

3

4

62

7

32

73

332

2110

182

332

2

3limlimlim

x

x

xx

xx

xx

x

xxx

8. 0)( 0

lim

xx

0)( 2

0lim

x

x ; 0)()()(

000limlimlim

xfxfxfxxx

9. 1)( 1

lim

xfx

; 3)( 1

lim

xfx

;

)()(11

limlim xfxfxx

)(1

lim xfx

10. 0201005

lim

x x

Respuesta: Los reflejos del conductor tienden a un 0%.



11

11. 8

1660limlim

x

xxU

xx (dividimos por la mayor potencia de x )

6001

060

81

1660

8

1660

limlim

x

x

x

xx

x

xx

Respuesta: Cuando el gasto en publicidad es muy grande, la utilidad tiende (o se

aproxima) a 60.000 dólares.

12. a) i) 0)0( f (Existe imagen para 0x )

ii) 0)( 0

lim

xx

; 0)( 2

0lim

x

x 0)()()(

000limlimlim

xfxfxfxxx

iii) )0()(0

lim fxfx

Respuesta: La función f es continua en 0x .

b) i) 2)1( f (Existe imagen para 1x )

ii) 2)2( 1

lim x

; 0)1( 1

lim

xx

)()(11

limlim

xfxfxx

)(1

lim xfx

iii) )1()(1

lim fxfx

Respuesta: La función f es discontinua en 1x .



12

c) i) 4)2( f (Existe imagen para 2x )

ii) 422

)2(2

2

42

22

2

2

limlimlim

xx

xx

x

xx

xxx

42

6

)2(2

)6)(2(

42

124

22

2

2

limlimlim

x

x

xx

x

xx

xxx

4)()()(222

limlimlim

xfxfxfxxx

iii) )2()(2

lim fxfx


13. a) i) 0)0( f (Existe imagen para 0x )

ii) 0)( 0

lim

xfx

; 0)( 0

lim

xfx

0)()()( 000

limlimlim

xfxfxfxxx

iii) )0()(0

lim fxfx


b) i) 1)2( f (Existe imagen para 2x )

ii) 4)( 2

lim

xfx

; 4)( 2

lim

xfx

4)()()(222

limlimlim

xfxfxfxxx

iii) )2()(2

lim fxfx

Respuesta: La función f es discontinua en 2x .



13

14. a) i) 500.7)150( I (Existe imagen para 150x )

ii) 500.7)(150

lim

xIx

; 500.7)(150

lim

xI x

xI xIxIxxx

500.7)()()(150150150

limlimlim

iii) )150()(150

lim IxIx

La función I es continua en 150x .

i) 000.20)400( I (Existe imagen para 400x )

ii) 000.20)(400

lim

xIx

; 000.20)(400

lim

xI x

xI xIxIxxx

000.20)()()(400400400

limlimlim

iii) )400()(400

lim IxIx

La función I es continua en 400x .

Respuesta: La compañía tiene un ingreso continuo al vender sus productos.

b) Si venden 500 unidades el ingreso será de 20.610 millones de pesos.

c) Se deben vender 280 unidades para lograr un ingreso de 14 mil millones de

pesos.



14

15. Analizaremos la continuidad de la función en el punto 500x , por lo que se

deben cumplir 3 condiciones:

i)

000.14

000.350014)500(

V (Existe imagen para 500x )

ii) 000.1200

900)(

2

500500

limlim

xxxV

xx

; 000.14

000.314)(

500500

limlim

xxV

xx

xV xVxVxxx

000.1)()()(500500500

limlimlim

(Existe límite de la función cuando 500x )

iii) 000.1000.1)500()(500

lim

VxVx

(se cumple la igualdad)

Respuesta: La empresa RUEDALOCA tiene una venta continua al vender el nuevo tipo

de neumáticos.

actividad de aprendizaje sigla curso mat330 … · vicerrectoría académica dirección de...

Documents