ABACOM Boletín Matemático

La Matemática tiene la particularidad que no usa nombres largos y difíciles, como la mayoría de las otras ciencias, además es más conservadora, pues se apega a terminologías y vocablos. Se puede observar que, los términos usados por Euclides en su obra, Los Elementos, siguen teniendo plena vi-gencia en el siglo XXI. Sin embargo no ocurre lo mismo en otras ciencias. En Física, el lenguaje ha cambiado tanto, que a un físico de la antigüedad le sería imposible entender el lengua-je de la Física Moderna. En Química, la aspirina, tan usada, tiene el extraño nombre ácido acetil-

salicílico. En Biología, cada especie, ya sea ani-mal o vegetal, tiene un largo y com-plicado nombre en latín, por ejemplo los conocidos lobos marinos que reto-zan en la costanera tienen el nombre científico: Otaria Flavescens.

En Matemática se usan muchas pala-bras fáciles y comunes como: Grupo, Anillo y Función, entre muchas otras. Pero el significado que ellas tienen, en la mayoría de los casos, difiere bastante del significado usual de estos términos. Nadie podría imaginar el significado que se le da en matemáti-ca a la palabra “grupo”, sin embargo, es de tal importancia en Álgebra que se dictan cursos completos de este tema y se escriben centenares de tex-tos al respecto. El concepto de “anillo”, también tiene importancia en Álgebra, pero nada tiene que ver con compromisos matrimoniales ni piezas del motor de un automóvil. Por su parte, la palabra “función”, para ciertas personas les llevará a la mente un acontecimiento social noc-turno, a otras más hipocondríacas y con menos predisposición a lo social, le recordará quizás su hígado. No obstante, el concepto de función en matemática es quizás el más impor-tante y usado en todas las ramas de ésta. Así vemos como alguien tan certera-mente definió: la Matemática es la

ciencia que usa palabras fáciles para

expresar ideas difíciles. Como educadores, los profesores de matemática, deberíamos preocupar-nos de usar un lenguaje siempre pre-ciso, dando a conocer a los estudian-tes el significado de cada concepto y cuando corresponda, la etimología y el origen de cada palabra. De esta forma, nuestros educandos compren-derán mejor los temas que enseñamos y adquirirán un aprendizaje significa-tivo.

NOVIEMBRE 2010NOVIEMBRE 2010NOVIEMBRE 2010NOVIEMBRE 2010

AÑO 9 N°37AÑO 9 N°37AÑO 9 N°37AÑO 9 N°37 Editorial

LA TERMINOLOGÍA EN MATEMÁTICA

En esta edición

Visítanos en: www.uach.cl/abacom Contáctanos en: abacom@uach.cl

pág Lo Último en Tecnología

• Servicios y Aplicaciones Web. .... .2

Estadística • Validación de Instrumentos de In-vestigación ................................... .3

Matrices y Sistemas de Ecuaciones ..... .4

George Boole • El Precursor del Computador ....... .6 • El Monte Everest, la Cuarta Dimen-sión y Boole. ................................ .6

• El Álgebra de Boole y la Compu-tación............................................ .7

Juegos Matemáticos. ............................ .8

Anécdotas Matemáticas ....................... .8

El Agua y su Importancia .................... .9

Matemática Entrete • Un Código Muy Eficiente ........... 10 • ¿Cuánto pesa el Aire que hay en una Habitación? .................................. 10

• ¡Oh,… Los Computadores! ......... 11 • Humor. ......................................... 11

Concurso • Desafío a tu Ingenio ..................... 11 • Sopa Matemática .......................... 11

Noticias • Miguel Velásquez: Director del Centro de Docencia ...................... 12

• Patricio Ruiz-Tagle presentó libro de Partituras ................................ 12

• XXV Olimpíada Iberoamericana de Matemática ................................... 11

• Final XXII Olimpíada Nacional de Matemática .................................... 11

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Luis Véliz Matus

En la edición anterior de ABACOM, mostramos algunos servicios web que pueden ser bastante útiles para dis-tintos propósitos, como: sincronización de archivos (Dropbox), edición de fotos (Picnik) y búsqueda de músi-ca (Grooveshark). En este número presentamos otros tres servicios, también muy prácticos e interesantes.

Evernote (http://www.evernote.com ) Evernote es un servicio web y de escritorio diseñado para hacer fácil el “ t o m a r n o -ta” (reunir infor-mación) a una per-sona mientras rea-liza una investiga-ción sobre algún tema de interés en Internet. Con Evernote es posi-ble guardar pági-nas web, un texto seleccionado o imá-genes extraídas desde el navegador o de una webcam. Poster iormente, esta información se puede organi-zar, etiquetar y enviar a otras per-sonas mediante correo electrónico. La información reunida en torno a un tema se guarda u organiza en libre-tas, las que quedan disponibles en todo momento, en los equipos y/o dispo-sitivos donde uno haya instalado Evernote, así como

en el sitio web del servicio, previa identificación de usuario. Es muy cómodo para usar en dispositivos móvi-les como el ipod, iphone, blackberry o teléfonos que soporten el sistema operativo Android. Evernote tiene una versión gratis y otra pagada con algunas otras fun-cionalidades.

Bit.ly ( http://www.bit.ly )

Bit.ly es un servi-cio web que permi-te acortar enlaces web, para así po-der compartirlos de forma más có-moda. Un usuario al crear una cuenta en Bit.ly, puede almacenar y moni-torear la actividad del enlace acortado, sabiendo cuán-tos clicks se han hecho en él. Así, si tenemos el enlace h t t p : / / w w w . u a c h . c l / a b a c o m / d o c u m e n t o s /ABACOM_N036-A9-2010-Sep.pdf podemos acortarlo a http://bit.ly/dmpdBs, inclusive podemos personalizar el nuevo enlace, por ejemplo http://bit.ly/abacom36. Bitly es gratis y además exis-te una extensión para integrarlo al navegador Firefox.

GoView ( http://www.goview.com )

GoView es un servicio web y de escritorio que sirve para realizar capturas de pantalla en forma de video, permi-tiendo agregar audio. De esta forma es muy fácil hacer un video tutorial acerca del uso de un programa, o para explicar los pasos a seguir para realizar algo en el computador. El video, se puede editar, agregando texto o modificando otras características. Una vez terminado de grabar, se puede compartir inmediatamente a través de Internet. Los videos se pueden rescatar de la página de GoView, cada vez que uno lo necesite. GoView es to-talmente gratis y fácil de usar.

Servicios y Aplicaciones Web muy Útiles (2a Parte)

Publicación destinada a Estudiantes y Profesores de Enseñanza Media.

Proyecto auspiciado por la Facultad de Ciencias de la Ingeniería de la

Universidad Austral de Chile.

Director: Juan Leiva Vivar Director Alterno: Víctor Alvarado Alvarado Redacción Periodística :

Carolina Leiva Cádiz Colaboradores: Andrea Cárcamo Bahamonde Ariel Mardones Matta Web Master: Luis Véliz Matus

Centro de Docencia de CCBB Facultad de Ciencias de la Ingeniería

UACh.

Casilla 567 Valdivia. E.mail: abacom@uach.cl

Fono (63)221828 Fax (63)293730

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ABACOM Boletín Matemático

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ABACOM Boletín Matemático

VALIDACIÓN DE INSTRUMENTOS DE INVESTIGACIÓN: Cuesti onario Estructurado

La utilización de los cuestionarios es muy frecuente en el ámbito de la investigación, porque es menos costosa, permite llegar a un mayor número de participantes y facilita el análisis, aunque también puede tener otras limitaciones que pueden restar valor a la investigación desarrollada.

¿Qué es un Cuestionario? El cuestionario es un instrumento utilizado para la recogida de información, diseñado para poder cuantificar y universalizar la información. Su finalidad es conseguir la comparabilidad de la información. Al evaluar su utilidad, es necesario formularse la siguiente pregunta: ¿con cuánta exactitud la muestra de ítems o tareas representa al universo de donde fueron seleccionados?, esta pregunta se relaciona con lo que comúnmente se denomina confiabilidad de la medida.

Confiabilidad La confiabilidad se refiere a la consistencia de los resultados. En el análisis de la confiabilidad se busca que los resultados de un cuestionario concuerden con los resultados del mismo cuestio-nario en otra ocasión. Si esto ocurre se puede decir que hay un alto grado de confiabilidad. También se habla de confiabilidad cuando dos o más evaluadores miden al mismo estudiante sobre el mismo material y se obtienen puntuaciones semejantes. El término confiabilidad es equivalente a los de estabilidad y pre-dictibilidad. Ésta es la acepción que más comúnmente se le da a este término. No obstante, otra manera de aproximarse al concepto de confia-bilidad es preguntarse: ¿Hasta dónde los resultados obtenidos con un instrumento de medición constituyen la medida “verdadera” de la propiedad que se pretende medir? Esta acep-ción del término confiabilidad es sinónimo de seguridad. Finalmente, la confiabilidad puede ser enfocada como el grado de homogeneidad de los ítems del instrumento en relación con la característica que pretende medir. Es lo que se denomina la con-fiabilidad de consistencia interna u homogeneidad.

La Medición de la Confiabilidad Existen diferentes formas de medir la confiabilidad de una prue-ba. Se puede computar un estimado de la confiabilidad a partir de las correlaciones observadas o las covarianzas de los ítems entre sí. Otra opción es correlacionar los resultados de dos for-mas alternas de la misma prueba o partir la prueba en dos mita-des y observar la correlación entre ambas partes. Esto último es útil siempre y cuando se use un criterio apropiado para distribuir los ítems en la prueba.

Alfa de Cronbach El coeficiente alfa de Cronbach se basa en el cálculo de la con-fiabilidad de un compuesto donde cada ítem se considera un subcuestionario del cuestionario total y los ítems se consideran cuestionarios paralelos. Como esta propiedad de paralelismo es prácticamente imposible para los ítems, por lo general el coefi-ciente alfa de Cronbach subestima el coeficiente de correlación. La fórmula para el coeficiente alfa es: (k = Número de ítems, σi

2 = Varianza de cada ítem, σx

2 = Varianza del cuestionario total). Esta medida se entiende como un coeficiente de correlación con un rango de cero hasta uno. Los valores negativos de resultan cuando los ítems no se relacionan de manera positiva entre

ellos, lo que conduce a la violación del modelo de confiabilidad. (Esto puede suceder en algunos casos si la escala ha sido ela-borada con ítems que se orientan en diferentes direcciones res-pecto al constructo, por lo que antes de proceder al análisis de confiabilidad se recomienda que se recodifiquen o redireccionen las respuestas ofrecidas por los sujetos). El valor de depende tanto del largo (extensión) de la prueba y la correlación de los ítems que constituyen la prueba. Se puede obtener un coeficiente de confiabilidad alto aunque el promedio de correlación entre los ítems sea pequeño, si el total de ítems contenidos en la prueba es suficientemente grande. También es importante tomar en cuenta que el número de casos incluidos en la observación puede contribuir a diferentes resultados.

Valoración del Alfa de Cronbach Según Vellis (en García, 2006):

• Por debajo de 0,60 es Inaceptable • De 0,60 a 0,65 es Indeseable • Entre 0,65 y 0,70 es Mínimamente Aceptable • Entre 0,70 y 0,80 es Respetable • Entre 0,80 y 0,90 es Muy Alta

Según Murphy y Davishofer (en Hogan, 2004): • Alrededor de 0,90 es un nivel Elevado de confiabilidad • 0,80 o superior puede ser considerada como Moderada • Alrededor de 0,70 se puede considerar Baja • Inferior a 0,60 Inaceptablemente Baja

Factores que afectan la Confiabilidad:

Homogeneidad del Grupo La confiabilidad es una propiedad del cuestionario para un grupo particular de sujetos. Por lo tanto el coeficiente de confiabilidad se afecta por la variabilidad entre los sujetos. Mientras mayor es la dispersión de las puntuaciones, mayor es la confiabilidad. Es posible que un cuestionario que se haya construido con una población heterogénea muestre un coeficiente de confiabilidad mucho menor cuando se aplica a una población más homogé-nea.

Tamaño del Cuestionario Mientras más largo es el instrumento, mayor es la confiabilidad. Pues, en un cuestionario más largo la muestra de ítems es ma-yor y el universo del constructo está mejor representado. Referencia Bibliográfica • Barraza, Arturo (2006) ¿Confiabilidad? Apuntes sobre Metodolo-

gía de la Investigación. Universidad Pedagógica de Durango. • García Cadena, Cirilo H. (2006). La medición en ciencias socia-

les y en la psicología. En: Landeros, René y González, Móni-ca. Estadística con SPSS y metodología de la investigación. México: Trillas.

• Hogan Thomas, P. (2004). Pruebas psicológicas. México: El Manual Moderno.

• Martin, M. C. (2004) Diseño y validación de cuestionarios. Matro-nas Profesión; Vol. 5, nº 17. pp 23 – 29.

• Ruiz, Carlos (2010) Confiabilidad. Notas Programa Interinstitu-cional Doctorado en Educación. Venezuela.

Danilo Díaz Levicoy EEEESSSSTTTTAAAADDDDÍÍÍÍSSSSTTTTIIIICCCCAAAA

α

∑ 2i

2x

σk= 1-

k -1 σ

α

α

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Víctor Alvarado Alvarado

En los números anteriores de ABACOM de este año, hemos desarrollado las ideas básicas de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales. Ahora damos un ejemplo del mundo real. Previo a ello nece-sitamos los conceptos de autovalores y autovectores, junto a algunas de sus propiedades.

Autovalores y Autovectores. Diagonalización de una Matriz Un número real (o complejo) k es un autovalor de una ma-triz cuadrada A si y sólo si , donde I es la ma-triz identidad. Para cada autovalor k, existen vectores no nulos v, que cumplen . Cada uno de estos vecto-res se denomina autovector de A, asociado a k. Si A es una matriz cuadrada de orden n que tiene n auto-valores entonces la matriz P-1 A P resulta ser una matriz diagonal D, cuyos elementos de la diagonal son los autova-lores de A y las columnas de la matriz P son autovectores de A, correspondientes a los autovalores. Se dice que P diagonaliza a la matriz A, y que A es matriz diagonalizable. (Si A tiene menos de n autovalores, igual puede ser diagona-lizable si existen n autovectores “linealmente independien-tes”). Si A es una matriz diagonalizable entonces las potencias de A se pueden calcular en forma muy simple (en general, el cálculo de la potencia de una matriz es un cálculo compli-cado). En efecto: Como A es diagonalizable, se tiene que: P-1 A P = D, de don-de se obtiene: A = P D P-1 y así: Am = (P D P-1) (P D P-1) … (P D P-1) = P Dm P-1. Lo que es fácil de calcular, dado que D es matriz diagonal. Ejemplo:

Sea la matriz .

Entonces:

Así los autovalores de A son k1 = 1, k2 = 6. Para el cálculo de autovectores (v) correspondientes al

autovalor k1 = 1, resolvemos .

Una solución no nula es .

Del mismo modo para k2 = 6, se obtiene .

La matriz diagonaliza a A:

Calculemos A6:

Aplicación: Rehabilitación de una Estructura de Hormigón

Consideremos la si-guiente situación: Una estructura de hormigón está dete-riorada en un 25%, debido un proceso de corrosión. Se envuel-ve la estructura en una malla de titanio a la que se aplica un microvoltaje que in-vierte el proceso químico de corrosión, logrando que men-sualmente se recupe-re el 40% de la zona deteriorada, aunque se sigue deterioran-do mensualmente un 20% de la zona sana. ¿Cuál será la situación a los 3 meses?. ¿Y a los 10 meses?. ¿Y al cabo de mucho tiempo? De acuerdo a los datos, al cabo de un mes se ha recuperado 0.4 x 0.25 = 0.1 de la zona deteriorada, pero la zona sana se ha reducido a 0.8 x 0.75 = 0.6. En total, la zona sana al cabo de un mes sería: 0.1 + 0.6 = 0.7. Si procedemos del mismo modo con la zona deteriorada, resulta: 0.6 x 0.25 + 0.2 x 0.75 = 0.15 + 0.15 = 0.3. Podemos intentar resolver el problema construyendo una tabla:

-1 3 -3 3 1 1 01/5 1/5P A P = =

-2 4 2 -1 0 62/5 -3/5

66 6 -1

6

3 1 1/5 1/51 0A =PD P = =

2 -1 2/5 -3/50 6

18663 -27993 =

-18662 27994

UNA APLICACIÓN DEL CÁLCULO MATRICIAL A UN PROBLEMA DE INGENIERÍA (*)

det(A-kI) = 0

(A-kI)v =O

3 -3A =

-2 4

⇒ ⇒23-k -3det(A-kI) =0 = k -7k+6=0 k =1, k =6

-2 4-k

1

x2 -3 0(A-k I) v = =

y-2 3 0

1

3v =

2

2

1v =

-1( )

=

1 2

3 1P= v v

2 -1

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ABACOM Boletín Matemático

Vemos que al cabo de tres meses las partes deteriorada y sana de la estructura son 0,328 y 0,672, respectivamen-te. Pero este procedimiento es muy lento y prácticamente inviable para periodos de tiempo más largos. Es preciso utilizar otro método más práctico. Para continuar, haremos algunos cálculos matriciales. Sean dm = la parte deteriorada en el mes m.

Sm = la parte sana en el mes m. La situación sugiere una “ecuación en diferencias”:

que se puede expresar en forma matricial: donde

y es la condición inicial.

La matriz se llama matriz de transición y

cumple que sus elementos son no negativos y la suma de los elementos de cada columna es igual a la unidad.

Además:

Por tanto, el problema queda reducido a:

Para calcular Am, vamos a hallar autovalores de A:

Así los autovalores de A son k1 = 1, k2 = 0.4 Hallemos autovectores: Diagonalizamos la matriz A:

Para m = 3 y m = 10: Según vemos en la fórmula anterior, la variación de vm está gobernada por los factores ki

m, i = 1, 2, y la estabilidad del proceso depende de los autovalores ki.

• Si para todo i, |ki| < 1, la ecuación en diferencias vm+1 = Avm es estable.

• Si para algún i, |ki| > 1, dicha ecuación es inestable. • Si para algún i, |ki| = 1, se dice que la ecuación es neu-

tralmente estable. En nuestro caso, la ecuación es neutralmente estable, pues k1 = 1 y la variación de vm depende únicamente de k2

m = 0.4m.

Cuando m→∞:

ya que 0.4m tiende a cero, por ser 0,4 < 1, y este límite es un autovector de A, correspondiente al autovalor k1 = 1,

dado que es un múltiplo de .

Comentarios: Como se puede apreciar, las partes deteriorada y sana se estabilizan en el tiempo, en 1/3 y 2/3, respectivamente, de la estructura, independientemente de la situación inicial de deterioro de dicha estructura. Hemos supuesto inicial-mente un deterioro de un 25%, pero si hubiésemos consi-derado, por ejemplo, un deterioro inicial de un 40% o 60%, al cabo de mucho tiempo la situación de las partes deterio-rada y sana de la estructura se estabilizarían igualmente en 1/3 y 2/3. Este problema es un ejemplo de los llamados Procesos de Markov, ya que las entradas de la matriz de transición A son todas positivas, la suma de cada columna es igual a la

unidad, k1 = 1 y el otro autovalor satisface |k2| ≤ 1. La solu-

ción final coincide con el autovector v1 = (1/3, 2/3) corres-pondiente al autovalor k1 = 1. (*) Adaptación del artículo “An application of Matrix Calculus to an

Engineering Problem” , P.R. Almeida Benítez, I. Márquez Rodríguez y J. Franco Brañas; Divulgaciones Matemáticas, 2001.

⇒ ⇒ ⇒2 m1 0 2 1 0 m 0v =Av v =Av =A v ... v =A v

0.6 0.2A =

0.4 0.8

⇒2det(A-kI) =k -1. 4k +0.4 = 0 k =1, k = 0.4

m+1 m m

m+1 m m

d = 0.6×d +0.2×s

s = 0.4 ×d +0.8×s

m+1 m

0.6 0.2v = v

0.4 0.8

mm

m

dv =

s

Meses Deteriorado Sano

0 0.25 0.75

1 0.6 x 0.25 = 0.15 0.2 x 0.75 = 0.15 0.15 + 0.15 = 0.3

0.4 x 0.25 = 0.1 0.8 x 0.75 = 0.6 0.1 + 0.6 = 0.7

2 0.6 x 0.3 = 0.18 0.2 x 0.75 = 0.14 0.18 + 0.14 = 0.32

0.4 x 0.3 = 0.12 0.8 x 0.7 = 0.56 0.12 + 0.5 = 0.8

3 0.6 x 0.32 = 0.192 0.2 x 0.68 = 0.136 0.192 + 0.136 = 0.328

0.4 x 0.3 = 0.128 0.8 x 0.68 = 0.544 0.128+0.544=0.672

=

00

0

d 0.25v =

s 0.75

-1 1 1 1 0 1/3 1/3A = PDP =

2 -1 0 0,4 2/3 -1/3

mm

m 0 m

m m

1 1 0.251/3 1/31 0v =A v = =

2 -1 0.752/3 -1/30 0.4

1/3 1/3 =1 -0.25×0.4

2/3 -1/3

mm m -1

m

1 1 1/3 1/31 0A =PD P =

2 -1 2/3 -1/30 0,4

1

2

⇒

1 1 1

-0.4 0.2 0 1Para k =1: (A-kI)v= v= v =

0.4 -0.2 0 2

⇒

2 2 2

0,2 0,2 0 1Para k =0,4: (A-k I)v= v= v =

0,4 0,4 0 -1

Meses Deteriorado Sano

3 0.328 0.672

10 0.3333246 0.6666754

m

m

m

d 0.6 0.2 0.25=

s 0.4 0.8 0.75

→ ∞ → ∞

=

mm

m m

1/3 1/3 1/3lim v lim - 0.25 × 0.4 =

2/3 -1/3 2/3

George Boole, nació en Lincoln, Inglate-rra, el 2 de noviembre de 1815, en una familia muy pobre. Desde los 11 años se interesó en aprender algunos idiomas. Teniendo sólo 12 años tradujo del latín al inglés una obra de Virgilio, en bellos y elegantes versos. Su primer empleo fue de profesor en la Escuela Primaria Municipal de Lincoln; allí se interesó por el estudio de las matemáticas, debido a que sus pe-queños alumnos le hacían preguntas sobre números, las que no podía responder. Sus estudios en matemáticas, los inició leyendo obras de Lagrange y Laplace. En

1835 comenzó a dar clases particulares de matemáticas e idiomas. Pronto fundó una escuela particular, con lo que ganó mucho dinero. Así pudo dedicarse al estudio de las matemáticas, siempre como autodidac-ta, pues nunca frecuentó una universidad. En 1847, publicó su primera obra sobre Lógica Matemática, El Análisis Matemáti-co de la Lógica, con tal éxito que la Uni-versidad de Cambridge le solicitó que trabajase allí. Boole rechazó la oferta adu-ciendo que la matemática que allí se ense-ñaba era retrógrada. Posteriormente acep-tó un cargo en el recién fundado Queen College de la ciudad de Cork, en Irlanda. Allí contrajo matrimonio con Mary Eve-rest, con quien tuvo cinco hijas. En 1854 se hizo conocido por su obra Una Investigación de las Leyes del Pensa-miento.

En este trabajo Boole articuló las bases que iban a influenciar toda la matemática del siglo XX y que permitirían la estruc-tura lógica de la computación. Fue honrado con el título de Doctor Ho-noris Causa por la Universidad de Du-blín, siendo considerado el creador de la Lógica. En 1860 su obra fue divulgada por Char-les Dogson, conocido como Lewis Ca-rroll, en la conocida obra, Alicia en el país de las Maravillas. Allí, Alicia, muestra a todos una lógica matemática estructurada, transformándose en una de las mejores obras del siglo XX. Llendo de camino a dar una conferencia, fue alcanzado por un aguacero, que le hizo contraer una neumonía, que lo lle-varía a la muerte el 8 de diciembre de 1884, en Cork.

Juan Leiva Vivar

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El Precursor del Computador Boole fue un destacado matemático del siglo XIX, qu e se dedicó a la Lógica, obteniendo resultados relevantes, los cu ales permitie-ron el nacimiento y desarrollo de los computadores durante el si-glo XX. El gran filósofo Bertrand Russel dijo de él : “La Matemática fue descubierta y estructurada por Boole en una mag istral obra sobre las Leyes del Pensamiento”. Boole no siguió e studios for-males universitarios, sino que fue autodidacta, per o La Universi-dad de Dublín reconoció su talento otorgándole el t ítulo de Doctor Honoris Causa.

George Boole se casó con Mary Everest, sobrina de Sir George Everest, famoso topógrafo británico que, en 1841 mediante el uso de Trigonometría, calculó la altura del monte Everest, el de mayor altura en el planeta. Este monte recibió ese nombre debido a él. Mary Everest divulgó por escrito las ideas de su marido sobre Matemá-ticas y Pedagogía. Una de sus obras fue Philosophy and Fun of Algebra. El matrimonio Boole – Everest tuvo cinco hijas:

Mary Ellen, se casó con el mate-mático Charles Howard Hinton, quién estaba interesado en el tema de la cuarta dimensión y se dedicó a escribir novelas relacionadas con

este tema. Margaret, fue madre de Sir Geof-frey Taylor, un destacado matemá-tico de Cambridge. Alicia, se interesó en las incursio-nes de su cuñado en espacios de dimensión mayor que tres, hizo por su cuenta algunos descubrimientos importantes en este campo. Lucy llegó a ser profesora de Quí-mica. Ethel Lilian, se casó con un cientí-fico polaco, Wilfrid Voynich. Fue

autora de varias novelas, entre ellas The Gadfly (1898), que adqui-rió gran popularidad en Rusia e ins-

piró nada menos que tres óperas. En tiempos más recientes, se han vendido en China más de un millón

de ejemplares de esta novela.

EL MONTE EVEREST, LA CUARTA DIMENSIÓN Y BOOLE

Casa donde vivió Geor-ge Boole, en Cork City

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ABACOM Boletín Matemático

UN POCO DE HISTORIA A mediados del siglo XIX, Geor-ge Boole, en sus obras: El Análisis Mate-mático de la Lógica (1847) y Una Investiga-ción de las Le-yes del Pensa-miento (1854), desarrolló la

idea de que las proposiciones lógicas podían ser trata-das mediante herramientas matemáticas. Así nació el Álgebra de Boole. A mediados del siglo XX el Álgebra de Boole tuvo una gran importancia práctica, la que se ha ido incremen-tando hasta nuestros días, en el manejo de informa-ción digital (por eso se habla de Lógica Digital). Gra-cias a ella, Claude Shannon (1930) pudo formular su Teoría de la Codificación y John Von Neumann enun-ció el modelo de arquitectura que define la estructura interna de los computadores desde la primera genera-ción. Esta álgebra proporciona un método para resolver problemas de lógica por medio de los valores binarios (1 y 0) y tres operadores (and, or y not). A través del álgebra binaria, posteriormente se desarrolló lo que hoy se conoce como código binario, que es el lengua-je utilizado por todas las computadoras. En 1869 aparece la primera máquina lógica que usa el Álgebra de Boole para resolver problemas más rápido que humanos, fue inventada por William Stanley Je-vons. La máquina, llamada el Piano Lógico, usó un alfabeto de cuatro términos lógicos para resolver silo-gismos complicados. Desde entonces ha habido verti-ginosos cambios hasta llegar a los computadores ac-tuales, pero todos ellos funcionan gracias al Álgebra de Boole.

EL ÁLGEBRA DE BOOLE Un Álgebra de Boole es una estructura algebraica formada por un conjunto B, con 2 ó más elementos, y 2 operaciones entre elementos de este conjunto: adi-ción (+) y multiplicación (⋅) que cumplen las siguientes

propiedades : • Asociatividad: ∀ x, y, z ∈ B

(x + y) + z = x + (y + z); (x ⋅ y) ⋅ z = x ⋅ (y ⋅ z)

• Conmutatividad: ∀ x, y ∈ B

x + y = y + x; x ⋅ y = y ⋅ x

• Distributividad: ∀ x, y, z ∈ B

x + (y ⋅ z) = (x + y) ⋅ (x + z); x ⋅ (y + z) = x ⋅ y + x ⋅ z

• Existencia de Neutros: ∃ 0, 1 ∈ B / ∀ x ∈ B , x + 0 = x ; x ⋅ 1 = x

(0 es neutro para la adición y 1 es neutro para la multiplicación).

• Existencia de Complementos: ∀ x ∈ B , ∃ x ’ ∈ B / x + x ’ = 1 ; x ⋅ x ’ = 0

(x ’ es el complemento de x). En un comienzo pueden parecer extraños estas pro-piedades, sobre todo aquéllas que son diferentes al álgebra con números reales. Pero existen muchas si-tuaciones en que se cumplen cada una de éstas. Veamos dos ejemplos:

ÁLGEBRA DE CONJUNTOS Consideremos B como el conjunto de todos los conjun-tos con que se trabajará. La adición (+) será la unión de conjuntos (∪) y la multiplicación (⋅), la intersección

de conjuntos (∩) . Así los neutros serán el conjunto

vacío (φ) para la unión y el conjunto universo (U) para la intersección. El complemento de un conjunto A, es decir A c, cumple con la propiedad correspondiente. Además se puede verificar fácilmente que las demás propiedades también se cumplen, por tanto es un Álge-bra de Boole.

CIRCUITOS En este ejemplo el conjunto B está formado por todos los switches (o interruptores). Cada switch tiene dos estados posibles: conectado (on) y desconectado (off). La adición entre switches es la conexión en paralelo y la multiplicación es la conexión en serie:

El complemento de un switch, es otro, acoplado a él, de modo que cuando uno se conecta, el otro se desco-necta. Se puede verificar que se cumplen todas las propieda-des, por tanto, esta estructura es un Álgebra de Boole.

EL ÁLGEBRA DE BOOLE Y LA COMPUTACIÓN

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ANÉCDOTAS MATEMÁTICASANÉCDOTAS MATEMÁTICASANÉCDOTAS MATEMÁTICASANÉCDOTAS MATEMÁTICAS

Gaspard Monge (1746 – 1818) fue un destacado matemático francés. Su contribución a la geome-tría fue destacable, sien-do considerado el crea-dor de la Geometría Di-ferencial. Participó acti-vamente en la revolución francesa, adhiriéndose a la causa revolucionaria y fue el encargado de fir-mar la condena a muerte de Luis XVI, en su cali-

dad de ministro de marina. También se dedicó a la edu-cación, siendo uno de los fundadores de la École Nor-male Supérieure. Fue amigo personal de Napoleón Bo-naparte y lo acompañó en su campaña de Egipto.

Pero la vida de Monge no escapó al romanticismo propio del siglo XVIII. En una recepción, Monge escuchó a un joven de dudosa reputación calumnian-do rencorosamente a una joven viuda por haberle rechazado. Aunque la viuda calumniada, Madame Horbon, no le era conocida, el galante matemático llamó la atención del calumniador y trató sin éxito de forzarlo a un duelo con él. Algunos meses des-pués, en otra recepción, Monge fue cautivado por el encanto de una joven mujer, y al ser presentados descubrió que se trataba de la misma dama a quien él había defendido. Posteriormente se casaron en 1777.

Ella vivió más que Monge e hizo todo lo que estuvo en sus manos para perpetuar la memoria de su mari-do. Fue quizás el único ser humano que se mantuvo al lado de Monge a lo largo de todas las vicisitudes de su vida.

Juegos MatemáticosJuegos MatemáticosJuegos MatemáticosJuegos Matemáticos

LA BRUJITA ADIVINA En este juego, conocido en internet, se pide pensar un núme-ro de 2 cifras y restarle la suma de sus cifras. Luego buscar el resultado obtenido en un cuadro que contiene los números desde el 0 al 99, cada uno con un símbolo. Después se le debe preguntar a la brujita - haciendo un click sobre la figura de

ésta – y ella adivinará el resultado obtenido, indicando el símbolo asociado a éste.

Ejemplo: Si se piensa el número 75, la operación que se debe hacer es 75 — (7 + 5) = 63. En el cuadro, el símbolo asociado al 63 es , que es el que la brujita mos-trará.

Justificación: ¿Cómo es que la brujita adivina el símbolo? Muy fácil. Supongamos que el número pensado tiene cifras a y b, entonces se escribe: 10a + b. La operación que se debe realizar es: 10a + b — (a + b) = 9a . Como se ve, el resultado siempre es múltiplo de 9. Si se observa la tabla, los múltiplos de 9 (9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72 y 81) tienen asociado el mismo símbolo, que es el que la brujita mostrará. Claro que la gracia del juego es que si quieres volver a jugar, se muestra un nuevo cuadro, en donde los múltiplos de 9 es-tarán asociados con otro símbolo, de lo contrario siempre saldría el mismo resultado, lo que sería muy sospechoso.

http://www.slideshare.net/monicastro/la-adivina

EL ROMÁNTICO MATRIMONIO DE MONGE

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ABACOM Boletín Matemático

El Agua y su Importancia Luz Alegría Aguirre, Patricio Ruiz-Tagle Correa (*)

El agua a lo largo de la historia y en las diferentes cul-turas de la huma-nidad ha tenido un significado místi-co. Ha sido el tema central de muchos ensayos filosóficos como, Thales (“La fuente o principio de to-das las cosas es el agua”) o Heraklei-tos (“El elemento material funda-mental es el fuego

y que a partir de él por medio de metamorfosis sucesivas aparece el agua, la Tierra…y mediante el proceso inverso todo volverá a ser fuego”); además, el agua es parte funda-mental para distintas religiones, por mencionar algunas: el Tao (“El mejor de los hombres es semejante al agua…”), el Cristianismo (“El bautismo…”), etc. En la antigüedad el agua era considerada como uno de los cuatro elementos básicos, pero…

¿Qué es el Agua?

• El agua es el disolvente universal. • La vida depende del agua. • El agua es esencial para todas las formas de vida.

• Lo normal en el agua, es su anormalidad.

Recién en el siglo XVIII, investigadores químicos demos-traron que el agua es un compuesto formado por átomos de Hidrógeno y Oxígeno. El agua ha sido y sigue siendo tema principal de diversas investigaciones científicas. Son distintas disciplinas las que defienden la importancia del agua: para un biólogo, el agua es la madre de la evolución, la matriz de la vida. In-cluso van más lejos, diciendo que es la sustancia funda-mental para la producción biológica de la energía de la tierra (fotosíntesis): la cual procede de la radiación de la energía del Sol. Sin este proceso, la vida sería imposible. Para un físico, la fuerza conductora de la vida es la pérdida gradual de la energía de los electrones, causada por proce-sos metabólicos, durante los cuales, los electrones con alta carga energética, originados desde la reacción fotosintéti-ca, en algún momento consiguen su estado de menor ener-gía. Uno de los resultados más comunes de este proceso es el agua. Para un químico, el agua es el último material oxi-

dado; el agua no puede sufrir más oxidación, se la puede considerar como el estado final en las reacciones de los sistemas de vida. Si este químico se tropezara con esta sus-tancia por primera vez, se referiría a ella como Oxido dihi-drogenado, término que carece de las agradables connota-ciones que nos da la palabra agua, líquido claro y puro que apaga la sed, nos refresca, nos limpia, mantiene el verdor de los bosques y los dorados trigales. El constante interés por el agua ha dado como resultado la aparición de todo un grupo de "ciencias del agua", como por ejemplo: Meteorología, Hidrología (Aguas superficia-les y subterráneas), Limnología (Biología del agua dulce), Oceanografía y Biología Marina. El agua es una sustancia inodora, insípida, incolora en pe-queñas cantidades y verdosa en grandes masas. Es mala conductora del calor y la electricidad. Refracta la luz. Di-suelve muchas sustancias. Está compuesta de HIDRÓGENO (11,19 partes en peso y 2 en volumen) y de OXÍGENO (88,81 partes en peso y 1 en volumen).

El Agua en la Tierra

La Tierra es el único lugar del sistema solar, hasta el mo-mento, en el que el agua existe en sus tres formas: gaseosa (vapor de agua), líquida, y sólida (hielo). El agua cubre el 70% de la superficie terrestre. Su contenido es:

Agua salada 94%, contiene 35% de sales (NaCl 68%, MgCl2 14%, otras 18%) Agua dulce 6%, situada en: Subterránea 4,3%, Hielo 1,7%, Lagos y Zona húmedas 0,029%, Atmósfera 0,001% y Ríos 0,00015% . (*) Profesores del Área de Química del Centro de Docencia

de Ciencias Básicas de la Facultad de Ciencias de la Ingeniería de la Universidad Austral de Chile

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UN CÓDIGO MUY EFICIENTE

Desde tiempos antiguos, el hombre ha usado la codifi-cación de mensajes, por ejemplo para enviar infor-mación secreta en tiempos de guerra o, actualmente, para evitar el espionaje in-dustrial. Existen muchas formas de enviar mensajes codifica-dos, una de ellas, es usando matrices (ver “Codificando Mensajes” ABACOM Nº 20). Aquí presentamos una ingeniosa forma de enviar un mensaje usando números decimales.

Se sabe que si se dibuja una línea recta y se establece una uni-dad de medida, cada punto de la recta representa un número real y viceversa. En particular, si se dibuja un segmento, cada punto del segmento representa cada uno de los decimales entre 0 y 1; siendo los extremos precisamente el 0 y el 1. La idea es la siguiente: primero se debe establecer un código mediante el cual a cada letra se le asigna un número, además un número para separar palabras. Así una palabra, frase u ora-ción estará representada por una sucesión de números n1 n2 n3... Formamos a continuación el decimal 0, n1 n2 n3..., que se encuentra entre 0 y 1. En un segmento, dibujado en una hoja, se marca el punto correspondiente a este decimal. Así el men-saje que se envía es una hoja con sólo un segmento dibujado y un punto marcado en él. La persona que lo recibe debe determinar qué decimal es el que representa tal punto y así puede escribir dicho número y con el código, que debe conocerlo, descifra el mensaje. Un posible código sería el siguiente: a = 01, b = 02, c = 03,..., z = 27; separación entre palabras: 00. Por ejemplo si el mensaje es: “Todo bien”, el decimal será: 0,211604160002090514 y el mensaje que se envía es algo así: Un mensaje podría ser una obra literaria completa, por ejemplo “El Quijote”. Lo que significa que ésta sólo quedaría represen-tada por un segmento y un punto marcado en él Claro que es algo que en teoría podría funcionar, pero en la práctica sería muy difícil llevarlo a cabo.

¿Cuánto pesa el Aire que hay en una Habitación?

¿Puede usted decir, aunque sea aproxima-damente, qué peso tiene el aire que llena una habitación pequeña, digamos de 5 metros de largo por 4 metros de ancho y 3 metros de alto? ¿Varios gramos o varios kilogramos? ¿Podría usted levantar esta carga con un dedo, o la soportaría con difi-cultad en el hombro? Actualmente nadie cree que el aire no tie-ne peso, como se pensaba en la antigüe-dad. Pero aún hay muchos que no pueden decir cuánto pesa. En condiciones normales y a nivel del mar, el aire que respiramos pesa aproximada-mente 1,3 kilogramos por metro cúbico o, lo que es lo mismo, 1,3 gramos por litro (el peso exacto es de 1,2928 gramos por de-címetro cúbico). Ahora no le será difícil calcular cuánto pe-sa el aire que hay en esta habitación. Para esto no hay más que saber cuántos metros cúbicos tiene la habitación. El volumen es el producto del largo, el ancho y el alto, es decir: 5 × 4 × 3 = 60 m3. Y como cada me-tro cúbico de aire pesa aproximadamente 1,3 kilogramos, el peso total del aire es alrededor de 60 × 1,3 = 78 kilogramos. Claramente esta carga no se levanta con un dedo, y tampoco es fácil de llevar en el hombro.

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ABACOM Boletín Matemático

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Viola García Paredes

RESOLUCIÓN PROBLEMAS EDICIÓN Nº 36

¡OH,...LOS COMPUTADORES!

Un señor sale de su casa y se dirige al buzón de correo, lo abre, mira en su interior y vuelve a entrar a su casa. Unos minutos después, vuelve a salir, abre nuevamente el buzón, lo cierra y vuelve a entrar. Un vecino, que está cortando el césped de su jardín, al verlo salir por tercera vez al buzón, le pregunta: - Disculpe vecino, ¿por qué entra y sale tan seguido a ver el buzón? - Es el maldito computador, que insiste con un mensaje ... “tiene correo”.

☺ ☺ ☺ ☺ ☺

- Mamá, mamá, ¡mi hermana encendió el computador! - Bueno, Pedrito, deja que ella también juegue. - Está bien, pero no reclames cuando se queme todo el dormitorio...

☺ ☺ ☺ ☺ ☺

Una señora llama al servicio técnico de una conocida fábrica de computadores. - Aló, llamo porque la semana pasada compré un computador, que se supone trae CD ROM, pero no lo tiene. - ¿Está segura? Fíjese bien. El dispositivo de-bería estar al frente del aparato, en la parte superior. - Yo sólo veo el botón de encendido, una luce-cita, otro botón que dice RESET y el “posavasos”. - ¿El qué...? - El posavasos...ese que aparece cuando aprie-to un botón... - ! ! !

Problema 1:

Representemos por 10x + y, 10u + v el par de números buscados. Se debe cumplir: (10x + y)(10u + v) = (10y + x)(10v + u).

Reduciendo se obtiene: xu = yv, don-de x, y, u, v son enteros positivos me-nores que 10.

Existen 9 soluciones a esta ecuación, que son:

1⋅4 = 2⋅2; 1⋅6 = 2⋅3; 1⋅8 = 2⋅4;

1⋅9 = 3⋅3; 2⋅6 = 3⋅4; 2⋅8 = 4⋅4;

2⋅9 = 3⋅6; 3⋅8 = 4⋅6; 4⋅9 = 6⋅6.

Cada una de estas igualdades permi-te hallar pares de números buscados, Algunas dan origen a una solución y otras a dos. Por ejemplo la primera,

1⋅4 = 2⋅2, da origen a la solución:

12⋅42 = 21⋅24, mientras que la se-

gunda, 1⋅6 = 2⋅3, nos entrega las

soluciones: 12⋅63 = 21⋅36 y 13⋅62 =

31⋅26.

Existen 14 pares de números de

dos cifras que cumplen lo señala-do:

12⋅42 = 21⋅24; 12⋅63 = 21⋅36; 12⋅84 =

21⋅48; 13⋅62 = 31⋅26; 13⋅93 = 31⋅39;

14⋅82 = 41⋅28; 23⋅64 = 32⋅46; 23⋅96 =

32⋅69; 24⋅63 = 42⋅36; 24⋅84 = 42⋅48;

26⋅93 = 62⋅39; 34⋅86 = 43⋅68; 36⋅84 =

63⋅48; 46⋅96 = 64⋅69 Problema 2:

Sean x e y el número de sacos que llevan el mulo y el caballo, respectivamente. Según los datos se forma el sistema de ecuaciones siguiente:

cuya solución es: x = 7, y = 5.

Por tanto: El mulo llevaba 7 sacos y el

caballo sólo llevaba 5.

P A R O S E R P M I

I O S C A L O C O N

M K U S I T A Q U E B A S O R I M E S T

O L D E D I S T E M

S C U B R A J O S E

E P A N T A L L A D

L I M R D I S C O O

L O S A I R O M E M

E D I M O S L E A T

SOLUCIÓN EDICIÓN N° 36

Las palabras relacionadas con Partes de un Computador son: Disco, Impresora, Memoria, Mo-dem, Mouse, Pantalla, Puerto, Ram, Rom, Teclado.

H U M O R

LA CALCULADORA: Já, já, já,…¡Qué anticuado! EL ÁBACO: No te burles, recuerda que soy tu bisabuelo...

1 2( 1)

1 1

x y

x y

+ = − − = +

ALUMNOS PARTICIPANTES: Para los problemas planteados en las ediciones 35 y 36 enviaron solucio-nes: Valentina Elmohrez (Escuela Particular N° 95 Alemana, Paillaco), Bárba-ra Cárcamo y Raúl Cortez (Escuela Proyecto de Futuro, Paillaco); Rodol-fo Ramírez (Liceo Rodulfo Amando Phillippi, Paillaco) y Felipe Torres (Liceo San Felipe Benicio, Coyhaique).

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Carolina Leiva Cádiz

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Miguel Velásquez Rojas

DIRECTOR EJECUTIVO DEL CENTRO DE DOCENCIA El Centro de Docencia de Ciencias Básicas de la Facultad de Ciencias de la Ingeniería de la UACh., creado en marzo de este año, tiene como Director Ejecutivo al Profesor Miguel Ángel Velásquez Rojas. Junto con su nombra-miento se han generado cambios en las estrategias de trabajo que están benefi-ciando a los estudiantes de Ingeniería. Entre éstos se encuentran: planta de nuevos profesores; nuevo plan estraté-gico para la docencia y extensión; es-

trechamiento de lazos con establecimientos educacionales de la Región de Los Ríos. “El trabajo que se sigue realizando con la publicación de ABACOM, desde el año 2001 da cuenta de la experiencia del trabajo de extensión que se quiere potenciar, así como acercar las ciencias, específicamente la matemática, a los alumnos de la Región de Los Ríos”, señala Velásquez. “En cuanto a los alumnos de nuestra Facultad, se pretende que adquieran aprendizajes más significativos en el ciclo de Bachillerato y que estén en me-jores condiciones para abordar los requerimientos que le demandará la Licen-ciatura en Ingeniería. Para lograr este objetivo los docentes de este centro están participando en un perfeccionamiento en Metodologías Activas, patro-cinado por la Facultad de Ciencias de la Ingeniería, dictado por el profesor canadiense Gerard Lachiver”, indica el Director del Centro de Docencia de Ciencias Básicas.

XXV OLIMPÍADA IBEROAMERICANA DE MATEMÁTICA Nuevamente nuestro país destacó en este evento que anualmente convoca a los más destacados estudiantes de Iberoamérica.

La XXV Olimpíada Iberoamericana de Matemá-tica se celebró en la ciudad de Asunción, Para-gua en la UNA (Universidad Nacional de Asun-ción), entre los días 20 y 30 de Septiembre de 2010. Las pruebas se aplicaron los días 24 y 25 de Septiembre, donde cada una consistió de 3 pro-blemas para contestar en 4 horas y 30 minutos. Chile ob-tuvo una medalla de oro de parte de Felipe García Suárez (SSCC Alameda, Región Metropoli-tana), una medalla de bronce de parte de Ricardo Vargas Obando (Colegio Alemán R. A. Philippi, Región de los Ríos), y una mención honrosa por Felipe Arbulú López (Instituto Nacional, Región Metropolitana). Cabe señalar que Gerardo Vicencio Lazo (Colegio Chuquicamata, Región de Antofagasta) fue el cuarto participante.

FINAL XXII OLIMPÍADA NACIONAL DE MATEMÁTICA La Final de la XXII Olimpíada Nacional de Mate-mática se realizó los días 21, 22 y 23 de Octu-bre de 2010, en Santiago. De la Región de Los Ríos, en el Nivel Mayor, Ricardo Vargas Ovando , del Colegio Alemán R. A. Philippi, de La Unión, obtuvo una medalla de oro. Felicitaciones a este destacado estudiante.

Ver medallero completo en: http://www.olimpiadadematematica.cl/

Patricio Ruiz-Tagle

PRESENTÓ “PARTIRURAS

PARA GUITARRA DE VÍCTOR

BISKUPOVIC”

“Partituras para Guitarra de Víctor Biskupo-

vic” es el título del libro que el profesor Patri-cio Ruiz-Tagle presentó a través de un concier-to en el Aula Magna de la UACh., el pasado 8 de noviembre. Este libro fue realizado gracias al patrocinio de los fondos del Gobierno Re-gional y el apoyo del Centro Cultural Pablo Neruda de Valdivia. Posterior a un año de trabajo, Ruiz- Tagle pue-de compartir doce obras de su maestro, las cuales fueron transcritas desde grabaciones en vivo a partituras. Su motivación fue distribuir gratuitamente su obra a escuelas artísticas, corporaciones culturales y profesores de guitarra de Chile, difundiendo así el folclor chileno a cientos de estudiantes. Gracias a esto el legado del músico Biskupovic permanecerá en el tiempo y pasará a ser parte del patrimonio cultural del país. Por lo anterior, Patricio Ruiz-Tagle demuestra que es un talentoso músico que ha sabido compatibilizar su sensibilidad por las artes con sus conocimientos profe-sionales en Química. En la actualidad, es docente del Área de Química del Centro de Docencia de Ciencias Básicas de la UACh., donde fue homenajeado por sus pares.

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