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Vicerrectoría Académica Dirección de Servicios Académicos

Subdirección de Servicios a Escuelas

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ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE

Sigla Curso MAT330 Nombre Curso Cálculo I

Créditos 10 Hrs. Semestrales Totales 5 Requisitos MAT200 o MAT2001

Fecha Actualización

Escuela o Programa Transversal Programa de Matemática Currículum

Carrera/s Todas N°

APRENDIZAJE(S) ESPERADO(S)

Calcula imágenes de funciones polinomiales, racionales y radicales.

Dibuja gráficos de funciones elementales.

Calcula pre-imágenes de funciones cuadráticas.

Resuelve problemas de fenómenos modelados con funciones polinomiales.

NOMBRE DE LA ACTIVIDAD

Aplicaciones de la función cuadrática

Modalidad

□ Presencial

□ No Presencial

Duración de la actividad (horas):

__________________________

Forma de trabajo:

□ Individual

□ Grupal

- Tamaño del grupo:

□ 2 □ 3-5 □ 6-8 □ +8

Lugar:

□ Sala de clases

□ Laboratorio (especifique)_____________

□ Taller (especifique)_____________

□ Terreno (especifique)_____________

□ Otros (especifique)_____________

Recursos de información:

□ Impreso

___________________________________________

□ Tecnológico

___________________________________________

□ Informático

___________________________________________

Material de apoyo para la actividad:

DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD

Secuencia didáctica - roles de estudiantes y docentes - criterios de evaluación



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FUNCIÓN CUADRÁTICA

Una función cuadrática es de la forma: cxbxaxf 2)( , donde a , b y c son

números reales y 0a .

La gráfica de la función cuadrática f es una parábola de vértice en el punto:

a

bf

a

b

2,

2

Concavidad

Si 0a , entonces la parábola se abre hacia arriba.

Si 0a , entonces la parábola se abre hacia abajo.



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Soluciones de la Función de 2°Grado

Si tenemos que la función Cuadrática, de manera particular, se transforma en

cbxax 20 . Este representa el cálculo de las soluciones o raíces de la

ecuación de segundo grado (o cuadrática) y se realiza utilizando la siguiente

fórmula:

a

cabbx

2

42

Donde las dos soluciones están dadas, cada una por:

a

cabbx

2

42

1

a

cabbx

2

42

2

Y que gráficamente, representan los puntos en donde la curva intersecta al eje x.

Si 21 xyx son las raíces o soluciones de la ecuación, entonces se cumplen las

siguientes identidades:

a

bxx 21

a

cxx 21

Naturaleza de las Soluciones de la Función de 2°Grado

Podemos ver la naturaleza de las raíces de la función con el discriminante, sea

cab 42 el discriminante.

Si 0 , tiene solo una raíz real, es decir 21 xx

Si 0 , las raíces son reales y distintas, es decir 21 xx

Si 0 , no tiene solución real, es decir 21 xyx son números complejos.



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I RESUELVA LOS SIGUIENTES EJERCICIOS

1. Un fabricante determina que el ingreso en pesos, obtenido por la producción y

venta de x artículos, está dado por la función: 225,0350)( xxxR .

a) Calcule el ingreso cuando se venden 100 artículos.

b) Determine la menor cantidad de artículos que debe vender para que el

ingreso sea de $120.000.

2. Un proyectil se lanza directamente hacia arriba desde el suelo. Después de

transcurridos t segundos, su distancia en metros por encima del suelo está dada

por la función: 216144)( tttd .

a) ¿Después de cuántos segundos estará el proyectil a 128 metros del suelo?

b) ¿En qué momento toca el suelo el objeto?

3. El número de millas M, que cierto automóvil puede recorrer con un galón de

gasolina, con una rapidez de v millas por hora, está dado por la función:

v2

5v

30

1vM 2

, para 700 v

a) Calcule el número de millas que el automóvil puede recorrer con un galón

de gasolina, para 20v millas por hora.

b) Si el automóvil recorrió 45 millas, determine la menor rapidez alcanzada.

4. Los recargos aplicados al arriendo de cabañas durante los 90 días de la

temporada estival en el club campestre “Cartagua’s Club” se ajustan a la función 2100)( xxxR , donde R es el recargo en euros y x es el día en que se

registró el arriendo.

a) Determine el día en que se registró el arriendo si el recargo es de 1.875

euros.

b) Determine el recargo del día 70 de la temporada estival.

5. Las utilidades U(x) en miles de pesos de una empresa faenadora de carnes de

cerdo está dada por la función 25402,0)( 2 xxxU , donde x es el número

de cerdos faenados.

a) Determinar la utilidad obtenida al faenar 250 cerdos.

b) Determinar la cantidad de cerdos faenados para que la utilidad sea de

$387.500



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II OPTIMIZACIÓN DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA

6. Un objeto lanzado verticalmente hacia arriba, logra una altura de acuerdo con la

función 2( ) 18 3h t t t ( h en metros, t en segundos).

a) ¿Cuánto demora en alcanzar la altura máxima?

b) ¿Cuál es la altura máxima?

7. Durante un experimento se midió la temperatura de un líquido durante varios

minutos. Resultó que la variación de temperatura estaba dada por la función 2( ) 6 8f x x x , donde x representa el tiempo en minutos.

a) ¿En qué momento la temperatura del líquido fue igual a 0°?

b) ¿Fue esa la temperatura mínima?

8. En una fábrica de automóviles se comprobó que para velocidades mayores a

hkm/ 10 y menores a hkm/ 150 , el rendimiento r (en lkm/ ) está relacionado

con la rapidez v mediante la función 2002036,0)( v,-vvr .

a) ¿Con qué rapidez el rendimiento será máximo?

b) ¿Cuál será ese rendimiento máximo?

9. Los registros de temperatura tomados durante un día en una zona rural se

ajustan a la función 222

12

1 xxxT , donde T es la temperatura en grados

Celsius y x es la hora del día que se registró.

a) ¿Cuál fue la temperatura máxima?

b) ¿A qué hora se registró la máxima temperatura?

c) ¿A qué hora la temperatura fue de 7° Celsius?

10. En una competencia de Snowboard, la altura de saltos está determinada por la

función 2( ) 2 8h t t t , medida en metros, y donde t es el tiempo en segundos

que dura el salto.

a) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada?

b) ¿A los cuántos segundos se alcanza la máxima altura?

c) ¿Cuál es la altura alcanzada por el deportista a los 3 segundos?

d) ¿Durante cuánto tiempo estuvo el deportista en el aire?



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III GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN CUADRATICA

11. Los ingresos mensuales en dólares (y) de un empresario de muebles están

dados por la siguiente gráfica. Si en el mes se fabrican a lo más 40 muebles y la

variable x representa la cantidad de muebles que se producen al mes. Según la

gráfica determine:

a) ¿Cuál es el ingreso máximo?

b) ¿Cuántos muebles se deben vender para que el ingreso sea máximo?

c) ¿Cuál es el ingreso al vender 5 muebles?

d) ¿Entre que valores fluctúan los ingresos mensuales del empresario?

12. En una empresa que era exitosa y donde el personal iba creciendo a medida que

transcurría el tiempo, los recursos comenzaron a escasear y el personal decreció.

El número de trabajadores a los t años de haber creado la empresa está dado

por: 10020)( 2 tttP , (t >0). Determine la gráfica correspondiente a la

función. Fundamente su respuesta.



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13. Un ave se lanza desde una altura de 3 metros para obtener su alimento que se

encuentra bajo el nivel del mar y la trayectoria de su vuelo está representada en

el siguiente gráfico. Observando la gráfica responda las siguientes preguntas:

a) ¿En qué instante el ave ingresa al agua?

b) ¿Cuántos segundos el ave permanece bajo el agua?

c) ¿A qué altura se encuentra el ave de su presa inicialmente?

d) ¿A los cuántos segundos el ave se encuentra a 3 metros sobre el nivel del

mar?

14. La empresa “LUMINAR” que produce y comercializa lámparas de escritorio, a

determinado que la función de oferta para este tipo de lámparas está dada por:

1018

5)( 2 xxO , donde x es la cantidad ofrecida en miles y O(x) es el precio

unitario en dólares. Determine la gráfica correspondiente a la función.

Fundamente su respuesta.



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15. Durante un experimento se midió la temperatura de un líquido en grados Celsius.

Al hacer el análisis resultó que la variación de temperatura estaba dada por una

función matemática, donde la variable x representa el tiempo en minutos. Según

la siguiente gráfica determine la función cuadrática que modela dicha situación.

16. Un cibercafé abre su local a las 12 del día y cierra a las 10 de la noche. El

número de clientes que hay en el cibercafé en función del número de horas t que

lleva abierto el local está dado por una expresión matemática. Según la siguiente

gráfica determine la función cuadrática que modela dicha situación.



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17. Los ingresos mensuales (en cientos de dólares) de un empresario de máquinas

electromecánicas están dados por una función donde x es la cantidad de

máquinas que se fabrican en el mes. Según la siguiente gráfica determine la

función cuadrática que modela dicha situación.

SOLUCIONES

1. a) El ingreso cuando se venden 100 artículos es de $32.500; 500.32100 R .

b) Debe vender 600 artículos.

2. a) El proyectil se encuentra a 128 m. del suelo después de 1 segundo y a los 8

segundos.

b) El proyectil toca el suelo a los 9 segundos.

3. a) El automóvil puede recorrer 36,67 millas.

b) La menor rapidez del automóvil es de 30 millas por hora.

4. a) Los días 25 y 75 de la temporada estival tienen el mismo recargo de 1.875€

b) El día 70 de la temporada estival tiene un recargo de 2.100€.



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5. a) La utilidad obtenida al faenar 250 cerdos es de $225.000

b) Se deben faenar 275 cerdos para que la utilidad sea de $387.500

6. a) Demora 3 segundos en alcanzar la altura máxima

b) La altura máxima es de 27 metros

7. a) En 2 minutos y a los 4 minutos la temperatura del líquido fue igual a 0°

b) NO (La temperatura mínima fue de 1° bajo cero)

8. a) a km/h 90 el rendimiento será máximo

b) El rendimiento máximo es km/l 2,16

9. a) La temperatura máxima es de 10 Grados Celsius

b) A las 12 horas la temperatura fue máxima

c) La temperatura fue de 7° Celsius a las 6 horas y a las 18 horas

10. a) La altura máxima es de 8 metros

b) La altura máxima se alcanza a los 2 segundos

c) La altura a los 3 segundos es de 6 metros

d) El deportista estuvo en el aire durante 4 segundos

11. a) El ingreso máximo es de 1.250 dólares.

b) Se deben vender 25 muebles.

c) Al vender 5 muebles el ingreso es de 450 dólares.

d) Los ingresos mensuales del empresario fluctúan entre 0 y 1.250 dólares.

12. La gráfica 1 es la correcta.

13. a) A los 2 segundos el ave ingresa al agua.

b) El ave permanece bajo el agua por 4 segundos.

c) Inicialmente el ave se encuentra a 4 metros de su presa.

d) A los 0 y 8 segundos el ave se encuentra a 3 metros sobre el nivel del mar.



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14. La gráfica 3 es la correcta.

15. 8c , 21x , 4

2x , 86)( 2 xxxf

16. 10b , 01t , 10

2t , tttf 10)( 2

17. 100b , 01x , 50

2x , xxxf 1002)( 2

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