ABACOM Boletín Matemático

NOVIEMBRE 2012

AÑO 11 N°44

Editorial

EL HUMOR EN LA CIENCIA En esta edición

Visítanos en: www.uach.cl/abacom Contáctanos en: abacom@uach.cl

pág Reflexiones

¿Cómo puedo motivar a mis estu-

diantes?. ......................................... .2

ABAQUIM

¿Qué significa el triángulo que

aparece en el fondo de los objetos

de plástico? ................................. .3

Tópicos de Álgebra .......................... .4

Concurso

Desafío a tu Ingenio…….......…....5

Alumnos Participantes….....…......5

Sopa Matemática…..……...…......5

David Hilbert

El más Influyente Matemático del

siglo XX. ..................................... .6

La Herencia de Hilbert. .............. .6

Los Nazis, el Formalismo y un Fu-

neral. ........................................... .7

Luz, Cámara,…¡Matemáticas! ........ .7

Tips Matemáticos..………..……...…8

FISICOM

Bonos de Carbono. ..................... .8

Poesía Matemática ........................... .9

Anécdotas de la Ciencia.. ................ .9

Ciencia Entrete

El alumno que, injustamente, obtu-

vo un 1,0 en un examen….…......10

Mirando con Prismáticos…....…10

Las Abejas y la Matemática…....11

Unidades de Medidas…....….......11

Humor…..…..……………..…...11

Son-Risas en la Sala de Cla-

ses………………….…….……..11

Noticias

Lo desconocido se hace realidad.....…12

El hombre invisible tendrá nuevo

huerto .………….......…....…......12

Concurso de Bandas Escolares…..….12

Un profesor dice a sus alumnos:

“Espero que en la prueba de mañana

todos obtengan una nota superior a la

media”. Algunos alumnos sonríen, pe-

ro la mayoría queda serio. En realidad

el profesor les estaba jugando una bro-

ma, pues si se calcula la nota media,

necesariamente habrá algunas sobre la

media, pero también habrá otras bajo

la media. Lo que pretende este profe-

sor es crear un clima amable en clase y

así motivar a sus alumnos para lograr

un mejor aprendizaje.

La ciencia, y también la enseñanza de

ésta, a pesar de ser algo muy serio, no

necesita ser aburrido. Así parecen de-

mostrarlo no pocos científicos y peda-

gogos que usan el humor con fines di-

dácticos o también como una crítica a

quienes toman la ciencia sólo como un

saber perfecto, no como una forma de

conocer nuestro entorno y llegar a la

verdad de las cosas.

Como un ejemplo del humor en la

ciencia tenemos los Premios Nobel de

la Ignominia (Ig Nobel), que son una

parodia del Premio Nobel y se entre-

gan cada año en la Universidad de Ox-

ford, desde 1991. Estos premios pre-

tenden celebrar lo inusual, honrar lo

imaginativo, estimulando el interés de

todos por la ciencia, la medicina, y la

tecnología. Los premios son a veces

críticas veladas, pero generalmente se

premia a científicos cuyo trabajo tiene

algún aspecto humorístico o inespera-

do, por ejemplo, la investigación sobre

la “regla de los cinco segundos”: la

creencia de que la comida que cae al

suelo no se contamina si se recoge

dentro de cinco segundos. La entrega

de premios se cierra tradicionalmente

con las palabras: “Si no ganaste un

premio - y especialmente si lo hiciste -

mejor suerte para el próximo año”.

Ha habido ocasiones en que el ganador

del Ig Nobel obtiene posteriormente el

verdadero Premio Nobel como ocurrió

con el físico ruso Andre Geim, quien

en el año 2000 recibió el premio lg

Nobel de Física por hacer levitar una

rana en un campo magnético, y poste-

riormente, en el año 2010, el premio

Nobel de Física junto con Konstantín

Novosiolov por el estudio del grafeno.

En este boletín siempre hemos consi-

derado el humor como una forma de

motivar e incentivar a los estudiantes

por la ciencia. Es lo que pretende la

sección “Ciencia Entrete”, que muchos

estudiantes y también profesores han

reconocido, es lo primero que leen.

Usando el humor en clases conseguire-

mos un clima de más distensión y cer-

canía con los estudiantes y seguramen-

te lograremos que … todos obtengan

una nota superior a la media …

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2

Andrea Cárcamo Bahamonde

REFLEXIONES

Esta es una de las preguntas más fre-

cuentes que los profesores nos hace-

mos. Algunos estudiantes parecen en-

tusiasmarse de forma natural por el

estudio, pero muchos, necesitan o es-

peran que sus padres y/o docentes, les

inspiren, reten o estimulen. Algunos

especialistas en la materia sostienen

que el aprendizaje efectivo en el aula

depende en gran medida de la habili-

dad del profesor por mantener el inte-

rés de los alumnos. De hecho, cual-

quier nivel inicial de motivación que

los estudiantes tengan, antes de entrar

al aula será transformado favorable o

desfavorablemente, dependiendo de lo

que ocurra en clase.

Si bien no hay una fórmula mágica

para motivar a los estudiantes, sí exis-

ten algunas estrategias metodológicas

que pueden contribuir a lograr esto,

como son:

Aprovechar el conocimiento personal

de los alumnos para referirse a ellos

en los ejemplos y apli-

caciones de la materia

del curso en el aula.

Aprender de memo-

ria los nombres de los

alumnos.

Conocer el nivel de

conocimientos de los

alumnos y sus expe-

riencias relacionadas

con la materia del cur-

so.

Adaptar los ejemplos, explicaciones

de la materia a su nivel y tipo de ex-

periencias anteriores.

Presentar un esquema de lo que se va

a tratar en la clase.

Explicar, siempre que se pueda,

la utilidad de los contenidos que se

van a estudiar, tanto para su futuro

profesional como para fundamentar

conocimientos.

Procurar cambiar la manera de expo-

ner los temas, es decir, utiliza por

ejemplo: clases magistrales, sesiones

de grupo, medios audiovisuales, se-

siones de discusión, etc. Lo anterior,

con el propósito de mantener la aten-

ción.

Analizar los contenidos del progra-

ma y procurar introducir en la pro-

gramación diferentes formas de ense-

ñanza. Al cabo de un tiempo convie-

ne modificar el orden y, de ser posi-

ble, las actividades.

Cuidar el tono, la intensidad y la mo-

dulación, ya que son formas de man-

tenimiento de la atención.

Definir metas concretas a realizar, es

más fácil ver el logro y reconocerlo.

Comentar algunas veces, en especial

cuando se detecta que se aburren, si

el ritmo de las explicaciones y la for-

ma son adecuados, ya que la explica-

ción lenta y/o reiterativa puede fo-

mentar el aburrimiento, lo que puede

generar cansancio, abandono o dis-

tracción.

Debemos recordar que la motivación

no está en la actividad que hacemos,

sino en el estudiante, es por ello que al

planificar una clase, debemos pregun-

tarnos: ¿Qué le motiva? ¿Cómo le gus-

taría aprender? ¿Qué sabe ya, para no

aburrirle? ¿Cómo puedo organizar mi

trabajo para aprovechar su motivación?

Finalmente, cabe señalar que el esfuer-

zo que pongamos en motivar a nues-

tros estudiantes contribuirá en la mejo-

ra de los resultados escolares, no sólo

referente al rendimiento académico

sino que también en el clima escolar.

Referencias:

Díaz B., F. y Hernández R., G. (1999),

Estrategias docentes para un aprendi-

zaje significativo.

Escaño J., Gil de la Serna M. (2006),

La enseñanza de la motivación y el

esfuerzo.

¿Cómo puedo motivar a mis estudiantes?

ABACOM Boletín Matemático

Publicación destinada a Estudiantes y Profesores de Enseñanza Media. Proyecto aus-piciado por la Facultad de Ciencias de la Ingeniería de la Universidad Austral de Chile.

Director: Juan Leiva V. / Director Alterno: Andrea Cárcamo B. /

Redacción Periodística: Julio Morales M. / Web Master: Edinson Contreras R.

Centro de Docencia de CCBB / Facultad de Ciencias de la Ingeniería UACh. / Casilla 567 Valdivia.

e.mail: abacom@uach.cl / Fono (63)221828 / Fax (63)293730 www.uach.cl/abacom

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ABACOM Boletín Matemático

En química, un Polímero (del griego poli = muchos, meros

= partes) es una gran estructura formada por la unión de

muchas unidades más pequeñas llamadas monómeros

(mono = uno solo). En la naturaleza encontramos polímeros

tales como el almidón (grandes cadenas formada por mu-

chas unidades de glucosa) y las proteínas (grandes estructu-

ras formadas por encadenamiento de aminoácidos). Tam-

bién son polímeros: la celulosa, los ácidos nucleicos, la la-

na, el cuero y el caucho natural.

Los plásticos también son polímeros creados artificialmen-

te. Durante los últimos 65 años, los químicos han aprendido

a fabricarlos uniendo (polimerizando) monómeros mediante

reacciones químicas controladas, como las de adición y

condensación. Muchos de estos materiales están formados

por una columna vertebral de enlaces C-C, porque los áto-

mos de Carbono (C) tienen una capacidad excepcional para

formar uniones fuertes y estables entre sí.

Algunos ejemplos de estructuras

de plásticos:

Polietileno: Este plástico es de uso muy co-

mún, por ejemplo, en la fabricación de botellas.

(El subíndice n indica que el monómero (etileno) entre pa-

réntesis se repite muchas veces)

Policloruro de vinilo:

Más conocido como PVC, es un

material duro y rígido que se

utiliza para fabricar tubos de dre-

naje para casas. Si se combina

con sustancias adecuadas de me-

nor masa molecular, llamadas

plastificantes, se torna más flexible, usándose como pelícu-

las transparentes para empacar carne, también para fabricar

piezas de muñecas y botas impermeables.

Además son polímeros el Poliuretano, Poliestireno, Poli-

etilentereftalato (un Poliéster).

El ordenamiento interno de los plásticos, llamado cristali-

nidad, depende de la estructura y el largo promedio de las

cadenas del polímero que lo conforman, estas característi-

cas condicionan de qué manera las cadenas se unen unas

con otras, originando plásticos de distinta densidad, dureza,

solubilidad y resistencia al calor.

En el fondo de algunos objetos

de plástico se ve un triángulo

como el de la figura (símbolo de

reciclaje). En su interior aparece

un número y en la parte inferior

del mismo unas siglas. Tanto el

número como las siglas hacen

referencia a la composición quí-

mica del plástico. Esta informa-

ción permite clasificarlos, según

su composición, como paso previo a su reciclado. En gene-

ral, cuanto más bajo es el número, más fácil resulta el reci-

clado.

En la tabla siguiente se pueden ver las distintas categorías

en que se clasifican los plásticos para su reciclado:

Bibliografía:

- El Rincón de la Ciencia

centros5.pntic.mec.es/ies.victoria.kent/Rincon-C/.../Rc-58.htm

- “Química, la Ciencia Central”, Brown, LeMay, Bursten

Pearson Educación, México, 2004

¿QUÉ SIGNIFICA EL TRIÁNGULO QUE HAY EN EL ¿QUÉ SIGNIFICA EL TRIÁNGULO QUE HAY EN EL ¿QUÉ SIGNIFICA EL TRIÁNGULO QUE HAY EN EL

FONDO DE LOS OBJETOS DE PLÁSTICO?FONDO DE LOS OBJETOS DE PLÁSTICO?FONDO DE LOS OBJETOS DE PLÁSTICO? Patricio Ruiz Tagle Correa

A B A Q U I M

1 PETE Tereftalato de polietileno

2 HDPE Polietileno de alta densidad

3 V Policloruro de vinilo (PVC)

4 LDPE Polietileno de baja densidad

5 PP Polipropileno

6 PS Poliestireno

7 Otros

HDPE

2

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4

Claudio Fuentealba Aguilera

En matemáticas, una función se de-

nomina periódica, de periodo “p” si y solo sí existe

tal que:

a)

b)

Entre las funciones periódicas más importantes se en-

cuentran las funciones trigonométricas seno y coseno.

Por ejemplo, la función es periódica de pe-

riodo (al igual que la función coseno), ya

que y se verifica:

a)

b)

El gráfico de es:

El análisis matemático de las funciones periódicas, data

del siglo XVIII, cuando el físico y matemático francés

Jean Le Rond D'Alembert (1717—1783) junto al mate-

mático suizo Leonhard Euler (1707—1783), describie-

ron la vibración de las cuerdas a través de funciones

periódicas (como por ejemplo las de un instrumento mu-

sical). Por su parte, Daniel Bernoulli (1700—1782), ma-

temático suizo, trabajó en la suma de funciones trigono-

métricas. Esto último fue ampliamente desarrollado por

el matemático francés Joseph Fourier (1768—1830),

quien demostró que toda función periódica puede repre-

sentarse como la suma de un término constante y fun-

ciones tanto de senos como de cosenos de periodos p,

p/2, p/3, ... , dando lugar a lo que hoy se conoce como

Análisis de Fourier, que tiene gran importancia, siendo

aplicado en numerosísimas áreas de la ciencia.

Por ejemplo en Cardiología las funciones periódicas son

utilizadas para diagnosticar problemas coronarios, ya

sea, a través de electrocardiogramas o exámenes de

presión arterial en el tiempo. Esto se debe a que ambos

fenómenos son modelados por dichas funciones, por lo

que cualquier anomalía en el periodo de la función indica

algún tipo de cardiopatía.

Ejemplo de Aplicación

La función

cuyo gráfico es:

f:Dom(f)p

x Dom(f) : Dom(f)x +p

x Dom(f) :f(x+p) =f(x)

f(x) =sen(x)p =2π

Dom(f) =

: x x+2π

: x sen(x +2π) = sen(x)

5 πP t =100 +20sen πx -

2 2

5 πP t =100+20sen πt-

2 2

FUNCIONES PERIÓDICAS

f(x) =sen(x)

5

ABACOM Boletín Matemático

SOLUCIÓN SOLUCIÓN SOLUCIÓN EDICIÓN Nº 43EDICIÓN Nº 43EDICIÓN Nº 43

RESOLUCIÓN PROBLEMAS EDICIÓN Nº 43

rsoConcursoConcursoConcursoConcursoCon

Problema 1: El Número 100

Algunas formas de expresar el número 100, usando los

dígitos desde el 1 al 9 (una vez cada uno) y algunas

operaciones algebraicas son:

Problema 2: El Marco del Cuadro

Supongamos que el largo y el ancho del cuadro (sin

considerar el marco) son a y b, respectivamente, y el

ancho del marco es c.

Entonces las medidas del cuadro, incluido el marco

serán de: a + 2c y b + 2c , largo y ancho respectiva-

mente.

Para que el rectángulo formado por el cuadro completo

(incluido el marco) y el rectángulo de la tela pintada

fuesen semejantes se debería cumplir la proporción:

lo que no ocurre pues , ya que el cuadro es rec-

tangular.

O O M O N O R G A E

C O S T A V E O B N

I P R C U A N H O F

M R M E D I C O G E

I O A T I S X Q A R

U F T I T N A U D M

Q E R U O J E I O E

O S O Q R A L G A R

I O N R Z O O L N A

B R A A S T I O S I

ALUMNOS PARTICIPANTES

Han enviado respuestas al Concurso los(as) alumnos(as):

Valentina Elmohrez Salgado 2º Medio, Colegio Nuestra Señora del

Carmen Valdivia

Rodrigo Martínez 1º Medio, Instituto Alemán Valdivia

Diego Ojeda 1º Medio B, Liceo San Felipe Benicio Coyhaique

Mauricio Scheuch 1º Medio, Instituto Alemán Valdivia

Bárbara Vargas Pérez 8º Básico, Escuela Alemana Paillaco

1 38100 4 95 ;

2 76

3 27100 1 98 ;

6 54

5742100 91 ;

638

5823100 91

647

7524100 91 ;

836

2148100 96 ;

537 1428

100 96357

2 3

4 6100 1 98 (57) ;

1578100 94

263

2,

2

a a c

b b c

a b

Los títulos pro-fesionales que corresponden a carreras que se imparten en la UACh son:

Abogado Agrónomo Arquitecto Auditor Bioquímico Enfermera Ingeniero Matrona Médico Profesor

5 π-1 sen πt- 1 / ×20

2 2

representa aproximadamente la presión sanguínea P de una

persona adulta normal, en milímetros de mercurio, donde t

es el tiempo medido en segundos.

a) ¿Cuál es rango de presión sanguínea que debiese pre-

sentar una persona adulta normal?

b) Si cada onda del gráfico representa una pulsación,

¿cuántas pulsaciones por minuto tiene aproximadamente

una persona normal?

Solución

a) Se sabe que la función seno está acotada entre -1 y 1

luego, se tiene que:

Así, el rango de presión sanguínea para una persona adulta

normal está entre 80 y 120 milímetros de mercurio.

b) Si cada onda representa una pulsación entonces se tiene

que el periodo de la función (en segundos) corresponde a

una pulsación; por lo tanto, recordando que dada una fun-

ción trigonométrica de la forma:

su periodo está dado por , entonces se tiene que

, lo que implica que cada

0,8 segundos hay una pulsación.

Luego las pulsaciones por minuto corresponden a

es decir, una persona adulta normal presenta 75 pulsacio-

nes por minuto.

5 π-20 20sen πt- 20/ +100

2 2

5 π80 100 +20sen πt- 120

2 2

80 P(t) 120

f(x) =a+bsen(cx+d)

2π

c

,60

= 750,8

2π 4

el periodo de P(t) es = = 0,85π 52

Juan Leiva Vivar

6

N O V I E M B R E 2 0 1 2

Su influencia en el desarrollo de la Matemática del pasado si-glo, no sólo se debió al desafío que planteó con sus 23 Proble-mas, sino a los aportes en diferentes temas tan diversos como Álgebra, Geometría, Análisis y Fundamentos de la Matemática. También contribuyó en forma decisiva a la formulación de la Teoría de la Relatividad de Einstein.

Hilbert nació en Königsberg, Prusia Oriental

(actual Kaliningrado, Rusia) el 23 de enero

de 1862. Su padre era funcionario del Estado.

El ambiente familiar en el que creció era pro-

picio para el desarrollo intelectual, gracias a

la influencia de su madre, una mujer muy

culta que se dedicó a la Filosofía, la Astrono-

mía y las Matemáticas.

Se graduó en el Liceo de su ciudad natal y

estudió matemáticas en la Universidad de

Königsberg, obteniendo su doctorado en

1885, con una tesis, escrita bajo supervisión

de Ferdinand von Lindemann, titulada “Sobre

las propiedades invariantes de formas bina-

rias especiales, en particular las funciones

circulares”. Durante sus estudios de doctora-

do conoció al matemático ruso Hermann

Minkowski, quien también estaba estudiando,

con él mantuvo una estrecha amistad durante

toda su vida. Fue precisamente gracias a la

mediación de Minkowski que Hilbert pudo

establecer contacto con grandes personalida-

des matemáticas de la época, como Kroneck-

er, Weierstrass y Klein.

Se casó con Käthe Jerosch. En 1893 nació su

único hijo Franz, que sufrió trastornos menta-

les tan graves que nunca pudo desarrollar una

vida independiente. A pesar de ello, su madre

nunca consintió que su hijo fuese internado

permanentemente en un psiquiátrico, murien-

do éste en 1969.

Hilbert ejerció como profesor en la Universi-

dad de Königsberg de 1886 a 1895, año en

que gracias a la intervención de Klein, obtu-

vo una cátedra de matemática en la Universi-

dad de Göttingen, que en aquél momento era

el mejor centro de investigación matemática

en el mundo, donde permanecería hasta su

jubilación en 1930 - aunque siguió impartien-

do cursos hasta 1934.

Hilbert fue el matemático más importante de

su época y fue reconocido así en vida. La

ciudad de Königsberg lo nombró su hijo pre-

dilecto.

En diciembre de 1941 cayó mientras paseaba

por Göttingen y se rompió un brazo. Murió el

14 de febrero de 1943 como consecuencia

indirecta de esa caída.

Como Hilbert fue muy crítico del nazismo, a

su entierro pudieron acudir muy pocas perso-

nas, entre ellas su esposa y el físico Arnold

Sommerfeld, que a duras penas pudo despla-

zarse desde Munich.

David Hilbert se dedicó a diversos temas en Matemáticas, tales como: Álgebra, Teoría de Números, Geometría, Análisis Funcional, Análisis Complejo, Fundamen-tos de la Matemática; y también en Física. Algo de lo que dejó a la ciencia es:

La Curva de Hilbert: Es una curva fractal continua que recubre el plano. Es una variante de las curvas que recubren el plano descubiertas por Giuseppe Peano en 1890.

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Hilbert_curve.gif

Los Espacios de Hilbert: Son una generalización de los espacios euclídeos en 2 y 3 variables (es decir vec-tores en el plano y en el espacio), que permite extender ciertas nociones geomé-tricas como longitud, distancia, ángulo, perpendicularidad, proyección, entre otras, a espacios más generales.

Formalmente un Espacio de Hilbert es un

espacio vectorial con un producto interno que es completo con respecto a la norma vectorial definida por ese producto. Este tipo de espacios resultó ser fundamental para la formulación matemática de la Me-cánica Cuántica.

Los Axiomas de Hilbert: son un conjunto de 20 hipótesis propuestas por Hilbert como fundamento para un tratamiento moderno de la Geometría Euclidiana. Ori-ginalmente eran 21, pero posteriormente se probó que uno de ellos podía deducirse de los otros.

En Física: Hilbert participó en temas de Física en la formulación matemática de la Mecánica Cuántica. También colaboró con Einstein en la Teoría de la Relatividad.

Otros conceptos que nos legó este genio son: La Matriz de Hilbert, usada en Álgebra Lineal; la Transformada de Hilbert, que

se usa en el tratamiento de señales; el Teorema de la Base de Hilbert, que es un teorema fundamental en Álgebra Abs-tracta.

Pero, sin duda, la mayor herencia que Hilbert dejó fueron sus famosos 23 Pro-blemas que presentó en el Congreso In-ternacional de Matemáticos en París el 8 de Agosto de 1900.

http://es.wikipedia.org/wiki/Problemas_de_Hilbert

Estos problemas marcaron, en cierta me-dida, el desarrollo de la Matemática del siglo XX, siendo muchos los que dedica-ron su vida a intentar resolverlos.

Actualmente, de los 23 problemas, 9 están resueltos, con solución aceptada por con-senso; 8 tienen una solución que sólo ha sido parcialmente aceptada; 2 quedan aun sin poder ser resueltos y 8 son considera-dos con un enunciado demasiado vago como para que algún día se puedan consi-derar resueltos.

LA HERENCIA DE HILBERTLA HERENCIA DE HILBERT

El más Influyente Matemático del siglo XX

7

ABACOM Boletín Matemático

Vamos llegando al final, por este año, de la sección que permite el híbrido entre Mate-máticas y Cine. En este periodo nos hemos divertido con pelícu-las de terror, suspenso, demen-cia, ficción y otras, pero todas con el argumento de las mate-máticas en su línea cinemato-gráfica. Si nos damos cuenta sólo he-mos hablado sobre ficción en este año. Pero el cine es ¿sólo de ficción? Esta pregunta nos lleva a pensar en la gran divi-sión que se presenta en el sép-timo arte; me refiero a las pelí-culas de ficción y a los docu-mentales. Hoy en Luz, Cámara… ¡Matemáticas! nos adentraremos en el género de lo real, aquél que permite capturar una realidad y presentársenos como verdadera. Para avanzar en esta idea revisaremos el film What The Bleep Do We Know!? (en su traducción ¿¡Y tú qué sabes!?), realizado en el 2004, por el Director William Amtz, en EEUU. Dicha película busca explicar la realidad combinando creencias místicas y postulados de Física, como por ejemplo, el Principio de Incertidumbre proveniente de la Mecánica Cuántica. De igual forma, usa nociones de Química, Psicología y otras ciencias, además cabe destacar que utiliza términos matemáticos como las Probabilidades. Demostrando empírica-mente que las emociones son falsas, que la realidad es una posibilidad de universos. Realmente es un documental que deja pensando y que nos ayuda a entender lúdicamente distintos conceptos. La recomiendo. Para lograr la veracidad que debe tener un documental participan los físicos William Tiller, Amit Goswami, John Hagelin, Fred Alan Wolf y David Albert; el investigador Masaru Emoto; el anestesiólogo Stuart Hameroff; los psiquiatras Jeffrey Satinover y Daniel Montii; el médico Andrew B. Newberg; el bioquímico Joseph Dispenza; la bióloga molecu-lar Candance Pert, el maestro espiritual Ramtha y el teólogo Miceal Ledwith. Como podemos ver, el género documental requiere de personas que respalden la tesis que construye, por lo mismo se utiliza esta cantidad de expertos. Finalmente, cabe mencionar que el cine tiene un sinfín de películas de tipo ficción o de tipo documental, además de los falsos do-cumentales, los cuales los dejaremos para próximas ediciones. Esperando que vean las películas que se sugieren y que su interés por el aprendizaje sea próspero, me despido hasta otra oportunidad para que todos digamos Luz, Cámara… ¡Matemáticas!

LOS NAZIS, EL FORMALISMO

Y UN FUNERAL

Hilbert vivió la época de la represión nazi y vio como la ma-yoría de sus colegas, matemáticos sobresalientes, se vieron obligados a marcharse de la Universidad de Göttingen, en 1933. Entre ellos: Hermann Weyl, Emmy Noether, Edmund Landau y Paul Bernays. Un año después, asistió a un banque-te y le sentaron al lado del nuevo Ministro de Educación, Bernhard Rust. Rust le preguntó, “¿Cómo va la matemática en Göttingen ahora que ha sido liberada de la influencia ju-día?” A lo que Hilbert contestó, “¿La matemática en Göttin-gen? Ya no queda nada de eso”.

Hilbert fue partidario del Formalismo, que sostenía que toda afirmación matemática podía ser formalmente demostrada si era verdadera o refutada si era falsa. Su lema era: “Nosotros debemos conocer, nosotros conoceremos” (en alemán Wir müssen wissen, wir werden wissen), el que pro-nunció en una famosa conferencia. Irónicamente, el día antes de que Hilbert pronunció esta frase, Kurt Gödel pre-sentaba su tesis, que contenía el famoso Teorema de Incom-pletitud, según el cual: hay cosas que sabemos que son cier-tas, pero que no podemos probar.

Él vivía la Matemática con vehemencia, lo que se refleja en una anécdota que contaba uno de sus discípulos: Durante los años 20, uno de los brillantes estudiantes de Hilbert había escrito un artículo que pretendía demostrar la Hipótesis de Riemann (una famosa conjetura, aún no demos-trada). El estudiante le había mostrado el manuscrito a Hil-bert, quien quedó impresionado por la profundidad del argu-mento pero, por desgracia, encontró un error que ni siquiera él pudo corregir. Al año siguiente, el estudiante murió. En los funerales, Hilbert preguntó a los afligidos parientes si le per-mitirían decir una oración fúnebre. Mientras los parientes y amigos del estudiante estaban llorando ante la tumba, bajo la lluvia, Hilbert se dirigió a los presentes lamentando la tra-gedia que suponía que un joven con tanto talento hubiese fallecido antes de poder demostrar de qué era capaz. Y si-guió diciendo que pese al hecho que la demostración pro-puesta por este joven de la Hipótesis de Riemann contenía un error, era aún posible que algún día se obtuviera una prueba del famoso problema siguiendo las líneas que el di-funto había indicado. “De hecho”, continuó con entusiasmo, de pie junto a la tumba del estudiante muerto, “si considera-mos una función de variable compleja …”

ABACOM

Escena 44

Toma 1

LUZ, CÁMARA, …

¡MATEMÁTICAS! Julio Morales Muñoz

¿¡Y tú qué sabes!?

De la Ficción a la Realidad

Tumba de Hilbert, donde se lee, como epitafio, su lema.

N O V I E M B R E 2 0 1 2

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BONOS DE CARBONOBONOS DE CARBONO

Paola Utreras San Martín

En un intento por aplacar el daño dejado por la huella del

hombre sobre nuestro planeta, nuestra sociedad ha creado

los bonos de carbono.

Los bonos de carbonos pueden ser comprados por cual-

quier persona consiente del daño que la actividad humana

pueda generar al medio ambiente. Por ejemplo: si usted

toma un bus a Concepción, sabe que el bus en el que viaja

contamina la atmósfera, sin embargo, debe hacer ese viaje

aunque también quiera cuidar el medio ambiente. Para re-

solver esta encrucijada, puede comprar bonos de carbono

por el viaje que va a realizar, lo que correspondería a una

especie de impuesto por contaminar. El dinero recaudado

se destina a diversas fábricas con el fin de mejorar sus tec-

nologías, haciéndolas más limpias y eficientes, de modo

que la industria recibe un dinero (bono) para reducir las

emisiones de gases de efecto invernadero.

Con este mecanismo usted no dejará de emitir gases con-

taminantes instantáneamente, sin embargo, ayudará a que

en el futuro alguna empresa sí lo haga. Como somos todos

parte del mismo planeta y vivimos de alguna manera bajo

el mismo techo, entonces es equivalente dejar de emitir

gases contaminantes entre Valdivia y Concepción o en al-

guna fábrica del lejano oriente.

Actualmente existen diversas empresas, incluso en Chile,

que venden bonos de carbono y que han logrado encon-

trar un negocio rentable gracias al cambio climático.

FF II SS II CC OO MM

Operatoria con Números

Complejos

Recordemos que el conjunto de los Números Complejos

es: donde

Las operaciones de adición y multiplicación se definen por:

Una forma fácil de operar con números complejos es consi-

derar a + bi como un binomio donde i es una variable, y

efectuar las operaciones como se hace con expresiones alge-

braicas con números reales, considerando que

Para otras potencias de i se debe considerar que:

; y se repiten cada 4.

Ejemplos:

1.- Calcular

Haciendo el desarrollo, como se indicó, tenemos:

2.- Reducir

Expresaremos, usando el algoritmo de la división, los

exponentes 127 y 1682 en la forma: 4q + r.

Al dividir 127 por 4 resulta cuociente q = 31 y resto

r = 3, así: 127 = 4X31 + 3.

Análogamente se obtiene: 1682 = 4X420 + 2.

Por tanto tenemos:

3.- Efectuar la operación siguiente:

Primero calculamos :

Ahora hacemos la división:

Así:

Tips

MATEMÁTICOS

Juan Leiva Vivar

/ ,a bi a b 21 1i i

( )( ) ( ) ( )a bi c di ac bd ad bc i

( ) ( ) ( ) ( )a bi c di a c b d i

2 1.i

2(2 3 ) (1 4 ) (37 33 )i i i

127 16822 3i i

2(2 3 ) (1 4 ) (37 33 )i i i

2(4 12 9 )(1 4 ) (37 33 )i i i i

( 5 12 )(1 4 ) (37 33 )i i i

2( 5 20 12 48 ) (37 33 )i i i i

(43 32 ) (37 33 )i i 6 i

3 2i 2( ) 3( 1)i

31 4202 1 ( ) 3 1 ( 1)i 4 31 3 4 420 22( ) ( ) 3( ) ( )i i i i

127 1682 4 31 3 4 420 22 3 2 3i i i i

0 1 2 3 41, , 1, , 1i i i i i i i

3(1 ) : (2 3 )i i 3(1 )i

3 3 2 2 3(1 ) 1 3 1 3 1 2 2i i i i i

2 2 2 2 2 3 10 2 10 2

2 3 2 3 2 3 13 13 13

i i i ii

i i i

3 10 2(1 ) : (2 3 )

13 13i i i

CAMBIO CAMBIO

CLIMÁTICOCLIMÁTICO

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ABACOM Boletín Matemático

Poesía MatemáticaPoes ía Matemática

ANÉCDOTAS DE LA CIENCIA

Un carpintero, cosa enigmática, sentía raro gusto por la matemática. Un día triste, de faena ayuno, decidió tallar un cubo de arista menos uno.

Aunque parezca cosa de ensalmo, medía su base menos un palmo. -¿se os hacen los sesos mermelada?- De largo su cubo tenía, pues, un palmo menos que nada.

Otro tanto de alto (¿lo dudáis un segundo?) Y también, menos un palmo de profundo. Multiplicando, obtendréis para tal cubo -y sin mucho esforzar vuestro cacumen- que menos un palmo cúbico es su volumen.

De tablas de madera bien maciza. Con frente sudorosa serró el cubo pues aunque cada corte tenía longitud negativa de tanto menos por menos ni fuerza tuvo.

Por vez segunda construyóse un cubo, aunque en ésta ningún problema hubo. Al tomar de signo más cada longitud, Era su volumen un palmo cúbico positivo, por tal virtud.

Contaba pues, por sus pecados, con dos cubos iguales, gemelos descarriados; deseando saber a qué atenerse, el segundo colocó sobre el primero.

De signo más los unos, los otros negativos, algebráicamente se cancelaron sus lados. Otro tanto ocurrió con el volumen: nada ganado, sólo subsistían las superficies. Pues bien, abrid los ojos: sus áreas tenían ahora medida doble, soportadas en algo que por la destreza del fustero ni ocupaba espacio ni medía nada. De ébano macizo había cortado aquellos objetos cúbicos abultados;

todo cuanto ahora subsistía era sutil especie de lámina oscura y esquinada. De doce palmos cuadrados, que no es poco. Nada pesa ni ocupa espacio en absoluto. Sigue allí, tirada aún en la carpintería. ¡A nadie se le ocurre para qué serviría!

UN RECORDATORIO POSITIVO

El matemático francés, de ascenden-

cia alemana, Jacques Sturm (1803

– 1855), es conocido por su célebre

teorema, el Teorema de Sturm, que

permite hallar los ceros de una fun-

ción polinómica en un determinado

intervalo.

Se dice que Sturm era tan modesto

que cuando se refería a su teorema

decía:

“… el teorema cuyo nombre yo ten-

go el honor de usar ...”

LA MODESTIA DE STURM

J.A. Lindon

Michael Faraday (1791 – 1867)

fue un físico y químico británico

que estudió el electromagnetismo y

la electroquímica.

Faraday fue uno de diez hijos de un

herrero londinense. De joven, con

poca educación, fue aprendiz de

encuadernador.

En 1812, a los 21 años, Faraday

recibió entradas gratuitas para

conferencias vespertinas, sobre

química, que presentaba Sir

Humphry Davy, en la Institución

Real de Londres. El joven quedó

tan deslumbrado por la experien-

cia, que le envió a Davy una copia

encuadernada en piel de sus me-

ticulosas notas, acompañada de una

petición para un empleo como su

ayudante.

Tiempo después Davy despidió a

su ayudante de laboratorio por pen-

denciero y recordando el gesto ha-

lagador de Faraday, le ofreció el

puesto de lavafrascos. El brillante

joven aceptó.

FARADAY: DE ENCUADERNADOR A LAVAFRASCOS

- 1

- 1 - 1

N O V I E M B R E 2 0 1 2

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MIRANDO CON PRISMÁTICOS

Si te encuentras en la costa y observas, con prismáti-cos de 3 aumentos (es decir que aumentan 3 veces el tamaño de lo que se observa), a una barca que se acerca en línea recta a la costa, ¿en cuántas veces te parecerá que aumenta la velocidad con que se apro-xima la barca?

La respuesta más lógica sería decir que la velocidad aumenta al triple, pero … te hallarás con una sorpre-sa.

Para aclarar el problema, supondremos que la barca fue vista cuando se hallaba a 600 [m]. de distancia y que se mueve con una velocidad de 5 [m/seg]. Con los prismáticos de tres aumentos, se verá la barca del mismo tamaño que si estuviera a 200 [m]. Al cabo de un minuto se habrá aproximado 5 X 60 = 300 [m] y estará a 300 [m] del observador, además con los gemelos, se verá del mismo tamaño que si estuviera a 100 [m]. Por lo tanto, para el observador con los prismáticos, parecerá que la barca ha recorrido 200 - 100 = 100 [m], mientras que en realidad recorrió 300 [m]. De aquí se deduce claramente que la velocidad con que se aproxima la barca vista con los gemelos no sólo no se triplica, sino que, al contrario disminu-ye en tres veces.

Fácilmente se puede comprobar que a esta misma conclusión se llega con otros datos, es decir, con otra distancia inicial, otra velocidad de la barca y otro intervalo de tiempo.

Así, pues, la velocidad con que se aproxima la barca, observada con los prismáticos, disminuye tantas ve-ces como éstos aumentan los objetos.

EL ALUMNO QUE, INJUSTAMENTE,

OBTUVO UN 1,0 EN UN EXAMEN

Un alumno, que tenía muy desarrollada su capacidad de lógica, en un examen obtuvo nota 1,0 habiendo, según él, respondido todas las preguntas correctamente.

A continuación pre-sentamos el examen. Juzgue Ud. si fue jus-ta la nota que se le asignó.

1. P: Si Ud. tuviera 5 manzanas en una mano y 6 manza-nas en la otra mano, ¿qué es lo que tendría?

R: Unas manos enormes. 2. P: Si se necesitan 5 hombres para pintar una muralla

en 4 horas, ¿cuántos hombres se necesitan para pintar el mismo muro en sólo 3 horas?

R: Ninguno, la muralla ya está pintada. 3. P: ¿Cómo puede permanecer una persona 10 días sin

dormir? R: Durmiendo en las noches.

4. P: ¿Es posible levantar un elefante con una sola mano?

R: Imposible, ¿dónde vamos a hallar un elefante que tenga una sola mano?

5. P: ¿Cómo se puede dejar caer un huevo crudo en un piso de concreto, sin quebrarlo?

R: De cualquier forma, un huevo crudo jamás podrá quebrar un piso de cemento.

6. P: El río Misisipi, de Estados Unidos, ¿en qué estado corre?

R: En estado líquido. 7. P: ¿Dónde fue firmada el Acta de la Independencia

de Chile? R: Al final de la última página.

8. P: ¿Cómo te llamas? R: Yo no me llamo, me llaman por mi nombre.

Moraleja: Lo importante en una prueba o examen es la claridad y precisión con que se enuncian las preguntas.

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ABACOM Boletín Matemático

Son-Risas en la

Sala de Clases

Durante una prueba con alternativas,

un alumno pide ayuda al que está al

lado:

- Ayúdame con la pregunta Nº 4.

- La c.

- Sí se que te la sabes, … pero dime

la respuesta.

El profesor de matemáticas está re-

solviendo un típico problema sobre

edades, en la pizarra:

- Supondremos que la edad que bus-

camos es x ...

Un niño levanta la mano y pregunta:

- Profesor, y qué ocurre si la edad no

es x ...

En clase de química:

- Profesora, ¿sabe Ud. qué ruido ha-

ce un átomo al caer al suelo?

- No lo sé - responde la profesora.

- … Planck …

- ¿Y cuando un átomo eructa?

- ¿ … ?

- … Bohr …

El profesor de matemáticas dibuja

dos puntos en la pizarra, hace pasar a

un alumno adelante y le pide que di-

buje una línea que represente la dis-

tancia más corta entre esos puntos.

Obviamente supone que el niño dibu-

jará un segmento de recta, pero en

vez de eso dibuja una línea curva

que, parte de uno de los puntos, reco-

rre casi toda la pizarra, hasta final-

mente terminar en el otro punto.

- Tienes un uno - le dice. ¿Quién te

ayuda a estudiar geometría?

- Mi papá - responde el niño.

- ¿Tu papá es profesor?

- No, … es taxista …

Científicos británicos han descubierto que las abejas son capaces de realizar la ruta más corta posible entre las flo-res incluso si, en un experimento, és-tas son cambiadas de orden. Parece algo simple pero, en realidad, su com-portamiento demuestra una mente ma-temática de primer orden. Al elegir la ruta más corta y eficaz, son capaces de resolver un complejo y famoso proble-ma matemático conocido como El problema del vendedor viajero, que es uno de los problemas más famosos en el campo de la Optimización Combinatoria Computacional.

Este problema consiste en encontrar el recorrido más corto para un vendedor que tiene que visitar varias ciudades y volver al punto de partida. A pesar de la sencillez de su planteamiento, este problema no es simple, se conoce la forma de resolverlo, pero sólo en teo-ría, en la práctica la solución no es aplicable debido al tiempo que computacionalmente se precisa para

obtener su resultado.

Sin embargo, las abejas, que carecen de tecnología y que tienen el cerebro del tamaño de una cabeza de alfiler, son capaces de visitar cientos de flores de una forma que minimizan la distan-cia del viaje, pudiendo encontrar su camino a casa de forma fiable.

H

U

M

O

R

TU PADRE HA ESTADO SOMETIDO A

MUCHA PRESIÓN ULTIMAMENTE ...

LAS ABEJAS Y LA MATEMÁTICA

CURIOSIDADES SOBRE UNIDADES DE MEDIDA

El cuerpo humano ha sido utilizado para establecer unidades de medida: la pul-gada era el ancho máximo de un dedo pulgar; el codo la distancia entre el codo y el final de la mano abierta, el pie comenzó siendo la longitud de una sandalia romana. En el siglo XII, Enrique I de Inglaterra fijó la yarda, o doble codo, como la máxima longitud desde su nariz hasta la yema de su dedo más alejado.

La sensación sonora se mide en decibelios, en honor de Alexander Graham

Bell (1847 – 1922), inventor del teléfono.

Fahrenheit eligió el tamaño de su unidad de temperatura de modo que hubiese

180 entre el punto de congelación y el de fusión del agua pura a nivel del mar. Al parecer, quería una escala análoga a la de medición de ángulos. En conse-cuencia, a la unidad se le dio el nombre de grado.

12

N O V I E M B R E 2 0 1 2

iciasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNo

Triángulo de las Bermudas

¡Lo desconocido se hace realidad! Acaba de pasar Halloween y el terror sigue rondando. El miedo a lo desconocido está latente, sobre todo ahora que unos científicos canadienses descubrieron una verdadera ciudad sumergida bajo el Triángulo de las Bermudas. ¿Qué nos deparará la cien-cia?

Una verdadera sorpresa se ha llevado el mundo entero al ente-rarse que las historias de ficción pueden comprobarse. Los exper-tos Paul Weinzweig y Pauline Zalitzki, encontraron, mediante un robot, los restos de una ciudad ubicada a unos 700 metros de profundidad, hacia el norte de las costas orientales de Cuba. Las ruinas poseen pirámides, una esfinge y algunos ya especulan que podrían llegar a ser “Atlántida”, la ciudad mencionada y descrita por primera vez por el filósofo griego Platón. Para Zalitzki “Es asombroso. Lo que observamos en las imágenes del sonar, son llanuras interminables de arena blanca y en el me-dio de esta bella arena se aprecian claramente diseños arquitec-tónicos hechos por el hombre. Es como cuando sobrevuelas un proyecto urbano en avión y ves las autopistas, túneles y edifi-cios”, afirmó a los medios de comunicación. En opinión del científico, el complejo pertenece a un período preclásico de la historia del Caribe y de América Central, poblado por “una civilización avanzada, similar a la cultura de Teotihua-cán”. La Atlántida, según la leyenda, desapareció por una inunda-ción, un gran terremoto o una erupción volcánica hace más de 10 mil años. ¿Serán los primeros indicios del fin del mundo? Sólo nos queda deslumbrarnos o aterrorizarnos con lo desconocido.

Raíces

¡El hombre invisible tendrá nuevo huerto! El hombre invisible se está preparando para hacer un nuevo huerto ya que científicos del James Hutton Institute en Escocia crearon una "tierra transparente" para estudiar el mundo de las raíces.

Con la finalidad de permitir estudiar cómo las raíces reciben sus nutrientes o cómo se propagan los agentes patógenos, dicho equipo proveniente de la Universidad de Abertay Dundee, logra-ron sintetizar un nuevo compuesto que replica las características de la tierra común, pero que tiene un rasgo diferenciador: es transparente. Para Lionel Gupuy, biólogo teórico del James Hutton Institute "Hay muchas disciplinas científicas que podrían beneficiarse de esta investigación. La tierra transparente podría ser usada para estudiar la expansión y transmisión de los patógenos surgidos en los terrenos" afirmó. Cabe mencionar que los agentes patógenos son los que producen

enfermedades viviendo en animales, humanos, plantas u otros seres vivos. Además este trabajo entregaría un mejor entendi-miento sobre el consumo de nutrientes, también permitiría anali-zar los genotipos de los distintos sistemas de raíces y masificar su uso. Por ahora, el interés de los científicos es disminuir los costos de la técnica para fomentar su aplicación. Por su parte, el hombre invi-sible se acaba de comprar unas semillas invisibles para así mez-clarlas con esta increíble tierra y poder disfrutar de una rica cose-cha de papas en abril del 2013.

Universidad Austral de Chile

Ciencia + Música: 2º Concurso de Bandas Escolares Acústica UACh A la velocidad del sonido se da por iniciada la convocatoria 2012 de Bandas Escolares. Las inscripciones son hasta el 7 de noviem-bre y los resultados serán publicados en www.acusticauach.cl a finales del mismo mes.

Los estudiantes de acústica en la UACh tienen un fuerte peso en el área de matemáticas, así como todas las ingenierías. Este concurso no es neta-mente una oportunidad para grabar un disco o venir a Valdivia con los gastos pagados. Es además la oportunidad de aprender ciencia, porque en cada paso del concurso los interesados pueden preguntar sobre los funda-mentos de la acústica en el ámbito científico. Por ejemplo ¿cómo viajan las ondas?, ¿qué es el concepto de reverberancia?, entre otras. Para el Dr. Enrique Suárez, director de carrera, “la idea del con-curso nace de la cercanía que los estudiantes de Ingeniería Civil Acústica tienen con la música. Más de la mitad de quienes ingre-san a estudiar la carrera ya tocan en bandas desde la época del colegio, por ello, hemos visto una oportunidad para estrechar lazos con jóvenes que tengan inquietudes musicales, ofreciéndo-les la posibilidad de ser evaluados, aportarles con equipamiento y grabar profesionalmente a los ganadores” destacó. Cabe mencionar que el concurso está dirigido a bandas de todo Chile, específicamente a estudiantes de enseñanza media y que posean algún demo o canción inédita de su propia autoridad. Las bases y premios se encuentran en www.acusticauach.cl o para mayores informaciones escribe a infoacusticauach@gmail.com Finalmente la invitación está hecha y no olvidemos mezclar esta convergencia con la gente universitaria para aprovechar de saciar dudas científicas. Recordemos que el lenguaje de la ciencia está en todos lados.

Julio Morales Muñoz, Egresado de Periodismo UACh.