ABACOM Boletín Matemático

¿Para qué sirve la matemática? Es una pregunta que, reiterada-mente escuchamos a los estu-diantes, tanto de básica como de media, y también universitarios.

La matemática está presente en nuestro diario vivir. Casi todo aquello con que nos encontramos día a día, o que nos provoca ad-miración, fue creado gracias a la matemática. Desde los albores de nuestra civilización hasta los adelantos tecnológicos actuales, desde las pirámides de Egipto hasta el trasbordador espacial, todo aquello construido por el hombre ha necesitado de la ma-temática. La radio, la televisión, el automóvil, los aviones, sería impensable la existencia de todo ésto sin la presencia de la mate-mática.

Cada vez es más sabido, y reco-nocido en todas las culturas, que la matemática es un instrumento formidable para el desarrollo del pensamiento lógico y críti-co, con un inmenso valor infor-mativo, formativo, instrumental y práctico. Con razón, diría Ga-lileo: “ la naturaleza es un libro abierto y el lenguaje en que está escrito es el de las matemáti-cas”. Gracias a ella, otras cien-cias han alcanzado sitiales im-

p o r t a n t e s d e d e s a r r o l l o y son consideradas entre las ciencias exactas. También el mundial de fútbol que ha invadido nuestro mun-do, aunque nuestro país quedó fuera de esta cita, está muy li-gado a la matemática. Empezando por el balón con que se juega (ver La Geometría del Balón de Fútbol , página 10), que se aproxima a una es-fera, está muy emparentado con un poliedro muy especial, pa-sando por toda la geometría del campo de juego, que es un rec-tángulo, pero tiene un círculo central y dos semicírculos en las áreas y terminando en la aritmética que se usa para deci-dir qué equipo pasa a la si-guiente ronda, haciendo cálcu-los de promedio de goles y di-versas otras mediciones. Nosotros como educadores so-mos los encargados de motivar a nuestros alumnos, contextua-lizando los contenidos progra-máticos, relacionándolos con s i t u a c i o -nes con-cretas y haciéndo-les ver la u t i l i d a d que tiene la mate-mática y cómo ella está pre-sente hasta en lo más común de n u e s t r o diario vi-vir.

JULIO 2006

AÑO 5 N°19 Editorial MATEMÁTICAS EN TODAS PARTES

En esta edición

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Informática útil pág

- Una Batalla Tecnológica .................2

- ¿Qué es un Fotolog? ........................2

Reflexiones sobre Números...............3 Doblando y Recortando Papeles .....4 Cálculos en Recurrencia ....................5 Logaritmos

- Construcción de un Concepto ........................6 - John Napier .......................................6

- Logaritmos: una Introducción ........7

- Torpedo de Logaritmos ………….7

- La Función Logarítmica ..................8 Concurso

- Desafío a tu Ingenio .........................9 - Sudoku ................................................9

Matemática Entrete - La Geometría del balón de fútbol ........10 - Humor.................................................10 - Un juego en que siempre ganas.........................11

- Sonrisas Informáticas ......................11

Noticias - Programa de itinerancias .................12 - Enigma de Henri Poincaré ..............12

- Henri Poincaré ...................................12 - 18º Olimpiada de Matemáticas..................12

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UNA BATALLA TECNOLÓGICA Y ECONÓMICA Luis Véliz Matus

Hace más de 20 años nació la videogra-badora, en ese momento había dos tipos de cinta para escoger: el formato Beta-max y el VHS. Betamax ofrecía mejor calidad de imagen y sonido mientras que VHS ofrecía más duración de la cinta. Con el tiempo se inició una guerra de precios por dominar el estándar. Conse-cuencia de todo, en los 80s el Betamax desarrollado por Sony asumió su derrota y anunció la producción de una línea de grabadoras en VHS, el estándar por los próximos 10 años. Con la aparición del CD hubo intentos de desplazar al VHS, el VCD (video CD) pasó por el mercado sin pena ni gloria ofreciendo una dudosa calidad de imagen. En 1994 hubo dos

propuestas, una de Toshiba y Time War-ner llamada Disco de Alta Densidad y otra de Philips y Sony llamada Multime-dia CD. Con la intervención de IBM, los dos sistemas se combinaron y nació el DVD. Parecido al CD pero con mucha más capacidad de almacenamiento, cali-dad de imagen y sonido, el DVD se ha convertido en el estándar de almacena-miento de películas, audio y datos para uso doméstico. Cuando el DVD domina el mercado mundial durante ya casi 10 años, se ob-serva una batalla para ser el sucesor del DVD. Se trata del Blu-ray Disc y el HD-DVD, el primero desarrollado por Sony y el segundo por Toshiba y NEC. Am-

bos usan la tecnología del láser azul-violeta, de onda más corta que el láser rojo del DVD, lo que permite al-macenar más información. En principio el Blu-ray almacenará 25 GigaBytes frente a los 15GB de HD-DVD. Esto no decidirá quien sea el ganador, puesto que las grandes compañías Intel y Mi-crosoft han decidido apoyar a HD-DVD, además de Warner y Universal Studios. Por otra parte Blu-ray está apoyada por Sony, LG, HP y Walt Disney, entre otras. Ambos rivales anuncian discos de entre ¡¡¡ 50 y 250 gigas!!! para un futuro no muy lejano. Incluso se habla de 1000GB para el 2010. ¿Qué ocurrirá en esta batalla? Sólo hay que esperar. Estos productos ya están en el mercado de Europa, Asia y Estados Unidos (como toda tecnología, demora-ran un poco en llegar al fin del mundo).

¿Que es un fotolog? Juan Pablo Leiva Cádiz

Un blog o weblog (bitácora, listado de sucesos) es un sitio web, periódicamente actualizado, que recopila cronológicamen-te textos o artículos de uno o varios autores donde el más reciente aparece primero, con un uso o temática en particular, siem-pre conservando el autor la libertad de dejar publicado lo que crea pertinente. Los weblogs usualmente están escritos con un estilo personal e informal. Existen variadas herramientas de manteni-miento de blogs que permiten, muchas de

ellas gratuitamente y sin necesidad de ele-vados conocimientos técnicos, administrar todo el weblog, coordinar, borrar o reescri-bir los artículos, moderar los comentarios de los lectores, etc., de una forma casi tan sencilla como administrar el correo electró-nico. Actualmente su modo de uso se ha simplificado a tal punto que casi cualquier usuario es capaz de crear y administrar un blog. Fotolog o fotoblog, palabra castellaniza-da, viene de las palabras inglesas PHOTO BLOG (BITACORA DE FOTOS) es un tipo de weblog, donde se almacenan, co-mentan y comparten fotos e imágenes. Las comunidades de fotologs nacieron a partir del éxito explosivo de Fotolog.net, sitio estadounidense que permite crear fotologs gratuitos. Fue creado en mayo del 2002 y en febrero del 2005 superó el mi-llón de usuarios. Actualmente ha cambiado

su extensión a “com”. El éxito de Foto-log.net provocó que Jonathan Lara, un informático chileno conocido como Edson, junto a un amigo de apodo Black, crearan Fotolog.cl como un proyecto sin fines de lucro. Literalmente rehicieron Fotolog.net, y en parte son responsables de que “fotolog” en castellano sea un término genérico y no una marca. Fotolog.cl se fundó el 26 de noviembre del 2003 y en su primera versión llegó a casi 40.000 usua-rios. El 29 de septiembre del 2004 decidie-ron borrar a todos los usuarios y partir de cero. En abril del 2005 este sitio superó los 100.000 usuarios, actualmente cuenta con más de 200.000. Si tú quieres crear tu propio fotolog, exis-ten varias comunidades en el ciber espacio para hacerlo, aquí en ABACOM te reco-mendamos algunas: Fotolog.cl, terrachile, terrabrasil, fotolog-mexico y topfotologs.com (que es el ran-king de los mejores fotolog).

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Publicación destinada a Estudiantes y Profesores de Enseñanza Media.

Proyecto auspiciado por el Instituto de

Matemáticas de la Universidad Austral de Chile.

Director: Juan Leiva V. Director Alterno: Victor Alvarado A. Redacción Periodística : Carolina Leiva C. Diagramación: Katherine Inalef P.

Instituto de Matemáticas. Facultad de Ciencias. UACH.

Casilla 567 Valdivia. E.mail: abacom@uach.cl

Fono/Fax (63)221828

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REFLEXIONES SOBRE NÚMEROS

En nuestro número anterior, anali-zamos el significado trascendente de los números uno, dos y tres, ahora finalizaremos con el cuatro, cinco, seis y siete.

El Cuatro: El Cuatro tiene entre los números sim-bólicos el mayor potencial de asociacio-nes. Se relaciona con la cruz y el cuadrado, con las cuatro estaciones del año, los cuatro ríos del Paraíso, los cuatro temperamentos, los cuatro humores corporales, los cuatro puntos cardinales, las fases de la luna, las eda-des del hombre - infancia, juventud, madurez y vejez - , los elementos as-trológicos - tierra, agua, fuego y aire - , las cuatro cualidades alquímicas - frío, seco, húmedo, caliente - , las cuatro funciones psicológicas, según Karl Jung (psicólogo suizo): intuición, sensación, pensamiento y sentimiento. El Cuatro es quien orienta en el mundo tridimen-sional: cómo soy, en contraposición a cómo no soy; dónde estoy, en contras-te a dónde no estoy, adónde voy, en oposición a de dónde vengo, etc. El Cinco: El cinco es el vínculo entre el Uno y la diversidad, el puente que une lo corpó-reo ( la diversidad) con lo divino ( el uno). Jung habla de la Función Trascendente del cinco, la cual es la fusión consuma-da de los elementos: tierra, aire, agua y fuego , y simboliza al cinco como la cúspide de una pirámide de base cua-drangular. El cinco representa los cinco sentidos, a través de los cuales el hombre conoce y aprehende su entorno. Se le describe geométricamente como el pentágono, de donde se deriva la estrella de cinco puntas. En ella se inscribe la figura humana con brazos extendidos y pier-nas separadas. Es la cruz, con sus cua-tro brazos más la intersección. En músi-ca es el pentagrama, sustrato del soni-do original que produjo la creación, y la nota Sol. El Seis: El número Seis es la suma de los tres primeros números: 1 + 2 + 3. Repre-senta la cualidad amorosa en la crea-

ción: la armonía y el equilibrio. Simbólicamente, corresponde a la estrella de seis puntas del sello de Salo-món, o escudo de David, constituido por la fusión armónica de dos triángu-los, uno con el vértice hacia arriba y el otro hacia abajo: lo masculino y lo fe-menino, el fuego y el agua. El triángulo con el vértice hacia abajo representa las leyes del plano físico (como el principio de inercia) y el trián-gulo con el vértice hacia arriba repre-senta las leyes del plano espiritual (como la ley del karma: lo positivo si-gue a lo positivo y lo negativo sigue a lo negativo). Curiosamente, la pareja humana fue creada por Dios, según el Génesis, en el día seis. El Seis es la vibración de Ve-nus, amor y belleza; en música, la nota La, en geometría, el hexágono.

El Siete: Después del tres, es el más importante de los números sagrados. Siete eran los planetas clásicos de la astrología - antes del descubrimiento de Urano, Neptuno y Plutón - señalados como responsables de las cualidades y experiencias huma-nas. Siete son también las notas musicales, los colores del arco iris, los brazos de la menorah - candelabro judío – y 7 los grandes chakras del hinduismo: ubica-dos en la era anterior desde la Isla de Sri Lanka hasta el Monte Kailas en los Himalayas. Estos siete chakras o centros de energí-as, se dicen ubicados desde 1948 a lo largo de la Cordillera de Los Andes o Cordillera del Sol: el 1º en Santiago, el 2º en Elqui ambos en Chile , el 3º en Cuzco en Perú, el 4º en Quito en Ecua-dor , el 5º en Medellín en Colombia, el 6º en Caracas en Venezuela y final-mente el 7º Chakra en Monterrey en México . Estos 7 Centros tienen tam-bién su contrapartida a lo largo de nuestra columna vertebral: desde la base del sacro el 1º hasta la coronilla el 7º (zona en la cual se dibujaba la au-reola de los Santos). En el medioevo, se consideraban siete los dones del Espíritu Santo, 7 los sa-cramentos, 7 las virtudes y 7 los peca-dos capitales.

En resumen: Podemos observar que en su origen, los números tenían un significado que hoy día han perdido; de alguna manera nuestra sociedad científico-tecnológica ha ido priorizando los aspectos técnicos por sobre los aspectos ético-valóricos, aunque naturalmente que una cosa no debiera excluir a la otra. La mirada cien-tífica de la realidad no necesariamente excluye la mirada mística o religiosa de la misma, así como el lado derecho de nuestro cerebro (el cerebro emocional o yin) no excluye el lado izquierdo del mismo (el cerebro analítico o yang), sino que muy por el contrario ambos coexisten y producen esa especial mira-da sobre la naturaleza, la cual llamamos “la mirada humana”.

Luis Castro Haase

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Continuamos con el plegado y recorte de papel para visualizar propiedades de figuras geométricas. Ahora mostramos algunos de los elementos principales de un triángulo y algunas de sus propiedades más simples. Es necesario tener en cuenta que lo que aquí construimos en ningún caso signifi-ca demostrar las propiedades mencionadas sino tan sólo una manera intuitiva de verlas. Las demostraciones se realizan usando la geometría y el álgebra. Incentro de un triángulo

1. Trazado del incentro doblando papel Recorta un triángulo cualquiera ABC. En cada ángulo marca la bisectriz correspondiente doblando la hoja y juntando los lados que forman el ángulo. Observa que los tres dobleces se inter-sectan en un punto I llamado incentro del triángulo (Punto de intersección de las bisectrices de un triángulo). 2. Igualdad de la distancia del incentro a los lados del triángulo Para esto se dobla el papel haciendo resbalar un lado sobre si mismo aplastando el papel sin marcar hasta que vemos aparecer en el do-blez el punto I. Sin perder la guía del lado marcamos el doblez desde I hasta el lado. Repetimos la operación en los otros dos lados obteniéndose los puntos L,J,K en los lados AB,BC,CA respectivamente. Dobla los segmentos IA, IB e IC en forma de colina (hacia fuera) y los seg-mentos IJ, IK e IL en forma de valle (hacia dentro). Con esto consigues juntar estos tres últimos segmentos y con lo cual muestras que miden lo mismo. Como el punto I equidista de los tres lados del triángulo existe una circunfe-rencia de centro I, de radio la distancia del incentro a cada lado del triángulo, llamada circunferencia inscrita al trián-gulo.

Circuncentro de un triángulo

1.Trazado del circuncentro doblando papel

Recorta un triángulo acutángulo escaleno y marca sus simetrales (Rectas perpendiculares a los lados en sus puntos medios). Para esto junta dos vértices de un lado del triángulo y marca el doblez de la hoja de papel. Repite esto con los otros dos lados del triángulo. Llamemos P, M, N a los puntos medios de los lados AB, BC, CA respectivamente. Los tres dobleces se intersectan en un solo punto, llamado cincuncentro del triángulo (F).

2.Igualdad de la distancia del circuncentro a los vértices Une el circuncentro con los tres vértices AF, BF, CF doblando en forma de colina y dobla en forma de valle por FM, FN, FP. Si juntas los seg-mentos AF, BF, CF verificarás que miden lo mismo. Como el punto F equidista de los vértices del triángulo, existe una circunferencia de centro el circuncentro y radio la distancia común del circuncentro a cada vértice, llamada circunferencia cincuncrita al triángulo.

Centro de gravedad de un triángulo 1. Trazado del centro de gravedad de un triángulo doblando papel

Recorta un triángulo acutángulo escaleno ABC. En cada lado marca el punto medio correspondiente doblando la hoja y luego pliega la hoja de manera que se marque el segmento de extremos un punto medio y el vértice del lado opuesto (Un tal segmento se llama mediana o transversal de gravedad). Observa que los tres dobleces se intersectan en un punto G llamado centro de gravedad o baricentro del triángulo (Punto de intersección de las medianas de un triángulo).

2. Relación entre la distancia desde el centro de gravedad a los vértices En cada mediana, dobla el papel para marcar el punto medio del seg-mento entre el centro de gravedad y el vértice correspondiente, y compara cada una de estas dos mitades con el resto de dicha mediana, observándose que en cada una de ellas el segmento de extremos el centro de gravedad y el vértice es el doble de la parte restante de la mediana. Si la hoja de papel la apoyas horizontalmente con un lápiz ubicado verti-calmente con su punta en el punto G, el triángulo se mantendrá en equili-brio.

Ortocentro de un triángulo

1. Trazado del ortocentro de un triángulo doblando papel Recorta un triángulo acutángulo escaleno ABC. Marca las alturas del triángulo (perpendiculares a los lados que pasan por los vértices). Estas tres alturas se intersectan en un punto H lla-mado ortocentro del triángulo.

2. Relación entre ángulos determinados por las alturas Observa que las alturas del triángulo considerado determinan seis triángulos, todos con un vértice común H y consideremos tres pares de ellos, los que tienen ángulos opuestos por el vértice. Observa que en cada par de tales triángulos hay dos ángulos rectos y dos ángulos opuestos por el vértice. Recorta los seis triángulos y muestre que en estos pares de triángulos los terceros ángulos son iguales. Rearma el triángulo ABC para observar los ángulos iguales.

Doblando y Recortando Papeles Víctor Alvarado Alvarado

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Cálculos en recurrencia En el cuadro siguiente se muestran datos sobre la población en Chile (en miles de habitantes):

Nuestra intención es calcular, de manera razonable, el número de habitantes que tendrá nuestro país en el año 2015. Para saber cómo crece la población calcularemos las tasas de crecimiento por período (en este caso, de 5 años) del modo siguiente:

A continuación calculamos la tasa promedio de crecimiento por perío-do, que es:

Dejemos nuestros cálculos y veamos las cosas desde un punto de vista más general. Empecemos por anotar con

los tamaños de la población, donde

corresponde al tamaño de la población en el año k. Consecuente-

mente con lo que hemos hecho podemos escribir , p a r a en donde r representa la tasa de crecimiento por período. De aquí resulta para Esta es una ecuación de recurrencia, que permite determinar cada uno de los términos de esta sucesión, haciendo uso de los anteriores. Así, usando la ecuación de recurrencia, encontramos

Esta última es una fórmula que nos permite calcular la población en el año k conociendo la población al comienzo (en 1980, en nuestro caso) y la tasa de crecimiento.

Así en este caso tenemos y queremos calcular

, que resulta

. Por tanto afirmamos que si la población crece a la misma tasa que lo venía haciendo a fines de siglo, para el año 2015 deberíamos contar con unos 21 millones de chilenos. Ecuaciones de recurrencia hay muchas y se conocen desde muy anti-

guo. Una muy famosa es la ecuación , con k mayor o igual a 0. Si suponemos que conocemos los 2 primeros términos, digamos

, podemos calcular la sucesión de números: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,… que se conocen como Números de Fibonacci. ¿Será posible encontrar una fórmula que permita calcular los números de Fibonacci sin recurrir a la ecuación de recurrencia? (Esto es, calcular uno en particular sin necesidad de hallar todos los anteriores). Veamos. Empecemos por escribir la ecuación así

. A continuación supongamos que los

son potencias de un cierto número q, es decir y

reemplacemos en la ecuación, resulta y

dividiendo por , resulta la ecuación de segundo grado

c u y a s s o l u c i o n e s s o n

. El lector puede comprobar por sí mismo que la fórmula que buscamos p a r a l o s n ú m e r o s d e F i b o n a c c i e s

Por último un problema no trivial, pero que empieza con el conocido “juego de los cuatro números”: considere cuatro números cualesquiera, por ejemplo 4,7,3,1; a continua-ción, escriba los valores absolutos de las diferencias para generar otros cuatro números 3,4,2,3. Repita el procedi-miento para obtener 1,1,1,1; y por último, resulta 0,0,0,0. Pregunta; ¿Si Ud. hace lo mismo pero empezando con tres números, o con cinco, seis, siete, etc. terminará en puros ceros?…

= 0,08074 + 0,08740 + 0,08396

3 0,084033

1 2 3 + 1, , ,..., , ,...k kx x x x x

kx

+1 - = k k

k

x xx r

2 1 = (1 + )x r x

23 2 1 = (1 + ) = (1 + )x r x r x

34 3 1 = (1 + ) = (1 + )x r x r x

.

.

.

11 = (1 + )k

kx r x?

1 = 11.147x

8x8(1 + 0.084277) x 11.147 = 21.295

+2 +1 = + k k kx x x

0 1 = = 1x x

+2 +1 - - = 0k k kx x x

kx = kkx q

+2 +1 - - 0k k kq q q ?

kq

2 - - 1 0q q ?

1 21 - 5 1 + 5

2 2 = , = q q

x ( ) x ( )1 + 5 1 + 5 1 - 5 1 - 52 22 5 2 5

= - k kkx

Luis Vergara Bascuñán

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ABACOM Boletín Matemático

k Año Población

1 1980 11.147 2 1985 12.047 3 1990 13.100 4 1995 14.200

Cálculos Tasa

12.047 - 11.147

11.1470,08074

13.100 - 12.047

12.0470,08740

14.200 - 13.100

13.1000.08396

+1 = (1 + )k kx r x > 0k

> 0k

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Frecuentemente se supone que las ideas matemáticas nacen en un am-biente ajeno a las realidades cotidia-nas y se desarrollan en forma rauda y sin obstáculos; sin embargo la histo-ria de las Matemáticas nos enseña que la construcción de un concepto en esta disciplina rara vez ha sido en línea recta, son frecuentes las inte-

rrupciones y saltos hacia otras ideas matemáticas que no están directa-mente vinculadas con la cuestión ori-ginal pero que van a aportar a su de-sarrollo. El caso de los logaritmos es un ejemplo de este desarrollo mate-mático caótico y enriquecedor al mis-mo tiempo. El concepto de logaritmo se origi-na en un problema de matemática aplicada: se trata de simplificar el arduo trabajo de quienes se dedican a efectuar largos cálculos de multipli-caciones, divisiones, elevaciones a potencias y extracciones de raíces. Estos cálculos en los siglos XIV, XV y XVI están directamente vinculados con los problemas de agrimensura (medición de terrenos) y la Astrono-mía, muy particularmente con la na-vegación. Las operaciones aritméticas men-cionadas anteriormente, estaban es-trechamente ligadas con la resolución de triángulos, donde el cálculo de las longitudes de los lados se basa en la

medida de los ángulos correspondien-tes; adquiriendo el carácter de opera-ciones esenciales las operaciones de multiplicación y división de senos de estos ángulos. La idea fundamental que generaría los logaritmos se debe a Arquímedes: el fue el primero en concebir la com-paración de una progresión geométri-ca con una aritmética derivada de la anterior, para calcular los términos de la primera en base a la progresión aritmética. Esta idea fue revivida por Chuquet y Stifel en el siglo XV, pero no tuvo repercusión en el campo aplicado ni en el campo de investiga-ción matemático. Habría que esperar hasta el siglo XVI, para que emergiera el padre fundador de la noción de logaritmo: John Napier. También es importante destacar, por su contribución al desa-rrollo de este nuevo método de cálcu-lo matemático, a Henry Briggs.

John Napier (1550-1617) John Napier, escrito tam-bién como Néper, barón de Merchistoum de nacionalidad escocesa mostró en el transcur-so de su vida un espíritu inqui-sidor y dinámico, a pesar de vi-vir alejado de los centros cultu-rales de su época. En los ratos de ocio que le dejaban sus de-beres de terrateniente y su vana preocupación de demostrar que el Papa reinante era el Anticris-to, inventó los logaritmos. La invención de los logaritmos, no es su único aporte relevante en Matemáticas, también escribió un libro sobre ecuaciones e ideó

además un sistema de cálculo por medio de regletas gradua-das. En 1614, publicó el: “Mirifici logarithmorum cano-nis descriptio…” donde utili-zando el concepto de velocidad pone en relación una progresión geométrica formada por las dis-tancias recorridas con velocida-des proporcionales a ellas mis-mas, con una progresión arit-mética formada por las distan-cias recorridas con velocidad constante. La obra comprende una tabla de logaritmos de se-nos. En 1619, aparece una se-

gunda obra sobre los logarit-mos, obra póstuma, donde el autor explica como calcular los logaritmos.

Iván Medrano Tello

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De la medición de terrenos y la navegación a la construcción de un concepto matemático: los logaritmos.

En las calculadoras científicas aparecen dos teclas no-minadas log y ln . Si se calcula log 2006 el visor de la calculadora entrega el re-sultado 3,302330929, y si se calcula ln 2006 resulta 7,603897969. ¿Qué significan estos números? log 2006 se lee logaritmo decimal (en base 10) de 2006 y ln 2006 se lee logaritmo natural (en base e) de 2006, donde e es aproximadamente 2,71828. En general, el logaritmo de un número en una base dada es el exponente al que hay que elevar la base para obtener dicho número. En símbolos: log a x = y si y solo si a y = x El número a se llama base del logaritmo, es un número positivo, distinto de 1. Por ejemplo: Como 2 6 = 64, entonces log 2 64 = 6 log 3 ( 1/81 ) = - 4, ya que 3 -4 = 1/81 Para trabajar con logaritmos se usan diferentes bases. Las dos bases más usadas son:

a = 10: en este caso, los logaritmos se llaman logaritmos decimales y se anota

log 10 x = log x a = e: en este caso, los logaritmos se llaman logaritmos naturales y se anota

log e x = ln x

En el caso de logaritmos decimales, cuando el número x es una potencia de 10, resulta que logx es un número ente-ro. Por ejemplo: log 1000 = 3, log (0,01) = -2. En el caso de logaritmos naturales, la base es el núme-ro irracional e, número que es fundamental en el estudio de matemáticas superiores (Ver ABACOM Nº 4). Las propiedades de logaritmos dadas en el torpedo se de-muestran usando propiedades de las potencias. Una calculadora entrega sólo logaritmos decimales (tecla log) y naturales (tecla ln). ¿Cómo se puede calcular log 7 2006? Para esto se usa una de las fórmulas del torpedo, la llamada cambio de base: log 7 2006 = l og 2006 / log 7 = 3,302330929 / 0,84509804 = 3,907630562 (cambio a base 10) También:

log 7 2006 = ln 2006 / ln7 = 7,603897969 / 1,945910149 = 3,907630562 (cambio a base e) .

Definición de Logaritmo

(logaritmo de x en base a) Propiedades

,

, ,

(cambio de base)

(logaritmo decimal)

(logaritmo natural)

, ,

Gráficos de la Función Logarítmica

log = ssi = yx y aa x diferente de( > 0, 1)a a

log 1 = 0a log 1 = aa

log = log + logxy x ya a a

log / ) = log - log(x y x ya a a1log log , log log = = yyx y x x xa a a ay

log = x xaa log = xaa x log x log = 1b aa b

loglog = log

xbxa ab

log = log10x x

= log ssi = 10yy x x

ln = logx xe

= ln ssi = yy x x e

log10 = 1 ln = 1elnlog = ln10

xx

1log = ln ,ea alogln , 10 = = x ax x a xa e a

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ABACOM Boletín Matemático

LOGARITMOS: Una introducción

TORPEDO DE LOGARITMOS

= logy xa

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La función logarí tmica

Manuel Bustos Valdebenito

Viola García Paredes

Envía tus soluciones (indicando Nombre, Colegio y Curso) a: ABACOM Boletín Matemático Casilla 567 Valdivia email: abacom@uach.cl Fax (63)221828 Recepción de soluciones hasta el 20 de septiembre 2006 A fin de año se sortearán calculadoras, libros y souvenirs de la UACh.

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ABACOM Boletín Matemático

ConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoCo

PROBLEMA Nº 1 Sean x = total de abejas del enjambre; y = número del grupo de abejas que se posó en el jazmín Entonces se cumple que: , ; de donde se obtiene:

.

Sólo sirve la solución entera, o sea . Respuesta: El enjambre los formaban 72 abejas (y el grupo era de 6 abejas).

PROBLEMA Nº 2 Llamemos x e y a los números. Se debe cumplir: .Como 21 es el máximo común divisor,

, con a, b naturales Así Hay dos posibilidades; de donde o bien y asi Respuesta: Hay dos soluciones, los números pueden ser 231 y 210 ó 105 y 42.

2

ssi 81

- 36 + 324 = 2x x x

9

- 18 ssi =

2x x8

9 = - - 22x

x x

= 2xy

8

9 + + 2 = y x x

1 2 entonces = 4,5 o = 72x x2 ssi 2 - 153 + 648 = 0x x

= 72x

2 2 - = 9.261x y

+ = 21 y - = 1a b a b = 11, = 10 a b + = 7 y - = 3a b a b

2 2(21 ) - (21 ) = 9.261a b 2 2ssi - = 21a b2 2ssi 441 - 441 = 9.261a b ssi ( + )( - ) = 21a b a b

= 21 , = 21x a y b

PROBLEMA 1 El tío y el sobrino Un tío le dice a su sobrino: “Yo tengo el triple de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes ahora. Cuando tú tengas la edad que yo tengo ahora, la suma de nuestras eda-des será 50 años”. ¿Qué edad tiene cada uno actualmente? PROBLEMA 2 El triángulo y el trapecio En un triángulo equilátero, se traza una recta que intersecta a dos de sus lados, es paralela al tercer lado y divide la región triangular en un trapecio y otro triángulo, de modo que estos dos polígonos tienen el mismo perímetro. ¿Cuál es la razón de las áreas del triángulo pequeño y del trapecio?

PROBLEMAS EDICIÓN Nº 19 SUDOKU edición 19 El objetivo es completar los cuadrados que faltan, de modo que los dígitos 1 al 9 apa-rezcan sin repetirse, en cada fila, en cada columna y en cada bloque de 9 cuadrados. SOLUCIÓN EN EL PRÓXIMO NÚMERO

SOLUCIÓN edición 18

= 5, = 2a b

RESOLUCIÓN PROBLEMAS EDICIÓN Nº 18

J U L I O 2 0 0 6

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En este último mes el interés mundial ha estado centrado en un objeto muy conocido, sobre todo por los niños desde peque-ños: el balón de fútbol. El balón de fútbol cuando está bien inflado, parece una esfera perfecta. Pero, ¿realmente es una esfera perfecta?

Los cascos que lo componen son figuras geométricas llamadas polígonos regulares (ya que tienen todos sus lados y ángulos internos iguales). Dos tipos de polígonos regulares componen el balón de fútbol: pentágonos y hexágonos, que llamaremos ca-ras. Si está un poco desinflado se puede mantener apoyado perfectamente en equilibrio sobre una de sus caras y deja de ser una esfera, ahora es... un poliedro, es decir un cuerpo geo-métrico tridimensional compuesto de varias caras y que tiene nombre propio, aunque un tanto raro: icosaedro truncado. Pero… ¿cuántos pentágonos y cuántos hexágonos tiene? Si cuentas los pentágonos, lo que es relativamente fácil, verás que son 12.

¿Y cuántos hexágonos son? También podrías contarlos, pero hagamos un razonamiento para determinar este número. Cada pentágono está rodeado por cincos hexágonos, luego debería haber 12 X 5 = 60 hexágonos. Pero cada uno de ellos está uni-do a 3 pentágonos diferentes...Por tanto son 60 : 3 = 20 hexágonos. En total son 12 + 20 = 32 caras.

Y… ¿cuántas costuras, o aristas ten-drá? Nuevamente razonemos para determinarlas. Si hay 20 hexágonos y cada uno tiene 6 aristas, resultan 120 aristas, más 12 pentágonos por 5 aristas cada uno son 60 más. En total 180 aristas. Pero cuidado, cada arista está compartida por dos polígonos, así que la hemos contado dos veces. Luego hay...180 : 2 = 90 aristas. Y… ¿cuántos vértices (o sea puntos donde se juntan las aris-tas), tendrá? Podríamos enumerarlos con un plumón y así determinar este número, pero … si pensamos un poco veremos que cada arista une dos vértices, así que hay 90 x 2 = 180 vértices. ¡Demasiados! Claro, pues cada uno lo hemos contado varias veces. Si en cada vértice confluyen tres aristas, cada uno lo he contado tres veces, así que hay, ... 180 : 3 = 60 vértices.

Existe una relación entre el número de caras, de aristas y de vértices en todo poliedro convexo, fórmula debida a Euler: V – A + C = 2. (V = Nº de Vértices, A = Nº de Aristas, C = Nº de Caras). En este poliedro se tiene: 60 – 90 + 32 = 2.

Este cuerpo geométrico se llama icosaedro truncado debido a que se obtiene a partir de un icosaedro, que es un poliedro regular (uno de los 5 poliedros regulares que existen, ver CUERPOS SÓLIDOS; ABACOM Nº 10) formado por 20 trián-gulos equiláteros, cortando (o sea truncando) sus 12 vértices para así formar los 12 pentágonos y dejando además cada una de las 20 caras transformadas en hexágonos.

¿Por qué se utiliza este poliedro para construir los balones? Porque se aproxima a una esfera, aunque no es el que más se aproxima a una esfera. Su volumen es el 86,74 % de la esfera correspondiente, que no es una mala aproximación; pero cuan-do se infla, se curvan sus caras y así este porcentaje aumenta ligeramente y sobrepasa el 95 %. Hay otros poliedros que se aproximan más a una esfera pero tienen muchas más caras lo que comercialmente es inade-cuado para confeccionar balo-nes.

La geometr ía del balón de fútbol

H U M O R

-¿Cómo qué dónde está el ícono para dividir?

¿Quién es la patrona de los informá-ticos? Santa Tecla.

***** ¿Cuál es el plato preferido de los informáticos? Las papas chips.

***** Hardware es aquéllo que acaba es-tropeándose. Software es aquéllo que acaba funcionando.

***** Un médico, un ingeniero y un infor-mático están charlando sobre cuál de sus profesiones es la más antigua. Empieza el médico: - Pues mira, la Biblia dice que Dios creó a Eva de una costilla de Adán; esto obviamente requiere cirugía, y por lo tanto la medicina es la profe-sión más antigua. El ingeniero replica : - Si, bueno, pero antes de eso, la Bi-blia dice que Dios separó el orden del caos; ésta fue obviamente una obra de ingeniería. El informático se echa para atrás en la silla y dice sonriendo tranquila-mente porque sabe que ha ganado esa mano: - Si, pero ¿cómo crees que Dios creó el caos?

***** Un físico, un químico y un progra-mador van en auto por la carretera. De repente, el coche comienza a hacer un ruido extraño. Se detienen y dejando el motor en marcha elucu-bran sobre lo que sucede mirando el motor. El físico dice: - Evidentemente, hay un problema de rozamiento entre los pistones, de ahí el ruido. El químico replica: - Nada de eso, el ruido es debido a que la gasolina esta mal mezclada. El programador va y dice: - ¿Por qué no lo apagamos, lo encen-demos, lo apagamos, lo encende-mos,...?

Sonrisas Informáticas

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ABACOM Boletín Matemático

Un juego en que siempre puedes ganar

Te proponemos un juego, que se juega entre dos jugado-res, y en el que siempre podrás ganar. Dado un número n de objetos, como palillos, fósforos, fichas, piedras u otros, el juego consiste en que cada uno va tomando alternadamente, uno, dos o tres objetos y pierde el jugador que saque el último objeto. Si los dos jugadores los anotamos como A y B, surgen dos preguntas: ¿Como debe jugar A para estar seguro de ganar? ¿Tiene A libertad para empezar o no empezar el juego? Si n es el número de objetos empleados, al dividirlo por cuatro hay cuatro posibi-lidades:

??El cuociente tiene resto 1, si n es múltiplo de 4 , más 1 ??El cuociente tiene resto 2, si n es múltiplo de 4, más 2 ??El cuociente tiene resto 3, si n es múltiplo de 4, más 3 ??El cociente es exacto, si n es múltiplo de 4

El jugador A ganará si se procede de la forma siguiente: ??n es múltiplo de 4, más 1: Empieza a jugar B, retirando A sucesivamente

el complemento a 4 del número de objetos que retire B. ??n es múltiplo de 4, más 2: Empieza a jugar A, retirando un objeto en la

primera jugada y después sucesivamente el complemento a 4 del número de objetos que retire B .

??n es múltiplo de 4, más 3: Empieza a jugar A, retirando dos objetos en la primera jugada y después sucesivamente el complemento a 4 del número de objetos que tome B.

??n es múltiplo de 4: Empieza a jugar A , retirando 3 objetos en la primera jugada y después sucesivamente el complemento a 4 del número de objetos que retire B.

Así, tú siempre ganarás si lo haces como el jugador A. Ejemplos: 1) Caso en que hay 21 objetos (n = 21 es múltiplo de 4, más 1):

Jugada Objetos que saca A Objetos que saca B 1 1 2 3 3 3 1 2 4 2 1 5 3

En este momento quedan 5 objetos, de manera que según B retire 1, 2, 3 obje-tos entonces A retira 3, 2, 1 quedando un objeto para B. 2) Caso en que hay 28 objetos (n = 28 es múltiplo de 4):

Jugada Objetos que saca A Objetos que saca B 1 1 2 3 1 3 3 2 4 2 2 5 2 3 6 1

En este momento quedan 5 objetos, y la situación sigue como en el caso anterior. Te invitamos a adecuar el juego para retirar alternadamente uno, dos, tres o cuatro obje-tos.

ciasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNo

SE RESUELVE ENIGMA DE HENRI POINCARÉ

Dos científicos chinos resuelven “conjetura de Poincaré” que señala que la esfera tridimensional es el único espa-cio limitado sin orificios.

Hace más de un siglo, en 1904, el matemático francés Henri Poincaré describió esta conjetura que fue resuelta por los científicos chinos, Zhu Xiping y Cao Huaidong, quienes lo publicaron en la edición del “Asian Journal of Mathema-tics”.

La conjetura sostiene que la esfera tridimensional es la única variedad en la que todo lazo o círculo cerrado se puede transformar en un punto. O, en otras pala-bras, sólo hay una variedad de dimensión 3, cerrada y simplemente conexa y se trata de la esfera.

El matemático ruso Grigori Perelman anunció, en 2002, su demostración de esta conjetura, aunque ésta no ha sido publicada aún. El 5 de junio de 2006 los mate-máticos chinos publicaron la demostración completa, basándose en los trabajos preliminares (éstos si publicados) de Perelman, lo que a falta de la validación por la comunidad internacional, da fin a la clasificación completa de las estructuras topológicas de dimensión tres o tridimensionales

Ellos deben esperar dos años para que su trabajo sea revisado por la comunidad matemática y si es reconocido alcanzaría el nivel de teorema. Además ganarían el premio establecido por el Instituto Clay de Massachusett por resolver uno de los considerados siete “problemas del milenio” dentro de las ciencias matemáti-cas. Este premio ofrece un incentivo de un millón de dólares.

En Valdivia: INAUGURACIÓN PRO-GRAMA DE ITINERAN-CIAS 2006

“El camino de las Ciencias, Artes y Tecnolo-gías” (CCAT) es el nombre del programa de itinerancias del Museo Interactivo Mirador (MIM) que fue inaugurado, a inicios de junio, en la ciudad de Valdivia por su Directora Jac-queline Weinstein. La muestra fue exhibida en el Museo de Arte Contemporáneo de Valdivia desde el 1 de junio al 2 de julio.

Con la muestra “Ponte a prueba” se dio inicio al programa del MIM que cuenta con el apoyo del Ministerio de Educación y de la Goberna-ción Provincial de Valdivia.

Esta muestra consta de 12 exhibiciones inter-activas que desafían en términos de percep-ción, motricidad, emoción y conocimientos para descubrir cómo respondemos a los estí-mulos del entorno. Todos los experimentos están basados en principios físicos o matemáti-cos. Entre ellos cabe destacar La Catenaria, curva estudiada en matemáticas superiores y que se forma al colgar un cable entre dos so-portes fijos (el nombre proviene del latín cate-na que significa cadena, porque al colgar una cadena se produce el mismo efecto). En la muestra se destacaba el uso dado a la catenaria en la arquitectura, que permite construir arcos que se soportan por sí mismos.

El objetivo de esta muestra es contribuir a la descentralización de la cultura y lograr la for-mación integral de forma equitativa de los ni-ños, niñas y jóvenes estudiantes del país. “La muestra es un complemento de la enseñanza escolar y buscamos provocar una experiencia de conocimiento y aprendizaje, pero a través del juego, el asombro, la emoción”, señaló Weinstein.

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Carolina Leiva Cádiz

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HENRI POINCARÉ (1854 – 1912)

Nació en Nancy, Francia, el 29 de abril de 1854. Fue un prestigioso matemático, científico teórico y filósofo de la ciencia. Poincaré es descrito a menu-do como el último "universalista" (luego de Gauss) capaz de entender y contribuir en todos los ámbitos de la disciplina matemática. También se dedicó a la física (mecánica y electro-magnetismo) y escribió numerosas obras de divul-gación científica que alcanzaron una gran populari-dad. Murió en París el 17 de julio de 1912

18º Olimpiada Nacional de Matemática El sábado 26 de agosto se llevará a cabo la Prueba Nacional de la 18º Olimpíada Nacio-nal de Matemática, en las diferentes sedes regionales. La Final Nacional será los días 12, 13 y 14 de octubre, en Santiago. Ver más información en www.olimpiadadematematica.cl