6. Campo magnético en el vacío 6.1. Fuerza sobre cargas en movimiento

6.1.1. Sobre cargas puntuales Según vimos en el Tema 3, la fuerza sobre una carga puntual en reposo viene dada por

( )qq=F E r (1)

Sin embargo, si dicha carga se encuentra en movimiento, la experiencia muestra que se ve sometida a una fuerza adicional. Esta fuerza, que llamaremos fuerza magnética, verifica que es:

• Proporcional a la carga • Proporcional al módulo de su velocidad • Perpendicular a la velocidad

Con estas condiciones, la fuerza magnética debe ser de la forma m q= ×F v B (2)

siendo B un nuevo campo, conocido como campo magnético. La fuerza total sobre una carga puntual es entonces

( )q= + ×F E v B (3)

Esta expresión, que es válida en general, tanto para situaciones estáticas como dinámicas, se denomina Fuerza de Lorentz.

¿Cuáles son las unidades de B? De la expresión de la fuerza magnética resulta que, en el SI, B se mide en

( )( )( )

1N[ ] 1N[ ] 1T[ ][ ] 1C 1m / s A·m

FBq v

= = = =

A esta unidad se la denomina Tesla, en honor del científico e ingeniero Nikola Tesla.

¿Y los imanes, dónde están? El concepto de campo magnético suele asociarse sobre todo con los imanes. Sin embargo, las experiencias de Øersted de 1820 mostraron que: Las corrientes eléctricas producen fuerzasmagnéticas sobre los imanes. A partir de ahí, Ampère por un lado y BiotSavart por otro, postularon la expresión simétrica: Los imanes producen fuerzas magnéticas sobre las corrientes eléctricas Y por tanto Las corrientes eléctricas producen fuerzasmagnéticas entre sí Ampère postuló además que también las fuerzas magnéticas entre imanes son interacciones entre corrientes. Puesto que las corrientes eléctricas no son más que conjuntos de cargas en movimiento: El magnetismo se reduce a la interacción entre cargas eléctricas en movimiento

La regla de la mano derecha Es indispensable al estudiar el campo magnético: el índice apunta según v y el corazón según B, el pulgar indica la fuerza.

Ley de Lorentz

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¿Cómo se conocen las propiedades de la fuerza magnética? Las propiedades de la fuerza de Lorentz pueden deducirse del movimiento de una carga en un campo uniforme. Supongamos un campo magnético B = B uz, y una carga q que penetra en el campo con velocidad inicial v0. Tenemos tres casos:

Velocidad inicial paralela a B En este caso la fuerza inicial es nula

0dd

m qt= = × =

v F v B 0

La velocidad no cambia ni entonces ni más tarde, por lo que el movimiento es rectilíneo y uniforme paralelo a B

Velocidad inicial perpendicular a B Como la fuerza es perpendicular a B, se cumple que v ⊥ B en todo instante. Escribiendo la 2ª ley de Newton en componentes intrínsecas

( ) ( )t nm q+ = × ⊥a a v B v

La fuerza es puramente normal a v, por lo que

0

d0 cte.

dtat

= = ⇒ = =v

v v

20 0 0 cte.n

v qv B mva RR m qB

= = ⇒ = =

Resultan una celeridad y un radio de curvatura constantes, por tanto el movimiento es circular y uniforme alrededor del campo magnético.

Velocidad inicial formando un ángulo arbitrario con B Descomponiendo el movimiento en los dos casos anteriores, resulta una superposición de un movimiento circular alrededor del campo, combinado con uno rectilíneo paralelo a éste. El resultado es un movimiento helicoidal uniforme

¿Cómo se distingue el signo de la carga? El sentido de la fuerza depende del signo de q, por lo que las órbitas son en un sentido o en otro dependiendo de si la carga es positiva o negativa

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6.1.2. Fuerza sobre una distribución de corriente

6.1.2.1. Sobre una distribución volumétrica Normalmente las cargas eléctricas no están aisladas, sino agrupadas por millones formando una distribución de corriente. La fuerza neta sobre la distribución será la resultante de las fuerzas individuales

( )mi

i i iq

q= ×∑F v B r (4)

Como en otras ocasiones, no resulta factible hallar la fuerza mediante el sumatorio, ya que para empezar desconocemos la posición y la velocidad de cada partícula, ni siquiera sabemos cuántas hay. Por ello, es necesario pasar a una descripción macroscópica. Supongamos que tenemos un volumen τ, en el interior del cual hay una distribución de corriente de volumen J. La fuerza neta sobre la distribución es

m d

τ= × τ∫F J B (5)

El mismo razonamiento que para una distribución volumétrica se puede aplicar a una superficial, resultando la fuerza

m d

SS= ×∫F K B (6)

6.1.2.2. Sobre una corriente filiforme El caso importante de la fuerza sobre una corriente filiforme puede deducirse de la expresión para una distribución volumétrica. El resultado es que si tenemos una corriente I circulando a lo largo de una curva Γ (abierta o cerrada) la fuerza magnética sobre la corriente es

m dI

Γ= ×∫F r B (7)

Demostración de la fórmula (5) En lugar de sumar las cargas en cualquier orden, dividimos el volumen en elementos Δτ, y sumamos primero dentro de cada elemento

( )mi

i i iq

qΔτ ∈Δτ

⎛ ⎞= ×⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑F v B r

Hacemos la aproximación de que, dentro de un elemento, todas las cargas ven el mismo campo promedio y se puede sacar como factor común

( )mi

i iq

qΔτ ∈Δτ

⎛ ⎞⎛ ⎞= ×⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∑ ∑F v B r

El sumatorio de las cargas por las velocidades equivale a la densidad de corriente por el elemento de volumen

( ) ( )( )mΔτ

= Δτ ×∑F J r B r

viB

Δτ

J

qi

BK dS

Y, considerando los elementos como de tamaño diferencial, resulta finalmente la integral

m dτ

= × τ∫F J B

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Para el caso frecuente de un segmento rectilíneo de extremos ri y rf, inmerso en un campo magnético uniforme B0, la fuerza magnética se reduce a

( )m f i 0I= − ×F r r B (8)

Demostración de la fórmula (7) Una corriente filiforme no es más que una corriente de volumen en el interior de un tubo. Podemos tomar como elemento de volumen un segmento de ese tubo, cumpliéndose dτ = dS·dr (volumen igual a base por altura), por lo que

( ) ( ) ( ) ( )d ·d d · d d d ·m S S SJ l

Γ Γ Γ= × = × = ×∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫F J B S r u B S u r B S J

La integral sobre una sección del cable de la densidad de corriente no es otra cosa que la intensidad de corriente I. Por tanto

m dIΓ

= ×∫F r B

Espira en un campo uniforme (I) Supongamos una espira cerrada por la que circula una corriente I, completamente inmersa en un campo magnético uniforme B0. ¿Cuánto vale la fuerza sobre la espira?

Al ser el campo uniforme, se puede extraer de la integral (¡ojo al orden!)

( )m d dI IΓ Γ

= × = × =∫ ∫F r B r B 0

La integral sobre una curva cerrada de dr, es Δr, el desplazamiento entre el punto inicial y el final, que se anula para una curva cerrada.

d d ·dm Sτ Γ= × τ = ×∫ ∫ ∫F J B J B S r

En un cable, tanto la densidad de corriente J como el desplazamiento dr son vectores que apuntan a lo largo del cable, J = Ju, dr = dl u. Por tanto, en la expresión anterior pueden intercambiarse

Espira en un campo uniforme (II) ¿Cuánto vale la fuerza sobre una espira cerrada, si ésta se encuentra sólo parcialmente dentro del campo magnético?

La integral se descompone en dos tramos

( )

f

i

i

f

m 0

f i 0

d d

d

I I

I I

Γ= × = × +

+ × = − ×

∫ ∫

∫

r

r

r

r

F r B r B

r 0 r r B

El resultado sólo depende del desplazamiento entre el punto de entrada y de salida en el campo, no de la forma de la espira.

No todo se reduce a la fuerza Una espira en un campo uniforme experimenta una fuerza nula, pero ello no implica que no se mueva por efecto del campo. Al aplicarse en diferentes partes del circuito, el campo produce un momento (un par de fuerzas) que genera rotación. En la figura, el par lo forman las fuerzas F1 y F3. Esta es la base de los amperímetros analógicos: Se hace pasar la corriente que se quiere medir por el interior de un campo. La medida del par que produce B permite conocer la corriente.

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6.2. Campo magnético debido a una distribución de corriente En la sección anterior hemos visto la acción que un campo magnético produce sobre una carga en movimiento o un conjunto de ellas. La siguiente cuestión es quién produce dicho campo magnético. De acuerdo con la simetría establecida por Ampère, del mismo modo que las cargas en movimiento experimentan el campo magnético, también son su causa. La corrientes eléctricas, no obstante, no son la única causa de campo magnético; los dipolos magnéticos inherentes a cada partícula, también generan campos magnéticos.

6.2.1. Campo producido por una carga en movimiento Para una carga puntual que se encuentra instantáneamente en el punto r′ moviéndose con velocidad v′, mucho menor que la de la luz, el campo magnético que produce en todos los puntos del espacio vale

( ) ( )0

3

' '4 '

q × −μ=

π −

v r rB r

r r (9)

Permeabilidad del vacío μ0 La constante universal μ0 posee un valor exacto establecido en

70

T·m H4 10 1.257A m

− μμ = π×

Fuerza entre dos cargas en movimiento paralelo

El campo de una carga en movimiento Describe circunferencias en torno al movimiento de la carga

q

v

B

Supongamos dos cargas q1 y q2 que se mueven paralelamente con la misma velocidad v = vuz sobre rectas separadas una distancia dux. El campo de la 1ª en la posición de la 2ª es

( ) 0 1 11 2 24 y

q vd

μ=

πB r u

La fuerza magnética sobre q2 es ( )21 2 2 1 2

20 1 2

24

m

x

q

q q vd

= × =

μ= −

π

F v B r

u

La fuerza magnética es atractiva si las cargas son del mismo signo.

El magnetismo y la 3ª ley de Newton Combinando la ecuación (9) con la ley de Lorentz resulta para la fuerza magnética entre dos cargas en movimiento la expresión

( )( )1 2 2 1 2 1021 3

2 14m

q q × × −μ=

π −

v v r rF

r r

Esta fuerza es extraña porque no verifica el principio de acción y reacción

21 12m m≠ −F F

Esta ley es necesaria para que se conserve la cantidad de movimiento, p, ¿cómo se explica el cambio en p? Incluyendo una cantidad de movimiento, pem, del propio campo electromagnético, de forma que

1 2 em cte.+ + =p p p

En el caso de que se trate del campo magnético de corrientes estacionarias sí se cumple la 3ª ley de Newton, sin necesidad de términos adicionales

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6.2.2. Campo creado por una distribución de corriente Sumando las contribuciones de los campos creados por cada una de las cargas individuales, resulta la expresión para el campo creado por una distribución de cargas puntuales

( ) ( )0

34i i i

i i

q × −μ=

π −∑

v r rB r

r r (10)

A partir de aquí se obtiene el campo debido a una corriente de volumen

( ) ( ) ( )03

'' d '

4 'τ

−μ= × τ

π −

⌠⎮⌡

r rB r J r

r r (11)

Análogamente para el caso de una distribución de corriente superficial

( ) ( ) ( )03

'' d '

4 'S

S−μ

= ×π −

⌠⎮⌡

r rB r K r

r r (12)

y para una corriente lineal

( ) ( )03

d ' '4 '

I

Γ

× −μ=

π −

⌠⎮⌡

r r rB r

r r (13)

Todas estas expresiones se denominan indistintamente Ley de Biot y Savart

Demostración de las fórmulas (11) a (13) La ecuación (11) se deduce de la (10) del mismo modo que la ley de Lorentz para una corriente de volumen (5) se obtiene de la de una carga (1). La ley de Biot y Savart para una corriente lineal (12) se deduce de la de una corriente de volumen (10) de la misma forma que la ley de Lorentz para una corriente lineal (6) se deduce de la de una de volumen (5).

Comparación entre la fuerza eléctrica y la fuerza magnética

Para el sistema de dos cargas en movimiento paralelo la fuerza magnética es atractiva e igual a

20 1 2

24mq q vF

dμ

=π

La fuerza eléctrica será repulsiva y dada por la Ley de Coulomb:

1 22

04eq qF

d=

πε

donde c = 3×108 m/s es la velocidad de la luz. Por ello, normalmente

m eF F

Las fuerzas magnéticas sólo son apreciables porque la materia es neutra. En la interacción entre dos hilos conductores de corriente, las fuerzas eléctricas entre iones y electrones se cancelan (y Fe ~ 0). Para la fuerza magnética sólo cuentan los electro-nes móviles, y Fm ≠ 0.

Fuerza entre corrientes Dadas dos distribuciones lineales, la fuerza entre ellas será:

( )

22

2 10 1 221 2 1 3

2 1

d d4I I

ΓΓ

⎛ ⎞−μ⎜ ⎟= × ×⎜ ⎟π −⎝ ⎠

⌠ ⌠⎮ ⎮⎮⎮ ⌡⌡

r rF r r

r r

Esta fórmula también se conoce como Ley de Biot y Savart. Predice que corrientes paralelas ( ) se atraen, mientras que las antiparalelas ( ) se repelen.

Comparando con la ley de Coulomb

20 0

m

e

F vF

= μ ε

Pero 2

0 0 16 2 2

1 s 19 10 m c

μ ε = =×

Ley de Biot y Savart

El “diccionario” Permite pasar de las expresiones para cargas a las distribuciones

( ) ( ) ( ) ( )d d di

i Sq

q S Iτ τ

→ τ → →∑ ∫ ∫ ∫J K r

FeFe Fm Fm

v v

q1 q2

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Campo de una espira Hallando el producto vectorial y extrayendo los factores constantes:

( ) ( )2 2 203/ 2 0 0 02 2

cos 'd ' cos 'd ' d '4

x y zIR z z R

R z

π π πμ= ϕ ϕ + ϕ ϕ + ϕ

π +∫ ∫ ∫B u u u

Las integrales para Bx y By se anulan, lo que se puede explicar como que el campo horizontal de un segmento de espira se anula con el del diametralmente opuesto.

Integrando la componente z queda el campo

( )2

03/ 22 22

zIR

R z

μ=

+

uB

Este campo va en la dirección del eje y su gráfica es una campana con un máximo en el centro.

El valor máximo del campo es Bmax=μ0I/2R, que para una espira de 10 cm por la cual circule una corriente de 1 A da un campo Bmax ≈ 1.26.μT. En el resto del espacio el campo se puede calcular de forma numérica, resultando líneas cerradas alrededor de la espira. Las líneas están en planos φ = cte. La distribución de líneas posee simetría acimutal, esto es, es la misma en cada plano φ = cte. Las líneas de campo salen por la cara superior (definida según la regla de la mano derecha) y entran por la cara inferior.

Otra vez la regla de la mano derecha

Aplicamos la ley de Biot y Savart

( ) ( )03

'd '

4 'I

Γ

−μ= ×

π −

⌠⎮⌡

r rB r r

r r

Tomamos como eje z el de la espira, de forma que

( )( )

' cos ' sen '

d ' sen ' cos ' d '

z x y

x y

z R

R

= = ϕ + ϕ

= − ϕ + ϕ ϕ

r u r u u

r u u

2 2' cos ' sen ' 'x y zR R z R z− = − ϕ − ϕ + − = +r r u u u r r

El campo magnético creado por una corriente lineal cumple la regla de la mano derecha por partida doble: • El campo respecto a la corriente • La corriente respecto al campo

IB I

B

r

r’ I

Supongamos una espira circular por la cual circula una corriente I. Se trata de hallar el campo magnético en los puntos del eje de la espira (para el resto del espacio no existe expresión analítica sencilla)

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Campo de hilos infinitos De la expresión para un segmento se deduce el campo para un hilo infinitamente largo. Si L → ∞, los ángulos extremos tienen los límites α1 → –π/2, α2 → π/2 y el campo

( )( )

0 02 2 22

x yI y x Ix y

ϕμ − + μ→ =

πρπ +

u u uB

Este campo decae con la distancia al hilo como 1/ρ (a doble distancia mitad de campo).

Si tenemos dos o más hilos paralelos se suman sus expresiones en cartesianas (no en cilíndricas)

( ) ( )( )( ) ( )

02 22

i i x i y

i i i

I y y x x

x x y y

− − + −μ=

π − + −∑

u uB

con xi, yi, las posiciones de cada hilo en el plano XY.

Campo de un segmento rectilíneo Esta no es una corriente estacionaria, a menos que el segmento forme parte de un sistema más grande (como una espira poligonal). Sea L la longitud del segmento e I la corriente. Si tomamos como eje z el del segmento y el origen en su punto medio tenemos

' ' d ' d 'x y z z zx y z z z= + + = =r u u u r u r u

Sustituyendo queda la integral

( )( )( )

/ 20

22 2/ 2

d '4 '

Lx y

L

I y x zx y z z−

μ − +=

π + + −

⌠⎮⎮⌡

u uB

( )( ) ( ) ( )0 0

2 1 2 12 2sen sen sen sen

44x yI y x I

x yϕμ − + μ

= α − α = α − απρπ +

u u uB

De la expresión en cilíndricas se ve que las líneas de campo magnético dan vueltas en torno al eje del segmento, según la regla de la mano derecha.

Esta integral se resuelve mediante el cambio de variable

2 2' tgz z x y− = + α

que la convierte en

( )( )

2

1

0

2 2cos d

4x yI y x

x yα

α

μ − += α α

π + ∫u u

B

con solución

α es el ángulo con el que se ve un punto cualquiera del segmento.

2 2

'tg z zx y−

α =+

Supongamos dos hilos paralelos separados una distancia d, por los cuales circulan corrientes I1 e I2. La fuerza que el hilo 1 ejerce sobre el 2 es

( )2

21 2 2 1 2dIΓ

= ×∫F r B r

B1(r2) vale, en todos los puntos de Γ2

( ) 0 11 2 2 y

Id

μ=

πB r u

La fuerza sobre un tramo de longitud L es

0 1 221 2 x

I I Ld

μ= −

πF u

Este resultado se emplea para definir el amperio: “Es la corriente que al circular por dos hilos rectilíneos paralelos, de longitud infinita y sección circular despreciable separados 1 m en el vacío, produce una fuerza por unidad de longitud igual a 2×10-7 N/m”

x

y I

z

r’

r

α1 y α2 son los ángulos con que se ven los extremos del segmento

ρ

B ρ

I

B=Buφ

I1 I2

B1

F21

Fuerza entre dos hilos. El amperio.

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6.3. Fuentes del campo magnético Al igual que ocurría con el campo eléctrico, el cálculo del campo magnético por integración directa, mediante la ley de Biot y Savart, es complejo incluso en los casos más elementales. Por ello, y porque permite un estudio más profundo, es preferible determinar las fuentes de B, esto es, calcular sus fuentes escalares (la divergencia de B) y sus fuentes vectoriales (el rotacional de B), ya que como prueba el Teorema de Helmholtz, conocidos la divergencia y el rotacional del un campo, podemos determinar completamente el campo.

6.3.1. Fuentes escalares del campo magnético

6.3.1.1. Forma diferencial Para calcular la divergencia del campo magnético, se parte de la ley de Biot y Savart para una distribución de corriente de volumen

El campo de un solenoide finito Un solenoide, o bobina, consiste en un hilo arrollado de forma helicoidal sobre un cilindro de radio R y longitud h. Si las vueltas están muy próximas puede aproximarse por una densidad de corriente superficial K = K uϕ. El valor de K puede calcularse imponiendo que la corriente total que recorre horizontalmente el solenoide sea NI, con N el número de espiras.

Total 10· d

h NI NI l Kh K I nIh

= = = ⇒ = =∫ K n

El campo en los puntos del eje es

( )03

'd '

4 'S

S−μ

= ×π −

⌠⎮⌡

r rB K

r r ( )

' cos ' sen ' '

sen ' cos ' ' d 'd 'z x y z

x y

z R R z

nI dS R z

= = ϕ + ϕ +

= − ϕ + ϕ = ϕ

r u r u u u

K u u

Igual que para una espira, solo hay componente z del campo, lo que da

( )( )

2 / 22

022

/ 20

d 'd '4 '

h

z

h

nI R zR z z

π

−

μ= ϕ

π + −

⌠ ⌠⎮ ⎮⎮⎮ ⌡⌡

uB

Haciendo de nuevo el cambio de variable z − z’ = R tg α queda el campo

( )02 1sen sen

2znIμ

= α − αuB

Este campo, como función de z posee forma de campana, cada vez más plana a medida que aumenta la longitud del cilindro.

En el límite h → ∞ resulta un campo constante

2 2 02 2 znIπ πα → α → − →μB u

Este campo posee la propiedad de que no depende del radio de la bobina, con tal que R á h. Puede demostrarse asimismo que, para bobinas infinitamente largas, este campo tiene el mismo valor en todos los puntos del interior, no solo los del eje.

n = N/h: densidad de

espiras

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( ) ( ) ( )0

3

'' d '

4 'τ

−μ= × τ

π −

⌠⎮⌡

r rB r J r

r r (14)

y, operando se llega a que puede escribirse como ( )0 '

d '4 'τ

μ= ∇× = τ

π −⌠⎮⌡

J rB A A

r r (15)

de donde es inmediato que · 0∇ =B (16)

esto es, el campo magnético es un campo solenoidal: carece de fuentes escalares. Por analogía con el caso eléctrico, denominamos a esta ecuación Ley de Gauss para el campo magnético. Físicamente, por analogía con el campo eléctrico, podemos decir que esta ley expresa que el campo magnético carece de fuentes escalares, esto es, que no existen las cargas magnéticas (conocidas como monopolos).

6.3.1.2. Forma integral La ley de Gauss para el campo magnético equivale a decir que el flujo del campo magnético a través de cualquier superficie cerrada es nulo,

·d 0S

=∫ B S (17)

Ley de Gauss para B

Demostración de la fórmula (16) Partimos de la relación conocida

3' 1

''

⎛ ⎞−= −∇⎜ ⎟⎜ ⎟−− ⎝ ⎠

r rr rr r

lo que nos permite escribir la ley de Biot y Savart como

( )0 1 ' d '4 '

τ

⎛ ⎞μ= ∇ × τ⎜ ⎟⎜ ⎟π −⎝ ⎠

⌠⎮⌡

B J rr r

y aplicando la identidad vectorial

( )∇× φ = ∇φ× + φ∇×A A A

podemos separar el campo en dos integrales

( )

( )

0

0

'd '

4 '

'd '

4 '

τ

τ

⎛ ⎞μ= ∇× τ −⎜ ⎟⎜ ⎟π −⎝ ⎠

∇×μ− τ

π −

⌠⎮⌡

⌠⎮⌡

J rB

r r

J rr r

La segunda integral se anula porque J es función de r’, no de r. En la primera se puede invertir el orden de la integral y el rotacional por actuar una sobre r’ y el otro sobre r, resultando finalmente

( )0 'd

4 'τ

⎛ ⎞μ= ∇× τ⎜ ⎟⎜ ⎟π −⎝ ⎠

⌠⎮⌡

J rB

r r

Límites de validez de la Ley de Gauss para B Realmente, la ecuación (16) sólo la hemos demostrado para el campo creado por corrientes estacionarias. Sin embargo, la evidencia experimental muestra que es válida siempre: para corrientes, para imanes, en situaciones estacionarias o dinámicas. Es la experiencia la que indica que no existen los monopolos.

Demostración de la Ley de Gauss para el campo magnético en forma integral Es inmediata sin más que aplicar el teorema de Gauss

·d · d 0d 0∂τ τ τ

= ∇ τ = τ =∫ ∫ ∫B S B

El que el flujo se anule para cualquier superficie se puede interpretar como que en cada superficie cerrada entran tantas líneas de campo como entran Ello prohíbe que las líneas de campo sean abiertas (comiencen o acaben en

puntos), ya que el flujo magnético alrededor de un extremo sería no nulo. En términos de imanes, quiere decir que no se pueden separar los Polos Norte de los Polos Sur.

Significado geométrico de la forma integral

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6.3.2. Condición de salto La ley de Gauss para el campo magnético lleva aparejada su correspondiente condición de salto, para el caso de que tengamos una frontera (material o geométrica) entre dos regiones. Esta condición es

[ ]· 0=n B (18)

Esta condición equivale a decir que la componente normal del campo magnético es continua en cualquier interfaz.

6.3.3. Fuentes vectoriales de B. Ley de Ampère

6.3.3.1. Forma diferencial El rotacional del campo magnético puede calcularse igualmente a partir de la ley de Biot y Savart para una densidad de corriente de volumen. El resultado es la llamada Ley de Ampère (descubierta por Maxwell):

0∇× = μB J (19)

La ley de Ampère expresa que el campo magnético, a diferencia del electrostático, sí posee fuentes vectoriales. Por tanto, el campo magnético no deriva de un potencial escalar. El que las densidades de corriente sean las fuentes vectoriales del campo magnético, esto es, proporcionales a su rotacional, es coherente con lo indicado anteriormente de que las líneas de campo de B rotan en torno a las corrientes que lo crean.

Límites de validez de la Ley de Ampère

El que las líneas de campo magnético no tengan extremos, esto es, que no puedan ser abiertas, parece indicar que deben ser cerradas. Sin embargo, no tiene por qué ser así. Supongamos tres ejemplos: el campo de una espira circular, el de un hilo infinito, y la superposición de estos dos.

En los dos primeros casos las líneas son cerradas. Sin embargo, en el tercero, las líneas giran alrededor del hilo a la vez que lo hacen en torno a la espira, resultando líneas que dan vueltas por la superficie de toros, sin llegar a cerrarse nunca (en la figura se ve parte de una sola línea de campo). Para sistemas un poco más complejos, las líneas pueden ser incluso caóticas, llenando toda una región del espacio.

Idea de la demostración de la Ley de Ampère Para demostrar esta ley partiendo de la ley de Biot y Savart se aplica que

( )0 'd '

4 'μ

= ∇× = τπ −⌠⎮⌡

J rB A A

r r

Hallando

( ) ( ) 2·∇× = ∇× ∇× = ∇ ∇ −∇B A A A

resultan dos expresiones integrales. La primera se anula demostrando que este campo A es solenoidal. La segunda, tras aplicar las propiedades de 1/|r-r’| resulta ser igual a μ0J.

A diferencia de la Ley de Gauss para el campo magnético, la ley de Ampère sólo es válida para corrientes estacionarias. Deberá ser modificada cuando existan campos o corrientes variables en el tiempo.

1

2

B1 B1n B2

B2n

¿Son cerradas las líneas de campo magnético?

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6.3.3.2. Forma integral A partir de la forma diferencial de la Ley de Ampère puede obtenerse una expresión integral equivalente:

0·d ·d

SI I

Γ= μ =∫ ∫B r J S (20)

que, en palabras, expresa que la circulación de B a lo largo de una curva cerrada Γ arbitraria (interpretable como la rotación neta de B al recorrer esta curva) es proporcional a la intensidad de corriente que atraviesa una superficie S apoyada en la curva Γ y orientada según la regla de la mano derecha.

En la expresión integral de la ley de Ampère la elección de S es arbitraria, con tal de que esté apoyada en Γ, como consecuencia de que la densidad de corriente estacionaria es un campo solenoidal.

6.3.3.3. Condición de salto Si tenemos una interfaz entre dos regiones, y sobre esta interfaz circula una densidad de corriente superficial K, las componentes tangenciales del campo magnético pueden experimentar una discontinuidad dada por la ecuación

[ ] 0× = μn B K (21)

6.3.4. Ecuaciones de la magnetostática Reuniendo los resultados anteriores, obtenemos el sistema de ecuaciones Ley de Gauss para el campo magnético

[ ]· 0 ·d 0 · 0S

∇ = = =∫B B S n B

Ley de Ampère

[ ]0 0 0·d IΓ

∇× = μ = μ × = μ∫B J B r n B K

Demostración de la Ley de Ampère en forma integral Es inmediata sin más que aplicar el teorema de Stokes

( ) 0 0·d ·d ·dS S

IΓ

= ∇× = μ = μ∫ ∫ ∫B r B S J S

Para dar un valor concreto a la ilustración anterior, supongamos que la lámina se encuentra en x = 0, y la densidad de corriente va como K = K uz. La normal a esta superficie es n = ux, con lo que la condición de salto queda

0x x x y y z z zB B B K⎡ ⎤× + + = μ⎣ ⎦u u u u u

Desarrollando el producto vectorial

[ ] 0z y y z zB B K⎡ ⎤− + = μ⎣ ⎦u u u

e igualando componente a componente

[ ] 00z yB B K⎡ ⎤= = μ⎣ ⎦

esto es, la componente z, paralela a la corriente, es continua, mientras que la y (tangente a la superficie y normal a la corriente) presenta un salto, tal como se indica en la figura.

Interpretación de la condición de salto Para ver cómo la ley de Ampère conduce a la ecuación (20) consideremos tres situaciones progresivamente más complejas Si tenemos un hilo de corriente, las líneas de campo giran en torno al hilo. Si tenemos un conjunto de hilos paralelos, el campo sigue envolviendo los hilos, extendiéndose tangencialmente a ellos. Para una lámina de corriente superficial, el campo es tangencial a la superficie, pero en diferentes sentidos a cada lado, por lo que hay una discontinuidad en la componente tangencial.

Г

J dS

I

B

B2

B1

K

IB

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Campo magnético de un hilo infinito Las ecuaciones de la magnetostática permiten determinar el campo magnético. Para verlo, revisamos el caso de un hilo infinito, ya visto por integración directa. El sistema sugiere el uso de coordenadas cilíndricas, con el eje Z sobre el hilo, de forma que

z zB B Bρ ρ ϕ ϕ= + +B u u u

Este sistema posee simetría traslacional, esto es, no cambia al variar z, por lo que

0zB B Bz z zρ ϕ∂ ∂ ∂= = =

∂ ∂ ∂

El sistema también posee simetría rotacional, ya que no cambia al variar φ, luego

0zB B Bρ ϕ∂ ∂ ∂= = =

∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ

Nótese que esto se aplica a las componentes, pero no al propio campo B, que depende de φ a través de los vectores de la base. Tenemos que las tres componentes dependen exclusivamente de ρ. Veamos ahora que dos de ellas son nulas –La componente vertical Bz se anula: Toda la corriente va en la dirección de uz, por tanto la expresión de la ley de Biot y Savart es:

( ) ( )03

d 'algo

4 'z

z

z × −μ= = ×

π −

⌠⎮⌡

u r rB u

r r

Por tanto, B es perpendicular a uz, que da la dirección de la corriente que lo crea.

–La componente radial Bρ se anula Esto es una consecuencia de la ley de Gauss para el campo magnético.

Supongamos una superficie cilíndrica concéntrica con el hilo, de radio ρ y altura h. El flujo a través de este cilindro solo ocurre en la cara lateral. En esta cara B·dS = BρdS y además Bρ es constante en toda esta superficie. Por ello

0 ·d 2S

hBρ= = πρ∫ B S

Por tanto, Bρ=0. Si Bρ ≠ 0 el campo iría hacia fuera o hacia adentro y el flujo no se anularía. –Componente acimutal De lo anterior resulta que B = B(ρ)uφ. Si aplicamos la ley de Ampère a una circunferencia Γ perpendicular al hilo y con centro en éste resulta

0·d 2 B IϕΓ= πρ = μ∫ B r

Siendo I la corriente que circula por el hilo, la cual atraviesa cualquier superficie S apoyada en el contorno circular Γ. Despejando

0

2I

ϕμ

=πρ

B u

Este es el mismo resultado que se obtuvo por integración directa. Por aplicación de la Ley de Ampère resultan operaciones más sencillas, pero se precisan razonamientos más elaborados.

El campo de un cable grueso Para un cable cilíndrico de radio a y longitud infinita, por el cual circula una corriente uniforme J = J0uz. A la hora de hallar el campo, el razonamiento es idéntico al empleado con el hilo, por lo que B = B(ρ)uφ.

La diferencia aparece al considerar una circunferencia Γ de radio ρ centrada en el cable y la cantidad de corriente I que atraviesa una superficie apoyada en ella. Tenemos dos casos: –Si ρ > a, la corriente I es la total del cable:

20 0 0·d 2 B I J aϕΓ

= πρ = μ = μ π∫ B r

20 0 0

2 2I J a

ϕ ϕμ μ

= =πρ ρ

B u u

–Si ρ < a, I(ρ) es la que atraviesa el círculo de radio ρ

20 0·d 2 B JϕΓ

= πρ = μ πρ∫ B r

0 0 022 2

J Iaϕ ϕ

μ ρ μ ρ= =

πB u u

El campo en el exterior es igual al de un hilo delgado, y en el interior crece linealmente con ρ. El campo máximo es μ0I/2πa. Para I = 1 A y a = 1 mm vale 0.2 mT

I

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6.4. Potencial vector magnético De que el campo magnético sea solenoidal se deduce que puede escribirse como el rotacional de otro campo vectorial, denominado potencial vector magnético

· 0∇ = ⇒ = ∇×B B A (22)

de hecho, ya hemos dado una expresión para este potencial vector ( )0 '

d '4 'τ

μ= τ

π −⌠⎮⌡

J rA

r r (23)

sin embargo, esta expresión, aparte de que sólo vale para corrientes estacionarias, no es la única posible. Dado un campo magnético, existen infinitos potenciales vectores posibles, los cuales se diferencian en el gradiente de una función escalar arbitraria

1 2= +∇φA A (24)

siendo la demostración inmediata, sin más que tomar el rotacional de ambos miembros. La libertad de elección de φ hace que podamos tener potenciales vectores muy diferentes para el mismo campo.

La ley de Ampère no siempre es útil

El campo de un solenoide ideal

Aunque resulta tentador emplear la ley de Ampère para calcular cualquier campo magnético, en la mayoría de los casos no es útil como herramienta. Deben darse las condiciones necesarias.

Para una espira circular, no existe una curva Г, ni circular ni de otra forma que permita calcular el campo, ya que B no puede sacarse de la integral por ser B = B(ρ,z)

Para un segmento finito, la corriente I depende de la superficie S que se elija, ya que no es una corriente estacionaria.

Como ejemplo del uso de la forma diferencial de las ecuaciones, veamos el caso de un solenoide radio a y longitud infinita, sobre cuya superficie fluye una corriente K = Kuφ. Tenemos dos regiones: el interior (“1”) y el exterior (“2”). Por la simetría del

sistema podemos suponer que en ambas las componentes de B no dependen ni de z ni de φ, lo que permite escribir, para la ley de Gauss

( )d10 ·d

i ii i

B cBρρ

ρ= ∇ = ⇒ =

ρ ρ ρB

siendo ci constantes distintas en cada región. Se relacionan por la condición de salto en ρ = a

[ ] 2 11 20 · c c c c

a a= = − ⇒ =n B

El campo no puede ser infinito en ρ = 0, por lo que c1 = 0 (y c2 = 0). Por tanto Bρ = 0.

La ley de Ampère queda

( )dd1 1d 0 0d d d

z

iizz

i i iz

BB

B B B

ρ ϕ

ϕϕ

ρ ϕ

ρρ

= = − +ρ ρ ρ ρ ρ

ρ

u u u

0 u u

iiz i i

bB a B ϕ⇒ = =ρ

y la condición de salto correspondiente

[ ] [ ] 0z zB B Kϕ ϕ ϕ⎡ ⎤× = − + = μ⎣ ⎦n B u u u

1 2 1 2 0b b a a K⇒ = − = μ

La componente acimutal no puede ser infinita en ρ = 0, por lo que b1 = 0 (y b2 = 0). Por tanto Bφ = 0.

La componente z debe tender a 0 en puntos alejados del solenoide, por ello a2 = 0. Finalmente

0 zK aa

μ ρ <⎧= ⎨ ρ >⎩

uB

0

El campo interior es uniforme y el exterior nulo.

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La utilidad del potencial vector es limitada, por su naturaleza vectorial, que hace que no reduzca sustancialmente el problema del cálculo de B. Sirve como herramienta en los casos en que tenemos corrientes fluyendo siempre según la misma componente. Por ejemplo, si J = Juz podemos suponer A = Auz. Si J = J(ρ,z)uφ podemos suponer A = A(ρ,z)uφ. En estos casos el cálculo del potencial vector se reduce a determinar una sola componente, de forma similar a como se hace con el potencial escalar del campo electrostático. La otra utilidad del potencial vector es su uso en deducciones teóricas acerca del campo magnético y para el electromagnético, Uno de estos casos es en el desarrollo multipolar magnético.

6.5. Desarrollo multipolar magnético Supongamos que tenemos una distribución de corriente estacionaria que ocupa una pequeña región del espacio y queremos hallar el campo en puntos alejados.

Como con el campo eléctrico, la idea del desarrollo multipolar es hacer un cálculo aproximado, más sencillo que la integral exacta (la cual puede ser imposible de calcular) mediante el empleo de una serie de Taylor. Partimos de la expresión del potencial vector para el caso de una espira (que se deduce de la de una corriente de volumen mediante el “diccionario”)

( ) 0 d '4 '

IΓ

μ=

π −⌠⎮⌡

rA rr r

(25)

Aplicando el desarrollo del binomio de Newton

3

1 1 · '' r r= + +

−r r

r r

(26)

resulta la expresión aproximada para el potencial vector ( ) 0

34 rμ ×

=π

m rA r

(27)

donde m es el llamado momento dipolar magnético de la espira, dado por

' d '2I

Γ= ×∫m r r

(28)

Para el caso de una espira plana, la expresión del momento dipolar magnético puede ponerse de forma más sencilla como

IS=m n donde S es el área de la superficie plana limitada por la espira, y n es el vector normal a ella (según la regla de la mano derecha). En el caso general, la expresión general del momento dipolar es

dS

I= = ∫m S S S

¿Qué significa “pequeño”? ¿Comparado con qué? Cuando se dice “una pequeña región del espacio” se entiende que comparada con la distancia al punto de observación. Matemáticamente:

( )max '1δ =

rr

Idea de la demostración de la ec. (27) La demostración no es trivial. Sustituyendo el desarrollo (26) en (25) resultan dos términos. El primero se anula, por tratarse de la integral de una diferencia. El segundo vale

( ) ( )03 · ' d '4

Ir Γ

μ=

π ∫A r r r r

Para llegar a (26) se demuestra previamente que el integrando se puede escribir como

( ) ( ) ( )( )1 1· ' d ' ' d ' d · ' '2 2

= × × +r r r r r r r r r

y, sustituyendo, queda de nuevo la integral de una diferencial, que se anula, y una expresión equivalente a (27), una vez que se ha definido el momento dipolar como en la ecuación (28).

Momento dipolar magnético

Potencial vector de un dipolo

r’ I

r

El momento dipolar magnético y el vector superficie

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Empleando el “diccionario” resultan las expresiones de m para una distribución de corriente de volumen o una de superficie

( ) ( )1 1' ' d ' ' ' d '2 2 S

Sτ

= × τ = ×∫ ∫m r J r m r K r

(29)

Una distribución de corriente cuyo potencial vector se reduce exactamente a la ecuación (28) se denomina un dipolo magnético ideal (o puntual). El desarrollo multipolar nos indica que toda distribución de corriente, vista desde lejos, se comporta como un dipolo puntual, salvo que m = 0, en cuyo caso habrá que recurrir a los términos siguientes del desarrollo multipolar.

6.5.1. Campo magnético de un dipolo Supongamos que tenemos un dipolo magnético ideal, situado en el origen, de forma que su potencial vector viene dado por (26), tomando el rotacional resulta el campo

( ) 20

5

3 ·4

rr−μ

=π

m r r mB

(30)

Demostración de la fórmula (30) Para llegar al campo de un dipolo se precisa álgebra vectorial:

( ) ( )

( ) ( )

( )

0 03 3 3

2 20 0

3 5 5

20

5

14 4

3 2 3 3 ·24 4

3 ·4

r rr

r rr r r

rr

∇× ×⎛ ⎞μ μ×⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ∇× = +∇ × × =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟π π ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞× × − +⎛ ⎞μ μ

= − = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟π π⎝ ⎠ ⎝ ⎠−μ

=π

m rm rB m r

r m r m m m r rm

m r r m

donde hemos empleado el resultado ∇×(m×r) = 2m, y otras identidades vectoriales vistas en el tema 1.

Una forma alternativa es empleando coordenadas esféricas. Tomando el eje z según el dipolo

0 03 2 sen

4 4m

r r ϕ

μ μ×= = θ

π πm rA u

02

2

03 3

sen

4 sen

sen0 0

2cos sen4

r

r

r rm

r r

rm

r r

θ ϕ

θ

θμ ∂ ∂ ∂= ∇× = =π θ ∂ ∂θ ∂ϕ

θ

μ θ θ⎛ ⎞= +⎜ ⎟π ⎝ ⎠

u u u

B A

u u

expresión análoga a la de un dipolo eléctrico.

En vez de ver el dipolo como una pequeña espira, se puede imaginar compuesto de dos cargas magnéticas, una positiva (el Polo Norte) y una negativa (el Polo Sur). La diferencia entre los modelos se encuentra en cómo responden a un campo externo, siendo la espira una descripción más precisa. Extendiendo la correspondencia, podemos decir que

la espira posee una cara norte y una cara sur, según salgan o entren las líneas de campo.

La expresión del campo magnético creado por un dipolo es completamente análoga a la del campo eléctrico creado por un dipolo eléctrico

( ) 2

50

3 ·14

rr−

=πε

p r r pE

Como veremos, esta analogía se extiende también a la forma en que un dipolo magnético interactúa con un campo magnético externo

Son como las de una espira circular, pero vistas desde lejos.

Campo de un dipolo

Unidades de m De la expresión para una espira es inmediato que

[ ] 21A·sm =

Líneas de campo de un dipolo magnético ¿Tienen dos polos los dipolos?

En realidad, en lugar de dar por conocido el dipolo y determinar su campo, normalmente se mide el campo y se induce la existencia del dipolo. Aquí, la analogía entre m y p permite una descripción alternativa del dipolo magnético

Analogía entre el dipolo eléctrico y el magnético

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6.5.2. Acción de un campo externo sobre un dipolo El efecto que un campo externo produce sobre un dipolo es muy parecido al que un campo eléctrico produce sobre un dipolo eléctrico: tenemos una fuerza sobre el dipolo, un momento que lo hace girar, y una energía potencial magnética.

6.5.2.1. Fuerza A partir de la ley de Lorentz para una espira de corriente se llega a la fuerza sobre el dipolo

( ) ( )·= ×∇ × = ∇F m B m B (31)

siendo la primera expresión más general que la segunda (que requiere J = 0 en la posición donde se encuentra el dipolo). La segunda expresión es la análoga a la fuerza eléctrica sobre un dipolo eléctrico. La fuerza sobre un dipolo magnético se anula si el campo es uniforme, ya que las derivadas valen cero. Esto es también consecuencia de que una espira cerrada en un campo uniforme no experimenta fuerza neta.

6.5.2.2. Momento Tanto si el campo es uniforme, como si no lo es, sobre el dipolo se produce un momento que tiende a hacerlo girar, bien alrededor de sí mismo, bien alrededor del origen. El valor de este momento es

= × + ×M r F m B (32)

De los dos sumandos, el primero es el momento de la fuerza aplicada, que tiende a hacer girar el dipolo alrededor del origen. Este momento se anula si el campo es uniforme, ya que la fuerza vale 0. El segundo término es el par, que tiende a alinear el dipolo magnético con el campo magnético. Este es el fundamento de las brújulas.

–Se encuentra en Canadá a una latitud de 83º, aunque se va moviendo gradualmente. Por ello las brújulas no apuntan exactamente al Polo Norte Geográfico. La diferencia entre las dos direcciones en un punto dado de la Tierra se conoce como declinación magnética –Realmente, puesto que las brújulas apuntan hacia él, el Polo Norte Magnético de la Tierra es un polo sur magnético, y el Polo Sur un polo norte. Sin embargo, por convención, se mantienen sus nombres tradicionales. –Ocurre además que, de acuerdo con los registros geológicos, el Polo Norte Magnético no siempre se ha encontrado en el Hemisferio Norte. Por causas desconocidas, cada cierto tiempo, el campo magnético desaparece brevemente, para reaparecer con su polaridad invertida.

Demostración de la fórmula (31) La forma de llegar a esta fuerza es empleando la identidad vectorial, que se puede derivar del teorema de Stokes:

( )d dSΓ

× = ×∇ ×∫ ∫r A S A

A partir de aquí es inmediato que

( ) ( )d dS

I IΓ

= × = ×∇ × → ×∇ ×∫ ∫F r B S B m B

ya que IS = m. Aplicando ahora el álgebra del operador nabla se llega a la segunda versión de (30)

B

m

¿Dónde está el Polo Norte Magnético de la Tierra? Parecería, si las brújulas funcionaran perfectamente, que en el Polo Norte Geográfico, pero no es así por dos razones:

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6.5.2.3. Energía Operando, la fuerza sobre el dipolo magnético puede escribirse también como

( )·= ∇F m B

Esta expresión permite definir una energía potencial para un dipolo magnético en un campo externo:

·m mU U= − = −∇m B F (33)

Usando esta energía potencial se interpreta el que dipolo tiende a alinearse con el campo, como que ésta es la posición de mínima energía.

Interacción entre dos dipolos magnéticos Supongamos que tenemos dos dipolos alineados y apuntando en el mismo sentido. ¿Se atraen se repelen o no experimentan fuerza alguna? Podemos emplear tanto el modelo de espiras como el de polos magnéticos para responder El cálculo matemático sería, si los dipolos se encuentran en r1 = 0 y r2 = auz y sus momentos dipolares valen m1 = m2 = muz

( ) ( )21 2 1· zz a

m zz =

∂⎛ ⎞= ∇ = ⎜ ⎟∂⎝ ⎠F m B B u

Al estar el dipolo en el eje z y ser la derivada respecto a z, podemos sustituir x = y = 0

( ) ( ) 21 10 0

1 5 3

3 ·4 2 z

r mz r z−μ μ

= =π π

m r r mB u

Derivando y sustituyendo r2 queda 2

0 021 3 4

32 2z z

z a

m mmz z a=

∂ μ μ⎛ ⎞⎛ ⎞= = −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ π π⎝ ⎠⎝ ⎠F u u

El signo negativo indica atracción (el dipolo se ve empujado hacia abajo). El hecho de que la fuerza decaiga como r4 quiere decir que es una fuerza de corto alcance. Si se duplica la distancia, la fuerza se divide por 16.

Corrientes paralelas se atraen

Polos de signo opuesto se atraen

Si se encuentran situados paralelamente, los razonamientos son los opuestos Para hacer el cálculo suponemos los dos dipolos orientados según el eje z (m1 = m2 = muz) y situados en r1 = 0 y r2 = aux . La fuerza sobre el dipolo 2 es ahora

( ) ( )21 2 10

· x zz

m a zz =

∂⎛ ⎞= ∇ = +⎜ ⎟∂⎝ ⎠F m B B u u

Al ser la derivada respecto a z, podemos sustituir el valor de x = a y el de y = 0, pero no el de z. El campo B1 en x = a, con z variable, vale

( )( )( )

( )

2 20

1 5 / 22 2

3 2

4

x zm za z az

a z

μ + −=

π +

u uB

y derivando y sustituyendo queda 2

021 4

34 x

ma

μ=

πF u

La fuerza es afectivamente repulsiva, también de corto alcance y en módulo la mitad que la calculada para el caso de dipolos alineados.

Corrientes antiparalelas se

repelen

Polos del mismo signo se repelen

m2

I1 I2

F21 m1

N NSSF21

m2 m1

N S

N S

F21

I1 I2

m2m1

F21

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