§1.-INTROOUCCIÓN

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EL TEOREMA DE HAWKING

Javier Lafuente L6pez Departamento de Geometría y Topología

Facultad de Matemáticas Universidad Complutense de Madrid

Estas notas están basadas en un seminario impartido por el autor. durante

el curso 89-90 en la Facultad de Matemáticas de la Universidad Complutense de

Madrid.

El seminario iba dirigido a alumnos del Curso de Doctorado del Departa­

mento de Geometría y Topología, y a profesores de la Facultad, con una forma­

ción básica en Geometría Diferencial, pero no necesariamente especialistas en

temas de Cosmología.

El tema central del seminario, y de estas notas, gira en torno a uno de

los más famosos teoremas de Hawklng, que de forma coloquial podríamos

enunciarlo así:

En cualquler modelo matemático fCslcamente razonable del Universo,

el pasado de cualquter partícula stempre es flntto.

Tomando como punto de referencia esta afirmación, nuestra idea es presen­

tar a un lector matemático de nivel equivalente a postgraduado, las ideas bá­

sicas de la Cosmología moderna y algunas de las herramientas de la· Geometría

Diferencial que aquí entran en juego.

En primer lugar, se trata de expresar en un lenguage geométr.ico preciso

el significado de la afirmación anterior, para transformarla en el enunciado

matemático clásico y riguroso. Para ello será necesario inicialmente explicar

qué objeto geométrico es un modelo del universo, según la Teoría General de la

Relatividad (Espacios de Lorentz), y que se entiende en este contexto por · un

modelo razonable. Es decir, qué restricciones geométricas se deben Imponer a

nuestro modelo para que reflejen determinadas propiedades físicamente plausi­

bles del Universo. Estos requerimientos físicos pueden esquematizarse de la

siguiente .. forma:

1.- Buenas propi edades de Causalidad.

2.- El Uni verso esU en expansión.

3.- La gravedad atrae.

En segundo lugar presentaremos una panorámica general de las herramientas

y técnicas geométricas en espacios de Lorentz Involucradas en la demostra­

ción del Teorema de Hawklng.

Finalmente, mostraremos la llnea argumental que ·nos conduce a la demos­

tración del Teorema.

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§2. - CAUSALIDAD EN ESPACIOS DE LORENTZ

Los espacios de Lorentz, constituyen según la teoría General de la Rela­

tividad, el objeto geométrico adecuado para representar los modelos cosmol6gl­

cos del Unlverso. En éste epígrafe, se anallzará.n un primer grupo de propieda­

des que debemos exigir a nuestro modelo, para que resulte "razonable" desde el

punto de vista Causal. Propiedades tales como que "Nadie puede lnf luir en su

propio pasado (ni siquiera en sus proximidades)"... etc. Se corresponderán con

determinados requerimientos geométricos a nuestro modelo.

2.1 APROXIMACION A LA TEORIA GENERAL DE LA RELATIVIDAD

En relatividad especial un suceso viene determinado por un punto de un

espacio afín M. de dlmensl6n 4, en cuyo espacio vectorial subyacente M está

definida una forma bilineal simétrica con signatura -+++. Esta estructura,

denominada espacio de Mlnkowskl, constituye el modelo adecuado para el estudio

de de la dinámica de partículas en un universo carente de masas gravitatorias.

Desde el punto de vista de la Geometría Diferencial, podemos considerar

el espacio de Mlnkowskl M como una variedad diferenciable de dimensión 4, en

donde para cada suceso pEM el espacio tangente T M est'- canónicamente p

identificado con i\, vla el Isomorfismo lineai: T�M:.c'(O) -4UW c(O!c(l.> eM, siendo c:(-c,c) -4M una curva dlferenciable con c(O)=p.

En consecuencia, queda Inducida ·en cada espacio tangente. T M::::M . una forma p

blllneal simétrica g :T MxT M�(v.w) -4g(v,w)ER. p p p

El espacio de Minkowskl (M,g), es pues �n espacio de Lorentz, según la . ,. ,'l', <

siguiente def lnlc16n:

2.1.1 Espacio de Lorentz

Un espacio de Lorentz, es una variedad diferenclable M, real, conexa de

dimensión cuatro , dotada de un tensor métrico g que asigna (de forma dlferen­

clable) a cada espacio tangente T M, una métrica con signatura -+++, que den­P

otamos por g :T MxT M�(v.w) �(v,w)=<v,w>ER. p p p

Se denomina a g, métrica Lorentzlana de M.

El espacio de Lorentz, es el objeto geométrico, que la Teoría General de

la Relatividad elige para representar modelos cosmol6glcos.

En una primera aproximación podríamos pensar que un espacio de Lorentz,

viene a ser un como un espacio de Minkowskl "distorsionado" desde el

punto de vista métrico y topológico.

La idea geométrica central de la Relatividad General, es que esta distor­

sión ( determina y) viene determinada por la presencia de las fuerzas gravita­

torias, que �on las . únicas que gobiernan . el Universo a gran escala. De esta ..

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forma, toda la Información relevante a nivel "cosmol6glco" debe quedar descri­

ta en la geometría de M.

2.2 CARACTER. CAUSAL Y ORIENTACION TEMPORAL. 2.l.l car•cter Causal de vectores.

Cada espacio tangente T M al espacio de Lorentz M, reproduce el modelo de p Mlnkowskl, como aproximacl6n lineal de M en p, y podemos trasladar a él la

terminología habitual de los espacios lineales de Lorentz. Así por ejemplo, el

carácter causal de un vector no nulo veT M se dirá temporal, espacial o luz si p <v,v><O, <v,v>::sO o <v,v>=O respectivamente. De forma análoga un campo de vec-

tores XEX(M) se dirá temporal, causal o luz, si X(p) mantiene el mismo carác­

ter causal en todo punto peM.

El conjunto � de vectores causales en T M, tiene exactamente dos compo-P p + -nentes conexas que denotamos arbitrariamente por � y � y denominamos conos + p p

causales. Si por ejemplo vet:+, podemos escribir 1: ::{wet: :<v,w><O}. p p p .

2.1.2 Orlentacl6n temporal.

Una orientación tiempo en el espacio de Lorentz M, es una asignación que +

hace corresponder a cada pEM un cono causal 1: de T M, que llamamos cono cau-P p sal futuro en p. Esta asignación debe ser diferenciable en el sentido de que

. : .. ;¡,, ,-t. \ • • en cierto entorno tl de cada punto pEM, pueda construirse tina campo temporal

+ • . XEX(tl) con X(a)EC para todo aetl. Esta condición equivale- usando particiones

•

dif erenciables de la unidad- a la existencia de un campo temporal XeX(M), que

en cada punto seftala al cono causal positivo.

Un espacio de Lorentz orientado tiempo, lo denominamos espacio orientado

de Lorentz. Un vector causal de T M se dirá futuro, si pertenece al cono cau­P sal futuro. Caso contrario se denomina vector causal pasado.

2.3 CURVAS CAUSALES.

Sea M un espacio orientado de Lorentz.

Una curva diferenclable a trozos a:[a,b) �M se dirá temporal, causal, o

luz, futura o pasada, si ese es el carácter de cualquier vector a'(t) para to­

do te[a,b), incluidos los vectores «'(a+), «'(b -) y los vectores tangentes

«'(t;> y cx'(t�) en los puntos de ruptura intermedios.

Si la curva « . está definida en un intervalo 1 abierto de IR (eventualmente

no acotado) a.: 1 --+M, diremos que posee un caracter causal determinado cuando

para todo a,bEl, a<b, la curva a l [a,b) s�, dlferenciable a trozos, y tenga el

mismo carácter causal. .. � .

Finalmente, una curva digamos, causal futura «:(a,b) �M. se dirá futura­

lnextendible, si no existe UW «(t). Análogamente se define el concepto de pa­

sado-lnextendlble; « se dirá inextendible, si es futura y pasada inextendlble .

..

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2.3.I Tiempo prdplo. Las curvas temporales futuras cx:[a,b) -7M, representan trozos de las li­

neas del unJverso de las partículas materiales. Se llama longitud de « a:

L(cx)=Jicx'Ct> ! dt, donde l «'<t> l ::/.<cx'(t),cx'(t)> . La longitud Ucx) representa ..

el lapso de tiempo medido por un reloj que viaja con la partícula, entre los sucesos cx(a) y cx(b).

Desde el punto de vista físico. ·solo interesa de una curva temporal futu­ra, su trayectoria, y no su parametrlzaci6n concreta. Sin embargo para este tipo de curvas, hay una parametrlzac16n canónica- por la lóngltud del arco­con claro significado físico. Esta parametrizaci6n viene determinada (salvo traslación de parámetro) por la condición: jcx'(t) 1 =l. El parMietro t se denomina entonces tiempo propio, ya que entonces t representa el tiempo marcado por un reloj que viaje con la particula.

2.3.2 Partículas con pasado finito.

Una curva temporal futura inextendlble «: (a,b} --+M tal que ui:.L<« l ft,bt)) es finito, para todo como una partícula con pasado finito.

b con a<b <b se Interpreta físicamente 1 1

2.3.3 Caracter Causal de las geodtSslcas.: - . -- , �------ -- :-: Dada una geodésica r:(a,b) -7M, como la función <7'(t),7'(t}> es

constante, su caracter causal, solo depende del caracter causal de r'(a). Supuesto este vector temporal futuro, y l r' (a) 1 =l, entonces · t · es ·et t1eml)<5 �

pr6pio de 7. Una geodésica causal futura y maximal 7:(a,b)-7M es inextendible en el sentido de las curvas causales. SI es luz, representa la línea del universo de un rayo de luz. SI es temporal, Indica la línea del universo de una partícula material en calda libre, es decir, solo afectada por las fuerzas gravitatorias.

2.-4 PRECEDENCIA CRONOL6GICA Y CAUSAL. PROPIEDADES GLOBALES

En nuestro espacio orientado de Lorentz M, la línea del universo de cual­quier "sefial" viene determinada por una curva causal futura, de forma que si no existe tal curva entre sucesos distintos p y q de M, podemos concluir que p !!Q tiene lnfluencla sobre q. En el caso contrario, diremos que p precede cau­salmente a q, y escribimos: p<q. La notación p:sq, Indica como es habitual, p=q, o p<q.

2.-4.1 Futuro Causal y cronológico.

El futuro causal del suceso p, viene definido por el conjunto: J+(p)=(qeM:p:Sq) e Indica el conjunto de sucesos de M sobre los que el suceso p puede tener Influencia.

Se dice que el suceso p precede cronológicamente al suceso q, y ...

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escribimos p«q. si existe una curva tempor;al. futura que los une. De forma

análoga. se llama futuro cronológico de p al conjunto 1•(p)={qeM:p«q}.

Propiedades tales como:

p<<q�p<q. p<<q<<r>+p<<r, p<q<r-.p<r

tlenen demostración trivial en un espacio orientado de Lorentz arbitrario. No

así la propiedad de transltividad fuerte:

p<q<<r�p<<r. o p<<q<!"'*p<<r

cuya demostración puede verse en (ON pág 293].

2.5 PROPIEDADES LOCALES DE LA PRECENCIA CRONOL6GICA Y CAUSAL.

En el espacio M de Minkowski, los conceptos de precedencia causal admiten

una formulación particularmente simple. De hecho sl p, q son dos sucesos. de­

notando por 7 (t)=p+t'Pct O:st:sl la ónica geodesica en M uniendo p a q se verl­pq

flcan las equivalencias:

p<q • 7 es causal futura, y p«q • 7 es temporal fu tura " "

Veremos que estas "buenas" propiedades de Causalidad, son heredadas lo-

calmente en un espacio orientado de Lorentz, a través de la apllcacl6n expo­

nencial: ·

2.5.1 Geometrf a Local de Geodc!slcas. Sea M un espacio de Lorentz. Si �ET M, .denotamos por 7 :1 ,..;.,...-.+. M a la ó-. . . _

p V V .

nlca geodésica maxlmal con 7'(0)=v. V

Las geodésicas conservan su caracter por cambios lineales de parámetro,

es decir, si tel entonces stel , y se tiene 7 (t)=7 (st). Así el conjunto n v n v

f> ={veT M: lel } es un abierto estrellado respecto a OeT M, y la aplicación p p V p

exp :f> av ---+7 (l)eM es diferenclable, y verifica 7 (t)=exp (tv) (O:st!ll), p p V V p

Flc.1

Por otra parte, se prueba que exp 1 es no singular en OET M, y existe {t en-P p

torno de O en T M y 11 entorno de p en M. tal que exp :ií ----+11 es un dlf eo-P p p

morflsmo • denotando por tl;:,x ---+pxeft, la aplicación Inversa, se tiene la

Identidad:

7 (t)=exp (tpx) (O:!it:sl) px P

que expresa la propiedad de que para cada xetl existe una única geodésica

7 :(0,1) --t11 que une p a x. Se dice entonces que tl es un entorno normal px

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de p. Cuando U es entorno normal de cada uno de sus puntos, se llama

geodésicamente convexo. La existencia de una base de entornos geodésicamente

convexos en cada punto es un hecho conocido.

2.5.2 Causalfdad Local.

Un abierto U geodésicamente convexo de M, es también espacio orientado de

Lorentz, y podemos hablar en él de precedencia cronológica «u y causal <u-

Se tienen entonces las siguientes equivalencias:

a) p«11 q * pq es vector témporal futuro. Por otra parte, si cx:(O,l] �tl

es temporal futura uniendo p a q, se verifica L(cx)�L( ,- )= 1 pq J . pq

b) p<tl q * pq es vector causal futuro.

Denotando por 1•

cp, 'U)={qetl:p«tl q } el futuro cronológico del punto p en

U, se verifica que 1•(p, 11) es un conjunto abierto.

De aquí se deduce trivialmente:

c) l+(p ) =l

+(p,M) es un conjunto abierto.

2.6 CONDICIONES DE CAUSALIDAD. El buen comportamiento local de la causalidad, contrasta con la presencia

de todo tipo de "patologías" desde el punto de vista global, en espacios de

Lorentz arbitrarlos. Por ejemplo, la posible presencia de curvas causales

futuras cerradas o casi cerradas, . vulnera los más elementales principios fi- .... los6flcos de relaciones Causa-Efecto. Es pues necesario. imponer en nuestro mo­

delo ciertas restricciones que impidan la _ e�ister¡cla de curvas causales lnde-•. sea bles.

2.6.t Espacios Causales.

Un espacio orientado de Lorentz, M. es Cau�l si en él no existe una curva

causal futura cerrada, es decir: VpeM,pfJ+

(p).

Esta condición impone restricciones topológicas a la variedad M de parti­

da. Por ejemplo, si M es compacto entonces· no puede ser causal.

En efecto, la propiedad de compacidad impone que M pueda obtenerse como

unión finita de conjuntos abiertos de la forma l+

(p1) 1=1, ... ,r, y podemos su-+ +

poner que 1 (p ) no está contenido en 1 (p ) para i=2, ... ,r. Pero entonces l l

p tfl+(p ) 1=2, .. ,r, lo cual indica que p el

+(p ), y existe por tanto una curva

l l l l temporal futura cerrada.

La propiedad de no existencia de curvas causales futuras casi cerradas

viene dada por el siguiente criterio:

2.6.2 Espacios Fuertemente Causales.

M es Fuertemente Causal si para todo pEM, y todo entorno U de p existe

V entorno de p, con Val y tal que toda curva causal futura uniendo dos puntos

de V está contenida en U. La causalidad Fuerte Implica evidentemente la propiedad de Causalidad.

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2.6.3 Establlldad causal.

Otra vea para imponer la no existencia de curvas causales futuras casi cerradas, es la propiedad de estabilidad causal, que exige que el espacio permanezca causal cuando se realizan pequel'ias perturbaciones de la métrica:

Sean g, h dos métricas de Lorentz en M. Decimos que h es mas ancha que g, y escribimos g<h si todo vector causal en (M,g) es temporal en (M,h), es decir: g(v,v):sO, y v�O+ h(v,v)<O.

Se dice que M=(M,g) es establemente causal, si existe h métrica de Lo­rentz en M mas ancha que g, tal que (M,h) es espacio causal. (Véase figura)

ne. 2

Un buen criterio para reconocer esta propiedad en un espacio de Lorentz M es el siguiente:

Supóngase que existe una función diferenclable T:M---i�19'1 tal que el campo -grad T es temporal futuro. Entonces M es causal pues si «:(a,b] �M es curva causal futura, entonces (T.«)'(t)=g(grad T,«'(t))>O, y por tanto « no puede ser cerrada. De hecho, una sutil modificación del argumento permite probar que M es fuertemente causal.

Por otra parte, es f acll probar que la métrica h en M definida por: h(v,w)=g(v,w)-g(grad T,v) g(grad T,w), es una métrica (orientada) de Lorentz más ancha que g, y el campo -gradh T sigue siendo temporal futuro en (M,h), que conserva ase la propiedad de causalidad.

Una función dlferenclable T:M � se llama función tiempo global, si el vector -grad T es temporal futuro.

Se prueba que la establlidad causal equivale a la existencia de una función tiempo global (Ver (HE) pag 198), y por lo anterior, lmpllca la causa­lidad fuerte .

..

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2.7 ESPACIOS GLOBALMENTE HIPERB6LICOS

La propiedad de Estabilidad Causal es hereditaria para subconjuntos

abiertos conexos de M. Este hecho constituye un Indicio de que tal propiedad,

no puede ser una exigencia causal suficiente. En efecto, no parece razonable

suponer nuestro modelo de Universo contenido estrictamente en un modelo mas

amplio. Se hace pues necesario afiadir alguna exigencia más, que Implique de

alguna forma esta condición de maxlmalldad.

2.7.1 Función Tiempo de Cauchy

Una función tiempo T:M �. se denomina función tiempo de Cauchy, si pa­

ra cada curva temporal lnextendlble u:(a,b) �M se verifica:

UT + Tfo:(t))=+at Ui¡i _ T(a.(t)).-..

Se dice que M es globalmente hiperbólico, si admite una función tiempo global

de Cauchy. En particular, M es establemente causal.

2. 7 .2 Hojas espaciales

En un espacio globalmente hlperb611co, las superficies S =T-1(r) se r

denomlnán hojas espaciales de T. Todas las hojas espaciales son dlfeomorfas

entre st. De hecho es fácll probar. que M es dlfeomorfo a RxS . En efecto: V . o

SI V=grad T, sea U= <V . V> , y c una curva Integral -���lf!lal .de U, . enton-

ces: (T.c)'( t)=<c'(t),V>=<U(c(t)),V>=t. ·As{. . si T(c(O))=O, es · T(c°(t))=t, y ·por

ser e temporal e lnextendlble y T tiempo de Cauchy, se concluye que el dominio

de definición de c es todo R. SI F:RxM �M es el flujo global. de U, entonces

la restrlcclón F:RxS0

�M es difeomorflsmo.

En particular cada hoja espacial es una hlpersuperflcle Rlemannlana ce­

rrada y conexa de M. Además son superf lcles de Cauchy, según la siguiente de­

finición:

2.7.3 Superficies de Cauchy

Una superf lcle de Cauchy en un espacio orientado de Lorentz M, es un sub­

conjunto S de M que corta una sola vez a cada curva temporal lnextendible.

Las superficies de Cauchy tienen · algunas propiedades parecidas a las

hojas espaciales de una función tiempo, por ejemplo:

a) Una super/tele de Cauchy es un conjunto conexo:

En efecto: SI V es un campo temporal, entonces para pEM, S corta una sola

vez a la curva Integral maxlmal u de 'V ·con « ( O)=p. y la apllcaclón p p

p5

:M9p----.tlm u,

JnSeS es continua y abierta. En consecuencia, S es conexa. Si

S es dlferenclable, entonces p5

es submersl6n.

b) Dos Super/teles de Cauchy son stempre homeomorfas:

SI S y L son superficies de Cauchy, entonces para un campo temporal fijo,

las aplicaciones p5I L:L�S. y P

r l S:S�L son continuas e Inversa la una de

la otra. En particular L y S son homeomorfas (o dlfeomoñas en caso dlferen-..

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dable).• SI A es subconjunto de M se denota por l

+(A) a la unión de los futuros

+ cronológicos 1 (a) de puntos aeA. Se tiene entonces: c) St S es una superftcte de Cauchy entonces M se obttene como unt6n dts­

junta I+(S), S , 1-(S), y S es el borde topol6gtco coman de l+(S) y 1-(S)

En particular S es un conjunto cerrado. Finalmente: d) Una. superftcte de Cauchy es una htpersuperftcle topol6gtca.

2.7 • ..f Caracterizaciones de los espacios globalmente hlperb611cos.

La condición "Globalmente Hiperbólico" desempel\a en geometría Lorentzlana un papel análogo al de completitud m�trica en espacios Rlemannianos, y ha sido ampllamente estudiada. Presentamos aquí algunas de sus caracterizaciones más importantes:

En un espacio M fuertemente Causal son equivalentes las afirmaciones: i) M admite una superficie de Cauchy.

+ -11) M es fuertemente causal. y para cada p,qeM con p<q. J(p,q)=J (p)f'\J (q)

es un conjunto compacto. fil) Existe una función continua T:M -->RM'I tal que T-1(r) es superficie de

,,

Cauchy para todo relm T, y To« es estrictamente creciente para cada curva causal futura de M.

lv) M es globalmente hiperbólico. v) M admite una superficie dlferenciable (espacial) de Cauchy.

En a.delante llamaremos superftcte de Cauchy, a una. superftcte dlferencla­

ble espacla.l de Cauchy.

•I •

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§3 EXPANSIÓN DEL UNIVERSO

El desplazamiento al rojo de las ondas luminosas procedentes de objetos

lejanos constituye hoy en día la tlnica prueba experimental de la Ley de

expansión del Universo formulada por Hubble en 1929, y admitida sin reservas

en todas las teorías Cosmológicas modernas.

Nos proponemos en este epígrafe dar una formulación geométrica precisa de

este fenómeno, que se incorpora como hipótesis en el Teorema de Hawking.

Para ello son necesarios algunos preliminares.

En lo que sigue, M es una variedad dif erenciable conexa, topo lógicamente

orientada, de dimensión cuatro, y dotada eventualmente de una métrica orienta­

da tiempo de Lorentz.

La hipótesis de orientabilidad topológica, no es estrictamente necesaria

en esta exposición. Sin embargo la adoptamos por simple cuestión de claridad

expositiva.

3.1 EL OPERADOR DIVERGENCIA

Para dar sentido a la idea de expansión (o contracción) de un recinto de

una variedad diferenciabie, son necesarios algunos ingredientes geométricos:

Por una parte es necesario disponer de una teoría de integración en

la variedad M para poder medir: volumenes de recintos ... Esta teoría viene deter"'.

minada por una forma de volumen, que es canónica si M es semiriemanniana.

Por otra, se necesita conocer la ley de movimiento del recinto. Esta ley

se determina a través del flujo de un campo de vectores ..

Finalmente, se requiere de un operador- operador divergencia- que mida la

"tendencia" a la expansión (o contracción) infinitesimal de regiones

transportadas por el flujo del campo.

3.1.1 Formas de Volumen. Orlentacl6n Topológica.

Recordamos que una forma de volumen en M, es una forma"' de grado máximo

que no se anula en ningún punto.

Una base (e ,e ,e ,e ) de T M se dirá positiva si e.>(e ,e ,e ,e )>O. El 0 1 2 3 p 0 1 2 3

conjunto L+(M) de bases positivas de M define una de las dos componentes

conexas del flbrado de referencias L(M). Tal elección significa una

orientación topológica en M.

Es conocido que en una variedad M dotada de una forma de volumen e.>, se

puede desarrollar una teoría de integración de funciones f:M � con soporte

compacto. Si D es un recinto medible, se llama volumen de D al número:

vol(D)=J 'X.o"' M

donde 'X. es la función característica del recinto. D

..

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3.l.2 Formas de Volumen canónicas.

SI M es Lorentzlana {o Rlemanniana), puede definirse una forma de volumen

wM canónica. Indicaremos cómo.

Una base ortonormal ordenada en un espacio tangente T M es una base p

(e ,e ,e ,e ) con <e ,e >=O, si htj, <e ,e >=±1, y <e ,e >=1, l=l,2,3. 0123 l J 00 l l El criterio de definición de u es entonces el siguiente: .. wM(e0,e1,e2,e3)=1, cuando (e0,e1,e2,e3) es una base ortonormai ordenada

y positiva de T M. p

Claramente u"' se conserva por transporte paralelo.

Supuesto S una hipersuperffcie semlrlemanniana de M, con vector normal

unitario N, la forma de volumen canónica u en S viene definida por el crite­s rio:

u (e •... e )=u (N(p),e , ... e ) para e , ... e ET S. S t n M 1 n l n p 3.1.3 Flujo local de un campo de vectores.

SI XEX(M) es una campo de vectores, recordamos que un flujo local de X por un punto p de M, viene definido por una cuaterna (U,U0,c,F) donde

F:I xU -+U es aplicación diferenclable verificando que c :1 at-+F(t,x)EU e o x e es curva integral de X por x VxEU • (es decir c (O)=xy X(c(t))=c'(t) 0 X ; para todo tElc. Además, Ft:U0ax�F(t-;:i}EFt:fU0>sU-es'-dlfeomQrf'ismd VtelfF ;:;

SI w es una forma de volumen en M, la expresión L w en función del flujo •

X (F t) w -w

es: LxCFl!W t

3.1.'4 Operador Divergencia respecto a una forma de volumen.

Supongase w forma de volumen en M. SI XeX(M), entonces la derivada de Lle

Lxw define una n-forma en M, qu� es por'' tanto proporcional a w. Se define

dlv xe,-;(M) por la Identidad: L w=(dlv X) w. U X W El significado geométrico del operador divergencia es el siguiente:

1 i vol(Dt

)-v ol(D0

) ] 1 [ vol(Dt)-vol(D0) ) {dlv

wx>

, =uw -t- MW vol (D ) =uw vol D uw t o

donde F es un flujo local para X en torno a p. y D =F (D), siendo D un ele-t t t mento de una f amllla de entornos que se contraen a p.

3.1.5 Operador Divergencia respecto a una conexión.

SI M está dotada de una conexión lineal r con derivada covarlante D, se

define el operador divergencia divr asociado a la conexión, de la forma

(dlv_X)(p)=Traza(T M::.v �D XeT M). �- . p V p En estas condiciones se tiene el siguiente resultado:

La forma de volumen w se preserva por transporte paralelo (l.e.

Dxw=-0 VXEX{M)), si y solo si dlvr=div w·

...

.i

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3.2 INVARIANTES GEOMt'rR.ICOS DE INMERSl6N.

En lo que sigue. S es una hlpersuperflcle espacial del espacio orientado

de Lorentz M. En particular. S es variedad Riemanniana tridimensional.

Para cada punto peS, existe un único vector N(p)eT M temporal, futuro, p

ortogonal a T S y unitario. El campo N a lo largo de S es dlferenclable, y lo p

denominamos campo normal a S. En particular, S es topológicamente orlentable.

3.2.1 Segunda Forma Fundamental

Las conexiones de Levl-Civita V de M y V5 de S están relacionadas a tra­

vés de la segunda forma fundamental por medio de la fórmula de Gauss: s V W=V W+Il(V.W). siendo V.WeX(S). y IICV.W) la componente normal a S de V W.

V V V

SI N es el campo normal a S, se define el tensor "shape" en un punto peM:

Y (v.w)=<IlCv.w).N(p)> para v,weT S. p p

El tensor Y es simétrico. y por elevación de uno cualquiera de sus Indi-

ces puede Interpretarse como operador lineal Y :T S---}T S es decir: p p p

Y (v.w)=<9' (v),w> para todo v,weT S p p p

SI V y W son campos tangentes a S como <W,N>=O y <N.N>=l en S se verifica:

O=V<N.N>=2<V N.N>. así V N es tangente a S. Por otra parte: V V

O=V<W.N>=<V W.N>+<W.V N>=<IICV.W).N>+<V N.W>=<9'(V)+V N.W> V V V V,

Por tanto Y(V)=-V N. Es decir. en cada •í>ttnfo-'peM; es '-1 :T M9v �-V'NeT M.' V - p p V p

3.2.3 Subvarledades Totalmente geodésicas.

La hlpersuperflcle espacial S, se dice totalmente geodésica en pes. si

las geodésicas de S que pasan por p, son también geodésicas en M.

Nótese que en estas circunstancias el tensor "Shape" 1 es Idénticamente p

nulo, ya que si ueT s. y rCt) es la geodésica en S con r(O)=p. y r·co)=u. p

por hipótesis r es geodésica en M. y se v erlfica V • r•=0. Por tanto: r 1 Cu.u)=<V r· .N(p)>==,<O.N(p)>=O

p u ' l

En particular V N=O para todo ueT S. u p

3.2."4 Curvatura media y divergencia

Se llama curvatura media de S en peS a µ (p)=-traza(Y ). s p

El siguiente resultado ofrece una primera Interpretación de la curvatura

media:

Teorema: {[NA) pag 129)

Sea pes. U entorno de p en M. y ÑeX(U) tal que Ñ(x)=N(x) para todo xeS=UnS.

Entonces {dlv N) = µ {p). En particular (div N) 1 S solo depende de N 1 S. p s

..

-13-

3.3 INTERPRETACI6N ns1cA DE LA CURVATURA MEDIA. En lo que sigue se supondrá que M es un espacio orientado de Lorentz, y S

es una hlpersuperf tele espacial de M.

3.3.t Slncronl:zac16n Local.

Conslderese un suceso p=r(O)eM correspondiente a un observador inercial

(l.e geodésica temporal futura): r: l -.+M. Admitamos que el observador dispone

en el suceso p. de un sistema de sicronizaclón que le permite percibir el con­

junto de sucesos simultáneos a p. como una pequefia hlpersuperflcle espacial S

ortogonal a N =r'(O) contenida en un cierto entorno V de p geodésicamente con-P .

vexo. En estas condiciones se tiene el siguiente resultado (Véase figura 4):

TEOREMA:

Existe entonces un entorno 11 contenido en V. de p en M, y Ne!l(11) campo

temporal unitario futuro, tal que:

i) N 1 S es campo normal a S y N(p)=N . p li) El flujo F: lcxU0 -.+U de N en torno a p, induce un difeomorflsmo entre

1 xS y 11. e Uf) Las curvas integrales de N son geodésicas temporales.

iv) N es un vector normal a cada una de las hlpersuperflcles S =F (S) pa­t t

ra tel . e Idea de la demostración:

Extiendase dlferenciablemente N =r'(O) éomo campo normal unitario en S. p '

Para c>O suficientemente pequefio, cada - geodésica· 1' - 1':1 �. � está - contenida-' - -N(x e en V para todo punto x de S. Tómese entonces 11={exp (tN(x)):xeS,tel }s;;11, y X C N(,-N(x)(t))=)''

N(x) (t). Aplíquese ahora el lema de Gauss ([ON pag 126).•

Al par (F t'S) lo denominaremos sincronización local de r en p.

Cada hipersuperflcle espacial S del lema anterior, se Interpreta como t . un subespacio (local) de simultaneidad, y es una hoja espacial respecto a una

función tiempo (local) T:U �. que toma por definición el valor t en cada

hoja st

. Las partfculas inerciales r ,. xes. son geodésicas temporales N(x futuras ortogonales a cada S

t, cuyo tiempo própio coincide con el definido

por T. Esta situación sugiere que las partfculas r N<xlse encuentran en reposo

unas respecto a otras, y el volumen que ocupan en cada Instante, es el

determinado por cada S t.

Supóngase ahora que S=Sn11 siendo S una superficie de Cauchy:

..

-14-

3.3.2 La curvatura media como medida de expansión.

En las condiciones anteriores demostraremos que µ5(p) mide la tendencia que tiene S a expandirse (J.t5(p)>O) o contraerse (J.t5(p)<O) cuando se produce una deformación S Infinitesimal de S siguiendo las lineas de campo (geodési­t cas) de el campo N. Más concretamente, manteniendo las notaciones anteriores, probaremos que:

En donde se entiende que la superflcle vo(St) está medida con la forma de vo­lumen canónica en cada St=Ft(S), y que S=S0 pertenece a una famflfa contracti­va de entornos de p en S.

Para ello nótese en primer lugar, que iNw representa la forma de volumen canónica en cada hlpersupeficle S , por lo que: t

J lt.J- J1f,J

l!W vol(s

, >:

vol(s 0> l!W

s,

1 t s

• � J l!W s

• • • Como Ft es el flu�o de N, se tiene FtN:N• por lo que (Ft)i

Nw=l

NF

t"'' y en S:

(F ) 1 (!) - 1 "' (F ) (!) -t.J . )

l!w t

tN N -IN l!w

t t - iNLNl.J>= (dlv N>ls "'s .. "s "s

Por tanto:

1 UW vol S0

3.3.3 Formulación Geomt!trlca de la Expansl6n' del Universo.

Los epfgraf es anteriores justifican la siguiente deflnic16n: a) Una superf lcle · de Cauchy en un espado orientado de Lorentz, se dice

en expansión, si existe una constante positiva k tal que S tiene curvatura me­dia µ5(p)>k en cada punto peM.

b) Un espacio orientado de Lorentz, se dice que verifica la ley de expan­sión, si admite una superficie de Cauchy en expansión.

SI Interpretamos una superficie de Cauchy como una hipersuperflcle global de simultaneidad, respecto a una función tiempo global, la ley de expansión expresa la Idea de que el universo espacial, se expande en algún momento.

-15-

§4 LEY DE NO Rm.t.s16N. . /� :

Si M es un espacio de Mlnkowski, para el suceso p=7(0) de un observador .1 .1

Inercial r:I �M. el hlperplano espacial p+r'(O) =exp Cr'(O) ) representa el p

conjunto de sucesos simultáneos con p desde el punto de vista de r.

Si ahora M es un espacio orientado de Lorentz, parece natural asignar

como espacio local de simultaneidad de r en el suceso p=7(0) la .1

hlpersuperficle S=exp (7'(0) )nV, siendo V un entorno geodésicamente conve­P

xo de p. Fijemos una sincronización local (F ,S) de 7 en torno a p. . t Probaremos que si Ricc(7'(0),7'(0)) es negativo, entonces cuando S se

contrae hacia el punto p la función t �vol(St) tiene derivada segunda positi­

va en t=O. Esto slgnif lea que la velocidad de expansión de S crece estricta­

mente con el tiempo y sugiere la idea de que la gravedad en las proximidades

del suceso p es repulsiva.

la ley de no repulsión, establece que la situación anterior no debe

darse en ningún suceso p de ningun observador Inercial 7, y se expresará

entonces por la condición geométrica Rlcc(V, V)2:0 para todo vector V temporal.

Estableceremos algunos prerequlsitos:

4.1 VARIACIONES DE UNA CURVA.

En lo que sigue M es un espacio de Lorentz.,;l�f'denota 1el lntervalo'·(-.,,a}--'7•

4.1.1 Concepto de Variación.

Sea O el conjunto de curvas dlferenclables a::l=[a,b) �M Una variación de

una curva a:eO. es una aplicación dif erenciable: · ,. ·

x:l�xl:t(s,t) �x(s,t)=� (t)=T (s)eM o • t

de forma que � 0

=«.

la variación x puede interpretarse como una aplicación:

- - � x:l�::ts �x(s)=� eO. El campo V(t)-d

1 (t)=x (O,t), tel define un campo a u 1 S 1=0 1

lo largo de «, que se denomina campo velocf dad inicial de la variación.

Flg.3 t

Curva transversal "'C't

4.1.2 Campos a lo largo de una variación.

Un campo X a lo largo de la variación x es una aplicación dif erenclable

X:I�xl:t(s,t) �X(s,t)eTM tal que X(s,t)eT M para todo (s,t)el�xl. o x(a,t) o

..

-16-

Los campos x (s,t)=-r'(s) y x (s,t)=;\'(t) son los campos tangentes a lo • t t •

largo de la variación x.

4.1.3 Derlvacl6n parcial covarlante

SI X es un campo a lo largo de x, en . particular es campo a lo largo de cada curva longitudinal A , y es posible calcular la derivada covarlante: • VA'(t)X=Xt(s,t) que se denomina derivada parcial covarlante de X respecto a t,

• y da lugar a un nuevo campo a lo largo de x. De forma análoga se define x Cs, t>=V ·e ,x. t 'tt s

Las derivavlones parciales verifican naturalmente la regla de Leibniz:

8 8 Bs <X, Y>=<X •' Y>+<X, Y/• Bt <X, Y>==<Xt' Y>+<X, Y?

para campos X, Y a lo largo de x. En particular, escribimos x =(x } . . . etc. La diferenclax -x viene st •t st ts

medida por el tensor de torsión T(x ,x }. • t Por otra parte, si X es un campo a lo largo de x se verif lca:

X -X =R(x ,x )X st ts t • siendo R el tensor de curvatura.

4.2 CAMPOS DE JACOBI.

Sea 1: I=[a,b) �M una geodésica temporal en 'el espacio de Lorentz M. 4.2.1 Variaciones geodésicas.

Una variación x:lcSxl!i(s,t) �x(s,t)==;\8{t)ÉM de 1 '_.�e llama variaelón gecr déslca si las curvas longitudinales ;\8 son geodésictts para todo sElcS.

Si x es variación geodésica, entonces x (s, t)==A"(t)=O, y por las f6rmu-tt • las 4.1.3 se tiene:

O=x =x +R(x ,x )x =x +R(x ,x )x tt• tst t • t tt• t • t Así particularizando en s=O, si J(t):x (O,t) es el campo Inicial de la •

variación, y J'(t) denota la derivada covarlante de J a lo largo de 7, se ve que J verifica la ecuación diferencial J"+R(1' ,J)¡'=O.

4.2.2 Espacio de campos de Jacobt. Un campo J a lo largo de 1 se llama campo de Jacobl si verifica la

ecuación de Jacobl: J"+R(7' ,J)¡'==O

El conjunto j( 1) de los campos de Jacobi a lo largo de 1, tiene estructu­ra evidente de R-espaclo vectorial. Tomando una base (E =7' ,E ,E ,E ) paralela

• . o 1 2 3 a lo largo de 1 y escribiendo en componentes ia ecuación de Jacobi, para un campo J=I:911E1se obtiene un sistema Hneal de ecuaclon� de segundo orden de la forma t>;'==J:alJfJ con a1il -iR diferenclables. Así la apllcacl6n:

• j(7):¡J �(J(O),J'(O))ET MxT M p p

-17-

es un Isomorfismo lineal.

4.2.3 campos de Jacobl ortogonales.

Sea J un campo de Jacobl sobre ,-. El producto escalar <J,,-'> es una función 1 �. y <J,,-'>"=O. En efecto:

<J,,-'>'=<J' .r'>, y <J,r'>"=<J" .r'>=-<R (r' ,Jlr' .r'>=O Así, la condición necesaria y suficiente para que J sea ortogonal a r ( es decir, <J(t),r'(tl>=O para todo t) es que los vectores J(a), y J'(a) sean ortogonales a r'(a).

4.3 FORMULAC16N GEOMt'rRICA DE LA LEY DE NO REPULSI6N.

Fijemos una slncronJ:zaclón local (Ft,S) en, torno a el suceso p=r(O) del observador Inercial r:I �M. siendo S=exp Cr'(O).l)f\'U el espacio natural de

p simultaneidad por el suceso p de r. (Utilizaremos líbremente las notaciones y resultados de 3.3)

Nótese que en U disponemos de una función escalar "curvatura media" defi­nida por µ(Ft(x))=µt(Ft{x)) para todo xeS, siendo µt:St � la función curva­tura media en S • Sea t

V (t)=Vol(S l=J 1 w. S t S N t

En esta condiciones, se trata de demostrar el siguiente resultado:

V' '(O) um V

(O) ·-R icc(7'(0),r'(O)) p s

(Así, si R icc{r'(0),7'(0)) es negativo y' S 'es suficientemente pequefta, es V"(O) es positiva) s . .

Demostración:

Por 3.3.2 se tiene V'(t>=J µ. l w. Determinemos V' '(O): S S t N S t .

J µ. iw- J µtw • V'(t)- V'(O) S N S N J (µ oF )F l W -µ. l W

V', (O)=I ¡ S S =t I

t = ¡ t t t t N O N s t.:ll/ t .:tW t -tW t

• • • s

Pero: F t lNw=ll t w, ya que F t N=N por ser F t el flujo de N. Además: •

(µ oF )F l w -µ l w uw t t t � o N

= IN uw •

(µ. oF )F w-µ. w t t t o t =

=[µ2 +N(µ))(l w), y así: V' '(O)=J µ2 (l w) +J N(µ.)(I w). Por tanto: o N S S O N S N

..

V' '(O) s 2 Ur:,i vol(S) = µ.o(p)+N/µ.l

-18-

Pero por ser S una hlpersuperf icle totalmente geodésica en p, el tensor !I se anula Identlcámente (ver 3.2.3), y por tanto: µ (p)=µ (p)=O, con lo que: p o s

V' '( O )

UW v!1Cs) = Cµ.r)'(O).

Nuestro propósito es ahora probar que (µ.r)'(O)=-Rlcc(r'CO),r'( O)). (Véa­

se figura).

Flg, 4

Para ello, fijemos un vector unitario 1 s 1 <3. La varlacl6n de r definida por

.l UET S=r' (O) • y sea p x(s,t>=expcr (�)CtNcr (s»

u u

cr (s)=exp (su) u p

lt l<t, lsf <3; . .

define un campo Inicial J(t)=x (O, t). Como las • curvas ;\. : (-c,c)3t�x(s,t)e'U • son geodésicas, el campo J es de Jacobl y verifica:

J(O)=x (0,0)=cr'(s)=u, y J'(O)=x (0,0)=x (0,0)= � 1 (x (s,O))=V N=O • u st t• as •=O t u

(La condlcl6n V N=O se verifica por ser S totalmente geodésica en p, y 3.2.3) u

.l Fijemos entonces una base ortonormal (u , ... ,u ) en T S=r'(O) , y sean l n p J , .. . , J los campos de Jacobl obtenidos a partir de cada u por el procedi-1 n l miento anterior. Los campos JI&: son ortogonales a r. y para c>O suficientemente pequef\o, podemos suponer que determinan una base de r' ( t).l para 1 t 1 <e.

Sea g (t)=<J (t),J (t)>. Denotando por glJ(t) la matriz Inversa, para IJ l J VeI(r).l podemos escribir: V(t)j�11: <V,J/gJlt.Jk

. Nótese que g11'0)=31f Denotando por !lt:Tr(t)St �Tr(t)St' el operador "Shape" en el punto r(t)

de St' es (µ.r)(t)=-Traza(!lt), se verifica (prescindiendo de t):

9'(J )=-VJ N=-VNJ •-J' •-<J' ,J >?°J. y así µ.r--Traza(!l)=<J' ,J >?. k

k k k k J ,. 11: J Derivando respecto a t queda:

..

-19-

f.l'=(<J;t,J/+<J�.J?J?+<J�,J/C?». y para t=O, como J�(O)=O. y Jt

verifica. la ecuación de Jacobl. queda:

(f.t.r>'(O)= I: <-R(r'(O}.J (O))r'CO).J (O)>gkj

(O)=-jt <RCN .u.)N ,u

j>8tJ=

l t j ,t p .. p

=-I:<R(N ,u )N ,u >=-Traza(T M3v�R(N ,v)N ET M)=-Rlcc(N ,N }= ¡ p k p t p p p p p p

=-RlccCr'CO),r'(O}}

..

-20-

4 EL TEOREMA DE HA WKING Hemos introducido ya todos los ingredientes que permiten formular en el

contexto de la geometría diferencial, lo que se entiende por un modelo de universo fCsLcamente razonable que se da por hipótesis en el Teorema de Hawklng. Hagamos una breve recapitulación:

O) La teoría General de la R elatividad, sugiere como modelos del Universo los espacios orientados de Lorentz M.

1) Desde el punto de vista de la causalidad, se requiere que nuestro espacio M sea Globalmente Hiperbólico.

2) La ley de expansión del Universo exige que exista una hlpersuperficie de cauchy S en M, y una constante k positiva de manera que la función curvatu­ra media µ5:S � verifique: µ5>k.

3) El carácter atractivo de la gravedad . impone que el tensor de Rlccl verifique Rlcc(V, V)2:0 para todo vector V temporal.

Llamaremos Universo de Hawking a una terna (M,S,k) verificando las pro­piedades 1) 2) y 3) anteriores.

El Teorema de Hawklng puede entonces enunciarse así: TEOREMA H (de Hawklng)

En un Universo de Hawking (M,S,k), cualquier curva temporal futura e inextendlble pasada «:(a,b1 J -+M,' tiene 16nglt-i.,d-f1nita. '· . • �

'4.1 ESQUEMA DE LA DEMOSTRACI6N DEL TEOREMA DE HAWKING Para probar el teorema H es suf lciente demostrar el siguiente

TEOREMAH 1 En un Universo de Hawklng (M,S,k), si ó::(a,b) �M es curva temporal fu-

tura e lnextendlble pasada, con «(b)eS, se verifica que U«) es menor o igual que 3/k.

En efecto, si el teorema H1 es cierto, y a::(a,b1) -+M es curva temporal futura e inextendlble pasada, podemos encontrar «:(a,b) -+M con b>b tal 1 que « 1 (a,b1 ]=o:, y « es temporal futura e inextendlble, por lo que corta a la superficie de Cauchy S en un t'ínlco punto «Cb)eS. El Teorema H1 afirma entonces que « 1 (a, b) tiene longitud finita, y en consecuencia, también u.

Por t'íltlmo, para probar H es claramente suficiente probar: 1 TEOREMA H 2

En un Universo de Hawking (M,S,k),sl pef(S), entonces el supremo de las longitudes de las curvas causales futuras a: :(a ,b) -.+M con u (a )=p, a: (b)eS, 1 1 1 1 1 es menor o igual que 3/k.

Esquematizaremos la prueba de este t'íltlmo enunciado, mediante las tres siguientes proposiciones, que delimitan las técnicas geométricas empleadas:

-21-

PROPOSICION A: "Teorema de extstencta"

Sea M Globalmente Hlperbóllco, S superficie de Cauchy y pens). Existe

entonces una geodésica temporal futura A:[0,1} �M con A(O)=p, A(l)=qeS, y

longitud mayor o igual que la longitud de cualquier otra curva causal que una

p con S.

PROPOSICION B :"Condtct6n necesarla de extremaltzact6n"

Una curva A como la de la proposición A, es necesariamente ortogonal a S

(l.e. A'(l)eT S.l

). q

PROPOSICION C:"Condlct6n suflcLente de !lQ extremaUzaclón"

En un Universo de Hawklng (M,S,k), sea r una geodésica temporal futura

que une pEC{S) con S, y es ortogonal a S. Entonces si Ur)>{3/k), existen

curvas causales futuras de longl tud mayor que r. que unen p con S.

En particular como no existen curvas causales futuras de longitud mayor que A,

que unan p y S, se concluye que:

L(A)=sup (Longitud de curvas causales futuras que unen p con S) $3/k

4.2 EL TEOREMA DE EXISTENCIA.

La demostración del "teorema de . existencia", se basa en técnicas relacio­

nadas con teoría de límites de curvas causales en espacios globalmente hlper­

b6Ucos.

4.2.l Separación temporal.

Si p y q son puntos de M, con p:sq, se define la separación temporal

T{p,q) com el supremo de las longitudes de las curvas temporales futuras que

unen p a q. SI no es cierto p!!Sq, se conviene en asignar a T(p,q) el valor O.

SI A es un subconjunto de M, y pe[{A)�' se define T(p,A) como el supremo

de las longitudes de las curvas causales futuras que unen p con A.

4.2.2 Curvas que maximizan la separación temporal.

SI M es fuertemente causal, entonces para cada peM, podemos elegir U en­

torno convexo y causalmente convexo de p, de forma que para x,y EU x'!S.¡ es e­

quivalente a x'!Sy, y en este caso existe una única geodésica causal futura

r :(0,1] �U que une x con y. Esta geodésica verifica: LCr )=T(x,y). xy xy

Así, si p«q y r es una curva temporal futura uniendo p a q con

LCrl=T(p,q), entonces r debe coincidir en un entorno convexo de cada uno de

sus puntos con una geodésica. Se concluye entonces que r, eventualmente repa­

rametrlzada por la longitud de arco, es una geodésica

..

-22-

... 2.3 bquema 1eneral para la demostración del Teorema de existencia.

La existencia de una geodésica temporal futura A que una el punto pens1 con la superficie de Cauchy S del espacio globalmente hiperbólico M, tal que L(A)=-t(p,S), queda establecida a por medio de los teoremas siguientes.

Teorema 1 ([ONJ pag 411 Prop 19) SI M globalmente hlperbóllco, p,qEM, y p«q , existe una curva temporal

futura uniendo p a q con longitud T(p,q) . . Teorema � ([ON) pag.410 Lema 17, y pag 412 Lema 21)

En .. un espacio M globalmente hiperbólico la función separación temporal T:MxM __. y es continua. Teorema J. ([ONJ pag 423 Lema 40)

Supongase M globalmente Hiperbólico, S superficie de Cauchy, y pens>. Entonces J+(p)nS es compacto.

La demostración del teorema de existencia es ahora fácil. En efecto:

Si es superficie de Cauchy en M, y pens>. por el teorema 3 el conjunto K=J+(p)AS es compacto. Por el teorema 2 la apllcaclón M:tx �T(p,x)eR es conti­nua, y toma su máximo sobre K en un punto qeS; este máximo, es justamente T(p,q). El teorema 1 asegura ahora la existencia de una curva A temporal futu­ra uniendo p a q con L(A)=T(p,q), que e!ii ta· curva buscada. ·Por: '4.2,;l· la·· curva A. quizás reparametrlzada, es una geodésica.

§ ... 3 CONDIClóN NECESARIA DE EXTREMALIZAClóN.

La curva A obtenida en el apartado anterior es necesariamente ortogonal a s.

La demostración de este hecho, pasa por la teoría de cálculo de varia­ciones para la función Longitud .

... 3.1 Primera y Segunda Fórmulas de Variación.

Se denota por D+ al conjunto de curvas diferenclables temporales futuras de M parametrlzadas en el intervalo I=[O,l).

Si x es una variación de a:ED\ y 1 «' I =c constante positiva. Sea V(t)=x (O,t) el campo inicial de la variación y A(t)=x (O,t) el campo aceleración lnlclal. Se verifica entonces:

dL(x(s)) 1 = :! J1 <V' cx'>dt-1 [J1 <V «''>dt+ <V«'> l 1 ] ds •=O c ' c ' ' o o o dLCi<s» I Nótese que si V es ortogonal a «, y « es geodésica, entonces ds •=O =O.

SI ahora 7 es una geodésica de o+, con l 1' I =c, se verifica la segunda fórmula de variación:

2 -d L(x(s)) I = :!

ds2 •=O e [JI J. J. J. J. I] �<V', V' >-<R( '1', V)'1', V> ]dt +<A, '1' > 1 0

-23-

donde V denota la componente normal de V.

4.3.2 La condlcl6n necesaria.

Sea S una hipersuperflcie espacial pens). Denotamos por c•(p,S) al con­junto de curvas de e• que unen p con S. Una variación x, se dice (p,S)­admislble, si x(s)ál.(p,S) para todo s. Los campos iniciales de las variacio­nes (p,S)-admisibles, de o:ec• · constituyen el llamado espacio tangente T n•(p,S) y viene definido por el conjunto de campos VeX(o:) con V(O)=O

• y o: p

V( 1) tangente a S. La curva o:ál•(p,S), se llama extremo local para L. si para toda variación

(p,S)-admlsible x, de o:, la función s --.+L(x(s)) tiene un extremo local en s=O.

En particular, si A es geodésica temporal futura, Aál.(p,S) y L(A)=r(p,S) ' '

entonces A es máximo global para L, y por tanto para toda variación di¡ (p,S)-admisibie con V-d se tiene: s ' "'º

O= dL(i(s)) I = ! [J1<V A">dt+ <V A'> l

1 ] -1<V A'> l 1=<V(l) A'(l)> ds '"'° c •

• o c • o •

o Como V(l) puede ser cualquier vector tangente a S por MU. se concluye

que A es ortogonal a S.

4.4 CONDIClóN SUFICIENTE DE NO EXTREMALIZACl6N. Sea ren•(p,S), · una geodésica, con r<U=qES y ! r'UJ=N vector normal a c q

S, unitario futuro. !I (v,w)=<ll(v,w),N > representa entonces el tens�r "sbape" q q

en q. SI x es una variación (p,S)-admisible de r con vector velocidad inicial V

ortogonal a r. y aceleración A. De la primera fórmula de variación se deduce dL <i<s» ¡ que ds •=0=0. Aplicando ahora la segunda fórmula de variación, y tenien-

do en cuenta que A(O)=O, y AO)='t';·coJ, queda para c= 1 r'(O) 1 =Ur):

d2L(x(s)) 1 = :.!. [J:<V',V'>-<R(r' ,V)r',V>]dt] -!I (V,VJ I ds 2 •=O c 0 q t==l

Una condlcton suftctente para poder asegurar que extsten curvas en

n•(p,S) con longttud mayor estrtctamente que r. es que extsta una varlacton x 2 -

de r. como la de arrtba, tal que: d L( x(s)) 1 >O.

ds 2 •=O

En efecto, en estas circunstancias la función s --.+Ux(s)) tiene un mínimo local estricto para s=O.

Probemos en las hipótesis del teorema de Hawklng, que existe una tal va­riación, cuando Ur )=e >� .

Sea (e0,e1,e2,e3) una base ortonormal bien e0 =r'(O), y sea (E0,E1,E2,E3) el transporte paralelo go de r.

..

ordenada de T M, con p de dicha base a lo lar-

-24-

Flg. S

Tomando V1(t)=tE1(t), l=l. 2, 3, se ve que V1ET7D+(p,S). es ortogonal a 'J. y puede construirse una variación x1 (p,S)-admisible de 'J con vector Ini­cial V1, se tiene:

d2L <i' < s» 1

d s21

l .=o = -! [J�<V1',V1'>-<R(7',V1)7',V?Jdt] -14(V1.v1> 1 t=t

SI para algún 1 este número es >O, hemos concluido. Caso contrario, pode-

d2L ( x1( s)) ¿3 .d�Lt�1( s}) \ ' \ , , ' Y · , ¡ mos suponer

2 1 :sO, con lo que · 1 :sO. Pero entonces d s •=O ds 2 •=O

1 = 1 como v;=E1, Ric(U,V)=Traza (W �R(U,W)V)!' Rlcc(7',7')2:0, y µ5(q)= -Traza(S'

q)>k

queda: 3 �r l = I

2 -d L(x1(s)) 1 [ Jt

]

3 3 --2 - 1 -

- 3- t2Rlc(,-'.7')dt +JL (q)2:JL (q)�k-->O. ds •=O e

0 s s e e

y esto es contradictorio.

§5 BIBLIOGRAflA

(BEEM] BEEM-EHRLICH: Global Lorentzlan Geometry. Pure snd AppUed Math. Newyorlt (1981)

(HE] HA WKING-ELLIS: Large scale structure Space-time. CambrLdge UnfversLty Press (1973)

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[PENJ PENROSE R.: Thecnlques of dlfferentlal Topology In Relatlvlty. Conference Serles ln applled Math.(1912.)

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