ABACOM Boletín Matemático

En todas las ciencias se da el hecho que una cierta afirmación que se consi-dera una verdad irrefutable, con el tiempo y nuevos conocimientos o ade-lantos tecnológicos, pasa a ser refutada y finalmente desechada. Así tenemos el caso de la Geografía en que se creía que la Tierra era plana o de la Astro-nomía, en la que antiguamente se creía que la Tierra era el centro del Univer-so. Lo mismo ha ocurrido con las teorías acerca de la estructura de los átomos, en Química, o de la naturaleza de la luz, en Física. En Matemáticas también ha ocurrido algo parecido, aunque no exactamente igual. Debido a la naturaleza de esta ciencia, que es deductiva, cuando una afirmación se enuncia y es demostrada correctamente, es imposible posterior-mente refutarla. El ejemplo más típico es el del quinto postulado de Euclides. En el siglo III A. C. Euclides, en su monumental obra Los Elementos, estableció los postulados de la geometría. Desde el inicio, el propio Euclides pensó que el mencionado postulado podría ser de-mostrado a partir de los cuatro anterio-

res y así podría ser un teorema y no un postulado. Pero pasaron nada menos que 20 siglos para que a principios del siglo XVIII un sacerdote jesuita y pro-fesor de la Universidad de Pisa, el ita-liano Girolamo Sachieri (1667 – 1733) tuvo una idea genial: supuso que el postulado en cuestión era falso, reemplazándolo por otro contradicto-rio con él. Así esperaba llegar a alguna contradicción, lo que permitiría probar que el postulado original debía ser ver-dadero, por lo que podría ser desecha-do como postulado y pasaría a ser un teorema. Sachieri no logró llegar a ninguna contradicción, con lo que fue el primero en elaborar una geometría no euclidiana, pero no se atrevió a co-municar su descubrimiento, pues esto era refutar una verdad absoluta para esa época, como era la Geometría Eu-clidiana. Posteriormente Gauss (ver ABACOM N° 33), también llegó a la misma con-clusión y tampoco tuvo el valor de comunicarlo a la comunidad científica. La diferencia con Sachieri, es que Gauss fue famosísimo por otros de sus logros. Finalmente dos matemáticos casi en forma simultánea publicaron, en 1840, las primeras Teorías de Geo-metrías no euclidianas: el ruso Nicolai Lobachevski (ver página 8) y el húngaro Janos Bolyai (1802 – 1869). Finalmente en 1916, Einstein, en su Teoría General de la Relatividad, ase-gura que nuestro Universo no es eucli-diano. Así la Geometría Euclidiana lejos de ser una verdad absoluta y eter-na como se creyó durante 2000 años, es sólo una geometría sumamente res-tringida y abstracta del plano.

MAYO 2010MAYO 2010MAYO 2010MAYO 2010

AÑO 9 N°34AÑO 9 N°34AÑO 9 N°34AÑO 9 N°34

Editorial

VERDADES REFUTADAS En esta edición

Visítanos en: www.uach.cl/abacom Contáctanos en: abacom@uach.cl

pág

Lo Último en Tecnología...…………....2

Estadística • Medidas de Tendencia Central:

La Moda. ...................................... .3

Matrices y Sistemas de Ecuaciones ..... .4

Cálculo Aproximado de Raíces Cuadra-das .................................................. .5

F MAT Un Foro Matemático. .............. .5

Isaac Newton • El Padre del Cálculo. ................... .6

• La Fecha del Fin del Mundo . ...... .6

• Frases de Newton. ........................ .7

• La Ley de Gravitación Universal. .7

Juegos Matemáticos. ............................ ..8

Anécdotas Matemáticas ....................... ..8

¿Estaba Galileo Equivocado? .............. ..9

Matemática Entrete • Alexis Lemaire, Una Calculadora

Humana ........................................ 10

• Estadísticamente hablando ........... 10

• Computación en la Prehistoria .... 10

Concurso • Desafío a tu Ingenio ..................... 11

• Sopa Matemática .......................... 11

• ¿Positivo o Negativo? .................. 11

Noticias • Se crea Centro de Docencia de

Ciencias Básicas .......................... 11

• Obtienen Medallas en la XXI

Olimpíada Nac. de Matemática .... 12

• Alta Uach Inicia Actividades ....... 12

MA Y O 2 0 1 0

Publicación destinada a Estudiantes y Profesores de Enseñanza Media.

Proyecto auspiciado por la Facultad de Ciencias de la Ingeniería de la

Universidad Austral de Chile. Director: Juan Leiva V. Director Alterno: Víctor Alvarado A. Redacción Periodística : Carolina Leiva C. Diagramación: Katherine Inalef P.

Centro de Docencia de CCBB Facultad de Ciencias de la Ingeniería

UACh.

Casilla 567 Valdivia. E.mail: abacom@uach.cl

Fono (63)221828 Fax (63)293730

www.uach.cl/abacom

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2

Luis Véliz Matus

¿Qué hay de nuevo en Internet? Internet es una red que conecta más de 1.100 millones de usua-rios alrededor del mundo, está cambiando y evolucionando todos los días, con nuevas páginas que ya son bastante más que una simple página con información “plana”. Cada vez se desarrollan nuevas tecnologías informáticas que hacen posible ofrecer ser-vicios de toda índole y la interacción entre el usuario y los sitios es cada vez más fácil y completa, lo que se denomina Web 2.0. Durante este año en esta sección de ABACOM, comentaremos algunos de los sitios y servicios más novedosos que aparezcan en la “red de redes”. Servicios de redes sociales Ya que hablaremos de servicios de redes sociales, es importante aclarar el término “red social”, que generalmente se confunde con el servicio en sí. Una red social es una estructura social que produce la interac-ción entre personas que tienen alguna relación entre ellas como amistad o parentesco, o, comparten algún interés o causa común. A su vez, los servicios de redes sociales son sitios en Internet que brindan un soporte tecnológico para que una red social pueda funcionar y sus usuarios puedan interactuar. A pesar de que son cosas distintas, igual nos podemos referir a, por ejemplo, el ser-vicio Facebook (www.facebook.com) o a la red social de Facebo-ok (personas que son usuarios de Facebook). Ya la mayoría de nuestros lectores es usuario o al menos ha oído de los servicios de redes sociales más populares: Facebook, Twitter, MySpace o Fotolog. Ahora les comentaremos sobre servicios de redes sociales no tan populares, pero que tal vez les sean más útiles ya que están enfocadas a temas o intereses más específicos. Partigi (www.partigi.com): es un servicio de red social enfocado a compartir opiniones sobre libros, películas, series de TV y vi-deojuegos. Tiene un buscador para encontrar títulos, de los cua-les se entrega información general, enlaces a blogs, imágenes, videos, etc. Además de publicar los comentarios en Partigi, estos se pueden enviar automáticamente a Twitter y Facebook. Otros servicios similares: www.dejaboo.net, w w w . m y s o f a . e s , www . a n o b i i . c om , www.weread.com. Mendeley (www.mendeley.com): es un servicio para buscar y organizar on-line y off-line, publicaciones académicas, como pa-pers, libros o revistas. Además Mendeley es un servicio de red social que permite crear un perfil con datos académicos y así contactar investigadores con áreas de investigación comunes o cerca-nas, compartir bibliografía y discutirla con ellos. Otros similares: www.epernicus.com, w w w . r e s e a r c h g a t e . n e t , www.sciencestage.com, www.scispace.com . LiveMocha (www.livemocha.com): es un servicio de red social enfocado al aprendizaje de idiomas. Este servicio permite el contacto con usuarios que son hablantes nativos del idioma que uno desea aprender. Además permite la inscripción en cursos

que están integrados al servicio y aunque no son gratis generalmente, son bastante asequibles. Posee sopor-te para aprender más de 35 idiomas. Otro similar es www.italki.com. Last.fm (www.last.fm): es un servicio de red social y una radio vía Internet, sirve para escuchar y reco-mendar música, se puede crear un perfil y revisar estadísticas, gustos musicales, tam-bién Last.fm es capaz de recomendar al usuario temas musicales y autores basándo-se en los datos enviados por los usuarios registrados. Otro simi-lar es www.amiestreet.com. Foodspotting (www.foodspotting.com): Es un servicio de red social sobre gastronomía y sirve para compartir platos, recetas, lu-gares para comer y comentar o dis-cutir sobre ellos. Se pueden subir fotos y señalar la geolocalización (con google maps) de los luga-res. Otros similares son: www.yumit.com, www.labuenavida.cl Existen muchos más servicios de redes sociales enfocadas a diversos temas, por ejemplo, para encontrar contactos profesio-nales, para comentar y compartir experiencias en destinos turís-ticos, para aficionados a los videojuegos, al software, a los de-portes, etc. Al usar estos servicios es muy importante seguir algunas prácti-cas de seguridad básicas, como por ejemplo, no dejar públicos datos como domicilio, números de teléfono, número de tarjetas de crédito, fotos personales, etc. Tampoco es recomendable anunciar a todo el mundo, donde uno se encuentra o a donde va a ir con lujo de detalles, especialmente las mujeres o menores de edad. También a la hora de hacer ami-gos hay que tener presente que todo lo que otra persona dice ser podría eventualmente ser completamente falso, por eso los menores de edad deben ser supervi-sados por sus pa-dres y los más adultos tampoco deben confiarse. Los servicios de redes sociales son herramientas muy útiles y hay que aprender a sacar-les provecho y a usarlas responsa-ble y cuidadosa-mente.

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ABACOM Boletín Matemático

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: LA MODA Llamamos Moda a cualquier máximo relativo de la distribu-ción de frecuencias, es decir, cualquier valor de la variable que posea una frecuencia mayor que su anterior y su poste-rior.

Variable Discreta Si ni es la mayor de las Frecuencias Absolutas, entonces Ejemplo:

Determinar la Moda de los siguientes datos

Solución : El número con mayor Frecuencia Absoluta, es el 2, porque se “repite” tres veces. Interpretación: El valor más común en el conjunto de datos es el 2

Variable Continua En el caso de variables continuas es más correcto hablar de Intervalo Modal. Una vez que este intervalo , se ha obtenido, se utiliza la siguiente fórmula para calcular la Mo-da:

Donde ni , ni-1 y ni+1 son las frecuencias absolutas del inter-valo modal, del anterior y posterior a él, respectivamente; a es la amplitud común de los intervalos.

Ejemplo:

Determinar la Moda de la siguiente tabla de frecuencia:

Solución : El intervalo modal es así:

Interpretación: El valor más común del conjunto de datos analizado es el 56,07, que se encuentra en el intervalo Aspectos importantes a considerar, cuando se trabaja con la Moda son: • Es muy fácil de calcular.

• Puede no ser única

• Está en función de los intervalos elegidos a través de su amplitud, número y límites.

Aunque el primero o el último de los intervalos no posean extremos inferior o superior respectivamente, la Moda puede ser calculada. Relación entre Media, Mediana y Moda. En caso de distribuciones unimodales, la Mediana (Med) está con frecuencia comprendida entre la Media ( ) y la Moda, obteniéndose las siguientes relaciones:

En las relaciones 1) y 2) se dice que las distribuciones son asimétricas sesgadas a la derecha (o sesgo positivo) e iz-quierda (o sesgo negativo), respectivamente. Si la distribu-ción es simétrica, se verifica la relación 3).

( )( ) ( )= ≈odaM

12 - 753,21+ ×8 56,07

12 - 7 + 12 - 3

Danilo Díaz Levicoy EEEESSSSTTTTAAAADDDDÍÍÍÍSSSSTTTTIIIICCCCAAAA

4 1 2 3 4 2 2 1 5 5 3

( ]l li-1 i,

Intervalos de Clase

Marca de Clase

Frecuencia Absoluta

Frecuencia Relativa

Frecuencia Abs. Acumulada

Frecuencia Rel. Acumulada

( ]21,2;29,21 25,21 5 0,125 5 0,125

( ]29,21;37,21 33,21 2 0,05 7 0,175

( ]37,21;45,21 41,21 10 0,25 17 0,425

( ]45,21;53,21 49,21 7 0,175 24 0,6

( ]53,21;61,21 57,21 12 0,3 36 0,9

( ]61,21;69,21 65,21 3 0,075 39 0,975

( ]69,21;77,21 73,21 1 0,025 40 1

Total 40 1

( )( ) ( )

n nM l a

n n n ni i-1

oda i-1i i-1 i i+1

-= + ×

- + -

( ]53,21;61,21

ed odax>M >M1 )

ed oda x<M <M2 )ed oda x=M =M3 )

( ].53,21;61,21odaM xi=

x

MA Y O 2 0 1 0

4

El concepto y algunas aplicaciones de matrices se ha visto

en ediciones anteriores de ABACOM, no obstante aquello,

durante el presente año se abordarán algunos conceptos

relacionados con matrices: operaciones con matrices,

operaciones elementales, determinantes y resolución de

sistemas lineales.

Uno de los usos básicos de las matrices está en la resolu-

ción de sistemas de ecuaciones lineales. En ellos, el núme-

ro de incógnitas puede ser menor, igual o mayor al número

de ecuaciones. Un sistema lineal como el ejemplo de abajo

se puede escribir como una “matriz” en la forma indicada: Posteriormente, efectuando operaciones con esta matriz

se obtiene la solución del sistema.

ORIGEN DE LAS MATRICES ¿De dónde nacen las matrices y para qué se usan?

Las matrices tienen una diversidad de aplicaciones en dis-

tintas disciplinas, y existe una gran cantidad de artículos

y libros sobre ellas.

En 1693, Leibniz, para facilitar la resolución de los siste-

mas de ecuaciones lineales, desarrolló la teoría de los de-

terminantes. En 1750, Cramer profundizó dicha teoría

con el método que lleva su nombre. En los años 1800, apa-

rece el denominado método de Gauss-Jordan para resol-ver sistemas de ecuaciones lineales. En 1850, Silvestre usa por primera vez el término “matriz”. Entre otros ma-

temáticos, figuran Cayley, Hamilton, Grassmann, Frobe-nius, von Neumann, con importantes contribuciones a la

teoría de las matrices. En 1925, Heisenberg redescubre el cálculo matricial para una primera formulación de lo

que pasaría a ser la mecánica cuántica.

ALGUNAS APLICACIONES DE LAS MATRICES Antes de entrar en materia, presentamos algunas aplica-

ciones apropiadas.

1. Diseños de automóviles Los diseños asistidos por computador han revolucionado

la industria automovilística y los gráficos generados por

computador constituyen el corazón del diseño moderno de

automóviles. Aquí los ingenieros diseñan y construyen

el modelo matemático, lo perfeccionan y se toma este

modelo para realizar pruebas. También se esculpen las

líneas de carrocería y los componentes que fabricarán

los proveedores. ¿Y qué papel juegan las matrices? Re-

sulta que el modelo de alambre se almacena en muchas

matrices de datos para cada una de las componentes

principales. Cada una de las columnas de una matriz sirve

para enumerar las coordenadas de un punto sobre la su-

perficie del componente respectivo. También las piezas

del interior del automóvil se almacenan en matrices de

datos.

2. Criptografía Los códigos secretos han acompañado a la humanidad

desde épocas remotas, por ejemplo una máquina llamada

Enigma era un dispositivo para codificar mensajes em-

pleado por los alemanes en la II Guerra Mundial.

Se define la criptografía (del griego kryptos,

"escondido", y graphein, "escribir") como el arte de ocul-

tar los mensajes con signos convencionales que sólo co-

bran sentido a la luz de una clave secreta. Se llama ci-

frado a una transformación del texto original que lo con-

vierte en el llamado texto cifrado o criptograma. De ma-

nera análoga, se llama descifrado a la transformación

que permite recuperar el texto original a partir del tex-

to cifrado. Las matrices juegan un rol fundamental en

esto. (Ver ABACOM N° 20 )

DEFINICIÓN DE MATRIZ Una matriz real A de orden m X n es un arreglo de m

filas y n columnas de números reales de la forma:

Se anota: El elemento aij está ubicado en la fila i y columna j.

Si m = 1, A es matriz fila y si n = 1 A es matriz columna. Si m = n, A se dice matriz cuadrada de orden n . (En este caso, la diagonal que va desde a11 hasta ann se

llama diagonal principal). El conjunto de las matrices reales de orden m X n es

y el conjunto de las matrices reales cuadradas de orden

n es

Víctor Alvarado Alvarado

( )ijA = a

⋯

⋯

⋮ ⋮ ⋮

⋯

11 12 1n

21 22 2n

m1 m2 mn

a a a

a a aA =

a a a

{ }m×nM = A/ A es matriz de orden m×n

{ }nM = A/ A es matriz cuadrada de orden n

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

x -3x +2x - 5x =- 14

4x -x + x +2x =-15

7x +2x +6x - x = - 11

1 -3 2 -5 -14

4 -1 1 2 -15

7 2 6 -1 -11

5

ABACOM Boletín Matemático

Me he encontrado en un texto de tercero medio con un método para aproximar raíces cuadradas, pero la forma es como compli-cada de recordar, por lo que hallé una forma muy simple de po-der aproximarla, de la siguiente manera: Para calcular la raíz cuadrada de un número x, buscamos las raí-ces exactas más cercanas a ; supongamos que está entre a y b, dos números naturales consecutivos, o sea y Luego calculamos: a) La diferencia

b) La diferencia c) El cuociente Entonces una aproximación de la raíz cuadrada de x es: Ejemplos: 1) Calculemos , para ésto vemos entre qué valores está:

, las diferencias son: 10 – 9 = 1, 16 – 9 = 7,

y el cuociente es: 1/7. luego .

Con calculadora resulta , un error de 0,6%. 2) Calculemos , para esto vemos entre que valores está:

, las diferencias son: 70 – 64 = 6, y 81 – 64 = 17, Luego ; con calculadora: ,

un error de 0,16%. Espero sirva la reflexión, recordando que es una aproximación. La explicación de esta aproximación es la siguiente: Se trata de una interpolación lineal, pues la recta que pasa por tiene ecuación

pero como , entonces la ecuación puede expresarse de la forma:

y así obtenemos la aproximación:

Cálculo Aproximado de Raíces Cuadradas Ricardo Carrillo Z.

Profesor de Matemática Colegio Santa Cruz, Río Bueno

¿Qué es fmat? Es un foro matemático, que se encuentra en la red www.fmat.cl , en el cual pueden participar todos aquéllos que quieran: aprender, mejorar, entregar y compartir conocimientos matemáti-cos.

¿Quiénes forman fmat? Todos los que se inscriben en él, además de los Administradores, Moderadores, Colabora-dores y Diseñadores. Entre los inscritos, aqué-llos que tienen participación destacada pasan a adquirir grados de Colaborador, Moderador e incluso Administrador. Además a medida que un participante va acumulando post va adqui-riendo grados de Principiante Matemático, Ma-temático o Doctor en Matemáticas.

¿Cuál es el objetivo de fmat? El principal objetivo es el de mejorar el nivel de las matemáticas en nuestro país y convertirse en un referente de esta ciencia. Los responsa-bles de fmat asumen la responsabilidad de en-tregar contenidos de manera correcta, velando por la rigurosidad de esta disciplina y evitando los malos aprendizajes.

¿Qué secciones tiene fmat? Tiene diferentes sectores, tales como: Prepara-ción PSU, Preparación para Olimpíadas Ma-temáticas, Enseñanza Básica, Enseñanza Me-dia, Enseñanza Universitaria, etc. Como ves fmat tiene todo lo que necesites en matemáticas…sólo resta que te integres a este foro.

x

1b a− =

2

2 2

x a

b a

−−

,a x b< <

2x a−2 2b a−

10

9 10 16< <

f m a t : f m a t : f m a t : f m a t : Un Foro MatemáticoUn Foro MatemáticoUn Foro MatemáticoUn Foro Matemático

2

2 2

x ax a

b a

−≈ +−

10 3,16=70

64 70 81< <

70 8,36=

2 2( , ) y ( , )a a b b

22 2

( )b a

y a x ab a

−− = −−

22 2

1( )y a x a

b a− = −

−

1b a− =

2

2 2

x ax a

b a

−≈ +−

x

1 2210 3 3,14

7 7≈ + = =

6 14270 8 8,35

17 17≈ + = =

Nació en la navidad de 1642 en una hacien-da de Woolsthorpe, Inglaterra. Pudo haber sido labrador como su padre, quien murió antes de que él naciera, pero desde pequeño se destacó por su ingenio y creatividad. A los tres años su madre volvió a casarse y el pequeño Isaac quedó al cuidado de sus abuelos. Su primera educación la recibió en una escuela de Grantham, localidad cercana a su pueblo natal y en el Trinity College de Cambridge. Aquí conoce a Isaac Barrow, quien lo introduce en el estudio de la geo-metría de Descartes. Posteriormente ingresa a la Universidad de Cambridge, donde estu-dia una amplia variedad de temas como astrología, historia, además de física (en esa

época llamada filosofía natural) y matemá-ticas. Sus estudios se ven interrumpidos entre los años 1665 y 1667, cuando la peste bubónica azotó a Europa, Newton volvió a su aldea natal donde en solitario desarrolló las bases de sus más admirables descubri-mientos. En Física: la Ley de Gravitación Universal, las Leyes de la Mecánica, estu-dio de la descomposición de la luz y la construcción del primer telescopio de re-flexión y en Matemáticas: la creación del Cálculo Diferencial e Integral y métodos para hallar raíces de polinomios y determi-nar el número de éstas. Pasada la amenaza de la peste volvió a Cambridge donde presenta sus descubri-mientos. En 1672 ingresó a la Royal Socie-ty y entre 1689 y 1701 representó a la Uni-versidad de Cambridge en el Parlamento Inglés. En 1703 fue elegido presidente de la Academia de Ciencias de Inglaterra y en 1705 la reina Ana le confirió el título de

caballero. Sus obras publicadas más importantes son la Óptica, en la que explica sus teorías so-bre la luz, y la obra monumental Principios Matemáticos de la Filosofía Natural (comúnmente conocida como Principia), en la cual expone los fundamentos matemá-ticos del universo. Newton nunca se casó y sólo se le conoce un romance con la hijastra de un farmacéu-tico, en cuya casa se hospedaba cuando estudió en Grantham. Siempre fue muy solitario, mientras sus compañeros en la escuela se dedicaban a jugar, él construía sus propios juguetes: un molino de viento, un carrito de autopropulsión, una linterna plegable de papel, relojes de sol, etc. En los últimos años de su vida sufre una depresión nerviosa y se retira de la vida científica falleciendo el 20 de Marzo de 1727. Su funeral se efectuó con todos los honores en la Abadía de Westminster.

Juan Leiva Vivar

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El Padre del Cálculo Isaac Newton fue un destacado físico, astrónomo, filó-sofo, inventor y matemático. En Física estableció las bases de la Mecánica Clásica, mediante las leyes que llevan su nombre; y en Matemáticas fue el creador del Cálculo Diferencial e Integral. Según Joseph Lagran-ge... “Newton fue el más grande genio que haya existi-do y … el más afortunado, pues sólo una vez se puede encontrar un sistema que rija al mundo”...

Newton, quién se destacó por la creatividad y rigu-rosidad en temas científicos, también tenía in-tereses, un tanto menos científicos, a los que apli-caba los mismos principios rigurosos que al resto de sus investigaciones. Amante de la Teología y la Alquimia, Newton teo-rizó a partir de la Biblia sobre cuál sería la fecha del fin del mundo. ¿La respuesta? 1.260 años después de la refundación del Sacro Imperio Romano lleva-da a cabo por Carlomagno, quien en el año 800 de nuestra era fue coronado emperador por el papa León III.

Esta teoría se encuentra en unos manuscritos que Newton habría redactado en el año 1.704, basán-dose en un fragmento de la Biblia, del libro de Da-niel, de donde dedujo que el mundo acabaría 1.260 años después del citado hito histórico, es decir el año 2.060 de nuestra era. La Universidad Hebrea de Jerusalén adquirió estos manuscritos como donación de un coleccionista y sólo hace unos años los expuso al público. Si la predicción de Newton es acertada, podremos estar tranquilos de que lograremos pasar del año 2.012 y sus apocalípticos anuncios.

Isaac Newton Calculó La Fecha Del Fin Del Mundo

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ABACOM Boletín Matemático

FRASES DE NEWTONFRASES DE NEWTONFRASES DE NEWTONFRASES DE NEWTON

Lo que sabemos es una gota de agua; lo que ignoramos es el océano.

���

Los hombres construimos demasiados mu-ros y no suficientes puentes.

���

Si logré ver más lejos es porque he conse-guido subirme en hombros de gigantes.

���

Si he hecho descubrimientos invaluables ha sido más por tener paciencia que cual-quier otro talento.

���

La unidad es la variedad, y la variedad en la unidad; es la ley suprema del universo.

���

He sido un niño pequeño que, jugando en la playa, encontraba de tarde en tarde un guijarro más fino o una concha más boni-ta de lo normal. El océano de la verdad se extendía, inexplorado, delante de mí.

Newton estableció la Ley de la Gravitación Universal, según la cual, la fuerza que ejerce una partícula puntual con masa m1 sobre otra con masa m2 es directamente proporcional al pro-ducto de las masas, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. En símbolos:

(r es la distancia entre las partículas, vector unitario de m2 a m1 y G es la constante de gravitación universal, Google, periódica-mente, usa su logo para hacer referen-cia a un aconteci-miento histórico. A fines del año pasado se pudo observar cómo una manzana caía de un árbol, secuencia con la que se le brindó un homenaje a la fecha en la que nació Isaac Newton, Cabe recordar que el físico nació en la navidad de 1642 e hizo historia tras concebir esta teoría cuando se encontraba meditan-do y vió cómo la fruta caía al suelo desde una de las ramas de un árbol de la casa de sus abuelos donde vivía en esa época. Se cuenta que cuando murió, este árbol fue cortado cuidadosamen-te en trozos que se encuentran guardados por la Real Sociedad Británica en Inglaterra, como un preciado tesoro para la ciencia universal. Por esta fecha nuevamente este hecho histórico vuelve a recor-

darse, pues un trozo de este árbol viaja al espacio a bor-do del transbordador espa-cial Atlantis, junto al astro-nauta Piers Sellers, como parte de las celebraciones del 350 aniversario de la Academia de Ciencias del Reino Unido, el 14 de Ma-yo. Claro que se dará la parado-ja que si de este trozo de árbol se soltase una manza-na, esta vez no caería, pues estará orbitando la Tierra a gravedad cero.

LA LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL, LA LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL, LA LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL, LA LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL,

GOOGLE Y EL TRANSBORDADOR GOOGLE Y EL TRANSBORDADOR GOOGLE Y EL TRANSBORDADOR GOOGLE Y EL TRANSBORDADOR

ATLANTISATLANTISATLANTISATLANTIS

1 22

m mF G r

r= −

��ɵ

11 2 26,674 10 / ).G N m kg−≈ ⋅ ⋅

rɵ

MA Y O 2 0 1 0

8

Juegos MatemáticosJuegos MatemáticosJuegos MatemáticosJuegos Matemáticos

Este es un truco de a d i v i n a -ción de un n ú m e r o , que con-siste en lo siguiente: Le pides a a l g u i e n

que escriba un número de cuatro cifras. Tú restas 2 a este número y le antepones un 2. El número de cin-co cifras que resulte lo escribes en un papel aparte. Después le pides a otra persona que escriba otro número de 4 cifras de-bajo del primero que escribieron. Una vez hecho esto, dices que el siguiente lo vas a escribir tú.

El número que anotas es el com-plemento al 9 de cada cifra (es decir, haces que la suma del número que escribes con el ante-rior sea 9.999). Lo haces simu-lando que escribes un número al azar. Una vez hecho esto, repetimos la operación otra vez, decimos que pongan otro número de cuatro ci-fras debajo, y nosotros volvemos a poner otro, complementando al 9 con el anterior. Finalmente le pides a alguien que sume los 5 números de 4 cifras que se han escrito y que el resul-tado es el número que tú tienes escrito previamente. ¡El resultado será exactamente ese número!.

Ejemplo:

Supongamos que el primer número que escriben es 3.659, tú escribes aparte en un papel el número 23.657. Si el segundo número que escriben es 8.124, tú agregarás debajo el 1.875, y si después escri-ben el 1.762, tú anotarás el 8.237. La suma será: 3.659 + 8.124 + 1.875 + 1.762 + 8.237 = 23.657. Explicación:

Al sumar un número de 4 cifras con su complemento al 9, resulta 9.999, pero como lo hicimos 2 ve-ces, esto suma 19.998, es decir, 20.000 — 2, lo que equivale a res-tarle 2 y anteponerle un 2 al pri-mer número que se escribió.

ANÉCDOTAS MATEMÁTICASANÉCDOTAS MATEMÁTICASANÉCDOTAS MATEMÁTICASANÉCDOTAS MATEMÁTICAS

ADIVINANDO CON EL COMPLEMENTO AL 9

Nicolái Lobachevski (1792 – 1856), destacadísimo ma-temático ruso, uno de los creadores de Geometría no Euclidiana, era sin duda un personaje singular. Durante más de veinte años desem-peñó el puesto de rector de la Universidad de Kazán y du-rante un cierto tiempo quiso encargarse personalmente de ordenar la enorme Biblioteca de la Universidad. Se cuenta que en una ocasión un distinguido visitante ex-

tranjero se dirigió al edificio central de la Biblioteca, al encontrarse con Lobachevski en mangas de cami-sa, le confundió con un conserje y le pidió que le mostrara la biblioteca y las colecciones de ésta. Lo-

bachevski, sin descubrir su verdadera identidad, le enseñó los más preciados tesoros añadiendo deteni-das explicaciones. El visitante quedó encantado y muy impresionado de la gran inteligencia y cortesía de los empleados sub-alternos rusos. Al despedirse quiso entregarle una pequeña propina pero Lobachevski, ante la admira-ción del extranjero, rechazó indignado las monedas ofrecidas. Pensando que se trataba de alguna excen-tricidad del inteligente conserje, el visitante guardó su dinero. Aquella noche el rector y el gobernador de Kazán invitaron a una cena, de carácter oficial, a varios visi-tantes, entre ellos se encontraba el distinguido perso-naje. En la presentación de las personalidades, el extranje-ro comprendió el porqué de la sabiduría del conserje, en ese momento se presentaron y aceptaron recípro-camente las excusas.

EL CONSERJE LOBACHEVSKI

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ABACOM Boletín Matemático

G a l i l e o G a l i l e i , h a c e aprox ima-damente 5 siglos atrás, dejó caer objetos de d i s t i n t a s masas y t a m a ñ o s , desde lo alto de la

torre inclinada de Pisa, esperando que los cuerpos de más masa llegaran antes, o sea mas rápidos, que los de menos masa al suelo. El resultado de las experien-cias realizadas fue negativo, ya que todos los cuerpos llegaban iguales, por lo que se concluyó que la caída de los cuerpos eran independiente de las masas o su composición. En la actualidad, lo descubierto por Galileo, se conoce como “ PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA” . Eins-tein asumió que este principio es verdadero y se basó en él para formular su “Teoría de la Gravedad”, es decir, la “Teoría de la Relatividad” , . ¿Qué pasaría si este principio no fuera verdadero? “Existen teorías que sugieren que la aceleración de gravedad depende en una forma muy sutil de la com-posición de los cuerpos, o de la masa del cuerpo, afir-ma Jim Williams, un físico del laboratorio de Propul-sión a Chorro de la NASA. Si fuese así, la Teoría de la Relatividad se tendría que reevaluar, produciendo una revolución en la Física. En la actualidad hay un grupo de científicos, financia-do por la NASA, que están estudiando la veracidad del principio de equivalencia. Disparan rayos láser a la Luna. Una de las herramientas más importantes, que poseen en este momento los científicos, para bus-car la imperfección de la Teoría General de la Relati-vidad, es la distancia Tierra – Luna, manifiesta Slava Turyshev, un científico que trabaja entre otros con Jim Williams. Este experimento es posible gracias a que los astro-nautas de las misiones Apolo instalaron espejos sobre

la superficie de la Luna, cuyo objetivo es interceptar los rayos láser provenientes de la Tierra, y reflejarlos en la misma dirección, y de esta forma monitorean con precisión su movimiento alrededor de la Tierra. En la foto se muestra un espejo que dejaron los as-t ronautas de la Apo-lo 14 sobre la superfi-cie de la Luna. A través de este expe-rimento los investiga-dores ob-s e r v a r a n como caen la Tierra y la Luna hacia el Sol, tal como lo hizo Ga-lileo cuando dejaba caer los cuerpos desde la torre de Pisa. Como la Luna y la Tierra están hechas de una mez-cla diferente de elementos; ¿son acaso la Luna y la Tierra acelerados hacia el Sol con la misma veloci-dad?. Si es así, el principio de equivalencia sigue siendo verdadero, pero si no es así, comienza la re-volución en la Física. Una violación al Principio de Equivalencia se ob-tendría si se logra observar una pequeña desviación de la órbita de la Luna, ya sea en dirección al Sol o alejándose de él. “Usando masas tan grandes como el de la Tierra y la Luna, se podría mostrar este efec-to sutil, si es que existe”, dice Williams. Los científicos han estado enviando señales a la Lu-na desde los días del Apolo. Hasta ahora, la Teoría de la Gravedad y el principio de equivalencia se han mantenido incólume con una precisión sumamente alta. Pero todavía no es lo suficientemente exacto como para comprobar las teorías que intentan derro-car a la de Einstein .

___________________________________________ (Este es un artículo publicado por la NASA y resumido por Joaquín Castellano de la Torre , profesor de Física del Cen-tro de Docencia de Ciencias Básicas de la Facultad de Cien-cias de la Ingeniería de la Universidad Austral de Chile).

¿Estaba Galileo Equivocado? Usando rayos láser que rebotan en la Luna, un grupo de investigadores está poniendo a prueba, con el apoyo de la NASA, una de las ideas fundamentales de la Física Moderna

MA Y O 2 0 1 0

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Alexis Lemaire , una

calculadora humana

Alexis Lemaire, un francés de 27 años es posee-dor de una mente prodigiosa como pocas. Hace poco calculó, en Londres, la raíz decimotercera de un número de 200 dígitos en sólo 70 segun-dos. Esta prueba se desarrolló en el Museo de Ciencias de Londres. Lemaire, realiza un doctora-do sobre inteligencia artificial en la Universidad de Reims (noreste de Francia). El número que descubrió fue

2.407.899.893.032.210 (2 mil 407 billones, 899.893 millones, 32.210), el que si se multiplica 13 veces por sí mismo da como resultado el número de 200 dígitos, que fue elegi-do aleatoriamente por una computadora. “Creo

que ésta es la operación más alta que jamás haya

sido calculada mentalmente”, acotó Jane Wess la responsable del Museo de Ciencias de Londres. En su anterior hazaña Lemaire había conseguido el récord de 72,4 segundos en calcular una difícil operación matemática mentalmente.

Estadísticamente hablando…

• El 97.3% de las estadísticas han sido claramente inven-tadas.

• Normalmente se piensa que los aviones con cuatro mo-tores son más seguros que los que sólo tienen dos. Esto es totalmente falso, como se indica en la página 14 de Air & Space, Agosto y Septiembre 1993: “…cuanto me-nos motores, menor probabilidad de que alguno de ellos se estropee…” Por tanto, los aviones más seguros son los que tienen un solo motor e incluso ninguno.

• En realidad, volar en avión es muy seguro. Prácticamen-te la totalidad de los fallecidos en accidentes aéreos han muerto al llegar al suelo.

• Un hombre tenía miedo de tomar un avión por aquello de los secuestros aéreos. Mirando unas estadísticas, en-contró que la probabilidad de que hubiese una bomba en su vuelo era de 1 entre 1.000, mientras que la probabili-dad de que hubiesen dos era 1 entre 100.000. Por lo tan-to, tomó el avión llevando él mismo una bomba.

• En los accidentes ferroviarios, el mayor número de víctimas suele estar en el último vagón (el primero suele ser la locomotora, y allí no van pasajeros.) Por tanto, una forma de salvar vidas humanas es retirar el último vagón de cada tren.

• El número de matrimonios es el doble que el de divor-cios; por lo tanto, uno de cada dos matrimonios acaba en divorcio. La tasa de natalidad es el doble que la tasa de mortalidad; por lo tanto, una de cada dos personas es inmortal.

COMPUTACIÓN EN LA PREHISTORIA

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ABACOM Boletín Matemático

soConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcu

Viola García Paredes

Problema 1: El número incógnito Escriba un número de 9 cifras, sin que se repi-ta ninguna de ellas y que sea divisible por 11. ¿Cuál es el mayor de los números que satisfaga estas condiciones?, ¿Cuál es el menor?

Problema 2: La Caja Fuerte Soviética En cierta institución soviética fue hallada una caja fuerte de tiempos anteriores a la revolución. Hallóse la llave de la misma, más para poder abrirla se pre-cisaba conocer el secreto de la cerradura: ésta se componía de cinco rodillos, en torno a los cuales había un alfabeto con 36 letras; los rodillos debían combinarse de tal manera que formasen una deter-minada palabra desconocida. Para evitar forzar la caja decidióse probar con dichas letras todas las combinaciones posibles. En cada una de estas com-binaciones se invertían tres segundos. ¿En cuánto tiempo podría abrirse la cerradura, si se trabaja en ello jor-nadas de trabajo de 8 horas?.

PROBLEMAS EDICIÓN Nº 34

EDICIÓN Nº 34

Si tenemos: A = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + . . . entonces claramente se

observa que, como A es una suma de números positivos, entonces A es

positivo.

Si multiplicamos por 2 resulta: 2 A = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + . . .

El segundo miembro de esta igualdad se puede escribir como: A – 1, de

donde resulta 2 A = A – 1. Al despejar A, resulta: A = – 1.

Por tanto A es negativo.

¿Podrías explicar esta contradicción?

¿Positivo o Negativo?

Te proponemos que descubras diez (10) palabras relacionadas con Cónicas . Pueden encontrarse en forma vertical, horizontal o en diago-nal, de arriba hacia abajo (o vicever-sa), de izquierda a derecha (o vice-versa).

En Facultad de Ciencias de la Ingeniería de la UACh SE CREA CENTRO DE

DOCENCIA DE

CIENCIAS BÁSICAS

En Marzo pasado se creó el Cen-tro de Docencia de Ciencias Básicas de la Facultad de Cien-cias de la Ingeniería, el que será responsable de la docencia a las carreras del Plan de Bachillerato en Ingeniería que se dictan en esta Facultad. En este Centro se encuentran los docentes de las Áreas de Ma-temáticas, Física y Química, quienes estarán encargados de implementar políticas curriculares en las áreas antes indicadas y diseñar acciones para mejorar la calidad de la docencia impartida, entre otras. El Centro de Docencia de Cien-cias Básicas está integrado por veintiún profesores siendo su Di-rector Ejecutivo el profesor Mi-guel Ángel Velásquez Rojas. A partir de esta edición la Facul-tad de Ciencias de la Ingeniería es quién auspicia la edición de este boletín. Expresamos un sincero agradeci-miento al Instituto de Matemáti-cas de la UACh. por el auspicio que nos brindó hasta ahora.

iciasNoticiasNoticiasNotici

H P E T N E G N A T

D I R E C T R I Z R

A S P A S O A E A A

D E B E L I P L E T

O S U C R O O R T O

S P C I R B C M A T

A I N T A E O E C N

O L N R J S F L Y I

H E A E S C O R A S

C P I V O T E A L A

Envía tus soluciones (indicando Nombre, Colegio y Curso) a A B A C O M A B A C O M A B A C O M A B A C O M Boletín Matemático Casilla 567 Valdivia · Fax (63) 293730

email: abacom@uach.cl Recepción de soluciones hasta el

9 de Julio de 2010

ciasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNo

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Carolina Leiva Cádiz

MA Y O 2 0 1 0

ALUMNOS DE LA REGIÓN DE LOS RÍOS:

OBTIENEN MEDALLAS EN LA XXI OLIMPÍADA NACIONAL DE MATEMÁTICAS 2009

Ricardo Vargas y Carla Vidal fueron ganadores de medallas de oro y plata respectivamente y los une la habilidad por la matemática, ciencia base para su exitoso futuro universitario.

Los dos jóvenes al participar en compe-tencias de matemáti-ca descubrieron que “existía una ciencia divertida; llena de retos y desafíos”, como lo señala Carla Vidal. De igual for-ma Ricardo Vargas declara que “la com-petencia podría ser-vir para acercar más la matemática al razonamiento lógico de los estu-diantes” y agrega que “la matemática debería dejar de

enseñarse como algo enfocado a calcular numeritos, un pre-juicio que está muy arraigado actualmente, y se enseñe con un enfoque mezclando los contenidos con razonamiento y lógica, como ABACOM intenta hacerlo, este boletín me pare-ce un ejemplo a seguir”.

Vargas declara que los establecimientos educacionales ense-ñan bien los contenidos específicos para rendir la PSU pero se podría incentivar más las competencias regionales e interesco-lares. Lo mismo comparte Carla Vidal al señalar que “la ma-temática impartida en los colegios apunta a que el alumno se convierta en una perfecta máquina para calcular, pero no para desarrollar la capacidad de pensar”.

Estos estudiantes se prepararon para esta competencia, aleján-dose de esos paradigmas, a través del foro matemático, www.fmat.cl, (ver información en página 5) compartiendo conocimientos y experiencias. “Hay que esforzarse y si no se estudia, no se mira más allá, no se persevera y se deja estar, no se prospera en la matemática, por mucha facilidad que se posea”. Gracias a esa constancia Carla Vidal, egresada del Windsor School de Valdivia, obtuvo 831 puntos en matemá-tica cuando rindió la PSU el año recién pasado y hoy es estu-diante de Ingeniería Civil en la Pontificia Universidad Católi-ca de Chile y planea seguir la mención en Biotecnología. Ri-cardo Vargas, alumno de Cuarto Año Medio del Colegio Alemán de La Unión declara que desea estudiar Licenciatura en Matemática o bien Ingeniería Matemática.

Alta UACh Inicia Actividades

Con un acto en el Aula Magna de la UACh y una Feria de Cursos, la Escuela de Talentos Alta Uach dio inicio a las actividades.

Más de 100 niños y jóvenes provenientes de La Unión, Paillaco, Río Bueno, San José de la Mariquina y Valdivia, junto a sus pa-dres y familiares, repletaron el Aula Magna de la Universidad Aus-tral de Chile, en la ceremonia de inicio de las actividades de la Escuela de Talentos “Alta UACh” el pasado 20 de Marzo. En la oportunidad estuvieron presentes autoridades regionales y univer-sitarias, entre ellos el Dr. Juan Andrés Varas, Intendente de la Región de los Ríos y académico de nuestra Universidad, el Dr. Marcos Urra, Director de la Escuela de Talentos “Alta UACh” y gestor de esta iniciativa y el Vicerrector Académico de la UACh, Dr. Oscar Galindo. En sus discursos agradecieron a los académicos que participan en este programa e hicieron un reconocimiento a las familias que confían en la UACh, para que sea aquí donde sus niños se acer-quen al mundo del conocimiento y la cultura. También se destacó que esta iniciativa permite cumplir con la misión de la Universidad de contribuir al desarrollo de la zona sur- austral del país. Posterior a este acto, los estudiantes visitaron la Feria de Cursos en el hall del Aula Magna, donde los profesores encargados res-pondieron las inquietudes de los jóvenes, para que ellos eligieran las alternativas que más les gustaran para cursar este semestre. Las clases se iniciaron el viernes 26 de Marzo. Este primer se-mestre se dictan los cursos y talleres siguientes: NIVEL BÁSICO (6° Básico) Cursos: “Buscando, explorando y estrujando el ecosistema que hay en mi jardín”, “Medicina del futuro: Manipular genes para curar enfermedades”, “Paleontología” y “Descubriendo y pintando mis sueños”. Talleres: “¡¡Seamos ser veterinarios!!” y “Construyamos proteínas, las moléculas básicas de la vida”. NIVEL AVANZADO (I y II Medio) Cursos: “Astronomía y el origen del universo: Una explicación científica”, “La magia del Infinito”, “¿Qué pasara con nuestro cli-ma y cómo afectará a nuestra sociedad?” , “Acercándote al mun-do de las empresas”, “Conociendo el ordenamiento de lo vivo, una mirada al Reino Animal” y “La diversidad de los peces mari-nos valdivianos: oportunidades y responsabilidades”. Talleres: “Baile Caribeño”, “Modelando ideas en greda” y “Hago mi propia película”. Galería de fotos en: www.uach.cl/abacom/galeria.htm