ABACOM Boletín Matemático

El matemático y meteorólogo es-tadounidense Edgard Lorenz, pio-nero en el desarrollo de la Teoría del Caos, se dedicó a estudiar en 1960, el comportamiento de la atmósfera, tratando de hallar un modelo matemático que permitie-ra hacer predicciones meteoroló-gicas. Su interés en este tema le nació después de graduarse en matemáticas en 1938, al participar en la segunda guerra mundial pro-nosticando el tiempo para las fuerzas armadas de su país. Rea-lizó diferentes aproximaciones hasta llegar a tres ecuaciones ma-temáticas, conocidas como El Modelo de Lorenz. Pero Lorenz se sorprendió al des-cubrir que pequeñas diferencias en los datos iniciales, llevaban a grandes diferencias en el resulta-do final. Explicó esto diciendo que si un meteorólogo hacía una predicción muy exacta, con cálcu-los correctos, a partir de datos

muy precisos, se podría encontrar con que su predicción fuese total-mente errónea, por no haber teni-do en cuenta el aleteo de una ma-riposa en el otro lado del planeta. De aquí surgió el nombre de efec-to mariposa, que desde entonces ha dado lugar a muchas variantes. Existe, incluso, un proverbio chi-no que dice “el aleteo de las alas de una mariposa se puede sentir al otro lado del mundo”. Muchos profesores deben pensar que, a nivel individual, poco o nada podemos hacer para mejorar la docencia. Es bastante habitual encontrar profesores que están esperando que desde arriba digan lo que tienen que hacer. Pero po-demos poner en práctica, profeso-res y equipos docentes, distintas iniciativas, sin esperar que lle-guen desde arriba. Estamos vi-viendo momentos de cambios, momentos que hay que verlos co-mo una oportunidad para abordar pequeñas reformas metodológicas que nos permitan conseguir una mayor calidad del proceso de en-señanza-aprendizaje. Apliquemos el efecto mariposa en la mejora de la docencia, hay muchas pequeñas (o no tan pequeñas) cosas que los profesores podemos hacer y que pueden representar un verdadero cambio.

AGOSTO 2008AGOSTO 2008AGOSTO 2008AGOSTO 2008

AÑO 7 N°27AÑO 7 N°27AÑO 7 N°27AÑO 7 N°27 Editorial

EL EFECTO MARIPOSAEL EFECTO MARIPOSAEL EFECTO MARIPOSAEL EFECTO MARIPOSA

En esta edición

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pág

Computación Gráfica…….…………....2 Uso del Cuadrado de un Binomio……..2 Reflexiones ......................................... .3

Secciones Cónicas

• La Parábola. ................................. .4 • Torpedo de Parábola. ................... .5

Isometrías • Congruencias por doquier. ........... .6

• Thales de Mileto. ......................... .6

• Teselaciones. ................................ .7 Juegos Matemáticos ………….. .......... ..8

Anécdotas Matemáticas ...................... ..8 Concurso

• Desafío a tu Ingenio ..................... .9

• Sopa Matemática .......................... .9 Matemática Entrete

• La apuesta de Pascal .................... 10

• Humor ......................................... 10

• Una “aplicación” de la Estadís–

tica…………………………….. 11

• Poema de Pi ................................. 11

• La matemática con risas entra ...... 11 Noticias

• XX Olimpíada Nac. de Mat ......... 12

• Clasificatoria para Olimpíada

Iberoamericana de Matemáticas... 12

• 20 años de la Olimpíada Nacional

de Matemática…………….....…...12

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Luis Véliz Matus IMAGEN DIGITALIMAGEN DIGITALIMAGEN DIGITALIMAGEN DIGITAL Una imagen digital es un conjunto de puntos lla-mados pixeles, los cuales se ordenan de forma matricial. Estos pixeles son valores numéricos al-macenados en la memoria de un computador e interpretados por un dispositivo de despliegue vi-sual, por ejemplo, un monitor o pantalla. El color del pixel puede ser uno de un conjunto finito de colores llamado “paleta de colores”. Su-pongamos que tenemos una imagen de 2x2 pixe-les y cada pixel puede ser de color blanco o negro. Posición: Valor (1 bit):

Para representar dos colores (blanco y negro) nece-sitamos solamente 1 bit (dígito binario). Si queremos representar 4 colores en escala de grises necesitamos 2 bits. A la cantidad de bits por pixel se le llama

“profundidad de color”, la que determina la cantidad de co-lores que se pueden represen-tar. Para una imagen en escala de grises usualmente se ocupan 8 bits, pudiendo representar 256 colores (28 = 256 ), desde el blanco (0) pasando por los

grises hasta el negro (255). Para imágenes en colores se ocupan 3 matrices de valores para cada matriz de pixeles, indicando las intensidades de rojo (R), verde (G) y azul (B) res-pectivamente. General-mente se ocupan 8 bits para cada intensidad, teniendo un total de 24 bits y pudiendo repre-sentar 224 colores, es decir ¡16.777.216 colo-res!

Usaremos la conocida fórmula del cuadrado de un binomio (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, para elevar al cuadrado un número de dos cifras ab. Como entre a y b no hay un signo usare-mos el símbolo / para separar los cálculos. (ab)2 = Cuadrado primer dígito/doble producto del primer

dígito por el segundo dígito/cuadrado del segundo dígito.

= a2 /2ab /b2.

(Se puede observar que la palabra término de un cuadrado de un binomio fue sustituida por dígito). En el caso en que b2 sea mayor que 9, las decenas se pasan como reserva al segundo lugar, y si a su vez el doble produc-to mas la reserva (si la hay) es mayor que 9, las unidades se pasan como reserva al primer lugar. Las barras se eliminan en el último paso.

Ejemplo 1: (12)2 = 12 /2.1.2 /22 = 1/4/4 = 144

Ejemplo 2: (27)2 = 22 /2.2.7 /72 = 4/28/49 = 4/28+4/9 = 4/32/9 = 4+3/2/9 = 729.

Observaciones: 1.- Esta fórmula también se puede usar para elevar al cubo un

número. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(ab)3 = a3/3a2b/3ab2/b3

Ejemplo: (12) 3 = 13 /3.12.2 /3.1.22/23 = 1 /6 /12/8 = 1 /6+1/2/8 = 1 /7/2/8 = 1.728 2.- También se puede usar para elevar al cuadrado un número

de más de 2 cifras, pasando como reservas las centenas y no las decenas.

Ejemplo: (125)2 = 12 /2.1.25 /252 = 1/50/625 = 1/50+6/25 = 1/56/25 = 15.625

USO DEL CUADRADO DE UN BINOMIOUSO DEL CUADRADO DE UN BINOMIOUSO DEL CUADRADO DE UN BINOMIOUSO DEL CUADRADO DE UN BINOMIO Ara Pinilla Palma

Publicación destinada a Estudiantes y Profesores de Enseñanza Media.

Proyecto auspiciado por el Instituto de Matemáticas de la Universidad Austral de

Chile.

Director: Juan Leiva V. Director Alterno: Víctor Alvarado A. Redacción Periodística : Carolina Leiva C. Diagramación: Katherine Inalef P.

Instituto de Matemáticas. Facultad de Ciencias. UACh.

Casilla 567 Valdivia. E.mail: abacom@uach.cl

Fono (63)221828 Fax (63)293730

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REFLEXIONES

Traemos hoy a nuestra Revista, algunas reflexiones sobre la impor-tancia del Trabajo Grupal, en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la matemática, importancia que se le da tanto en los niveles básico, medio como universitario. En los trabajos grupales prevalecen los valores de la solidaridad, la ayu-da mutua y el respeto, valores im-portantes para que el grupo trabaje en forma armoniosa y permita bue-nos logros en el rendimiento acadé-mico. Este tipo de trabajo puede sentirlo el estudiante como una es-trategia para aprobar asignaturas y el profesor como una estrategia general de aprendizaje. Un problema importante a resolver es, como lograr que el estudiante valore el trabajo grupal como una estrategia permanente de aprendi-zaje y no sólo como una actividad accidental y temporal dirigida a preparar ciertos informes o tareas. En la Revista Electrónica de Tecno-logía Educativa, editada por la Uni-versidad de Alcalá, aparecen algu-nos conceptos relacionados con este tema, destacando algunas de sus ventajas: 1. Es una estrategia que genera integración entre los estudiantes. 2. Desarrolla habilidades cognitivas y actitudinales, no sólo personales sino también sociales. 3. Enseña a pensar interactivamen-te y a escuchar de modo compren-sivo. 4. Capacita para la cooperación, el intercambio, la autonomía y la

creación. 5. Fomenta la responsabilidad. 6. Ayuda al estudiante a vencer sus inhibiciones. Es importante analizar el concepto de “grupo”: grupo es el conjunto de dos o más personas que interact-úan en un espacio y un tiempo de-terminados, con conciencia del “nosotros” y que establecen nor-mas y principios de acción que aceptan, para alcanzar metas o fi-nes comunes. Grupo, es entones mucho más que una reunión casual de personas que se juntan por unos minutos para responder algún cuestionario o resolver algún ejercicio. Algunas características fundamen-tales de los grupos de trabajo son: 1. Homogeneidad: además del in-terés común, se requiere cierta homogeneidad en cuanto a edad y nivel intelectual y social. 2. Reducido: para permitir a cada persona cierta participación, favo-reciendo así la dinámica grupal. 3. Informal: para permitir que los estudiantes se expresen de manera espontánea. 4. Primario: entre los estudiantes debe existir una relación amistosa que los una. 5. Flexible: debe permitir las posibi-lidades de cambio. 6. Frecuencia: debe existir una fre-cuencia en las reuniones para que los estudiantes tomen conciencia de pertenencia y se favorezca el proceso grupal. Ventajas de los trabajos en grupo. 1. Capacidad potencial de manejar un mayor volumen de información, conocimientos y habilidades. 2. Mayor diversidad de puntos de vista que posibilita una perspectiva mas amplia y una mayor heteroge-neidad en los juicios. 3. Mayor potencial para generar nuevas ideas y soluciones creativas a problemas complejos. 4. Mayor incorporación a equipos de evaluación y auto evaluación. Desventajas de los trabajos en gru-po: 1. Mayor lentitud en los procesos. 2. Dificultades de coordinación, si

los estudiantes no tienen mucha habilidad en la comunicación. 3. Posible dominio o manipulación del equipo por un miembro influ-yente. 4. La reducción del esfuerzo y de la motivación individual da lugar a la holgazanería social. La propuesta es que es necesario enseñar a los estudiantes a trabajar en grupo, entregando información sobre las características de este tipo de trabajo y mostrar como se pueden evitar o reducir sus desven-tajas. Esto implica un período de seguimiento y retroalimentación por parte de los docentes o monito-res. Más de una vez nos hemos encon-trado con estudiantes que explican en parte sus bajos rendimientos por concentrarse solamente en estudios individuales, sin pedir la opinión de sus compañeros sobre métodos y procesos de trabajos matemáticos. De allí la importancia de implementar una profunda es-trategia de trabajo grupal dirigido y orientado, un trabajo que cuente con un programa de seguimiento en el tiempo y que pueda exhibir resultados.

Luis Castro Haase

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EL TRABAJO GRUPAL EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DE LA MATEMATICA

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LA PARÁBOLA Definición y elementos Se llama parábola al lugar ge-ométrico de todos los puntos del plano, que equidistan de un punto fijo dado y de una recta dada. Los principales elementos de una parábola son: Foco (F) : el punto dado fijo. Directriz (D): la recta dada fija. Eje (L): recta que pasa por el foco, perpendicular a la

directriz. Vértice (V): punto de la parábola sobre el eje de ella. Lado recto (AB): segmento de extremos puntos de la

parábola, perpendicular al eje y que pasa por el foco. Cuerda : segmento de extremos puntos de la parábola. Cuerda focal: cuerda que pasa por el foco. Construcción Una parábola se puede cons-truir con una regla, una escua-dra y un hilo de igual longitud que el cateto más largo de la escuadra (MN) Sean F el foco y D la direc-triz, entonces: Se fija un extremo del hilo en N y el otro en F. La regla se mantiene fija, coincidiendo con D y se hace coincidir el cateto OM de la escuadra con la regla. Se coloca un lápiz en P y se desliza la escuadra so-bre la regla, manteniendo tirante el hilo. P dibujará la parábola. También se puede construir una parábola mediante plie-gues de una hoja (ver ABACOM N° 20 pág.4). Aplicaciones de la parábola Una de las propiedades geométricas más utilizada de la parábola fue descubierta por los griegos: un rayo (de luz, por ejemplo) que emane del foco, se refleja en la parábola a lo largo de una trayectoria paralela al eje de la parábola, sin importar cual sea el punto de reflexión. O recíprocamente, un rayo paralelo al eje de la parábo-la que es reflejado en ella, pasa por el foco. Las aplicaciones de las parábolas son básicamente aque-llos fenómenos en donde nos interesa hacer converger

o divergir un haz de luz y sonido principalmente. Esta propiedad es usada en la construcción de reflec-tores parabólicos (linternas, faros de los autos), ante-nas parabólicas, telescopios, antenas de sistemas de radar, etc. Un reflector parabólico se forma por la rotación de una parábola alrededor de su eje (paraboloide). En un espejo reflector parabólico, todo rayo luminoso que emane del foco es reflejado paralela-mente al eje de la parábola. El foco del reflector es el foco de la parábola. En las antenas parabólicas un satélite envía información a la Tierra, estos rayos serán perpendiculares a la di-rectriz por la distancia a la que se encuentra el satéli-te. Al reflejarse en el plato de la antena los rayos con-vergen en el foco en donde se encuentra un receptor que decodifica la información. En telescopios y receptores de radar las señales de una fuente remota entran paralelas al eje y se reflejan pa-sando por el foco, mediante un reflector parabólico. La potente concentración que produce un reflector pa-rabólico grande, como el de un radiotelescopio, hace posible detectar y analizar señales luminosas muy pe-queñas. Los telescopios reflectantes, llamados de Newton, se cons-truyen con un espejo parabó-lico en cuyo plano focal se forma la imagen invertida del cielo. Parábola y catenaria La parábola es la curva que adopta un cable que soporta un peso, uniformemente dis-tribuido. La catenaria es la curva que adopta un cable sostenido por sus extremos debido a su propio peso. En un puente colgante, los cables, además de su propio peso, tienen que soportar el de la plataforma. Por ello, la forma que adoptan los cables es una "combinación" de la catenaria y la parábola. La diferencia entre ambas curvas es muy pequeña. De hecho, en algunos cálculos se supone que es una parábola, dada la simplicidad de su ecuación frente a la ecuación de la catenaria .

Víctor Alvarado Alvarado

Puente Golden Gate de

San Francisco

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TORPEDO DE PARÁBOLATORPEDO DE PARÁBOLATORPEDO DE PARÁBOLATORPEDO DE PARÁBOLA

Ecuaciones de la Parábola (Sólo se consideran parábolas donde su eje es paralelo, o coincidente, con el eje X o con el eje Y. Otros casos tie-nen que ver con una rotación de ejes.) Ecuaciones Canónicas

Eje paralelo al eje X

• p > 0: Foco F(h + p,k) Eje focal y = k, Directriz x = h – p

• p < 0: Foco F(h – |p|,k) Eje focal y = k, Directriz x = h + |p |

Eje paralelo al eje Y

p > 0: Foco F(h,k + p) Eje focal x = h, Directriz y = k – p

p < 0: Foco F(h,k – |p|) Eje focal x = h, Directriz y = k + |p|

En todos los casos: Vértice V(h,k) Distancia de V a F es | p | Longitud del lado recto es 4 | p |.

Ecuación General Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 , con A = 0 ó C = 0

Función Cuadrática • y = ax2 + bx + c (a ≠ 0), su gráfico es una parábola de

eje paralelo al eje Y (o coincidente), y su vértice es

. Si a > 0 (a < 0) la parábola se abre hacia arriba (abajo) y el punto más bajo (alto) es su vértice. Así, el valor mínimo (máximo) se alcanza para

y es

• x = ay2 + by + c (a ≠ 0), su gráfico es una parábola de eje paralelo al eje X (o coincidente). Si a > 0 la parábola se abre hacia la derecha y si a < 0 la parábola se abre hacia la izquierda.

Recta tangente y recta normal a una parábola

Sean P un punto de una curva y Q otro punto de ella, tan cerca de P como se desee. La recta tangente a la curva en P, si existe, es la posición final de la recta secante que pasa por P y Q, cuando deja-mos que Q se acerque sobre la curva hasta coincidir con P. La recta normal en un punto de tangencia, es la recta per-pendicular a la recta tangente en ese punto. Para distintas ecuaciones de una parábola se tendrán distin-tas ecuaciones de rectas tangentes.

• Parábola de ecuación: y2 = 4px: Tangente en (x0,y0): y0 y = 2p(x0 + x) Tangente con pendiente m: y = mx + p/m

• Parábola de ecuación: x2 = 4py: Tangente en (x0,y0): x0 x = 2p(y0 + y) Tangente con pendiente m: y = mx – p m2

• Parábola de ecuación: (y – k) 2 = 4p(x – h) : Tangente en (x0,y0): (y0 – k)(y – k) = 2p(x0 + x – 2h) Tangente con pendiente m: y – k = m(x – h) + p/m

• Parábola de ecuación: (x – h) 2 = 4p(y – k) : Tangente en (x0,y0): (x0 – h)(x – h) = 2p(y0 + y – 2k) Tangente con pendiente m: y – k = m(x – h) – pm2

Propiedades

1. Una recta tangente a una parábola hace ángulos iguales con la recta paralela al eje de la parábola y con la cuerda focal, ambas conteniendo al punto de tangencia.

2. La recta tangente en cada punto de una parábola inter-secta al eje de la parábola en el punto simétrico con res-pecto al vértice, de la proyección del punto sobre dicho eje.

3. La distancia entre el foco y un punto de una parábola es igual a la distancia entre el foco y la intersección de la recta normal en el punto con el eje de ella.

4. Las rectas tangentes a una parábola en los extremos del lado recto son perpendiculares, y junto con la directriz y el eje son concurrentes.

5. Si P es un punto de una parábola y Q es la proyección de P sobre el eje de la parábola, entonces

6. Si desde un punto P se trazan las rectas tangentes PT y PT’ a una parábola de foco F, entonces

donde T y T’ son los puntos de tangencia.

( ) ( )hxpky −=− 42

( ) ( )kyphx −=− 42

),( 44

2

2

abac

abV −−

abx 2−=

abacy 4

4min

2−= ).( 44

max

2

abacy −=

2 4 PQ VF VQ= ⋅

''22

FTFT

PTPT =

Intuitivamente una Isometría es una trans-formación en el plano que envía una figura en otra figura congruente. La palabra iso-metría viene del griego: iso (igual), metría (medida), pues la figura original con la figura transformada son congruentes, es decir tienen igual medida (de aristas, de ángulos, etc.) A diario vemos isometrías en todas partes: espejos, timbres, calcos, pisadas en la are-na, pisos embaldosados, etc. La definición formal de isometría es la siguiente: Una isometría en el plano es una función F , del plano en sí mismo, que satisface:

d (F(P), F(Q)) = d (P,Q); ∀ P, Q en el

plano. (d(P,Q) indica distancia entre P y Q). Si dos figuras planas son congruentes entonces hay una isometría que lleva una en la otra. La transformación que no altera ningún punto del plano se llama identidad, y es una isometría. Ejemplos (matemáticos) de isometrías: 1. Traslaciones: Una traslación es un

movimiento en una dirección fija y en una magnitud fija, esto es en la direc-ción de un vector. Así una traslación queda determinada por un vector.

2. Rotaciones: Una rotación es un giro en torno a un cierto punto (centro de rota-ción), en una cierta magnitud (ángulo de rotación). Así una rotación queda determinada por un punto del plano y un ángulo.

3. Reflexiones: Una reflexión es una iso-metría que fija una recta (eje de re-flexión, eje de simetría o espejo). Una reflexión queda determinada por una recta.

4. Deslizamientos: Un deslizamiento es el la composición de una traslación y una reflexión, de modo que la trasla-ción se hace en la dirección del eje de simetría. Un deslizamiento queda de-terminado por una recta y un vector paralelo a la recta.

(Estos cuatro ejemplos son precisamente todas las isometrías que existen, como se verá en la clasificación más adelante). Puntos fijos de las isometrías: Un punto fijo de una isometría F es un punto P, tal que F(P) = P. Una isometría distinta de la identidad tiene conjunto de puntos fijos: vacío, un punto o una recta. Isometrías Directas e Indirectas: Si A, B y C son los vértices de un triángu-lo, y si A’ y B’ son dos puntos tales que

d(A’,B’) = d(A,B), entonces existen exac-tamente dos triángulos con vértices en A’ y B’ que son congruentes al original. Uno queda en “la misma posición” que el ori-ginal y otro queda “invertido”. Lo anterior nos permite dividir las isometrías en dos tipos: Isometrías directas, aquéllas que al aplicárselas a un triángulo lo dejan en la misma posición e Isometrías indirec-tas, las que “invierten” los triángulos.

Clasificación de las isometrías: Las isometrías se clasifican de acuerdo al conjunto de puntos fijos que posee. Si F es una isometría, entonces: • F es de uno y sólo uno de los tipos

siguientes: una traslación, una rotación, una reflexión o un deslizamiento.

• F tiene un único punto fijo si y sólo si F es una rotación, con centro en ese punto.

• F tiene una recta de puntos fijos si y sólo si F es una reflexión, donde la recta es el eje de simetría.

• Si F no tiene puntos fijos y es una iso-metría directa entonces es una trasla-ción.

• Si F no tiene puntos fijos y es una iso-metría indirecta entonces es un desliza-miento.

Juan Leiva Vivar

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Congruencias por doquier

Thales fue conocido como uno de los siete sabios de Grecia y también fue el fundador de la filosofía natural que busca en el agua el principio y realidad última de todas las cosas. El interés de Thales por la ciencia posiblemente se origi-nara en sus contactos comer-ciales con Egipto y Mesopota-mia, fruto de los cuales llegó a conocer en buena medida la matemática y la astronomía babilónicas; además, resulta

probado que viajó a Egipto y permaneció allí algún tiempo, en el que se inició en los misterios de su religión y aprendió lo que pudo de su geometría, cuyos contenidos trasladaría luego a Grecia.

A Thales se le atribuyen varios teoremas de geometría, el primero es el famoso Teorema de Thales “Si dos rectas son cortadas por tres o más rectas paralelas, entonces los segmentos determinados en una de ellas son proporciona-les a los segmentos determinados en la otra”, aunque no parece ser de su paternidad. Pero si parece ser seguro que demostró uno de los teoremas de congruencia, el teorema ALA: “Si dos triángulos tienen un lado y los ángulos adya-cente respectivamente iguales, entonces son congruentes”. Además de matemático, Thales sobresale en física, filo-sofía y sobre todo en astronomía. Acerca de su afición a la astronomía, Platón cuenta la otra anécdota: una noche Tha-les estaba observando el cielo y tropezó, una sirvienta lo levantó y le dijo: cómo pretendes entender lo que pasa en el cielo, si no puedes ver lo que está a tus pies. Al momento de morir pronunció las siguientes palabras: “Te alabo, ¡Oh Zeus!, porque me acercas a ti; por haber envejecido, no podía ya ver las estrellas desde la tierra”.

Thales de Mileto (624 a.C. – 546 a.C.)

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ABACOM Boletín Matemático

Nuestros antepasa-dos seleccionaban piedras de colores para cubrir suelos o paredes y tener dise-ños agradables a la vista. Aún hoy se pueden observar, por ejem-plo, en las ruinas de Pompeya o en el Palacio de La Alhambra en Granada, en la naturaleza y en nuestra vida diaria: en vitrales, embaldosados, obras de arte, etc. Estos diseños tienen una característica común: utilizar figuras repetidas, una junto a otra, para cubrir un plano. Ellas son llamadas recubrimientos o teselaciones. Teselar es cubrir el plano de figuras geométricas (teselas) unidas de tal manera que cubren completamente el plano y dos teselas adyacentes nunca se traslapan. Existen dife-rentes tipos de teselaciones:

Teselaciones regulares Son teselaciones que utilizan un solo polígono regular. Busquemos aquellos polígonos regulares con los cuales se puede teselar un plano. La suma de los ángulos interiores de un polígono está dada por la fórmula: (n – 2)180°, siendo n el número de lados. Así un ángulo interior de un polígono regular de n lados mide: (n – 2)180°/ n . Habrá teselación si y solo si existe un número entero positivo k tal que cumpla: [(n – 2)180°/ n]k = 360°, donde k representa el número de polígonos que inciden en cada vértice. Si despejamos k resulta: De aquí se obtiene que sólo para n = 3, 4 y 6 resultan va-lores enteros de k, por tanto se concluye que las únicas teselaciones con polígonos regulares son las formadas sólo por triángulos equiláteros, cuadrados y hexágonos regulares.

Teselaciones semirregulares Son teselaciones que utilizan polígonos regulares de distinto número de lados. Por ejemplo cuatro triángulos equiláteros y un hexágono teselan el plano. Exis-ten 8 teselaciones semiregulares.

Teselaciones irregulares Son teselaciones con polígonos irregulares, convexos o no convexos. Por ejemplo triángulos escalenos teselan el plano y trape-zoides también.

Teselaciones periódicas Hasta ahora sólo hemos visto teselaciones con polígonos, con distinto o igual número de lados, convexos o no con-vexos. Pero se pueden hacer ciertas modificaciones en los lados de los polígonos y aún seguir teselando. Estas son las llamadas teselaciones periódicas, donde intervienen traslaciones y rotaciones con las cuales se pueden crear hermosas obras de arte, de las cuales, uno de los más renombrados artistas es el holandés Maurits Cornelis Es-cher (1898-1972) (ABACOM N° 7) Una teselación periódica es aquella que se repite en inter-valos fijos usando traslaciones verticales, horizontales y rotaciones.

Teselaciones no periódicas Son teselaciones en la que, o bien no hay una repetición regular del diseño, o bien la repetición no es completa-mente regular. Un ejemplo de estas tesela-ciones son las teselaciones de Penrose, inventadas por el físico-matemático Roger Pen-rose de la Universidad de Ox-ford. Las teselaciones no solamente las tene-mos presentes en nuestra vida diaria sino que están pre-sentes en el arte, en la música y, como ha pasado en muchas ocasiones, la investi-gación matemática se ha anticipado a descubrimientos en otras disciplinas científicas como, por ejemplo, la cristalo-grafía.

Teselaciones Ema Castro Haase

= = +− −

2 42

2 2n

kn n

Teselación creada por la autora, inspirada en la fauna valdiviana.

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Juegos MatemáticosJuegos MatemáticosJuegos MatemáticosJuegos Matemáticos EL PRIMERO EN CONTAR 100 Este es un juego entre dos personas. Una comienza diciendo un número de 1 a 10 (ambos incluidos), el otro le suma un número también de 1 a 10, y así sucesivamente. La primera que llega a 100 gana el juego. ¿Cómo se asegura ganar?

Respuesta: La primera que diga 89, será el ganador, pues cualquier número que agregue el otro, en la siguiente jugada podrá decir 100. Y para poder decir 89, basta que poder decir en alguna de las jugadas, uno de los siguientes números: 1, 12, 23, 34, 45, 56, 67 ó 78 (y luego continuar diciendo los otros).

¿PAR O IMPAR? Se le pide a una persona que coja en una de sus manos una can-tidad par de monedas (u otros objetos) y en la otra una canti-dad impar. ¿Cómo adivinar en cuál se encuentra la cantidad par?

Respuesta: Pídele que multiplique la cantidad de monedas que tiene en su

mano derecha por un número par cualquiera y que multiplique la cantidad de monedas de su mano izquierda por un número im-par cualquiera, luego hazle sumar los dos productos. Si la suma resulta impar, la cantidad par de monedas está en la mano derecha y si la suma resulta par, está en la mano izquier-da.

Explicación: Recordemos la operatoria entre números pares e impares:

Así si en la mano derecha tiene Par y en la izquierda Impar, se tiene: Par X Par + Impar X Impar = Impar Y si en la mano derecha tiene Impar y en la izquierda Par, se tiene: Impar X Par + Par X Impar = Par.

PAR + PAR = PAR PAR + IMPAR = IMPAR IMPAR + IMPAR = PAR PAR X PAR = PAR PAR X IMPAR = PAR IMPAR X IMPAR = IMPAR

ANÉCDOTAS MATEMÁTICASANÉCDOTAS MATEMÁTICASANÉCDOTAS MATEMÁTICASANÉCDOTAS MATEMÁTICAS

DIRICHLET, EL

AHORRATIVO El matemático alemán Peter Gus-tav Dirichlet (1805-1859) se des-tacó en Teoría de números e hizo valiosos aportes al estudio de la

convergencia de series. Se casó con Rebecka Mendelssohn, hermana del famoso compositor musical. Según sus amigos, Dirichlet no era muy dado a es-cribir cartas. Cuando nació su primer hijo mandó un telegrama a su suegro, no se sabe si para ahorrarse dinero o palabras y se limitó a escribir este mensaje:

1 + 1 = 3.

¡YO SOY EL PAPA! En cierta ocasión Bertrand Rus-sel (1872-1970) estaba especulan-do sobre enunciados condiciona-les del tipo: "Si llueve entonces las calles están mojadas" y afir-maba que de un enunciado falso se puede deducir cualquier cosa. Alguien que le escuchaba le inte-

rrumpió con la siguiente pregunta: "Quiere usted decir que si 2 + 2 = 5 entonces usted es el Papa". Russel con-

testó afirmativamente y procedió a demostrarlo de la si-guiente manera: "Supongamos que 2 + 2 = 5, entonces estará de acuerdo que si restamos 2 de cada lado obtenemos 2 = 3. Invirtien-do la igualdad y restando 1 de cada lado, da 2 = 1. Como el Papa y yo somos dos personas y 2 = 1 entonces el Papa y yo somos uno, luego yo soy el Papa”. (Efectivamente, según la Lógica (ABACOM N° 15), de un enunciado falso se puede concluir cualquier afirma-

ción, pues la proposición lógica p ⇒ q es falsa sólo

cuando p es verdadera y q es falsa, por tanto si p es falsa, la implicación será verdadera, cualquiera sea el valor de verdad de q.)

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ABACOM Boletín Matemático

Las palabras relacionadas con Funciones son: Adición, cuociente, dominio, función, gráfico, imagen, inversa, inyectiva, real y recorrido.

ConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoCo

Problema 1: Las fichas bicolores Sobre una mesa hay un cierto número de fichas que tienen una cara azul y la otra blanca. A una persona con los ojos vendados se le dice que hay diez (10) fichas con la cara blanca hacia arriba y se le pide que divida el total de fichas en dos grupos, de modo que en cada uno haya el mismo número de fichas con la cara blanca hacia arriba, ¿cómo logra hacerlo? Problema 2: El producto incógnito ¿Cuál es el valor del siguiente producto (x – a)(x – b)(x – c) ⋅ ...⋅ (x – z)?

PROBLEMAS EDICIÓN Nº 27

Viola García Paredes

SOPA MATEMÁTICA EDICIÓN Nº 27

Te proponemos que descubras diez (10) palabras relacionadas con isometrías. Pueden encontrarse en forma vertical, hori-zontal o en diagonal, de arriba hacia abajo (o viceversa), de iz-quierda a derecha (o viceversa).

Envía tus soluciones (indicando Nombre, Colegio y Curso) a: A B A C O M A B A C O M A B A C O M A B A C O M Boletín Matemático Casilla 567 Valdivia · email: abacom@uach.cl · Fax (63) 293730 Recepción de soluciones hasta el 10 de Octubre de 2008 A fin de año se entregarán reconocimientos a los participantes.

Problema 1: Una posible solución es la siguiente: Designaremos a las personas por el tiempo que tardan en recorrer el túnel. Van el 1 y el 2…………..2 minutos Vuelve el 1……………..3 minutos Van el 10 y el 5………..13 minutos Vuelve el 2……………15 minutos Van el 1 y el 2…………17 minutos Así en 17 minutos han pasado todos. Problema 2: Veamos, primero, qué números se pueden for-mar con la suma de 2 enteros consecutivos: Si el primero se designa por k, el siguiente será k + 1, así: n = k + (k + 1) = 2k + 1, con k � 1. Luego: todos los números impares se pueden formar mediante la suma de 2 enteros consecuti-

vos. Ahora veamos cuáles se forman con la suma de 3 enteros consecutivos: n = k + (k + 1) + (k + 2) = 3k + 3 = 3(k + 1), con k � 1. Luego se forman así los múltiplos de 3, a partir del 6, o sea: 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30. Sumando 4 enteros consecutivos resulta: n = 4k + 6, con k � 1, es decir los números: 10, 14, 18, 22, 26 y 30. Sumando 5 enteros consecutivos resulta: n = 5k + 10, con k �1, se obtienen los números: 15, 20, 25 y 30. Para la suma de 6 números enteros consecutivos se obtienen valores de n, que ya estaban conside-rados (21 y 27), y para la suma de 7 enteros con-

secutivos se obtiene n = 28. Así tenemos: No se pueden expresar como suma de enteros consecutivos los números: 1, 2, 4, 8 y 16, es decir las potencias de 2. Los demás sí se pueden (en algunos casos existe más de una forma): 3 = 1 + 2; 5 = 2 + 3; 6 = 1 + 2 + 3; 7 = 3 + 4; 9 = 4 + 5; 10 = 1 + 2 + 3 + 4; 11 = 5 + 6, 12 = 3 + 4 + 5; 13 = 6 + 7; 14 = 2 + 3 + 4 + 5; 15 = 7 + 8; 17 = 8 + 9; 18 = 3 + 4 + 5 + 6; 19 = 9 + 10; 20 = 2 + 3 + 4 + 5 + 6; 21 = 10 + 11, 22 = 4 + 5 + 6 +7; 23 = 11 + 12; 24 = 7 + 8 + 9; 25 = 12 + 13; 26 = 5 + 6 + 7 + 8; 27 = 13 + 14; 28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7; 29 = 14 + 15; 30 = 9 + 10 + 11.

RESOLUCIÓN PROBLEMAS EDICIÓN Nº 26

ALUMNOS PARTICIPANTES Para los Problemas planteados en la edición anterior y para la Sopa Matemática han en-viado soluciones los siguientes alumnos: Diego Ampuero (Liceo San Felipe Beni-cio, Coyhaique), Claudio Aron (Liceo Abdón Andrade Coloma, La Unión), Pa-blo Bastías (Windsor School, Valdivia), Eliseo Castillo (Liceo Rodulfo Aman-do Philipi, Paillaco), Juan Pablo López , Marcelo Ojeda (Colegio Santa Cruz, Río Bueno), Mariany Palominos (Liceo San Felipe Benicio, Coyhaique).

I D E N T I D A D N

A U Z B O U I D O O

I S O M E T R I A I

R R L A U O C D B X

T E U P Q A V E C E

E V G U L E T M R L

M N N S C A H I J F

I I A T Y E N G O E

S R O T A C I O N R

T R I O D M P T M A

SOLUCIÓN SOPA MATEMÁTICA EDICIÓN Nº 26

O G I F A R G S A V

R N R O D U L V M E

T E O A I B I H I T

N L C I F T J O N N

E U A O C I Q Y V E

G L O E R N C A E I

A T Y Z R R U O R C

M N A U O N I F S O

I E N O I C I D A U

P O I N I M O D O C

A G O S T O 2 0 0 8

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Es común escu-char sobre la gran distancia que existe ente las ciencias y la religión, pero el filósofo, ma-temático y físi-co francés Blai-se Pascal pocos años antes de morir, en 1662, se hizo cristiano

y asceta. Publicó su apuesta conocida como La Apuesta de Pascal, en la que señala que creer en Dios es la apuesta más segura, utilizando las probabilidades (donde unía las matemáticas y la religión). En relación al tema se presentan las siguientes posibilidades: • Tú puedes creer en Dios, si existe irás al

cielo. • Tú puedes creer en Dios, si no existe no ga-

narás nada. • Tú puedes no creer en Dios, si no existe

tampoco ganarás nada. • Tú puedes no creer en Dios, si existe tú

serás castigado.

Además Pascal creía en la moral cristiana, así que creer en Dios (y por ende en su religión) aporta-ba a la persona una moralidad positiva.

La traducción del escrito de Pascal decía: “Usted tiene dos cosas que perder: la verdad y el bien, y dos cosas que comprometer: su razón y su voluntad, su conocimiento y su bienaventuranza; y su naturaleza posee dos cosas de las que debe huir: el error y la calamidad (miseria). Su razón no está más dañada, eligiendo la una o la otra, puesto que es necesario elegir. He aquí un punto vacío. ¿Pero su bienaventuranza? Vamos a pesar la ganancia y la pérdida, eligiendo cruz (de cara o cruz) para el hecho de que Dios existe. Estime-mos estos dos casos: si usted gana, usted gana todo; si usted pierde, usted no pierde nada. Apueste usted que Él existe, sin titubear”. Pen-samientos, Blaise Pascal (1670) Sencillo y contundente. Pero, como era de espe-rarse, esta simple lógica de Pascal, desde que fue publicada por allá por el 1670, no ha parado de recibir ataques por parte de los que profesan el ateísmo. Sin embargo, dejando de lado todo argumento rebuscado, lo bueno de este pensamiento es pre-guntarnos simplemente ¿Qué es mejor? ¿Creer o no creer en Dios? Como respuesta a esta Apuesta, George H. Smith crea La apuesta de Smith, también basada en las probabilidades y que estás cordialmente invi-tado a investigar.

H U M O R

LA APUESTA DE PASCALLA APUESTA DE PASCALLA APUESTA DE PASCALLA APUESTA DE PASCAL

Dios existe (Dios)

Dios no existe (¬Dios)

Creer en Dios (Creer)

(CIELO)

∞+0

No creer en Dios (¬Creer)

(INFIERNO)

∞−0

Danilo Díaz Levicoy

Un matemático llega a casa a las 3 de la mañana. Su mujer lo increpa: – ¡No dijiste que llegarías ¼ para las 12!

– No, yo te dije que llegaría a las ¼ de 12.

*****

Un matemático ha sido invitado a dar una confe-rencia a una universidad extranjera. Su conferen-cia es anunciada como “Demostración de la Hipó-tesis de Riemann”. Al dar la conferencia él habla de un tema completamente diferente al anunciado. A la salida, un profesor le pregunta: – ¿Ud. halló un error en su demostración? – No, nada de eso. – ¿Y por qué hizo tal anuncio? – ¡Ah! Esa es una precaución que tomo en caso

de morir en el viaje a la conferencia.

*****

Dos matemáticos, en un café, discuten acerca del Cálculo Integral. El primero afirma que la mayoría de las personas no sabe absolutamente nada acerca de este tema, mientras que el otro le contradice diciendo que aquello no es cierto. El primero se levanta para ir al baño y al otro se le ocurre jugarle una broma. Llama a la garzona y le dice: – Cuando yo le haga una pregunta, Ud. me res-

ponderá “un tercio de x al cubo”, ¿está claro? – Sí, – responde la garzona – un tercio de x al

cubo. Vuelve el amigo, y le dice: – Hagamos una prueba. Llama a la garzona y le pregunta: – ¿Cuál es la integral de x al cuadrado? – Un tercio de x al cubo – responde la garzona. Su amigo queda estupefacto y él ríe de buena ga-na, en eso la garzona se vuelve y dice: –… ¡Más una constante!...

La matemática… ... con risas entra

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ABACOM Boletín Matemático

La estadística es capaz de pro-bar lo siguiente: La mayoría de los chilenos tiene un número mayor de piernas que el promedio de los chilenos. Demostración: Población chilena: 15.000.000 de habitantes. Número estimado de chilenos

con una pierna: 12.000 Número estimado de chilenos que carece de ambas pier-nas: 1.000 Por tanto el número promedio de piernas de los chilenos es:

Luego quien tiene dos piernas, que son la mayoría, tiene más piernas que el promedio de los chilenos (puesto que 2 es mayor que 1,999066). Q.E.D.

1.000 0 12.000 1 14.987.000 21,999066

15.000.000

× + × + × =

Una “aplicación” de la Una “aplicación” de la Una “aplicación” de la Una “aplicación” de la

EstadísticaEstadísticaEstadísticaEstadística

POEMA DE PI

Presentamos una curiosidad, un poema que permi-te recordar las primeras 31 cifras decimales del número Pi (π)

Voy a amar a solas, deprimido no sabrán jamás que sueño hallarte, perímetro difícil, escondido que en mis neuronas late… Oscuro el camino para ver los secretos que tú ocultas ¿hallarlos podré?…

Π = 3,1415926535897932384626433832795…

ciasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNo

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Carolina Leiva Cádiz

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XX OLIMPÍADA NACIONAL DE MATEMÁTICA

El sábado 23 de agosto a lo largo del país se rindió la Prueba Nacional de Clasificación de la XX Olimpíada Nacional de Matemática. En la Región de los Ríos participaron alrededor de 80 alumnos que representaron a los siguientes estableci-mientos: Instituto Alemán, Colegio San Luis de Alba, Instituto Salesiano, Domus Matter, Liceo Armando Ro-bles y Windsor School, de Valdivia; Liceo Rector Abdón Andrade Coloma y Colegio Alemán R. A. Phi-lippi de la Unión; Seminario San Fidel de San José; Li-ceo Fernando Santiván de Panguipulli y Colegio Santa Cruz de Río Bueno. Los alumnos que resulten clasificados participarán en Santiago, entre el 11 y 13 de octubre, en la Final Nacio-nal que determinará a los ganadores de la Olimpíada Nacional de Matemática 2008.

CLASIFICATORIA PARA OLIMPÍADA IBEROAMERICANA DE MATEMÁTICAS

El pasado 6 de agosto se realizó la prueba clasificatoria para la 23a Olimpíada Iberoamericana de Ma-temáticas, que este año se reali-zará en Salvador de Bahía, Brasil, entre el 18 y 28 de Septiembre. En este evento, que se realiza desde 1985, participan alumnos menores de

18 años provenientes de: Argentina, Bolivia, Brasil, Chi-le, Colombia, Costa Rica, Cuba, Ecuador, El Salvador, España, Guatemala, Honduras, México, Mozambique, Nicaragua, Panamá, Paraguay, Perú, Portugal, Puerto Rico, República Dominicana, Uruguay y Venezuela. En la clasificatoria participaron todos los alumnos que obtuvieron medallas en la Olimpíada Nacional de Matemática del año 2007. Por la Región de los Ríos lo hicieron los alumnos Carla Vidal del Wind-sor School de Valdivia y Ricardo Vargas del Cole-gio Alemán R. A. Philippi de La Unión.

20 AÑOS DE LA OLIMPÍADA NACIONAL DE MATEMÁTICA La Sociedad de Matemática de Chile (SOMACHI) una vez más organizó la Olimpíada Nacional de Matemática, activi-dad que realiza ininterrumpidamente desde 1989, y que tiene la finalidad de “incentivar en los jóvenes el desarrollo de sus potencialidades y la ampliación de horizontes científicos y culturales”.

LOS ORÍGENES DE LAS OLIMPÍADAS El interés del hombre por competir se origina desde la Edad Media en forma desorganizada pero en la Europa Oriental ya se registran las primeras versiones de olimpíadas matemáticas con el fin de destacar el talento de estudiantes que quie-ren ser reconocidos por sus habili-dades y esfuerzos. En este recuerdo de cómo se originaron las Olinpía-das el Doctor Luis Vergara (en la foto), Docente del Instituto de Ma-temática de la UACh nos remonta

al pasado, pero destaca que la Matemática es una ciencia que tam-bién reúne a los jóvenes talentos en nuestro país desde 1989. Las versiones actuales de las Olimpíadas en Chile se originaron con el Doctor Óscar Barriga de la Universidad de Chile y un grupo de matemáticos que pretendían destacar a través de medallas el talento de estudiantes que se interesaban en la Matemática. “En un único evento se destacó por primera vez a los estudiantes y se les otorgó el reconocimiento social que se merecen, al igual que se premia con medallas a deportistas que se esfuerzan en diversas disciplinas”, declara Vergara y agrega: “la Olimpíada matemática se mantiene en el tiempo porque la organización requiere de poca infraestructura, sólo del esfuerzo de profesores y estudiantes”. Cada versión de este evento se realiza con la creación de las pruebas que rendirán los estudiantes. Éstas posteriormente se envían a cada sede regional para que el docente encargado la distribuya a quienes voluntariamente las aplicarán a los estudiantes que se inscriben a través del sitio web www.olimpiadadematematica.cl. En la etapa de rendición de pruebas es fundamental el apoyo de tres entes: los do-centes de las Universidades del país, los profesores de matemática de los establecimientos que participan y los alumnos que son partí-cipes de cada eliminatoria de este importante evento. Ya son veinte años que la Sociedad de Matemática de Chile organi-za las Olimpíadas de matemática, alcanzando cada vez más intere-sados en participar y ganar medallas por ser talentosos. “Los jóve-nes que se interesan por la matemática y se reúnen resolviendo pro-blemas, tienen en la Olimpíada una instancia de darse a conocer socialmente”, señala el Doctor Luis Vergara. Los estudiantes al ga-nar en las pruebas de las clasificatorias son los representantes de sus regiones y posibles ganadores de medallas por lo que pueden ser representantes de versiones internacionales de Olimpíadas de Ma-temática.