ABACOM Boletín Matemático

NOVIEMBRE 2013

AÑO 12 N°48

Editorial

GIGANTES NUMÉRICOS En esta edición

Visítanos en: www.uach.cl/abacom Contáctanos en: abacom@uach.cl

pág Reflexiones

Una copia en Matemática que no

tiene castigo. .................................. .2

ABAQUIM

¿El Aluminio afecta a la salud hu-

mana? .......................................... .3

Aritmética Modular

Aplicación a la Criptografía..…....4

Torpedo de Aritmética Modular....5

Anécdotas de la Ciencia…..………...5

Henri Poincaré

El Último Universalista. ............. .6

Poincaré y la Reina Victoria. ..... .6

El problema de los tres cuerpos. . .7

Conquistador, no Colonizador. ... .7

Comunicando Matemáticas ............. .7

Tips Matemáticos..………..……...…8

Concurso

Desafío a tu Ingenio…….......…....8

Kenken………………….....…......8

Alumnos Participantes. ............... .9

FISICOM

La influencia humana en al Cam-

bio Climático es evidente... ........ .9

Ciencia Entrete

Advertencias al consumidor........10

El Triángulo de Reuleaux…....…10

Humor…..…..……………..…...10

¿A qué distancia se encuentra el

horizonte?...........………….…....11

Sistemas de Numeración….…....11

Sonriendo Con-Ciencia….……..11

Noticias

Claudio Bunster gana Premio….....…12

Semana Nacional de Ciencia y Tec-

nología..…..…….......…....…......12

Concurso “Capta la Ingeniería”..….....12

Actualmente, es común que cualquier

información que necesitamos, la busca-

mos en Google. Pero ¿de dónde proviene

el nombre de este buscador tan socorri-

do? Es simplemente una variación de la

palabra googol (en español gúgol), que

es el nombre de un número muy grande

formado por un uno seguido por cien

ceros, es decir:

1 googol =

Este término fue acuñado en 1938 por

Milton Sirotta, un niño de 9 años, so-

brino del matemático estadounidense

Edward Kasner, cuando se le pidió que

le diese un nombre a un número inmen-

samente grande1. Este nombre hace alu-

sión a la inmensa cantidad de informa-

ción que maneja este buscador.

Para hacernos una idea de la magnitud

de este número, pensemos en ¿cuál será

la cantidad de gotas de lluvia que caen

en nuestra ciudad en todo un año e inclu-

so en un siglo? Es mucho menor que un

googol. Imaginemos que el universo

entero estuviese lleno de protones y

electrones, de manera que no quedase

espacio libre, el número total de ellos

sería aproximadamente , es decir

un poco mayor que un googol.

Un número muchísimo mayor que un

googol, es un googolplex, que es un uno

seguido por un googol de ceros, es decir:

1 googolplex =

En Ciencias aparecen muchos números

grandes, que para expresarlos se usa la

notación científica, esto es, potencias de

10. Algunos ejemplos:

El Número de Shanonn, que es una

acotación para el número total de parti-

das de ajedrez posibles, es . Fue

calculada por Claude Shannon (1916 -

2001), ingeniero y matemático estadou-

nidense, conocido como el padre de la

Teoría de la Información.

El Número de Skewes, que sirve para

indicar la distribución de los números

primos, es . Este gigante numé-

rico fue descubierto por el matemático

sudafricano Stanley Skewes (1899 -

1988).

El Número de Graham, que apareció

en la resolución de un determinado pro-

blema en la Teoría de Ramsey, debe su

nombre al matemático norteamericano

Ronald Graham (1935 - ). Es tan grande

que es imposible expresarlo mediante

operaciones simples. Se ha afirmado que

si toda la materia del universo fuese

transformada en tinta y papel, aun seria-

mos incapaces de escribir este número, a

pesar de esto, se sabe que sus últimas 10

cifras son 2464195387.

Todos estos números, por muy grandes

que sean, son magnitudes finitas, además

todos ellos están emparentados pues

forman parte de un mismo conjunto que

son los Números Naturales. Así el goo-

gol y el número 10, por ejemplo, son

parientes, así como lo son una estrella

gigante con un átomo. La Aritmética,

con toda su sencillez, es la base de toda

Ciencia, pues sin ella sería impensable

expresar magnitudes, lo que ha permiti-

do el desarrollo de la Ciencia y la Tec-

nología actual.

1 Ver video sobre el número googol en: http://www.youtube.com/watch?v=MrC3qiBJ4NU

10010

11010

1001010

12010

341010

10

100 1010

10010

N O V I E M B R E 2 0 1 3

2

Carolina Latorre Osses

REFLEXIONES

Durante largo tiempo he venido

observando cómo se desenvuel-

ve la cultura asiática y en parti-

cular el funcionamiento de los

habitantes de Corea del Sur

(hago esta distinción para no

confundir con Corea del Norte),

y en algún momento durante

este camino, me llamó particu-

larmente la atención que nues-

tro propio Gobierno o mejor

dicho el Estado chileno, siem-

pre hace alusiones y referen-

cias, en su políticas de Educa-

ción, precisamente a varios paí-

ses asiáticos, como por ejemplo

la ya mencionada Corea, país donde a

juicio de los ranking internacionales se

forman a los mejores profesores y so-

bre todo, los estudiantes aprenden Ma-

temáticas casi como su lengua materna.

Pues bien, mi análisis me llevó a enten-

der que, incluso en estos tiempos cuan-

do corre ya la segunda década de este

nuevo siglo y para sorpresa de muchos,

una de las bases fundamentales para

este importante desarrollo educacional

tiene que ver fuertemente con el respe-

to por sus mayores. Sí, aunque pueda

sonar ilógico –reitero – e increíble hoy

en día, el respeto que las nuevas gene-

raciones tienen por los más ancianos o

“adulto mayores” como acostumbra-

mos llamarlos los chilenos, sin impor-

tar condición social, es uno de los ci-

mientos para lograr el grado de conoci-

miento que a la luz de las cifras alcan-

zan los niños y adolescentes coreanos.

Sin ir más lejos, he sido testigo ocular

en nuestra capital –donde conviven

miles de inmigrantes asiáticos– y tam-

bién he podido evidenciar a través de

programas o documentales emitidos

por la televisión local, la disposición

de hijos o parientes jóvenes para con

adultos y ancianos, estos últimos ejer-

ciendo siempre una especie de supervi-

sión. Más aún, ello conlleva que inde-

pendiente si se es hijo de un campesino

o de un gran empresario, los educandos

deben estudiar delante de alguno de sus

progenitores, quien a su vez monitorea

que el estudio se realice de

manera adecuada, aunque en

ningún caso es el padre o

madre quien enseña, sino

más bien se trata, como bien

lo decía anteriormente, de

una supervisión para com-

probar que el trabajo dado

por el profesor en clase, se

cumpla a cabalidad. Luego

de este verdadero compro-

miso en lo sociocultural, se

tiene que para los asiáticos

las matemáticas son mostra-

das como el motor de sus

vidas, tomando el ejemplo

de las personas que viven en el campo,

ellos influencian a los niños diciendo

que “si aprenden rápidamente a contar

no tendrán problemas con perder ani-

males ni cosechas”, entonces las mate-

máticas son un gran aporte para ir sur-

giendo en la vida.

Otro botón de muestra para entender

sobre la influencia de la cultura asiáti-

ca, es que una de las formas más exito-

sas de aprendizaje de las Matemáticas,

en Educación Básica, es el Método

Singapur, un método asiático de ense-

ñanza, que muestra a las Matemáticas

contextualizadas y utilizadas en la re-

solución de problemas, lo que hace que

el niñ@ entienda en definitiva para qué

le sirven.

UNA COPIA EN MATEMÁTICA QUE NO TIENE CASTIGO

Copiando la Manera de Aprender en Corea del Sur y los Países Asiáticos

ABACOM Boletín Matemático

Publicación destinada a Estudiantes y Profesores de Enseñanza Media. Proyecto auspiciado por la Facultad de Ciencias de la Ingeniería de la Universidad Austral de Chile.

Director: Juan Leiva V. / Director Alterno: Andrea Cárcamo B. /

Redacción Periodística: Julio Morales M. / Web Master: Edinson Contreras R. / Colaboradores: Sebastián Acevedo A.,

Claudio Fuentealba A., M. Gricelda Iturra L., Carolina Latorre O., Oscar Pilichi C.

Centro de Docencia de CCBB / Facultad de Ciencias de la Ingeniería UACh. / Casilla 567 Valdivia.

e.mail: abacom@uach.cl / Fono (63)221828 / Fax (63)293730 www.uach.cl/abacom

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3

ABACOM Boletín Matemático

El aluminio (Al), el elemento N°13 (IIIA) de la tabla periódi-ca, es un metal blanquecino, plateado, maleable, dúctil y

muy resistente a la corrosión. Algunos de los compuestos de aluminio, más importantes, son el óxido de aluminio (Al2O3), el

cloruro de aluminio (AlCl3), el sulfato de aluminio (Al2 (SO4)3) y un tipo de sulfato soluble con

potasio llamado alumbre (KAl(SO4)2 *12 H2O). A pesar de que es uno de los elementos más abundantes en nuestro planeta, es muy difícil encon-trarlo en forma libre en la natu-

raleza. Se puede encontrar en el granito, la criolita y otros minerales comunes simila-res. El Aluminio es uno de los metales más ampliamente usa-dos y también uno de los más frecuentemente encontra-dos en los compuestos de la corteza terrestre. Por ello se considera como una sustancia “no tóxica”, sin embargo,

la forma soluble en agua del Aluminio causa efectos per-judiciales, estas partículas son llamadas cationes triva-lentes (Al3+). Durante los últimos años se ha discutido bastante sobre el papel del aluminio en la Enfermedad de Alzheimer, esto debido a que se han encontrado grandes cantidades de este metal en cerebros de autopsias de algunas per-

sonas con esta enfermedad. Se analizaron 32 muestras, correspondientes a diferentes regiones cerebrales de 5 pacientes sanos y 5 con Alzheimer: se encontró aluminio en el 80% de las muestras de los pacientes con Alzhei-mer en una cantidad promedio de 6,9 ppm, mientras que en las muestras de pacientes sanos sólo un 19% contenía

aluminio en una cantidad más pequeña, 1,9 ppm, que es la considerada normal. Además, es importante señalar que para combatir esta

enfermedad se utilizan algunas drogas como la desfe-rroxamina, esto debido a que es un quelante que forma complejos con los iones férricos y con los trivalentes de aluminio. En el Alzheimer ésta droga secuestra al Al+3

presente en el cerebro, formando un complejo llamado aluminoxamina, compuesto que se excreta con facilidad favoreciendo la eliminación del aluminio por la orina y las heces, reduciendo sus depósitos patológicos en los órganos. El Alzheimer se caracteriza por cambios severos en el estado de ánimo, pérdida de la memoria, percepciones

desorientadas en el tiempo y el espacio, cambios de per-sonalidad y una invalidez para comunicarse o concentrar-se. Generalmente, la salud de la persona se deteriora en

forma progresiva hasta que queda in-capacitada totalmente. Aún no se sa-be cuál es el detonante principal de este mal, sin embargo hay conocimien-

to de que es de carácter hereditario y que las condiciones ambientales inci-den en su aparición, una de ellas es el estar expuesto a aluminio a través de

diferentes medios, como: agua, cosmé-ticos, medicamentos, aire, condiciones laborales, y sobretodo el alimento. Al

respecto, nuestra dieta está compuesta por diversos alimentos entre los cuales se destacan los de origen vegetal como leguminosas, cereales, frutas y verdu-ras, siendo estos los más susceptibles a adquirir aluminio por su contacto di-

recto con el suelo. Es importante indi-car que en suelos ácidos, donde el pH es menor a 4,5, el aluminio es solubilizado en agua como catión trivalente (Al3+), condición que lo categoriza como un metal tóxico, que al estar disuelto puede ser absorbido por la planta y al ser consumidos se puede absorber en nuestro organis-mo.

Con respecto a la relación que hay entre el aluminio y el Alzheimer, se puede decir que es un tema de bastante con-

troversia puesto que hay diversos científicos que han manifestado que la absorción del metal provo-

caría diversas complicaciones a la salud, sin em-

bargo, no se han e n c o n t r a d o pruebas concre-tas con respecto

a ello. A c t u a l m e n t e este trabajo si-gue su curso, aunque muy lento, debido a que es difícil

obtener mues-tras cerebrales de cadáveres.

A B A Q U I M

¿El Aluminio Afecta a la Salud Humana?

M. Gricelda Iturra Lara Profesora de Química del Centro de

Docencia de CCBB Facultad de Ciencias

de la Ingeniería UACh.

Al

Aluminium

13 26.982

Cerebro Sano

Cerebro con Alzheimer

N O V I E M B R E 2 0 1 3

4

APLICACIÓN DE LA ARITMÉTICA MODULAR A LA

CRIPTOGRAFÍA La Criptografía, del griego krypto (oculto) y graphos

(escritura), consiste en la técnica y el arte de cifrar men-

sajes para hacerlos ininteligibles a personas no autorizadas

y así garantizar la confidencialidad de cierta información.

Estas técnicas han sido usadas desde la antigüedad, pero

actualmente el uso de Matemáticas e Informática la han

perfeccionado sustancialmente.

En la edición 20 de ABACOM se vio una forma de encriptar

mensajes haciendo uso de matrices, ahora se verá como la

Aritmética Modular también nos permite realizar esto.

EL MÉTODO DE JULIO CÉSAR Uno de los más antiguos métodos para encriptar mensajes,

que se atribuye a Julio César, es muy simple y consiste en

cambiar cada letra del alfabeto por la letra que se ubica un

cierto número de lugares más adelante, volviendo a partir

desde la primera después de la última.

Por ejemplo, si se cambia cada letra por la que se ubica 5

lugares más adelante, al enviar el mensaje: VAMOS EN

VIAJE, lo que se comunica es AFQTX JR ANFÑJ

(observar que la V se sustituyó por la A - 5 lugares hacia

adelante en el alfabeto - , la A por la F, etc.). Si alguien no

conoce la clave sería imposible que logre descifrar el men-

saje, pero quien lo conoce sabe que debe reemplazar cada

letra por la que se encuentra 5 lugares más atrás en el al-

fabeto, volviendo a partir desde la última después de la

primera, para tener la información que ha sido enviada.

Para hacer más operativo este método de encriptar mensa-

jes, observemos que si asignamos a cada letra del alfabeto

un número partiendo por el 0 para la A, 1 para la B y así

sucesivamente hasta el 26 para la Z, lo que se debe hacer

para cifrar un mensaje es sumar 5 a cada número, pero mó-

dulo 27, es decir se suma en y para descifrarlo basta

restar 5.

UNA VARIANTE DEL MÉTODO A pesar que con el método de Julio César es muy difícil que

alguien, sin el conocimiento necesario, pueda descifrarlo, a

fin de asegurarnos que el mensaje será absolutamente se-

creto, podemos complicarlo un poco más.

En lugar de sumar un número fijo a cada número, que re-

presentan las letras del alfabeto, podemos multiplicarlos

por un número fijo no nulo, por ejemplo el 7.

Siguiendo este método, el mensaje anterior resulta

SADXY BK SCAJB. Ahora para descifrarlo el receptor de-

be dividir por 7 (módulo 27) los números correspondientes

a las letras del mensaje codificado, para luego reemplazar

cada número por la letra correspondiente y así obtener la

información que se le envió.

Pero, … ¿se podrá elegir cualquier número para multiplicar

cada cifra y así encriptar el mensaje? La respuesta a esta

interrogante es no. Si se elije multiplicar cada cifra por 9,

por ejemplo, se producen ambigüedades, ya que al multipli-

car (módulo 27) por 9 los números desde el 0 al 26, algunos

se repiten, por ejemplo:

9x1 = 9 (mód 27); 9x4 = 9 (mód 27); 9x7 = 9 (mód 27).

Esto produciría ambigüedad al descifrar el mensaje.

Lo anterior no ocurre al multiplicar por 7, en que todos los

productos por los números desde el 0 al 26 resultan dife-

rentes.

Así el método de encriptar mensajes, multiplicando las nú-

meros asignados a las letras por un cierto número da resul-

tado al multiplicar por cualquier número desde el 1 al 26,

excepto para el 3 y el 9.

¿Qué tienen de especial estos dos números en ? Son los

únicos, aparte del 0, que no tienen inverso multiplicativo, y

esto ocurre porque ellos no son primos relativos con 27,

dado que tanto el 3 como el 9 tienen factores en común con

27 y por tanto y .

(Recordemos, según se vió en la edición anterior, que un

elemento con , es invertible si y sólo si a y n

son primos entre sí, es decir , donde mcd es el

máximo común divisor).

Todavía se puede complicar más la encriptación de un men-

saje, para hacerla aun más indescifrable, combinando am-

bos métodos:

Se eligen dos números positivos a y b, con la condición

que , y cada número N, que representan las le-

tras del alfabeto, se reemplaza por (estas opera-

ciones se hacen módulo 27). Así la persona que recibe el

mensaje, para descifrarlo, debe sustituir cada número M

por (M - a)/b.

Claudio Fuentealba Aguilera

27

27

mcd(3,27) 1 mcd(9,27) 1

na a 0

a nmcd , =1

b b3 y 9

a+ b N

5

ABACOM Boletín Matemático

Estatua de Nathaniel Bowditch en Massachusetts, USA.

Godfrey Harold Hardy

TORPEDO DE ARITMÉTICA MODULAR

Congruencia Módulo n: Si , a es congruente con b módulo n

si se tiene que , con .

Se escribe:

También se tiene que:

si y sólo si coinciden los restos de divi-

dir a y b por n ; a estos se les denomina residuos

módulo n y en módulo n los posibles residuos corres-

ponden a 0, 1, 2, … , n-1.

Propiedades de la Congruencia Módulo n: Refleja:

Simétrica:

Transitiva:

Conjunto de Enteros Módulo n:

Operaciones en :

Suma: Producto:

Tablas de Suma y Producto en :

Elementos Invertibles:

Se dice que es un elemento invertible (o uni-

dad) si existe tal que .

El elemento es el inverso de . Se anota:

Un elemento , con , es invertible si y sólo

si a y n son primos entre sí, es decir ,

donde mcd es el máximo común divisor.

Pequeño Teorema de Fermat:

Si n es primo y a es un número natural primo con n,

entonces .

De aquí se deduce que:

Si n es primo, entonces para cualquier número natural

a se verifica que .

a b n(mod )

a b k n k

a a n a(mod ),

a b n b a n a,b(mod ) (mod ),

(mod ) (mod ) (mod ),

a b n b c n a c n

a,b,c

0, 1, 2,..., n -1n

+ = +a b a b =a b a b

, n,a b n; 1

a b n(mod )

n

na

nb a b = 1

a b .-1 =ab

n-1 1 moda n

n moda a n

na a 0

a nmcd , =1

X

0

0 0

0

0

0

0 0 0

1

1

1

1 2

2

2

222 0

3

3

3 3

0

0 0

11

1 2

22 0

3

3

3

1 2 3

123

23

0 1

0

4

ANÉCDOTAS DE LA CIENCIA

¡UNA TRIVIALIDAD! …

En Matemáticas es común, que cuando se hace una afir-

mación, se agregue: “es inmediato” o “es trivial”. Esto

aparece comúnmente en textos, en artículos científicos

(papers) y también se escucha en clases y en conferen-

cias. Presentamos dos anécdotas al respecto, que confir-

man que no todo lo que parece trivial lo es:

El navegante y

matemático norte-

americano Nat-

haniel Bowditch

(1773 - 1838)

tradujo del fran-

cés al inglés la

obra Traité Méca-

nique Celeste de

Pierre Simon

Laplace (1749 -

1827, astrónomo,

físico y matemáti-

co francés), la que

publicó en 1818.

Al respecto hizo

el comentario siguiente:

“Siempre que aparecían expresiones como ‘es evidente

que...’, ‘es obvio que...’, ‘es fácil ver que…’, sabía que

me esperaban horas de arduo trabajo para llenar los va-

cíos y entender lo que era obvio”.

Se cuenta que

Godfrey Harold

Hardy (1877 - 1947),

uno de los más impor-

tantes matemáticos

ingleses de principios

del siglo XX, dando

una conferencia, en la

universidad donde

trabajaba, afirmó que

cierta relación mate-

mática era trivial; des-

pués vaciló unos ins-

tantes y se preguntó:

“¿Será trivial?”. Pidió

disculpas, salió de la

sala de conferencias y

fue a su oficina. A los 20 minutos volvió y declaró:

“¡Sí, es trivial!”

Juan Leiva Vivar

6

N O V I E M B R E 2 0 1 3

Con aportes fundamentales en diferentes áreas, no sólo de la Matemática, Poincaré es considerado como el último universa-lista, después de Gauss. Realizó aportes en diferentes áreas de Matemática (Ecuaciones Diferenciales, Topología, Probabi-lidades, Análisis), Física (Mecánica Analítica, Electromagnetis-mo, Termodinámica) y también en Astronomía. Contribuyó de manera importante a la Teoría de la Relatividad de Einstein y se anticipó a la Teoría del Caos.

Nació en la ciudad francesa de Nancy, el

29 de Abril de 1854. Su familia tenía una

posición social y política muy importante

en Francia, un primo suyo, Roymand

Poincaré sería presidente francés entre

1913 y 1920.

El pequeño Henry nació muy débil de

salud y no mostró interés por los estudios

sino hasta los 12 años. Sus primeros estu-

dios los realizó en el liceo de su ciudad

natal, que actualmente lleva el nombre de

Lycée Henri Poincaré, en su honor. A los

16 años ingresa a la famosa Ecolé

Polytecnique, allí influenciado por el

prestigioso matemático Charles Hermite

(1822 - 1901) se interesó por la matemáti-

ca. En 1879 obtuvo su doctorado en Cien-

cias en la Universidad de París, La Sorbo-

na, presentando en su tesis un nuevo mé-

todo de abordar las Ecuaciones Diferen-

ciales.

Desde 1881 y por el resto de su carrera, se

desempeñó como profesor de La Sorbona,

ocupando sucesivamente las cátedras de

Mecánica Física, Física Matemática, Teo-

ría de Probabilidad, Mecánica Celestial y

Astronomía. También en 1881 se casó

con Poulain d’Andecy y tuvo cuatro hijos.

En 1887, con sólo 32 años fue nombrado

miembro de la Academia de Ciencias

francesa, siendo elegido presidente de esa

entidad en 1906.

Su reconocimiento mayor se debe a haber

planteado en 1904 su famosa conjetura -

Conjetura de Poincaré - , que sólo fue

resuelta en 2002 por Grigory Perelman

(ver ABACOM Nº 46).

Poincaré era muy metódico para trabajar

y poseía una memoria excepcional. Su

método para resolver los problemas era el

siguiente: la resolución la hacía de memo-

ria, sólo en su cabeza, para posteriormen-

te transcribirla en papel. Sus hábitos de

trabajo han sido comparados con los de

una abeja que vuela de flor en flor, saltan-

do de un tema a otro. No dedicaba mucho

tiempo a un problema, pues creía que su

subconsciente continuaría trabajando en

él, mientras él se dedicaba a otro tema.

Falleció en París, el 17 de Julio de 1912 a

la edad de 58 años, debido a una compli-

cación a la próstata, que posteriormente le

produjo una embolia. Sus restos reposa-

ron en el panteón de su familia en el ce-

menterio de Montparnasse, en París. Re-

cientemente, el gobierno francés propuso

trasladarlo al Panteón de París, monumen-

to que alberga a las principales personali-

dades de la historia de Francia.

Un particular defecto que tenía Poincaré, quedó regis-trado oficialmente en la Poli-cía Inglesa Scotland Yard.

En una visita a Londres se hospedó en el Hotel Majestic, durante cinco días. Al tér-mino del quinto día, tomó sus maletas y se dirigió a la ofici-na de registros para cancelar su cuenta. El gerente, des-confiado de su huésped, hizo registrar su equipaje, descu-briéndose en él: seis cucha-ras, seis tenedores, tres toa-llas, una almohada y una lámpara, todo de propiedad del hotel. Poincaré fue lleva-

do por cuatro guardias a la Central de Scotland Yard, ante el jefe de policía, quien había hecho sus estudios de derecho en La Sorbona. Cuando éste leyó la identifi-cación de Poincaré, le pidió disculpas y ordenó que pren-dieran al descuidado gerente del hotel. Tiempo después, ya en Pa-rís, Poincaré recibió un carta junto a un paquete. En la carta se leía:

Querido Dr. Poincaré: Me siento avergonzada por la falta de cortesía que algunos de mis súbditos tuvieron con

su persona. Por la presente le informo que, tanto el ge-rente del hotel como los guardias de Scotland Yard, fueron sancionados severa-mente por desconfiar de su integridad. En nombre del pueblo inglés de pido mis más sentidas disculpas. Firmado: Su Majestad Impe-rial, Reina Victoria.

El paquete contenía: sesenta cucharas de oro, sesenta tenedores de plata, treinta toallas de lino, cinco almoha-das de seda y una lámpara bordada en oro.

POINCARÉ Y LA REINA VICTORIAPOINCARÉ Y LA REINA VICTORIA

El Último Universalista

7

ABACOM Boletín Matemático

Llegamos al último número de ABACOM Boletín Matemático del año, en que hemos hablado de todos los lenguajes que permiten comunicar tanto Matemáticas como Ciencia en general. Esperamos que hayan revisado el material para que cuando sean científicos consideren la comunicación de sus investigaciones y descubrimien-tos. Por nuestra parte y antes de ir a disfrutar de las an-heladas vacaciones, quere-mos comentarles otra de las instancias que permiten la difusión del conocimien-to. Nos referimos al progra-ma de radio “Cuando el Río Suena es porque Ciencia Trae”, transmitido los miér-coles a las 18:30 hrs. por el 90.1 FM de Radio Universi-dad Austral. Conversamos con la Periodista y conductora del programa, Verónica Ruiz, quien expresó que el programa “apunta a ser un puente entre científicos, académicos, ingenieros y estudiantes de la Región de Los Ríos y así mostrar la Ciencia y Tecnología como temas cercanos. Por ello la sección principal es la entrevista, donde participa un científico o ingeniero, un profesor de colegio o liceo y dos estudiantes, los cuáles entran en constante dialogo. Por otra parte, hay una sección de noticias, que permite informar sobre el Proyecto EXPLORA CO-NICYT Región de Los Ríos” puntualizó. De igual forma, Verónica declaró a ABACOM que es fundamental que la comunidad se informe de lo que hacen los investigadores, ya que estos tienen su lenguaje, propio de cada disciplina, por ello tan-to el especialista como el comunicador social tenemos la responsa-bilidad de acercar el conocimiento especializado. He aquí la relevan-cia de comprender las temáticas que permiten conocer el mundo. Cabe invitar a todos los estudiantes y no estudiantes de la Región a escuchar el programa, a contactarse con los organizadores y partici-par activamente de él o a poner un like en el fun page www.explora.cl/rios Entonces, todos avisados, miércoles 18:30 hrs. en la 90.1 FM. En Los Ríos la ciencia se vive, depende de nosotros acercarnos activa o pasi-vamente. Aprender Matemáticas o cualquier Ciencia nos da una perspectiva distinta de lo que nos rodea, puede ser radio, internet, televisión o escritura, siempre alguien quiere comunicar. Que ten-gan un buen fin de año y nos rencontramos pronto en Comunicando Matemáticas.

EL PROBLEMA DE LOS 3 CUERPOS

En 1885, como parte de los festejos de su sexagésimo cumpleaños a celebrarse en 1889, el rey Óscar II de Sue-cia y Noruega, convocó a una competencia matemática que consistía en la resolución de ciertos problemas. Poin-caré participó resolviendo uno de ellos, el Problema de los 3 Cuerpos, propuesto por Karl Weierstrass, que está relacionado con determinar la estabilidad del Sistema Solar. En Mayo de 1888, Poincaré presenta su respuesta, siendo ésta tan notable que el jurado lo declara ganador. Su trabajo sería publicado en la prestigiosa revista Acta Mathematica, pero días antes de su publicación, estando ya impreso, el editor detectó algunas imprecisiones en el trabajo. Habiéndole comunicado a Poincaré, éste recono-ció que era un error grave. Lo corrigió, dando origen a nuevos descubrimientos, que actualmente son considera-dos los comienzos de la Teoría del Caos. Claro que el di-nero ganado con el premio no alcanzó para solventar los gastos que debió abonar por la retirada de la edición con la versión errónea.

CONQUISTADOR, NO COLONIZADOR

Poincaré se caracterizaba en no dedicar mucho tiempo al estudio o elaboración de una nueva teoría. Casi nunca concluía sus pensamientos, según sus amigos era un con-quistador, pero no un colonizador de las ideas. Incluso las materias que enseñaba en La Sorbona eran diferentes cada semestre. Sus estudiantes, al morir escribieron:

El señor nuestro Dios puede estar seguro que su hijo conquistará el cielo, mas tenemos certeza que no lo colonizará, pues ese es su carácter. Sus alumnos

Poincaré se interesó por estudiar sus hábitos y la forma en que trabajaba su mente. En 1908 dio una charla al respecto en el Instituto de Psicología General de París. Su organización mental también interesó al connotado psicólogo Édouard Toulouse, del Laboratorio de Psicolo-gía de la Escuela de Altos Estudios de París. Éste escribió un libro en 1910 acerca de la personalidad y carácter de Poincaré. Allí destaca que, a diferencia de la mayoría de los matemáticos que parten de principios preestableci-dos, él comenzaba sus desarrollos partiendo de sólo unos pocos principios básicos.

Julio Morales Muñoz

“ Cuando el Río Suena es porque Ciencia

Trae ”. La radio un aliado al comunicar

COMUNICANDOCOMUNICANDO

MATEMÁTICASMATEMÁTICAS

Placa en la casa en que vivió Poincaré, en París, desde 1887 hasta su muerte en 1912.

N O V I E M B R E 2 0 1 3

8

CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS

DE EXPRESIONES ALGEBRÁICASDE EXPRESIONES ALGEBRÁICAS

Si d eseas co ns t ru i r u n s eg me nto q ue t e nga u na

c i e r t a med id a , p o r e j emp lo 2 0 cm. b as t a usa r

una r e g la y e s t á l i s to .

P ero s i t e d an d o s seg mento s d ib u j ad o s en u na

ho j a , d e med id as a y b , y t e p id en q ue d ib u j e s

o t ro s seg me nto s q ue mi d an: ,

¿has p en sad o có mo hace r lo ?

P ara l a su ma y l a r e s t a e s mu y fác i l :

p a ra l a su ma b a s t a d ib u j a r un se g me nto a co n t i -

nuac ió n d e l o t ro ; p a r a la res ta , s e d ib u j a e l seg-

men to d e ma yo r lo n gi t u d y se l e “ r e s t a” , e l d e

meno r lo n gi t ud , d ib u j ánd o lo enc i ma .

P ara co ns t ru i r e l pro du cto y cuo c iente d e d o s

seg me nto s se usa e l Te o re ma de Ta le s (ve r

AB ACOM Nº 2 3 ) :

La construcción de raíces cuadradas de segmentos se efectúa

haciendo uso del Teorema de Euclides (ver ABACOM Nº 1):

Tips

MATEMÁTICOS

Juan Leiva Vivar

, , y /a b a b a b a b

/ /PR QS

1/ /b a x

a b a b

a b

a b

En ambas figuras, se

tiene que: ,

así de acuerdo a Teo-

rema de Tales:

En la primera, se

tiene que:

así:

En la segunda:

de donde:

x a b

a

b

1

x a b

P Q

R

S

b a

1

P Q

R

S /x a b

x a / b

/ 1/b a x

Para construir un segmento de

que mida , se dibuja un seg-

mento de medida 1 + a, y con él

como diámetro, se construye una

circunferencia. En el punto que

divide el diámetro en 1 y a, se

levanta una perpendicular. Según

Teorema de Euclides:

y así: .

a

x a

2 1x a

1 a

x a

a + b

RESOLUCIÓN PROBLEMAS EDICIÓN Nº 47

ncursoConcursoConcursoConcursoConcursoCon

Problema 1: La Suma Incógnita Al efectuar la división 1:13, resulta 0,076923076923… que es un

número decimal periódico de período: 076923.

Como el período tiene 6 dígitos, en las 100 primeras cifras deci-

males este período se repite 16 veces y sobran 4 dígitos.

Así la suma de las 100 primeras cifras decimales es:

16(0 + 7 + 6 + 9 + 2 + 3) + 0 + 7 + 6 + 9 = 454.

Entonces la suma es: 454.

Problema 2: Los Saludos Sea n el número de personas que asistieron a la reunión.

El número de saludos corresponde a la cantidad de parejas que se

pueden formar con las n personas.

Esta cantidad es el número de combinaciones de 2 elementos de

un total de n, es decir:

Como este número se sabe que es 66, tenemos:

Él valor de n debe ser entero positivo, por tanto: n = 12.

Así: fueron 12 las personas que participaron de esta reunión.

SOLUCIÓN EDICIÓN Nº 47

!

2 ( 2)!2!

n n

n

( 12)( 11) 0 12 11 n n n n

!66 ( 1) 132

( 2)!2!

nn n

n

9

ABACOM Boletín Matemático

FF II SS II CC OO MM

Ya varias veces nos hemos planteado la

pregunta si el cambio climático que experi-

menta nuestro planeta es de origen antro-

pogénico o bien de causas naturales, pues

bien, el Grupo 1 de expertos del Panel Inter-

gubernamental para el Cambio Climático

(Intergovernmental Panel on Climate Chan-

ge, IPCC) ha respondido esta pregunta en el

5° reporte (conocido como AR5) entregado

el 27 de Septiembre en Estocolmo, Suecia,

concluyendo que es evidente que el cambio

climático es causado por la actividad huma-

na.

Desde 1950 se viene experimentado mu-

chos cambios en el sistema climático siendo

cada década más caliente que la anterior.

Una serie de investigaciones independientes

dan pie para

concluir lo que

muchos no

quieren aceptar:

las concentra-

ciones de gases

de efecto inver-

nadero aumen-

tan, las capas de

hilo son cada

vez más delga-

das y la tempe-

ratura en la su-

perficie de la tierra y los océanos suben,

elevándose el nivel del mar.

Los modelos matemáticos, y la gran canti-

dad de datos con la que se cuenta en la

actualidad, han hecho que mejoren de gran

manera los pronósticos, sin embargo no son

muy alentadores. Se espera que en las pró-

ximas décadas la temperatura haya aumen-

tado en 1,5 grados, una estimación baja, por

otro lado hay quienes hablan de 2 grados.

Al aumentar la temperatura se espera que

se modifique el ciclo hídrico produciendo

inundaciones y sequías considerables. A

medida que se caliente más el océano y se

reduzcan las superficies de hielo, aumentará

el nivel del mar, pero a un ritmo cada vez

mayor.

La Influencia Humana en el Cambio Climático es Evidente

Oscar Pilichi Cerón Profesor de Física del Centro de Docencia de

CCBB Facultad de Ciencias de la Ingeniería UACh.

PARA TENER EN CUENTA

95% es el grado de certeza

sobre la responsabilidad humana

en el cambio climático (90% era

el del informe AR4 de 2007).

0,85ºC es lo que aumentó la

temperatura entre 1880 y 2012.

19 cm subió el nivel del mar

entre 1901 y 2010.

Entre 1,5ºC y 4,5°C es lo

que podría subir la temperatura

para el año 2100 (entre 2ºC y

4,5º C era la estimación de

2007).

Entre 26 cm y 82 cm es el

margen de lo que puede subir el

nivel del mar en este siglo (entre

18 cm y 59 cm era la estimación

de 2007).

Referencias:

http://www.ipcc.ch/

http://www.climatechange2013.org/

ALUMNOS PARTICIPANTES

A los desafíos planteados este año enviaron soluciones l@s si-guientes alumn@s: Instituto Alemán de Valdivia:

Pablo Baeza, Óscar Bendjerodt, Vicente Birke, Alberto Dünner, Pedro Godoy, Matías Hald, Juan Irigoin, Sebastián Leal, Paula Machmar, Rodrigo Martínez, Enzo Meneses, Tomás Meyer, Mi-chelle Münzenmayer, Damián Muñoz, Adrián Riebel, Angelo Romano, Camila Romano, Benjamín Salinas, Eduardo Schild, Isidora Villagrán, Nicolás Villarroel.

Colegio Nuestra Señora del Carmen de Valdivia: Valentina Elmohorez, Constanza González.

Escuela Olegario Morales Oliva de Paillaco: Isabel Poblete, Ignacia Vásquez.

Liceo Rodulfo Amando Philippi de Paillaco: Gladys Molina.

Colegio Santa Cruz de Río Bueno: Francisco Méndez.

Liceo San Felipe Benicio de Coyahique:

Dancko Fernández, Sebastián Gatica, Jorge González, Mariela González, Ignacia Gutiérrez, Andrea Hernández, Felipe Millacu-ra, Catalina Ojeda, Diego Ojeda, Silvana Suazo, Danilo Ulloa.

N O V I E M B R E 2 0 1 3

10

EL TRIÁNGULO DE REULEAUX

Un triángulo de Reuleaux es una figura formada por 3 arcos de

circunferencia, que se forma a partir de un triángulo equilátero del

modo siguiente: haciendo centro en uno de los vértices del triángu-

lo se traza un arco de circunferencia, de radio igual al lado del

triángulo, que una entre sí a los dos vértices restantes; se repite

esta operación para cada vértice, obteniéndose la figura siguiente:

Esta figura tiene la particularidad que

su anchura es constante, esto es la dis-

tancia desde cualquier punto de los

arcos que la forman tiene igual distan-

cia a cada vértice. Esto tiene como

consecuencia que si se coloca dentro

de un cuadrado, siempre hay cuatro

puntos de tangencia con el cuadrado,

uno en cada lado.

El área del triángulo de Reuleaux es

y el perímetro es (donde a es la longitud del lado del triángu-

lo equilátero del que se formó la figura).

Este triángulo (o mejor dicho “triarco”) fue ideado por el ingeniero

mecánico alemán Franz Reuleaux (1829 – 1905).

El ingeniero británico Harry James Watt patentó, en 1914 una bro-

ca (llamada de Harry Watt) con forma de triángulo de Reuleaux.

Esta broca va montada en un dispositivo especial que hace que

gire un tanto excéntricamente y así puede taladrar un agujero con

una forma casi exactamente cuadrada, quedando sin vaciar sólo el

1,33% del cuadrado.

Se pueden ver animaciones en:

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/22/

Rotation_of_Reuleaux_triangle.gif

http://mibrujula.com/triangulo-de-reuleaux-agujero-cuadrado-

taladro/

ADVERTENCIAS AL CONSUMIDOR

Un profesor

de Física se

encontraba

sin trabajo y

consiguió un

puesto en un

Supermerca-

do, siendo el

encargado de

rotular los

productos de

fabricación

propia del

establecimiento.

La deformación profesional lo llevó a que en algunos

envases imprimiese lo siguiente:

ADVERTENCIA: Este producto atrae a cada trozo

de materia del universo, incluyendo los productos de

otros fabricantes, con una fuerza proporcional al pro-

ducto de sus masas e inversamente proporcional al

cuadrado de la distancia entre ellas.

AVISO AL CONSUMIDOR: A causa del Principio

de Incertidumbre, es imposible que el consumidor

sepa al mismo tiempo, de forma precisa, donde se

encuentra este producto y con que velocidad se mue-

ve.

LEA ESTO ANTES DE ABRIR EL ENVOLTO-

RIO: Según ciertas versiones de la Gran Teoría Uni-

ficada, las partículas primarias constituyentes de este

producto pueden desintegrase y desaparecer en los

próximos cuatrocientos millones de años.

ESTE PRODUCTO ES 100% MATERIA: En la

improbable situación de que esta mercancía entre en

contacto con antimateria, en cualquiera de sus formas,

ocurrirá una explosión catastrófica.

ATENCIÓN: A pesar de cualquier otra información

sobre composición que este producto contenga, se

advierte al consumidor que, en realidad, este producto

consta de un 99,9999999999% de espacio vacío.

ADVERTENCIA: Algunas teorías mecanocuánticas

sugieren que cuando el consumidor no observa este

producto directamente, puede dejar de existir o existe

solamente en un estado vago e indeterminado.

ADVERTENCIA SANITARIA : Téngase cuidado al

coger este producto, ya que su masa, y por tanto su

peso, dependen de su velocidad relativa al usuario.

ADVERTENCIA A LOS COMPRADORES : Todo

el universo físico, incluyendo este producto, puede un

día volver a colapsarse en un espacio infinitamente

pequeño. Si otro universo resurge posteriormente, la

existencia de este producto en dicho universo no la

garantiza el fabricante.

H U M O RH U M O RH U M O R

¿Tu creación? Ah, … el Álgebra … ¡Una de mis

más maravillosas creaciones!

2 2( 3) / 2 0,70477a a a

11

ABACOM Boletín Matemático

Sonriendo

Con - Ciencia

SISTEMAS DE NUMERACIÓN

El hecho que tengamos diez dedos en las manos y diez dedos en los pies, ha deter-

minado la adopción del sistema decimal (base 10) de numeración, aunque en dis-

tintas épocas se ha propuesto usar, y actualmente se usan, otros sistemas.

El sistema sexagesimal (base 60), fue creado por los babilonios hacia el año 200

a.C. y todavía es usado en la medición del tiempo y de ángulos (minutos, segun-

dos).

Las civilizaciones mayas y aztecas usaron sistemas de numeración en base 20.

En el siglo XVII el naturalista francés Georges Buffon propuso un sistema de

base 12 y el matemático, también francés, Joseph Lagrange propuso un sistema de

base 11, en el siglo XVIII.

También en el siglo XVIII,

Gottfried Leibniz, matemático ale-

mán, uno de los creadores del

Cálculo Infinitesimal, inventó un

sistema binario (base 2) que es usa-

do hasta ahora en las computadoras.

Leibniz vio en este sistema la ima-

gen de la creación, se imaginó que

la unidad (1) representaba a Dios y

el cero (0) la nada, e inventó un

sistema filosófico basado en esas

premisas.

¿A qué distancia se

encuentra el horizonte?

Seguro que te has preguntado ¿a qué dis-tancia se encuentra el horizonte? Si un bar-co se aleja de nosotros, llega un momento en que desaparece de nuestra vista, ¿se puede medir la distancia desde donde esta-mos a ese punto en que desapareció? Claro que sí y es muy fácil, basta usar el Teorema de Pitágoras. En la figura, h representa la altura de la persona (mas bien la altura a la que están ubicados sus ojos), R es el radio de la Tierra, H es el último punto del horizonte que se puede observar y d la distancia desde nuestra vista al horizonte. El triángulo que se forma es rectángulo, su hipotenusa

mide R + h, los catetos d y R, por tanto según Teorema de

Pitágoras tenemos:

de donde:

El radio de la Tierra mide aproximadamente 6.378 Km, por

tanto la distancia al horizonte es de:

(h debe ser medida también en Km).

Así por ejemplo, para un observador de 1,70 m (es decir sus ojos están a esa altu-

ra), el horizonte se hallará a .

Ahora si nos ubicamos a una mayor altura, el horizonte se verá mucho más lejos,

por ejemplo en el punto más elevado de nuestro planeta, desde la cumbre del

monte Everest, cuya altura es 8,848 Km, se puede observar hasta 336,07 Km.

El profesor de Matemáticas explicaba

la operatoria con términos semejantes:

- Por ejemplo es imposible sustraer 3

manzanas de 5 plátanos, ¿no es cierto?

Un alumno, que seguía muy atento la

explicación, interviene:

- Pero … ¡sí se pueden sustraer 3 man-

zanas de cinco árboles! …

La hija pregunta al padre que acaba de

cumplir 90 años, y siempre había ex-

presado su temor a morir:

- Ahora que cumpliste 90 años, ¿sigues

temiendo a la muerte?

A lo que es padre responde:

- No, porque estadísticamente, es mu-

cha más la gente que muere antes de

los 90 años que después de 90 años ...

Si un matemático escribe un libro de

ficción, de seguro la numeración de las

páginas la hará con números imagina-

rios.

Al joven William Shakespeare, estando

en clases de Álgebra, el profesor le

pregunta:

- ¿Cuál es el término que falta para que

la igualdad siguiente se cumpla?:

Él, cerró los ojos y pensó en voz alta:

“ 2b or not 2b?, … that is the ques-

tion! …”

El niño estaba estudiando matemáticas

y se quejaba a su padre lo complicado

que encontraba la materia.

Su padre para tranquilizarlo le dice:

- No te preocupes hijo mío, en el mun-

do existen dos clases de personas: las

que son buenas para las matemáticas,

las buenas para el lenguaje y las que no

son buenas para ninguno de los dos ...

( )2 2 2d + R = R + h

( ) 22 2 2d = R + h R = Rh+ h

2d = h+ h12.756 Km

212.756 0,0017+ 0,0017 4,66 Km

R H

d h

R

2 2( 1) .... 1b b

12

N O V I E M B R E 2 0 1 3

iciasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNo

Julio Morales Muñoz, Periodista y Comunicador Social

En el Sur la Ciencia se Premia: Claudio Bunster Gana Premio TWAS-Lenovo

Claudio Bunster, físico chileno y Director del Centro de Estudios Científicos del Sur (CECs) fue reconocido a nivel mundial por sus contribuciones a la com-prensión de la gravedad y de la Física de las Partícu-las de la materia.

El trabajo del destacado físico ha estado en diversas áreas de la Física Teórica, las que logra unir de forma creativa. El premio que otorga La Academia Mun-dial de Ciencias (The World Academy of Sciences, TWAS) fue entregado en Argentina y su distinción incluyó un premio de USD 100.000 proporcionado por la firma china de tecnología, Lenovo. “Ir a Buenos Aires para reci-bir el galardón de La Acade-mia Mundial de Ciencias y Lenovo es como ser premia-do en la casa de uno por parte del mundo” expresó Bunster a los medios loca-les. Cabe señalar que el físico,

según TWAS, ha mejorado la comprensión de los mecanismos fundamentales de la naturaleza. “Él es un científico de primer nivel, y es un poderoso símbolo de la excelente ciencia que están haciendo los investigadores del Sur” dijo Bai Chunli de TWAS.

El objetivo del concurso organizado por la Facultad de Ciencias de la Ingeniería de la UACh. es reconocer los aportes que han realizado la Ingeniería y la Arquitec-tura en el país. Las fotos podrán ser de espacios, personas, lugares, objetos, ac-tos y situaciones del barrio, comunidad o ciudad que logren plasmar aquellos apor-tes.

Según los organizadores “los participan-tes deben ser apoyados por un profesor(a), sus fotografías deberán ser inéditas y enviadas al correo captalaingenie-

ria@gmail.com hasta el 15 de Noviem-bre del presente año”, comentaron en la publicación oficial del concurso. Recuer-

den que la invitación queda extendida y las bases se pueden encontrar en inge-niería.uach.cl

En un click “Capta la Ingeniería” Dirigido a todos los estudiantes de Enseñanza Media del país, el concurso fotográfico escolar “Capta la In-geniería” regala cámaras fotográficas, tablets, mini tablets y smartphones. Todo en un click.

Ciencia + Tecnología = Semana de En-cuentro entre Estudiantes y Científicos Actividades masivas se realizaron en la Semana Nacional de la Ciencia y la Tecnología entre el 7 y el 13 de Octubre. Entre ellas la charla sobre asen-tamientos humanos de América fue la que des-pertó mayor interés entre estudiantes y científi-cos que asistieron al lanzamiento del evento.

Monte Verde y Pilauco son sitios arqueológicos de gran im-portancia para el conocimiento internacional, ya que ambos presentan antecedentes respecto a poblamiento americano. El Dr. Mario Pino, geólogo, transmitió la experiencia en di-chos sitios de excavación a un público que copó por comple-to el Aula Magna de la Universidad Austral. El hallazgo encontrado por el Dr. Pino y colaboradores cam-bió el paradigma propuesto a finales de los años treinta del siglo pasado, que postulaba que los primeros americanos eran los Clovis, cultura asentada en México entre los 11.050 a 10.800 años a.C. “Hoy sabemos que los sitios del sur de Chile son al menos 1.000 años más antiguos que los asenta-mientos Clovis” expresó el investigador. Para concluir la charla de lanzamiento el Dr. Pino incentivó a los estudiantes diciendo “me encantaría verles en unos años más deambular en la UACh. Piensen seriamente cuando es-tén evaluando estudiar algo, que hay cosas que uno estudia y que les pueden hacer muy felices. No piensen sólo en lo tradicional, se puede ser feliz siendo antropólogo, geógrafo, geólogo, historiador o sociólogo”, indicó.