ABACOM Boletín Matemático

La Física es la ciencia que posee mayor matematización. Existen matemáticos que no saben mucha Física, pero no exis-ten físicos que no sepan suficiente Mate-mática. No obstante, los objetos de cada una de las dos disciplinas parecen dife-rentes: la Física estudia el mundo, mien-tras que a la Matemática la realidad no parece preocuparle demasiado. Esto hace que físicos y matemáticos tengan una visión especial los unos de los otros. El físico Chen Ning Yang, que recibiría el Premio Nobel de Física por ser coautor de la teoría conocida hoy como Teoría de Yang-Mills de la fuerza fuerte, contaba un chiste que, según su opinión, describía bastante bien la relación entre los mate-máticos y los físicos en la actualidad. Lo cuenta Stanislaw Ulam en su biografía:

Una tarde llegó un grupo de hombres a

un pueblo. Necesitaban lavar la ropa, de

manera que recorrieron las calles en

busca de una lavandería. Encontraron un

sitio con un cartel en la ventana: Lava-

mos ropa. Uno de ellos preguntó: – ¿Podemos dejar nuestra ropa para lavar?

El dueño dijo:

– No, aquí no lavamos ropa.

– ¿Cómo es eso? – preguntó el foraste-

ro – hay un cartel en su ventana que

dice que sí.

La respuesta del dueño fue:

– Aquí hacemos carteles.

Según Ulam, eso hacen los matemáti-cos: fabrican carteles, y esperan que sirvan para muchas contingencias. Qui-zás incluso para aquéllas en las que ni siquiera han pensado. Así, marcos teóri-cos como los Espacios de Hilbert, tuvie-ron inmediata aplicación en Física Cuántica, sin que quien los ideara, hu-biera pensado en tal aplicación. Otras veces, sin embargo, son los físicos e ingenieros los que crean matemáticas como herramientas que necesitan. Por ejemplo, las ideas sobre la Teoría de la Información de Shannon, partieron de un ingeniero, y no de matemáticos, que incluso la desdeñaron al principio por su “poco contenido matemático”, hasta que el gran Kolmogorov puso su presti-gio indiscutible en la balanza apoyando la teoría. En todo caso, es imposible afirmar que una teoría matemática, por abstracta que esta sea, no va a tener aplicaciones físi-cas en el futuro. Dos disciplinas comple-tamente diferentes, y sin embargo muy cercanas... En los contenidos de Física, en la Ense-ñanza Media, se puede observar la rela-ción entre estas dos disciplinas, ya que en la resolución de los problemas de Física se utilizan operaciones, fórmulas y desarrollos matemáticos, sin los cua-les sería imposible resolverlos. Es por ello que en nuestro boletín in-cluimos temas de Física como “Tracker: Un Laboratorio de Físi-ca” (en esta edición, página 10) y “¿Estaba Galileo Equivocado?” en la edición 34.

SEPTIEMBRE 2010SEPTIEMBRE 2010SEPTIEMBRE 2010SEPTIEMBRE 2010

AÑO 9 N°36AÑO 9 N°36AÑO 9 N°36AÑO 9 N°36 Editorial

LA FÍSICA Y LA MATEMÁTICA

En esta edición

Visítanos en: www.uach.cl/abacom Contáctanos en: abacom@uach.cl

pág

Lo Último en Tecnología

• Servicios y Aplicaciones Web muy Útiles. ............................................ .2

Estadística • Medidas de Localización: Cuarti-les. ................................................ . 3

Matrices y Sistemas de Ecuaciones ...... .4

Pierre de Fermat • Un Aficionado Brillante.... ............ .6 • La Controversia Fermat -Descartes………………….... . .6

• El Último Teorema de Fermat.…. . 7 • Algo de su Obra…….. ................. ..7

Juegos Matemáticos. ............................ ..8

Anécdotas Matemáticas ....................... ..8

Matemática Entrete • El Sorprendente Número Pi ......... ..9 • Sonriendo con Pi ......................... ..9 • Humor. ......................................... ..9

“Tracker”: Un Laboratorio de Física....10

Concurso • Desafío a tu Ingenio ..................... 11 • Sopa Matemática .......................... 11

Noticias • Un Logo para el Centro de Docen-cia de CCBB. ............................... 11

• Alta UACh inició su Semestre Pri-mavera.......................................... 12

• Actividades Explora 2010 ............ 12

S E P T I E M B R E 2 0 1 0

Publicación destinada a Estudiantes y Profesores de Enseñanza Media.

Proyecto auspiciado por la Facultad de Ciencias de la Ingeniería de la

Universidad Austral de Chile.

Director: Juan Leiva V. Director Alterno: Víctor Alvarado A. Redacción Periodística :

Carolina Leiva C. Diagramación: Katherine Inalef P.

Centro de Docencia de CCBB Facultad de Ciencias de la Ingeniería

UACh.

Casilla 567 Valdivia. E.mail: abacom@uach.cl

Fono (63)221828 Fax (63)293730

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Luis Véliz Matus

Hoy en día, gracias a los aumentos de velocidad en la transmisión de datos y al desarrollo de tecnologías web, han surgido muchísimos servicios y aplicaciones, es de-cir, páginas web que brindan un servicio o permiten rea-lizar una tarea, así como lo hacen los programas que se ejecutan en el computador llamadas “aplicaciones de es-critorio”. Éstas cubren una amplia gama de necesidades, desde el imprescindible correo electrónico hasta los juegos, pasando por antivirus, herramientas de ofimáti-ca, reproductores de música y video, respaldo de archi-vos, etc. Cabe destacar que muchas de estas aplicacio-nes son gratuitas y además bastante útiles. Algunos ejemplos y recomendaciones:

Dropbox ( http://www.dropbox.com ) Dropbox es un servicio web que permite a los usuarios almacenar, sincronizar archivos en línea y entre compu-tadoras, compartiendo archivos y carpetas con otros. Existen versiones tanto gratuitas como de pago, cada una de las cuales con opciones variadas. Actualmente Dropbox ofrece gratuitamente 2GB para comenzar y permite alcanzar hasta 10GB, lo que se consigue invitan-do a otros usuarios a usar el servicio. También hay pla-nes pagados de 50GB y 100GB.

Picnik ( http://www.picnik.com ) Picnik es un sitio web que ofrece edición de imágenes. Éstas se pueden subir directamente o se pueden impor-tar de otros sitios como por ejemplo: Facebook, MySpa-ce, Picasa Web Albums, Flickr, Yahoo, etc. Es sorpren-dentemente rápido en su desempeño, permitiendo traba-jar con imágenes de alta resolución. Entre sus funciona-

lidades se encuentra corregir fo-tos con un solo click, recortar,

rotar, cambiar el tamaño en tiempo real y efectos espe-ciales fáciles de usar. Luego de editada, la foto se puede descargar o bien compartir a través de los mismos sitios antes mencionados.

Grooveshark ( http://www.grooveshark.com ) Grooveshark es un servicio de búsqueda y re-producción de música. Permite al usuario subir música, lo que incrementa el número de títulos disponibles. Per-mite almacenar listas de reproducción personalizadas por el usuario de manera de no tener que realizar las búsquedas cada vez que se ingresa al sitio. Además es posible recomendar canciones a través de varias herra-mientas sociales (Twitter, Face-book, email, etc.). Grooveshark, ayu-da también a los músicos que están comenzando o no tienen un medio de distribución, así ellos pueden subir su música y com-partirla. Otra fun-cionalidad útil es la radio de Grooves-hark, que es una radio inteligente que busca música de artistas y esti-los que le podrían gustar al usuario según la música que ha escuchado.

Servicios y Aplicaciones Web muy Útiles

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ABACOM Boletín Matemático

Danilo Díaz Levicoy EEEESSSSTTTTAAAADDDDÍÍÍÍSSSSTTTTIIIICCCCAAAA

Las medidas de localización dividen la distribución en partes iguales, sirven para clasificar a un individuo o elemento den-tro de una determinada población o muestra. Así en psicolo-gía, por ejemplo, los resultados de los test o pruebas que se aplican a un determinado individuo, sirve para clasificar a dicho sujeto en una determinada categoría en función de la puntuación obtenida. CUARTILES Corresponden a tres valores que dividen a la población o muestra en cuatro partes iguales. Q1 = Valor de la variable que deja a la izquierda el 25% de

la distribución. Q2 = Valor de la variable que deja a la izquierda el 50% de

la distribución, es igual a la mediana (Me). Q3 = Valor de la variable que deja a la izquierda el 75% de

la distribución.

¿Cómo determinar los Cuartiles?

Para Variable Discreta Ordenamos los datos de menor a mayor: x1, x2,…,xn, si no están agrupados en tabla; en caso de estarlos, se debe tra-bajar con las Frecuencias Absolutas Acumuladas. Ubicamos la posición que ocupa cada cuartil mediante la

expresión Pueden darse dos casos:

• Pos(Qk) = i es un entero: entonces Qk = xi • Pos(Qk) no es número entero, i – 1 < Pos(Qk) < i :

entonces Ejemplo 1: Determinar los cuartiles de la muestra siguiente: 7, 3, 10, 14, 18, 15, 20. Solución: Ordenamos los datos, quedando: 3 – 7 – 10 – 14 – 15 – 18 – 20. Usando la fórmula resulta: Así los cuartiles se ubican en las posiciones 2, 4 y 6; es decir: Q1 = 7, Q2 = 14, Q3 = 18. Ejemplo 2: Determinar los cuartiles en la muestra siguiente: 7, 3, 10, 14, 18, 15, 20, 30.

Solución: Ordenamos los datos: 3 – 7 – 10 – 14 – 15 – 18 – 20 – 30.

En este caso tenemos que

y 2 < Pos(Q1) < 3, por tanto Análogamente se obtienen: Para Variable Continua Para variable continua, en que los datos están agrupados en clases y por frecuencias, se utiliza la siguiente expresión:

donde: l i: extremo izquierdo del intervalo donde se encuentra el cuartil l i+1: extremo derecho del intervalo donde se ubica el cuartil N i: frecuencia acumulada hasta l i N i+1: frecuencia acumulada hasta l i+1

: frecuencia acumulada hasta el cuartil buscado. Ejemplo 3: Para los datos agrupados en la siguiente tabla, determinar los cuartiles.

Solución: Calculemos Q1:

Se deja de ejercicio encontrar Q2 y Q3.

× n

Q k kk

+1Pos( ) = , =1,2,3.

4

x xQ i - 1 i

k

+=

2

×7

Q1

+1Pos( )=1 =2 ,

4×7

Q2

+1Pos( )=2 =4 ,

4×7

Q3

+1Pos( )=3 =6

4

×1

+1Pos( ) =1 = 2,25

48

Q

= =x xQ 2 3

1

+ 7+10= 8,5

2 2

Q2

14+15= =14,5

2Q3

18+20= =19

2

−+ × −−

N NQ l l l

N Nk i

k i i+1 ii+1 i

= ( )

×k nNk =

4

Clases n i Ni

150 – 155 3 3

155 – 160 6 9

160 – 165 12 21

165 – 170 18 39

170 – 175 25 64

175 – 180 17 81

180 – 185 10 91

185 – 190 7 98

190 – 195 4 102

195 – 200 1 103

×N1

1 103= = 25,75

4− × − ≈1

25,75 21= 165 + (170 165) 166,3

39 - 21Q

MEDIDAS DE LOCALIZACIÓN: CUARTILES

S E P T I E M B R E 2 0 1 0

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Víctor Alvarado Alvarado

DETERMINANTES

A cada matriz cuadrada se le asocia un número real llama-do determinante de la matriz. El determinante de una matriz tiene muchas aplicaciones. En este número veremos dos de ellas: • Determinación si una matriz es o no invertible y deter-

minar su inversa. • Determinación de las soluciones de un sistema de ecua-

ciones lineales, con la misma cantidad de ecuaciones que de incógnitas, que tiene solución única (Regla de Cramer).

El determinante de la matriz A = (aij) ∈ Mn, detA, es: Para n = 1: A = (a11), detA = a11 ;

Para n > 1: (Desarrollo de Laplace, por fila i)

(Desarrollo de Laplace, por columna j)

Aquí, Mij es la matriz de orden n – 1 obtenida de A elimi-nando la fila i y la columna j. Casos particulares

Para n = 2:

Para n = 3:

Regla de Sarrus (Sólo para n = 3). Se agregan columnas 1 y 2, en ese orden, luego de la ter-cera columna. Los tres primeros productos corresponden a los de la dia-gonal principal y las dos diagonales siguientes, y los otros tres productos (que cambian de signo), corresponden a la diagonal secundaria y las dos siguientes.

Propiedades del determinante • Det O = 0, detIn = 1. • Si A tiene alguna fila nula, entonces detA = 0. • det(AT) = detA (donde AT es la matriz traspuesta de A,

cuyas filas son las columnas de A) • Si dos filas de A se intercambian, entonces detA cambia

de signo ( det frs (A) = - detA ). • Si A tiene dos filas proporcionales (o iguales) entonces

detA = 0. • Si los elementos de una fila se multiplican por un núme-

ro, entonces el determinante queda multiplicado por él ( det f(k) r (A) = k detA ).

• Si una fila se reemplaza por ella más un múltiplo de otra, el determinante no se altera ( det fr + (k) s (A) = detA ).

(Propiedades análogas se tienen al operar con columnas). • det(kA) = kn detA, A ∈ Mn. • A es invertible ⇔ detA ≠ 0 (detA-1 = 1/detA).

• det(Ak) = (detA)k , k ∈ N, det(AB) = detA·detB

Matriz Adjunta e Inversa de una Matriz

Sea A = (aij) ∈ Mn. Para cada aij se define el cofactor de aij como el número cij = (-1)i + j detMij. La matriz C = (cij) se denomina Matriz de Cofactores. La Matriz Adjunta de A es la traspuesta de la matriz de cofactores, es decir: adjA = CT La matriz adjunta permite calcular la inversa de una ma-triz invertible del modo siguiente: Si A es invertible (o sea detA ≠ 0), entonces Ejemplo:

Calcular el determinante de la matriz Tenemos que:

1 2 0 3 40 0 1 -1 3

A= 1 0 -1 2 13 1 0 0 1-2 -3 -1 0 2

3+(1)2

5+(1)2

1 2 0 3 40 0 1 -1 3

=detA= 1 0 -1 2 1f3 1 0 0 1f-2 -3 -1 0 2

( )∑i+ j

ij ijj = 1

ndetA = -1 a d etM

( )∑n

i+ jij ij

i = 1detA = -1 a detM

11 12 11 1211 22 12 21

21 22 21 22

a a a adet = = a a -a a

a a a a

11 12 13 11 12 13

21 22 23 21 22 23

31 32 33 31 32 33

a a a a a adet a a a = a a a =

a a a a a a

11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 11 23 32 12 21 33=a a a +a a a +a a a -a a a -a a a -a a a ⋅-1A =(1/detA) adjA.

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ABACOM Boletín Matemático

.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

En 2° año Medio se aprende a resolver sistemas de ecuaciones lineales de 2 ecuaciones con 2 incógnitas y de 3 ecuaciones con 3 incógnitas. Veremos cómo resolver un sistema de ecuaciones linea-les con cualquier número de ecuaciones y de incógnitas, usando matrices. Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es:

En forma matricial el sistema se expresa AX = B, donde:

Se llaman: A matriz de coeficientes, X matriz de in-

cógnitas, B matriz de constantes. x1 = k1, x2 = k2, … , xn = kn es una Solución (Particular) del sistema si estos valores satisfacen cada una de las m ecuaciones. La Solución General es el conjunto de todas las solucio-nes. Un sistema de ecuaciones lineales puede tener: ninguna, una o infinitas soluciones. Un sistema de ecuaciones lineales se dice: Consistente (compatible), si tiene solución, si no, se de-nomina Inconsistente (incompatible). El sistema es Homogéneo, si B = O. (Un sistema lineal homogéneo es consistente pues tiene, al menos, la solución trivial: B = O). Dos sistemas consistentes se dicen equivalentes, si tie-nen las mismas soluciones.

Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales Dado un sistema AX = B, se forma la matriz [A B] ∈ MmX(n+1) , denominada matriz ampliada del sistema. Mediante operaciones elementales fila se transforma en matriz [A’ B’] que sea MEF o MERF. Esto permite calcu-lar los rangos de A y de [A B]. Se cumple que: • AX = B es consistente ⇔ r([A B]) = r(A) • Si AX = B es consistente, entonces:

• r(A) = n ⇒ AX = B tiene solución única (Si B = O, X = O) • r(A) < n ⇒ AX = B tiene infinitas soluciones. (En ambos casos n es el número de incógnitas)

Una vez que se determina si el sistema tiene una o infi-nitas soluciones, ésta(s) se halla(n) del sistema A’X = B’, que es equivalente al original, pero su resolución es in-mediata, dado que [A’ B’] es MEF o MERF. Regla de Cramer

Sea A ∈ Mn , A invertible. El sistema AX = B tiene solu-ción única dada por: xi = ∆i/∆, i = 1, 2, … , n donde: ∆ = detA, ∆i = determi-nante de la matriz obtenida de A reemplazando la co-lumna i por B. Ejemplo: Determinar los valores que pueden tomar a, b, c para que el siguiente sistema tenga: ninguna solución, una única solución o infinitas soluciones. Tenemos que: • Si c – 1 ≠ 0, esto es, c ≠ 1, el rango de la matriz A y

de la matriz ampliada [A B] es igual a 3, por tanto el sistema tiene solución. Además, como el número de incógnitas es 3, coincide con el rango de A, existe

solución única. • Si c – 1 = 0, es decir, c = 1, hay dos posibilidades:

• En el caso que b – a = 0, o sea a = b, el rango de la matriz A y de la matriz ampliada [A B] es 2, por tanto el sistema tiene solución. Además, como el rango de A es menor que el número de incógnitas, que es 3, existen infinitas soluciones.

• En el otro caso, b – a ≠ 0, o sea a ≠ b, no existe

solución, pues r(A) = 2, r([A B]) = 3.

M

11 1 12 2 1n n 1

21 1 22 2 2n n 2

m1 1 m2 2 mn n m

a x + a x +... + a x =ba x + a x + ... + a x =b a x + a x + ... + a x =b

L

L

M M O M MM

L

11 12 1n 11

21 22 2n 22

m1 m2 mn mn

a a a bxa a a bx

A= , X = , B =

a a a bx

=- 40+84 -2-14-20-24=-16

⋅ ⋅2+3

1 2 0 3 41 2 3 4

0 0 1 -1 31 0 1 4

= =(-1) 11 0 0 1 43 1 0 1

3 1 0 0 1-2 -3 -1 5

-2 -3 0 -1 5

⋅ ⋅3+2

1+(-3)2

4+(-1)2

-5 2 3 2-5 3 2= 1 0 1 4

- =-(-1) 1 1 1 4 =c 0 1 0 07 -1 8c 7 -3 -1 8

x- y + z =2x- y -z =3x-y + z =

a

c b

→

2+(-2)1

3+(-1)1

1 -1 1 a f 1 -1 1 a2 -1 -1 3 0 1 -3 3-2a1 -1 c b f 0 0 c-1 b-a

(Desarrollo de Laplace por 3a columna)

(Desarrollo de Laplace por 3a fila) (Regla de Sarrus)

Pierre de Fermat nació el 20 de agosto de 1601 en Beaumont de Lomagne, Francia. Su familia tenía una buena posición econó-mica y social. Su padre era un rico comer-ciante y su madre pertenecía a una familia de la nobleza local. Tuvo un hermano y dos hermanas. Fue educado en un cercano mo-nasterio franciscano hasta que ingresó en la Universidad de Toulouse. Durante unos años, vivió en Burdeos, donde se contactó con algunos matemáticos. Después de la etapa en Burdeos reingresó en la universidad, esta vez en Orléans, don-de obtuvo su título en Leyes en 1631, año en que se instala en Toulouse en calidad de consejero del Parlamento de Toulouse. Ese mismo año se casa con una prima lejana, Louise de Long, que pertenece a la familia de alcurnia de su madre, ligada a la noble-za. Fermat añade el “de” a su apellido. El

matrimonio Fermat tuvo cinco hijos, dos varones y tres niñas. El hijo mayor, Clé-ment-Samuel heredaría el interés de su progenitor por las matemáticas, aunque no su genialidad. A él le debemos la edición y publicación de las obras completas de su padre en 1679. Las contribuciones matemáticas de Fermat nunca fueron publicadas en vida, pero fue-ron de tal calidad que es considerado como uno de los mejores matemáticos del siglo XVII, entre los muchos de primera fila que fueron contemporáneos: Descartes, Leib-niz, Newton, Jackob y Johann Bernoulli entre otros. Sus aportes más significativos fueron en Álgebra, Geometría Analítica y Cálculo. Además tuvo influencia en ramas de la matemática que empezaron a cultivarse en ese siglo, por ejemplo, Teoría de Números (se le considera el padre de esta teoría) y el Cálculo de Probabilidades. La vida de Fermat transcurre de una mane-

ra tranquila en Toulouse; profesionalmente va obteniendo promociones de manera que ingresa en la cámara alta del parlamento de Toulouse en 1638 y accede a la corte su-prema en 1652. La tranquilidad con que transcurría su existencia se ve alterada con una contro-versia que tuvo con Descartes (ver recua-dro). La década 1645-1655 fue dura para Francia, sacudida por una guerra civil y por una plaga que en 1651 tuvo al borde de la muerte a Fermat. De hecho fue da-do por muerto por algunos de sus cole-gas. En ese período, Fermat produce po-co, pero a fines de esa década recupera el ritmo de trabajo. Hacia 1660, la salud de Fermat empieza a flaquear, su actividad matemática de-cae casi completamente y el 12 de enero de 1665 muere en la ciudad de Castres donde pocos días antes había asistido a la sesión del tribunal del Edicto.

Juan Leiva Vivar

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S E P T I E M B R E 2 0 1 0

Un Aficionado Brillante Fermat es un caso muy particular en la historia de la matemática. No se dedicó profesionalmente a esta ciencia pero s us contribu-ciones, en diferentes temas, fueron destacables. E. T. Bell, en sus famosas Biografías de Matemáticos lo califica como el "Príncipe de los Amateurs". Nunca publicó los resultados que obtuvo y gra-cias a uno de sus hijos, quien recopiló parte de su s creaciones, éstas fueron dadas a conocer, después de su muerte. También de-jó su famosa conjetura “El último Teorema de Fermat ”, que dio tra-bajo a muchos matemáticos durante más de tres siglo s.

Fermat no publicaba sus resultados, sino que los co-municaba a otros matemáticos mediante cartas. Esta amplísima correspondencia entre Fermat y otros mate-máticos no siempre encontró elogios generalizados. Frenicle de Bessy—otro matemático aficionado—se mo-lestó con los problemas de Fermat que él encontraba imposibles. Le escribió enojado pero, aunque Fermat le dio más detalles en su contestación, Frenicle de Bessy creía que Fermat se estaba casi burlando de él.

También Fermat se vio involucrado en una controver-sia con un matemático mucho más importante que Frenicle de Bessy. Fermat había recibido un manuscrito del creador de la Geometría Analítica, René Descar-tes (1596—1650) para que diese su opinión. Fermat le puso poca atención, ya que estaba ocupado de otros

problemas; finalmente al ser requerido, su comentario sobre el escrito de Descartes fue: “...anda a tientas en la obscuridad…”. La reacción de Descartes a esta crítica, fue al prin-cipio, paternalista, aduciendo que no comprendía sus trabajos, pero luego lo enfureció y emprendió un ataque sin cuartel contra Fermat, llamándolo el “aficionado de Toulouse.” Descartes terminó por retar a Fermat a usar su método para trazar las tangentes a una curva de su invención, el Folio de Descartes. La respuesta de Fermat con el cálculo de las tangentes al folio obligó a Descartes a admi-tir que el método de Fermat era superior al suyo y, a regañadientes, le reconoció una cierta talla inte-lectual, aunque le siguió atacando en privado.

LA CONTROVERSIA FERMAT — DESCARTES

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ABACOM Boletín Matemático

ALGO DE SU OBRA

La obra de Fermat fue prolífica. Trabajaba la mayor parte del tiempo en soledad, su único contacto con el resto de la comunidad matemática fue a través de cartas, en particular con Marin Mersenne y con Blaise Pascal. Los resultados de Fermat fueron conocidos por otros matemáticos euro-peos gracias a Mersenne, que los reenvió e hizo una am-plia distribución. También acostumbraba a escribir las solu-ciones a los problemas y resultados originales que él obte-nía en el margen de los libros. A continuación una breve muestra de su legado.

Espiral de Fermat También conocida como espiral parabólica, la Espiral de Fermat es una curva que responde a la siguiente ecuación, en coordena-das polares:

(Es un caso particular de la espiral de Arquímedes, cuya ecuación es ).

Números de Fermat Son números naturales de la forma: Pierre de Fermat conjeturó que todos los números natura-les de esta forma con n natural eran números primos, pero Leonhard Euler probó que no era así en 1732. En efecto, al tomar n = 5 se obtiene un número compuesto:

Pequeño Teorema de Fermat El Pequeño Teorema de Fermat , referente a la divisibili-dad de números, afirma que, si se eleva a la p - ésima po-tencia un número a, y al resultado se le resta a, lo que que-da es divisible por p, siendo p un número primo. Su interés principal está en su aplicación al problema de la primalidad y en criptografía.

El Principio de Fermat En óptica es un principio de tipo extremal y que establece: El trayecto seguido por la luz al propagarse de un punto a otro es tal que el tiempo empleado en recorrerlo es mínimo. El principio fue enuncia-do de esta forma en el siglo XVII por Fermat. Este enunciado no es completo y no cubre to-dos los casos. Existe una forma moderna del prin-cipio de Fermat, su enun-ciado es: El trayecto seguido por la luz al propagarse de un punto a otro es tal que el tiempo empleado en re-correrlo es estacionario respecto a posibles va-riaciones de la trayecto-ria.

Fermat se dedicó a va-rios temas en matemáti-cas, pero el que le dio fama universal es la Teoría de Números. Su interés por los números enteros y sus maravillo-sas propiedades había empezado en la década

de 1630 cuando Fermat leyó la traducción de Bachet de la Aritmética de Diofanto. En el estrecho margen, justo al lado del problema 8 del libro II, que decía. “Dado un número que sea un cuadrado, descomponerlo como suma de otros dos números cuadrados”, Fermat escribió su famosa conjetura:

La ecuación no tiene soluciones enteras positivas, para n > 2.

En sus propias palabras: Es imposible que un cubo se pueda expresar como una suma

de dos cubos o que una potencia cuarta se escriba como una

suma de potencias cuartas o, en general, que un número que

sea una potencia de grado mayor que dos se pueda descom-

poner como suma de dos potencias del mismo grado. He en-

contrado una demostración verdaderamente maravillosa de

este resultado pero este margen es demasiado estrecho para

contenerla .

A pesar que siempre se le llamó “El Último Teorema de Fer-mat”, en realidad sólo se trataba de una conjetura, pues no estaba demostrada que fuese verdadera, pero tampoco se po-día hallar un contraejemplo para asegurar que fuese falsa. Debieron transcurrir más de 350 años, para que en 1995, el matemático británico Andrew Wiles (en la foto), lograra de-mostrar el Gran Teorema de Fermat. Por el camino habían pasado una legión de matemáticos de todas las categorías y especialidades (sería difícil hallar un matemático que en al-gún momento de su vida no haya dado alguna vuelta al teorema). Los intentos de demos-tración aportarían también grandes contribuciones a las matemáticas, creándose diversas teorías al respecto.

El Último Teorema de Fermat

n n nx + y = z

2 2r = a θ

1/nr = a+ bθ

2= 2 +1n

nF

4.294.967.297 = 641× 6.700.41752 32= 2 +1= 2 +1=5F

Estatua de Fermat en Beaumont de Lomagne, Francia.

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ANÉCDOTAS MATEMÁTICASANÉCDOTAS MATEMÁTICASANÉCDOTAS MATEMÁTICASANÉCDOTAS MATEMÁTICAS ADÁN Y EVA El matemático norteamericano Ho-

ward W. Eves (1911 – 2004), desta-có como educador, geómetra e histo-riador de las matemáticas. Es el au-tor de los libros de anécdotas mate-máticas "Mathematical Circles". En uno de sus libros cuenta la si-guiente anécdota personal. Para en-tenderla primero tenemos que recor-dar que Adán en inglés es Adam, mientras que Eva es Eve. Cuenta Eves, que en la zona donde vivía, había un venerable y admirado Doctor Adams que durante muchos

años fue el encargado de las necesi-dades médicas de la comunidad. Una tarde mientras Eves estaba en su ca-sa, sonó el teléfono y cuando lo con-testó, una voz de mujer preguntó "¿Es el Doctor Adams?". "No", con-testó Eves, "es el Doctor Eves". En-tonces en el otro lado del teléfono se escuchó un largo silencio hasta que la voz de la mujer volvió a oírse mientras decía en tono exasperado "¡Chistoso...!" y colgó de un golpe el teléfono dejando a Eves un tanto perplejo durante unos momentos.

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LA CIFRA TACHADA

Este es un juego de adivinanza que está basado en propiedades que tiene el número 9. Le pides a alguien que piense un número de cuatro ci-fras y que efectúe la suma de sus cifras. A continua-ción, que le reste al número pensado el valor de la su-ma. Luego, que tache una de las cifras (que no sea un cero) del resultado de la resta y que diga las cifras restantes, en el orden que quiera. Inmediatamente sabrás cuál ha sido la cifra tachada. La cifra tachada será lo que falta para llegar a un múl-tiplo de 9 de la suma de las tres cifras que te han di-cho. Ejemplo:

Si el número pensado es el 6297, la suma de las cifras es 24, por tanto al restarla del número pensado resul-ta: 6297 – 24 = 6273. Si se tacha, por ejemplo el 2, los números restantes suman: 6 + 7 + 3 = 16; por tanto falta exactamente un 2 para llegar a 18, que es el próximo múltiplo de 9. Y si se tacha el 7, la suma de los números que quedan es 11, de modo que resta 7 para obtener el siguiente múltiplo de 9, que es 18. (Igual resulta para los otros dos).

Justificación: La justificación de este truco se basa en la divisibili-dad por 9. Si a un número cualquiera se le resta la su-ma de sus cifras, el resultado siempre es un múltiplo de 9. Esto se prueba fácilmente. Si el número es “abcd”, es decir 1000a + 100b + 10c + d, la operación que hace-mos es (1000a + 100b + 10c + d) - (a + b + c + d) = 999a + 99b + 9c, que es múltiplo de 9. Por lo tanto, si se tacha una de las cifras de ese núme-ro, sólo se debe sumar mentalmente las cifras que te van diciendo y buscar qué cantidad falta para que esa suma sea múltiplo de 9. Esa cantidad es la cifra ta-chada. Podría darse el caso de que al sumar las cifras resul-tantes, nos saliese directamente múlti-plo de 9, entonces la cifra tachada tendría que ser un 9 (otra posibilidad sería el 0, pero eso se ha des-cartado desde el principio).

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ABACOM Boletín Matemático

SONRIENDO CON π

El profesor explicaba a sus alumnos que una buena aproximación del núme-ro (Pi) es 355/113 (resulta 3,14159292) y que para recordar esta fracción basta escribirla de abajo hacia arriba, es decir 113355. Les decía: – Pueden recordarlo como un número telefónico y pronunció: 113355 Un alumno, el típico chistosito del cur-so, le contestó: – ¡Aló!, aquí el número Pi, ¿quién le llama?...

πππππ

– ¿Cuál el insecto que posee un poco más de tres ojos? – El piojo.

πππππ

La profesora les enseñaba a los alum-nos los primeros decimales del número Pi. – Pi, con dos decimales, es 3,14 – de-cía. Un niñito muy concentrado en lo que la profesora explicaba, levantó la mano y le dijo: – ¿Puedo salir para ir a hacer 6,28?...

H

U

M

O

R

El Sorprendente Número

es Normal El número (Pi) es irracional (su parte decimal tiene infinitas cifras y que no se repi-ten en períodos) y también es trascendente (no es solución de ninguna ecuación con coeficientes enteros). Pero además posee otra característica que lo convierte en núme-ro normal. Un número normal es un número real cuyas cifras en cualquier base siguen una dis-tribución uniforme, siendo todas las cifras igualmente probables, así como todos los pares, tríos, o cualquier secuencia finita de dígitos. Se sospecha que es normal, aunque este hecho no ha podido ser probado ya que conocemos sólo un número finito de decimales. El hecho que sea normal significa que en su parte decimal se puede encontrar cual-quier secuencia de números, por ejemplo un cierto número de teléfono o una secuencia de dígitos correspondientes a una cierta frase u oración según un cierto código. Así, si un libro completo, por ejemplo “El Quijote”, se expresa mediante un código específi-co, la secuencia obtenida debe estar en las cifras decimales del número , lo mismo que una obra musical, por ejemplo la 5ª Sinfonía de Beethoven, también puede expre-sarse mediante una secuencia de dígitos con un código adecuado y por tanto debe apa-recer en el desarrollo decimal de . De alguna manera todo se encuentra dentro del mágico . Es como si toda la infor-mación en potencia ya existiera y sólo fuera necesario ubicarla. Si aceptamos que contiene toda la información existente en el mundo, todo lo que somos y seremos ya existe de alguna manera. No podemos inventar nuevas secuencias, ya existen. No podemos inventar una obra literaria o musical nueva, puesto que ya se encuentran den-tro de . Todo esto ya existe, sólo se debe rebuscar adecuadamente dentro del enigmá-tico número .

FRECUENCIAS DE LOS DÍGITOS EN LOS DECIMALES DE Las cifras decimales de están uniformemente distribuidas, eso quiere decir que la frecuencia con que aparece cada una de ellas es la misma. Esto se puede apreciar si se considera una gran cantidad de cifras decimales. A continuación una tabla de frecuencias de cada dígito en la parte decimal de , para dife-rentes cantidades de decimales:

BÚSQUEDA DE SECUENCIAS EN Existe un sitio en Internet que permite buscar cualquier secuencia de números en las primeras 100 millones de cifras decimales de . La dirección es la siguiente: http://www.angio.net/pi/bigpi.cgi

Abajo vemos el resultado obtenido al pedir que busque nuestro número de teléfono (el 221828). Nos respondió que esta secuencia se encuentra en la posición 400.999, contando desde la pri-mera cifra decimal después de la coma. (la se-cuencia dada junto a los números que la rodean es ...65322218288437...).

100 1.000 1.000.000 0 8 93 99.959

1 8 116 99.758

2 12 103 100.026

3 11 102 100.229

4 10 93 100.230

5 8 97 100.359

6 9 94 99.548

7 8 95 99.800

8 12 101 99.985

9 14 106 100.106

ππ

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ππ

π

S E P T I E M B R E 2 0 1 0

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Una de las razones por la que se dificulta la enseñanza y el aprendizaje de la física es, muchas veces, la falta del equipa-miento necesario para reproducir los diferentes experimen-tos. Adquirir esos implementos lleva consigo un alto gasto de dinero considerando las alternativas que hay en el merca-do (equipos Leybold por ejemplo). La intención de éste ar-tículo es proponer a quienes enseñen física en sus contenidos iniciales, una alternativa económica y al alcance de todos, que, si bien no permite reproducir todos los experimentos de física, ayuda a realizar los experimentos que tienen como fin comprender las materias relacionadas con cinemática, diná-mica, energía y movimiento circular, por nombrar algunos tópicos.

El responsable de esto es el software Tracker (http://www.cabrillo.edu/~dbrown/tracker/). Tracker según sus creadores es “un paquete de análisis de video construido sobre una plataforma Java Open Source Physics (OSP). In-

cluye como características; seguimiento de objetos y su po-

sición, velocidad y aceleración laminar, gráficos, filtros con

efectos especiales, múltiples cuadros de referencia, puntos

de calibración, lineas de perfil para el análisis del espectro,

patrones de interferencia y modelos dinámicos de partícu-

las. Está diseñado para ser usado en un curso de universi-

dad introductorio en laboratorios de física y lecturas.”

En la práctica, Tracker es un software gratis (si, ¡gratis!) en la que uno graba un fenómeno físico con una cámara de fo-tos digital común (imagínese un lanzamiento de un objeto en forma parabólica, por ejemplo). Es importante en el montaje mantener una distancia de referencia (generalmente de un metro de longitud) que esté en el mismo plano del fenómeno estudiado para que posteriormente le “digamos” al software que dicha distancia vale un metro y éste realice los cálculos a partir de esto. El proceso debe continuar indicándole un sistema de referencia adecuado, de alguna manera le deci-mos cuál es nuestro punto (0,0) [m]. El análisis de la situa-ción se realiza “pinchando” cuadro a cuadro la posición del objeto en el video, si el viaje dura 2 segundos se deben reali-zar 48 clicks con el mouse sobre el objeto (poco, si conside-ramos la cantidad de clicks que debemos hacer en un día). A la vez que vamos pinchando sobre el objeto en movimiento, Tracker va realizando una tabla de datos para el tiempo, para la posición “x” y para la posición “y” (tabla que puede ex-portarse a una planilla de cálculo), además de realizar los gráficos de posición vs. tiempo, velocidad vs. tiempo, acele-ración vs. tiempo, etc. para cada eje coordenado, dándonos la opción de representar el gráfico que necesitemos.

Tracker nos da la opción de realizar un ajuste del tipo li-neal, parabólico, exponencial, entre otras, de las curvas que

obtengamos (posición, velocidad, etc.). Además se pueden observar en el mismo video los vectores de velocidad y ace-leración en cada instante. Otra característica que posee Tra-cker es la posibilidad de crear nuevas variables, por ejemplo con la posición “y” del objeto en el lanzamiento parabólico podríamos crear una variable llamada Ep que corresponda a la Energía Potencial. La descripción hecha hasta el momen-to tiene que ver sólo con videos, también se pueden impor-tar imágenes, lo que permitiría realizar mediciones de longi-tud inalcanzables (medir la altura de un árbol de gran altura es una posibilidad).

En la página web de Tracker se encuentra para mayor facili-dad del usuario, el manual (incluyendo el español), un set de videos para ser analizados y algunos archivos con el análisis completo para ser directamente cargados en el software. En resumen, lo que necesitamos para utilizar Tracker es una cámara digital, un computador (con Windows, Linux o Mac), las ganas de experimentar, una dosis de creatividad y los programas de libre descarga habituales en cualquier computador con Windows.

• Java 1.5: http://www.oracle.com/technetwork/java/javase/downloads/index.html

• QuickTime 7: http://www.apple.com/quicktime/download/

(*) Ingeniero Acústico, Profesor de Física del Centro de Do-

cencia de Ciencias Básicas de la Facultad de Ciencias de la Ingeniería de la Universidad Austral de Chile.

“Tracker”: Un Laboratorio de Física Sebastián Acevedo Álvarez (*)

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ABACOM Boletín Matemático

soConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoCon-

Viola García Paredes

Problema 1: Números Curiosos Los números 46 y 96 tienen una cu-

riosa propiedad: si se intercambian las

cifras que los componen, no se altera

el producto entre ellos.

Es decir: 46 ⋅ 96 = 64 ⋅ 69 = 4.416

¿Existen otros pares de números de dos cifras que tengan esta propie-dad? Si es así, hállelos.

Problema 2: El Caballo y el Mulo Un caballo y un mulo caminaban jun-tos llevando sobre sus lomos pesados sacos (todos del mismo peso). Se la-mentaba el caballo de su carga, a lo que el mulo le dice: “¿De qué te que-jas? Si yo te tomara un saco, mi carga sería el doble que la tuya. En cambio, si te doy un saco, tu carga igualaría a la mía”. ¿Cuántos sacos llevaba cada uno?

RESOLUCIÓN PROBLEMAS EDICIÓN Nº 35

EDICIÓN Nº 36

Te proponemos que descubras diez (10) palabras relacionadas con Par-tes de un Computador . Pueden encontrarse en forma vertical, hori-zontal o en diagonal, de arriba hacia abajo (o viceversa), de izquierda a derecha (o viceversa).

I N V E R S A D O R D O T C U D O R P S E G O T P U D I T A N N I A T E M O I R T A L U N E P I S E I R I S A M O F U S D I M E Y A U I M P A E S I N G U L A R D E U B O S N A O T M O T R S U V A N C

Envía tus soluciones (indicando Nombre, Colegio y Curso) a A B A C O M Boletín Matemático · Casilla 567 Valdivia · Fax (63) 293730 ·

· email: abacom@uach.cl · Recepción de soluciones hasta el 20 de Noviembre de 2010

Problema 1: Efectuando la división resulta:

Dando valores a x = 1, 2, 3, ... observa-mos que a medida que aumenta x el valor de la fracción disminuye. Para que el re-sultado sea entero la fracción debe valer, al menos 1. Sustituyendo este valor tene-mos que:

x + 3348 = x2 + 5x + 216 ⇒

⇒ x2 + 4x – 3132 = 0 ⇒ x = 54.

Por tanto: el mayor valor entero que puede tomar x, para que la fracción sea un número entero es 54. Problema 2: Con los 505 vasos iniciales se fabrican 56 reciclados y sobra 1. Con esos 56 pueden fabricarse otros 6 y sobran 2, y con esos 6 finales más los tres que han sobrado, uno más. Así: el total de vasos que pueden reciclarse es 63.

2

33481

5 216

xx

x x

+− ++ +

PROBLEMAS EDICIÓN Nº 36

P A R O S E R P M I

I O S C A L O C O N

M K U S I T A Q U E B A S O R I M E S T

O L D E D I S T E M

S C U B R A J O S E

E P A N T A L L A D

L I M R D I S C O O

L O S A I R O M E M

E D I M O S L E A T

SOLUCIÓN EDICIÓN N° 35

Las palabras relacionadas con Matrices son: Columna, Fila, Identidad, In-versa, Nula, Orden, Pro-ducto, Rango, Singular y Su-ma.

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UN LOGO PARA EL

CENTRO DE DOCENCIA

DE CIENCIAS BÁSICAS

Entre el 16 de agosto y el 10 de septiembre se realizó el concurso que tenía como obje-tivo la creación de un logo inédito destina-do a identificar y difundir la creación del Centro de Docencia de Ciencias Básicas para Ingeniería. La invitación se extendió a académicos, alumnos y funcionarios de la Universidad Austral de Chile. Este concurso, organizado por el docente del Centro, Ariel Mardones M., se realizó en dos etapas. En la primera se hizo la convocatoria para que los interesados pre-sentaran sus trabajos de los que se regis-traron 14 participantes con un total de 19 propuestas. Posteriormente un jurado conformado por el Director del Centro, profesor Miguel Ve-lásquez R. y los Coordinadores de las áreas de Matemáticas, Física y Química eligieron dos trabajos que pasaron a una segunda Etapa. En ésta se eligió al gana-dor mediante una votación on line en la página de la Facultad de Ciencias de la Ingeniería. Con 228 preferencias, de entre 325 votan-tes, resultó ganadora la propuesta presen-tada por el alumno de la Facultad de Filo-sofía y Humanidades, Sr. Cristián González G., quién recibió un premio de 80 mil pesos por su talento y destreza. Además entre los votantes, se realizó paralelamente un sor-teo para premiar a uno de ellos con 30 mil pesos, siendo favorecida la alumna de la carrera Ingeniería en Construcción, Srta. Yasna Contreras U.

Carolina Leiva Cádiz

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Carolina Leiva Cádiz

S E P T I E M B R E 2 0 1 0

Alta UACh inició su Semestre Primavera

Fabiola Gómez B. Periodista Centro de Educación Continua

UACh www.cecuach.cl

Con una remozada malla de cursos y talleres la Escuela de Talentos Alta UACh ya cursa su

segundo periodo académico, correspondiente al Semestre Primavera 2010. Para esta nueva etapa Alta UACh se ha planteado satisfacer aún más las necesidades educativas espe-ciales de los estudiantes, para así permitirles desarrollar el talento natural que poseen y transformarse en capital humano enriquecido, potencial de contribución al surgimiento y desa-rrollo, tanto regional como nacional. Al iniciar el Semestre Primavera se dieron a conocer los ex-celentes resultados obtenidos en los meses anteriores, toman-do como indicadores la asistencia constante, un elevado nivel de aprendizaje y entusiasmo permanente manifestado por los estudiantes. En esta oportunidad el Rector de la Universidad, Dr. Víctor Cubillos, el seremi de Educación, Sr. Carlos Crot, y el Director de Alta UACh, Dr. Marcos Urra, manifestaron satisfacción, entusiasmo y motivación para seguir desarro-llando y haciendo crecer esta propuesta. Cabe recordar que potenciando el desarrollo pleno de niñas y niños con talento académico de distintas comunas de la Re-gión de Los Ríos, se vincula a la Universidad con el medio y permite materializar su misión, contribuyendo al progreso de la zona sur austral del país. Tal como se realizara anteriormente, al comenzar el nuevo periodo, los alumnos eligieron libremente las asignaturas en las que participan, optando por once cursos y cinco talleres, que a diferencia del primer semestre, consideran la práctica de deporte e incorporan el desarrollo de habilidades blandas y aspectos humanistas de la formación. Durante el Semestre Primavera se dictan los siguientes cursos y talleres: NIVEL BÁSICO (6° Básico) Cursos: “Entendamos a Perros y Gatos”, “Soy Dragón o Soy Ratón”, “Jugando con las Matemáticas”, “¡Inglés, Inglés!”, “Ojos que no Ven, Bentos que sí Sienten”. Talleres: “Básquetbol” y “Manos a la Greda”. NIVEL AVANZADO (I y II Medio) Cursos: “Etnobotánica Plantas, Ciencia y Cultura”, “¡Cómo Defiendo mis Ideas!”, “Leucocitos: un Ejército a Nuestro Servicio”, “De la Matemática a los Juegos”, “Biología Evolu-tiva: Conociendo la Historia de la Visa, Desde los Fósiles al Reloj Molecular” y “¿Qué nos dicen los árboles?”. Talleres: “Body Work”, “Nacidos para Triunfar” y “Descubre el Mundo de las Líneas, Colores y Formas”.

Actividades EXPLORA 2010

Melisa Martin Salvadores, Periodista. Coordinación Programa EXPLORA CONICYT. Región de Lo s

Ríos explora14@uach.cl

7° Congreso Regional Escolar de Ciencia y Tecnolo-gía EXPLORA CONICYT Región de Los Ríos Los días 28, 29 y 30 de septiembre, se realizará la Séptima versión del Congreso Regional en el Centro de Ferias del parque SAVAL, instancia en la que párvulos y estudiantes de enseñanza básica y media de los establecimientos edu-cacionales de la Región de Los Ríos presentarán sus traba-jos de investigación, elaborados durante todo el año. Los ganadores de la categoría entre 6° básico a 3° medio re-presentarán a la región en el Congreso Nacional en Con-cepción.

Abriendo Caminos en el Bicentenario: III Encuentro de Ciencia y Tecnología No te pierdas esta experiencia única de incentivar y familia-rizar a los estudiantes con la ciencia. Por medio de un ex-perimento y/o poster, científicos o científicas de universi-dades y centros de investigación de la Región de Los Ríos, mostrarán sus trabajos de investigación en ciencia, moti-vando a los jóvenes a conocer el mundo científico. Puede ser visitado por todas y todos los que lo deseen, en el Par-que Saval, paralelamente al 7° Congreso Regional Escolar.

Concurso EXPLORA en 215 palabras Este año EXPLORA cumplió 15 años y para esta ocasión científicos, académicos, profesores, estudiantes universita-rios y de establecimientos educacionales podrán contar sus vivencias en EXPLORA y participar de este concurso aniver-sario. Hasta el 21 de Septiembre permanecerán abiertas las inscripciones. Bases y Formulario de inscripción en www.explora.cl/rios

XVI Semana Nacional de la Ciencia y la Tec-nología El 4 de octubre se inicia la Semana “Identidad y Territorio”, tema rela-cionado con el Bicente-nario. Además se reali-zarán las actividades: “1000 Científicos 1000 Aulas”, “Laboratorios y Museos Abiertos”, “Día de la Ciencia en mi cole-gio”, “La Ruta del Terre-moto”, etc. y el Con-curso “EXPLORA en 215 palabras”.

Diego Baeza y Sharon Castro, estu-diantes del Instituto Gracia y Paz, quienes obtuvieron el 4° Lugar Feria Intel ISEF, Estados Unidos.