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Seis grados de separación es una teoría que intenta probar el dicho "el mundo es un pañuelo". O sea, que cualquier persona en la Tierra puede estar conectada a cualquier otra per-sona a través de una cadena de co-nocidos que no tiene más de cinco intermediarios (conectando a ambas personas con sólo seis enlaces). La teoría fue inicialmente propuesta en 1929 por el escritor húngaro Frig-yes Karinthy en una corta historia llamada Chains. El concepto está basado en la idea de que el número de conocidos crece exponencialmen-te con el número de enlaces en la cadena, y sólo un pequeño número de enlaces son necesarios para que el conjunto de conocidos se convier-ta en la población humana entera. El film Six degrees of separation (1993) dirigido por Fred Schepi-sique y el libro Six Degrees: The Science of a Connected Age (2003) del sociólogo Duncan Watts, tratan de este tema. Según esta Teoría, cada persona co-noce en media, entre amigos, fami-liares y compañeros de trabajo o escuela, a unas 100 personas. Si ca-da uno de esos amigos o conocidos cercanos se relaciona con otras 100 personas, cualquier individuo puede

pasar un recado a 10.000 personas más tan solo pidiendo a un amigo que pase el mensaje a sus amigos. Si esos 10.000 conocen a otros 100, la red ya se ampliaría a 1.000.000 de personas conectadas en un tercer nivel, a 100.000.000 en un cuarto nivel, a 10.000.000.000 en un quinto nivel y a 1.000.000.000.000 en un sexto nivel. En seis pasos, y con las tecnologías disponibles, se podría enviar un mensaje a cualquier indi-viduo del planeta, considerando que la población actual (Enero 2009) está considerada en 6.790.000.000 personas. Obsérvese que el número que se obtuvo en el sexto nivel de contactos es muy superior al total de habitantes, pero debe considerarse que en cada nivel el número real de contactos es inferior al indicado, debido a que en las redes sociales existen muchos amigos en común y así se repiten muchos de los contactos Una demostración de esta teoría la trataron de probar Ithiel de Sola Po-ol (MIT) y Manfred Kochen (IBM) en la década del 50, y el psicólogo estadounidense Stanley Milgram, en 1967. Finalmente en agosto de 2008 finalizó un estudio realizado por Eric Horvitz y Jure Leskovec de Mi-crosoft, quienes lograron demostrar, usando el Messenger, que cualquier par de usuarios estaba interconecta-do por una media de 6,6 eslabones, aunque en algunos casos eran nece-sarios hasta 29 para relacionar a dos personas. Así, queda demostrado que la cade-na entre un campesino en Camboya y un multimillonario estadouniden-se, por ejemplo, es más corta de lo que parece.

JULIO 2009JULIO 2009JULIO 2009JULIO 2009

AÑO 8 N°31AÑO 8 N°31AÑO 8 N°31AÑO 8 N°31 Editorial

SEIS GRADOS DE SEPARACIÓN

En esta edición

Visítanos en: www.uach.cl/abacom Contáctanos en: abacom@uach.cl

pág El Número de Oro….…….…………....2 Reflexiones ......................................... .3

Trigonometría • Funciones Trigonométricas para

Ángulos Cualesquiera. ................. .4

Computación Gráfica. .......................... .5

Blaise Pascal • El Científico y el Místico. ............ .6

• La Herencia de Pascal. ................. .6

• La Pascalina. ................................ .7

• El Triángulo de Pascal. ................ .7

Estadística • Distribución de Frecuencias: La

Organización de los Datos. .......... .8

Concurso • Desafío a tu Ingenio ..................... .9

• Sopa Matemática .......................... .9

Juegos Matemáticos ............................. 10

Anécdotas Matemáticas ....................... 10

Matemática Entrete • ¿Saben Matemáticas las Abe-

jas? ............................................. 11

• Paradojas ...................................... 11

• La Fiesta de los Irracionales ....... 11

• Humor. ......................................... 11

Noticias • Revista Científica “El Quipu del

Faro” ............................................ 12

• Prueba Selección I.M.O. 2009 ..... 12

• 2a Versión del Concurso “Saber

Austral” ........................................ 12

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Juan Luis Aguayo Lazcano

Es hora de reconocer en nuestro uso diario de los números a uno muy especial, que aparece repetidamente en las con-versaciones de matemáticas. Es el número de oro (o áureo)

Φ (FI), también conocido como la proporción áurea. Es uno de los conceptos matemáticos que aparecen una y otra vez ligados a la naturaleza y el arte, compitiendo con π (PI)

en popularidad y aplicaciones. Φ está ligado al denomina-do rectángulo de oro y a la sucesión de Fibonacci. Su valor numérico e interpretación geométrica fue mencio-nado en ABACOM N° 3. Algo de historia Aunque no fue hasta el siglo XX cuando el número áureo

recibió su símbolo (Φ), su descubrimiento data de la época de la Grecia clásica (S. V a.C.), donde era perfectamente conocido y utilizado en los diseños arquitectónicos y es-cultóricos. Fue seguramente el estudio de las proporciones y de la medida geométrica de un segmento lo que llevó a los griegos a su descubrimiento.

Φ en el Arte y en las Construcciones El número de oro ha sido utilizado desde la época de los egipcios para la construcción de edificios, si bien, son los griegos los que lo explotaron al máximo usándolo en todas las facetas del arte. A continuación se detallan algunos ejemplos de este uso.

Pirámide de Keops El primer uso conocido del número áureo en la construcción aparece en la Pirámide de Keops, que data del 2600 a.C. Esta pirámide tiene cada una de sus caras forma-das por dos medios triángulos áureos: la más

aparente, aunque no la única, relación armónica identifica-ble en el análisis de las proporciones de este monumento funerario en apariencia simple.

El Partenón Un ejemplo de rectángulo áureo en el arte es el alzado del Partenón griego. En la figura se puede com-probar que

AB/CD = Φ. Hay más cuocientes entre sus medidas que dan el número áureo, por ejemplo:

AC/AD = Φ y CD/CA = Φ.

El Templo de Ceres

El Templo de Ceres en Paestum (460 a.C.) tiene su fachada construida siguiendo un sistema de triángulos áureos, al igual que los mayores templos griegos, relacionados, sobre todo, con el orden dórico.

Apolo de Belvedere Los lados del rectángulo en el cual está idealmente inscrita la estatua del Apolo de Belvedere están relaciona-dos según la sección áurea, es decir, con una proporción de 1:1,618.

Leda Atómica El cuadro de Dalí, Leda Atómica, pintado en 1949, sintetiza siglos de tradición matemática y simbólica, especialmente pitagórica. Se trata de una filigrana basada en la proporción áurea, pero elaborada de tal forma que no es evi-dente para el especta-dor. En el boceto de 1947 se advierte la meticulosidad del análisis geométrico realizado por Dalí basado en el penta-grama místico pi-tagórico.

Φ: EL NÚMERO DE ORO

1 51,6180339887

2

+Φ = ≈

Publicación destinada a Estudiantes y Profesores de Enseñanza Media.

Proyecto auspiciado por el Instituto de Matemáticas de la Universidad Austral de

Chile.

Director: Juan Leiva V. Director Alterno: Víctor Alvarado A. Redacción Periodística : Carolina Leiva C. Diagramación: Katherine Inalef P.

Instituto de Matemáticas. Facultad de Ciencias. UACh.

Casilla 567 Valdivia. E.mail: abacom@uach.cl

Fono (63)221828 Fax (63)293730

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REFLEXIONES

Puede que a primera vista no en-cuentres relación entre el apren-dizaje de la matemática y algu-nos cuentos para niños. Sin em-bargo hay al menos un matemá-tico que escribía cuentos para niños, se llamaba Lewis Carroll y es autor de “Alicia en el País de las Maravillas”. Lamentablemente cuando con-sulto a mis estudiantes del pri-mer semestre de la universidad, para emplear dicho libro como motivación para el estudio de los límites de funciones, son muy pocos los que han leído o escu-chado hablar del mencionado cuento. Al parecer los Programas de la Enseñanza Media o Básica ya no consultan cuentos, seguramente hay otros temas de mayor nivel que estimulen la imaginación de los estudiantes. Aunque también pudiera ser que simplemente los estudiantes tengan mas interés en el Chat que en leer cuentos. Aquí se abre una interesante línea de investigación. El cuento de Alicia, relata como una niñita corre detrás de un co-

nejito y lo sigue cuando entra en su madriguera debajo de un arbolito, al final del túnel hay una pequeña puerta, en ella un agujero para la llave y un fras-quito que dice “bébeme”. La niñi-ta bebe del frasquito y para su sorpresa se va achicando hasta que puede pasar por el ojo de la cerradura. Al cruzar al otro lado se encuen-tra con un mundo mágico forma-do por flores que se sonríen y cantan, por gatos “risones” que sólo muestran la sonrisa pero no la cara, por cartas de naipes que hablan y muchas otras cosas sorprendentes. Nuestro amigo Carroll quiso mostrar así, en el proceso de acercamiento de Alicia a la puer-ta, el proceso de paso al límite cuando una variable x (Alicia) “tiende a” un número fijo (la puerta). Quiso mostrar además, que, como consecuencia de este proceso el estudiante (Alicia) pa-sa a un nuevo mundo, un mundo de las maravillas, o sea el mun-do de la matemática. Ante los sorprendidos ojos de Alicia aparece un nuevo mundo, una nueva realidad, donde las cosas ya no son como ella las suponía. Carroll quiere mostrar así que la educación nos lleva a comprender el mundo en que vivimos bajo nuevas perspecti-vas, nos ayuda a enriquecer nuestro mundo interior llenándo-lo de nuevos significados. Muestra como la matemática, en particular, estimula nuestra imaginación y nuestra intuición, desarrollando nuestra capacidad para crear y comprender nuevas realidades. De este modo resulta que este “cuento para niños” es un ver-dadero transformador, nos transforma en nuevos estudian-tes, en estudiantes más cons-cientes y alertas frente a nues-

tras materias de estudio. ¿Quizás ahora puedes compren-der el cuento del “Soldadito de Plomo”?. Sí, efectivamente, un soldadito que nunca se separa de su fusil y lo limpia con esme-ro. ¿Te hace pensar, este cuento del soldadito, en un estudiante que nunca se separa de sus libros y los estudia con esmero? El fusil es al soldado como los libros son al estudiante, claro está que la diferencia es que el fusil está siempre reluciente por el uso, en cambio el libro estará mas bien ajado y sucio por el uso. Así, un libro muy nuevecito, con muy escasa manipulación, reve-la muy poco uso, es el libro del estudiante que estudia sola-mente para las pruebas, pero que no necesariamente estudia para aprender. Ese estudiante tal vez entre al jardín de Alicia, pero quizás no vea las flores ni sus sonrisas y del gato subido al árbol, no tenga ni sospechas.

Luis Castro Haase

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EL APRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA Y ALGUNOS CUENTOS PARA NIÑOS

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En ABACOM N° 30, vimos funciones trigonomé-tricas para ángulos agudos. En este número se definirán las funciones trigonométricas para ángulos cualesquiera.

ÁNGULOS EN UN SISTEMA DE COORDENA-DAS Si un rayo ejecuta una rotación en un plano, alre-dedor de su punto inicial, las posiciones inicial y final del rayo determinan un ángulo. Los lados del ángulo se denominan lado inicial y lado final del ángulo, respectivamente. La medida de un ángulo será positiva si la rotación es en sentido contra-rio a las agujas de un reloj, y negativa si la rota-ción es en el mismo sentido de las agujas del re-loj. La medida de un ángulo puede ser cualquier número real de radianes, o equivalentemente de grados. Consideremos un sistema rectangular de coorde-nadas XOY. Un ángulo está en posición normal, si su vértice es el origen del sistema y el lado inicial del ángulo coincide con el semieje positivo X. Un ángulo cuadrantal es un ángulo en posición normal y su lado final es alguno de los cuatro se-miejes coordenados. Un ángulo es del primer (segundo, tercer o cuarto) cuadrante si está en posición normal y su lado final está en el primer (segundo, tercer o cuarto) cuadrante, respecti-vamente. Ángulos coterminales, son ángulos en posición normal con el mismo lado final.

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Sean un ángulo en po-sición normal en un sistema rectangular de coordenadas y P(x,y) el punto de in-tersección del lado final del ángulo con la circunferencia de ra-dio 1 y centro el ori-gen del sistema.

Si θ es la medida del

ángulo en radianes, entonces: La función seno es

La función coseno es

Las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante, son respectivamente:

Las funciones tangente y secante están definidas

para y las funciones cotangente y cose-

cante están definidas para

Algunos valores de seno, coseno y tangente de algunos ángulos se muestran en la tabla siguiente. Todos estos valores se obtienen usando las defi-niciones dadas.

Propiedades: 1) Si dos ángulos son coterminales, sus funciones

trigonométricas tienen el mismo valor. 2) Las funciones tangente y cotangente tienen

periodo π, y las otras cuatro funciones trigo-

nométricas tienen periodo 2π.

3) Las identidades trigonométricas vistas en ABACOM N° 30 son todas válidas para las funciones trigonométricas de ángulos cuales-quiera, siempre que las funciones estén defi-nidas.

4) Las funciones coseno y secante son funciones pares y las otras cuatro funciones son impa-res.

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS CUALESQUIERA

, y x

tanθ = , cotθ =x y

1 1secθ = , cscθ =

x y

Víctor Alvarado Alvarado

: , → θ =cos cosR R x

: ,→ θ =sen senR R y

≠ πθ + π

2n

≠θ nπ ∈ ⋅, Z�n

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ABACOM Boletín Matemático

5) Para todo ángulo θ, se cumple:

En cambio, las funciones tangente y cotangen-te pueden tomar cualquier valor real.

6) Los signos de las funciones trigo-nométricas en los distintos cuadran-tes están dados por la tabla :

Gráficos: Los gráficos de las funciones seno, coseno y tan-

gente son:

Ejemplos: 1) Calcular cos 210°.

Solución: Graficamos un ángulo de 210° en posición normal. El punto de inter-sección del lado final del ángulo con la circunferencia de radio 1 centrada en el origen es Así: cos 210°=

2) Calcular

Solución:

(Pues el período de seno es 2π = 360°).

(Pues el período de cotangente es π).

3) Resolver la ecuación trigonométrica , para θ entre 0° y 360°.

Solución: Usando identidades trigonométricas y álgebra tenemos: Sólo sirve el valor 1/2, pues |cos θ| ≤ 1 . Así, θ = 60° ó θ = 300° (Ya que coseno es positivo en el primer y cuarto cuadrante).

Luis Véliz Matus

¿DÓNDE ESTÁ?

La computación gráfica se considera como una rama de las ciencias de la com-putación y su desarrollo tiene como objetivo crear herramientas y técnicas para obtener imágenes a partir de ideas entregadas en forma de ecuaciones,

conjuntos de vértices y características ambientales (de una escena) como la luz, los materiales de los objetos o el movimiento de los mismos. La computación gráfica está impulsada principalmente por: • El cine, en esta área se usa para dar efectos especia-

les e incorporar imágenes imposibles de filmar en la realidad.

También el cine de animación ya sea en 2D o 3D utiliza y desarrolla sus películas gracias a la compu-tación gráfica.

• Los videojuegos, ya sea en consolas o para computa-dores de escritorio, prácticamente todos hoy en día hacen uso de herramientas de computación gráfica como librerías para programación y editores de mo-delado 2D y 3D.

• La investigación científica, para visualización de resultados y, simulación y reconstrucción de mode-los tridimensionales en bastantes áreas como bio-logía, química, física, ciencias forestales, entre otras.

• Ingeniería, para visualización y diseño de modelos para manufactura (piezas de máquinas, automóviles, barcos, etc.) así como para el diseño arquitectónico de casas, edificios, proyectos urbanos, etc.

La computación gráfica tiene un amplio campo de desarrollo el cual aumenta sus necesidades todos los días, sin duda un área fascinante a la cual dedicarse.

, , ≤ ≤θ 1 cosθ 1sen 1, 1≥ ≥secθ cscθ

P(- 3/2,-1/2)).- 3/ 2

º /πsen 2205 y cot 13 4

sen 2205º = sen(6 × 360º +45º ) = sen 45º = 2/2

cot 13π/4 = cot(3π + π/4) = cot π/4 = 1

3tanθ+cotθ =5cscθ

s e n θ c o s θ 53 + =

c o s θ s e n θ s e n θ⇒3tanθ+cotθ =5cscθ

⇒ 2 23 (1 - c o s θ ) + c o s θ = 5 c o sθ

⇒1

cos θ = ó cos θ = -32

y = senx y = cosx

y = tanx

Blaise Pascal (1623 – 1662) fue un filósofo, escritor, físico y matemáti-co que destacó en su época dejando un extenso legado en diversas disci-plinas científicas. En ABACOM N° 8 se destacó su biografía y su aporte al álgebra con los coeficientes bino-miales y el Triángulo de Pascal.

Fue un niño precoz, tanto así que a los 16 años publica su primer libro, a los 17 idea y comienza a fabricar su máquina de calcular: la Pascalina. Su vida fue bastante corta, pues mu-rió a los 39 años y plena de turbulen-cias y vaivenes que iban desde lo científico a lo místico, pasando por un período de vida disipada, que ter-minó con una experiencia mística que lo haría cambiar drásticamente su vida. Ello ocurrió en 1654 des-pués de un accidente de carruaje que casi le costó la vida. Desde allí se dedicó por completo a lo espiritual y

filosófico. Famosa es La Apuesta de Pascal (ABACOM N° 27) en que, basándose en las probabilidades, prueba que la apuesta más segura es creer en Dios. En 1658 tuvo otra se-ñal divina: un dolor de muelas no lo dejaba ni dormir y para olvidarse de él se dedicó a estudiar la cicloide, milagrosamente desapareció el do-lor, lo que Pascal lo tomó como una señal divina, concluyendo que a Dios no le desagradaba el estudio de la matemática. Así fue como prosi-guió con sus estudios desarrollando importantísimos trabajos.

Juan Leiva Vivar

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Teorema de Pascal y el Hexágono Místico Cuando tenía 16 años formuló, en su “Ensayo sobre las Cóni-cas” (1639), uno de los teoremas básicos de la geometría pro-yectiva, conocido como el Teorema de Pascal, que afirma: Los seis vértices de un hexágono están sobre una cónica si y solo si los tres puntos comunes a los tres pares de lados opuestos están en una recta común. A partir de este teorema Pascal demostraría alrededor de 400 teoremas y corolarios. La Cicloide La cicloide es la curva engendrada por un punto situado sobre una circunferencia que gira sobre una recta sin deslizarse. Muchos matemáticos se han ocupado de estudiarla entre ellos Galileo y Descartes. Pascal hizo grandes aportes al estu-dio de esta curva, proponiendo y resolviendo problemas rela-cionados con esta curva, como calcular su longitud y su centro de gravedad.

La Teoría de Probabilidades Se puede considerar a Pascal como fundador del cálculo de probabilidades, formulado en 1654 como “geometría del azar”. Esta teoría nació para responder a un proble-ma sobre el juego de dados que le propusiese el caballe-ro de Meré. Pascal se lo comunicó a Fermat, y de la co-rrespondencia entre ellos surgió la Teoría de Probabili-dades. El Principio de Pascal Pascal hizo grandes contribuciones en el campo de la hidráulica, estableció el Principio de Pascal que afirma: La presión aplicada sobre el fluido contenido en un re-cipiente se transmite por igual en todas las direcciones y a todas partes del recipiente.

Este principio tiene aplicaciones muy importantes en hidráulica, y fue formulado por primera vez, en una for-ma más amplia que la de Arquímedes, por Pascal en 1647. En honor a Pascal se denomina Pascal a una uni-dad de presión (se anota Pa) y equivale a la presión que ejerce una fuerza de un newton sobre una superficie pla-na de un metro cuadrado (1 Pa = 0,01 Milibares).

La herencia de Pascal

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El científico y el místico

Pascal fue uno de los físicos y matemáticos más eminen-tes de su época y uno de los más grandes escritores místicos en la literatura Cristiana. Sus trabajos religio-sos sobresalen tanto como su producción científica. Des-tacó en Geometría Analítica, Probabilidades, Física, y fue uno de los primeros en fabricar una máquina calculado-ra, la Pascalina.

Ecuaciones Paramétricas

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ABACOM Boletín Matemático

Una de las primeras máquinas calculadoras, antepasado re-moto del actual computador, es la pascalina. Esta máquina era un artilugio mecánico pro-visto de engranajes, en donde salían por unas ranuras los números respectivos. Una su-madora primitiva, en resumen, pero que en esa época era la última tecnología, tan avanza-da que sólo se produjeron al-gunas cuantas decenas, y éstas, de manera artesanal. Fue inventada por Pascal en 1643, tras tres años de trabajo sobre la misma. Se fabricaron varias versiones y Pascal en persona construyó al menos cincuenta ejemplares. La Pascalina sólo podía efec-tuar sumas y restas. Éstas últimas las hacía mediante sumas utilizando una técnica de complemento a 9. La com-plementación se hace utilizan-do un sistema de doble visua-lización que permite seleccio-nar un número o su comple-mento a 9. El primer uso de la Pascalina fue en la Hacienda Francesa, debido a que Pascal diseñó la Pascalina para ayudar a su padre, que era contable en dicha entidad. Debido a ello la Pascalina estaba destinada básicamente a solucionar pro-blemas de aritmética comer-cial.

LA PASCALINA

En 1654, Pascal, trata de responder la si-guiente pregunta “¿Cuántos repartos se deben hacer entre dos jugadores que jue-gan varias partidas?”. Para hallar la res-puesta usa un triángulo, famoso ya en ese entonces: el Triángulo Aritmético. Debido al aporte hecho al estudio de este triángulo, pasó a denominarse Triángulo de Pascal (ABACOM N° 8). E l T r iángu lo Aritmético se deno-minaba, en esa épo-ca, como Triángulo de Tartaglia, en honor de un famoso matemático italiano, pero ya era conocido en países del medio y lejano oriente mu-chos siglos antes. Así, en China recibe el nombre de Triángulo de Yanghui, donde era usado para sacar raíces, y los indios lo conocían desde el año 400 a.C., cuando fue usado para analizar la combinación de so-nidos largos y cortos en la métrica poética . Este famoso triángulo está formado por números dispuestos en filas tal que los números “externos” del triángulo son “1” y los números internos se forman al sumar los dos números que se encuentran sobre él. Así, las primeras cinco filas de este triángulo son:

1 1 1

1 2 1 1 3 3 1

1 4 6 4 1 Pascal enuncia 18 propiedades numéricas de este triángulo, 3 más de las que enuncia-se al-Mu’taman en la España musulmana de la Edad Media, que usó el triángulo para demostrar como la unidad podía generar el infinito. Incluso, dos jóvenes muchachas españolas de 15 años demostraron 11 pro-piedades en 2006, ganando un premio en su país por ello. Aquí te presentamos algunas propiedades interesantes:

1) La suma de los números de una diago-nal es igual al número que se encuentra abajo cruzado del último número de la diagonal:

1 1 1

1 + 2 1 1 + 3 3 1

1 4 = 6 4 1 2) La suma de cada una de las filas es igual

a una poten cia de 2: 1 = 20

1 + 1 = 21

1 + 2 + 1 = 22

1 + 3 + 3 + 1 = 23

1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 24

Actividades Fabrica varios Triángulos Aritméticos de 17 filas. 1) Pinta los números pares y descubre la

propiedad geométrica de ellos. 2) Repite lo anterior con los múltiplos de 3,

4 y 5. ¿Hay alguna coincidencia? 3) Averigua que son los números triangula-

res y tetraédricos y búscalos en el Triángulo Aritmético.

4) Descubre alguna otra propiedad geomé-trica oculta en el Triángulo Aritmético y coméntalo en tu clase.

Bibliografía Usón V., Carlos y Ramírez M., Ángel. En torno al Triángulo Aritmético que algunos llaman de Pascal. Revista Suma Nº 48-54, Febrero 2005 – Febrero 2007, histo-ria.suma@fespm.org Las Matemáticas de Mario. El Triángulo de Pascal. Disponible en http:/ /www.telefonica.net/web2/lasmatematicasdemario/Aritmetica/Combinatoria/TriPascal.htm Disfruta las Matemáticas. El triángulo de Pascal. Disponible en http://www.disfrutalasmatematicas.com/triangulo-pascal.html

TODO EL UNIVERSO DENTRO DE UN SIMPLE TRIÁNGULO Rodrigo Rojas Muñoz

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DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS: LA ORGANIZACIÓN DE LOS DATOS

Tablas de Distribución Univariantes Se denomina Distribución de Frecuencias al conjunto de clases junto a las frecuencias correspondientes a cada una de ellas. Una tabla de distribución sirve para presentar de forma ordenada las distribuciones de fre-cuencias. Para construir una tabla, se debe considerar una mues-tra aleatoria de n individuos, descrita según una varia-ble C cuyas modalidades han sido agrupadas en un número k de clases, denotadas . Para cada una de las clases , se introducen las si-guientes magnitudes. Frecuencia Absoluta: Es el número , de individuos en la clase . Frecuencia Relativa: Es el cuociente , entre la frecuencia absoluta de la clase y el número total de observaciones, es decir: Frecuencia Absoluta Acumulada: Es el número , correspondiente a la suma de las frecuencias absolutas hasta cada punto de la variable, definida por:

Frecuencia Relativa Acumulada: Es el cuociente , entre la frecuencia absoluta acu-

mulada de la clase y el número total de observacio-

nes, es decir:

Además: Ejemplo: Al preguntar sobre el número de hijos por familias (Variable Discreta) una muestra de 20 hogares, marcó las siguientes respuestas:

La distribución de las respuestas se resume en la si-guiente tabla:

Cuando la tabla se realiza con variables continuas, la clase ya no viene definida por un valor, sino que viene definida por un Intervalo de Clase, de la forma:

Llamaremos Amplitud del Intervalo a: y Marca de Clase, al punto medio del intervalo:

¿Cómo elegir el intervalo? El número de intervalos, k, a utilizar no está determina-do de forma fija y por tanto tomaremos un k que nos permita trabajar cómodamente y ver bien la estructura de los datos. Cuanto mayor sea n, más intervalos se deben hacer; cuanto más dispersos sean los datos, mayor amplitud deben tener los intervalos. Es reco-mendable, que el número de intervalos esté entre 5 y 20, el que se puede estimar según en el tamaño de la muestra, del modo siguiente: El siguiente paso es determinar la amplitud de cada intervalo. La amplitud total A, de la muestra es: De forma que la Amplitud de cada intervalo es:

1 1 2 1 2 1 2 k 1 k k -1 kN = n , N = n + n = N + n ,...,N = n + ...+ n = N + n = n

( ] { }/= < ≤i -1 i i -1 il , l x l x l , i = 1,...,k

Danilo Díaz Levicoy EEEESSSSTTTTAAAADDDDÍÍÍÍSSSSTTTTIIIICCCCAAAA

0 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4

Clases

Frec. Absoluta

Frec. Relativa

Frec. Abs. Acumulada

Frec. Rel. Acumulada

0 1 0,05 1 0,05

1 4 0,2 5 0,25

2 7 0,35 12 0,6

3 6 0,3 18 0,9

4 2 0,1 20 1

Total 20 1

.1 2 kC ,C ,...,C

iC , i =1,...,k

in iC

ih

iC

iN

iHiC

ii

NH = , i =1,...,k

n

i i i -1a = l - l ,i =1,...,k

i i-1i

l+lc = , i=1,...,k2

ii

nh = , i =1,...,k

n

⋮

1 1

2 1 2 1 2

k 1 k k -1 k

H = h

H = h + h = H + h

H = h + ...h = H + h =1

k 0 max minA = l - l = x - x

∀i

Aa = a= , i =1,...,k

k

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ABACOM Boletín Matemático

soConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcu

Viola García Paredes

Problema 1: Sean x e y los lados del rectángulo. Se debe cum-plir: 2x + 2y = xy (Perímetro = Área). Así: ; como x > 0, y > 0 se debe tener que y – 2 > 0, o sea y > 2 .

Como x es entero, entonces debe ser ente-

ro. Los únicos números que cumplen que y > 0

y que es entero son y = 3, y = 4, y = 6 y los correspondientes valores de x son: x = 6, x = 4, x = 3. Luego: los lados del rectángulo miden 3 y 6 ó

ambos miden 4 y en este caso es un cuadrado. Problema 2: Sean x : distancia desde la casa a la fábrica; y : distancia desde la casa al lugar de encuentro. La velocidad del viejo es x / 30 y la del joven es x / 20. Para llegar al lugar de encuentro el viejo tarda 30 y / x mientras que el joven tarda 20 y / x. Pero así y / x = 2 / 5, es decir el lugar de encuentro se halla a los 2 / 5 del total. Luego el joven tarda (2 / 5)⋅ 20 = 8 minutos.

EEEESSSSTTTTAAAADDDDÍÍÍÍSSSSTTTTIIIICCCCAAAA

Así la división en intervalos podría hacerse tomando:

Ejemplo: Los siguientes datos corresponden a los ingresos semanales (en miles de pesos) de 50 trabajadores de la Em-presa Soprole. 1) Determinar la cantidad de intervalos: 2) Calcular la Amplitud Total: 3) Calcular la Amplitud común de ca-

da intervalo: 4) Determinar la forma de presentar los

intervalos y construir la tabla:

⋯0 min 1 0 k 0 maxl = x , l = l +a, ,l = l +ka= x

46 47 52 54 56

57 57 58 58 59

60 61 63 63 64

65 66 67 67 67

67 67 68 68 69

69 70 70 70 70

72 72 73 73 73

74 76 76 77 77

77 79 80 82 84

85 86 88 93 94

( )k = 1 + 3 ,3 3 × lo g n =

48a = = 6,9

7

RESOLUCIÓN PROBLEMAS EDICIÓN Nº 30

2 42

2 2

yx

y y= = +

− −

4

2y∈

− 20 304

y y

x x+ =

Problema 1: El Metro y el Peatón Cuándo camina por una avenida junto a una línea terrestre del Metro, un peatón observa que cada 12 minutos lo alcanza uno de los trenes, y cada 4 minutos otro de ellos pasa en dirección contraria. Tanto los trenes co-mo el peatón se desplazan con velocidad constante.

¿Cada cuántos minutos salen los trenes de las estaciones terminales? Problema 2: ¿Cuánto miden los la-dos del Triángulo? El perímetro de un triángulo rectángulo mide 24 cm. y el radio del círculo inscrito en él, 2 cm. ¿Cuánto miden los lados del triángulo?

PROBLEMAS EDICIÓN Nº 31

SOLUCIÓN EDICIÓN Nº 30 Las palabras relacionadas con Trigono-metría son: Ángulo, Cate-to, Cosecan-te, Coseno, Cotangente, Grado, Ra-dián, Secan-te, Seno y Tangente.

EDICIÓN Nº 31

A L E A T O R I O M I I E L B A I R A V

C N C O N T I N U A

N T E N S I O N T R

E E A L E U S E R T

R R S B C U R C E S

E V O I L C C S N E

F A D L S A A E O U

N L A I E L R V R M

I O D S C Z A R E F

Te proponemos que descubras diez (10) pala-bras relacionadas con Estadística . Pueden encontrarse en forma vertical, horizontal o en diagonal, de arriba hacia abajo (o viceversa), de izquierda a derecha (o viceversa).

A= 94 - 46 = 48

× ≈= 1+ 3,33 log(50) 7

Envía tus soluciones (indicando Nombre, Colegio y Curso) a A B A C O M A B A C O M A B A C O M A B A C O M Boletín Matemático Casilla 567 Valdivia · Fax (63) 293730

email: abacom@uach.cl Recepción de soluciones hasta el

05 de Septiembre de 2009

4

2y∈

−

J U L I O 2 0 0 9

10

Juegos MatemáticosJuegos MatemáticosJuegos MatemáticosJuegos Matemáticos

Este es un juego de adivina-ción, pero basado en cálcu-los aritméticos, sin ningún truco ni engaño. En una mesa colocas tres objetos, por ejemplo un lápiz, una llave y una mone-da; además de 24 de fósfo-ros (pueden ser otros obje-tos pequeños, como porotos,

por ejemplo). Le pides a tres personas que cada uno tome uno de los objetos sin que tú veas y les aseguras que adi-vinarás qué objeto tomó cada uno. Para ello le entregas a cada uno de ellos uno, dos y tres fósforos respectiva-mente dejando los restantes en la mesa. Luego sales del lugar en que están, pidiéndole a cada uno que tome un cierto número de fósforos: el que eligió el lápiz que reco-ja tantos fósforos como los que recibió, el de la llave que tome el doble de las que recibió y el de la moneda que tome cuatro veces la cantidad de fósforos que recibió. Luego vuelves a entrar y con sólo contar cuantos fósfo-ros quedaron sabrás quién tiene cada objeto. ¿Cómo lo harás? Del modo siguiente: Supongamos que las personas a las que les haces el juego se llaman: Amanda (A), Boris (B) y Carla (C) y designemos

por números los objetos: lápiz (1), llave (2) y moneda (3). Los objetos pueden ser toma-dos por los tres participantes de 6 formas diferentes: Veamos ahora cuántos fósforos quedan en la mesa en cada caso:

Como se observa el resto de fósforos es diferente en ca-da caso, así conociendo el resto se sabe inmediatamente qué objeto tomó cada uno. Por ejemplo si el resto es 6 significa que Amanda tomó la moneda, Boris el lápiz y Carla la llave, pues al resto 6 le corresponde la combinación 3 1 2. (Si no es posible memorizar las 6 combinaciones, éstas se anotan en un “torpedo” que escondes en un bolsillo y antes de dar la respuesta dices que saldrás un segundo para concentrarte antes de dar la respuesta).

ANÉCDOTAS MATEMÁTICASANÉCDOTAS MATEMÁTICASANÉCDOTAS MATEMÁTICASANÉCDOTAS MATEMÁTICAS

¿QUIÉN HA COGIDO CADA OBJETO?

Leonardo da Vinci es uno de los genios universales que más han contribuido al de-sarrollo artístico y científico de la humanidad. Aunque Leonardo es más conocido universalmente por su pintura, también destacó en escultura, arquitectura, y en ciencias como ingeniería, mecánica, física, biología, anatomía, geología y … ma-temáticas. Consideraba a estas últimas como la llave de la naturaleza. Aunque su obra conocida en esta especialidad no está escrita con suficiente rigor ni los resulta-dos obtenidos fueron decisivos en aquel momento, merece, sin embargo, ser consi-derado en la historia del pensamiento matemático universal por sus prodigiosas in-tuiciones, en particular, las de carácter geométrico. Su admiración por las matemáticas era tan grande que llegó a escribir: “No existe ciertamente nada donde las ciencias matemáticas no puedan ser aplicadas”. Leonardo era muy bromista. Uno de sus innumerables chistes: “Le preguntaron a un pintor por qué, siendo tan buenas sus pinturas, hacía los hijos tan feos; a lo que respondió: Las pinturas las hago de día y los hijos de noche”.

EL HUMOR DE LEONARDO DA VINCI

A 1 1 2 2 3 3

B 2 3 1 3 1 2

C 3 2 3 1 2 1

11

ABACOM Boletín Matemático

Según un estudio realiza-do el año pasado, científi-cos liderados por el Dr. Shaowu Zhang, del AC-VES de la Universidad de Wuerzburg, en Alemania, comprobaron que las abe-jas tienen ciertas habili-dades matemáticas: las abejas demostraron ser capaces de discriminar entre los patrones que se les presentaban, de dos o tres puntos cada uno, sin tener que contarlos. Según los investigadores, éste sería el primer estudio que constata una capacidad numérica visual en invertebrados. Esta “capacidad matemática” de las abejas ya fue constatado por el matemático griego Pappus de Alejandría (290 – 350). Las abe-jas al construir sus panales en forma hexagonal resuelven dos problemas. El primero es que se debe formar un mosaico, para aprovechar el espacio al máximo, esto sólo se puede hacer con triángulos, cuadrados y hexágonos; que son las únicas teselacio-nes regulares (ABACOM N° 27). El segundo problema es que quieren encerrar mayor área, que es un problema isoperimétrico (ABACOM N° 16) y está probado que entre todos los polígonos regulares con el mismo perímetro, encierran más área aquéllos que tienen mayor número de lados. Por eso las abejas construyen sus celdillas de forma hexagonal, ya que, gastando la misma canti-dad de cera, consiguen mayor superficie para guardar su miel. La pregunta es: ¿y quien le enseñó esto a las abejas?....

¿SABEN MATEMÁTICAS LAS ABEJAS?

H U M O R

PARADOJAS La proposición: “Esta frase consta de siete palabras” es FALSA. Su negación: “Esta frase no consta de siete pala-bras” debería ser VERDADE-RA, pero también es FALSA. Se sabe que si una proposición es verdadera, su negación es falsa y viceversa, lo que en este caso no acontece. ¿Por qué? La explicación está en que se está aplicando una autoreferen-cia, lo que justifica casi todas las paradojas de tipo lógico como por ejemplo la paradoja del barbero: “Si en un pueblo el barbero afeita a todos los hombres que no se afeitan a sí mismos, ¿quién afeita al barbero?”

¿Sabes si vendrán los de la prensa?

¿Cómo quieres que vengan, si está prohibida la entrada

a los periódicos?

¡Pues es verdad! no me había dado cuenta

Acabo de echar al 2, que se había colado en la fiesta

Pero ¿cómo pudo entrar?

Se disfrazó de raíz cuadrada de 4 para engañar al portero que es

medio cegatón

¡Que pillo!

LA FIESTA DE LOS IRRACIONALES

ciasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNo

12

Carolina Leiva Cádiz

J U L I O 2 0 0 9

REVISTA CIENTÍFICA “EL QUIPU DEL FARO”

En el Liceo Isidora Zegers de Huneeus de Puerto Montt el profe-sor de matemáticas Fernando Oso-rio y el profesor Arturo Altamirano asesoran la creación de cada edi-ción de la Revista Científica El Quipu del Faro. Este boletín tiene como objetivo difundir diversos temas de actualidad e información que ha surgido por la investigación

científica mundial. Osorio señala que “el nombre de la revista está formado por dos partes: la primera QUIPU, nudo en quechua, corresponde a un sistema de contabilidad que tenían los Incas que se basaba en cordeles que a través de nudos y de colores representaban infor-mación sobre mercancías y otros recursos”. La segunda parte se extrajo de la insignia del Liceo en donde “la figura principal es el faro, que ilumina y guía a la juventud”. El equipo de creación de la revista está compuesto por los profe-sores asesores y por las alumnas editoras de diferentes cursos del Liceo: Karin Rojas 2ºC, Karina Naiman 3ºC, María Teresa Pérez 3ºA, Gabriela Piriz 4ºC, Karen Elgueta 2ºD, Paola Igor 3ºE, Bárbara Bohle 3°D y Gabriela Almonacid 3ºD. Este equipo se inspiró en nuestro Boletín ABACOM y gracias a la inicitiva del profesor Osorio se ha concretado la idea de acercar la ciencia a los alumnos y profesores de su comunidad educativa.

PRUEBA SELECCIÓN I.M.O. 2009

Entre el 10 y el 22 de Julio se llevará a cabo en Bremen, Alemania, la 50ª Olimpiada Interna-cional de Matemá-tica (I.M.O.). El 26

de Mayo se rindió la Prueba de Selección, que determi-nará quienes representarán a nuestro país en este evento. Tienen derecho a participar los medallistas olímpicos del 2008. Por la Región de Los Lagos participó Javier Garcés Almonacid del Colegio Alemán de Puerto Varas.

La Olimpiada Internacional de Matemáticas es el campeo-nato mundial de matemáticas para estudiantes de secun-daria, y se desarrolla anualmente en un país distinto. La primera I.M.O. tuvo lugar en 1959 en Rumanía, con la par-ticipación de 7 países. Poco a poco ha ido creciendo hasta sobrepasar los 90 países de los 5 continentes. El Consejo Asesor de la I.M.O. garantiza que la Olimpiada se celebre cada año y que el país anfitrión respete el reglamento y las tradiciones olímpicas.

2a VERSIÓN DEL CONCURSO "SABER AUSTRAL"

El Programa de Difusión de Carreras de la Uni-versidad Austral de Chile convoca una vez más a los estudiantes a medir sus conocimientos y destrezas en el concurso “Saber Austral”. Es-tudiantes desde 2º a 4º medios de la Región de Los Ríos (Provincias de Valdivia y Ranco) y Región de Los Lagos (Provincias de Osorno, Llanquihue y Chiloé) competirán por el pre-mio mayor de dos millones de pesos para su gira de estudios.

“Gracias al interés demostrado por los alumnos en la primera versión del concurso, se repetirá la ex-periencia a través de pruebas de distintos temas tales como: Historia, Matemáticas, Ciencias, Ac-tualidad, entre otras”, señalan Bernarda Castillo y Ximena Rebolledo del área Difusión de Carreras de la UACh. y agregan que “se quiere repetir el orgullo que sintieron los alumnos de Cuarto Medio A del Colegio San Mateo de Osorno al ser los pri-meros ganadores del concurso en la versión del 2008”.

El Saber Austral será desarrollado en dos etapas y una final. En la primera etapa se tomarán prue-bas semanales a través de la página web (http://www.saberaustral.cl/) a todos los cursos inscritos, los que serán representados por un líder.

En la segunda etapa seguirán en carrera los cur-sos participantes quienes hayan obtenido los me-jores puntajes de cada zona en las pruebas virtua-les, los que en total serán 18 cursos y cuatro re-presentantes por curso contestarán preguntas de alternativas en los temas antes mencionados. En esta instancia la organización se trasladará a co-munas sedes, donde las actividades se realizarán en vivo.

En la Final los 6 cursos semifinalistas que hayan obtenido los mejores puntajes de su zona partici-parán representados por cuatros representantes, quienes pueden llevarse como primer premio la s u m a d e $ 2 .0 00 . 00 0 , destinados a financiar una Gira de Estudio y el segundo y tercer lugar o b t i e n e n $500.000 y $300.000 res-pectivamente.