Hasta el momento hemos analizado de manera independiente la fuerza queexperimenta una partícula con carga eléctrica en presencia de un campoeléctrico (fuerza eléctrica) o de un campo magnético (fuerza magnética), peroahora analizaremos la dinámica que experimenta una partícula en presencia deambos campos.

La fuerza que experimenta una partícula con carga eléctrica inmersa en uncampo eléctrico y un campo magnético se encuentra descrita por la fuerza deLorentz en la que se realiza una suma vectorial de ambas contribuciones.

Fuerza de Lorentz

�⃗� = �⃗�𝐸 + �⃗�𝑀 = 𝑞𝐸 + 𝑞�⃗� × 𝐵 = 𝑞(𝐸 + �⃗� × 𝐵)

La fuerza anterior es únicamente la suma de las dos fuerzas, la eléctrica y lamagnética, pero debes tener presente que la fuerza eléctrica se hace presente enpartículas estáticas y partículas en movimiento mientras que la fuerza magnéticasólo se experimenta cuando la partícula con carga eléctrica está en movimiento.

Recuerda que la fuerza eléctrica que experimenta una partícula con cargaeléctrica es paralela o antiparalela a la dirección del campo eléctrico, en funciónde la naturaleza de la carga eléctrica, mientras que la fuerza magnética esperpendicular a la dirección del campo magnético y la velocidad de la partículacon carga eléctrica.

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�⃗� = �⃗�𝐸 + �⃗�𝑀 = 𝑞𝐸 + 𝑞�⃗� × 𝐵 = 𝑞(𝐸 + �⃗� × 𝐵)

Para iniciar el estudio de la fuerza de Lorentz, analicemos el caso de unaintensidad de corriente eléctrica que circula en el interior de un prismarectangular de dimensiones a, b, c, de forma que los portadores de cargaeléctrica tienen una velocidad perpendicular a la existencia de un campomagnético constante y externo.

𝐵

𝑣

𝑣 𝑣

�⃗�

�⃗�

c

Fuerza de Lorentz

Como puede verse en la representación, los portadores de carga eléctrica circularlinealmente recorriendo la longitud a del material conductor mientras que elcampo magnético atraviesa al material de forma paralela a la longitud b,atravesando la cara ac.

Cuando los portadores de carga eléctrica, por definición positivos, ingresan a laregión del espacio en la que existe el campo magnético, estos experimentaránuna fuerza magnética que ocasionará que se desvíen, describiendo unatrayectoria circular, hacia arriba. 2

𝑣�⃗�

a

b

�⃗�

El hecho de que los portadores de carga eléctrica se sitúen en la cara superiordel prisma (cara ab) ocasionará un déficit de carga eléctrica positiva en la carainferior del prisma conductor.

𝐵

𝑣

𝑣 𝑣

�⃗�

𝑣

a

b

c

Fuerza de Lorentz

El déficit de carga eléctrica positiva en la cara inferior puede verse como laexistencia de carga eléctrica negativa, por lo tanto, podemos simular que la carasuperior se está cargando eléctricamente de forma positiva mientras que la carainferior se está cargando eléctricamente de forma negativa.

3

a

𝐵

𝑣

𝑣 𝑣

�⃗�

�⃗�

a

b

cRegión positiva

Región negativa

Como está acumulándose carga eléctrica positiva en la cara superior y cargaeléctrica negativa en la parte inferior, entonces, se está generando un campoeléctrico en el interior del material que apuntará verticalmente hacia abajo(paralelo a la longitud c del prisma conductor)

𝐵

𝑣

𝑣 𝑣

�⃗�

�⃗�

b

cRegión positiva

Región negativa

𝐸

Fuerza de Lorentz

Observa que el campo magnético y el campo eléctrico son perpendiculares a lavelocidad de los portadores de carga eléctrica. A esta condición es comúnreferirla como “campos cruzados”.

Ahora bien, los portadores de carga eléctrica que siguen ingresando al materialahora experimentan dos campos, el campo magnético impuesto de forma externay el campo eléctrico que se generó por la movilidad de los primeros portadores decarga eléctrica.

4

�⃗�

a

bRegión negativa

Como bien recordarás, cuando las partículas con carga eléctrica positivaingresan a una región del espacio en la que existe un campo eléctrico, losportadores de carga eléctrica experimentan una fuerza eléctrica que ocasionaque estas se muevan en la misma dirección que el campo eléctrico.

Lo anterior ocasionará que los portadores de carga eléctrica que sigueningresando al material comiencen a experimentar la presencia del campoeléctrico y, con ello, una fuerza eléctrica que los “empuja” hacia abajo pero, comosigue actuando el campo magnético, también experimentan la fuerza magnéticaque los “empuja” hacia arriba. Como resultado, la trayectoria curvilínea de losportadores de carga incrementará su radio de curvatura pues la fuerza neta que

Fuerza de Lorentz

portadores de carga incrementará su radio de curvatura pues la fuerza neta queactúa sobre los portadores de carga eléctrica cada vez es menor.

Si seguimos imaginando la dinámica y cinemática de los portadores de cargaeléctrica, la fuerza magnética está siendo contrarrestada con la acumulación decarga eléctrica en las caras del material conductor por el incremento de la fuerzaeléctrica y existirá un punto temporal en el que la fuerza magnética serácompletamente contrarrestada por la fuerza eléctrica. En este punto, losportadores de carga eléctrica experimentarán una fuerza de Lorentz igual a ceronewton y se moverán describiendo una trayectoria rectilínea.

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Lo anterior puede “secuenciarse” con la intención de que te quede más clara laidea:

• Primer instante del tiempo.El portador de carga eléctrica sólo experimenta la fuerza magnética y securva hacia arriba.

• Segundo instante del tiempo.Como los portadores de carga eléctrica se están acumulando en la partesuperior, ocasionando el déficit de carga positiva en la parte inferior (carganegativa), se genera un pequeño campo eléctrico (verticalmente hacia abajo)

�⃗�𝐸 = 0 N �⃗�𝑀 ≠ 0 N

Fuerza de Lorentz

negativa), se genera un pequeño campo eléctrico (verticalmente hacia abajo)que comienza a contrarrestar la fuerza magnética.

• Tercer instante del tiempo.La diferencia de carga eléctrica en las caras superiores e inferiores cada vezes mayor así que el campo eléctrico es más grande.

• La cantidad de carga eléctrica acumulada en las caras es tal que la fuerzaeléctrica contrarresta por completo a la fuerza magnética ocasionando latrayectoria lineal en los portadores de carga eléctrica.

6

�⃗�𝐸 ≠ 0 N �⃗�𝑀 ≠ 0 N … �⃗�𝐸 ≪ �⃗�𝑀

�⃗�𝐸 ≠ 0 N �⃗�𝑀 ≠ 0 N … �⃗�𝐸 < �⃗�𝑀

�⃗�𝐸 ≠ 0 N �⃗�𝑀 ≠ 0 N … �⃗�𝐸 = �⃗�𝑀

Debes tener presente que, en esta situación, la fuerza eléctrica nunca serámayor que la fuerza magnética pues la “desviación” de los portadores de cargaeléctrica se detiene una vez alcanzado el punto de igualdad entre las magnitudesde las fuerzas, o bien, cuando la magnitud de la fuerza de Lorentz es cero.

Con esta condición, magnitud de la fuerza de Lorentz igual a cero, podemosdeterminar la magnitud de la velocidad de arrastre de los portadores de cargaeléctrica.

Dado que el campo magnético y la velocidad de los portadores de carga eléctrica

�⃗�𝐸 = �⃗�𝑀

Fuerza de Lorentz

Dado que el campo magnético y la velocidad de los portadores de carga eléctricason perpendiculares, entonces:

El fenómeno que hasta el momento hemos descrito es conocido como efecto Hally es un método experimental para determinar la rapidez de los portadores decarga eléctrica asociados a una intensidad de corriente eléctrica así como lanaturaleza de los mismos.

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�⃗�𝐸 = 𝑞𝐸 �⃗�𝑀 = 𝑞𝑣 × 𝐵 = |𝑞𝑣| 𝐵 𝑠𝑒𝑛𝜃 = |𝑞𝑣| 𝐵

�⃗�𝐸 = 𝐸𝑀 … 𝑞𝐸 = |𝑞�⃗�| �⃗� … 𝐸 = |𝑣| 𝐵 … |𝑣| =𝐸

𝐵

La determinación experimentalmente del punto en el que la magnitud de lafuerza de Lorentz vale cero, es mediante la medición de la diferencia de potencialeléctrico asociada con la generación del campo eléctrico en el interior delmaterial. A esta diferencia de potencial eléctrico se le conoce como potencial Hall.

Debido a que el campo eléctrico es paralelo a la longitud c del prisma conductory conocemos dicha longitud, podemos medir el potencial Hall y relacionarlodirectamente con la magnitud del campo eléctrico, dado que:

Lo anterior asume que el campo eléctrico generado por la “desviación” de los

∆𝑉 = 𝐸 |∆𝑟|

Fuerza de Lorentz

Lo anterior asume que el campo eléctrico generado por la “desviación” de losportadores de carga eléctrica como efecto del campo magnético, es constante enel interior del material. Si ahora recurrimos a la expresión que relaciona larapidez de los portadores de carga eléctrica con la magnitud del campomagnético y el campo eléctrico, y sustituimos este último en la expresión delpotencial eléctrico para determinar el potencial Hall, DVH, tendremos:

Para que la expresión anterior esté en términos de la intensidad de corrienteeléctrica asociada, sustituiremos la rapidez de los portadores de carga eléctricaque puede obtenerse del análisis microscópico de la intensidad de corrienteeléctrica realizado previamente (presentación 6).

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∆𝑉 = 𝐸 |∆𝑟|

∆𝑉 = 𝐸 |∆𝑟| … ∆𝑉𝐻 = |�⃗�| 𝐵 𝑐

De tal forma que:

Como el término A hace referencia al área transversal que atraviesan losportadores de carga eléctrica, que en nuestro análisis corresponde a la cara bc,podemos expresar el potencial Hall como:

Observa que en la ecuación anterior, el lado b es la longitud del prismaconductor que es paralela a la dirección del vector campo magnético.

𝐼 = 𝑛𝑞|�⃗�|𝐴 ∆𝑉𝐻 = |�⃗�| 𝐵 𝑐 … ∆𝑉𝐻 =𝐼

𝑛𝑞𝐴𝐵 𝑐

Fuerza de Lorentz

∆𝑉𝐻 =𝐼 𝐵

𝑛𝑞𝑏

conductor que es paralela a la dirección del vector campo magnético.

Ejercicio 1.Un conductor de plata se moldea para formar un prisma rectangular condimensiones A = 1.5 m, B = 1.0 mm y C = 1.5 cm, y se hace circular unaintensidad de corriente eléctrica de 2.5 A que recorre la longitud A. Si elconductor está inmerso en un campo magnético uniforme de 1.25 T que esparalelo a la longitud C, determina el potencial Hall y la magnitud del campoeléctrico en el interior del material. Considera que por cada átomo de Ag seaporta un electrón al proceso de conducción eléctrica. La densidad de la plata es10.5 g/cm3 y la masa molar es 107.9 g/mol.

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Para determinar el valor del potencial Hall es requerido determinar primero ladensidad volumétrica de portadores de carga eléctrica.

Como el campo magnético está aplicado en la longitud C, 1.5 cm, entonces elpotencial Hall será:

Fuerza de Lorentz

𝑛 =1 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟

1 á𝑡𝑜𝑚𝑜 𝑑𝑒 𝐴𝑔

6.022𝑥1023á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐴𝑔

1 𝑚𝑜𝑙 𝑑𝑒 𝐴𝑔

1 𝑚𝑜𝑙 𝑑𝑒 𝐴𝑔

107.9 𝑔 𝑑𝑒 𝐴𝑔

10.5 𝑔 𝑑𝑒 𝐴𝑔

1.0 𝑐𝑚3100 𝑐𝑚

1.0 𝑚

3

𝑛 = 5.86𝑥1028 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠/𝑚3

∆𝑉𝐻 =𝐼 𝐵

𝑛𝑞𝑏=

(2.5)(1.25)

(5.86𝑥1028)(1.6𝑥10−19)(1.5𝑥10−2)= 2.22𝑥10−8 V

Finalmente, para determinar la magnitud del campo eléctrico requerimos sabercuál es la longitud del prisma en la que se está midiendo el potencial Hall.Realizando un análisis de “campos cruzados”, la intensidad de corrienteeléctrica circula a lo largo del lado A y el campo magnético está aplicado a lolargo de la longitud C, así que el campo eléctrico se está generando en lalongitud B.

De esta forma, la magnitud del campo eléctrico en el interior del material será:

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∆𝑉𝐻 =𝐼 𝐵

𝑛𝑞𝑏=

(2.5)(1.25)

(5.86𝑥1028)(1.6𝑥10−19)(1.5𝑥10−2)= 2.22𝑥10−8 V

∆𝑉𝐻 = 𝐸 |∆𝑟| … 𝐸 =∆𝑉𝐻

|∆𝑟|=

2.22𝑥10−8

1.0𝑥10−3= 2.22𝑥10−5 N/C

Una de las aplicaciones más relevantes que se han dado de la fuerza de Lorentzse puede encontrar en el experimento de los rayos catódicos realizado porThomson.

En la imagen se representan las trayectorias que siguen los rayos catódicos(electrones) por efecto de la aplicación del campo eléctricos y el campo

Fuerza de Lorentz

Un tubo de Thomson o tubo de rayos catódicos es undispositivo en el que se aplica de forma perpendicular alvector velocidad de un haz de iones un campo eléctrico yun campo magnético.

(electrones) por efecto de la aplicación del campo eléctricos y el campomagnético.

• La posición marcada como a representa el punto en el que llega el rayo catódicocuando sólo actúa el campo eléctrico.

• La posición marcada como c representa el punto en el que llega el rayo catódicocuando sólo actúa el campo magnético.

• La posición marcada como b representa el punto en el que llega el rayo catódicocuando la fuerza de Lorentz es cero.

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Ejercicio 2.Considera un tubo de rayos catódicos en el que se lanzan electrones. Cuandosólo actúa el campo magnético de magnitud 1.5 mT, los electrones se curvan conun radio de 5.1 cm pero si además del campo magnético se aplica un campoeléctrico de magnitud 20.0 kN/C, entonces, los electrones se mueven en línearecta. Determina la relación carga–masa asociada con los electrones.

En el ejercicio se plantean dos situaciones. En la primera de ellas únicamenteactúa el campo magnético, así que los electrones describirán una trayectoriacircular, la cual puede expresarse:

Fuerza de Lorentz

�⃗�𝑀 = |𝑞𝑣| 𝐵 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 𝑚|𝑣|2

𝑅 … 𝑞

𝑚=

|𝑣|

𝑅 𝐵

Para determinar la relación carga masa, es necesario conocer la rapidez con laque se mueven los electrones, la cual puede encontrarse con la segundacondición, movimiento rectilíneo,

Al sustituir el resultado de la rapidez en la primera ecuación, podemosdeterminar la relación carga–masa buscada.

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�⃗�𝑀 = |𝑞𝑣| 𝐵 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 𝑚|𝑣|2

𝑅 … 𝑞

𝑚=

|𝑣|

𝑅 𝐵

�⃗�𝐸 = 𝐸𝑀 … 𝑞𝐸 = |𝑞�⃗�| 𝐵 … 𝐸 = |�⃗�| 𝐵 … |�⃗�| =𝐸

𝐵

|�⃗�| =20.0𝑥103

1.5𝑥10−3= 1.33𝑥107m/s

𝑞

𝑚=

|𝑣|

𝑅 𝐵 … 𝑞

𝑚=

1.33𝑥107

(5.1𝑥10−2)(1.5𝑥10−3)= 1.74𝑥1011 C/kg

Ejercicio 3.Iones monovalentes son lanzados en el interior de un tubo de rayos catódicos.Cuando sólo actúa el campo magnético de magnitud 0.5 T, los iones se curvancon un radio de 78.8 cm pero si además del campo magnético se aplica uncampo eléctrico de magnitud 1.0x106 N/C, entonces, los iones se mueven enlínea recta. Determina de qué ión se trata.

Para resolver este ejercicio procederemos de forma similar al ejercicio anteriorpues estamos en la situación de “campos cruzados”, en donde se nos brinda elvalor de la carga eléctrica de los iones pues al tratarse de iones monovalentes lacarga eléctrica vale 1.6x10–19 C.

Fuerza de Lorentz

En el ejercicio se plantean dos situaciones. En la primera de ellas únicamenteactúa el campo magnético, así que los iones describirán una trayectoria circular,la cual puede expresarse:

Para determinar la masa de los iones, es necesario conocer la rapidez con la quese mueven, la cual puede encontrarse con la segunda condición, movimientorectilíneo.

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�⃗�𝑀 = |𝑞�⃗�| 𝐵 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 𝑚|𝑣|2

𝑅 … 𝑚 =

𝑞 𝐵 𝑅

|𝑣|

Al sustituir el resultado de la rapidez en la ecuación referente a la aplicación delcampo magnético, podemos determinar la masa de los iones.

Si el resultado anterior lo convertimos a unidades de masa atómica empleando el

Fuerza de Lorentz

�⃗�𝐸 = 𝐸𝑀 … 𝑞𝐸 = |𝑞𝑣| 𝐵 … 𝐸 = |𝑣| 𝐵 … |�⃗�| =𝐸

𝐵

|𝑣| =1.0𝑥106

0.5= 2.0𝑥106m/s

𝑚 =𝑞 𝐵 𝑅

|𝑣| … 𝑚 =

1.6𝑥10−19 (0.5)(0.788)

2.0𝑥106= 3.15𝑥10−26 kg

Si el resultado anterior lo convertimos a unidades de masa atómica empleando elfactor de conversión de que 1 u = 1.6x10–27 kg, tenemos que los iones tienenasociados un valor aproximado a 20 u.

Si buscamos en la tabla periódica, veremos que el ion corresponde con el átomode neón, así que los iones que están dentro del tubo de rayos catódicos son20Ne+.

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Otra de las grandes aplicaciones que tiene la comprensión de la fuerza deLorentz en química es en la técnica de caracterización molecular conocida comoespectrometría de masas.

La espectrometría de masas es una técnica que empleamos para conocer losfragmentos que componen una molécula. En esta técnica, la muestra de análisisse somete a una alta diferencia de potencial eléctrico que sirve para ionizar a lamolécula y, una vez ionizada, es lanzada a una región del espacio conocida como“selector de velocidades” que discrimina a los iones en función de su rapidez y,posteriormente, ingresar a una región en la que sólo actúa el campo magnético.Como resultado tenemos un espectro de relaciones masa–carga.

Fuerza de Lorentz

Como resultado tenemos un espectro de relaciones masa–carga.

Por ejemplo tomemos el espectro de masas de la molécula diisopropil éter.

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En el espectro mostrado, en el eje de las ordenadas se grafica la abundanciarelativa de los iones y en el eje de las abscisas se grafica la relación masa–carga.Entendamos cómo se generó dicho espectro.

La molécula diisopropil éter primero fue introducida en una cámara que lavaporizó para después aplicarle un alto potencial eléctrico (valores cercanos akV) para fragmentar la molécula en todos los iones posibles.

Posteriormente, estos iones se lanzan al “selector de velocidades”, el cual se rigesegún la ecuación:

Fuerza de Lorentz

|𝑣| =𝐸

𝐵

Si la ecuación anterior se sustituye en el balance de energía relacionado con elpotencial de acelerado, tenemos:

Dado lo anterior, somos capaces de “seleccionar” a los iones generados entérminos de su relación masa–carga, modulando las magnitudes del campoeléctrico y el campo magnético.

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|𝑣| =𝐸

𝐵

𝑞∆𝑉 = 𝑚|𝑣|2

2 … 𝑞∆𝑉 = 𝑚

2

𝐸

𝐵

2

… 𝑚𝑞

=2∆𝑉 𝐵

2

𝐸2

Una vez que se han seleccionado a los iones, estos ingresan a una región delespacio en el que únicamente existe un campo magnético, lo que producediferentes curvaturas que se interpretan para obtener el espectro mostrado.

Fuerza de Lorentz

Observa que cada señal vertical, considerando unitaria la carga eléctrica, estáasociada con la masa molar de un fragmento. Por ejemplo, la señal de 102corresponde con la suma de las masas atómicas que componen al diisopropiléter, C6H14O+, por lo que podemos asumir que este ion molecular perdió unelectrón. La señal de 43 es el fragmento isopropil (H3CCHCH3)+.

Y de esta forma se va “armando el rompecabezas” que te lleva a proponer unaestructura molecular para la muestra ingresada.

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Ejercicio para resolver.

1) Un electrón ingresa perpendicularmente en un campo magnético decoordenadas (1.5x10–3, 0, 0) T describiendo un movimiento circular con radio5.1 cm. Determina las coordenadas del vector de campo eléctrico que serequiere aplicar, en presencia del campo magnético, para evitar la curvatura delelectrón si el vector velocidad tiene coordenadas (0, Vy, 0) m/s

2) Un trozo de Au (r = 2.22x10–8 Wm), con dimensiones A = 20.0 mm, B = 1.0 mmy C = 5.0 mm, se conecta a una fem de 888.0 V en las caras formadas por loslados BC y se sumerge en un campo magnético de 100.0 mT que atraviesa almaterial en las caras AC. Determina el potencial Hall asociado con que el únicoelectrón que aporta Au se mueva de forma lineal al interior del material. Laelectrón que aporta Au se mueva de forma lineal al interior del material. Ladensidad del Au es 1.93x104 kg/m3 y la masa atómica 197.0 g/mol.

3) Un electrón entra con una velocidad (2,–4,1) m/s en una región en donde existeun campo magnético (1,2,–3) T y un campo eléctrico (3,–2,0) N/C. Determina elvector aceleración que adquiere inicialmente el electrón.

4) Un ión monovalente es acelerado hacia una región de campos cruzados(B = 0.5 T, E = 1x107 N/C) de forma tal que inciden perpendicularmente enambos campos. Cuando sólo actúa el campo magnético, el radio de curvaturadel ión es 80.0 cm, pero si actúan ambos campos, entonces, el ión viaja entrayectoria rectilínea. ¿De qué ión se trata?

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