ABACOM Boletín Matemático

PISA (Programme for Internacional Student Assessment, en español: Programa Internacional de Evalua-ción de Estudiantes) es una prueba que, cada tres años, evalúa a estu-diantes de 15 años en las áreas de Lenguaje, Matemáticas y Ciencias. Esta prueba está construida por la OCDE (Oganización para la Coope-ración de Desarrollo Económico) que es una organización internacional intergubernamental que reúne 30 de los países más industrializados de economía de mercado, pero con la colaboración de UNESCO (Organización de las Naciones Uni-das para la Educación, la Ciencia y la Cultura.) se aplica a otros países que no pertenecen a la OCDE, entre ellos Chile.

PISA mide la habilidad de los estu-diantes para aplicar y relacionar sus conocimientos para resolver situacio-nes de la vida real. En matemáticas mide la capacidad de los estudiantes para identificar, comprender y practi-car las matemáticas, más allá de las operaciones mecánicas, en la aplica-ción de los conocimientos y habilida-des provenientes de esa disciplina para desarrollar problemas que en-

frentan o enfrentarán en la vida coti-diana.

El estudio PISA no sólo entrega in-formación sobre el desarrollo de los aprendizajes y las capacidades cogni-tivas de los estudiantes, sino que además mide otros comportamientos y actitudes que preparan y motivan a los alumnos para comprometerse en el aprendizaje y a desarrollar actitu-des y estrategias que le permitirán seguir aprendiendo en el futuro. La última versión de la Prueba PISA es de 2006, ocasión en que participa-ron seis países latinoamericanos: Chile, Argentina, Brasil, Colombia, México y Uruguay. Chile quedó ubi-cado en el primer lugar entre los paí-ses latinoamericanos (segundo en Matemáticas tras Uruguay), pero sólo ocupa el lugar 40 en la tabla general de 57 países participantes. La próxima versión de la Prueba PI-SA es en 2009, ocasión en que además de las tres áreas que se han medido hasta ahora, se incluirá un examen que medirá las capacidades de los alumnos en tecnologías de la Comunicación. El desafío es mantener el primer lu-gar en Latinoamérica, pero eso no basta, se debe subir en la tabla gene-ral. Para ello la enseñanza, en el caso de la Matemática, debe insistir en la contextualización de los conceptos y su aplicación a lo cotidiano, dejando de lado la sola mecanización y me-morización de métodos y fórmulas. ¡Suerte para los estudiantes chilenos en la Prueba PISA 2009!

DICIEMBRE 2008DICIEMBRE 2008DICIEMBRE 2008DICIEMBRE 2008

AÑO 7 N°29AÑO 7 N°29AÑO 7 N°29AÑO 7 N°29 Editorial

PISA: EL BARÓMETRO DE LA EDUCACIÓN

En esta edición

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pág

Computación Gráfica…….…………....2 Historia de la Geom. no Euclidiana ..... .2 Reflexiones ......................................... .3

Secciones Cónicas

• La Hipérbola. ............................... .4 • Torpedo de Hipérbola. ................. .5

Cálculo Numérico • La disciplina del cálculo con

error. ............................................ .6

• P. L. von Seidel. ........................... .6

• Métodos Numéricos. .................... .7 Palancas y Parábolas ............................ .8 Concurso

• Desafío a tu Ingenio ..................... .9

• Sopa Matemática .......................... .9

• La Mascota del Regimiento ......... .9 Juegos Matemáticos ............................. 10 Anécdotas Matemáticas ....................... 10 Matemática Entrete

• La edad de Matusalem ................. 11

• La matemática con risas entra ...... 11

• Humor ......................................... 11 Noticias

• X Juegos Matemáticos Inter-

Regionales .................................... 12

• XX Olimpíada Nacional de Ma-

temática ........................................ 12

• “Una semana para toda la vida” ... 12

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Luis Véliz Matus MALLAS POLIGONALESMALLAS POLIGONALESMALLAS POLIGONALESMALLAS POLIGONALES

Una malla poligonal es una colección de vértices, aristas y caras que definen la forma de un objeto poliédrico en computación gráfica 3D o modelado de sólidos. Las caras usualmente consisten en triángulos, cuadriláteros u otros polígonos con-vexos simples, aunque también puede estar com-puesta por otros polígonos cóncavos o polígonos con hoyos.

Un vértice es una posición en el espacio. Una arista es una conexión entre dos vértices. Una cara es un conjunto cerrado de aristas. Un polí-gono es un conjunto de caras. Al juntar o “pegar” varios polígonos se crean las superficies de los objetos que se quieren representar gráficamente.

Algunas formas de almacenar las mallas en la

memoria de un com-putador:

Mallas Face-Vertex: una simple lista de vértices, y un conjunto de polígonos que rela-ciona a los vértices que usa.

Mallas Winged-Edges: una lista de aristas, en las que cada una relaciona a dos vértices, dos caras y cuatro aristas más.

Las mallas poligonales son ampliamente usadas para la repre-sentación de modelos 3D y su estudio es un gran subcampo de la computa-ción gráfica y del modelamien-to geométrico.

Hacia el 300 a.C. Euclides escribió Los Elementos, una obra matemática que compila y sistematiza conocimientos ma-temáticos de la Antigüedad. Es aquí donde Euclides presentó cinco postulados y que son la base de toda la Geometría Eu-clidiana, utilizada con éxito durante más de dos mil años y en la actualidad sigue siendo la base para la realización de obras de ingeniería, proyectos arquitectónicos y muchas otras aplicaciones. Postulados:

1) Dos puntos determinan una única recta. 2) Todo segmento de recta puede prolongarse indefinidamente. 3) Es posible construir un círculo dados su centro y su radio. 4) Todos los ángulos rectos son iguales. 5) Dada una recta y un punto exterior a ella, hay una única recta

que es paralela a la recta dada y que pasa por el punto.

De los cinco postulados del sistema euclidiano, el Quinto llamó la atención por su mayor complejidad y por carecer de la evidencia intuitiva de que gozan los demás. Este postula-do, no satisfacía a Euclides, quien trató de evitar su uso tanto como pudo, aplicándolo por primera vez para demostrar la proposición 29 del Libro I que dice: "Una recta que corta a dos paralelas forma con ellas ángulos alternos internos iguales, correspondientes iguales e interiores de un mismo lado (conjugados internos) suplementarios."

Durante 2000 años muchos matemáticos dedicaron su tiempo y sus esfuerzos a completar con nuevos teoremas esa gran

construcción que es la geometría de Euclides. Algunos de ellos trataron de reducir el número inicial de postulados, pues se pensaba que el Quinto Postulado podía demostrarse a par-tir de los otros cuatro. Es decir, querían trasformar este postu-lado en teorema.

Fue a principios del siglo XIX cuando tres matemáticos, Lo-bachevski en Russia, Gauss en Alemania y Bolyai en Hungría, trabajaron independientemente unos de otros en la elaboración de modelos geométricos que mantenían los cua-tro primeros postulados de Euclides a la vez que negaban el quinto. Esperaban que una geometría en la que se negara que "Por un punto exterior a una recta pasa una única paralela", sería una geometría incoherente y llena de contradicciones. Sin embargo, en contra de lo que esperaban, obtuvieron una geometría coherente, desde el punto de vista lógico, válida aunque algunos de sus resultados fueran contrarios a la geo-metría clásica de Euclides. Ese resultado tuvo un gran impac-to, tanto por su interés matemático como filosófico, y dejó definitivamente resuelta la cuestión, aunque en un sentido distinto del esperado. Aparecieron de esta manera las geo-metrías no euclidianas, donde son posibles otros espacios sorprendentes y maravillosos.

Para finalizar esta breve pincelada sobre la historia de la Geometría no Euclidiana, recibe este nombre cualquier Geo-metría que contradiga a alguno de los Postulados de Eucli-des.

HISTORIA DE LA GEOMETRÍA NO EUCLIDIANAHISTORIA DE LA GEOMETRÍA NO EUCLIDIANAHISTORIA DE LA GEOMETRÍA NO EUCLIDIANAHISTORIA DE LA GEOMETRÍA NO EUCLIDIANA

Danilo Díaz Levicoy

Publicación destinada a Estudiantes y Profesores de Enseñanza Media.

Proyecto auspiciado por el Instituto de Matemáticas de la Universidad Austral de

Chile.

Director: Juan Leiva V. Director Alterno: Víctor Alvarado A. Redacción Periodística : Carolina Leiva C. Diagramación: Katherine Inalef P.

Instituto de Matemáticas. Facultad de Ciencias. UACh.

Casilla 567 Valdivia. E.mail: abacom@uach.cl

Fono (63)221828 Fax (63)293730

www.uach.cl/abacom

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REFLEXIONES

Es para mí difícil y muy lejano recor-dar esos tiempos en que me encontra-ba en esos asientos del Liceo, asistien-do a esas clases que en su gran ma-yoría trataban temas que me pa-recían como envasados, como frutas en conserva o como frutas disecadas. Temas deslavados, limpiados de todo que suene o huela a algo humano. Una especie de conocimientos depositados en antiguos libros por extraños marcia-nos, que ya hace tiempo se habían ido en busca de otros horizontes. En verdad debo confesar que no tenía un gran interés por esas informaciones referidas a matemática, física, química entre otras. Creo que mi vida trans-curría en otras reflexiones, mas bien relacionadas con mi propia persona ¿quién era yo verdaderamente?, ¿qué estaba haciendo aquí?, ¿quiénes eran esas otras personas que me rodea-ban?, ¿por qué los profesores se inte-resaban tanto en proponerme esas materias tan alejadas de mis inquietu-des? Me parecía que mis profesores jugaban el juego de dejar pasar el tiempo y cumplir programas o deberes que a su vez se los imponían desde algún nivel superior que yo no alcanzaba a vislumbrar. Mi primera reacción fue contra esos conocimientos pseudocientíficos. Em-pecé a responder esas pruebas con indiferencia y apatía. En esto incluyo también esa extraña percepción de la “historia” como secuencia de batallas realizadas por seres virtuales y ese no menos extraño modo de ver la “filosofía” como meros relatos de pen-samientos de otras personas. Recuerdo cuando un profesor nos dio

como tarea leer el Quijote de la Man-cha, observé que algunos de mis compañeros leían un resumen de unas cuantas hojas y con eso se presenta-ron a su prueba. Sin embargo, por al-guna razón que hoy ya no recuerdo, yo leí el libro completo, después lo leería de nuevo varias veces. Ese libro, escrito por Cervantes cuando estaba en la cárcel, abrió mi alma a otra realidad, fue como una puerta a otras dimensiones. Creo que por pri-mera vez empecé a entender porque existían esos Liceos y por qué nos obli-gaban a asistir a esas clases y dar esas pruebas. Ese profesor era el Sr. Berroeta, aún me acuerdo de él y siento hacia él, en el fondo de mi corazón, un profundo agradecimiento. La lectura de Cervantes me mostró a personas como yo mismo, es decir personas reales que sufrían peripe-cias, que no entendían del todo lo que estaba sucediendo, que se veían mezcladas en conflictos que aparen-temente no provocaban, en fin … personas reales. Se me ocurrió entonces pensar que tal vez la matemática era también escrita o descubierta por seres reales, que tenían familias, tenían tal vez dificulta-des económicas, que tenían a su alre-dedor personas que les complicaban la vida o que tal vez los ayudaban. Es decir, como plantea Miguel de Guzmán (OEA. 1980), detrás de la matemática hay personas, hay hechos humanos, hay sentimientos y emociones. Es así como surgieron a mi vida desde el conjunto de ecuaciones y problemas prefabricados, personajes casi mitológi-cos como Euclídes, Pitágoras y Arquí-medes. Por el lado de la filosofía resultó que detrás del Mito de la Caverna, habían pensadores reales, que transmitían enseñanzas ocultas, transmitían men-sajes de sabiduría que quedaban es-condidos a la inteligencia en la mera repetición del Mito en las pruebas de Colegio. La maravillosa historia de la humani-dad, la sublime epopeya que llevó al hombre desde tal vez 5 millones de años atrás, hasta el mundo que hoy conocemos, yace escondida entre fe-chas, listados de batallas, problemas artificiosos y ajenos a la vida real. ¿Cómo motivar a la juventud con eso?

Como indica el autor antes citado: “La actividad física es un placer para una persona físicamente sana”: ¿debiera entonces funcionar que “la actividad intelectual es un placer para una perso-na intelectualmente sana”? ¿Aprendo entonces con mucho agrado matemática, si estoy libre de temores y angustias, si estoy libre de ideas negativas y preconcebidas respecto a mis propias capacidades e inteligencia? ¿Aprendo con mucho agrado ma-temática cuando la matemática me habla al oído y me cuenta cosas intere-santes para mi vida, cuando enriquece mi vida con hermosas historias , ense-ñanzas y desafíos plenos de sentido? Que lástima que Miguel de Cervantes no hubiera contado las desventuras del ingenioso hidalgo, en un contexto matemático, y que las Bodas de Ca-macho el rico, hubieran sido las Bodas de Camacho el matemático. Una “espumita” en la olla del festejo habría sido tal vez un conjunto de problemas matemáticos con significados y senti-dos reales, y así el ignaro de Sancho habría tal vez iluminado su mente para planificar el desarrollo de la ínsula pro-metida.

¿Matemáticas reales para per-sonas reales? ¿Es posible o es sólo una utopía?

Luis Castro Haase

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PERMISO PARA UNOS RECUERDOS…

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L A H I P É R B O L A Definición y elementos Una hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancias, en valor absoluto, a dos puntos fijos es una constante (positiva). Los principales elementos de una hipérbola son: Focos (F y F ‘): los puntos fijos. Centro (C ): punto medio del segmento de extremos los focos. Eje focal (E ): recta que pasa por los focos. Eje normal (E ‘): recta perpendicular al eje focal y que pasa por el centro. Vértices (V y V ‘): puntos en que la hipérbola intersecta al eje focal. Eje transverso (V V ‘): segmento de extremos los vértices. Asíntotas (A y A’): dos rectas que se intersectan en el centro, tales que la distancia entre puntos de la hipérbola y puntos de estas rectas tiende a 0 cuando x ó y tienden a +∞ ó -∞. Las dos rectas perpendiculares al eje focal que pasan por los vértices, interceptan a las asíntotas en 4 puntos (2 a cada una) formando un rectángulo. Este rectángulo determina en el eje normal 2 pun-tos B y B ’. El segmento BB ‘ se denomina Eje Conjugado. Lados rectos (LR y L’R‘ ) : segmentos de extremos puntos de la hipérbola, perpendiculares al eje focal y que pasan por los focos. Una hipérbola tiene dos ramas (M y M ’) , que son dos curvas se-paradas una a cada lado del centro. Cuerda: segmento de extremos dos puntos de la hipérbola de la misma rama. Cuerda focal: cuerda que pasa por uno de los focos Directrices: rectas D y D ‘ que cumplen d(P,F ) = e d(P,D ), para P punto de la hipérbola en la rama R, d(P,F ‘ ) = e d(P, D ‘ ), para P punto de la hipérbola en la rama R ‘, donde e es una constante llamada excentricidad. Se cumple que e = c /a y e > 1. (a es la semidistancia entre los vértices y c es la semidistancia entre los focos).

Construcción La construcción de una hipérbola usando una regla y un hilo se puede realizar de la forma siguiente: Se requiere un hilo de longitud igual a la de regla menos 2a, donde d(P, F ‘ ) – d(P,F) = 2a, con P punto de la hipérbola y F y F ‘ los focos de la hipérbola. Los extremos del hilo se fijan en un extremo de la regla (N ) y en un foco de la hipérbola (F). El otro extremo de la regla se fija en el otro foco de la hipér-bola (F ‘ ). Se hace girar la regla alrededor de F ‘ y con un lápiz en P se dibu-jará una rama de la hipérbola, manteniendo tirante el hilo.

Intercambiando los roles de los dos focos se dibuja la otra rama de la hipérbola. Observar que en todo momento se verifica que d(P, F ‘ ) – d(P,F ) = 2a. Otra forma de construir una hipérbola es la siguiente: se colocan dos conos unidos en su vértice y se hace un corte de base a base de los conos. El perímetro de este corte será una hipérbola. También se puede contruir una hipérbola mediante pliegues de una hoja (ver ABACOM N° 21, pág. 4).

Aplicaciones de la hipérbola La hipérbola tiene propiedades de reflexión análogas a las de la elipse. Consideremos un espejo que tenga forma de hipérbola. Si un rayo de luz que parte de uno de los focos choca contra el espejo, se reflejará alejándose directamente del otro foco. Este principio se usa en los telescopios del tipo Cassegrain. En el siguiente esquema se puede ver cómo se pueden combinar las propiedades ópti-cas de la parábola y la hipérbola para cons-truir un telescopio reflector. Los rayos paralelos de una estrella se enfocan final-mente en el ocular colocado en F'. En Astronomía, un cuerpo celeste que pro-venga del exterior del sistema solar y sea atraído por el sol, describirá una órbita hiperbólica, teniendo como un foco al sol y saldrá nuevamente del sistema solar. Esto sucede con las trayectorias de algunos cometas.

Sistema de navegación LORAN La propiedad de la definición de la hipérbola "la diferencia de las distancias de los puntos de la hipérbola a los focos es constante" se utiliza en la navegación. En el sistema de navegación LORAN (acrónimo de long range navigation: navegación a largas distancias) se usa la propiedad de reflexión de la hipérbo-la: una estación radioemisora maestra y otra estación radioemiso-ra secundaria emiten señales que pueden ser recibidas por un barco en altamar. Puesto que un barco que monitoree las dos se-ñales estará probablemente más cerca de una de las estaciones, habrá una diferencia entre las distancias recorridas por las dos señales, lo cual se registrará como una pequeña diferencia de tiempo entre las señales. En tanto la diferencia de tiempo perma-nezca constante, la diferencia entre las dos distancias será tam-bién constante. Si el barco sigue la trayectoria correspondiente a una diferencia fija de tiempo, esta trayectoria será una hipérbola cuyos focos están localizados en las posiciones de las dos estacio-nes. Si se usan dos pares de transmisores, el barco deberá quedar en la intersección de las dos hipérbolas correspondientes.

Víctor Alvarado Alvarado

F’ F

P N

2a

B

B'

CV

V'

FR

L

L'F'

R'

B C

B’

A L

E

D

D’

M

M’

A’

R’

F’ L’

V’

E’ F R

V

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TORPEDO DE HIPÉRBOLATORPEDO DE HIPÉRBOLATORPEDO DE HIPÉRBOLATORPEDO DE HIPÉRBOLA

Ecuaciones de la Hipérbola (Sólo se consideran hipérbolas donde sus ejes focal y normal son paralelos o coincidentes, con los ejes coordenados. Otros casos tienen que ver con una rotación de ejes). En lo que sigue: El valor absoluto de las diferencias de las distancias entre cual-quier punto de la hipérbola y los dos focos es 2a, a > 0. La dis-tancia del centro a los focos es c, c > 0 y b2 = c2 – a2 , b > 0. Longitud eje transverso: 2a Longitud eje conjugado: 2b Longitud lado recto: 2b2 / a Excentricidad: e = c / a Ecuaciones Canónicas Hipérbola de centro el origen Centro C(0,0), eje focal y eje normal son los ejes coordenados. Eje focal eje X : Focos: F(c, 0), F’(–c, 0) Vértices: V(a, 0), V’(–a, 0) Extremos Eje Conjugado: B(0,b), B’(0, –b ) Extremos Lados Rectos: L(c,b2 / a), R(c, –b2 / a) L’(–c,b2 / a), R’(–c, –b2 / a) Directrices D : x = a / e; D’ : x = –a / e. Ecuaciones de las Asíntotas: bx – ay = 0, bx + ay = 0 Eje focal eje Y: Focos: F(0,c), F’(0,–c) Vértices: V(0,a), V’(0,–a) Extremos Eje Conjugado: B(b,0),B’(–b,0) Extremos Lados Rectos: L(–b2 / a, c), R(b2 / a, c) L’(–b2 / a, –c), R’(b2 / a, –c) Directrices D : y = a / e; D’ : y = –a / e. Ecuaciones de las Asíntotas: ax – by = 0, ax + by = 0 Hipérbola de centro diferente al origen Centro C(h, k), ejes focal y normal paralelos a los ejes coordena-dos. Eje focal paralelo al eje X: Eje focal paralelo al eje Y: Las coordenadas de los vértices, focos y otros elementos se obtie-nen respetando los significados de a, b y c. Ecuación general de una hipérbola , donde A, C ≠ 0 , con A y C de signo distintos.

Hipérbolas Equiláteras Una hipérbola se dice equilátera si sus ejes transverso y conjuga-do son iguales. Su ecuación es de alguna de las formas:

Sus asíntotas son rectas perpendiculares. Hipérbolas Conjugadas Dos hipérbolas se dicen conjugadas si son hipérbolas concéntri-cas y el eje transverso de una coincide con el eje conjugado de la otra. Si el centro de las hipérbolas es (h, k) , sus ecuaciones son de las formas: Hipérbolas conjugadas tienen las mismas asíntotas. Recta tangente a una hipérbola Hipérbola de ecuación: Tangente en (x0,y0): Tangentes con pendiente m : Hipérbola de ecuación: Tangente en (x0,y0): Tangentes con pendiente m : (Para hipérbolas de ecuaciones ó las ecuaciones de las rectas tangentes son análogas).

Propiedades 1) Una recta tangente a una hipérbola hace ángulos iguales con

las cuerdas focales trazadas al punto de tangencia. 2) El producto de las longitudes de las perpendiculares de un

punto cualquiera de una hipérbola a las asíntotas es una cons-tante.

3) Si la recta que contiene una cuerda PQ de una hipérbola corta las asíntotas en R y S entonces PR = QS.

4) Si F es un foco de una hipérbola y por un punto P de ella se traza una paralela a una de las asíntotas que corta a la directriz correspondiente a F en el punto Q, entonces PF = PQ.

5) Si P es un punto de una hipérbola de ecuación

entonces donde Q y R son las proyecciones de P sobre los ejes focal y normal respectivamente.

6) Si desde un punto P de una hipérbola se traza la perpendicular a una asíntota que la intersecta en R y que corta a la otra asín-tota en Q, entonces

7) Una elipse y una hipérbola que tienen los mismos focos se in-

tersectan en ángulos rectos (o sea: las tangentes en los puntos de intersección son perpendiculares).

B'

B

VF

L

RR'

L'

F'V' C

Y

X

L RF

V

B'B

L' F' R'

V'

C

Y

X

2 2

2 2

( ) ( )1

x h y k

a b

− −− =

2 2

2 2

( ) ( )1

y k x h

a b

− −− =

2 2 0Ax Cy Dx Ey F+ + + + =

2 2

2 2

( ) ( )1 ,

− −− =x h y k

a b

2 2

2 2

( ) ( )1

y k x h

b a

− −− =

2 2

2 2 1x y

a b− =

2 2

2 21

y x

a b− =

2 2

2 2

( ) ( )1 ó

x h y k

a a

− −− =2 2

2 2

( ) ( )1

y k x h

a a

− −− =

12

2

2

2

=−b

y

a

x

0 02 2 1

x x y y

a b− =

222 bmamxy −±=

1)()(

2

2

2

2

=−−−b

ky

a

hx

0 02 2

( )( ) ( )( )1

x h x h y k y k

a b

− − − −− =

222)( bmahxmky −±−=−

2 2

2 21

x y

a b− =

2 2

2 21

PR PQ

a b− =

2 2

2 2

a bPR PQ

a b⋅ =

−

2 2

2 2 1y x

a b− =

2 2

2 2

( ) ( )1

y k x h

a b

− −− =

La palabra “cálculo” deriva del latín: calcu-lus, que significa piedra, y hace referencia a piedrecitas ensartadas en tiras que usaban los romanos como instrumento para el desarro-llo de sus operaciones aritméticas. Podemos considerar estos objetos, que después se transformarían en el ábaco, como los ances-tros de nuestros modernos computadores.

El concepto actual del término cálculo es el de un procedimiento mecánico o algorítmico mediante el cuál se pueden conocer las con-secuencias que se derivan de unos datos previamente conocidos. Los antecedentes históricos de estos procedimientos algorítmi-cos, se remontan a los geómetras griegos; sin desconocer las aportaciones de los babilo-nios y de los egipcios, en los cuáles encon-tramos por ejemplo: reglas para calcular el área de cualquier rectángulo, de un triángulo rectángulo y las primeras aproximaciones del número π. Los griegos separaban su trabajo sobre los números racionales en logística y aritmética. La logística abarcaba las técnicas del cálculo numérico y la aritmética se ocupaba de las propiedades de los números como tales. La introducción del cero por los hindúes en el siglo VIII D.C. es considerada como una de las invenciones más importantes de todos los

tiempos, lo que aumentó el intercambio co-mercial, abrevió los cálculos astronómicos y mejoró las tablas para la navegación. Cabe destacar, la emergencia del matemático ára-be Muhammad Ibn Musa al-Jwarizmi (siglo IX D.C.), cuyos aportes iniciaron el largo proceso histórico que condujo a los algorit-mos de nuestra aritmética actual, y en cuyo honor se introdujo en Matemáticas el térmi-no algoritmo.

El Cálculo Numérico, como disciplina ma-temática propiamente tal, se inicia con el desarrollo global de las matemáticas. Es así, como en el siglo XVII, obtiene un fuerte impulso con el desarrollo del cálculo infini-tesimal por Pascal, Fermat, Newton y Leib-niz.

La noción de cálculo formal en el sentido de un algoritmo sujeto a reglas para el desarro-llo de un razonamiento y su aplicación al mundo real, adquiere una enorme importan-cia y desarrollo, se tiene así: el cálculo del movimiento de cuerpos en caída libre (Galileo); trayectoria de los planetas (Kepler); trayectoria de proyectiles para la artillería; medidas astronómicas y geográfi-cas; presiones (Torricelli y Pascal); y todas las aplicaciones prácticas de estos cálculos en la naciente industria.

En los siglos XIX y XX, las mayores in-fluencias que recibió el cálculo provinieron de la lógica-matemática, que al matematizar la lógica, generalizó el concepto de cálculo como cálculo lógico. A su vez, recibió los impactos, como toda la matemática, del fa-moso teorema de Kurt Gödel (1931), que le señaló sus límites como teoría.

En la actualidad el cálculo numérico, incor-pora entre sus principios fundamentales los conceptos de aproximación y error . El error se asume como permanente y no se intenta eliminarlo sino controlarlo y dismi-nuirlo al mínimo posible (hacerlo tender a cero) y bajo estas condiciones se calcula con aproximaciones (cantidades no exactas), mediante los algoritmos numéricos cuya finalidad como método es tender a un valor exacto.

La adopción del sistema numérico binario y el uso de la lógica de Boole, ha permitido un desarrollo prodigioso del cálculo numérico mediante la utilización de la moderna tecno-logía computacional. Esto ha hecho que se convierta en una de las herramientas funda-mentales de la moderna investigación científica, por la amplitud de posibilidades que ofrece para la modelización de las teorías científicas.

Ivan Medrano Tello

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La disciplina del cálculo con error

Matemático alemán nacido en Zweibrüc-ken. Su padre era em-pleado de correos, por lo que se trasladaba frecuentemente de ciu-dad, lo que hizo que Phillip asistiera a dife-rentes escuelas en su niñez. Terminó el co-legio en 1839 y no in-gresó inmediatamente a la universidad, pero

fue instruido en matemáticas por un discípulo de

Gauss. En 1840 ingresó a la Universidad de Berlín, pero por problemas de salud debió trasladarse a di-ferentes lugares lo que hizo que sólo se doctorara en 1846 en la Universidad de Munich.

Se destacó en Astronomía, Probabilidades y Cálcu-lo Numérico. Famoso es el método de Gauss – Sei-del para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Recibió muchos honores en su carrera y fue nom-brado miembro de la Academia Bávara de Ciencias.

Problemas a la vista hicieron que jubilara prematu-ramente. Nunca se casó y en sus últimos siete años de vida fue atendido por la viuda de un clérigo. Fa-lleció en Munich el 13 de agosto de 1896.

Philipp Ludwig von Seidel (1821 – 1896)

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La Matemática es el lenguaje mediante el cual se expresan ciencia y tecnología. A través de su simbolismo los proble-mas se transforman en ecuaciones cuyas soluciones entre-gan las respuestas que buscamos. Algunas ecuaciones son de difícil resolución. ¿Cómo calcular efectivamente sus soluciones? El Cálculo Numérico es un área matemática que provee métodos computacionales para el estudio y re-solución de tales problemas.

Veamos un ejemplo: una persona solicita un préstamo bancario por un monto de P pesos, el cual pagará en n meses con un interés anual de r %. El banco razona como sigue: el interés mensual es r / 12, de modo que el interés sobre el préstamo P en n meses es [ P×r / (12×100)] ×n. Así, lo que el banco cobrará es P + (P×r / 1200)×n = P(1/n + r / 1200) n y la cuota mensual es igual a la n-ésima parte: C = P(1/n + r/1200) . Es claro que con este procedimiento el interés se aplica sobre el total, no considerando el hecho que la deuda se amortiza a medida que se paga, de modo que la tasa de interés real es bastante mayor. ¿Cuánto mayor? Si llamamos R el interés real anual y ponemos x = R/(12×100) (la tasa mensual real), se deduce que x es solución de la ecuación (Px – C)(1+x)n = 0 . Concretemos. Si el préstamo fuese por $3.000.000, a 5 años plazo, con interés anual de 15%, tenemos: P = 3×106, n = 60, r = 15 y la cuota mensual sería

C = 3×106 (1/60 + 15/1200) = $ 87.500. La ecuación que nos devela el misterio es: (3×106x – 87.500)(1+x)60 + 87.500 = 0 , la cual se ve muy complicada, por decir lo menos, y no sabemos resolverla por un método convencional. Es aquí donde intervienen los métodos numéricos y una aplicación de éstos nos da x = 0,02057, es decir: R = 0,02057×1200 = 24,684. ¡Se pagará un interés anual real de 24,7% durante los 5 años que dura la deuda!

Veamos ahora como se puede calcular esa solución. Para ello sea y = f (x) una función y supongamos que en el intervalo [a,b] existe un x* tal que f (x*) = 0. Ese x* es una solución de la ecua-ción f ( x) = 0 y, gráfica-mente, es la intersección de la curva de ecuación y = f (x) con el eje X. Notemos que se cumple

f (a) f (b) < 0 (Fig.1). El método más simple y seguro – pero poco eficiente – es el de bisección del intervalo: sea c = (a + b) / 2 el punto medio de [a, b] , entonces x* está en uno de los subinterva-los [a, c], [c, b]. ¿En cuál? Basta calcular f (a) f (c): si es

negativo, x* está en [a, c]; en otro caso está en [c, b] ( es este caso en la Fig.2). En el primer caso el punto c pasa a ser el nuevo punto b; en el otro caso el nuevo punto a será c. Volvemos a calcular un punto medio en el nuevo inter-valo [a, b] y así sucesivamente… Este es un método de encajonamiento, que genera infinitos puntos medios c, ca-da vez más próximos a la solución x*. El cálculo lo deten-dremos cuando estimemos haber logrado fijar un cierto número de decimales. Veámoslo en el ejemplo: aquí f (x) = (3×106x – 87.500)(1+x)60 + 87.500 y para el intervalo [a, b] podemos elegir a = 15 / 1200 = 0,0125, b = 30 / 1200 = 0,025 – la solución debe estar entre el 15% y el 30%. Verificamos: f (0,0125) f (0,025) = – 17859×32503 < 0. El punto medio es c = (0,0125 + 0,025) / 2 = 0,01875 . Cal-culamos f (c) = f (0,01875) = –7,759,3: ponemos a = 0,01875… La tabla muestra algunos cálculos

Vemos que aún estamos lejos de la solución, ya que f (c) = – 313,59 para el último punto medio. Sin embargo c×1200 = 0,0205078125×1200 ≈ 24,6 , valor bastante próximo al 24,7% anunciado más arriba. Hay métodos más eficientes – pero más complejos. Tam-bién hay métodos para problemas tales como sistemas de ecuaciones de gran tamaño (imposible de resolverlos sin computadora), para el ajuste de datos obtenidos experimen-talmente, para el cálculo de áreas, volúmenes, etc., pero ese es tema para un próximo número de ABACOM.

MÉTODOS NUMÉRICOS: UN EJEMPLO Manuel Bustos Valdebenito

n a b c f(c) 1 0,0125 0,025 0,01875 –7.759,3

2 0,01875 0,025 0,021875 7.366,4 3 0,01875 0,021875 0,0203125 –1.269,4

4 0,0203125 0,021875 0,02109375 2.759,9

5 0,0203125 0,02109375 0,020703125 675,95

6 0,0203125 0,020703125 0,0205078125 –313,59

D I C I E M B R E 2 0 0 8

8

PALANCAS Y PARÁBOLAS El descubrimiento de la palanca y su em-pleo en la vida coti-diana proviene de la época prehistórica. El manuscrito más antiguo que se con-serva con una men-ción al respecto for-ma parte de la Sina-goga o Colección Matemática de Pap-pus de Alejandría,

una obra en ocho volúmenes que se estima fue escri-ta alrededor del año 340 D.C. Allí aparece la famosa cita de Arquímedes: “Dadme un punto de apoyo y moveré el Mundo”. A Arquímedes (287 - 212 A.C.), matemático y geó-metra griego, considerado el más notable científico y matemático de la antigüedad, se le atribuye la primera formulación matemática del principio de la palanca, que es: “La palanca se mantiene en equilibrio si el peso en cada extremo es inversamente proporcional a la longi-tud del brazo respectivo”.

A continuación presentamos una relación entre Pa-lancas y Parábolas (las Parábolas fueron vistas en detalle en ABACOM N° 27). Consideremos una parábola de vértice V, eje focal conteniendo a VD, y que pasa por los puntos A y B, de modo que AB es perpendicular a VD. Construya-mos una tangente a la parábola en el punto B y trace-mos una paralela al eje focal por A que intercepta a la tan-gente en C y una recta que une B con V que intercepta al segmento AC en E. Las relaciones que aconti-nuación se indican se prue-ban fácilmente: 1) E es punto medio de AC. 2) V es punto medio de BE.

3) El área del triángulo ABE es la mitad del área del triángulo ABC.

4) El área del triángulo ABV es la mitad del área del triángulo ABE.

5) El área del triángulo ABV es la cuarta parte del área del triángulo ABC.

Elijamos ahora un punto cualquiera en el segmento AB, por ejemplo X. La recta que pasa por X y es pa-ralela al eje focal de la parábola intercepta a la pará-bola en F y a la tangente en G. Se cumple la si-guiente proporción: Para verificar esto considere-mos la parábola de ecuación y = – x2 y los puntos A(–p, –p2) y B(p, –p2) de ella. La recta tangen-te en B tiene ecuación y = –2px + p2 . Si consideramos el punto X(r, – p2), así los otros puntos serán: F(r, – r2) y G(r, – 2pr + p2). Así tenemos: GX = – 2pr + 2p2, FX = – r 2 + p 2, AB = 2p, AX = p + r y por tanto:

Ahora prolonguemos BE hasta I de modo que BE = EI y tracemos JK = FX, con I punto medio. Se cumplen las relaciones: (la última proporción es debido a la semejanza entre los triángulos ABE y XBL) y como JK = FX y EB = EI entonces

Imaginando ahora GX y JK apoyados en los brazos de una palanca IL cuyo centro (fulcro) es E, ésta está en equilibrio, ya que

GX i EL = JK i EI.

− += =−

2

2 2

2 2GX pr pFX p r

− = =+ − +

2 ( ) 2( )( )

p p r p ABp r p r p r AX

Ema Castro Haase

=GX EIJK EL

GX AB EBFX AX EL

= =

=GX ABFX AX

1L2L

1P

2P

1 1 2 2P L P L=i i

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ABACOM Boletín Matemático

ConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoCo

Viola García Paredes

SOLUCIÓN SOPA MATEMÁTICA EDICIÓN Nº 28

Las palabras rela-cionadas con Gra-fos son: Adyacencia, arista, bipartito, camino, coloración, comple-to, conexo, grado, planar y vértice.

Problema 1: Es el año 1818, que al mirarlo en el espejo se ve 8181, y se cumple que 1818 i 4,5 = 8181.

Problema 2: Por propiedad de la bisectriz tenemos: de donde BD = 11k, DC = 8k. Como AM es transversal de gravedad entonces: BM = MC, o sea: 11k – 1 = 8k + 1, y así k = 2/3, de donde se concluye que BD = 22/3, DC = 16/3.

Como ∆BHA y ∆AHC son rectángulos (ya que AH, es

altura), aplicando Teorema de Pitágoras tenemos: 112 – (22/3 + x)2 = =82 – (16/3 – x)2, de donde se obtiene: x = 5/4 . Así: la longitud del segmen-to DH es 5/4.

RESOLUCIÓN PROBLEMAS EDICIÓN Nº 28 La Mascota del Regimiento

Una compañía de militares desfila formando un cuadra-do de 20 metros de lado, marchando a paso regular. La mascota de la compañía, un hermoso pastor alemán, se introduce en el desfile partiendo desde el centro de la última fila, camina en línea recta hasta el centro de la primera fila y regresa del mismo modo al centro de la última fila. Durante este lapso los militares han recorrido exactamente 20 metros. Suponiendo que el perro avanza a velocidad constante y no pierde tiempo al girar, ¿cuántos metros recorre? Solución: Consideremos como unidad de longitud el lado del cua-drado y como unidad de tiempo el que invierten los mili-tares en recorrer la longitud de su formación. Así la velo-cidad, con estas unidades, será igual a 1. Sea x, la distan-cia recorrida por el perro, entonces su velocidad será v = x / 1 = x . (Recordemos: velocidad (v) = distancia (d) / tiempo (t) ). En el viaje de ida la velocidad del perro, respecto de los militares, es de x – 1 , mientras que en el viaje de vuelta es de x + 1. El tiempo empleado en la ida es de 1 / (x – 1) (pues t = d / v ) y en la vuelta es 1 / (x + 1). Como los dos viajes los realiza en tiempo igual a 1, tenemos la ecuación siguiente: que es equivalente a x2

– 2x – 1 = 0, cuya raíz positiva es

Ésta es la distancia recorrida por el perro, pero en las unidades antes definidas. Para expresarla en metros basta multiplicar por 20. Así: la distancia recorrida por el perro es de aproxi-madamente 48,3 metros.

1 2 2,414+ ≈

N C A M I N O T O A I O R A Z O P C D U E C I T R E V Y A O V I S C O M A L R T E S T R A C O M G E D F A H E R J O K L A C O N E X O L A P V A C R A N A L P M B I P A R T I T O O A N D I O Q U E N C 1 1

11 1x x

+ =− +

x B M D H C

h 11

A

1

8

ALUMNOS PARTICIPANTES

Para los Problemas planteados en las ediciones ante-riores y para la Sopa Matemática han enviado solucio-nes los siguientes alumnos: Ricardo Carrillo y Feli-pe Rodríguez del Colegio Santa Cruz de Río Bueno y Nicol Fuentes del Liceo María Reina de Purulón.

11 8

BD DCk= =

D I C I E M B R E 2 0 0 8

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Juegos MatemáticosJuegos MatemáticosJuegos MatemáticosJuegos Matemáticos

Este juego consiste en mostrar 6 tarjetas a una persona, cada una con una serie de números, ésta debe elegir un número e indicar en cuál(es) de las tarjeta(s) se encuen-tra el número elegido. Con esta información se puede adi-vinar el número. Las tarjetas son:

El número elegido corresponde a la suma de los primeros números que se encuentran en las tarjetas donde estaba el número elegido. Por ejemplo: si la persona dice que el número elegido está en las tarjetas 2, 5 y 6 entonces el número elegido es 16 + 2 + 1=19.

¿Cómo y por qué funciona? La explicación de este juego está en la escritura de un número en sistema binario. Los números que aparecen en las tarjetas van desde el 1 al 63, de acuerdo a la escritura en binario se necesitan 6 dígitos (0 ó 1) para escribir los números desde el 1 al 63 así: 1 = 000001; 2 = 000010; 3 = 000011; 4 = 000100; 5 = 000101; . . . ; 62 = 111110; 63 = 111111

Las tarjetas se enumeran desde la 1 a la 6 y se anota el número en la tarjeta numero i, ( i = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ) si el número escrito en binario tiene un 1 en la posición i. Así, el 1 = 000001 tiene un 1 en la posición 6, entonces, se escribe el número 1 sólo en la tarjeta 6, el 2 = 000010 tiene un 1 en la posición 5, entonces, se escribe el número 2 sólo en la tarjeta 5, el 3 = 000011 tiene un 1 en la posi-ción 5 y 6, entonces, se escribe el 3 en la tarjeta 5 y 6, así hasta llegar al 63 = 111111 el cual obliga a escribir el 63 en todas las tarjetas, pues el 1 esta presente en to-das las posiciones.

Por eso si la persona que juega dice que el número está en las tarjetas 2, 5 y 6 entonces el número en binario es 010011 que corresponde a 0X25 + 1X24 + 0X23 + 0X22+ 1X21 + 1X20 = 19.

Observar que la suma anterior es 16 + 2 + 1, es decir se suman los primeros números que aparecen en la tarjetas en donde está incluido el número elegido.

ANÉCDOTAS MATEMÁTICASANÉCDOTAS MATEMÁTICASANÉCDOTAS MATEMÁTICASANÉCDOTAS MATEMÁTICAS

John von Neumann (1903-1957), matemático húngaro-estadounidense de ascen-dencia judía, tenía la cos-tumbre de escribir en la pi-zarra las soluciones de los problemas que proponía a sus alumnos. Por supuesto, los estudiantes le pregunta-

ban como hacer los problemas, no sólo la solución. En cierta ocasión, uno de ellos intentó ser más di-plomático y en lugar de preguntarle directamente cómo se hacía el problema, le dijo:

– Profesor, ¿este problema se podría hacer de otra forma?

– Déjeme pensar..., ¡Si! – y siguió escribiendo solu-ciones en la pizarra.

OTRA FORMA DE HACER UN PROBLEMA

JUEGO DE ADIVINAR UN NÚMERO Ara Pinilla Palma

32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63

8 9 10 11 12 13 14 15 24 25 26 27 28 29 30 31 40 41 42 43 44 45 46 47 56 57 58 59 60 61 62 63

4 5 6 7 12 13 14 15 20 21 22 23 28 29 30 31 36 37 38 39 44 45 46 47 52 53 54 55 60 61 62 63

2 3 6 7 10 11 14 15 18 19 22 23 26 27 30 31 34 35 38 39 42 43 46 47 50 51 54 55 58 59 62 63

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63

1 2

3 4

5 6

- ¿Quién asesinó a la ecuación? - ¡Es una incógnita! ***** - ¿En qué se parecen el Cálculo Numérico y el baile? - En que en el Cálculo Numérico se aplica un algorit-

mo, mientras que en el baile se aplica algo de ritmo. ***** - ¿Por qué expulsaron a la raíz de su partido? - Porque es radical y sin argumentos. ***** - ¿Por qué se suicidó el libro de matemáticas? - Porque tenía demasiados problemas. ***** - ¿Qué le respondió la ecuación al polinomio cuando

éste le propuso matrimonio? - Me gustas, pero sólo hasta cierto grado. ***** - ¿Por qué un gallego no puede escribir el número

11? - Por que no sabe cuál uno escribir primero…

La matemática… ... con risas entra

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ABACOM Boletín Matemático

El profesor canadiense Harold Scott Mac Donald Coxeter (1907 – 2003) fue uno de los grandes geómetras de nuestro tiempo. En una conferencia que pronunció con motivo de su jubi-lación universitaria, Coxeter expuso un descubrimiento bíblico, relativo a la edad de Matusalén. Se basó en los siguientes textos del Génesis, del Antiguo Testamento, contenidos en los capítulos 5 y 6:

“Matusalén tenía ciento ochenta y siete años cuando fue padre de Lamec. Y después que nació Lamec, Matusalén vivió sete-cientos ochenta y dos años y fue padre de más hijos e hijas. Cuando Matusalén murió tenía novecientos sesenta y nueve años. A la edad de ciento ochenta y dos años, Lamec fue padre de un hijo y le puso por nombre Noé…A los seiscientos años de la vida de Noé, el día diecisiete del segundo mes del año, brotaron todos los manantiales del fondo del mar y las com-puertas del cielo se abrieron. Estuvo lloviendo sobre la tierra por cuarenta días y cuarenta noches.”

Coxeter no pudo evitar la tentación matemática de poner un poco de orden y de aritmética a los muchos datos numéricos relativos a las edades de Matusalén, Lamec y Noé, quizás re-cordando aquella famosa frase “la Biblia es un tratado de Te-oría de Números”.

Los cálculos de Coxeter se centraron en los años de Matu-salén: • Edad de Matusalén al nacimiento de Lamec: 187 años. • Edad de Matusalén al nacimiento de Noé: 369 años

(187+182). • Edad de Matusalén el día del Diluvio: 969 años

(369+600).

Pero como Matusalén vivió exactamente 969 años (187 + 782), re-sulta que su muerte co-incide con la llegada de las aguas del diluvio. Por tanto surge la du-da… ¿Fue una muerte natural? … ¿O Noé olvidó a su abuelo fue-ra del arca?

COXETER Y LA EDAD DE MATUSALÉN

H U M O R

¿Me hablará a mí o al equipo virtual?

¿Cómo estás?

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Carolina Leiva Cádiz

D I C I E M B R E 2 0 0 8

X JUEGOS MATEMÁTICOS INTER- REGIO-NALES DEL COLEGIO SAN MATEO OSORNO

En la X versión de los Jue-gos Matemáticos Inter- Re-gionales 2008, que organiza el Colegio San Mateo de Osorno, participaron alre-dedor de 1600 alumnos de 7° Básico a 4° Medio que pudieron medir sus talentos gracias al auspicio de La Universidad San Sebastián de Osorno, la Universidad Tecnológica de Chile Inacap

Sede Osorno y la Comisión Nacional Científica y Tecnológica de Chi-le Conicyt.

“Con el fin de medir comprensión de enunciados; capacidad de relacionar, habili-dades básicas de cálculo aritmético entre otras destrezas los estudiantes rindieron pruebas escritas divididos en tres series: 7° - 8° Básico; 1° - 2° Medio y 3° - 4° Medio”, señala el Encargado oficial Orlando Torres, Profesor de Matemática del Colegio San Mateo de Osorno. Las pruebas se rindieron en distintas Sedes: Lebu, Temuco, Valdivia, Osorno, Puerto Varas, Castro y Coyhaique. En cada serie de estudiantes rindieron pruebas individuales divididas en tres eta-pas: las dos primeras en las diferentes sedes y la última etapa, la Final, en Osorno. En esta última etapa se reunieron los mejores estudiantes por serie en el Colegio San Mateo de Osorno para rendir una prueba escrita y posteriormente ser partíci-pes de exposiciones. El 14 de Noviembre, desde temprano, los mejores alumnos fueron recibidos en el Colegio San Mateo de Osorno y se otorgaron Las Medallas de Oro a: José Ríos del Colegio San Mateo de Osorno; Yiang Huang del Colegio Alianza Francesa de Osorno y Agustín Guíñez del Colegio San Francisco Javier de Puerto Montt. Todos ellos representantes de la serie de 7° - 8° Básico. De la Serie 1° - 2° Medio obtuvieron Medallas de Oro: Sebastián Contreras del Colegio Humanidades de Villarrica; Sebastián Gálvez del Instituto Salesiano de Valdivia y Benjamín Baeza del Osorno College. Por último de la Serie 3° - 4° Medio fueron ganado-res de Medallas de Oro: Pablo Polanco de la Alianza Francesa de Osorno; Feli-pe Vera del Colegio San Mateo de Osorno y Javier Garcés del Colegio Alemán de Puerto Varas. ABACOM felicita a los ganadores de medallas e insta a los jóvenes ta-lentos del sur a seguir siendo partícipes de estas iniciativas que demues-tran una vez más que la matemática reúne a estudiantes y enorgullece a profesores que preparan año a año a sus alumnos.

XX Olimpíada Nacional de Matemática RESULTADOS PRUEBA FINAL NACIONAL

La Prueba Final Nacional de la XX Olimpíada Nacional de Matemática se efectuó en Santiago entre los días 23 y 25 de Octubre. El medallero olímpico quedó conformado por 67 alumnos (as) (34 en el Nivel Menor y 33 en el Nivel Mayor). Por las regiones X, XI y XIV participaron 11 alumnos resultando galardo-nados: Benjamín Baeza Moraga de Osorno (Nivel Menor), Javier Garcés Almonacid de Puerto Varas (Nivel Mayor) y Michel Lemarie Johansen de Osorno (Nivel Mayor). Felicitamos a estos alumnos e incentivamos a otros a participar el próxi-mo año en la Olimpíada Nacional de Matemática que organiza la Socie-dad de Matemática de Chile. (Ver medallero completo en www.olimpiadadematematica.cl )

XIV Semana Nacional de la Ciencia y la Tec-nología :

“Una Semana para toda la vida”

La XIV Semana Nacio-nal de la Ciencia y la Tecnología (SNCyT), se llevó a cabo del 3 al 7 de noviembre en todo el país, bajo el lema de “Una Semana para toda la vida”, ins-tancia en la que se desarrollaron distintas actividades, las que movilizaron a toda la población, quienes interesados por des-cubrir su entorno se

vincularon a lo que es Explora y a la fiesta que se vive dentro de ella.

La Inauguración de esta nueva versión de la SNCyT se realizó en la Unión, donde se premió a la escuela ganadora de la Pro-vincia de Ranco del Concurso “Reduce tu Huella Ecológica”, Union College de la Unión. El 4 de noviembre, fueron los científi-cos los que visitaron distintos establecimientos educacionales en “1000 científicos 1000 aulas”, actividad que permitió a los jóvenes comprender el quehacer científico, pero a partir de su entorno. También se realizó una intervención en Valdivia, “Mide tu Huella Ecológica”, donde quienes participaron midieron su huella, en donde además, se les instruyó a los valdivianos sobre el concep-to de huella ecológica, además de explicarles lo que debían hacer para disminuir sus impactos sobre la Tierra.

Fue una semana en la que la población se vinculó al mundo científico, por lo que seis instituciones, Universidad Austral de Chile, Universidad San Sebastián, Universidad Santo Tomás, Museo Philippi, Museo Histórico y Parque Harnecker, abrieron sus puertas a la comunidad en “Laboratorios, museos y parques abiertos”. A esta semana se sumaron 15 escuelas, en “el Día de la ciencia en mi colegio”. La XIV SNCyT, se dio por finalizada el 7 de noviembre en el Cine club de Valdivia, en donde el Doctor Iñaki Ceberio de León, dio una conferencia denominada “Huella Ecológica, de lo global a lo local”, exposición que cautivó a toda la audiencia.

En “Una Semana para toda la vida”, se buscaba la formación de conciencia frente al cambio climático, mostrarle a la comunidad el alcance de nuestros impactos en la Tierra, razón por la que se entiende el Concurso de reduce tu Huella Ecológica, en donde dos colegios valdivianos fueron destacados, la Escuela Leonar-do Da Vinci y el Liceo Santa María la Blanca, quienes idearon proyectos para reducir la Huella de sus colegios, a lo que se sumó la Mención Honrosa de la Escuela Rural de Niebla, que ya han implementado distintos proyectos ambientales. La SNCyT, congregó a cerca de 5000 personas, quienes se hicieron partícipes de lo que es el Programa Explora, razón por la que los invitamos a seguir participando y trabajando, además de decirles ¡Felicidades a los ganadores!

Carolina Bartheld Álvarez, Periodista Coordinación Regional Programa EXPLORA CONICYT

www.explora.cl/rios